Analisador Espectral UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

(1)

U

NIVERSIDADE DE

S

ÃO

P

AULO

E

SCOLA DE

E

NGENHARIA DE

S

ÃO

C

ARLOS

DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA

MECÂNICA

(2)



  



n t jn n

e

o

X

t

x

(

)





_ 



/2 2 /

(

)

1

T T t jn n

x

t

e

dt

T

X

o

Serie de Fourier VS. Integrais de Fourier

Série: válido para sinais Periódicos



__







F

e



d

t

x

(

)

j t

2

1 )

(



__ 



x

t

e

dt

F

(



)

(

)

jt e

Integrais: válido para sinais Transientes

x t dt

( )

 

(3)

𝑋 𝑘 =

𝑛=0 𝑁−1

𝑥 𝑛 . 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁 𝑛 , 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑁 − 1

Transformada de Fourier de uma série

seja:

x(n) o enésimo termo da serie [temporal] X(k) o enésimo termo da série de Fourier N o número de elemtnos na série

Contribuiram para este método eficiente: Gauss (1805) e Cooley Tukey (1965)

Define-se a DFT como:

Onde: 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁 𝑛 = cos 2𝜋𝑘

𝑁 𝑛 −𝑗 sin

(4)

𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁 𝑛 = cos 2𝜋𝑘

𝑁 𝑛 −𝑗 sin

2𝜋𝑘 𝑁 𝑛

Transformada de Fourier de uma série

Graficos variando k e mostrando os senos e cossenos

Sendo assim:

(5)

DFT vs FFT

𝑂(𝑁2) ≈ 1 × 109 𝑂(𝑁 log₂ 𝑁) ≈ 500.000

1𝑠 ≈ 0,5 𝐻𝑧

0,0005𝑠 ≈ 1000 𝐻𝑧

# de operações Tempo / Banda

e.g.

oper @ 1ns

DFT

FFT

Dada uma série temporal de N elementos

(6)

𝑂(𝑁2) ≈ 1 × 1018 𝑂(𝑁 log₂𝑁) ≈ 30 × 109 31 𝑎𝑛𝑜𝑠‼! 30 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 e.g. oper @ 1ns DFT FFT

N = 1 × 109 (e.g. 377 min de audio @ 44100Hz)

DFT vs FFT

(cont)

(7)

Conteúdo

Tópicos abordados:

• Fenômenos de “Aliasing” e “Leakage” • Amostragem de sinais temporais

(8)

É o processo de se obter uma representação discreta de um sinal temporal contínuo:

Conversão de um trem de pulsos em uma sequência x x (t) s (t) f (t) t_s F [n] = x (nt_s) Conversor A/D Onde:

• x(t) - Sinal contínuo no tempo • s (t) - Função amostradora • f (t) - Sinal amostrado

• f [n] - Sequência amostrada • T - Período de Análise

• t_s - Período de amostragem

(9)

x (t) T t t t t t_s W (t) s (t) f (t) T = N (t_s) f_s = 1 / t_s f (t) = w(t)s(t)x (t)

(10)

f [n] f [n] = x (n t_s) x (t) T t t t t_s W (t) s (t) T = N (t_s) f_s = 1 / t_s

(11)

• t_s é o período de amostragem, f_s = 1/ t_s é a frequência de amostragem

• O processo de amostragem geralmente não é reversível, isto é, dado f [n], não é possível reconstruir x (t).

• A diferença essencial entre f (t) e f [n] é que, em princípio, f (t) é uma função contínua (um trem de impulsos enquanto que f [n] é uma sequência.

• O número total de amostras N é geralmente definido por N = 2p _{(1024, 2048,}

4096,...)

• A função de janela w (t) controla o tempo de análise

Para saber mais ver “Sigma Delta”

(12)

Funções Utilizadas

Domínio do Tempo Domínio da Frequência

Sinal Periódico Espectro

Auto-correlação

Densidade Auto-Espectral (RMS/Hz ou MS/Hz) Power Spectrum Density

(Unit^2/Hz)

Correlação Cruzada Cross Spectrum

(13)

Processo de Digitalização do Sinal

É importante notar que um sinal digitalizado não é discretizado apenas no

domínio do tempo, mas também em amplitude

Obs. Todo sistema de aquisição dedicado a medição de vibração/analise modal é provido de ajuste de ganho de entrada (range). Outra alternativa é oferecer mais bits, aumentando o “dynamic range”. Nem toda placa de aquisição (e.g. destinada a DSP) oferece esta opção.

(14)

Problemas de Quantização: Compactando Audio

mp3 44 100Hz @ 320 kbps 3 620 KB

wav 44 100Hz 95 797 KB

mp3 44 100Hz @ 48 kbps 1 630 KB

(15)

Problemas de Quantização: Compactando Cor

24 bits

16 mi cores

8 bits

paleta com ajuste

(16)

Problemas de Quantização: Imangens em movimento

(17)

O Fenômeno de “Aliasing”

Aliasing É um fenômeno (erro) que ocorre no

proces-so de amostragem quando f_s = 1/ t_s não é alta o suficiente para amostrar o sinal no tempo. Exemplo:

0 5 10 1 0 1 t x (t ) Sinal real Sinal amostrado  

Sem aliasing Com aliasing

(18)

(19)

Não confunda ...

... Aliasing ou Rolling Shutter?

Exemplos de Rolling Shutter

Cessna: https://www.youtube.com/watch?v=eTW0rNgMcKk

CCD vs. CMOS: https://www.youtube.com/watch?v=4lHlzRw_Oek

Ventilador: https://www.youtube.com/watch?v=EaB9EHeDLSk

Kalimba: https://www.youtube.com/watch?v=bzjwnZDScxo

Violão: https://www.youtube.com/watch?v=xg7jkn2A16g

(20)

O Fenômeno de “Aliasing”

Faixa Útil 0 dB -80 dB H ()  _s / 2 -40 dB

O filtro é aplicado ao sinal antes da amostragem:

A frequência de amostragem _s deve ser no mínimo o dobro da denominada

(21)

O Fenômeno de “Leakage”

h

s fs

Janela n Janela n + 1

T 2 T

Vejamos o caso de: x ( t ) = sen ( Nc _o t ) N_c - Número de cíclos na janela de duração T

_o - Frequência Fundamental

p – p-ézima coeficiente de fourier

(22)

X_p para N_c = 10

Frequência do sinal

(23)

X_p para N_c = 10.5

Frequência do sinal

(24)

X_p para N_c = 10.25

(25)

O Fenômeno de “Leakage”: Solução

Redução do Leakage: Uso de Janelas w (t). As mais usadas são: Retangular,

Hanning, Flat Top e Kaiser Bessel

(26)

O Fenômeno de “Leakage”: Solução

Redução do Leakage: Uso de Janelas w (t). As mais usadas são: Retangular,

Hanning, Flat Top e Kaiser Bessel

Exemplos: no dominio da frequencia

(27)

O Fenômeno de “Aliasing e Leakage”

(28)

Estimativa das FRFs

auto-spectrum avarage FFT anti-aliasing A/D x(t) FFT anti-aliasing A/D y(t) cross-spectrum avarage X( ) Y( ) auto-spectrum avarage Gxx ( ) Gyx ( ) Gxy ( ) Gyy ( )



 



p 1 k p 1 k 1

Gxx

Gyx

H



 



p p 1 n 2

Gxy

Gyy

H

Os estimadores de FRF mais comuns são H1 e H2 • H₁ é sensível a ruído no canal de entrada

(29)

XX YY YX

G

H

.

2 2 1





Função Coerência

Pode ser obtida como a razão entre H1 e H2 • H₁ - limite superior da FRF

(30)



 





p 1 n p 1 n 3

'

Grx

'

Gry

H

Amp. + Shaker h(t) + + x(t) y(t) r(t) 1 x’(t) 2 y’(t) + + cross-spectrum avarage cross-spectrum avarage Grx’ Gry’





_













Gyy

Gyx

Gxy

Gxx

Gxxy

 



















1 Hv

V

• H₃ precisa de um canal extra para o cálculo dos espectros cruzados

• Hv precisa da solução de um auto-problema

(31)

Setup

Alguns dados Experimentais

(1) Tektronix 2631 Spectrum Analyzer (2) Power Amplifier

(3) Shaker MB Dynamics Modal 50 (4) Kistler 912 Force Transducer (5) B&K 4375 Accelerometer (6) B&K 2626 Charge Amplifier

(7) Aircraft Type of Structure 1m long and 1m span

out in 1 2 3 4 V E a f (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (5) 1 1 a2

(32)

Caso Ideal

0 50 100 150 10-2 100 102 H₁₁ H₂₁ Frequency [Hz] F R F [ g /N ] 1 ₁₁ ₂₁ C o h e re n c e

• FRFs mostrando ressonancias e anti-ressonâncias claras

• As funções coerência mostrando valor unitário para a maioria da banda

(33)

Addition of noise on the input signal

out in 1 2 3 4 E a f1 1 a2

B&K Test Unit ZZ 0201

• The input signal passes through a device

that contaminates it with a white

random noise.

• The device mentioned above is a B&K Test Unit ZZ 0201

• This piece of equipment allows the addition of low and high noise, low and high delay or any combination of them • In the same manner, the output signal

passes through the Test Unit so as we can have it contaminated by the random noise out in 1 2 3 4 E a f1 1 a2

(34)

Experimental Results

Addition of noise on the input signal

0 50 100 150 10-2 100 102 H ₁₁ H₁₁₁ H₂₁₁ Frequency [Hz] F R F [ g /N ] 0 1 ₁₁ ` 11 C o h e re n ce

• H₁ is sensitive to noise on the input channel

• The drop-off in the force in the vicinities of the structure’s resonances leads to low signal to noise ratio

• The Coherence shows low values nearby the resonance frequencies

(35)

Experimental Results

Addition of noise on the input signal

0 50 100 150 10-2 100 102 H ₂₁ H₁₂₁ H₂₂₁ Frequency [Hz] F R F [ g /N ] 0 50 100 150 0 1 ₂₁ ` 21 Frequency [Hz] C o h e re n ce

• H₂ that showed better results in the driving point FRFs, overestimated resonance peaks on the transfer FRFs

• The Coherence shows the same behaviour as before, taking low values nearby the resonance frequencies

(36)

Experimental Results

Addition of noise on the input signal

0 50 100 150 10-2 100 102 H 11 H₃₁₁ Hv 11 Frequency [Hz] F R F [ g /N ] 10-2 100 102 H ₂₁ H₃₂₁ Hv ₂₁ F R F [ g /N ]

• H₃ and Hv show a much better agreement with the ideal case

(37)

Experimental Results

Addition of noise on the

output

signal

0 50 100 150 10-2 100 102 H 11 H₁₁₁ H 211 Frequency [Hz] F R F [ g /N ] 0 50 100 150 0 1 ₁₁ `₁₁ Frequency [Hz] C o h e re n c e

• H₂ is sensitive to noise on the output channel. It become evident by observing the anti-resonances

• The Coherence shows low values in the low frequency range and nearby the anti-resonance frequencies

(38)

Addition of noise on the

output signal

Experimental Results

0 50 100 150 10-2 100 102 H 21 H 121 H 221 Frequency [Hz] F R F [ g /N ] 0 1 ₂₁ ` 21 C o h e re n c e

• The transfer FRFs still show some noise in the low frequency range

• H₂ FRF show a peak at 60 Hz related to the electrical supply. The appearance of this peak reveals the sensitivity of the estimator to noise on the output channel

(39)

Conlcusões

• Analizadores Espectrais Digitais usam FFT (ou DFT) para o cálculo dos espectros • É de responsabilidade esclusiva do experimentalista a escolha das funções apropriadas.

• É preciso usar estimadores adequados em função da fonte de excitação

• H₁ não é recomendado para ensaios com excitação via Shaker, já que a queda na força de excitação deixa o sinal de entrada vulnerável a ruídos externos.

• H₂ é uma boa escolha quando as fontes principais de ruído estão nos sinais de saída. • H₃ não existe na maioria dos equipamentos, mas é de implementação simples, bastando dispor de um sinal não-correlato.