pode ser descrita por uma equa¸c˜ ao param´ etrica, da forma

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Lista de ´ Algebra Linear II

Quest˜ ao 1. Uma reta em R

pode ser descrita por uma equa¸c˜ ao param´ etrica, da forma

~

x = ~ p + t~ u, t ∈ R , ou por uma equa¸c˜ ao cartesiana, da forma ax + by + c = 0. Encontre:

1.a. uma equa¸c˜ ao param´ etrica e uma equa¸c˜ ao cartesiana para a reta que passa pelos pontos (3, 1) e (1, −1);

1.b. uma equa¸c˜ ao cartesiana para a reta ~ x = (3, 2) + t(0, 2);

1.c. uma equa¸c˜ ao param´ etrica para a reta que passa por (3, 4) e ´ e paralela ` a reta x+y = 0;

1.d. os pontos de interse¸c˜ ao entre as retas 2x − y − 1 = 0 e x − 3y + 2 = 0 e 1.e. os pontos de interse¸c˜ ao entre as retas 2x − y − 1 = 0 e ~ x = (1, 3) + t(1, 2).

Quest˜ ao 2. Um plano em R

pode ser descrito por uma equa¸c˜ ao param´ etrica, da forma

~

x = ~ p + s~ u + t~ v, s, t ∈ R , ou por uma equa¸c˜ ao cartesiana, da forma ax + by + cz + d = 0.

Uma reta em R

pode ser descrita por uma equa¸c˜ ao param´ etrica, da mesma que em R

, ou como um sistema de duas equa¸c˜ oes cartesianas, representando a interse¸c˜ ao de dois planos.

2.a. Encontre uma equa¸c˜ ao param´ etrica para o plano em R

que cont´ em os pontos (2, 1, 0), (3, 2, 1) e (0, 3, 2).

2.b. Encontre uma equa¸c˜ ao cartesiana para o plano ~ x = (1, 2, 3) + s(2, 1, 2) + t(1, 2, 1).

2.c. Encontre uma equa¸c˜ ao param´ etrica para o plano x + y + z = 3.

2.d. Encontre uma equa¸c˜ ao param´ etrica para a reta resultante da interse¸c˜ ao dos planos x + y + z = 1 e x − z = 2.

Quest˜ ao 3. Determine se os planos ~ x = (1, 1, 1) + s(1, 0, 1) + t(2, −1, 0) e ~ x = (1, 2, 3) + m(0, 1, 2) + n(3, −1, 1) s˜ ao coincidentes ou n˜ ao. Em caso afirmativo, determine a corres- pondˆ encia entre os parˆ ametros s, t e m, n.

Quest˜ ao 4. Sejam ~ v

= (2, 1, 0), ~ v

= (−2, 2, 1), ~ v

= (2, 7, 2) e ~ v

= (1, 0, 0).

4.a. Determine se o vetor ~ v

´ e ou n˜ ao combina¸c˜ ao linear dos vetores ~ v

, ~ v

, ~ v

.

4.b. O conjunto {~ v

, ~ v

, ~ v

, ~ v

} ´ e LI ou LD?