Lista 7 de Exercícios de Cálculo I

Lista de Exercícios de Cálculo I 

Professor Rodrigo 

Turma T03 

Máximos e Mínimos, Esboço de Gráficos, Otimização e L`Hospital ‐ 7ª Lista 

1) Encontre todos os pontos críticos das funções abaixo:

a) f(x) = −x2 +3x

b) f(x) = x3 −3x2

c) f(x) = 33 x2 −x2

d) f(x) = 3 x

x 2

2

+

e) f(x) = x4 −2x2

f) f(x) = −3x x−1

2) Qual a interpretação geométrica para:

a) ponto crítico c, tipo raiz da derivada, ou seja, f `(c) = 0.

b) ponto crítico c, do tipo ilimitação, ou seja, =∞ → f`(x) lim

c

x .

c) ponto crítico c, para o qual existe f (c), mas não existe f `(c).

3) Dê ao menos um exemplo de funções (escreva sua lei de correspondência) que:

a) Não possua pontos críticos, com domínio em IR .

b) Possua infinitos pontos críticos, com domínio em IR .

c) Possua ponto crítico tipo tangente vertical, mas não possua ponto crítico tipo tangente hori-zontal, com domínio em IR + .

d) Não possui nem máximo nem mínimo, absoluto ou relativo, com domínio em IR .

e) Não possui nem máximo nem mínimo, absoluto ou relativo, com domínio em IR + .

f) Não possui nem máximo nem mínimo, absoluto ou relativo, com domínio em IR e imagem em IR + .

g) Possua máximo absoluto, mas não possua mínimo absoluto, com domínio em IR .

h) Possua pontos críticos, mas não possuam nem máximo nem mínimo, com domínio em IR .

5) Encontre os pontos críticos e classifique-os (máximo, mínimo e ponto de inflexão) usando os tes-tes de primeira e segunda derivada.

a) y = 40 – 6x + x2

b) y = 2x2 – x3

c) y = x5 + 5x3 + 5

d) y = k⋅e−x22

e) y = x + 1/x

f) C = q3 – 9q2 + 40q + 50

g) f(x) = ₂− 3

( )

h) f(x) = 4x 10 3

x 2

3

+ + −

i) f(x) = 1 x

x 2

2+

6) Faça um esboço do gráfico das funções abaixo, para tal fim, encontre seu domínio e imagem, marque caso existam: suas interseções com os eixos x e y, seus máximos e mínimos relativos, pon-tos de inflexão, assíntotas e ponpon-tos de descontinuidade.

a) y=−x3−3x2+3

b) 4 3

x 4 x 3

y= +

c) y=x 4−x

d) y=3x23−2x

e) 3

2 x

1

y −

− =

f)

1 x

x 2 y ₂

− =

7) De todos os retângulos de comprimento fixo L, qual possui maior área? Determine a base e a altura de tal retângulo.

8) Dentre os retângulos com base no eixo x e vértices superiores sobre a parábola y = 12 – x2 , de-termine o de área máxima (base e altura).

10) A potência P de uma bateria de um automóvel é dada por P = VI – I2R, sendo I a corrente para uma voltagem V e resistência interna da bateria R. São constantes V e R. Que corrente corresponde à potência máxima?

11) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo (raio da base e altura).

12) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes. Com uma das partes faz-se uma circunferência e com a outra um quadrado. Determine o raio da circunferência e o lado do quadrado para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima.

13) Um construtor deseja construir um depósito com as seguintes características: capacidade de 30 m3, teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R$ 36,00 para o chão, R$ 204,00 para os lados e R$ 102,00 para o teto. Quais as dimensões do depósito que minimizarão o custo?

14) Resolva os limites usando a regra de L`Hospital:

a) 9 x x 15 x 5 lim ₂ 2 3 x − − → b) 1 x 1 x lim ₂ 4 1 x − − →

c)

( )

( )

d)

( )

( )

x sen lim

0

x→ +

e)

( )

( )

i) lim e x x

x − ∞ → j) x x _x 1 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → k) x 0 x x lim →

l) 1x

0 xlim→ x

m) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − +

→ x 1

1 ) x ln( 1 lim 1 x

n)

(

)

0

x e x

lim +