ELISSON DO AMOR DIVINO LIMA
ESTIMATIVA DA TAXA DE ERRO DE BIT EM MODELOS DE PROPAGAÇÃO MICROCELULARES PARA LINHA DE VISADA
FEIRA DE SANTANA
2013
ESTIMATIVA DA TAXA DE ERRO DE BIT EM MODELOS DE PROPAGAÇÃO MICROCELULARES PARA LINHA DE VISADA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao curso de Graduação em Engenharia de Computação da Universidade Estadual de Feira de Santana para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia de Computação.
Orientador: Prof. Dr. Edgar Silva Júnior
FEIRA DE SANTANA
2013
"Nossas dádivas são traidoras e nos fazem perder o bem que poderíamos conquistar, se não fosse o medo de tentar"
William Shakespeare
Este trabalho apresenta a implementação, em software, da taxa de erro de bit (BER, do inglês, bit error rate), bem como a aplicação deste cálculo aos modelos de propagação microcelulares. Como resultado deste trabalho tem-se um software capaz de calcular a BER, ou seja, a probabilidade de acontecer o erro de um bit, não só para configurações fictícias, mas para guias de ondas reais nas quais as suas informações (largura da rua principal, largura das ruas transversais, posição do transmissor, e entre outras configurações) podem ser carregadas através de um arquivo de dados, e os resultados da BER são apresentados em gráficos. Enfim, os modelos de propagação já são uma importante ferramenta para a simulação da potência do sinal com relação aos parâmetros geométricos de sistemas de telefonia celular em software, e nesse contexto, a BER fornece mais informações a respeito da qualidade dos sistemas, e com isso, melhora o processo de tomada de decisão nos projetos desses sistemas.
Palavras-chave: BER. Sistema de Telefonia Celular. Modelos de Propagação. Microcélulas
Lineares. Linha de Visada.
This work presents the implementation in software of the bit error rate (BER), and the application of this calculation to the models of microcellular propagation. As a result of this work has a software capable to calculate the BER, i.e., the probability of error happens a bit, not only for fictional settings, but for real waveguides in which its information (width of the main street, width of the cross streets, position transmitter, and among other settings) can be loaded via a data file, and the results of the BER are presented in graphs. Finally, the propagation models are now an important tool for the simulation of signal strength with respect to the geometric parameters of cellular systems in software, and in that context, the BER provides more information about the quality of the systems, and thus improves the process of decision making in projects of such systems.
Keywords: BER. Cellular System. Propagation Models. Linear microcells. Line of Sight.
Figura 1 - Sistema de telefonia móvel. ... 13
Figura 2 - Esquema de células. ... 16
Figura 3 - Avenida Lexington, NY (Vista superior). ... 17
Figura 4 - Estrutura geométrica do guia de ondas. ... 18
Figura 5 - Geometria de incidência direta. ... 21
Figura 6 - Geometria do raio refletido no solo. ... 21
Figura 7 - Geometria de múltiplas reflexões laterais com n ímpar reflexões e 1ª reflexão superior - Polarização Horizontal. ... 22
Figura 8 - Esquema de difração na n-ésima borda (n ímpar) na parte inferior do guia de ondas – Polarização Vertical. ... 23
Figura 9 - Esquema de difração na n-ésima borda (n ímpar) na parte inferior do guia de ondas – Polarização Horizontal. ... 23
Figura 10 - Esquema de difração na n-ésima borda (n ímpar) posterior ao receptor na parte inferior do guia de ondas – Polarização Horizontal. ... 24
Figura 11 - Esquema de difração na n-ésima borda à esquerda do transmissor (n ímpar) na parte inferior do guia de ondas – Polarização Vertical. ... 25
Figura 12 - Comparação ente valor medido e calculado pelos modelos para a Avenida Lexington, NY. ... 25
Figura 13 - Formas de ondas ilustrativas para os tipos de chaveamento: (a) Chaveamento de amplitude; (b) Chaveamento de fase; (c) Chaveamento de frequência. ... 26
Figura 14 - Modelo funcional de um sistema de transmissão digital. ... 27
Figura 15 - Diagrama de espaço do sinal de um sistema BPSK... 29
Figura 16 - Diagrama de blocos para o transmissor BPSK. ... 29
Figura 17 - Diagrama de blocos para o receptor BPSK. ... 30
Figura 18 - Diagrama de espaço do sinal de um sistema QPSK. ... 32
Figura 19 - Diagrama de blocos para o transmissor QPSK. ... 33
Figura 20 - Diagrama de blocos para o receptor QPSK. ... 34
Figura 21 - Sinais desejado e interferentes em uma microcélula. ... 35
Figura 22 - Representação fasorial da relação (18). ... 37
Figura 23 - Determinação do integrando em (21). ... 38
Figura 24 - Determinação do valor Φ em (21). ... 39
Figura 27 - Etapas do processo de cálculo da BER. ... 45
Figura 28 - Resultado dos modelos de propagação para uma situação fictícia. ... 48
Figura 29 - Espelhamento do perfil de radiação para o lado esquerdo do transmissor. ... 49
Figura 30 - Sobreposição dos sinais desejado e interferentes. ... 50
Figura 31 - Simulação para D = 250 m, n = 1 e d = 24,35 m. ... 53
Figura 32 - Simulação para D = 250 m, n = 2 e d = 24,35 m. ... 54
Figura 33 - Simulação para D = 250 m, n = 3 e d = 24,35 m. ... 55
Figura 34 - Simulação para D = 250 m, n = 4 e d = 24,35 m. ... 56
Figura 35 - Comportamento da BER BPSK Média com relação a variação de D e n (d = 24,35 m). ... 57
Figura 36 - Comportamento da BER BPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 24,35 m). ... 57
Figura 37 - Comportamento da BER QPSK Média com relação a variação de D e n (d = 24,35 m). ... 58
Figura 38 - Comportamento da BER QPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 24,35 m). ... 59
Figura 39 - Comportamento da BER BPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 20,00 m). ... 60
Figura 40 - Comportamento da BER QPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 20,00 m). ... 60
Figura 41 - Comportamento da BER BPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 15,00 m). ... 61
Figura 42 - Comportamento da BER QPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 15,00 m). ... 61
Figura 43 - Comportamento da BER BPSK Média com relação a variação de D e n, e n no intervalo [2, 8] (d = 10,00 m). ... 62
Figura 44 - Comportamento da BER QPSK Média com relação a variação de D e n, e n no
intervalo [2, 8] (d = 10,00 m). ... 62
Tabela 1 - Pontos de mensagem de sistema QPSK. ... 32
Tabela 2 - Comportamento da BER (BPSK e QPSK) na 22nd Street. ... 64
Tabela 3 - Comportamento da BER (BPSK e QPSK) na Avenida Lexington. ... 64
n R d D N C x S I
1I
2I Re Pr Φ h k
cΔx k
I_1k
1_2Fator de reuso Fator de reuso global
Largura do guia de ondas, em metros Largura da microcélula, em metros
Quantidade de canais disponíveis para o sistema, em determinada direção Capacidade de usuários por quilômetro quadrado
Distância em relação ao transmissor, em metros Sinal desejado
Sinal interferente à esquerda Sinal interferente à direita Soma dos sinais interferentes Parte real de um número complexo Probabilidade condicional
Limite de integração para o cálculo da taxa de erro de bit Passo de integração utilizado no método numérico
Quantidade de amostras para cada lado do transmissor em uma microcélula Distância entre cada amostra de uma microcélula, em metros
Posição do transmissor do sinal interferente à esquerda
Posição do transmissor do sinal interferente à direita
1 INTRODUÇÃO ... 11
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 13
2.1 Sistema de telefonia móvel ... 13
2.1.1 Célula ... 14
2.1.2 Hand-off (Handover) ... 15
2.2 Reuso de frequências ... 15
2.3 Guia de ondas ... 16
2.4 Microcélulas lineares ... 17
2.4.1 Análise geométrica ... 17
2.4.2 Análise da capacidade ... 19
2.5 Modelos de propagação microcelulares... 20
2.6 Técnicas de Modulação Digital ... 26
2.6.1 Modelo de transmissão em banda passante ... 27
2.6.2 Modulação por chaveamento de fase binária (BPSK)... 27
2.6.2 Modulação por chaveamento de quadrifase (QPSK) ... 30
2.7 Taxa de Erro de Bit (BER) ... 34
2.7.1 Inferência do sinal desejado e sinais interferentes ... 34
2.7.2 Fórmula da BER ... 36
2.8 Integração Numérica ... 41
2.8.1 Regra do Trapézio ... 42
3 METODOLOGIA ... 45
3.1 Etapas do processo de cálculo da BER ... 45
3.2 Implementação das funções de cálculo da BER ... 47
3.3 Integração do cálculo da BER aos modelos de propagação ... 48
3.4 Cálculo da BER média ... 51
4 RESULTADOS ... 52
4.1 Simulações em configurações fictícias ... 52
4.1.1 Comportamento da BER com relação a variação do fator de reuso ... 52
4.1.2 Comportamento da BER com relação a variação do tamanho da microcélula e do fator
de reuso ... 56
4.2.1 Aplicação da BER à 22nd Street, NY ... 63
4.2.2 Aplicação da BER à Avenida Lexington, NY ... 64
5 CONCLUSÕES ... 66
REFERÊNCIAS ... 68
1 INTRODUÇÃO
Como resultado do rápido crescimento na demanda de usuários e dos serviços de terceira geração (3G), tais como: transmissão multimídia, acesso à internet, e agora, TV Digital; o espectro de frequência tem se tornado cada vez mais escasso, principalmente em áreas mais densas e populosas. Dessa forma, o reuso de frequências é uma necessidade atual para as telecomunicações. A fim de reutilizar frequências, uma solução possível é o esquema de microcélulas nas faixas de frequências UHF e Microondas.
Uma vez que existam modelos de propagação apurados, de forma que, o sinal possa ser predito, então a cobertura de cada microcélula e a interferência entre microcélulas vizinhas pode ser calculada, permitindo o planejamento de quão distante duas dessas microcélulas devem estar uma da outra, para que exista, entre elas, um nível aceitável de interferência que possibilite o reuso das freqüências utilizadas. Isso possibilita um aumento do número de usuários bem como da taxa de transmissão de dados para cada usuário (SILVA, 2007).
A propagação de ondas de rádio em microcélulas em ambientes rurais e rodovias é diferente da propagação em áreas urbanizadas, pois nas grandes cidades as paredes das construções ou prédios formam guias de ondas, onde os raios, oriundos da antena transmissora, refletem e/ou difratam até chegar ao receptor que está presente na mesma rua onde se encontra a citada antena transmissora, ou seja, com linha de visada (LOS, do inglês Line of Sight).
Dois fatores devem ser considerados sobre um guia de ondas. O primeiro é que, como citado anteriormente, nesta configuração muitos raios atingem o receptor (raio direto, raios refletidos e/ou difratados nas bordas dos prédios, raio refletido no solo, entre outras combinações possíveis). Isso possibilita que uma antena transmissora de menor potência possa ser usada, resultando em economia de potência. O segundo fator diz respeito à estrutura regular de prédios de ruas e avenidas nos centros urbanos, facilitando a análise matemática.
Esses dois fatores citados favorecem a construção de modelos de propagação com linha de visada. (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
Modelos de propagação para microcélulas em LOS foram propostos por Silva (2007),
e Silva, Lima e Carrijo (2011). Este trabalho visa obter estimativas da Taxa de Erro de Bit
(BER, do inglês, bit erro rate) para os parâmetros de propagação obtidos nesses modelos, ou
seja, obter uma estimativa da qualidade da transmissão de dados dessas microcélulas
modeladas através da citada BER. A BER será calculada para um usuário estacionário, em
diversas distâncias entre o terminal móvel da Estação Rádio-Base (ERB) (AMITAY;
GREENSTEIN; OWENS, 1992). A importância desse trabalho é que, como os modelos de propagação, e, também a BER, podem ser simulados em computador, o planejamento pode ser realizado sem a necessidade de instalação do hardware e medição, e nesse contexto, a BER é mais uma ferramenta para ajudar no projeto de sistemas de telecomunicações, pois fornece mais informações acerca da qualidade da transmissão digital.
A sequência deste trabalho está dividida em cinco seções, sendo elas: Fundamentação
Teórica, que está definida na Seção 2, e apresenta os conceitos necessários para compreensão
deste trabalho; Metodologia, na Seção 3, que descreve os passos para a implementação das
funções de cálculo da BER e aplicação aos modelos de propagação; Resultados, na Seção 4,
onde são mostrados os gráficos da BER calculada para várias situações e as discussões a
respeito; e Conclusões, posta na Seção 5, onde se encontram as considerações a respeito do
trabalho realizado e os resultados encontrados.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nesta seção é realizada uma fundamentação teórica sobre os assuntos necessários para a compreensão deste trabalho, sendo eles: sistema de telefonia móvel, reuso de frequências, guia de ondas, microcélulas lineares, modelos de propagação microcelulares, técnicas de modulação digital, taxa de erro de bit e integração numérica.
2.1 Sistema de telefonia móvel
Um sistema de telefonia móvel típico é composto por central de comutação e controle (CCC), estação rádio-base (ERB) e a estação rádio-móvel (EM), como mostra a Figura 1. A seguir estes elementos do sistema são analisados.
Figura 1 - Sistema de telefonia móvel.
Fonte: LOPES, 2010.
A central de comutação e controle (CCC) é, como o próprio nome indica, o centro de controle de um sistema de telefonia móvel. Suas principais funções são: prover uma interface entre a rede telefônica e o sistema de celular; comunicar-se com outros sistemas celulares;
controlar as estações rádio-bases; monitorar e controlar as chamadas; interligar as várias
estações rádio-bases; supervisionar o estado do sistema; controlar e comutar o hand-off de
chamadas (processo que será abordado posteriormente); e administrar o sistema (LOPES,
2010).
A estação rádio-base (ERB) é a interface entre as estações móveis e a central de comutação e controle. As principais funções de uma ERB são: prover a interface de rádio entre as estações móveis e o sistema; converter sinais de rádio em sinais de áudio, vídeo, texto, etc., e vive-versa; controlar e informar as estações móveis em sua área de cobertura;
verificar e reportar a qualidade do sinal em sua área de cobertura; verificar e reportar a presença de novas estações móveis em sua área; e responder a comandos recebidos da central de comutação e controle. Como demonstrado na Figura 1, cada ERB é conectada a CCC via enlace cabeado e possui uma antena transmissora, com a qual se comunica via enlace de rádio com as estações móveis, que serão descritas a seguir (LOPES, 2010).
A estação móvel (EM) é o terminal móvel do usuário ou assinante. Estes podem ter diversas funções, que dependem da marca e modelo, porém suas funções básicas são prover a interface entre o usuário e o sistema; converter sinais de áudio, vídeo, texto, etc., em sinais de radiofrequências (RF) e vice-versa; alertar o usuário sobre chamadas recebidas; e alertar o sistema sobre tentativas de novas chamadas (LOPES, 2010).
2.1.1 Célula
Pode-se observar na Figura 1, que o alcance da antena transmissora é limitado. Sendo assim, a ERB atende a uma área específica, que se chama célula, representada, na citada figura, como uma elipse. Sendo assim, quanto maior o tamanho da célula atendida pela ERB, maior potência será necessária no transmissor. Existem dois tipos principais de células, a macrocélula e microcélula.
A macrocélula é um tipo de célula projetada para serviços de telefonia móvel para ambientes outdoor em regiões urbanas, suburbanas e rurais com média densidade de tráfego.
Na macrocélula, a ERB cobre uma grande área geográfica, possuindo raio igual ou superior a
1 km, podendo ser identificada nas cidades através das torres de sustentação que servem como
base para as antenas transmissoras. Há dois tipo de macrocélulas, a unidirecional, que
transmite os sinais de radiofrequência em todas as direções, e a setorizada, que transmite os
sinais de radiofrequência em uma direção específica. Portanto, conclui-se que, nesta
configuração, a ERB opera com alta potência de saída para atender essa grande área de
cobertura (BARCLAY, 2013; TELECO, 2010).
A microcélula, por conseguinte, é projetada para alta densidade de tráfego, pode ser instalada em regiões urbanas e suburbanas tanto para ambientes outdoor como indoor. A microcélula que opera com potência de saída bem mais baixa em relação à macrocélula, tem uma área de cobertura com raio até 500 m, e é normalmente posicionada em postes da rede elétrica, e, topos e paredes dos prédios. As microcélulas são usadas para suprir tráfego em regiões de alto fluxo de usuários, que pode ser feito de forma eficiente com a reutilização de frequências (BARCLAY, 2013; TELECO, 2010). Na Seção 2.2 é analisado o motivo do reuso de frequência ser apropriado ao esquema de microcélulas.
2.1.2 Hand-off (Handover)
No momento em que acontece um deslocamento de uma EM dentro de uma célula, a EM pode ultrapassar o limite de atuação desta célula e acabar por ficar mais próxima a uma ERB de outra célula. Neste momento deve acontecer um hand-off, também conhecido como handover, que é, justamente, o processo de transferir uma EM de uma ERB para outra. Este processo inclui a alocação de um canal na nova célula (BOROS, 2010). Outra possibilidade de ocorrência do hand-off é quando ocorre uma situação onde o sinal fornecido pela célula ao qual o assinante está alocado não atende às condições mínimas para a continuação da comunicação, por motivo de problemas na transmissão da ERB, então o hand-off poderá ser solicitado para a célula mais próxima. (TELECO, 2010).
2.2 Reuso de frequências
Na Figura 2, pode-se observar uma determinada área geográfica coberta por células, representadas por hexágonos.
Sabe-se que, cada EM que esteja utilizando os serviços de telefonia, em determinado
instante, deve estar alocada em um canal, ou faixa de frequência, da célula. Porém, o espectro
de frequência para as operadoras é limitado, isso acaba por gerar um limite de usuários em
uma dada célula, uma vez que, duas estações móveis não podem utilizar a mesma faixa de
frequência em um determinado instante.
Figura 2 - Esquema de células.
Fonte: TELECO, 2010.
Uma solução para aumentar esse limite é, ao invés de se ter somente uma ERB irradiando em alta potência por toda região, como acontece no esquema de macrocélulas, se ter várias antenas espalhadas numa área, como mostrado na Figura 2, trabalhando com potências menores (microcélulas), e otimizando a utilização do espectro de frequências disponíveis, pois, uma vez que haja entre duas dessas microcélulas uma distância suficiente para que se tenha um nível aceitável de interferência, estas células podem utilizar a mesma faixa de frequência em determinado instante; isso é o que se chama de reuso de frequência (SANTOS, 2010).
Neste contexto se inserem os modelos de propagação, pois através destes que se pode prever a área de cobertura de cada célula, levando-se em consideração as características da região, configuração da antena transmissora, e a posição da EM, e, por conseguinte, pode-se calcular a interferência de uma célula sobre as demais.
2.3 Guia de ondas
Muitas ruas ou avenidas de grandes cidades estão em torno de uma estrutura bem
regular de prédios, como por exemplo a Avenida Lexington (ver Figura 3), ou seja, ruas ou
avenidas retas, combinadas com transversais perpendiculares. Como consequência dessa
regularidade, se uma antena transmissora for posicionada nesta avenida, os raios emitidos por
esta, refletem e/ou difratam nas superfícies e/ou bordas dos prédios ao longo da avenida. Isso
acaba por concentrar os raios emitidos pela antena na avenida, aumentando, portanto, o
aproveitamento do sinal irradiado ao longo desta. Por manter os raios ao longo da via, essa configuração é denominada guia de ondas (SILVA, 2007).
Figura 3 - Avenida Lexington, NY (Vista superior).
Fonte: Programa Google Earth 5.1.
2.4 Microcélulas lineares
Uma célula instalada ao longo de um guia de ondas é denominada de microcélula linear (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992). Esta configuração traz dois benefícios. O primeiro é que em um guia de ondas a antena transmissora pode trabalhar com potência menor, e, além disso, os guias de ondas, por possuírem uma estrutura bem regular, facilitam a análise matemática, como acontece nos modelos de propagação microcelulares (SILVA, 2007). Entre estes modelos destacam-se os modelos de propagação desenvolvidos por Silva (2007) e por Silva, Lima e Carrijo (2009), que foram tomados como fonte de dados para este trabalho.
2.4.1 Análise geométrica
A Figura 4, a seguir, mostra uma cidade fictícia contendo microcélulas lineares, sendo
que, os quadrados preenchidos representam os quarteirões, o espaço entre eles representam as
ruas e/ou avenidas desta cidade, e os pontos entre os mesmos quarteirões representam as
antenas transmissoras, que podem ser instaladas em postes, laterais dos prédios, entre outros lugares elevados em relação ao plano da rua. Nesta figura, a rua ADAMS ST contém duas antenas transmissoras, nomeadas de Site 1 e Site 2, que formam as microcélulas lineares Célula 1 e Célula 2, respectivamente (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
Figura 4 - Estrutura geométrica do guia de ondas.
Fonte: AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992.
Para uma distribuição uniforme dos assinantes, deve-se supor que metade dos canais de frequências disponíveis está distribuída entre os assinantes do serviço de telefonia nas ruas horizontais (direção leste-oeste), e que a outra metade está distribuída entre os assinantes nas ruas verticais (direção norte-sul) (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
Considerando um assinante próximo ao transmissor Site 1, pode-se dizer que, este assinante está na Célula 1, e para este assinante é alocado um canal de frequência f
1. Se este assinante se mover no sentido leste, e manter esse movimento, em um determinado instante o assinante estará mais próximo do Site 2 em relação ao Site 1, neste momento acontece o hand-off, como discutido anteriormente, e para este assinante é alocado um novo canal de frequência f
2na Célula 2, onde f
2é obrigatoriamente diferente de f
1. Caso contrário, haveria interferência cocanal entre os assinantes da Célula 1 e Célula 2.
Para evitar interferência cocanal, células próximas não operam na mesma faixa de
frequência. Então, para evitar este tipo de interferência utiliza-se o fator de reuso linear (n),
que determina a distância necessária entre duas microcélulas para que seja possível utilizar a
mesma faixa de frequência. Sendo assim, se, por exemplo, nesta situação discutida no
parágrafo anterior o fator de reuso for n = 5, então a cada 5 células é possível reutilizar a mesma faixa de frequência, ou seja, na Célula 6 seria possível utilizar a mesma faixa de frequência da Célula 1 (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
Segundo Amitay, Greenstein e Owens (1992) a mesma faixa de frequências utilizada na rua ADAMS ST pode ser reutilizada em ruas paralelas, como as ruas ARK ST, PEARL ST, etc., e da mesma forma, a mesma faixa de frequências utilizada na rua GREEN ST pode ser reutilizada em ruas paralelas, como BAY ST, MAIN ST, etc. Isso acontece, pois, o
"sombreamento" ocasionado pelas construções é suficiente para manter o ruído termal e interferência cocanal, das ruas paralelas, em níveis baixos, e portanto, aceitáveis.
Considerando as ruas horizontais e verticais, o fator de reuso global para este esquema apresentado é R = 2∙n, ou seja, a faixa de frequências disponível para uma microcélula é 1/R (ou 1/[2∙n]) do total alocado para o sistema. A escolha do valor n é uma decisão de projeto, que deve levar em conta a relação de compromisso (do inglês, tradeoff) entre capacidade e qualidade, pois quanto maior o valor de n, menor a interferência cocanal entre as microcélulas lineares, porém diminui a capacidade de usuários, uma vez que, a possibilidade de reuso de frequências diminui (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
2.4.2 Análise da capacidade
Para determinar a capacidade potencial de usuários em microcélulas lineares, assume- se uma estrutura regular de ruas e quarteirões, como mostrado na Figura 4, com distância d (em metros) entre os quarteirões. Considerando ainda que, o valor D (em metros) representa o tamanho da célula, ou seja, a distância entre as antenas ao longo da rua; e o valor N representa a quantidade de canais de frequências disponíveis entre os usuários em uma direção específica (leste-oeste ou norte-sul), é possível determinar a capacidade de usuários (C), como mostrado a seguir (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
Uma vez que, a quantidade de canais de frequências para cada microcélula é dada por (2∙N)/R, pode-se obter a capacidade de usuários por unidade de área através da divisão dessa quantidade de canais por microcélula pela área da micrócelula linear, que, por sua vez, é o produto da largura da microcélula (D) pela largura da rua (d) (AMITAY; GREENSTEIN;
OWENS, 1992). A equação da capacidade é apresentada em (1).
= ∙ 10 á ⁄ (1)
Considerando, por exemplo, uma situação prática onde tem-se um sistema com largura de banda total, para microcélulas em ruas horizontais, de 12.5 MHz, com canais de 30 KHz e três usuários TDMA por canal, conclui-se que, o valor de N seria 1250. Assumindo ainda o valor de R = 8 (n = 4), D = 250 m e d = 24 m, obtém-se uma capacidade de aproximadamente 52083 usuários/km² (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
2.5 Modelos de propagação microcelulares
Considerando um transmissor S com dipolo ideal posicionado em um guia de ondas, como, por exemplo, o guia de ondas mostrado na Figura 3. Os raios oriundos deste transmissor atingem o receptor P, posicionado no mesmo guia, de várias formas. Estas formas são: diretamente; com reflexão no solo, com múltiplas reflexões nas laterais do guia de ondas, com difrações nas bordas das construções, através de combinações de reflexões e difrações, e entre outras formas. Portanto o sinal obtido no ponto de recepção P é o somatório da contribuição de cada uma das formas de percursos (SILVA, 2007).
Os modelos de propagação microcelulares (modelos de múltiplos percursos) visam obter a contribuição das várias formas de percurso ou raios que chegam ao receptor, através da análise geométrica dos percursos e posterior implementação em software. Estes modelos não consideram todas as possibilidades de raios que chegam ao receptor. Isto não é possível devido a grande quantidade de possibilidades. No entanto, os modelos de propagação buscam analisar os raios que mais contribuem para o sinal (SILVA, 2007).
Nesta seção serão analisados os modelos de propagação propostos por Silva (2007) e
por Silva, Lima e Carrijo (2011), pois estes modelos foram utilizados neste trabalho para
encontrar o padrão de variação da potência do sinal para as configurações analisadas. Estes
modelos foram escolhidos pois, em Silva (2007) foram realizadas comparações com outros
modelos de propagação, mostrando que os modelos utilizados neste trabalho foram os que
mais se aproximaram do valor medido. A Figura 5 apresenta a modelagem para raio direto,
que segundo Silva (2007), é raio que mais contribui para o sinal no ponto de recepção.
Figura 5 - Geometria de incidência direta.
Fonte: SILVA, 2007.
A Figura 6 apresenta a modelagem para o raio refletido no solo. No trabalho proposto por Silva (2007), foi mostrado que o conjunto dos raios direto e refletido no solo, chamado de Modelo de dois raios é adequado para modelagem em ambientes rurais, porém, os modelos de raios direto e refletido no solo também se aplicam em guia de ondas em conjunto com outros modelos, que acontecem em ambientes urbanos envolvendo reflexões e difrações.
Figura 6 - Geometria do raio refletido no solo.
Fonte: SILVA, 2007.
A Figura 7 apresenta um exemplo modelo para múltiplas reflexões, sendo que, neste caso, o número de reflexões é ímpar e a primeira reflexão é na parte superior do guia de ondas. Este modelo é um exemplo de um total de oito configurações possíveis para múltiplas reflexões laterais, considerando que, para cada caso: o número de reflexões pode ser ímpar ou par; a primeira reflexão pode ser na parte superior ou inferior do guia de ondas; e a polarização do transmissor pode ser vertical ou horizontal, em relação ao plano da rua (SILVA, 2007).
Figura 7 - Geometria de múltiplas reflexões laterais com n ímpar reflexões e 1ª reflexão superior - Polarização Horizontal.
Fonte: SILVA, 2007.
No trabalho proposto por Silva, Lima e Carrijo (2011) foi realizada a modelagem do
raios difratados em um guia de ondas. Sendo assim, os modelos de difração foram
adicionados aos modelos de raio direto, refletido no solo e múltiplas reflexões desenvolvidos
em Silva (2007). A Figura 8 apresenta um esquema de difração na n-ésima borda ímpar, na
parte inferior do guia do guia ondas com polarização vertical do transmissor.
Figura 8 - Esquema de difração na n-ésima borda (n ímpar) na parte inferior do guia de ondas – Polarização Vertical.
Fonte: SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011.
Para cada configuração de difração existem as possibilidades com a polarização vertical e horizontal do transmissor, sendo assim, a Figura 9 apresenta a configuração correspondente ao modelo apresentado na Figura 8, com a polarização horizontal do transmissor
Figura 9 - Esquema de difração na n-ésima borda (n ímpar) na parte inferior do guia de ondas – Polarização Horizontal.
Fonte: SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011.
Uma possibilidade de configuração do modelos de difração é a posição de recepção ser anterior a borda onde houve a difração, a Figura 10 apresenta um modelo com essa característica (SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011).
Os modelos de difração apresentados, onde a borda da difração está do mesmo lado do ponto de recepção considerando a antena transmissora com referência, totalizam dezesseis configurações possíveis, considerando que, para cada caso: o número da borda de difração pode ser ímpar ou par; a borda da difração pode ser na parte inferior ou superior do guia de ondas; a polarização do transmissor pode ser vertical ou horizontal, em relação ao plano da rua; e o ponto de recepção pode ser posterior ou anterior ao ponto de recepção (SILVA;
LIMA; CARRIJO, 2011).
Figura 10 - Esquema de difração na n-ésima borda (n ímpar) posterior ao receptor na parte inferior do guia de ondas – Polarização Horizontal.
Fonte: SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011.
Por fim, outra possibilidade é a borda da difração estar do lado oposto ao lado do
ponto de recepção, um exemplo com essa característica é mostrado na Figura 11. Esses casos
totalizam oito configurações possíveis, considerando que, para cada caso: o número da borda
de difração pode ser ímpar ou par; a borda da difração pode ser na parte inferior ou superior
do guia de ondas; e a polarização do transmissor pode ser vertical ou horizontal, em relação
ao plano da rua (SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011).
Figura 11 - Esquema de difração na n-ésima borda à esquerda do transmissor (n ímpar) na parte inferior do guia de ondas – Polarização Vertical.
Fonte: SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011.
A validação dos modelos de propagação propostos por Silva (2007), e Silva, Lima e Carrijo (2011) foi realizada através da comparação da potência do sinal calculado pelos modelos com o valor medido em determinados guias de ondas. A Figura 12 apresenta essa comparação para uma microcélula posicionada na Avenida Lexington, em Nova Iork, mostrando que a potência do sinal calculada pelos modelos de propagação está muito próxima do valor medido.
Figura 12 - Comparação ente valor medido e calculado pelos modelos para a Avenida Lexington, NY.
Fonte: SILVA; LIMA; CARRIJO, 2011.
0 200 400 600 800 1000 1200
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
z (meters)
Power obtained from the x-component of the total field
Mean Received Pow er due to Vertical Polarization x z
-.-.- - 1/r2
Averaging Interval = 3 [m]
Power(dB) - 900 MHz - Calculated
Power(dB) - 900 MHz - Measured (Rustako et al.)
2.6 Técnicas de Modulação Digital
Quando é necessário transmitir uma informação digital sobre um canal de banda passante, este fluxo de dados é modulado através de uma onda de portadora (geralmente senoidal), no qual seus limites de frequência são fixos e definido pelo próprio canal passa- faixa utilizado. O dado a ser enviado pode ser a saída de computadores digitais, sinais PCM gerados pela digitalização de voz, sinais de vídeo, entre outros. O canal utilizado, por sua vez, pode ser a linha telefônica, link de rádio, canais de comunicação via satélite, fibra ótica, ou similares (HAYKIN, 1988; HAYKIN, 2004).
A modulação dos sinais digitais, que torna a transmissão possível, pode ser realizada através da comutação ou chaveamento da amplitude, frequência ou fase da portadora senoidal utilizada. Sendo assim, existem três esquemas de sinalização básicos, a saber: chaveamento de amplitude (ASK, do inglês, amplitude-shift keying); chaveamento de frequência (FSK, do inglês, frequency-shift keying); e chaveamento de fase (PSK, do inglês, phase-shift keying) (HAYKIN, 2004). A Figura 13 demonstra o chaveamento realizado na onda de portadora para as modulações ASK, PSK e FSK, considerando um dado fictício enviado. As modulações ASK e FSK não serão analisadas em mais detalhes neste documento, pois não foram aqui utilizadas. E outras formas híbridas de modulação, que combinam os esquemas de modulação básicos aqui mostrados, também não serão discutidas.
Figura 13 - Formas de ondas ilustrativas para os tipos de chaveamento: (a) Chaveamento de amplitude; (b) Chaveamento de fase; (c) Chaveamento de frequência.
Fonte: HAYKIN, 2004.
2.6.1 Modelo de transmissão em banda passante
A Figura 14 demonstra o modelo funcional de um sistema de transmissão digital em banda passante, no qual, supõe-se que haja uma fonte de mensagem que emita um símbolo a cada T segundos, e este símbolo pertença ao alfabeto de M símbolos, os quais indicados por m
1, m
2, ..., m
M(HAYKIN, 2004).
Figura 14 - Modelo funcional de um sistema de transmissão digital.
Fonte: HAYKIN, 2004.
A informação M-ária da fonte de mensagem m
ié enviada a um codificador de transmissão de sinal que produz, por sua vez, o vetor correspondente s
icomposto de N elementos reais, considerando a relação N ≤ M. Tendo o vetor s
icomo entrada o modulador constrói o sinal s
i(t) de duração T segundos para o dado m
igerado pela fonte (HAYKIN, 2004).
No processo de modulação, a partir do vetor s
ié gerado o sinal s
i(t) de duração T segundos para o dado m
igerado pela fonte. O procedimento realizado no receptor para detecção da informação enviada é analisado em detalhes nas seções 2.6.2 e 2.6.3 para as modulações BPSK e QPSK, respectivamente.
2.6.2 Modulação por chaveamento de fase binária (BPSK)
A modulação por chaveamento de fase binária (BPSK, do inglês, binary phase-shift
keying) utiliza o par de sinais s
1(t) e s
2(t) para representar os sinais binários 0 e 1. Os sinais
s
1(t) e s
2(t) são apresentados nas equações (2) e (3) (HAYKIN, 2004).
( ) = cos(2 ) (2)
( ) = cos(2 + ) = − cos(2 ) (3)
Na equações (2) e (3) deve-se considerar a relação 0 ≤ t ≤ T
b, onde T
bé o período de bit; e o valor E
bé a energia do sinal por bit transmitido. E para garantir que cada bit transmitido contenha um número inteiro de ciclos, a frequência de portadora f
cé escolhida a partir da relação n
c/T
bpara qualquer valor inteiro n
c. O par de ondas senoidais que diferem somente de um desvio da fase de 180º, como os sinais s
1(t) e s
2(t), são denominados de Sinais Antipodais.
A partir das equações (2) e (3), percebe-se que, para a modulação BPSK existe somente uma função de base de energia unitária ou função de base ortonormal, definida em (4) (HAYKIN, 2004).
( ) = cos(2 ) (4)
Então, considerando a equação (4), o par de sinais s
1(t) e s
2(t) pode ser reescrito, como a seguir.
( ) = ( ) (5)
( ) = − ( ) (6)
A partir dessa análise, observa-se que, em um sistema BPSK têm-se uma dimensão (N=1) e dois pontos de mensagem (M=2).
Em um sistema BPSK, os pontos de mensagem dos sinais s
1(t) e s
2(t) são dados pelas equações (7) e (8), respectivamente. A Figura 15 apresenta os pontos de mensagem para esse par de sinais, também denominado de Constelação de sinais (HAYKIN, 1988; HAYKIN, 2004).
= ∫ ( ) ( ) = (7)
= ∫ ( ) ( ) = − (8)
Figura 15 - Diagrama de espaço do sinal de um sistema BPSK.
Fonte: HAYKIN, 2004.
A Figura 16 apresenta o diagrama de blocos para o transmissor BPSK. E como demonstrado na figura, a sequência binária de entrada é convertida na forma polar, onde os símbolos 1 e 0 são representados através dos níveis de amplitudes constantes iguais à e
− , respectivamente. Essa conversão é realizada por um codificador polar não retorna a zero (NRZ, do inglês, non return to zero). E por fim, a portadora senoidal é aplicada à onda binária resultante, através do modulador multiplicador, gerando o sinal BPSK desejado (HAYKIN, 2004).
Figura 16 - Diagrama de blocos para o transmissor BPSK.
Fonte: HAYKIN, 2004.
Para detectar a sequência binária enviada pelo transmissor, ao sinal ruidoso x(t) da saída do canal de transmissão é aplicado a um sinal de referência coerente ϕ
1(t) através de um correlacionador. A saída do correlacionador x
1é analisada por um dispositivo de decisão que toma o valor 0 volts como valor de limiar. Sendo assim, como ilustrado na Figura 15, se o valor x
1for maior que zero volts o bit 1 é detectado, senão, se o valor x
1for menor que zero volts o bit 0 é detectado, e, em último caso, sendo o valor de x
1exatamente igual a zero volts, o bit é escolhido aleatoriamente (HAYKIN, 2004). A Figura 17 apresenta o diagrama de blocos para o receptor BPSK.
Figura 17 - Diagrama de blocos para o receptor BPSK.
Fonte: HAYKIN, 2004.
2.6.2 Modulação por chaveamento de quadrifase (QPSK)
Na modulação por chaveamento de quadrifase (QPSK, do inglês, quadriphase-shift
keying) a informação também está contida na fase, a exemplo do que acontece na modulação
BPSK, porém a fase da onda de portadora assume um dentre os quatros valores igualmente
espaçados, tais como: π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4. Então o sinal QPSK transmitido pode ser
definido como na equação (9) (HAYKIN, 2004). A vantagem da modulação QPSK, em
relação a modulação BPSK, é a conservação da largura de banda, e a duplicação da
quantidade bits enviados. Em contrapartida, a probabilidade de erro na transmissão na
modulação QPSK é maior, como mostra a Seção 4.
( ) = cos 2 + (2 − 1) , 0 ≤ ≤
0, á
(9)
Onde i = 1, 2, 3 e 4; E é a energia do sinal transmitido por símbolo; e T é a duração do símbolo. E, assim como na modulação BPSK, para garantir que cada bit transmitido contenha um número inteiro de ciclos, a frequência de portadora f
cé escolhida a partir da relação n
c/T para qualquer valor inteiro n
c. Cada um dos quatros valores possíveis de fase representa um dibit único, sendo que, os dibits são codificados pelo Código de Gray: 10, 00, 01 e 11, onde um único bit é mudado de um dibit para o seguinte (HAYKIN, 2004).
Através da identidade trigonométrica em (10), a equação (9) pode ser expandida como em (11) para o intervalo 0 ≤ t ≤ T:
cos( + ) = cos cos − sin sin (10)
( ) = cos (2 − 1) cos(2 ) − sin (2 − 1) sin(2 ) (11)
Analisando a equação (11), percebe-se que, para a modulação QPSK existem duas funções de base ortonormais, sendo ϕ
1(t) e ϕ
2(t) apresentados nas equações (12) e (13), respectivamente (HAYKIN, 2004).
( ) = cos(2 ) (12)
( ) = sin(2 ) (13)
Então, considerando as equações (12) e (13), os sinais s
i(t) podem ser reescritos, como a seguir.
( ) = √ cos (2 − 1) ( ) − √ sin (2 − 1) ( ) (14)
Portanto, existem quatros pontos de mensagem, e seus vetores sinal associados são apresentados em (15). A Tabela 1 apresenta, de forma detalhada, estes pontos de mensagem (HAYKIN, 2004).
=
√ ( )√ ( )
(15)
Tabela 1 - Pontos de mensagem de sistema QPSK.
i Dibit Fase (radianos)
Coordenadas do ponto de mensagem
s
i1s
i21 10 π/4 ⁄ 2 − ⁄ 2
2 00 3π/4 − ⁄ 2 − ⁄ 2
3 01 5π/4 − ⁄ 2 ⁄ 2
4 11 7π/4 ⁄ 2 ⁄ 2
Fonte: Adaptado de HAYKIN, 2004.
A Figura 18 apresenta os quatro pontos de mensagem para a modulação QPSK. A partir dessa figura, observa-se que em um sistema QPSK têm-se duas dimensões (N=2) e quatro pontos de mensagem (M=4) (HAYKIN, 2004).
Figura 18 - Diagrama de espaço do sinal de um sistema QPSK.
Fonte: HAYKIN, 1988.
A Figura 19 apresenta o diagrama de blocos para o transmissor QPSK. A sequência binária de entrada é convertida na forma polar, por um conversor NRZ, onde os símbolos 1 e 0 são representados através dos níveis de amplitudes constantes iguais à / e − / , respectivamente. Em seguida, essa onda binária passa por um demultiplexador, que a divide para se obter as duas ondas binárias, a
1(t) e a
2(t), que contém a informação de cada bit (o bit ímpar e o bit par do dibit enviado). A cada uma dessas ondas binárias é aplicada uma portadora senoidal, onde as portadoras ϕ
1(t) e ϕ
2(t) estão em quadratura, resultando em um par de sinais BPSK, que são somados para encontrar o sinal QPSK. É importante salientar que, cada bit pode ser detectado independentemente devido à ortogonalidade entre as portadoras senoidais (HAYKIN, 2004).
Figura 19 - Diagrama de blocos para o transmissor QPSK.
Fonte: HAYKIN, 2004.
A Figura 20 apresenta o diagrama de blocos para o receptor QPSK. Para detectar a sequência de dibits enviada pelo transmissor, ao sinal ruidoso x(t) da saída do canal de transmissão é aplicado um par de sinais de referência coerente ϕ
1(t) e ϕ
2(t) através dos correlacionadores. E assim como acontece na modulação BPSK, a saída de cada correlacionador é analisada por um dispositivo de decisão que toma o valor 0 volts como valor de limiar. E como mostrado na Figura 18, está decisão é feita para cada dimensão.
Sendo assim, têm-se dois bits detectados nos canais em fase e em quadratura. Na parte final
da detecção QPSK, esses dois bits detectados são combinados por um multiplexador para se
obter a sequência de dibits original (HAYKIN, 2004).
Figura 20 - Diagrama de blocos para o receptor QPSK.
Fonte: HAYKIN, 2004.
2.7 Taxa de Erro de Bit (BER)
A taxa de erro de bit (BER, do inglês, bit erro rate), proposta por Amitay, Greenstein e Owens (1992), determina a probabilidade de acontecer o erro de um bit em uma transmissão digital. Para o cálculo dessa taxa é necessário saber previamente a potência do sinal desejado e sinais interferentes cocanais. Sendo assim, esta seção apresenta, primeiramente, a forma como os sinais desejado e interferentes são inferidos (Seção 2.7.1), e posteriormente, abordada o desenvolvimento matemático para o cálculo da BER e sua fórmula (Seção 2.7.2).
2.7.1 Inferência do sinal desejado e sinais interferentes
Assumindo x como a distância de um determinado ponto de uma microcélula à sua
respectiva antena transmissora, um dispositivo móvel de um assinante na posição x recebe um
sinal do transmissor ao qual está conectado com potência S(x) e sinais interferentes cocanais
com potências I
1(x) e I
2(x), sendo I
1(x) a interferência da primeira microcélula à esquerda que utiliza a mesma faixa de frequência, e I
2(x) a primeira microcélula à direita. Como discutido anteriormente, a posição das antenas transmissoras dos sinais interferentes I
1(x) e I
2(x) depende do fator de reuso (n) e a largura de cada microcélula (D).
Para o cálculo da taxa de erro de bit, que é discutido na sequência, os sinais desejado e interferentes são inferidos em Amitay, Greenstein e Owens (1992) através da suposição de simetria ilustrada na Figura 21, onde se tem uma onda fictícia que relaciona a potência em função da distância.
Figura 21 - Sinais desejado e interferentes em uma microcélula.
Fonte: AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992.
Considerando que a Célula 0 é a microcélula que propaga o sinal desejado, e o fator
de reuso é n, então, os sinais interferentes cocanais vêm das microcélulas Célula -n e Célula
n. A suposição de simetria proposta considera que a potência do sinal com relação a distância,
mostrada na figura como uma onda contínua, é aproximadamente igual para as três
microcélulas analisadas (Célula 0, e as duas microcélulas interferentes, Célula -n e Célula
n). Isso significa que, a interferência da Célula -n sobre a Célula 0 é considerada igual à
interferência da Célula 0 sobre a Célula n, e também, a interferência da Célula n sobre a
Célula 0 é considerada igual à interferência da Célula 0 sobre a Célula -n. Sendo assim,
mesmo tendo apenas o sinal em função da distância somente para a Célula 0, oriundo dos
modelos de propagação, é possível obter a intensidade dos sinais indesejados nesta célula
através desta aproximação (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992). Na seção seguinte é
mostrado como estes valores inferidos são utilizados para calcular a BER.
2.7.2 Fórmula da BER
O desenvolvimento matemático da BER é mostrado para a modulação BPSK, e seus resultados são estendidos para modulação QPSK. E ao final desta seção, será demonstrado como os sinais S(x), I
1(x) e I
2(x) são utilizados para calcular a BER. É importante salientar que, por conveniência, no restante deste documento o argumento x será ocultado quando os sinais desejado e interferentes forem mencionados, porém fica subentendido que estes valores são em relação a sua distância ao transmissor.
Para a detecção coerente, o receptor realiza a decisão com base na parte real da forma de onda complexa dada pela equação (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992):
( ) = ∑ ∑
,( − − ) (16)
Em (16), i = 0, 1 e 2 correspondem aos índices para sinais desejado, interferente à esquerda e interferente à direita, respectivamente; A
ie ϕ
isão a amplitude e fase associadas ao sinal i, d
m,ié o valor do bit enviado (±1) no m-ésimo período de dado para o sinal i, p(t) é o pulso de saída do receptor banda base , T é o período de símbolo e t
ié o tempo de atraso devido ao percurso para o sinal i. Uma vez que, S, I
1e I
2são as potências dos sinais desejado e interferentes, então = √ e = para i = 1 e 2. Assume-se ainda que, não há ruído ou interferência ao sinal v(t), além dos dois sinais interferentes mencionados; há uma recuperação de portadora ideal (ϕ
0= 0); e ϕ
1e ϕ
2são fases aleatórias uniformemente distribuídas no intervalo (-π, π] (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
Considerando o valor do primeiro dado ou bit do sinal desejado igual a +1, ou seja, d
0,0= +1. Uma correta detecção é feita se a parte real no sinal for maior que zero (Re{v(0)} ≥ 0), e uma detecção incorreta é realizada se Re{v(0)} < 0. A equação (17), determina a forma de onda complexa para o primeiro valor, dadas as considerações apresentadas (AMITAY;
GREENSTEIN; OWENS, 1992).
(0) = √ + + (17)
Em (17), ϕ
1e ϕ
2são fases independentes e aleatórias que variam no intervalo (-π, π].
Neste caso apresentado, a BER é a probabilidade de Re{v(0)} < 0.
A partir de (17), para se obter a interferência total, Amitay, Greenstein e Owens (1992) faz a seguinte definição em (18), onde ( ) representa a interferência total.
+ ≜ ( ) (18)
A Figura 22 mostra a representação fasorial para a relação obtida em (18).
Figura 22 - Representação fasorial da relação (18).
Fonte: Próprio Autor.
Aplicando a Lei do Paralelogramo, como mostrado na Figura 22, o módulo da interferência é dado pela relação em (19).
( ) = + + 2 ∙ ∙ cos ⟹ ( ) = + + 2 cos (19)
Sendo ϕ = ϕ
2- ϕ
1um valor aleatório no intervalo (-π, π]. O ângulo β entre o sinal desejado e o valor da interferência total é também um valor aleatório no intervalo (-π, π].
Considerando as relações obtidas em (17) e (18), o erro de bit ocorre se (AMITAY;
GREENSTEIN; OWENS, 1992):
{ (0)} < 0 ⟹ √ + ( ) < 0 ⟹ ( ) < −√ (20)
A BER é a probabilidade que a condição em (20) aconteça, então a BER é definida em (21). Onde p(ϕ) é a função densidade de probabilidade (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992):
= ∫ ( ) cos < −√ | ( ) ( ) (21)
Na Figura 23, Amitay, Greenstein e Owens (1992) mostra que o integrando em (21) é diferente de zero, se e somente se, I(ϕ) > S. Esta figura apresenta os possíveis valores para
( ) , para o intervalo possível de β, que é o intervalo [0, 2π].
Figura 23 - Determinação do integrando em (21).
Fonte: AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992.
Considerando I(ϕ) > S , então o valor da probabilidade condicional em (21) é dado pela equação (22) (AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992).
= ( − ) 2 ⁄ (22)
O passo seguinte é colocar os valores β
ae β
b, da equação anterior, em função de S e I(ϕ). Então, através da Figura 23, deriva-se a relação (23).
( ) cos = −√ ⟹ = cos −√ ( ) (23)
O raciocínio para encontrar β
bnão pode ser o mesmo utilizado para encontrar β
a, pois a imagem da função arco-cosseno é definida no intervalo [0, π], e a Figura 23 deixa claro que o valor β
bestá no intervalo [π, 2π]. Sendo assim, é utilizada a relação a seguir.
= 2 − (24)
Aplicando as relações (23) e (24) em (22) e fazendo as devidas simplificações têm-se:
= (2 − ) − ⁄ 2 = ( − )⁄ = − cos − ⁄ ( ) ⁄ (25)
Encontra-se a equação final da probabilidade condicional em (27), através da aplicação da identidade trigonométrica apresentada em (26) na equação (25).
cos ( ) + cos (− ) = ⟺ − cos (− ) = cos ( ) (26)
( ) cos < −√ | ( ) = 0, ≥ ( )
cos ⁄ ( ) ⁄ , < ( ) (27)
Uma vez determinado o integrando, é necessário determinar o intervalo de integração em (21), ou seja, a região de ϕ para qual S < I(ϕ). Conclui-se, a partir da Figura 24, que esta região é o intervalo [-Φ, Φ], considerando I
1> I
2(AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992). Esta figura apresenta os possíveis valores para ( ), para ϕ no intervalo [0, 2π].
Figura 24 - Determinação do valor Φ em (21).
Fonte: Adaptado de AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992.
Para determinar o valor de Φ é utilizado a relação apresentada em (28), que analisa a intersecção do sinal desejado com a soma dos sinais interferentes para o intervalo possível de ϕ.
I(Φ) = √ ⟹ I(Φ) = S (28)
Substituindo em (28) a relação (19), e isolando o valor de Φ, tem-se:
+ + 2 cos Φ = S ⟹ Φ = cos (29)
Finalizando o cálculo do valor de Φ, a equação (30) apresenta seu valor considerando também as possibilidades de o sinal desejado ser sempre maior, ou sempre menor, que a soma dos sinais interferentes.
Φ =
⎩ ⎪
⎨
⎪ ⎧ 0, √ > + , √ > −
cos
∙ ∙,
(30)
Substituindo em (21) os resultados combinados das equações (19) e (27), e aplicando o limite de integração encontrado em (30), e ainda considerando p(ϕ) = 1/2π no intervalo (-π, π], tem-se a fórmula da BER para a modulação BPSK(AMITAY; GREENSTEIN; OWENS, 1992):
= ∫ cos
+ + 2 ∙ ∙ cos (31)
Segundo Amitay, Greenstein e Owens (1992) para a modulação QPSK a análise
estatística é a mesma por causa da aleatoriedade uniforme entre ϕ
1e ϕ
2, porém, metade da
potência está em fase e a outra metade está em quadratura. Sendo assim, o valor S nas
equações (30) e (31) devem ser substituídos por S/2. Então, o cálculo da BER para a
modulação QPSK é dado pelas equações (32) e (33).
Φ =
⎩ ⎪
⎨
⎪ ⎧ 0, ⁄ 2 > + , ⁄ 2 > −
cos
⁄∙ ∙
,
(32)
= ∫ cos ( ⁄ 2 )
+ + 2 ∙ ∙ cos (33)
2.8 Integração Numérica
Dada uma equação f(x) contínua no intervalo [a, b] e sua primitiva F(x) conhecida, então a integral definida desta função f(x) é dada por:
= ∫ ( ) = ( ) − ( ) (34)
Como mencionado em Barroso (1987) e em Pilling (2013), existem funções onde a respectiva primitiva não é conhecida, como acontece nas equações (31) e (33); e também, existem outros casos onde não se tem a função a ser integrada definida por uma fórmula analítica, e sim uma relação de pontos. Nestes casos se torna necessária a utilização de métodos numéricos para realizar a integração.
O objetivo dos métodos de integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime de forma razoável no intervalo [a, b], o que torna a integração possível, uma vez que é trivial a integração de polinômios. Entre os métodos existentes, este trabalho utiliza a regra do trapézio. A regra do trapézio é uma entre as fórmulas de Newton- Cortes, sendo que, as fórmulas de Newton-Cortes utilizam o polinômio interpolador de Gregory-Newton, definido em (35) (BARROSO, 1987; PILLING, 2013).
( ) = + ∆ +
( )!
∆ + ⋯ +
( )( )⋯( )!
∆ + (35)
Onde m determina o grau do polinômio e z é dado pela equação (36). E na equação
(36), o valor h determina o passo de interpolação.
= (36)
Em (35), R
mé o resíduo da interpolação. O valor do resíduo é definido em (37), onde ε é um valor indefinido que está no intervalo [a, b] (BARROSO, 1987).
=
( )( )⋯( )( )!
ℎ
( )( ) (37)
2.8.1 Regra do Trapézio
A regra do trapézio utiliza o polinômio de Gregory-Newton com grau um, ou seja, integra por uma reta. Sendo assim, aplicando m = 1 em (35) tem-se (BARROSO, 1987;
GAELZER, 2011):
= ∫ ( ) = ∫ ( + ∆ ) (38)
Em (39) tem-se o valor dx em relação a dz.
= ⟹ = ℎ (39)
A etapa seguinte é obtenção dos limites de integração em relação a z. O limite inferior é dado por a = x
0e a equação (40) apresenta o limite inferior em relação a z. O mesmo raciocínio é realizado para o limite superior, dado por a = x
1, e o limite superior em relação a z é apresentado em (41) (BARROSO, 1987).
= ⟹ = = 0 (40)
= ⟹ = = 1 (41)
Substituindo em (38) o valor de dx apresentado em (39) e aplicando os limites de
integração encontrados em (40) e (41), tem-se a regra dos trapézios, como em (42). A Figura
25 demonstra geometricamente o processo de integração pela regra dos trapézios (BARROSO, 1987).
= ∫ ( + ∆ ) ℎ = ( + ) = [ ( ) + ( )] (42)
Figura 25 - Regra dos trapézios.
Fonte: BARROSO, 1987.
Através da Figura 25, percebe-se que existe uma diferença entre a integral exata de f(x) e a integral encontrada através da regra dos trapézios. Esse erro é denominado de erro de integração ou erro de truncamento, e para determiná-lo é necessário integrar o resíduo de interpolação mostrado em (37). Esse cálculo é apresentado em (43), onde o valor ε está no intervalo [a, b] e f''(ε) representa a derivada de segunda ordem de ε (BARROSO, 1987).
= ∫ = ∫
( )!
( )
