5. Interferência e Difração

5. Interferência e Difração

5.1. Interferência

A interferência é o fenômeno que superpomos ondas numa mesma região do espaço.

Como resultado desta superposição de campos, ocorrem variações espaciais na intensidade resultante. Estas variações de intensidade são chamadas de franjas de interferência. Embora a interferência seja um fenômeno inerente ao caráter ondulatório da luz, no dia a dia não é muito comum a observação de interferência. Por exemplo quando iluminamos uma sala com diversas lâmpadas não observamos franjas de interferência. Isto acontece porque as fontes de iluminação que utilizamos rotineiramente são incoerentes.

5.1.1 Superposição de Duas Ondas Harmônicas

Quando duas ondas eletromagnéticas se superpõem em uma mesma região do espaço, os campos elétricos e magnéticos resultantes são a soma vetorial dos campos individuais devido a cada uma das ondas isoladamente (devido ao princípio da superposição), da mesma forma que os campos devido a presença de cargas elétricas se somam:

( )

(

2 21 2 2

)

1 1 1 1

02 2

01 1

2 1

φ ω

φ ω

+

−

⋅ +

−

⋅

=

= +

=

t r K i

t r K i

e E E

e E E

E E E

r r r r

r r

r r

r r r

[5.1]

A irradiança da onda resultante, supondo duas ondas linearmente polarizadas.

( ) (

^{∗ ∗}

)

∗

= + ⋅ +

⋅

=

=

=

_{1 2 2}

0 2

2

1 c E E c E E E E

Z E S n

I r r r r r r r

[5.2]

* Se ω

₁

= ω

₂

, as ondas de mesma freqüência K r

₁

K r

₂

=

→

r r

r

r ( )

(

2 1 2 1 2 1 2 1

02 01 2 1

01 02 1 2

φ φ

φ φ

− +

⋅

−

∗ ⋅

∗

− +

⋅

−

∗ ⋅

∗

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

r K r K i

r K r K i

e E E E E

e E E E E

r r

r r

)

r r

r r r r

r r

[5.3]

A parte temporal iωt e -iωt se cancelam se as ondas têm a mesma freqüência.

* Se φ

₂ −

φ

₁ =cte

, os produtos cruzados podem ser escritos como ^{r r} ( _{1 42 43} )

∆

∆

−

∆

∗

+

⋅

→

cos 2 01

E

02

e

i

e

i

E

(

2 1 2 1

)

01 02 2 1

1

⋅ E

^∗2

+ E ⋅ E

^∗

= E ⋅ E

^∗

2 cos K ⋅ r − K r + φ − φ

E r r r r r r r r r r

[5.4]

( ₁ ^r _{4 4} ^r _{4 4} ^r ₂ ^r _{4 4 4 4 3} )

r r

1 2 1

02 2 01

2

1

+ + 2 ⋅ cos ⋅ − + φ − φ

= I I c E E

^∗

K r K r

I [5.5]

r r

Diferença de fase entre E

₁

e E

₂

* Se ω

₁

≠ ω

₂

≠ fase varia com o tempo e I = I

₁

+ I

₂

→ coseno → 0.

* Se φ

₁

− φ

₂

depender do tempo o mesmo ocorrerá.

* Por outro lado se E r

01

⊥ E r

∗02

( polarizações ortogonais)

2

1

I

I

I = + termo de

interferência 0.

→

→

Podemos interpretar a Equação 5.5 como uma variação periódica de intensidade em função da diferença de fase entre as ondas (franjas de interferência). O termo oscilatório que carrega esta dependência com a fase é chamado de termo de interferência e ele varia de –1 (interferência destrutiva) a 1 (interferência construtiva).

Podemos definir a visibilidade das franjas de interferência como:

(

¹₁² ₂

)

min max

min max

2

cos 4

I I

I I I

I I I

= + +

= − α

ϑ [5.6]

A visibilidade é máxima quando as ondas são linearmente polarizadas na mesma direção e quando suas irradianças são iguais I

₁

= I

₂

= I

₀

, neste caso, I = 2 I

₀

( 1 + cos A )

Na prática para que tenhamos ondas coerentes (sincronismo) e de mesmo comprimento de onda precisamos utilizar luz da mesma fonte por isto geralmente é utilizado um interferômetro para dividir a frente de onda e produzir franjas de interferência.

5.1.2 Fendas de Young

As fendas de Young é um experimento clássico (feito pela primeira vez em 1802) que demonstrou o caráter ondulatório da luz. Um esquema do experimento das fendas de Young é mostrado na Figura 5.1.

Figura 5.1 Fendas de Young

Aqui em vez de ondas planas temos ondas esféricas. Entretanto se x é suficientemente grande podemos considerar que a amplitude das ondas das ondas que chegam em P são iguais. Neste, supondo que a luz emitida por cada fenda têm fases iguais (isto é possível iluminando a fenda com uma fonte situada à mesma distância das duas fendas), a diferença de fase entre as ondas que chegam em cada ponto P de uma tela será devido unicamente à diferença de caminho entre elas que é dada por:

 





 





 

 

 +  −

 −







 



 



 

 +  +

⋅

≅

∆

2 2

x 2 / h 1 y

x 2 / h 1 y

x

K [5.7]

Se a distância entre as fendas e a tela de observação (x>>y) é muito maior que a separação entre as fendas, a raiz pode ser expandida resultando em:

∆

≅2

π

/

λ

⋅yh/x

[5.8]

Conforme pode ser visto na Figura 5.1, em y=0, ∆ =0 e haverá máximo (interferência construtiva), o próximo máximo ocorrerá quando ∆ =2 π , que ocorrerá na posição distante

∆y da origem (y=0).

∆y = λ x/h [5.9]

Como exemplo numérico temos que para λ =0.5µm; x=1m;h=1mm, teremos y=0.5mm. ∆ 5.1.3 Interferômetro de Michelson

Os interferômetros são sistemas que dividem uma mesma frente de onda em duas ondas que são depois superpostas. Existem diversos tipos de interferômetros. Alguns dividem a frente de onda e outros apenas sua amplitude da onda. A Figura 5.2 mostra alguns exemplos de interferômetros:

Figura 5.2 Exemplos de Interferômetros: Loyd e Mach Zehnder

Em particular o interferômetro de Michelson (Figura 5.3) ficou famoso devido ao

experimento de Michelson-Morey onde ser buscava verificar a presença de éter.

Neste interferômetro, se existe um ângulo de 90+∆ entre os espelhos A e B, as ondas interferentes no anteparo terão vetores K r

₁

e K r

₂

cm direções formando o mesmo ângulo ∆ entre si, Figura 5.4. Isto resulta numa onda propagante na direção y e modulada por uma cosseno na direção x. Pode se mostrar que o período desta modulação será

Figura 5.3 Interferômetro de Michelson

∆x=λ/sen∆/2 [5.10]

Quanto menor o ângulo ∆ entre os espelhos, maior o período das franjas. Se ∆ tender a zero ∆x irá a infinito. E ainda quando ∆ varia, o período das franjas também varia.

Por outro lado, se existe uma diferença de caminho entre os braços do interferômetro (S-l) haverá uma diferença de fase σ entre as ondas E r

₁

e E r

₂

definida como:

( S − l

= λ ^π )

σ ² [5.11]

Portanto o padrão de interferência estará deslocado de σ / 2 em relação ao ponto de diferença de caminho óptico zero entre os feixes. A medida que S-l varia o padrão de interferência translada sem mudar o período.

A diferença de índice de refração entre os braços de interferômetro tem o mesmo efeito de mudarmos o comprimento de seus braços. Assim no experimento de Michelson- Morley o que se esperava era observar um deslocamento das franjas de cerca de ¼ de franja ao se girar o interferômetro de 90

^o

(alinhando-se um dos braços coma direção leste-oeste onda a velocidade de translação da terra é máxima e depois se invertendo 90

⁰

).

Só é possível observarmos franjas no interferômetro de Michelson se a diferença de

caminho entre os braços S-l for menor que o comprimento de coerência da fonte. Da mesma

forma que também podemos observar franjas de interferência em filmes muito finos mesmo quando iluminados com luz branca. Como por exemplo em filmes de óleo sobre água ou bolhas de sabão. Nestes casos o que observamos é a interferência destrutiva para algumas cores do espectro visível resultando nas cores de Newton (complementares) . Este método de cores é utilizado também para medir a espessura de filmes finos. Alguns exemplos estão mostrados na Figura 5.4.

Figura 5.4 Exemplos de Interferência em filmes finos com luz branca 5.1.4 Filmes Finos (Múltipla Interferência)

Suponhamos uma onda incidindo numa lâmina de faces paralelas conforme mostrado na Figura 5.5. Devido às múltiplas reflexões, ao invés de duas ondas interferindo temos n ondas que mantêm entre si sempre a mesma diferença de fase entre si (σ):

( ) ( ^cos θ ^' λ

π λ

σ π 4 dn

l 2 n 2 S

0

= +

−

= ) [5.12]

Figura 5.5 Esquema de múltiplas reflexões numa lâmina de faces paralelas

A onda resultante da superposição de todas esta série infinita de ondas será:

...

' '

' ⋅ + + +

+

⋅

=

_{1 0 1 1 2 0} ^iσ _{1 1 2}^{2 i2σ} _{1 1 2}^{3 i3σ}

r

r E t t r E e t t r e t t r e

E _[5.13]

como a razão r

₁

r

₂

e

^iσ

< 1 → a soma é convergente e seu resultado é

iσ 2 1

0 2 r 1

e r r 1

E t E t

= − [5.14]

portanto a irradiança resultante será:

i 2 2 1

2 2 1 2

e r r 1

t t I E

−

σ

∝ r

[5.15]

e terá uma máximo toda vez que

π λ θ

σ

=4

π

dncos '=2m

[5.16]

Para incidência normal θ

'=0⇒2d=m

λ . Portanto variando-se a espessura do filme ou o ângulo de incidência teremos máximos e mínimos de interferência, assim como se variarmos o comprimento de onda incidente. Este comportamento de máximos e mínimos pode ser utilizado para se medir a espessura e o índice de refração de filmes finos.

Se ao invés de um único filme utilizarmos várias camadas, aumentaremos o número de graus de liberdade e poderemos construir sistemas de filmes finos, que por interferência, apresentam um determinado comportamento espectral na reflexão ou na transmissão.

Assim são feitos os espelhos dielétricos, camadas anti-refletoras ou filtros interferométricos de faixa muito estreita.

5.2 Difração

A difração é o nome dado historicamente à transição oscilatória entre a luz e a sombra quando a luz é obstruída por um anteparo. Quando temos um anteparo com uma abertura, se olharmos em detalhe a região de transição entre a luz e a sombra, veremos que há oscilações de intensidade (máximos se mínimos) próximo à região da borda (Figura 5.6a). Se utilizarmos um anteparo com um buraco, a medida que o diâmetro do buraco diminui, a onda que atravessa o buraco vais se tornando cada vez mais esférica (Figura 5.6b).

Figura 5.6a Exemplo de difração

Figura 5.6b Exemplo de Difração

5.2.1 Princípio de Huygens

A primeira explicação qualitativa deste fenômeno foi proposta por Cristian Huygens, transformado o problema da difração em um problema de múltipla interferência.

O principio de Huygens (ilustrado na Figura 5.7) consiste em que cada frente de onda pode ser pensada de infinitas fontes puntuais situadas em uma superfície da frente de onda. A soma de todas estas fontes puntuais (wavelets que são ondas esféricas) resulta na própria frente de onda que se propaga.

Figura 5.7 Princípio de Huygens

Quando esta frente de onda encontra um obstáculo, parte das wavelets é bloqueada.

Desta forma, próximo ao obstáculo a frente de onda adquire uma esfericidade maior e sua

interferência com o restante da frente de onda não reproduz mais a frente de onda original, produzindo máximos e mínimos de interferência.

Entretanto, apenas no final do século XIX foi construído o primeiro modelo matemático para difração conhecido como a teoria da difração de Fresnel-Kirchoff ou Teoria escalar da Difração. Os resultados descrevem a onda após o anteparo como uma superposição (integral) de todas as ondas esféricas puntuais presentes na região da abertura.

Neste sentido ela é uma representação matemática do Princípio de Huygens.

Como consequência dela ser uma soma sobre as ondas presentes na área da abertura, nos temos que campos difratados por orifícios complementares como mostrado na Figura 5.8, terão campos iguais e de sinais contrários de forma que sua soma seja nula.

Como a irradiança é proporcional ao módulo quadrado dos campos, isto implica que o padrão de difração resultante de aberturas complementares é idêntico. Este resultado é chamado Princípio de Babinet.

Figura 5.8 Esquema de Aberturas complementares (Princípio de Babinet)

A Figura 5.9 mostra um esquema dos parâmetros importantes no problema de difração. Nesta teoria os resultados podem ser divididos em duas regiões distintas chamadas de região de Fresnel e região de Fraunhofer. Estas regiões são definidas em relação à distância do ponto de observação ao anteparo e ao comprimento de onda. Assim, mais próximo ao anteparo temos a região de Fresnel e mais afastados ou, utilizando-se uma lente, temos a região de Fraunhofer. A Figura 5.10mostra fotografias de um padrão de difração num orifício retangular a medida que nos deslocamos da região de Fresnel para a região de Fraunhofer. Para estarmos na região de Fraunhofer a seguinte condição deve ser satisfeita:

λ

π

〈〈

 



 +

⇒

〈〈

⋅



 



 +

2 0 2 2

2

0 z

1 z

1 2 2 b z b

1 z

1 2

k

[5.17]

Figura 5.9 Esquema dos parâmetros do problema de difração

P

Z

₀

Z

₂

b

Entretanto, colocar uma lente depois do anteparo e observar a difração no plano focal da lente é equivalente a fazer z

0

ir a infinito, ou seja satisfazer a condição de Fraunhofer.

Figura 5.10 Variação do Padrão de Difração da Região de Fresnel para a Região de Fraunhofer

5.2.2 Difração em orifícios e obstáculos

Nesta secção serão apresentados os resultados da Teoria de Difração de Fraunhofer para determinadas formas particulares de orifícios.

5.2.2.1. Difração numa Fenda

Supondo uma fenda de largura d infinita na direção longitudinal, iluminada por uma onda homogênea de amplitude I

0

, a distribuição de irradianças após a fenda em função do ângulo que o vetor posição do ponto de observação faz com a normal à fenda é dado por

( ) ( ( ) )

( )

2

0 kd 2

2 kd

I

I 

 



=

/ sen

/ sen sen

θ θ

θ [5.18]

A Figura 5.11 mostra o gráfico desta função assim como uma fotografia do espectro

angular de difração observado.

Figura 5.11 Espectro de Difração de uma Fenda

Note que o primeiro mínimo ocorre quando o argumento do seno do numerador for π, isto implica que o primeiro mínimo ocorrerá no ângulo θ dado por:

( )

d

θ

=

λ

sen

[5.19]

Isto implica que quando menor o diâmetro da fenda, e maior o comprimento de onda, maior a abertura angular do espectro de difração.

5.2.2.2 Difração num orifício retangular

Se ao invés de uma fenda tivermos uma abertura retangular (que é o produto de duas fendas) a distribuição de irradianças será dada por:

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )

( )

2 2

2 kb

2 kb

2 ka

2 0 ka

I y x

I 



 



 



 



= 

/ sen

/ sen sen /

sen / sen , sen

θ θ θ

θ [5.20]

A Figura 5.12 mostra um gráfico desta função assim como uma fotografia do espectro

angular de difração.

Figura 5.12 Espectro de Difração de um orifício retangular

5.2.2.3 Difração num orifício circular

Analogamente para um orifício circular teremos a Irradiança

( ) ( ( ) )

²

0 1

kR kR J I 2

I 



 



= 

θ θ

sen

sen

[5.21]

cujo gráfico aparece mostrado na Figura 5.13, juntamente com seu espectro de difração.

Note que neste caso o primeiro zero da Eq. 5.21 ocorre quando o argumento da função de Bessel = 3.83, portanto o primeiro mínimo (anel escuro) aparecerá no ângulo:

( ) θ

1.222

λ

R

sen =

[5.22]

Figura 5.13 Espectro de Difração de um orifício circular

Este mínimo é muito utilizado para definir a o limite de resolução de difração de sistemas ópticos com aberturas circulares.

5.2.3 Filtragem espacial e processamento de Imagens

Conforme podemos observar dos resultados da Difração de Fraunhofer, aberturas

pequenas difratam a luz em ângulos grandes, enquanto que aberturas grandes em ângulos

pequenos. Para objetos planos (como por exemplo um negativo de um filme fotográfico),

pode se mostrar rigorosamente que a difração funciona como uma transformada de Fourier

bi-dimensional do objeto. Assim se observarmos o espectro de difração de um determinado

objeto plano através de uma lente (conforme ilustrado na Figura 5.14), as ondas difratadas

pelo objeto em ângulos pequenos, serão focalizadas próximo ao ponto focal da lente,

enquanto que as ondas difratadas em ângulos grandes serão focalizadas no plano focal mas

distantes do ponto focal. Assim se atuarmos no plano focal da lente e depois utilizarmos

uma segunda lente para recompormos a imagem do objeto, poderemos alterar esta imagem.

Assim, se cortarmos as baixas frequências espaciais (colocando um anteparo no eixo óptico), estaremos aumentando o contraste da imagem, e deixando passar só o centro podermos filtrar ruídos ou diminuir o contraste da imagem. Um exemplo deste processamento pode ser visto na Figura 5.14.

Figura 5.14 Exemplo de processamento de Imagens

Por outro lado esta característica dos sistemas pode ser utilizada também para reconhecimento de padrões uma vez que a transformada não depende da posição individual do objeto e sim de sua forma. Um exemplo disto é mostrado na Figura 5.15

Figura 5.15 Exemplo de reconhecimento de Padrões