SEM 5766 – ANÁLISE MODAL DE ESTRUTURAS UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Aula # 2 – Sistemas com N GDL
Objetivos
Objetivo principal desta aula é apresentar e discutir a resposta livre e forçada harmônica de sistemas discretos possuindo múltiplos graus de liberdade
Serão cobertos os seguintes principais tópicos:
• Resposta livre
• Resposta forçada harmônica
• Resposta forçada harmônica – conceito de FRF
• Propriedades da FRF
Bibliografia:
PARTE I
SISTEMAS COM N GDL
RESPOSTA LIVRE
Sistemas com N GDL – Resposta Livre
O modelo de N GDL obedece à seguinte equação de movimento:
Onde:
• [M] – Matriz de massa
• [K] – Matriz de rigidez
• [C] – Matriz de amortecimento
• {f (t)} – Vetor de forças externas
• {u} – vetor de deslocamentos físicos
Matrizes simétricas de ordem N !
Cont. ...
Para o estudo da vibração livre não amortecida:
{f (t)} = {0}
[C] = [0]
E com isto temos:
E a solução desta última equação para condições iniciais não nulas é dada por:
Onde {φ} é um vetor de ordem N, de valores independentes da variável tempo e s um número complexo. Substituição desta solução na equação do movimento livre dá
[[ K ] + s
2[ M ]]{ φ }e
st= {0}
Cont. ...
λ = − s
2Como est ≠ 0 esta última equação pode ainda ser escrita como:
[[ K ] − λ [ M ]]{ φ } = { 0}
Que na verdade constitui-se num sistema homogêneo do tipo:
[ A]{x} = {0}
Rearranjando de forma mais conveniente temos:
[ K ]{ φ } = λ [ M ]{ φ }
[D]{x}= λ{x}
Ou ainda:
[ M ]
−1[ K ]{ φ } = λ { φ }
[A]{x}= λ[B]{x}
Cont. ...
Importantíssimo:
As variáveis λ e {φ} são denominadas de autovalores e autovetores do problema da vibração livre não amortecida. Estes parâmetros estão diretamente relacionados Com as propriedades físicas do sistema, as freqüências naturais não amortecidas e os chamados modos normais ou naturais de vibração ! Portanto, a determinação Destas propriedades fundamentais do sistema de N GDL reside na solução de um autoproblema generalizado (generalized eigenproblem) ! [A]{x}= λ[B]{x}
Retomemos a equação:
[[ K ] − λ [ M ]]{ φ } = { 0}
Esta última equação possui solução não trivial se e somente se:
[ K ] − λ [ M ] = {0}
Cont. ...
Na forma polinomial:
Onde os coeficientes a1 ... aN dependem das características de massa e rigidez. Esta última equação (ou a anterior) denomina-se equação característica do sistema com N GDL e suas raízes são na verdade os autovalores do sistema em estudo. O p-ésimo autovalor do sistema relaciona-se com a correspondente freqüência natural não
amortecida através da seguinte relação
a
pλ
p= 0
p=1 N
∑
ω
np
= ± i λ
pOnde:
i = − 1
[ ω
n] =
ω
10 0
0 ω
2 0
0 0 ω
N"
#
$ $
$
$ $
%
&
' ' ' ' '
=
λ
10 0
0 λ
2 0
0 0 λ
N"
#
$ $
$ $
$ $
%
&
' ' ' ' ' '
Determinamos assim o chamado Modelo Modal do sistema conservativo:
[ Φ ] = [{ φ }
1,{ φ }
2,...,{ φ }
N] =
φ
11φ
12… φ
1Nφ
21φ
22… φ
2N
φ
N1φ
1N… φ
NN#
$
%
% %
% %
&
'
(
( (
( (
Cont. ...
Relações de Ortogonalidade
São relações importantes entre modos normais de um mesmo sistema. Escrevemos inicialmente para modos r e s distintos
[[ K ] − ω
r2[ M ]]{ φ }
r= {0}
[[ K ] − ω
s2[ M ]]{ φ }
s= {0}
r-ésimo modo
s-ésimo modo
Agora, pré-multiplicamos a primeira equação por {φ}sT e pós-multiplicamos a transposta da segunda por {φ}r obtendo assim
{ φ }
Ts[[ K ] − ω
r2[ M ]]{ φ }
r= { 0}
{ φ }
Ts[[ K ] − ω
s2[ M ]]{ φ }
r= {0}
r-ésimo modo s-ésimo modo
Cont. ...
( ω
r2− ω
s2){ φ }
Ts[ M ]{ φ }
r= {0}
Estas duas equações podem ser combinadas fornecendo:
E se agora tivermos ωr ≠ ωs esta última equação será satisfeita se e somente se:
{ φ }
Ts[ M ]{ φ }
r= { 0}
{ φ }
Ts[ K ]{ φ }
r= { 0}
r ≠ s r ≠ s
Importantíssimo:
Estas duas relações matriciais acima constituem-se nas relações de ortogonalidade entre os modos normais de vibração em relação às matrizes de massa e rigidez, respectivamente !
{ φ }
Tr[ M ]{ φ }
r= M
rr = s { φ }
Tr[ K ]{ φ }
r= K
rr = s Cont. ...
Para o caso especial onde ωr ≠ ωs temos:
Estas duas últimas expressões definem os valores da massa modal Mr e rigidez modal Kr (ou massa e rigidez generalizada) associadas ao r-ésimo modo normal de vibrar do sistema com N GDL não amortecido valendo a seguinte relação:
ω
r2= { φ }
Tr[ K ]{ φ }
r{ φ }
Tr[ M ]{ φ }
r= K
rM
rCont. ...
[ Φ ]
T[ M ][ Φ ] = diag[ M
r] [ Φ ]
T[ K ][ Φ ] = diag[ K
r]
Generalizando em relação à matriz modal [Φ]:
{ ψ }
r= 1
M
r{ φ }
rE os valores da massa modal podem ser usado para se obter os chamados modos normais normalizados, da seguinte forma
[ Ψ ]
T[ M ][ Ψ ] = [ I ] [ Ψ ]
T[ K ][ Ψ ] = [ ω
r2]
Vejamos alguns exemplos !
Cont. ...
Primeiro Modo de flexão
Primeiro Modo de torção
Dois modos de vibrar de uma estrutura aeronáutica
Cont. ...
Modos de flexão lateral e flexo-torção em chassi de veículo
Cont. ...
Modos acústicos em filtros do tipo “passa-alta”
Cont. ...
Modos acústicos e vibroacústicos em cavidades
Cont. ...
Na verdade o que fizemos até aqui foi apenas determinar o modelo modal do sistema. Vamos agora escrever a solução para o movimento livre conservativo.
Retomemos a solução apresentada anteriormente
{ u(t )}
r= # a
re
−λr t+ b
re
− −λr t$%
&
'( { φ }
rλ
r= − s
r2ωn
r = ±i λr
Ou ainda
{u(t )}
r= # a
re
iωnr t+ b
re
−iωnr t& { φ }
rar e br dependem
das CIs !
Estas duas últimas expressões revelam que a resposta dinâmica do sistema é controlada pela parcela dependente da variável tempo, que por sua vez depende do autovalor λr e que por sua vez depende das características de [M] e [K] ! Se ambas forem positivas definidas, todos os autovalores serão positivos e não nulos e os correspondentes autovetores serão reais !
Cont. ...
{u(t )} = ( a
re
iωr t+ a
re
−iωr t){ φ }
rr=1 N
∑
{u(t )} = { φ }
rη
rr=1 N
∑
Esta última equação pode ser escrita como:
{ u} = [ Φ ]{ η } Cont. ...
Ou de forma compacta:
x1
x2
x3
φ11 φ12 φ13
φ21 φ22 φ23
φ31 φ32
φ33
= + + + ...
SUPERPOSIÇAO MODAL
PARTE II
SISTEMAS COM N GDL RESPOSTA FORÇADA
• Resposta harmônica – conceito de FRF
• Conceito de anti-ressonância
• Modos Complexos
Sistemas com N GDL – Resposta Forçada Harmônica
{ u} = [ Φ ]{ η }
Neste caso voltamos a equação:
Onde ω é a freqüência de excitação harmônica e {f0} o vetor de amplitudes. Como solução adotamos a mesma usada no caso da vibração livre (por hipótese !)
Substituição na equação acima fornece:
Pré-multiplicando esta última por [Φ]T:
[mr]
?
[kr] {µ}massa modal amort. modal rigidez modal excitação modal
Cont. ...
Questão básica :
A mesma relação de ortogonalidade baseada no modelo modal do sistema não amortecido que diagonaliza as matrizes de massa e rigidez seria capaz de diagonalizar a matriz de amortecimento ?
Resp.: Se e somente se [C] for combinação entre [M] e [K] !
[C ] = [ M ] a
b[[ M ]
−1[ K ]]
∑
b b[ C ] = a
0[ M ] + a
1[ K ]
[ Φ ]
T[C ][ Φ ] = a
0[m
r] + a
1[k
r] Cont. ...
Neste caso:
E para o caso onde b = 0, 1 temos:
Que é amplamente conhecido como amortecimento proporcional !
agora desacopla!!
[ M
r]{ η } + [C
r]{ η } + [ K
r]{ η } = { µ } e
i ω tη
r+ 2 ς
rω
rη
r+ ω
r2η
r= µ
re
iω tCont. ...
Procedendo o desacoplamento obtemos agora um novo conjunto de equações:
Que agora constitui-se num conjunto de equações desacopladas na chamada coordenada modal ou normal η ! Para o r-ésimo modo de vibrar temos
É importante notar que esta última equação é essencialmente a equação de um sistema de 01 GDL, somente que não mais expressa na coordenada física u(t) mas sim nas coordenadas modais η(t) ! Os parâmetros que aparecem nesta equação correspondem aos parâmetros modais associados ao modo r e são
dados por:
ς
r= c
r2 k
rm
rω
r= k
rm
rµ
r= 1
m
r{ φ }
Tr{ f
0} Cont. ...
Freqüência natural não amortecida Fator de amortecimento modal
Força de excitação modal
m1 + m2 + m3 +
…
+ mNEspaço Físico
Cont. ...
[Mr]{η}+[Cr]{η}+[Kr]{η}={µ}e i ωt
Q
r= µ
rω
2− ω
2+ i 2 ς ω ω Cont. ...
η
r+ 2 ς
rω
rη
r+ ω
r2η
r= µ
re
iω tRetomando agora a equação do r-ésimo modo temos:
Cuja solução pode ser expressa como:
η
r(t ) = Q
re
iωtSubstituição desta última na equação anterior fornece o seguinte valor para a amplitude modal associada ao r-ésimo modo de vibrar do sistema
{ } x = { } ϕ r { } ϕ Tr { } f0
{ } f0
m
r( ω
r2− ω
2+ i 2 ς
rω
rω )
r=1 N
∑ e
i ωtE a solução nas coordenadas físicas {u} é dada usando o conceito de superposição modal ({u} = [Φ]{η}) ou seja:
Cont. ...
E desta última expressão podemos extrair a matriz de FRF do sistema
H ( ω )
"# $% = { } φ
r{ } φ Tr
m
r( ω
r2− ω
2+ i 2 ς
rω
rω )
r=1 N
∑
O lado esquerdo da última equação pode ser expandido como
H ( ω )
"# $% =
H
11( ω ) H
12( ω ) … H
1N( ω ) H
21( ω ) H
22( ω ) … H
2N( ω )
H
N1( ω ) H
N2( ω ) … H
NN( ω )
"
#
&
&
&
&
&
$
% ' ' ' ' ' Cont. ...
Sendo cada elemento Hij(ω) da matriz de FRF definido como:
H
ij( ω ) = U
iF
j( ω )
Onde Ui (ω) representa a resposta de deslocamento na coordenada i e Fj (ω) a força FRF de Receptância
Cont. ...
Esta última matriz destaca dois tipos de FRF:
H
ii( ω ) = U
iF
i( ω ) i = j
H
ij( ω ) = U
iF
i( ω ) i ≠ j
Diagonal principal de [H(ω)]
denominada FRF de ponto, excitação e resposta no mesmo ponto !
Elementos fora da diagonal principal de [H(ω)], são as FRF de transferência, ou seja excitação e resposta em pontos distintos !
Princípio da Reciprocidade:
H
ij( ω ) = H
ji( ω ) i ≠ j
) (
) ) (
(
ω ω ς ω
ω
φ φ
ω ω ς ω
ω
φ ω φ
2 2 2
22 2
21 21
1 2 1
12 1
11 11 11
2 i m
2 i H m
+ + −
+ +
= −
) (
) ) (
(
ω ω ς ω
ω
φ φ
ω ω ς ω
ω
φ ω φ
2 2 2
22 2
22 21
1 2 1
12 1
12 12 11
2 i m
2 i H m
+ + −
+ +
= −
Cont. ...
Se considerarmos, por exemplo um sistema possuindo apenas 02 GDL, escrevemos
1o Modo
2o Modo
1o Modo
2o Modo
0 50 100 150 1 10 7
1 10 6 1 10 5 1 10 4
0.001 0.01 0.1 1
Frequência [rad/s]
Magnitude [m/N]
H11 (ω )
Modo 1 Modo 2
0 50 100 150
1 10 6 1 10 5 1 10 4
0.001 0.01 0.1 1
Frequência [rad/s]
Magnitude [m/N] H12 (ω )
Modo 1 Modo 2
Anti-ressonância
FRF
Cont. ...
Caso Geral – Amortecimento Não Proporcional
Consideremos agora o caso onde a matriz [C] não obedece as relações de ortogonalidade em relação aos modos naturais do sistema conservativo.
As equações agora não mais são desacopladas e para a solução usamos a seguinte equação auxiliar
Estas duas últimas equações podem ser combinadas em um sistema de equações nas variáveis físicas da seguinte forma
[ A]{ u} + [ B]{ u} = {P}
[ A ] = [C ] [ M ] [ M ] [0 ]
!
"
# #
$
%
&
& [ B] = [ K ] [0]
[0] − [ M ]
"
#
$ $
%
&
' ' { u} = x
x
! "
#
$ %
&
Cont. ...
onde
A equação acima recebe o nome de modelo de estado enquanto que as
matrizes [A] e [B] e o vetor {u} são respectivamente as matrizes e vetor de estados do sistema com amortecimento não proporcional ! É importante notar que embora as matrizes de estado ainda sejam simétricas, a equação resultante tem sua ordem dobrada, ou seja, 2N para apenas N GDL
{ P} = { f
0} {0}
!
"
#
$#
%
&
#
'#
{ u(t )} = { X } s { X }
!
"
#
$#
%
&
# '#
e
st= { U }e
st{ Ψ
r} = { Ψ
r} { }s
"
# $ &
' $ s [ A] + [ B]
!" #$ { ψ } = {0}
Cont. ...
Para a solução do modelo de estado assumimos inicialmente
Que quando substituída na equação de estados fornece
E esta última equação representa um autoproblema generalizado cuja solução fornece um conjunto de 2N autovalores sr que podem ser reais ou complexos conjugados. Para o caso de sistemas sub-amortecidos, estes serão sempre complexos conjugados. Para os autovetores, escrevemos
{ u(t )} = [ Ψ ']{q(t )}
e {Ψ r} é o autovetor complexo de ordem N correspondente ao espaço das
coordenadas físicas x. Como no caso anterior, temos condições de ortogonalidade e, o desacoplamento ocorre usando-se
Cont. ...
E, seguindo um procedimento análogo ao caso de amortecimento proporcional, temos um conjunto de 2N equações desacopladas
[ a
r]{ q(t )} + [b
r]{q(t )} = {0}
Cuja solução é dada por superposição modal
{u(t )} = { ψ '
r}
r=1 2N
∑ Q
re
srtω
r2= { ψ
*}
Tr[ K ]{ ψ }
r{ ψ
*}
Tr[ M ]{ ψ }
r= k
rm
rValendo uma relação similar ao caso proporcional
Cont. ...
Agora, para o caso da resposta forçada escrevemos
)}
( ' { } ]{
[ } ]{
[A u + B u = f t
⎭⎬
⎫
⎩⎨
= ⎧
} 0 {
)}
( )} {
( '
{ f t
t f
Utilizando uma transformação de coordenadas similar ao caso com amortecimento proporcional, temos
)}
( ' { ] ' [ )}
( ]{
[ )}
( ]{
[ar q t + br q t = Ψ T f t
⎭⎬
⎫
⎩⎨
= ⎧
− {0}
)}
(
´} { 1 {
) ( )
( f t
t a q s t
q T
r r r
r Ψ
t
ei
F t
f ( )} { } ω
{ =
Cont. ...
A equação diferencial para o r-ésimo modo é dada por
sendo
t
ei
Q t
q( )} { } ω
{ =
Assumindo que a resposta assume a seguinte forma
Substituindo-se estas duas últimas expressões na equação acima temos como solução
t i r T
r r
N r
r F e
a s t i
u ψ ω
ψ ω
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎟⎟ ⎧
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
∑
−= {0}
} } {
' 1 {
} 1 ' { )}
( {
2 1
t i r T
r N
r
r F e
s t i
u φ ω
φ ω
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎟⎟ ⎧
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
∑
−= {0}
} } {
' 1 {
} ' { )}
( {
2 1
} ' 1 {
} '
{ r
r ar ψ
φ =
∑
= ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ −
= −
=
N
r r
jr kr r
kr jr k
jk j
s s i
i F
X
1 *
*
*
) ( )
( ω
φ φ
ω φ ω φ
ω α
Cont. ...
Ou ainda
De onde pode-se extrair a FRF do sistema
Para o caso de amortecimento não proporcional, os modos de vibrar resultam complexos !
REAL COMPLEXO