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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA SEM 5766 ANÁLISE MODAL DE ESTRUTURAS

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Texto

(1)

SEM 5766 – ANÁLISE MODAL DE ESTRUTURAS UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Aula # 2 – Sistemas com N GDL

(2)

Objetivos

Objetivo principal desta aula é apresentar e discutir a resposta livre e forçada harmônica de sistemas discretos possuindo múltiplos graus de liberdade

Serão cobertos os seguintes principais tópicos:

•  Resposta livre

•  Resposta forçada harmônica

•  Resposta forçada harmônica – conceito de FRF

•  Propriedades da FRF

Bibliografia:

(3)

PARTE I

SISTEMAS COM N GDL

RESPOSTA LIVRE

(4)

Sistemas com N GDL – Resposta Livre

O modelo de N GDL obedece à seguinte equação de movimento:

Onde:

•  [M] – Matriz de massa

•  [K] – Matriz de rigidez

•  [C] – Matriz de amortecimento

•  {f (t)} – Vetor de forças externas

•  {u} – vetor de deslocamentos físicos

Matrizes simétricas de ordem N !

(5)

Cont. ...

Para o estudo da vibração livre não amortecida:

{f (t)} = {0}

[C] = [0]

E com isto temos:

E a solução desta última equação para condições iniciais não nulas é dada por:

Onde {φ} é um vetor de ordem N, de valores independentes da variável tempo e s um número complexo. Substituição desta solução na equação do movimento livre dá

[[ K ] + s

2

[ M ]]{ φ }e

st

= {0}

(6)

Cont. ...

λ = − s

2

Como est ≠ 0 esta última equação pode ainda ser escrita como:

[[ K ] − λ [ M ]]{ φ } = { 0}

Que na verdade constitui-se num sistema homogêneo do tipo:

[ A]{x} = {0}

Rearranjando de forma mais conveniente temos:

[ K ]{ φ } = λ [ M ]{ φ }

[D]{x}= λ{x}

Ou ainda:

[ M ]

−1

[ K ]{ φ } = λ { φ }

[A]{x}= λ[B]{x}

(7)

Cont. ...

Importantíssimo:

As variáveis λ e {φ} são denominadas de autovalores e autovetores do problema da vibração livre não amortecida. Estes parâmetros estão diretamente relacionados Com as propriedades físicas do sistema, as freqüências naturais não amortecidas e os chamados modos normais ou naturais de vibração ! Portanto, a determinação Destas propriedades fundamentais do sistema de N GDL reside na solução de um autoproblema generalizado (generalized eigenproblem) ! [A]{x}= λ[B]{x}

Retomemos a equação:

[[ K ] − λ [ M ]]{ φ } = { 0}

Esta última equação possui solução não trivial se e somente se:

[ K ] − λ [ M ] = {0}

(8)

Cont. ...

Na forma polinomial:

Onde os coeficientes a1 ... aN dependem das características de massa e rigidez. Esta última equação (ou a anterior) denomina-se equação característica do sistema com N GDL e suas raízes são na verdade os autovalores do sistema em estudo. O p-ésimo autovalor do sistema relaciona-se com a correspondente freqüência natural não

amortecida através da seguinte relação

a

p

λ

p

= 0

p=1 N

ω

n

p

= ± i λ

p

Onde:

i = − 1

(9)

[ ω

n

] =

ω

1

00

0 ω

2

0

   

0 0  ω

N

"

#

$ $

$

$ $

%

&

' ' ' ' '

=

λ

1

00

0 λ

2

0

   

0 0  λ

N

"

#

$ $

$ $

$ $

%

&

' ' ' ' ' '

Determinamos assim o chamado Modelo Modal do sistema conservativo:

[ Φ ] = [{ φ }

1

,{ φ }

2

,...,{ φ }

N

] =

φ

11

φ

12

… φ

1N

φ

21

φ

22

… φ

2N

   

φ

N1

φ

1N

… φ

NN

#

$

%

% %

% %

&

'

(

( (

( (

Cont. ...

(10)

Relações de Ortogonalidade

São relações importantes entre modos normais de um mesmo sistema. Escrevemos inicialmente para modos r e s distintos

[[ K ] − ω

r2

[ M ]]{ φ }

r

= {0}

[[ K ] − ω

s2

[ M ]]{ φ }

s

= {0}

r-ésimo modo

s-ésimo modo

Agora, pré-multiplicamos a primeira equação por {φ}sT e pós-multiplicamos a transposta da segunda por {φ}r obtendo assim

{ φ }

Ts

[[ K ] − ω

r2

[ M ]]{ φ }

r

= { 0}

{ φ }

Ts

[[ K ] − ω

s2

[ M ]]{ φ }

r

= {0}

r-ésimo modo s-ésimo modo

(11)

Cont. ...

( ω

r2

− ω

s2

){ φ }

Ts

[ M ]{ φ }

r

= {0}

Estas duas equações podem ser combinadas fornecendo:

E se agora tivermos ωrωs esta última equação será satisfeita se e somente se:

{ φ }

Ts

[ M ]{ φ }

r

= { 0}

{ φ }

Ts

[ K ]{ φ }

r

= { 0}

rs rs

Importantíssimo:

Estas duas relações matriciais acima constituem-se nas relações de ortogonalidade entre os modos normais de vibração em relação às matrizes de massa e rigidez, respectivamente !

(12)

{ φ }

Tr

[ M ]{ φ }

r

= M

r

r = s { φ }

Tr

[ K ]{ φ }

r

= K

r

r = s Cont. ...

Para o caso especial onde ωrωs temos:

Estas duas últimas expressões definem os valores da massa modal Mr e rigidez modal Kr (ou massa e rigidez generalizada) associadas ao r-ésimo modo normal de vibrar do sistema com N GDL não amortecido valendo a seguinte relação:

ω

r2

= { φ }

Tr

[ K ]{ φ }

r

{ φ }

Tr

[ M ]{ φ }

r

= K

r

M

r

(13)

Cont. ...

[ Φ ]

T

[ M ][ Φ ] = diag[ M

r

] [ Φ ]

T

[ K ][ Φ ] = diag[ K

r

]

Generalizando em relação à matriz modal [Φ]:

{ ψ }

r

= 1

M

r

{ φ }

r

E os valores da massa modal podem ser usado para se obter os chamados modos normais normalizados, da seguinte forma

[ Ψ ]

T

[ M ][ Ψ ] = [ I ] [ Ψ ]

T

[ K ][ Ψ ] = [ ω

r2

]

Vejamos alguns exemplos !

(14)

Cont. ...

Primeiro Modo de flexão

Primeiro Modo de torção

Dois modos de vibrar de uma estrutura aeronáutica

(15)

Cont. ...

Modos de flexão lateral e flexo-torção em chassi de veículo

(16)

Cont. ...

Modos acústicos em filtros do tipo “passa-alta”

(17)

Cont. ...

Modos acústicos e vibroacústicos em cavidades

(18)

Cont. ...

Na verdade o que fizemos até aqui foi apenas determinar o modelo modal do sistema. Vamos agora escrever a solução para o movimento livre conservativo.

Retomemos a solução apresentada anteriormente

{ u(t )}

r

= # a

r

e

λr t

+ b

r

e

− −λr t

$%

&

'( { φ }

r

λ

r

= − s

r2

ωn

r = ±i λr

Ou ainda

{u(t )}

r

= # a

r

e

iωnr t

+ b

r

e

iωnr t

& { φ }

r

ar e br dependem

das CIs !

(19)

Estas duas últimas expressões revelam que a resposta dinâmica do sistema é controlada pela parcela dependente da variável tempo, que por sua vez depende do autovalor λr e que por sua vez depende das características de [M] e [K] ! Se ambas forem positivas definidas, todos os autovalores serão positivos e não nulos e os correspondentes autovetores serão reais !

Cont. ...

{u(t )} = ( a

r

e

iωr t

+ a

r

e

iωr t

){ φ }

r

r=1 N

{u(t )} = { φ }

r

η

r

r=1 N

Esta última equação pode ser escrita como:

(20)

{ u} = [ Φ ]{ η } Cont. ...

Ou de forma compacta:

x1

x2

x3

φ11 φ12 φ13

φ21 φ22 φ23

φ31 φ32

φ33

= + + + ...

SUPERPOSIÇAO MODAL

(21)

PARTE II

SISTEMAS COM N GDL RESPOSTA FORÇADA

•  Resposta harmônica – conceito de FRF

•  Conceito de anti-ressonância

•  Modos Complexos

(22)

Sistemas com N GDL – Resposta Forçada Harmônica

{ u} = [ Φ ]{ η }

Neste caso voltamos a equação:

Onde ω é a freqüência de excitação harmônica e {f0} o vetor de amplitudes. Como solução adotamos a mesma usada no caso da vibração livre (por hipótese !)

Substituição na equação acima fornece:

(23)

Pré-multiplicando esta última por [Φ]T:

[mr]

?

[kr] {µ}

massa modal amort. modal rigidez modal excitação modal

Cont. ...

Questão básica :

A mesma relação de ortogonalidade baseada no modelo modal do sistema não amortecido que diagonaliza as matrizes de massa e rigidez seria capaz de diagonalizar a matriz de amortecimento ?

Resp.: Se e somente se [C] for combinação entre [M] e [K] !

(24)

[C ] = [ M ] a

b

[[ M ]

−1

[ K ]]

b b

[ C ] = a

0

[ M ] + a

1

[ K ]

[ Φ ]

T

[C ][ Φ ] = a

0

[m

r

] + a

1

[k

r

] Cont. ...

Neste caso:

E para o caso onde b = 0, 1 temos:

Que é amplamente conhecido como amortecimento proporcional !

agora desacopla!!

(25)

[ M

r

]{ η } + [C

r

]{ η } + [ K

r

]{ η } = { µ } e

i ω t

η 

r

+ 2 ς

r

ω

r

η 

r

+ ω

r2

η

r

= µ

r

e

iω t

Cont. ...

Procedendo o desacoplamento obtemos agora um novo conjunto de equações:

Que agora constitui-se num conjunto de equações desacopladas na chamada coordenada modal ou normal η ! Para o r-ésimo modo de vibrar temos

É importante notar que esta última equação é essencialmente a equação de um sistema de 01 GDL, somente que não mais expressa na coordenada física u(t) mas sim nas coordenadas modais η(t) ! Os parâmetros que aparecem nesta equação correspondem aos parâmetros modais associados ao modo r e são

dados por:

(26)

ς

r

= c

r

2 k

r

m

r

ω

r

= k

r

m

r

µ

r

= 1

m

r

{ φ }

Tr

{ f

0

} Cont. ...

Freqüência natural não amortecida Fator de amortecimento modal

Força de excitação modal

(27)

m1 + m2 + m3 +

+ mN

Espaço Físico

Cont. ...

[Mr]{η}+[Cr]{η}+[Kr]{η}={µ}e i ωt

(28)

Q

r

= µ

r

ω

2

− ω

2

+ i 2 ς ω ω Cont. ...

η 

r

+ 2 ς

r

ω

r

η 

r

+ ω

r2

η

r

= µ

r

e

iω t

Retomando agora a equação do r-ésimo modo temos:

Cuja solução pode ser expressa como:

η

r

(t ) = Q

r

e

iωt

Substituição desta última na equação anterior fornece o seguinte valor para a amplitude modal associada ao r-ésimo modo de vibrar do sistema

(29)

{ } x = { } ϕ

r

{ } ϕ

Tr

{ } f

0

m

r

( ω

r2

− ω

2

+ i 2 ς

r

ω

r

ω )

r=1 N

e

i ωt

E a solução nas coordenadas físicas {u} é dada usando o conceito de superposição modal ({u} = [Φ]{η}) ou seja:

Cont. ...

E desta última expressão podemos extrair a matriz de FRF do sistema

H ( ω )

"# $% = { } φ

r

{ } φ

Tr

m

r

( ω

r2

− ω

2

+ i 2 ς

r

ω

r

ω )

r=1 N

(30)

O lado esquerdo da última equação pode ser expandido como

H ( ω )

"# $% =

H

11

( ω ) H

12

( ω ) … H

1N

( ω ) H

21

( ω ) H

22

( ω ) … H

2N

( ω )

   

H

N1

( ω ) H

N2

( ω ) … H

NN

( ω )

"

#

&

&

&

&

&

$

% ' ' ' ' ' Cont. ...

Sendo cada elemento Hij(ω) da matriz de FRF definido como:

H

ij

( ω ) = U

i

F

j

( ω )

Onde Ui (ω) representa a resposta de deslocamento na coordenada i e Fj (ω) a força FRF de Receptância

(31)

Cont. ...

Esta última matriz destaca dois tipos de FRF:

H

ii

( ω ) = U

i

F

i

( ω ) i = j

H

ij

( ω ) = U

i

F

i

( ω ) ij

Diagonal principal de [H(ω)]

denominada FRF de ponto, excitação e resposta no mesmo ponto !

Elementos fora da diagonal principal de [H(ω)], são as FRF de transferência, ou seja excitação e resposta em pontos distintos !

Princípio da Reciprocidade:

H

ij

( ω ) = H

ji

( ω ) ij

(32)

) (

) ) (

(

ω ω ς ω

ω

φ φ

ω ω ς ω

ω

φ ω φ

2 2 2

22 2

21 21

1 2 1

12 1

11 11 11

2 i m

2 i H m

+ + −

+ +

= −

) (

) ) (

(

ω ω ς ω

ω

φ φ

ω ω ς ω

ω

φ ω φ

2 2 2

22 2

22 21

1 2 1

12 1

12 12 11

2 i m

2 i H m

+ + −

+ +

= −

Cont. ...

Se considerarmos, por exemplo um sistema possuindo apenas 02 GDL, escrevemos

1o Modo

2o Modo

1o Modo

2o Modo

(33)

0 50 100 150 1 10 7

1 10 6 1 10 5 1 10 4

0.001 0.01 0.1 1

Frequência [rad/s]

Magnitude [m/N]

H11 (ω )

Modo 1 Modo 2

0 50 100 150

1 10 6 1 10 5 1 10 4

0.001 0.01 0.1 1

Frequência [rad/s]

Magnitude [m/N] H12 (ω )

Modo 1 Modo 2

Anti-ressonância

FRF

Cont. ...

(34)

Caso Geral – Amortecimento Não Proporcional

Consideremos agora o caso onde a matriz [C] não obedece as relações de ortogonalidade em relação aos modos naturais do sistema conservativo.

As equações agora não mais são desacopladas e para a solução usamos a seguinte equação auxiliar

Estas duas últimas equações podem ser combinadas em um sistema de equações nas variáveis físicas da seguinte forma

(35)

[ A]{ u}  + [ B]{ u} = {P}

[ A ] = [C ] [ M ] [ M ] [0 ]

!

"

# #

$

%

&

& [ B] = [ K ] [0]

[0] − [ M ]

"

#

$ $

%

&

' ' { u} = x

x

! "

#

$ %

&

Cont. ...

onde

A equação acima recebe o nome de modelo de estado enquanto que as

matrizes [A] e [B] e o vetor {u} são respectivamente as matrizes e vetor de estados do sistema com amortecimento não proporcional ! É importante notar que embora as matrizes de estado ainda sejam simétricas, a equação resultante tem sua ordem dobrada, ou seja, 2N para apenas N GDL

{ P} = { f

0

} {0}

!

"

#

$#

%

&

#

'#

(36)

{ u(t )} = { X } s { X }

!

"

#

$#

%

&

# '#

e

st

= { U }e

st

{ Ψ

r

} = { Ψ

r

} { }s

"

# $ &

' $ s [ A] + [ B]

!" #$ { ψ } = {0}

Cont. ...

Para a solução do modelo de estado assumimos inicialmente

Que quando substituída na equação de estados fornece

E esta última equação representa um autoproblema generalizado cuja solução fornece um conjunto de 2N autovalores sr que podem ser reais ou complexos conjugados. Para o caso de sistemas sub-amortecidos, estes serão sempre complexos conjugados. Para os autovetores, escrevemos

(37)

{ u(t )} = [ Ψ ']{q(t )}

e {Ψ r} é o autovetor complexo de ordem N correspondente ao espaço das

coordenadas físicas x. Como no caso anterior, temos condições de ortogonalidade e, o desacoplamento ocorre usando-se

Cont. ...

E, seguindo um procedimento análogo ao caso de amortecimento proporcional, temos um conjunto de 2N equações desacopladas

[ a

r

]{ q(t  )} + [b

r

]{q(t )} = {0}

Cuja solução é dada por superposição modal

{u(t )} = { ψ '

r

}

r=1 2N

Q

r

e

srt

(38)

ω

r2

= { ψ

*

}

Tr

[ K ]{ ψ }

r

{ ψ

*

}

Tr

[ M ]{ ψ }

r

= k

r

m

r

Valendo uma relação similar ao caso proporcional

Cont. ...

Agora, para o caso da resposta forçada escrevemos

)}

( ' { } ]{

[ } ]{

[A u + B u = f t

⎭⎬

⎫

⎩⎨

= ⎧

} 0 {

)}

( )} {

( '

{ f t

t f

Utilizando uma transformação de coordenadas similar ao caso com amortecimento proporcional, temos

)}

( ' { ] ' [ )}

( ]{

[ )}

( ]{

[ar qt + br q t = Ψ T f t

(39)

⎭⎬

⎫

⎩⎨

= ⎧

{0}

)}

(

´} { 1 {

) ( )

( f t

t a q s t

q T

r r r

r Ψ

t

ei

F t

f ( )} { } ω

{ =

Cont. ...

A equação diferencial para o r-ésimo modo é dada por

sendo

t

ei

Q t

q( )} { } ω

{ =

Assumindo que a resposta assume a seguinte forma

Substituindo-se estas duas últimas expressões na equação acima temos como solução

t i r T

r r

N r

r F e

a s t i

u ψ ω

ψ ω

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎟⎟ ⎧

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

=

= {0}

} } {

' 1 {

} 1 ' { )}

( {

2 1

(40)

t i r T

r N

r

r F e

s t i

u φ ω

φ ω

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎟⎟ ⎧

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

=

= {0}

} } {

' 1 {

} ' { )}

( {

2 1

} ' 1 {

} '

{ r

r ar ψ

φ =

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ −

= −

=

N

r r

jr kr r

kr jr k

jk j

s s i

i F

X

1 *

*

*

) ( )

( ω

φ φ

ω φ ω φ

ω α

Cont. ...

Ou ainda

De onde pode-se extrair a FRF do sistema

(41)

Para o caso de amortecimento não proporcional, os modos de vibrar resultam complexos !

REAL COMPLEXO

Cont. ...

Referências

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