Matemática. Exercícios Divisibilidade/Múltiplos e Divisores: MMC e MDC. Exercícios

Resumão

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Exercícios Divisibilidade/Múltiplos e Divisores:

MMC e MDC

Exercícios

1.

Um estagiário recebeu a tarefa de organizar documentos em três arquivos. No primeiro arquivo, havia apenas 42 contratos de locação, no segundo arquivo, apenas 30 contratos de compra e venda, no terceiro arquivo, apenas 18 laudos de avaliação de imóveis. Ele foi orientado a colocar os documentos em pastas, de modo que todas as pastas devem conter a mesma quantidade de documentos. Além de não poder mudar algum documento do seu arquivo original, deveria colocar na menor quantidade possivel de pastas. O número mínimo de pastas que ele pode usar é?

a) 13 b) 15 c) 26 d) 28 e) 30

2.

Os critérios de divisibilidade fazem parte da Aritmética elementar e são regras simples que permitem verificar se um número é divisível pelo outro. Podemos destacar neste campo, os trabalhos de Étienne Bézout, matemático francês que viveu no século XVIII. Para que o número 5A38B seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 10, os valores de A e de B são respectivamente:

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3.

O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1. cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

2. todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3. não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é a) 2. b) 4. c) 9. d) 40. e) 80

4.

A quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum entre os números a = 540, b = 720 e c = 1800 é igual a a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60

5.

Alice quer construir um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 60 cm x 24 cm x 18 cm, com a menor quantidade possível de cubos idênticos cujas medidas das restas são números naturais. Quantos cubos serão necessários para construir esse paralelepípedo?

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6.

Maria adora séries de televisão e pretende assistir, durante um ano, a todos os episódios (de todas as temporadas e sem pular nenhum episódio) das suas três séries preferidas. Para isso, ela assistirá a três episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-se que cada temporada da série A tem 20 episódios, da série B tem 24 episódios e da série C tem 18 episódios. Nenhuma das três séries tem mais que 365 episódios ao todo. Ela decidiu que começará, hoje, a assistir ao 1° episódio da primeira temporada de cada uma dessas três séries. Maria também sabe que haverá um certo dia X em que conseguirá, coincidentemente, assistir ao último episódio de alguma temporada das três séries. Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo,

a) 12 temporadas completas das três séries. b) 15 temporadas completas da série A. c) 18 temporadas completas da série B. d) 20 temporadas completas da série C.

7.

Considerando os números naturais p e q, diferentes de zero, sobre o máximo divisor comum (m.d.c) e o mínimo múltiplo comum (m.m.c), assinale o que for correto.

(01) 𝑚. 𝑑. 𝑐(𝑝, 1) = 𝑝, 𝑠𝑒 𝑝 ≠ 1

(02) Se 𝑚. 𝑚. 𝑐(𝑝, 𝑞) = 𝑝 ∙ 𝑞, então, p e q são números primos. (04) Se p é múltiplo de q, então, Se 𝑚. 𝑚. 𝑐(𝑝, 𝑞) = 𝑝.

(08) Se p é divisor de q, então, Se 𝑚. 𝑑. 𝑐(𝑝, 𝑞) = 𝑝 (16) Se 𝑚. 𝑚. 𝑐(𝑝, 2𝑝) = 2𝑝²

8.

(UEPG) Considerando que x e y são números naturais, tais que, MMC. (x, y) = 102 e MDC(x, y) = 17, assinale o que for correto.

(01) x + y > 80.

(02) x e y são números pares.

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Gabarito

1. B

Como ele precisa colocar a mesma quantidade de documentos dentro das pastas e a quantidade de pastas precisa ser a menor possível, então ele deverá ter em cada pasta o maior número de documentos possíveis e, para isso, precisamos calcular o MDC entre 42,30 e 18.

Então, MDC (42,30,18) = 42, 30, 18 | 2 21, 15, 9 | 3 7, 5, 3 Então o MDC (42,30,18) = 2 ∙ 3 = 6 Portanto, temos 42 6 + 30 6 + 18 6 = 7 + 5 + 3 = 15

Então o número mínimo de pastas será 15.

2. C

Para que um número seja divisível por 10, o algarismo das unidades precisa ser igual a zero. Logo, B = 0 Temos então que o número é 5A380. Agora, para que seja divisível por 3, a soma dos algarismos desse número precisa ser um número múltiplo de 3. Então,

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3. C

O número mínimo de escolas beneficiadas ocorre quando cada escola recebe o maior número possível de ingressos. Logo, sendo o número máximo de ingressos igual ao máximo divisor comum de 400 = 24_∙

52 _{e 320 = 2}6_{∙ 5, temos} MDC (400,320) = 24_{∙ 5 = 80} Portanto, como 400 80 = 5 𝑒 320 80 = 4

Logo, 5+4 = 9, então o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecido é 9.

4. E

Temos que 𝑎 = 22_{∙ 3}3_{∙ 5, 𝑏 = 2}4_{∙ 3}2_{∙ 5 e 𝑐 = 2}3_{∙ 3}2_{∙ 5}2_{. Logo, o mmc (540, 720, 1800) = 2}4_{∙ 3}3_{∙ 5}2_,

E portanto o resultado será

𝑛(𝐷) = (4 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60

5. E

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6. D Calculando: 24, 20, 18 | 2 12, 10, 9 | 2 6, 5, 9 | 2 3, 5, 9 | 3 1, 5, 3 | 3 1, 5, 1 | 5 1, 1, 1 MMC(21,20,18) = 23_{∙ 3}2_{∙ 5 = 360} Série A: 360 20 = 18 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 Série B: 360 24 = 15 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 Série C: 360 18 = 20 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 7. 04+08 = 12 (01) Falso. 𝑚. 𝑑. 𝑐(𝑝, 1) = 1 Exemplo: 𝑚. 𝑑. 𝑐(5,1) = 1 𝑚. 𝑑. 𝑐(6,1) = 1 (02) Falso. 𝑚. 𝑚. 𝑐(𝑝, 𝑞) = 𝑝 ∙ 𝑞

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8. 01 + 04 = 05

MMC(x, y)∙ MDC(x,y) = x∙y

102 ∙ 17 = 𝑥 ∙ 𝑦 → 𝑥 ∙ 𝑦 = 1734 Decompondo em fatores primos, temos:

1734 | 2 867 | 3 289 | 17 17 | 17 1 Então, 𝑥 = 17 ∙ 2 = 34 𝑦 = 17 ∙ 3 = 51 ou 𝑥 = 17 ∙ 6 = 102 𝑦 = 17 ∙ 1 = 17 Analisando as alternativas uma a uma:

(01) Correta. Calculando: x + y > 80

34 + 51 = 85 > 80 102 + 17 = 119 > 80

(02) Incorreta. Apenas um dos números é par. (04) Correta. 1734 é divisível por 3.

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Exercícios: quadriláteros

Exercícios

1. (Uece) José somou as medidas de três dos lados de um retângulo e obteve 40 𝑐𝑚 João somou as medidas de três dos lados do mesmo retângulo e obteve 44 𝑐𝑚 Com essas informações, pode-se afirmar corretamente que a medida, em cm, do perímetro do retângulo é

a) 48 b) 52 c) 46 d) 56

2. A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro quadrados.

O valor da razão 𝐴𝐵_𝐵𝐶 é igual a:

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3. Um terreno retangular de lados cujas medidas, em metro, são x e y será cercado para a construção de um parque de diversões. Um dos lados do terreno encontra-se às margens de um rio. Observe a figura.

Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7 500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados. Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material podem ser

relacionados pela equação:

a) 4(2𝑥 + 𝑦) = 7 500 b) 4(𝑥 + 2𝑦) = 7 500 c) 2(𝑥 + 𝑦) = 7 500 d) 2(4𝑥 + 𝑦) = 7 500 e) 2(2𝑥 + 𝑦) = 7 500

4. No retângulo OYZW, E é um ponto do lado ZW equidistante de O e Z. Se a medida do ângulo WÔE é sete vezes a medida do ângulo ZÔY, então, a medida, em graus, do ângulo EÔZ é:

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5. (Upe) A figura a seguir mostra uma das peças do jogo “Pentaminós”.

Cada peça é formada por cinco quadradinhos, e o lado de cada quadradinho mede 5cm. Com 120 dessas peças, Jorge montou uma faixa, encaixando perfeitamente as peças como mostra a figura a seguir:

Quanto mede o perímetro dessa faixa?

a) 1 200 cm b) 1 500 cm c) 3 000 cm d) 3 020 cm e) 6 000 cm

6. (Uerj) Admitindo um retângulo cujos lados medem a e b, sendo a < b, é possível formar uma sequência ilimitada de retângulos da seguinte forma: a partir do primeiro, cada novo retângulo é construído acrescentando-se um quadrado cujo lado é igual ao maior lado do retângulo anterior, conforme ilustrado a seguir.

A figura IV destaca a linha poligonal P1P2P3P4P5P6, formada pelos lados dos retângulos, que são os elementos da sequência (𝑎, 𝑏, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 + 3𝑏).

Mantendo o mesmo padrão de construção, o comprimento da linha poligonal P1P2P3P4P5P6P7, de P1 até o vértice P7, é igual a:

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7. Um estudante da UFJF usou um site para obter rotas para ir de um ponto X até um ponto Y. O site forneceu um mapa das ruas como na figura abaixo.

Após analisar o mapa ele percebeu que cada uma das ruas A, B, K são lados de um retângulo e as ruas J e H formam outro lado desse mesmo retângulo. Enquanto cada uma das ruas B, F e G são lados de um paralelogramo e as ruas C e D formam outro lado desse mesmo paralelogramo. Além disso, o aluno identificou que a rua E intercepta as ruas C e D em 90, e que na escala usada pelo mapa a rua G mede 8 e as ruas E e J medem 3 cada.

a) Determine o comprimento da rua C e da rua K.

b) Determine, justificando, o caminho mais curto (ou os caminhos mais curtos) para

percorrer o trajeto do ponto X até o ponto Y.

8. (Unesp 2019) Na figura, as retas AB e CD são paralelas, assim como as retas AD e BC. A distância entre AB e CD é 3 cm mesma distância entre AD e BC.

a) Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD formado pelas intersecções das retas,

na situação em que 𝛼 = 60°

b) Considere que S seja a área do paralelogramo ABCD representado na figura.

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Gabarito

1. D

Sejam a e b as medidas da base e da altura do retângulo, em centímetros. Logo, supondo 𝑎 > 𝑏, podemos escrever 𝑎 + 2𝑏 = 40 e 2𝑎 + 𝑏 = 44. Dessa forma, somando as equações, encontramos 3𝑎 + 3𝑏 = 84 → 3(𝑎 + 𝑏) = 84 → 𝑎 + 𝑏 = 28, e, assim, vem 𝑎 + 𝑏 = 28. Como o perímetro do retângulo é dado por 2𝑝𝐴𝐵𝐶𝐷= 2𝑎 + 2𝑏, então:

2(𝑎 + 𝑏) = 2 ∙ 28 2𝑎 + 2𝑏 = 56

2. A

Há três tipos de quadrados, com 𝑙1< 𝑙2< 𝑙3 sendo os seus lados. Podemos ver que 𝑙2=

2 ∙ 𝑙₁ e 𝑙3= 𝑙1+ 𝑙2= 3 ∙ 𝑙1 Portanto, temos 𝐴𝐵 𝐵𝐶= 𝑙₃+ 𝑙₂ 𝑙3 =5 3 3. A

Para cercar todo o terreno, ele usará 2𝑥 + 2𝑦 = 2(𝑥 + 𝑦) de material, sendo 2x + 2y o perímetro da área do desenho.

Cada metro do material usado para cercar o lado X custa R$ 4,00, e cada metro do material usado para cercar o lado Y custa R$ 2,00.

Sabendo que o gasto total para o cercamento é de R$ 7500,00, a expressão dos gastos será:

2(4𝑥 + 2𝑦) = 7500 ⇔8𝑥 + 4𝑦 = 7500 ⇔4(2𝑥 + 𝑦) = 7500

4. C

Considere a figura abaixo:

Seja 𝑍𝑂̂𝑌 = 𝛼. Logo, como 𝑍𝑂̂𝑌 𝑒 𝐸𝑍̂𝑂 são alternos internos, temos 𝐸𝑍̂𝑂 = 𝛼. Ademais, desde que EO = EZ, podemos concluir que o triângulo EOZ é isósceles de base OZ. Portanto, vem 𝐸𝑂̂𝑍 = 𝛼. Finalmente, sendo 𝑊𝑂̂𝐸 = 7 ∙ 𝑍𝑂̂𝑌 = 7𝛼 e 𝑊𝑂̂𝑌 = 90°, temos:

7𝛼 + 𝛼 + 𝛼 = 90°⇔ 𝛼 = 10°

5. D

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Portanto, o perímetro da faixa é dado por: 120

2 ∙ 2 ∙ 25 + 2 ∙ 10 = 60 ∙ 50 + 20 = 3000 + 20 = 3020 𝑐𝑚

6. B

Podemos perceber que a sequencia dada (𝑎, 𝑏, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 + 3𝑏) é a seguinte: 𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 𝑃2𝑃3 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑏 𝑃₃𝑃₄ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 + 𝑏 𝑃₄𝑃₅ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 + 2𝑏 𝑃₅𝑃₆ ̅̅̅̅̅̅ = 2𝑎 + 3𝑏

A partir disso, podemos ver que a lei de formação dessa sequência é a soma dos dois termos anteriores, então

𝑃₆𝑃₇ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑃̅̅̅̅̅̅ + 𝑃4𝑃5 ̅̅̅̅̅̅ 5𝑃6 𝑃6𝑃7 ̅̅̅̅̅̅ = (𝑎 + 2𝑏) + (2𝑎 + 3𝑏) 𝑃6𝑃7 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 𝑃₆𝑃₇ ̅̅̅̅̅̅ = 3𝑎 + 5𝑏 Então temos que 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4𝑃5𝑃6𝑃7 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑃̅̅̅̅̅̅ + 𝑃1𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ + 𝑃2𝑃3 ̅̅̅̅̅̅ + 𝑃3𝑃4 ̅̅̅̅̅̅ + 𝑃4𝑃5 ̅̅̅̅̅̅ + 𝑃5𝑃6 ̅̅̅̅̅̅ 6𝑃7 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4𝑃5𝑃6𝑃7 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 + 𝑏 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (2𝑎 + 3𝑏) + (3𝑎 + 5𝑏) 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4𝑃5𝑃6𝑃7 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 + 3𝑎 + 5𝑏 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4𝑃5𝑃6𝑃7 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 8𝑎 + 12𝑏 7. a) rua C= 6 e rua K = 6; b) 𝑿𝑶̅̅̅̅ + 𝑶𝒀̅̅̅̅ = 𝟏𝟖 𝒆 𝑿𝑷̅̅̅̅ + 𝑷𝒀̅̅̅̅ = 𝟏𝟖 a) Considere a figura

Se XPYO é paralelogramo, e XPOM é retângulo, então 𝑋𝑃̅̅̅̅ = 𝑂𝑌̅̅̅̅ = 𝑀𝑂̅̅̅̅̅ = 8 𝑒 𝑋𝑂̅̅̅̅ = 𝑃𝑌̅̅̅̅. Logo, como 𝑀𝑁̅̅̅̅̅ = 𝑁𝑄̅̅̅̅ = 3, temos 𝑁𝑂̅̅̅̅ = 5, e, portanto, dado que NOQ é pitagórico, podemos concluir que 𝑂𝑄̅̅̅̅ = 4. Em consequência, sendo os triângulos QON e MOX semelhantes por AA, vem

𝑀𝑋 ̅̅̅̅̅ 𝑁𝑄 ̅̅̅̅= 𝑀𝑂 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑄 ̅̅̅̅ ⟺ 𝑀𝑋 ̅̅̅̅̅ 3 = 8 4⟺ 𝑀𝑋̅̅̅̅̅ = 6 𝑉𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑠𝑠𝑜, 𝑂𝑃̅̅̅̅ = 6

Ainda pela semelhança, segue de imediato que 𝑂𝑋̅̅̅̅̅ = 10, e, assim, temos 𝑄𝑋̅̅̅̅ = 6. Por conseguinte, as ruas C e K medem 6.

b)

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8.

a) Considere a figura

Desde que 𝐴𝐷̂𝐹 ≡ 𝐵𝐶̂𝐷, 𝐴𝐹̂𝐷 ≡ 𝐷𝐸̂𝐶 e 𝐴𝐹̅̅̅̅̅=𝐷𝐸̅̅̅̅ = 3, podemos afirmar que ADF e DEC são congruentes por 𝐿𝐴𝐴𝑜. Logo, vem 𝐴𝐵̅̅̅̅=𝐴𝐷̅̅̅̅ e, assim, ABCD é losango.

A resposta é, portanto, igual a 2𝑝_{𝐴𝐵𝐶𝐷}= 4 ∙ 𝐴𝐷̅̅̅̅ 2𝑝𝐴𝐵𝐶𝐷= 4 ∙ 𝐴𝐹 ̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛𝛼 2𝑝𝐴𝐵𝐶𝐷= 4 ∙ 𝐴𝐹 ̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛60° 2𝑝𝐴𝐵𝐶𝐷= 4 ∙ 3 √3 2 2𝑝_{𝐴𝐵𝐶𝐷}= 4 ∙ (3 ∙ 2 √3) 2𝑝_{𝐴𝐵𝐶𝐷}= 4 ∙ 6 √3 2𝑝_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=24 √3∙ √3 √3 2𝑝𝐴𝐵𝐶𝐷= 24√3 3 2𝑝𝐴𝐵𝐶𝐷= 8√3 𝑐𝑚

b) A área de ABCD é dada por

𝐴_{𝐴𝐵𝐶𝐷}= 𝐶𝐷̅̅̅̅ ∙ 𝐴𝐹̅̅̅̅ 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝐴𝐹 ̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛𝛼∙ 𝐴𝐹̅̅̅̅ 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷= (𝐴𝐹̅̅̅̅)² 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷= (3)² 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷= 9 𝑠𝑒𝑛𝛼

Logo, sendo 0° < 𝛼 ≤ 90°, podemos concluir que a área de ABCD é mínima quando 𝑠𝑒𝑛𝛼 é máximo, ou seja, quando 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1

𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=

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Função afim

Exercícios

1.

(Famerp) Um animal, submetido à ação de uma droga experimental, teve sua massa corporal registrada nos sete primeiros meses de vida. Os sete pontos destacados no gráfico mostram esses registros e a reta indica a tendência de evolução da massa corporal em animais que não tenham sido submetidos à ação da droga experimental. Sabe-se que houve correlação perfeita entre os registros coletados no experimento e a reta apenas no 1º e no 3º mês.

Se a massa registrada no 6º mês do experimento foi 210 gramas inferior à tendência de evolução da massa em animais não submetidos à droga experimental, o valor dessa massa registrada é igual a

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2.

(Unesp) Dois dos materiais mais utilizados para fazer pistas de rodagem de veículos são o concreto e o asfalto. Uma pista nova de concreto reflete mais os raios solares do que uma pista nova de asfalto; porém, com os anos de uso, ambas tendem a refletir a mesma porcentagem de raios solares, conforme mostram os segmentos de retas nos gráficos.

Mantidas as relações lineares expressas nos gráficos ao longo dos anos de uso, duas pistas novas, uma de concreto e outra de asfalto, atingirão pela primeira vez a mesma porcentagem de reflexão dos raios solares após

a) 8,225 anos. b) 9,375 anos. c) 10,025 anos. d) 10,175 anos. e) 9,625 anos.

3.

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, seja X a região limitada pelo gráfico da função f: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥, pela reta x=3 e pelo eixo -x(eixo horizontal). Assim, pode-se afirmar corretamente que a medida da área da região X é igual a

u.a. = unidade de área

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4.

(Unesp) Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis foram acesos nas mesmas condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de t segundos e, em seguida, anotou-se o comprimento x, em centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A

figura a seguir indica os resultados do experimento.

Um modelo matemático consistente com todos os dados obtidos no experimento permite prever que o tempo, necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no experimento é de

a) 1 minuto e 2 segundos. b) 1 minuto.

c) 1 minuto e 3 segundos. d) 1 minuto e 1 segundo. e) 1 minuto e 4 segundos.

5.

(Ueg) No centro de uma cidade, há três estacionamentos que cobram da seguinte maneira:

Estacionamento A Estacionamento B Estacionamento C

R$ 5,00 pela primeira hora R$ 3,00 por cada hora

subsequente

R$ 4,00 por hora R$ 6,00 pela primeira hora R$ 2,00 por cada hora

subsequente Será mais vantajoso, financeiramente, parar

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6.

(Espm) Em linguagem de computação, a expressão x = x + 2 significa que o novo valor de x será igual ao valor anterior de x, acrescido de 2 unidades. Por exemplo, se x = 5, a expressão x = x + 2 faz com que x passe a valer 7. Se repetirmos essa expressão, o valor de x passa a ser 9. Considere a sequência de operações:

x = x + 3 → y = 2x – 1 → x = x + y → y = x + 2y Se o valor final de y é igual a 53, podemos afirmar que o valor inicial de x era:

a) par b) prim c) maior que 6 d) múltiplo de 3 e) divisor de 124

7.

Com relação a funções reais de uma variável, assinale o que for correto.

(01) Existe uma única função afim g satisfazendo g(1) = 1 e g(0) = -1. (02) Existem funções reais cujos gráficos são elipses.

(04) Não existe uma função real f satisfazendo f(x) = f(-x), para todo x real. (08) Se, para todo x real, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √1213

e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − √3121

, entao fog = gof.

(16) Se ℎ: ℝ → ℝ é sobrejetora, então existe uma função 𝑟: ℝ → ℝ de modo que, para todo x real,

ℎ(𝑟(𝑥)) = 𝑥 ( )Soma

8.

Um tanque é abastecido por uma torneira e o volume de água, em milhares de litros, em seu interior é dado por 𝑉1(𝑡) = 3𝑡 + 13, com 𝑡 contado em horas a partir do instante 𝑡 = 0 em que a torneira é aberta. No instante 𝑡1 em que o volume de água atinge a capacidade máxima do tanque, a torneira é automaticamente fechada e, imediatamente, um registro é aberto permitindo que a água acumulada nesse tanque abasteça caixas d’água menores. A partir do momento em que esse registro é aberto, o volume d’água no tanque passa a ser descrito pela função 𝑉2 (𝑡) = −2𝑡 + 58, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≥ 𝑡1, até que o tanque esteja completamente vazio.

a) Calcule a capacidade máxima do tanque.

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Gabarito

1. E Calculando: 1 2 y ax b P (1, 1) e P (3, 2) y 2 1 1 a x 3 1 2 x 1 1 y b 1 b b 2 2 2 = +  − = = =  − = +  = +  = Assim: 1 y (x 1) 2 6º mês y 0,21 1 7 y (6 1) 3,5 3,5 0,21 3,29 kg 2 2 = +  − = + = =  − = 2. B Calculando: Concreto : 35 25 5 m 0 6 3 5 y x 35 3 Asfalto : 16 10 m 1 6 0 y x 10 5 5 8 x 10 x 35 x x 35 10 x 25 x 9,375 anos 3 3 3 − − = = − − = + − = = − = + − + = + → + = − → = → = 3. A

A região x é limitada pelo triângulo retângulo de vértices (0,0), (3,0) e (3,6). Logo, a resposta é1

2. 3 .6 = 9u.a.

4. C

Considerando como x ' a porção de madeira chamuscada, e y o tempo em segundos, pode-se escrever: y=ax ', em que 2 1 2 1 y y 15 3 a a 6 y 6x x x 2,5 0,5 − − = = → = → = − −

Logo, para queimar totalmente o palito de fósforo: x ' 10,5 cm

y 6 10,5 y 63 segundos 1 min e 3 segundos =

=  → = =

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5. D

Valor cobrado pelo estacionamento A para t horas. yA (t) = 5 + (t - 1) . 3

yA (t) = 3t + 2

Valor cobrado pelo estacionamento B para t horas. yB(t) = 4.t

Valor cobrado pelo estacionamento C para t horas. yC (t) = 6 + (t-1) . 2

yC (t) =2t + 4

Como yA (2)= yB (2) = yC (2) = 8

Logo, todos cobrarão o memso valor, desde que o automóvel fique estacionado por duas horas.

6. B

Do enunciado, o primeiro valor que fica acumulado é x + 3

Em seguida, fica acumulado um valor y, tal que y = 2 . (x + 3) – 1 =2x +5 Em seguida, fica acumulado um valor x, dado por (x + 3) + (2x + 5) = 3x + 8 Finalmente, o valor acumulado y é dado por (3x + 8) + 2 . (2x + 5) = 7x + 18 Assim,

7x + 18 = 53 7x = 35

X = 5 (número primo)

7. 01 + 08 + 16 = 25

(01) Verdadeira. Dados dois pontos distintos de uma função afim, esta estará determinada e será única,

pois dois pontos distintos determinam uma reta.

(02) Falsa. Como no gráfico de uma elipse há mais de uma imagem para cada elemento do domínio, ele

não pode resultar de uma função real.

(04) Falsa. O item define uma função par. Um contraexemplo seria f(x) = x² (08) Verdadeira. Calculando as compostas:

𝑓𝑜𝑔 = 𝒙 −𝟏𝟐𝟏√𝟑+ √𝟏𝟐𝟏𝟑 𝑔𝑜𝑓 = 𝒙 + √𝟏𝟐𝟏𝟑 −𝟏𝟐𝟏√𝟑

∴ 𝒇𝒐𝒈 = 𝒈𝒐𝒇

(16) Verdadeira. Sendo h sobrejetora, a sua imagem é igual ao seu contradomínio. Logo, existe uma

função r, tal que h(r(x)) = x.

8.

a) No instante em que a torneira é fechada e o registro aberto, temos 𝑉1(𝑡) = 𝑉2(𝑡). 3𝑡 + 13 = −2𝑡 + 58

5𝑡 = 45 𝑡 = 9ℎ

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b) Teremos: 𝑉2(𝑡) = −2𝑡 + 58 0 = −2𝑡 + 58 2𝑡 = 58 𝑡 = 29

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Exercícios: Polígonos

Exercícios

1.

(Ufrgs) Os quatro hexágonos da imagem a seguir são regulares e cada um tem área de 48 cm². Os vértices do quadrilátero ABCD coincidem com vértices dos hexágonos. Os pontos E, D, B e F são colineares.

A área do quadrilátero ABCD , em cm², é

a) 8. b) 10. c) 16. d) 24. e) 36.

2.

(Uece) No quadrilátero XYZW as medidas dos ângulos internos Z e W são respectivamente 128 graus e 76 graus. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se no ponto O, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo XÔY é igual a

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3.

A figura a seguir mostra uma circunferência e dois polígonos. Um dos polígonos é inscrito nessa circunferência e outro circunscrito a ela.

Se M é o número de diagonais do polígono inscrito e N é o número de diagonais do polígono circunscrito, a razão entre M e N é igual a

a) 7 5 b) 5 7 c) 14 5 d) 5 14

4.

Uma bola de futebol é composta de 12 peças pentagonais e 20 peças hexagonais, com todas as arestas de mesmo comprimento. Suponha que, para o processo de costura de uma bola de futebol, sejam gastos 17cm de linha para cada aresta da bola. Determine quantos metros de linha serão necessários para costurar inteiramente 16 bolas com as características descritas.

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5.

Considere um hexágono regular ABCDEF. A partir dos pontos médios dos lados traça-se um novo hexágono A’B’C’D’E’F’.

A medida do ângulo BA’B’, em graus, é

a) 20. b) 30. c) 40. d) 60.

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7.

(Espm) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde AF = AB. Assinale a medida do ângulo FBE = α.

a) 120° b) 135° c) 127,5° d) 122,5° e) 110,5°

8.

(Fuvest) Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura.

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Gabaritos

1. C

Um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros. Portanto, no caso dado cada triângulo mede 8cm². O quadriláto ABCD é formado por 2 triângulos idênticos aos que formam os hexágonos, pois tem lados e ângulos congruentes. Assim a medida do quadrilátero será gual a 16cm².

2. D

Do enunciado, temos:

No quadrilátero WXYZ, temos: 760_{+ 128}0_{+ 2𝛼 + 2𝛽 = 360}0

2𝛼 + 2𝛽 = 1560

𝛼 + 𝛽 = 780

No triângulo XOY, temos: 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 1800

78° + 𝜃 = 180° 𝜃 = 102° 𝑋Ô𝑌 = 102°

3. D

M é o número de diagonais do pentágono, portanto: 𝑀 =5 ∙ (5 − 3)

2 = 5

N é o número de diagonais do heptágono, portanto: 𝑁 =7 ∙ (7 − 3)

2 = 140

Logo, a razão pedida será dada por: 𝑀

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4. D

Cada pentágono tem 5 arestas e cada hexágono tem 6 arestas. As arestas são costuradas duas a duas. Assim, pode-se calcular:

N° arestas a costurar (𝟏𝟐×𝟓)+(𝟐𝟎×𝟔)_𝟐 = 𝟗𝟎 arestas a costurar 90 x 0,17 = 15,3m

15,3m x 16 = 244,8 m

5. B

Como um hexágono regular possui como soma dos ângulos internos 720° e cada ângulo mede 120° logo o ângulo B mede 120° e como o novo hexágono é traçado nos pontos temos que A’B = BB’ e assim o triângulo A’B’B é isósceles.

Nesse sentido, sabendo que o ângulo B mede 120° tem-se que os outros dois ângulos possuem a mesma medida e assim:

A’ + B’ + 120° = 180° A’ = 30° e B’ = 30°

6. C

Comecemos calculando o valor de cada ângulo interno do octógono: 𝐴𝑖=

180(𝑛−2)

𝑛 =

180(8−2)

8 = 135°

Assim, vale dizer que 𝐴 = 135°, 𝐵 = 90° (já que 𝐴𝐵 é perpendicular ao segmento 𝐵𝐸), 𝐺 =135°

2 = 67,5° (já

que 𝐺 e 𝐶 estão em extremos opostos do polígono, 𝐺𝐶 é bissetriz do ângulo interno) e 𝐻 = 135°.

Foquemos nossa atenção, agora, ao pentágono 𝐴𝐵𝑃𝐺𝐻.

A soma dos ângulos internos de um polígono é igual a 𝑆𝑖= 180°(𝑛 − 2). No caso do pentágono é igual a

180°(5 − 2) = 540°. Assim, somando os ângulos do pentágono: 90 + 135 + 135 + 67,5 + 𝑌 = 540° → 𝑌 = 112,5°.

𝑋 e 𝑌 são suplementares. Logo, 𝑋 = 180 − 112,5 = 67,5°.

7. C

Seja G o ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD.

Como o triângulo BDE é equilátero, segue que DBE = 60°. Além disso, dado que AF = AB e GAB = 45°, vem 𝐴𝐵̂𝐹 = 𝐴𝐹̂𝐵 =𝐺𝐴̂𝐵

2 = 22,5

0

Portanto,

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8. B

Considere o quadrilátero IJKL da figura.

Dos triângulos P1P6K, P2P5I, P3P8L e P4P7J P₁k̂P₆= 1800_{− (α} 1+ α6) P₂ÎP₅= 1800_{− (α} 2+ α5) P3L̂P8= 1800− (α3+ α8) P4ĴP7= 1800− (α4+ α7)