Capítulo 4 Modulação de Pulsos Teoria da Amostragem. Capítulo 4 Modulação de Pulsos - Página 1

Capítulo 4

Modulação de Pulsos

4.1. Teoria da Amostragem

Sob certas condições, um sinal contínuo no tempo pode ser completamente representado e recuperado através do conhecimento de suas amostras igualmente espaçadas no tempo.

Ex.:

Vantagens:

- Sinal representado por um número finito de valores - Possibilidade de armazenamento e processamento digital

Seja ( )f t a função a ser amostrada:

A fim de obter f t( )₀ , amostra de f t( ) no instante t , ₀ multiplica-se f t( ) por um impulso em t=t₀ e integra- se o resultado..

Assim:

Propriedade da Amostragem da Função Impulso

0 0

( ) ( ) ( )

f t δ t t dt f t

+∞

−∞

⋅ − =

0 1 2 3 4 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t Amostragem f(0)

f(T)

f(2T)

f(3T) f(4T) f(5T)

f(6T)

f(7T) f(8T)

f(9T) f(10T) f(t)

0 1 2 3 4 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f(t)

t₀ f(t0)

4.1.1. Amostragem com Trem de Impulsos

Seja a função a ser amostrada ( )f t :

Dado um período de amostragem T.

Definimos ( )p t : Trem de Impulsos

( )

( )

n

p t

^+∞

δ t nT

=−∞

= −

Multiplicando ( )f t por ( )p t :

O sinal f t_p( ) obtido (sinal discreto no tempo) contém a informação sobre as amostras do sinal original nos tempos nT .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p

p

n

p n

f t f t p t

f t f t t nT

f t f nT t nT

δ δ

+∞

−∞

+∞

−∞

= ⋅

= ⋅ −

= ⋅ −

0 1 2 3 4 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

( ) X f t

( ) p t

( ) ( ) ( ) f tp = f t ×p t

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f_p(t)

• Análise Espectral

Seja ( )f t e seu espectro:

E o Trem de Impulsos:

{ } ( )

( ) ( )

n

P ω p t

^+∞

δ t nT

=−∞

= = −

O Trem de Impulsos é um sinal periódico com período T, logo sua transformada pode ser calculada por:

(

⁰

)

( ) 2

_n

.

n

F ω π

^+∞

F δ ω n ω

=−∞

= −

onde: Coeficientes da Série de Fourier ^{0 0}

0

1 ^{t T} ( ). ^{jn t}.

n t

F f t e dt

T

+ − ω

= e ₀ 2

T ω = π

No caso:

2 0 2

2 2

1 1 0 1

(0). . (0). .

T T

T T

jn t

Fn e dt e dt

T T T

δ

⁻ ω

δ

− −

= = =

Logo:

{ } ¹ ( )

( ) ( ) 2 .

_s

n

P p t n

ω π

^+∞

T δ ω ω

=−∞

= = −

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

←→ ?

0 1 2 3 4 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f(t)

←→

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F(ω)

ωm

-ω_m

A

onde: 2

s T

ω = π : Frequência de Amostragem

Logo:

( )

( )

n

p t

^+∞

δ t nT

=−∞

= −

_←→

^{( ) 2} (

s

)

n

P n

T

ω π

^+∞

δ ω ω

=−∞

= −

Deste modo , teremos o espectro do sinal amostrado:

( ) ( ) ( )

f t

p

= f t ⋅ p t

←→

^{( ) 1} { ^{( ) * ( )} }

p

2

F ω F ω P ω

= π

( )

( )

1 2

( ) ( ) *

2

( ) 1 ( ) *

p s

n

p s

n

F F n

T

F F n

T

ω ω π δ ω ω

π

ω ω δ ω ω

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= −

= −

( ) 1 ( )

p s

n

F F n

ω T

^+∞

ω ω

=−∞

= −

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

←→

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω_s 2ω_s -ω_s

-2ω_s

P(ω)

2π/T 2π/T 2π/T

ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t fp(t)

←→

-30 -20 -10 0 10 20 30

0 0.5 1 1.5 2

ω F_p(ω)

ωm

-ωm

A/T

ωs 2ω -2ω s

s -ω

s

Portanto, o espectro de um sinal amostrado é uma repetição do espectro do sinal original nas frequências múltiplas da frequência de amostragem.

Resumo:

Para que não ocorra Superposição dos Espectros é necessário que: (pelo gráfico)

s m m

ω ω

− ≥

ω

Logo:

s

2

m

ω ≥ ω

ou

f

_s

≥ 2 f

_m

0 1 2 3 4 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω_s 2ω_s -ω_s

-2ω_s

P (ω)

2π/T 2π/T 2π/T

ω

←→

←→

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f_p(t)

←→

-30 -20 -10 0 10 20 30

0 0.5 1 1.5 2

ω F_p(ω)

ω_m -ω_m

A/T

ω_s 2ω_s -2ω_s -ω_s

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F(ω)

ω_m -ω

m

A

Teorema da Amostragem

Em 1928, Nyquist estudo a amostragem de sinais nas Séries de Fourier, porém apenas em 1949 com Shannon, que seu princípio foi incorporado à Teoria das Comunicações.

“Seja um sinal f t( ) limitado em frequência tal que F( )ω =0 para ω ω> _m. Então f t( ) é unicamente determinado por suas amostras (f nT), n= ± ±0, 1, 2,... se:

s

2

m

ω ≥ ω

onde 2

s T

ω = π ”

Em outras palavras: A frequência de amostragem deve ser, no mínimo, igual ao dobro da máxima frequência existente no sinal.

A frequência

ω

_s

= 2 ω

_m é chamada Frequência de Nyquist ou Taxa de Nyquist.

É comum usarmos um filtro PB de frequência

2

s c

ω =ω na entrada dos sistemas de aquisição de dados, para garantirmos que o Teorema da Amostragem seja obedecido.

O sinal contínuo f t pode ser recuperado a partir do sinal amostrado ( ) f t , filtrando-se este _p( ) último através de um filtro Passa-Baixas ideal de ganho T e de frequência de corte

m c s m

ω < ω ω ω < −

. Este filtro é chamado de Filtro PB de reconstrução.

-30 -20 -10 0 10 20 30

0 0.5 1 1.5 2

ω F_p(ω)

ω_m -ω_m

A/T

ω_s 2ω_s -2ω_s -ω_s

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F(ω)

ω_m -ω_m

A

ω ωc

-ωc

|H(ω)|

T Filtro PB

O que ocorre caso o Teorema da Amostragem não seja cumprido? ω_s <2ω_m

-30 -20 -10 0 10 20 30

0 0.5 1 1.5 2

ω Fp(ω)

ωm

-ω_m

A/T

ω_s 2ω_s -ω_s

-2ω_s ω_s-ω_m

Ocorre o Recobrimento dos Espectros, também chamado de Superposição ou Efeito “Aliasing”.

Devido à esta superposição dos espectros, o sinal original não pode ser mais recuperado por filtragem – Perda da Informação!

Dado o sinal discreto na figura abaixo, qual é o sinal contínuo que deu origem? (desenhe as possibilidades no gráfico abaixo)

0 5 10 15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

1.5 f

_p

(t)

T 2T 3T t

4T

Se o teorema da amostragem não for cumprido, há infinitos sinais que poderiam originar f t_p( ), não sendo possível recuperar o sinal contínuo original.

Exemplos:

1) Sinal de Voz:

O gráfico abaixo mostra o espectro de um sinal de voz (som “a”).

Note que grande parte da energia deste sinal está concentrada de 15 a 10kHz.

Devido a esta

característica considera-se para aplicações de telefonia (canal telefônico) que o sinal de voz esteja concentrado na faixa de 300Hz a 3400Hz. Esta faixa corresponde a 68% da Energia e 85% da inteligibilidade da voz.

A fim de processarmos digitalmente o sinal de voz, devemos amostra-lo a uma frequência de pelo menos: 2 3400× =6,8kHz. Na prática utiliza-se como frequência de amostragem em telefonia

s 8

f = kHz, a fim de evitar aliasing e facilitar a recuperação por filtragem PB.

2) Sinal de Áudio:

O Sinal de Áudio possui largura de banda maior que a voz humana, conforme pode ser visto no espectro abaixo:

Note que o sinal de áudio possui o espectro muito mais homogêneo e com maior quantidade de altas frequências que o sinal de voz. O ouvido humano é sensível até frequências próximas a 20kHz.

Logo para o processamento (e armazenagem) de sinal de áudio com qualidade é necessário

utilizar no mínimo f_s =40kHz. Aplicações como CD de áudio, utiliza f_s =44,1kHz. 3) Vídeo

Suponha que desejamos amostrar um sinal de vídeo de modo a obter um quadro de tamanho 640×480 (VGA) e uma taxa de quadros de 30fps (frames por segundo), logo necessitaremos de uma frequência de amostragem de: f_s =30quadros s/ ×640 480× amostras quadro/ ou

9,126 fs = MHz

4.1.2. Amostragem Natural com Trem de Pulsos

Na prática é difícil obter um trem de impulsos. Logo se utiliza trem de pulsos para fazer a amostragem.

Trem de Pulsos:

Lembrando:

{

^{( )}

}

² n^.

(

^. s

)

n

p t_τ π ^+∞ F δ ω nω

=−∞

= − 2

s T

ω = π

Esta Série de Fourier foi calculada anteriormente: ⁰

0

1 ( ).

2

s

t T jn t s

n t

n

F p t e dt A Sa

T T

τ ω τ ω τ

+ −

= =

Usando o trem de pulsos como amostrador, temos:

Calculo do Espectro

{ }

( ) 1 ( ) * ( )

p 2

F_τ ω F ω P_τ ω

= π

( )

( ) 1 ( ) * 2 .

2 2

s

p s

n

n

F F A Sa n

τ ω ω π Tτ ω τ δ ω ω

π

+∞

=−∞

= −

( )

( ) .

2

s

p s

n

n

F A Sa F n

τ

ω T τ

^+∞

ω τ ω ω

=−∞

= −

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5

t p_τ(t)

A

τ

T

-10 -5 0 5 10

-0.1 0 0.1 0.2 0.3

ω P_tau(ω)

ω_s2ω_s -ω_s

3ω_s

←→

( ) X f t

( ) p t_τ

( ) ( ) ( ) fp_τ t = f t ×p t_τ

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f_pτ(t)

Constante dependente de n

Resumo:

Logo: Teorema de Shannon continua valendo.

s 2 m

ω ≥ ω para não haver recobrimento de espectros.

Zoom:

←→

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F(ω)

ω_m -ω_m

A

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f(t)

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5

t p_τ(t)

A

τ

T

-10 -5 0 5 10

-0.1 0 0.1 0.2 0.3

ω P_tau(ω)

ω_s2ω_s -ω_s

3ω_s

←→

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f_pτ(t)

←→

-10 -5 0 5 10

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_pτ(ω)

ω_s2ω_s 3ω_s -ω_s

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_pτ(ω)

ω_s 2ω_s -ω_s -ω_mω_m

4.1.3. Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos

Neste tipo a amostragem ocorre em um único instante de tempo.

Notação: f t Amostragem por Trem de Impulsos _p( )

p ( )

f _τ t Amostragem Natural por Trem de Pulsos

pi ( )

f _τ t Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos

Análise:

Como podemos obter a função Trem de Pulsos a partir da Trem de Impulsos através da convolução com a Função Porta: p t_τ( )= p t( ) *g t_τ( )

-5 0 5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t f_piτ(t)

f(t)

0 1 2 3 4 5

p(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T ...

-2 -1 0 1 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t gτ(t)

τ/2 -_τ/2

A

*

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5

t p_τ(t)

A

τ

T

=

Logo podemos pensar que f_piτ( )t pode ser gerado como a convolução:

( ) ( ) * ( )

pi p

f _τ t = f t g t_τ

Lembrando que a Transformada de Fourier da Função porta é a Sampling:

{

^{( )}

}

^.

g t_τ =A Saτ ωτ2 E a Propriedade da Convolução no Domínio do Tempo:

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )

pi p pi p

f _τ t = f t g t_τ ←→ F _τ ω =F ω ×G_τ ω Temos que:

{

^{pi ( )}

}

¹

⁽

^s

⁾

^. ₂

n

f t F n A Sa

τ T ^+∞ ω ω τ ωτ

=−∞

= − ×

Logo:

^{( )} ( )

pi

2

s

n

F A Sa F n

τ

ω T τ

^+∞

ωτ ω ω

=−∞

= −

Cuidar, pois F_piτ( )ω é diferente de: ^{( ) .}

( )

2

s

p s

n

n

F A Sa F n

τ ω Tτ ^+∞ ω τ ω ω

=−∞

= −

-2 -1 0 1 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t g_τ(t)

τ/2 -τ/2

A

*

-5 0 5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t fp(t)

2T 3T -T T

-5 0 5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t f_piτ(t)

T

2T 3T -T ^{-τ/2 τ/2}

=

Função de ω

Constante dependente de n

Resumo:

Amostragem por Trem de Impulsos:

Amostragem Natural por Trem de Pulsos:

Amostragem Instantânea por Trem de Pulsos:

Zoom:

Note que há distorção dos espectros!

Pois cada ponto do espectro fica multiplicado pela função Sampling.

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f_pτ(t)

←→

-10 -5 0 5 10

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_pτ(ω)

ω_s2ω_s 3ω_s -ω_s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f_p(t)

←→

-30 -20 -10 0 10 20 30

0 0.5 1 1.5 2

ω F_p(ω)

ω_m -ω_m

A/T

ω_s 2ω_s -2ω_s -ω_s

-10 -5 0 5 10

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_piτ(ω)

ωs -ωs 2ω_s

3ωs

-5 0 5

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t f_piτ(t)

T

2T 3T

-T ^{-τ/2 τ/2}

←→

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_piτ(ω)

ω_s

-ω_s -ω_m ω_m 2ω_s

Observação:

No sistema com amostragem instantânea por pulsos NUNCA se consegue reconstrução sem erro do sinal devido à distorção imposta pela Função Sampling.

A esse efeito chamamos de “Distorção sen(x)/x”

Ex.: Vejamos esta distorção mais claramente no exemplo onde ( ) ( ) F ω =g_ωm ω

Formas de Minimizar a Distorção “sen(x)/x”

a) Diminuindo τ : ^{( )}

( )

pi 2 s

n

F A Sa F n

τ ω Tτ ^+∞ ωτ ω ω

=−∞

= −

Reduz a distorção!

-5 0 5

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_piτ(ω)

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F(ω)

ω_m -ω_m

Distorção

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t τ₁

τ₂ τ₂<τ₁

Problemas:

- Diminui-se a energia do sinal, logo diminui a relação Sinal-Ruido.

- Projeto do Filtro Passa-Baixas é mais crítico.

Para

τ = T

^:

- Ponto de maior distorção.

- Maior energia do Sinal reconstruído.

- Filtro PB mais fácil, as réplicas do espectro ficam sobre os zeros da Sampling.

Este é o tipo de amostragem mais utilizado na prática.

-5 0 5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t τ₂

-5 0 5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t τ₁

-5 0 5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t τ=T

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

ω τ=T

ω_s 2ω_s -ω

s

-2ω_s

←→

b) Aumentar a Frequência de Amostragem Para

τ = T

^:

- Reduz a Distorção “sen(x)/x”

- Reduz a complexidade do Filtro PB Problemas:

- Necessita processador mais rápido.

- Maior quantidade de memória para armazenamento

c) Alterar a Resposta em Frequência do filtro PB de reconstrução:

Filtro com reposta em frequência:

1 2

( )

2 sin 2

G

Sa

ωτ ω ⁼ ωτ ⁼ ωτ

até a frequência ω_s/ 2

-5 0 5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t τ=T

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

ω τ=T

ω_s 2ω_s -ω_s

-2ω_s

←→

-5 0 5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

t

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

ω

ω_s 2ω_s -ω_s

-2ω_s

←→

PB G( )ω

pi ( )

f _τ t f t( )

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

ω G(ω)

ω_s/2 -ω_s/2

4.2. Sistemas de Modulação de Pulsos

• Modulação Contínua:

Portadora é um sinal sinusoidal Ex.: AM, FM e PM

• Modulação por Pulsos

Portadora é um trem de pulsos

Informação a ser transmitida é composta pelas amostras obtidas pela amostragem com trem de impulsos (amostragem ideal) do sinal f(t).

A informação deve modificar alguma característica da portadora:

• Modulação Analógica

A informação varia alguma grandeza analógica do pulso:

ex.: amplitude (PAM), largura (PWM) ou posição (PPM) do pulso.

• Modulação Digital (Codificação)

A informação gera um sinal codificado digital Ex.: PCM, DPCM, DM, ADPCM,...

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5

t p_τ(t)

A

τ

T

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

t f_p(t)

4.2.1. Modulação em Amplitude de Pulso (PAM)

A amplitude de um trem de pulsos varia linearmente com a amplitude das amostras do sinal modulador (informação).

É a aplicação direta da Amostragem por Trem de Pulsos.

Lembrando: Para Amostragem Natural.

( ) ( ). ( ) ( ) 1 ( ) * ( )

PAM t f t p t_τ PAM 2 F P_τ

ϕ ω ω ω

= ←→ Φ = π

( ) ( ). ( )

PAM n

t f t g t_τ nT

ϕ ^+∞

=−∞

= −

( ) . ( )

2

s

PAM s

n

n

A Sa F n

T τ ω τ

ω

^+∞

ω ω

=−∞

Φ = −

Obs.: O teorema da amostragem deve ser respeitado. ω_s≥2ω_m

←→

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F(ω)

ω_m -ω_m

A

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f(t)

-5 0 5

-0.5 0 0.5 1 1.5

t p_τ(t)

A

τ

T

←→

←→

-10 -5 0 5 10

-0.1 0 0.1 0.2 0.3

ω Ptau(ω)

ω_s2ω_s -ω_s

3ω_s

( ) P_τ ω

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f_pτ(t)

PAM( )t ϕ

-10 -5 0 5 10

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_pτ(ω)

ω_s2ω_s 3ω_s -ω_s

PAM( )ω Φ B

• Modulação em Sistemas PAM

a) Amostragem Natural com Trem de Pulsos Circuito: Chave seletora. Ex.: CD4053

Obs.: Para trabalhar com multiplexadores digitais (CD4053), é necessário que o sinal f(t) nunca seja negativo, logo pode haver a necessidade de adicionarmos um nível DC ao sinal de entrada.

Ex.:

b) Amostragem Instantânea com Trem de Pulsos

Ex.: Circuito de Sample&hold – Amostragem e Retenção ( )

f t

( ) p t_τ

PAM( )t ϕ

1 2

0 VCC

0

( ) f t

PAM( )t ϕ ( )

p t_τ

0

C

3

2

411

1 +

-

V+V-

OUT 3

2

411

1 +

-

V+V-

OUT

0

( ) f t

PAM( )t t1 ϕ

t2

t3

0 1 2 3 4

0 0.5 1 1.5

t φ_PAM(t)

t₁ t₂ t

3

• Demodulação em Sistemas PAM

A recuperação do sinal de informação é feita basicamente através de uma filtragem Passa-Baixas do sinal ϕ_PAM( )t

Filtrando PB o sinal:

( ) . ( )

2

s

PAM s

n

n

A Sa F n

T

ω τ

ω τ

^+∞

ω ω

=−∞

Φ = −

com filtro de frequência de corte ω_c tal que ω_m ≤ω ω ω_c ≤ _s− _m

Apenas a réplica do espectro em n=0 passa pelo filtro, temos então o sinal reconstruído:

( ) A ( )

Y F

T ω = τ ω

Obs.: Se a largura dos pulsos τ for muito pequena em relação ao período T, o sinal reconstruído terá um valor médio baixo, o que gera uma baixa relação Sinal-Ruído.

Obs.2: Como é impossível implementarmos um filtro PB ideal (corte abrupto), torna-se necessária a alocação de uma Banda de Guarda, isto é, devemos definir a frequência de amostragem ω_s ^um valor MAIOR que o limite 2ω_m, a fim de facilitar o projeto do filtro.

←→

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f_pτ(t)

PAM( )t ϕ

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω

F_pτ(ω)

ω_s 2ω_s -ω_s -ω_m ω_m

PAM( )

ϕ ω

Banda de Guarda

Multiplexação por Divisão em Frequência (FDM)

Podemos transmitir vários sinais simultaneamente em um canal, através da modulação de cada sinal em uma frequência diferente, desde que não haja superposição dos espectros.

Transmissor: 3 sinais diferentes

Para Banda de Guarda igual a zero, a largura de banda de n sinais modulados AM DSB-SC FDM será: W =n.2.ω_m

Receptor:

ωm

( )

F1 ω

ωm

ωm

( )

F2 ω

( )

F3 ω

Modulador

1

ωc

Modulador

2

ωc

Modulador

3

ωc

+ ω

ω

ω

1

ωc

2

ωc

3

ωc _{Banda de}

Guarda

FDM( )ω Φ

ω

Filtro PF

1

ωc

Filtro PF

2

ωc

Filtro PF

3

ωc

ω

ω

ω

1

ωc

2

ωc

3

ωc

Demodulador

1

ωc

Demodulador

2

ωc

Demodulador

3

ωc

1( ) f t

3( ) f t

3( ) f t

Multiplexação por Divisão no Tempo (TDM)

Através do uso da Multiplexação por Divisão no Tempo podemos transmitir vários sinais

“simultaneamente”, amostrando-os intercaladamente.

Ex.: número de sinais n=3, onde cada sinal é amostrado a uma frequência 2

s T

ω = π

A Frequência de amostragem do sinal ϕ_TDM( )t ^é ωs′ =nωs

Obs.:

- Foi apresentado na figura o amostrador Natural mas também pode-se usar o amostrador instantâneo.

- Para facilitar a recuperação dos sinais, os pulsos são separados por um Tempo de Guarda (tg).

- Um conjunto de uma amostra de cada sinal multiplexado é chamado de quadro.

- A taxa de amostragem mínima é determinada pelo sinal com maior largura de banda.

0 1 2

t f1(t)

0 1 2

t f₂(t)

0 1 2

t f₃(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 1 2

t φ_TDM(t)

T

T'=T/3 t

g

Quadro

• Transmissor

O Transmissor é formado por um circuito multiplexador, que nada mais é do que uma chave que seleciona um sinal a cada instante de tempo.

• Receptor

O Receptor é composto por um circuito demultiplexador seguidos de filtros passa-baixas de reconstrução.

Obs.: Os circuitos multiplexador (transmissor) e demultiplexador (receptor) necessitam estar em perfeito sincronismo. Uso de um canal de sincronismo (disperdício de canal) ou uso de sincronização por quadro, através de uma sinalização diferenciada.

Exemplo Prático:

CD4051

C B A D

clock enP enT

f1(t) f2(t) f3(t) f4(t) f5(t) f6(t) f7(t) f8(t) C

B A

in0

in7 . . . CD4051

out

C B

A D

clock inh

enTenP

gerador

de sinais gerador

de sinais 1 2

Contador Contador

74LS161 74LS161

Vdd Vdd

vee canal de dados

canal de sincronismo

Transmissor Receptor

f1(t) f2(t) f3(t) f4(t) f5(t) f6(t) f7(t) f8(t)

C B A in0

in7 . . .

out inh vee

2k7

in1 in2

2k7

Clear Clear

Vdd 1 3 2

n n-1

TDM( )t ϕ

1( ) f t

2( ) f t

n( ) f t PB

PB PB

...

Clock

Amostragem 1

2 3

n n-1

TDM( )t ϕ

1( ) f t

2( ) f t

n( ) f t

Clock

Largura de Banda 1) Para Sinais PAM

Idealmente a largura de faixa do sinal é infinita. Porém a informação necessária à reconstrução de ( )

f t é apenas ω_m ^!

Se quisermos recuperar os pulsos, é necessária uma largura de banda muito maior que ω_m^. 2) Para Sinais TDM

Considerando o sinal ϕ_TDM( )t como as amostras de um único sinal contínuo ( )h t , amostrado a frequência ω_s′ =nω_s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2

t φ_TDM(t)

f₁(t) f₂(t) f3(t)

h(t)

Logo: Qual a largura de banda do sinal ( )h t , se cada sinal f t possui largura de banda _n( ) ω_m^? Se estivermos amostrando à taxa de Nyquist: ω_s =2ω_m, como ω_s′ =nω_s, logo: ω_s′ =2nω_m Assim a largura de banda do sinal equivalente ( )h t é :

ω

_m

′ = n . ω

_m

←→

-5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t f_pτ(t)

PAM( )t ϕ

-10 -5 0 5 10

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω F_p

τ(ω)

ω_s2ω_s 3ω_s -ω_s

PAM( )ω Φ

Filtro PB

TDM( )t

ϕ h t( )

Conclusões:

- A Largura de Banda necessária a transmissão do sinal ϕ_TDM( )t ^é W =n^.ωm

onde ω_m é a maior frequência dos sinais f t _n( )

Comparação: FDM versus TDM

FDM: Sinais separados em frequência e misturados no tempo TDM: Sinais separados no tempo e misturados em frequência Ex.:

a) Modulando n sinais f t de largura de banda _n( ) ω_m, usando AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal FDM resultante?

Resposta: W =n.2.ω_m

b) Modulando o sinal ϕ_TDM( )t em AM DSB-SC, qual a largura de banda do sinal AM resultante? Lembrando que a largura de banda de ( )h t é .nω_m^.

Resposta: W =2. .nω_m

Conclusão: A transmissão de n sinais usando AM em FDM, e o sinal TDM modulado em AM ocupam a mesma largura de banda!

PAM( )ω Φ

-20 -15 -10 5 0

0

ω -ω c

5 10 15 20

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ω Fpτ(ω)

ω_c

/ ( )

TDM AM ω Φ

ω

FDM( )ω Φ

Vantagens do Sistema TDM

- Implementação mais simples, pois necessita de circuitos idênticos para cada canal. So sistema FDM as portadoras e os filtros PF são diferentes para cada canal, necessitando serem sintonizados independentemente.

- TDM é imune à interferência entre canais (diafonia), que surge em sistemas FDM devido à não-linearidade dos amplificadores de transmissão. No sistema TDM os sinais dos diferentes canais não são aplicados simultaneamente ao sistema, mas sim em diferentes intervalos de tempo, reduzindo a interferência entre os canais.

Exercício:

1) 10 sinais cossenoidais, com frequências variando de 1kHz a 4kHz são amostrados por um processo TDM. Deseja-se na recepção uma banda de guarda de 10kHz para auxiliar na demodulação de cada canal. Qual deve ser a frequência da portadora responsável pela amostragem?

Solução:

para 1 canal temos:

Logo necessitamos de uma frequência de amostragem de f_s=2f_m+BG Para n canais:

( )

( )

. 2

10 2 4 10 180

s s

s m

s

f n f

f n f BG

f k k kHz

′ =

′ = +

′ = × + =

f s

f BG m

4.2.2. Modulação por Largura de Pulso (PWM)

A largura (duração) dos pulsos varia linearmente com a informação:

( ) t

0

K f t . ( ) τ = + τ

( ) t

τ

: Largura instantânea do pulso

K : Constante do circuito modulador. Transforma variações de Volts em variações de segundos.

Unidade: [s/V]

Se: f t^{( )}=a^.cos

( )

ωmt Temos:

( )

( )t 0 K a. .cos _mt τ = +τ ω

( )

0

0

( ) 1 K a. .cos _m

t t

τ τ ω

= + τ

Definimos então o Índice de Modulação PWM:

0

. m a K

= τ onde 0≤ ≤m 1

( )

( )t 0 1 m.cos _mt

τ =τ + ω

-1 0 1

t f(t)

0 0.5 1

t pτ(t)

0 2 4 6 8 10

0 0.5 1

t φPWM(t)

T 2T

τ(t) τ₀

( )

( )t 0 1 m.cos _mt

τ =τ + ω

Para:

( )

0

cos ω_mt =1 → τ( )t = +τ a K. =τ_max

( )

0

cos ω_mt = − →1 τ( )t = −τ a K. =τ_min

Se permitirmos à largura d pulso uma excursão máxima total dada por:

max T

τ = e τ_min=0 Temos que ₀

2

τ =T Isto é o ciclo de trabalho ideal é de 50% (onda quadrada)

Análise Espectral

Sabemos que a decomposição em Série Trigonométrica de Fourier de um Trem de Pulsos par de largura τ e frequência ₀ 2

T

ω = π é dada por:

( )

0

0 1

2 1

( ) sin .cos

n 2 A A n

p t n t

T n

τ τ ω τ ω

π

∞

=

= +

No nosso caso, τ é função do tempo τ( )t = +τ₀ K f t. ( ) Logo:

( )

( )

1

( )

( ) 2 1

( ) ( ) sin .cos

2

s

t PWM s

n

n t

A t A

p t t n t

T n

τ

ϕ τ ω τ ω

π

∞

=

= = +

Para sinal de informação cossenoidal: f t^{( )}=a^.cos

( )

ωmt Temos que: τ( )t =τ0 1+m.cos

( )

ω_mt

Logo:

( ) ( ) ( )

0 0

1

1 .cos 2 1 1 .cos

( ) sin .cos

2

m s m

PWM s

n

A m t A n m t

t n t

T n

τ ω ω τ ω

ϕ ω

π

∞

=

+ +

= +

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

1

2 1

( ) cos sin cos .cos

2 2

s s

PWM m m s

n

A mA A n mn

t t t n t

T T n

τ τ ω τ ω τ

ϕ ω ω ω

π

∞

=

= + + +

Analisando cada termo:

A 0

T

τ

: Valor médio do sinal (componente DC)

( )

0 cos _m

mA t

T

τ ω

: Raia espectral correspondente à informação

( ( ) ) ( )

1sin a bcos _mt .cos n _st

n +

ω ω

: Função de Bessel nas frequências múltiplas de ω_s, Espectro semelhante ao de um sinal FM amostrado, ponderado por 1

n.