Teoria da Estima¸c˜ao: Intervalos de Conﬁan¸ca

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Teoria da Estima¸c˜ ao:

Intervalos de Confian¸ca

Anna Regina Corbo

CEFET/RJ - DEMAT

Aula Te´ orica 1

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Objetivo

Conhecer processos que consistem em utilizar dados amostrais para obter parˆ ametros populacionais desconhecidos.

Anna Regina Corbo Intervalos de Confian¸ca

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Considera¸c˜ oes Iniciais

Estimador: ´ e toda a estat´ıstica amostral que tem um parˆ ametro correspondente na popula¸ c˜ ao.

Por exemplo:

¯

x ´ e estimador de µ s ´ e estimador de σ

Estimador n˜ ao-tendencioso: Se θ ´ e um parˆ ametro e ˆ θ ´ e seu estimador, dizemos que ˆ θ ´ e um estimador n˜ ao-tendencioso de θ se E [ˆ θ] = θ.

Estimativa: ´ e o valor num´ erico do estimador.

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Considera¸c˜ oes Iniciais

As estimativas obtidas podem ser:

Pontuais Intervalares

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Intervalos de Confian¸ca

A estima¸c˜ ao por intervalos consiste no estabelecimento de limites inferior e superior para o parˆ ametro que se deseja estimar.

Seja θ um parˆ ametro em estudo:

[ ˆ θ

₁

6 θ 6 θ ˆ

₂

] ´ e um intervalo de confian¸ ca.

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Intervalo de Confian¸ca

Defini¸ c˜ oes e Nomenclatura

grau de risco → erro aceit´ avel → n´ıvel de significˆ ancia:

notado por α

precis˜ ao do intervalo → grau de precis˜ ao:

notado por 1 − α.

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Intervalos de Confian¸ca

Caracter´ısticas

1

O tamanho da amostra afeta a precis˜ ao do intervalo. Se n ´ e grande ⇒ a precis˜ ao ´ e melhor.

2

O tamanho do intervalo tamb´ em depende do n´ıvel de

significˆ ancia α desejado.

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Intervalo de confian¸ca para a m´ edia da popula¸c˜ ao com variˆ ancia conhecida

Sejam X ∼ N(µ, σ

²

) e ¯ X ∼ µ,

^σ_n²

. Temos que Z = X − µ

σ e Z

¯x

= x ¯ − µ σ/ √

n . Seja z

^α

2

tal que P (Z 6 z

^α

2

) = 1 − α 2

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Intervalo de confian¸ca para a m´ edia da popula¸c˜ ao com variˆ ancia conhecida

Temos que:

P (−z

^α

2

6 Z

_x_¯

6 z

^α

2

) = 1 − α .. .

P

¯ x − z

^α

2

· σ

√ n 6 µ 6 x ¯ + z

^α

2

· σ

√ n

= 1 − α

O intervalo de confian¸ ca 1 − α para a m´ edia se x ´ e a m´ edia de

uma amostra aleat´ oria de tamanho n, proveniente de uma

popula¸ c˜ ao com variˆ ancia conhecida σ

²

.

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Intervalo de confian¸ca para a m´ edia da popula¸c˜ ao com variˆ ancia conhecida

Exemplo 1

A taxa de queima de um combust´ıvel num determinado ve´ıculo ´ e normalmente distribu´ıda, com desvio-padr˜ ao de 2 cm/s. Num experimento com 25 amostras, foi obtido uma taxa m´ edia amostral de 51,3 cm/s. Determine o intervalo de 99% de confian¸ ca para a taxa m´ edia populacional de queima.

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Intervalo de confian¸ca para a m´ edia quando a variˆ ancia populacional ´ e desconhecida

A distribui¸ c˜ ao t-Student

Considere a distribui¸ c˜ ao t-Student (similar a distribui¸ c˜ ao normal, por´ em com o uso de s ao inv´ es de σ). Logo,

Z

_¯_x

= X ¯ − µ σ/ √

n = ⇒ T

^α

2;n−1

= X ¯ − µ s / √

n Isto ´ e, quando n y ∞ temos que T y Z pois s y σ.

Se α = 0, 05 e n = 20 ent˜ ao t

^α

2;n−1

= t

_0,025;19

= 2, 09.

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Intervalo de confian¸ca para a m´ edia quando a variˆ ancia populacional ´ e desconhecida

Construindo o intervalo de confian¸ ca

P

−t

^α

2;n−1

6 T 6 t

^α

2;n−1

= 1 − α .. .

P

¯ x − t

^α

2;n−1

· s

√ n 6 µ 6 x ¯ + t

^α

2;n−1

· s

√ n

= 1 − α Intervalo de confian¸ ca 1 − α para a m´ edia se x ´ e a m´ edia de uma amostra aleat´ oria de tamanho n, proveniente de uma popula¸ c˜ ao com variˆ ancia desconhecida σ

²

.

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Intervalo de confian¸ca para a m´ edia quando a variˆ ancia populacional ´ e desconhecida

Exemplo 2

Os resultados de testes de consumo de energia com geladeiras foram registrados na tabela abaixo. Supondo que estes sejam dados normalmente distribu´ıdos, responda: entre que valores est´ a a m´ edia da popula¸c˜ ao com grau de precis˜ ao de 95%?

19,8 18,5 17,6 16,7 15,8

15,4 14,1 13,6 11,9 11,4

11,4 8,8 7,5 15,4 15,4

19,5 14,9 12,7 11,9 10,1

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Estimativa da Propor¸c˜ ao Populacional

Tomemos como sucessos o evento X e como falha o evento Y = complementar de X .

P (X ) = π P (Y ) = 1 − π

Dada uma amostra X

⁰

queremos estimar a propor¸c˜ ao populacional π atrav´ es da propor¸ c˜ ao amostral p.

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Estimativa da Propor¸c˜ ao Populacional

Para amostras “grandes” (em geral quando n > 30) podemos supor que elas tenham distribui¸c˜ ao normal.

Deste modo, o intervalo de 1 − α de confian¸ca para a propor¸ c˜ ao populacional π, com base em uma amostra de tamanho n, ´ e dado por:

P p − z

^α

2

· r p (1 − p)

n 6 π 6 p + z

^α

2

· r p(1 − p) n

!

= 1 − α

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Estimativa da Propor¸c˜ ao Populacional

Exemplo 3

Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confian¸ca de 98%, podemos dizer que a moeda ´ e honesta?

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Intervalo de confian¸ca para a variˆ ancia populacional

A distribui¸ c˜ ao

χ²

(Qui-Quadrado)

Seja X uma amostra tal que X ∼ N(µ, σ

²

).

Sabe-se que a variˆ ancia amostral ´ e dada por s

²

=

P(xi−¯x)² n−1

. Ent˜ ao,

s

²

σ

²

=

P (x

_i

− x) ¯

²

(n − 1) · σ

²

onde σ

²

´ e a variˆ ancia populacional de X .

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Intervalo de confian¸ca para a variˆ ancia populacional

A distribui¸ c˜ ao

χ²

(Qui-Quadrado)

Se X ´ e normal, temos

P (x

_i

− x) ¯

²

σ

²

∼ χ

²_n−1

a distribui¸ c˜ ao Qui-Quadrado.

Logo,

P (x

_i

− x) ¯

²

(n − 1) · σ

²

= 1

n − 1 · χ

²_n−1

Ou seja,

s

²

σ

²

= 1

n − 1 · χ

²_n−1

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Intervalo de confian¸ca para a variˆ ancia populacional

Como utilizar a tabela da distribui¸ c˜ ao Qui-Quadrado?

Dados de Entrada Valor de referˆ encia n, α n´ıvel de significˆ ancia χ

²_n−1,α

Exemplo:

Buscar na tabela χ

²

, os valores relativos ` a distribui¸ c˜ ao amostral inferior e superior para:

a) n = 8 e α = 0, 05

b) n = 30 e α = 0, 1

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Intervalo de confian¸ca para a variˆ ancia

Seja s

²

σ

²

= 1

n − 1 · χ

²_n−1

= ⇒ s

²

(n − 1)

σ

²

= χ

²_n−1

Considere o intervalo:

P (χ

²_inf

6 χ

²

6 χ

²_sup

) = 1 − α

onde:



 

 

χ

²_inf

= χ

²_n−1,1−^α

2

χ

²_sup

= χ

²_n−1,α 2

Ent˜ ao:

P

s

²

(n − 1)

χ

²_sup

6 σ

²

6 s

²

(n − 1) χ

²_inf