UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA.

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA.

LETICIA VIEIRA COELHO

A HISTÓRIA DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO NO AUXÍLIO DA COMPREENSÃO DA BASE DECIMAL

SEROPÉDICA 2021

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LETICIA VIEIRA COELHO

A HISTÓRIA DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO NO AUXÍLIO DA COMPREENSÃO DA BASE DECIMAL

Monografia Apresentada à Banca Examinadora da UFRRJ, como requisito parcial para obtenção do título de Graduado em Matemática na modalidade de Licenciatura, sob a orientação do professor Renato Machado Aquino.

SEROPÉDICA 2021

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31/08/2021 https://sipac.ufrrj.br/sipac/protocolo/documento/documento_visualizacao.jsf?imprimir=true&idDoc=831187

https://sipac.ufrrj.br/sipac/protocolo/documento/documento_visualizacao.jsf?imprimir=true&idDoc=831187 1/1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

ATA Nº 3748 / 2021 - DeptM (12.28.01.00.00.00.63) Nº do Protocolo: 23083.061209/2021-13

Seropédica-RJ, 26 de agosto de 2021.

A monografia "A HISTÓRIA

DO SISTEMA DE

NUMERAÇÃO NO AUXÍLIO DA COMPREENSÃO DA BASE DECIMAL", apresentada e defendida por LETÍCIA VIEIRA COELHO matrícula 201319519-0 foi aprovada pela Banca Examinadora, com conceito "S" recebendo o número 760.

Seropédica, 25 de agosto de 2021.

BANCA EXAMINADORA: Prof. Dr. Renato Machado Aquino (Orientador), Prof. Dr. Carlos Andres Reyna Vera Tudela e Prof.

Dr. Pedro Carlos Pereira.

(Assinado digitalmente em 26/08/2021 19:11 ) CARLOS ANDRES REYNA VERA TUDELA

PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR DeptM (12.28.01.00.00.00.63)

Matrícula: 2433643

(Assinado digitalmente em 30/08/2021 17:50 ) PEDRO CARLOS PEREIRA

PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR DeptM (12.28.01.00.00.00.63)

Matrícula: 6377694

(Assinado digitalmente em 27/08/2021 18:47 ) RENATO MACHADO AQUINO PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR

DeptM (12.28.01.00.00.00.63) Matrícula: 418840

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2021, tipo: ATA, data de emissão: 26/08/2021 e o código de verificação: 57e7655c4e

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III

Dedico esta monografia a minha família e amigos. Esta vitória é nossa!

Também dedico essa vitória a memória de minha madrinha Maria Ferreira (Tita), de minha avó Hilda Egídio e da querida Francisca Evanir que já não se fazem mais presentes junto de mim aqui na terra; contudo me apoiaram e que com certeza estão muito felizes e intercedem de onde estão por esse momento tão especial no qual estou vivendo, assim como as vossas memórias também viverão para sempre comigo.

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IV

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, pelo dom da vida, e por ter me sustentado por todos esses anos acadêmicos pela poderosa intercessão de Nossa Senhora.

Aos meus pais Lucia e Dirceu que com amor, nunca mediram esforços para me ajudar a completar a etapa da graduação. Obrigada por sempre acreditarem em mim e no meu potencial.

Meu irmão Douglas, que fora um grande parceiro e amigo nos momentos que precisei.

Ao amigo Jeysson, por não ter me deixado desistir quando eu mesma estava prestes a fazê-lo. Obrigada por todas as caronas, conversas e por todo o incentivo que me deste para que pudesse chegar até aqui na conclusão do meu curso.

A Carol Louise que sempre me socorreu com os meus trabalhos da faculdade, independente do dia ou hora, e que mesmo longe, sempre se fez presente.

A todos os amigos, em especial ao grupo das Bellas, que são pessoas mais que especiais e fundamentais em minha vida, sempre me apoiando e me ajudando de diversas formas, principalmente nos momentos de aflição e dificuldade, sempre com uma palavra amiga ou com algum momento de descontração, secando as minhas lágrimas e colocando um sorriso no meu rosto.

Aos meus colegas de curso, com quem convivi durante esses anos de faculdade, trilhando e vivenciando as alegrias e dificuldades no caminho pelo tão sonhado diploma.

Aos professores: Douglas Monsôres, Gisela Pinto, Márcio Vianna e Eulina Coutinho que por serem profissionais tão bons naquilo que fazem, se tornaram uma inspiração, fazendo com que eu queira me tornar uma professora a altura desses grandes mestres.

Ao meu orientador que com paciência, ajuda e cuidado, desempenhou tal função com muita dedicação e amizade.

E a todos que me ajudaram e participaram, direta ou indiretamente dessa etapa da minha vida.

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V

RESUMO

Este trabalho propõe o uso da História da Matemática como importante recurso para o ensino do sistema de numeração decimal, pois entende que ele é a base de nossos conhecimentos matemáticos, sendo fundamental para o prosseguimento da aprendizagem do aluno ao longo de seu percurso educacional. Acreditamos que o conhecimento prévio da história dos sistemas de numeração poderá trazer aos alunos um recurso capaz de auxiliar na compreensão de nosso sistema numérico, dessa forma ajudando-os a superarem muitas das dificuldades em matemática constatadas nesta pesquisa, no segundo segmento do Ensino Fundamental. Essas dificuldades estão relacionadas à compreensão insuficiente do sistema de numeração. Neste trabalho é feito um apanhado histórico de vários sistemas de variadas bases numéricas: desde os mais antigos até o que deu origem ao nosso. Aborda ainda questões ligadas ao ensino-aprendizagem do nosso sistema de base dez em sala de aula, especialmente alguns erros e dificuldades comuns que acontecem durante a realização do cálculo de operações básicas. Ao final, sugere propostas de atividades a serem aplicadas, utilizando a história como recurso para a aprendizagem do sistema decimal. Todo o trabalho baseia-se numa revisão bibliográfica integrativa. Espera-se que a aplicação deste contribua no processo de ensino aprendizagem da matemática, principalmente das ideias fundamentais ligadas a nosso sistema numérico.

Palavras-Chave: Sistema de Numeração Decimal; História da Matemática;

História dos Sistemas de Numeração.

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VI

Lista de Figuras

Figura 1 - Utilização dos dedos das mãos para contar até 60 ... 19

Figura 2 – Fichas de argila usadas para representar as diferentes ordens de unidade ... 20

Figura 3 – Algarismos sumérios ... 21

Figura 4 – Algarismos na escrita cuneiforme ... 22

Figura 5 – Importância do uso da notação posicional para diferenciação do numero representado ... 22

Figura 6 – Algarismos hieróglifos egípcios ... 24

Figura 7 – Representação da numeração por agrupamento em linhas superpostas ... 25

Figura 8 – Algarismo hieráticos egípcios ... 26

Figura 9 – Diferença entre as notações hieroglífica e hierática ... 26

Figura 10 – Primeira representação numérica utilizada pelos gregos... 27

Figura 11 – Numeração ática ... 28

Figura 12 – Numeração alfabética grega ... 29

Figura 13 – Representação das letras-números ... 29

Figura 14 – Representação dos números igual ou maiores que mil ... 29

Figura 15 – Valor fonético da numeração chinesa ... 30

Figura 16 – Signos fundamentais da numeração chinesa atual e mais comumente utilizado ... 31

Figura 17 – Representação da combinação dos signos com as unidades associadas ... 31

Figura 18 – Representação numérica por meio de barras verticais e horizontais... 32

Figura 19 – Representação do número zero pelos chineses ... 32

Figura 20 – Algarismos romanos ... 33

Figura 21 – Regra: Todo simbolo numérico a esquerda de um algarismo de valor superior deverá ser dele abatido ... 33

Figura 22 – Algarismos maia ... 34

Figura 23 – Representação maia para o número zero ... 35

Figura 24 – Numeração Maconde espressa por gestos ... 36

Figura 25 – Escrita numérica do século III a.C ... 38

Figura 26 – A justaposição na inscrição dos algarismos... 38

Figura 27 – Nova regra para posição dos algarismos ... 40

Figura 28 – Algarismos hindi x algarismos ghobar ... 41

Figura 29 – Quadro de ordens e classes ... 49

Figura 30 – Cartelas sobrepostas ... 50

Figura 31 – Valor dos simbolos cuneiforme ... 57

Figura 32 – Valor dos algarismos hieróglifos ... 60

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VII

Lista de quadros

Quadro 1 - Potencialidades pedagógicas da história da matemática, segundo Miguel

(1997) ... 14

Quadro 2 – Erros comuns nas operações fundamentais ... 46

Quadro 3 - Atividades ... 52

Quadro 4 – Regra da soma ... 55

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VIII

Sumário

INTRODUÇÃO ... 9

CAPÍTULO 1. A IMPORTANCIA DA HISTÓRIA COMO RECURSO PARA A SALA DE AULA... 11

CAPÍTULO 2. A HISTÓRIA DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO ... 17

2.1.Sistema De Numeração Babilônico... 19

2.1.1.Os sumérios e a terra mole ... 20

2.1.2.Os babilônios e a escrita cuneiforme ... 21

2.2.Sistema De Numeração Egípcio ... 23

2.2.1.Os algarismos hieróglifos ... 24

2.2.2.A numeração hierática ... 25

2.3.Sistema De Numeraçao Grego ... 26

2.3.1.Numeração ática ... 27

2.3.2.Numeração alfabética (ou jônico) ... 28

2.4.Sistema De Numeração Chinês ... 30

2.4.1.Signos-palavras ... 30

2.4.2.As barras: verticais e horizontais (sistema posicional) ... 32

2.5.Sistema De Numeração Romano ... 33

2.6.Sistema De Numeação Maia ... 34

2.7.Sistema De Numeração Maconde ... 35

2.8.Sistema De Numeração Hindu ... 37

2.8.1.Sistema de numeração indo-arábico ... 41

CAPÍTULO 3. O ENSINO APRENDIZAGEM DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL ... 43

3.1.Erros E Dificuldades Apresentados Durante A Realização Do Cálculo De Operações Básicas... 45

3.2.Sugestões Para Que Se Tenha Um Maior Aproveitamento Da Aprendizagem Das Operações ... 49

CAPÍTULO 4. A HISTÓRIA COMO RECURSO PARA A APRENDIZAGEM DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL... 52

4.1.Atividade 1: Entendendo Os Sistemas de Numeração ... 53

4.2.Atividade 2: Trabalhando Com Sistema De Numeração Babilônico ... 56

4.3.Atividade 3: Contando Até 60 Com As Mãos ... 58

4.4.Atividade 4: Trabalhando Com Sistema De Numeração Egípcio... 59

CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 62

REFERÊNCIAS ... 63

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INTRODUÇÃO

Considere que os anos iniciais do ensino fundamental é uma das principais fases para a construção da vida educacional do ser humano. Trata- se de um período evolutivo em que os alunos têm contato com diversas áreas do conhecimento, lhes é apresentado diversos conceitos e formas de análises diante de cada área educacional, ainda que de maneira menos densa. É uma iniciação.

A formação do conhecimento se dá de forma gradativa e sequencial.

Acontece que, esse tipo de aprendizagem será a base que irá construir o nível de saber construído pelo indivíduo e que serão adquiridos ao longo dos anos seguintes. Não é possível então desconsiderar elementos fundamentais como a história da numeração e sua evolução para que o entendimento seja efetivo e deixar de tratar questões como essa com tamanha rasura e superficialidade.

No entanto, para que haja evolução no aprendizado e para que isso seja aproveitado, é necessário que o conhecimento anterior tenha sido internalizado de maneira satisfatória. Sem o aprendizado do conteúdo anterior, dificilmente este aluno conseguirá avançar na aprendizagem de novos conteúdos. E é justamente nos acúmulos daquilo que não foi aprendido que, se deixado de lado, podem acarretar dificuldades e/ou reprovações futuras.

Vale destacar que, assim como o aprendizado, de forma individual, na matemática evolui, a humanidade precisou evoluir no seu saber e no fazer matemática. A matemática que, hoje conhecemos, é fruto do processo evolutivo originário da necessidade dos primeiros povos de contar e calcular.

Abordaremos então, um pouco da história e do sistema de numeração de povos como: os babilônios, os egípcios, os gregos, os chineses, os romanos, os maias, os macondes e os hindus para analisarmos a importância da história da matemática para a sala de aula no ensino do sistema de numeração decimal, de modo a resgatar a contribuição e o caminho percorrido por eles até se chegar ao sistema de numeração indo-arábico

A relação de ensino aprendizagem do sistema de numeração decimal para os conhecedores é considerada como categoria fácil, mas para quem ainda iniciará no caminho da aprendizagem, pode ser considerado complexo.

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Na busca por tentar contribuir com a melhora do ensino, formulamos propostas de atividades que buscam relacionar a história como um recurso para a aprendizagem do sistema de numeração decimal.

Analisaremos, alguns dos erros mais comuns apresentados durante a realização de cálculos envolvendo operações básicas, sendo estas o fator motivacional para a conclusão deste trabalho, uma vez que esses erros permanecem acontecendo, e, em sua maioria, por um aprendizado deficitário do sistema de numeração.

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CAPÍTULO 1. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA COMO RECURSO PARA A SALA DE AULA

Sabemos que a matemática ensinada hoje, na sala de aula, é resultante de um processo de evolução de um conhecimento que se originou no passado e que foi desenvolvido, aprimorado e difundido ao longo da história da humanidade. Porém, essa ligação entre história e matemática nem sempre é abordada pelo professor. Entretanto, os modos do saber e fazer a matemática, como esse conjunto de conhecimentos foi gerado, os fatos que levaram à sua criação e, principalmente, como foram estruturados por uma pessoa ou civilização, podem ser base para uma metodologia para se ensinar matemática.

Comumente a História da Matemática é utilizada pelo professor como

“ferramenta” em sala de aula apenas para informar nomes, fatos e datas, a fim de produzir um conteúdo ou complementar uma explicação. É possível encontrar em diversos livros didáticos a biografia dos matemáticos e as origens históricas de um conceito, ao introduzi-lo. Nesse sentido Mendes (2001) nos diz:

A utilização da história em alguns livros didáticos adotados na rede pública de ensino reduz-se, na maioria das vezes, a meras biografias de alguns matemáticos famosos e algumas informações sobre o desenvolvimento cronológico da matemática abordada.

(MENDES, 2001, p. 40)

Entendemos então, que, apenas citar nomes de matemáticos, filósofos ou físicos por seus feitos, genialidades criando fórmulas, teoremas e demonstrações, não contribui para a formação do aluno, pelo contrário, cria uma barreira e não fomenta o interesse do mesmo pela originalidade dos fatores que contribuíram para o desenvolvimento dessa ciência exata. Nesta perspectiva, para Farago (2003) a História da Matemática constitui:

[...] um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma a nossa cultura e observa também os aspectos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. [...] Podemos entender por que cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ela sempre era natural no seu momento. (FARAGO, 2003, p. 17)

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Trazer informações históricas é um recurso que, além de ajudar de várias maneiras, pode instigar a curiosidade dos estudantes, responder alguns de seus questionamentos, criar pontes entre professor, aluno e a instituição de ensino de modo a já fomentar o desejo sobre novas pesquisas e descobertas caracterizando o valor didático da História da Matemática.

Além de limitar o aluno de suas potencialidades iniciais como vimos acima, é importante ressaltar que privá-lo de conhecer a própria cultura que envolve todo sistema matemático dentro do próprio ambiente de ensino - onde se busca conhecimento em todas as áreas - é algo não coerente da parte dos professores que ensinam a disciplina. Para tanto, Segundo Klein apud Tahan (1973, p. 9), “o professor que ensina a Matemática desligada de sua parte histórica, comete verdadeiro atentado contra a Ciência e contra a cultura em geral.”

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), a História da Matemática

“[...] pode esclarecer ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns porquês e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.” (BRASIL, 1998, p.

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A história da matemática também traz divergências quanto a terminologia aplicada a essa área de conhecimento referindo-se a sua utilização, tais como: instrumento, metodologia, recurso, estratégia, método, ferramenta didática e outros. O fato é que, independentemente do termo utilizado, ela é de grande importância.

Segundo Baroni, Teixeira e Nobre (2004, p. 172), “acredita-se que a História da Matemática seja um instrumento que destaca o valor da Matemática em sala de aula e mostra aos alunos a amplitude da mesma, fazendo-os perceber que a Matemática vai muito além dos cálculos.”

Para os autores citados acima, o papel da História da Matemática destaca-se pela sua utilidade a diversas situações, como podemos ver:

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a) Apresentar a História da Matemática como elemento mobilizador em salas de aulas numerosas ou com alunos que apresentam dificuldades de aprendizagem.

b) Usar a História da Matemática na educação de adultos, promovendo a oportunidade ao aluno de observar, ao longo da história, o esforço de pessoas para superar dificuldades semelhantes àquelas que eles próprios possam estar vivenciando.

c) Apresentar as ideias da História da Matemática a alunos bem dotados, que possam estar se sentindo desestimulados perante a classe, satisfazendo ou dando respostas a questionamentos tais como “o quê?”, “como?”, “quando?”.

d) Utilizar a História da Matemática como estímulo ao uso da biblioteca.

e) Humanizar a Matemática, apresentando suas particularidades e figuras históricas.

f) Empregar a História da Matemática para articular a Matemática com outras disciplinas como Geografia, História e Língua Portuguesa (expressão em linguagem, interpretação de texto, literatura).

g) Usar a dramatização ou produção de textos para sensibilizá- los sobre as realidades do passado e presente, apresentando as dificuldades e diferenças de cada época. (BARONI; TEIXEIRA;

NOBRE, 2004, p. 172-173)

Notamos que as características citadas por Baroni, Teixeira e Nobre, remete-nos a ideia inicial de como atrair a atenção dos alunos que geralmente apresentam pouco interesse ou habilidade pela disciplina matemática, trazendo às práticas culturais e históricas como ponto a favor para o aumento do interesse de cada um, independentemente de classe ou idade, seja pela busca de resposta a questionamentos e curiosidades ou pela identificação de enxergar que no passado pessoas/povos passavam por dificuldades semelhantes a que eles tem.

Ainda nos traz sérias reflexões acerca de interdisciplinaridade, e, assim, despertar o interesse do aluno que tende a ter mais habilidade e interesse pela área de humanas, por exemplo, uma vez que a proposta induz a descentralização específica e limitada somente da prática da matemática por si e relaciona com outras áreas.

Miguel (1997, p. 73 e ss), por meio de um levantamento realizado, aponta alguns argumentos que reforçam as potencialidades pedagógicas da História da Matemática e esses argumentos revelam-se em doze funções.

Estas funções estão divididas entre fonte e instrumento como será mostrado a seguir:

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QUADRO 1 – Potencialidades pedagógicas da história da matemática, segundo Miguel (1997)

Função Argumento

FONTE

A História é uma fonte de motivação para o ensino aprendizagem da matemática.

A história constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino da matemática.

A história constitui-se numa fonte de métodos adequados de ensino da Matemática.

A história é uma fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de matemática.

INSTRUMENTO

A história é um instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e a desalienação de seu ensino.

A história constitui-se num instrumento de formalização de conceitos matemáticos.

A história é um instrumento de promoção do pensamento independente e crítico.

A história é um instrumento unificador dos vários campos da matemática.

A história é um instrumento promotor de atitudes e valores.

A história constitui-se num instrumento de conscientização epistemológica.

A história é um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da matemática.

A história é um instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural.

Fonte: Elaboração própria

Alguns tópicos desse quadro serão descritos mais minuciosamente para efeito de compreensão, baseando-nos em Miguel (1997, p. 73 e ss).

A história como fonte de objetivo tem por finalidade pedagógica realizar a compreensão e significação da matemática além de responder o motivo dos

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alunos precisarem aceitar alguns fatos como verdade, e também o porquê dos procedimentos e raciocínios matemáticos. Com esta base percebemos que a matemática é uma criação e por isso as pessoas necessitam estudá-la.

Como fonte recreativa, a história nos mostra como nossos antepassados pensavam e resolviam problemas. Trabalha os desafios do passado no presente.

Podendo ser considerada instrumento de formalização, a história possibilita-nos aprofundarmos a obtenção de um conhecimento desde seus primórdios matemáticos e seus caminhos percorridos, até sua resolução final, formal e completa. Visa valorizar os esforços envidados assim como os trajetos de construção. Mostra todos os passos ao aluno, incluindo erros e dificuldades que os grandes gênios tiveram ao longo do processo, na tentativa de buscar conhecimento. Sabe-se, por exemplo, que por vezes as obras ficavam inacabadas sendo necessária outras pessoas ajudarem a terminar o processo.

Isso evidencia que, mesmo sendo nomes reconhecidos, não significa que não enfrentaram tribulações ao longo do período de descoberta, mas se dispuseram a enfrentar tudo com persistência pela obtenção conhecimento.

A história também é um instrumento de cultura, onde é possível questionar a “criação e capacidade exclusiva dos homens brancos” (GUERDES apud MIGUEL, 1997, p.92) em serem detentores do conhecimento. Ela ensina a valorizar também outras tradições. Nesse sentido. fomenta o uso da matemática não formal praticada por povos diversos, passada de geração em geração, sendo nova fonte de conhecimento para todos de um determinado ambiente cultural. Segundo esse ponto de vista, a matemática torna-se mais palpável, podendo ser assimilada e desenvolvida por todos, sem distinções de raça, crença e condição social.

Assim, fica claro que a maneira como o professor escolhe abordar os fatos históricos para seus alunos é que vai diferi-la de uma simples informação, reduzindo sua importância histórica a apenas uma curiosidade. A História da Matemática, se bem explorada pelo professor, além de propriamente ensinar matemática, agrega caráter didático à aula e também contribui com a ciência, cultura e história.

Para Brito (2007, p. 15)

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A história da matemática não deve fazer parte das aulas como coadjuvante, por meio de narração de fatos isolados, mas deve sugerir caminhos para a problematização em forma de atividades que visem à construção de conceitos por arte dos alunos. É importante que os professores tenham a oportunidade de elaborar atividades com esta história e de utilizá-la em suas aulas, pois, nesse processo pressupõe a articulação entre pesquisa e ensino, teoria e prática, os docentes se percebem produtores de novos conhecimentos e a história da matemática assume plenamente seu potencial de formação.

Como vimos, história da matemática não é apenas um contar-se história, por contar. Inúmeras são as contribuições que pode agregar ao ensino da matemática, ajudando a promover um conhecimento maior e mais completo dessa disciplina.

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CAPÍTULO 2. A HISTÓRIA DOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Havia um tempo em que não se sabia contar. Mas como, quando, onde e por quem começou a contagem, não sabemos ao certo. A ideia de número é muito antiga. Não existe um inventor, nem mesmo um único local. O que se tem são interpretações baseadas em alguns poucos artefatos que restaram no tempo e documentos que sobreviveram desde a época da pré-história,

revelando seu surgimento e sua evolução em diversas partes do mundo. Isso, claro, falando do conceito de número e do processo de contar, como temos hoje.

Não é difícil, porém, imaginar que antes disso já havia um senso

numérico, uma noção intuitiva, uma percepção direta entre muito e pouco, um e vários. Até certo ponto, o olho humano consegue perceber de forma imediata a quantidade de objetos a sua frente, porém “o olho não é um instrumento de medida suficientemente preciso: seu poder de percepção direta dos números ultrapassa muito raramente – para não dizer nunca – o número 4!” (IFRAH, 1998, p.21). Então mesmo não sabendo contar ou tendo uma estrutura numérica tão elaborada, através dos olhos, o homem já conseguia ter uma noção e fazer uma distinção numérica quantitativa até o número quatro de forma rápida.

A necessidade de contar surge das situações vividas pelo homem e a partir do desenvolvimento das atividades humanas do dia a dia que deixaram de ser simples, pequenas e passaram a ser maiores e mais complexas. Era necessário a administração da agricultura, do rebanho, do assentamento de terra, cobrar impostos, fazer previsão de colheitas, enfim, as pessoas

precisavam contar e medir. Em outras palavras, o desenvolvimento da matemática relaciona-se grandemente com o avanço da civilização e crescimento da burocracia.

No início, a contagem ou correspondência uma a uma (biunívoca) com o que se desejava contar, era feito através de pedras. Por exemplo, ao levar um rebanho para pastar, para cada animal que era levado consigo colocava-se uma pedra num saquinho ou criava-se então um montinho com as pedras e, ao voltar, retirava-se uma pedra para cada animal que voltou. Assim, era possível saber se todos os animais retornaram ou se algum se perdeu no meio do

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caminho. Outras maneiras também utilizadas eram a de contar fazendo entalhes em ossos ou em madeiras, desenhos em cavernas, ranhuras no barro ou na pedra ou ainda fazendo nós em corda.

Segundo Ifrah (1998, p.27), este artifício do espírito não oferece apenas um meio de estabelecer uma comparação entre dois grupos: ele permite

também abarcar vários números sem contar nem mesmo nomear ou conhecer as quantidades envolvidas.

Mas devido aos avanços da humanidade, era preciso desenvolver algo que facilitasse a contagem e que fosse aceito e compreendido por todos.

Assim, surgiram os sistemas de numeração dos primeiros povos.

Entendese sistema de numeração como conjunto de símbolos e regras que representam um número ou quantidade de forma única e consistente, nos permitindo contar, ordenar e operar com os números.

Na tentativa de representar números cada vez mais elevados, mas com um menor número de símbolos possíveis, de forma a facilitar a contagem, agrupou-se esses símbolos nas chamadas bases. De maneira geral, quando falamos em base, estamos falando fundamentalmente no número de dígitos, num sistema posicional, que você combina para escrever qualquer número naquele sistema de numeração.

Essa combinação facilita a forma de contar em palavras (nomear), em gerar novos números, de facilmente compreender um número muito grande, além de operar com os mesmos. Os sistemas de numeração são nomeados de acordo com suas bases. Por exemplo: O sistema de base 2 é chamado

binário, o sistema de base 3 de ternário, o de base 10 denominado decimal e assim por diante...

Ao longo do tempo, cada povo construiu e desenvolveu seu próprio sistema de numeração, de acordo com uma base que melhor facilitasse e atendesse suas necessidades de representação. Veremos agora o sistema de numeração de algumas civilizações como os: egípcios, babilônios, gregos, chineses, romanos, maias, macondes e hindus, que nos ajudará a compreender melhor o nosso sistema atual (o decimal).

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19 2.1. Sistema De Numeração Babilônico

Os mais antigos algarismos da história são sumérios. Os sumérios localizavam-se no sul da Mesopotâmia, local que tempos depois foi ocupado pelos babilônios.

Os sumérios criaram um sistema numérico de base 60, decorrente de outras duas diferentes bases: a base 5 e a base 12. Segundo Ifrah (1998, p.71)

A origem da base sessenta pode, assim, ter resultado de uma combinação de contagem das doze falanges de uma mão pelo polegar oposto com a contagem digital elementar da base cinco. Esta hipótese (que convém considerar com precaução, pois se trata de uma afirmação sem prova) poderia confirmar a origem puramente antropomórfica das outras bases históricas e, por conseguinte, reforçar a importância do papel do corpo humano na história dos números e dos sistemas de numeração.

Dessa forma, com o polegar, os babilônios contavam as falanges dos dedos de uma mão, totalizando doze falanges (três falanges em quatro dedos) e com os cinco dedos da outra mão, contavam-se as dúzias. Fazendo doze vezes cinco, obtemos então sessenta.

FIGURA 1 – Utilização dos dedos das mãos para contar até 60.

Fonte: Ifrah, 1998, pag.71

Essa base foi usada primeiramente pelos sumérios e transmitida pelos babilônios. O número 60 apresenta uma característica importante: a de possuir vários divisores. De maneira explicita, são divisores de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,

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10, 12, 15, 20, 30, 60} o que facilita e muito para os comerciantes na hora de contar e calcular para achar a metade, o terço, o quarto, o sexto e assim por diante.

Apesar de ser uma base muito numerosa, dificultando decorar a tabela de adição e multiplicação, o sistema sexagesimal ainda hoje é muito utilizado por nós. Vemos suas características presentes para expressar o tempo em horas, minutos e segundos ou ainda, na geometria, para exprimir arcos e ângulos em graus.

As pedras, aqui, mais uma vez tiveram sua importância na história da contagem. A elas eram atribuídas valores diferentes para tamanhos e ordens diferentes. Porém, tratava-se de um método insuficiente, pois nem sempre é fácil encontrar pedras do mesmo tamanho e formas regulares.

Para aperfeiçoar este sistema de pedras-contas, os sumérios começaram a se utilizar de terra mole. Moldavam a argila em medidas e formas geométricas diversas para representar as diferentes ordens de unidades. Mais tarde, estas deram lugar à escrita cuneiforme, ou seja, gravados em formato de cunha. É o que veremos a seguir.

2.1.1. Os sumérios e a terra mole

Por volta do ano 3500 a.C., os sumérios substituíram as pedras-contas por terra mole, moldando-as com a seguinte representação: a unidade simples era um pequeno cone, a dezena era uma bolinha, sessenta era um grande cone, seiscentos um grande cone perfurado, três mil e seiscentos uma esfera e trinta e seis mil por uma esfera perfurada.

FIGURA 2 – Fichas de argila usadas para representar as diferentes ordens de unidades.

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Os números intermediários eram escritos combinando-os e repetindo-os quantas vezes fossem necessários. E apesar da base ser sexagesimal, havia a dezena como unidade auxiliar, aqui expressa, na marca circular nos números 600 (=60 x 10) e no 36.000 (=60² x 10).

A partir do ano 3250 a C. essas fichas de argila foram substituídas por tabletes do mesmo material contendo inscrições que sofreram pequenas modificações na sua representação passando para: a unidade para um talho fino, a dezena por uma pequena marca circular, sessenta por um talho grosso, seiscentos um talho grosso munido de uma marca circular, três mil e

seiscentos pela grande marca circular e o número trinta e seis mil por uma grande marca circular munida de uma outra pequena marca circular.

FIGURA 3 – Algarismos sumérios.

2.1.2. Os babilônios e a escrita cuneiforme

Esta que foi chamada de “a numeração dos sábios da Babilônia”, foi descoberta no início do II milênio antes da nossa era, forjada pelos matemáticos e astrônomos.

Também de base sexagesimal, os símbolos usados eram somente dois:

um cravo vertical representando a unidade e uma asna para representar o número 10. A combinação destes dois algarismos de modo aditivo e repetindo tantas vezes quantas fossem necessárias, escreviam os números de 1 a 59:

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FIGURA 4 – Algarismos na escrita cuneiforme.

Outra diferença do sistema babilônico é o uso da notação posicional. Os antigos babilônios, sucessores dos sumérios na Mesopotâmia, perceberam que sem esse princípio posicional, poder-se-ia gerar inúmeras ambiguidades e dar origem a muitos erros.

Por exemplo, a representação do número 25 poderia ser facilmente confundida com 615 ou de 4.305:

FIGURA 5 – Importância do uso da notação posicional para diferenciação do número representado.

Com a notação posicional, a posição de cada número babilônico registra exatamente a quantidade de sessenta contadas. Por exemplo, estabelecendo a ordem da escrita da esquerda para a direita, representamos:

- a unidade simples na primeira posição;

- os grupos de sessenta na segunda posição (ou 1 x 60);

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- os grupos de sessenta vezes sessenta na terceira posição (ou 1 x 60²); e assim por diante.

Mas nem tudo estava perfeito. Para lidar e calcular números muito grandes, era preciso ainda criar um novo símbolo, algo que pudesse representar o vazio (zero). No início, para marcar o lugar no meio do número, os babilônios deixavam um espaço em branco. Porém, só isso não bastava para resolver os problemas, pois estes espaços muitas vezes eram esquecidos por escribas distraídos e ainda ficava a cargo do entendimento do contexto para que não se gerasse ambiguidade de números. No século III a.C., começaram a usar ou para ocupar este lugar. Isso abriu caminho para um dos maiores avanços na história da matemática: o número zero.

Essa, então, foi a primeira vez na história que o zero, sob qualquer forma, apareceu na escrita matemática, porém, ainda levaria cerca de mil anos até que o zero, de fato, se tornasse plenamente reconhecido como número.

Mas isso falaremos mais para frente.

2.2. Sistema De Numeração Egípcio

Os egípcios também criaram seu próprio sistema de numeração. Apesar de ter sido mais ou menos na mesma época que os sumérios, por volta de 3000 a.C., em nada esses sistemas se parecem. Os egípcios utilizavam símbolos (pictogramas). Esses símbolos, chamados de hieróglifos, são fruto unicamente da civilização egípcia: sendo tirados da fauna e flora do rio Nilo. Os algarismos hieróglifos egípcios eram gravados ou esculpidos em pedras, rochas, cerâmica ou folha de papiro.

Outra diferença desses dois sistemas de numeração é o fato de a numeração babilônica pertencer a uma base sexagesimal, enquanto a numeração egípcia é de uma base totalmente decimal.

Os egípcios usavam o próprio corpo para fazer medições. Um palmo era largura de uma mão e um cúbito, a distância do cotovelo até as pontas dos dedos. Acredita-se que, por essa maneira de utilizarem o próprio corpo para

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medir, é que os egípcios, motivados pelos dez dedos da mão, utilizassem o sistema de numeração decimal.

Por se tratar de uma base decimal, desde sua origem, a numeração egípcia permite a representação de números muito grandes, além do milhão.

Havia apenas sete símbolos. Depois do 1, todas as outras representações eram para as potências de 10: 10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵ e 10⁶.

A representação dos algarismos hieróglifos era extremamente minuciosa e exigia uma frequente repetição desses símbolos para escrita dos números intermediários. Com a necessidade dos escribas egípcios de ganhar tempo em suas escritas, eles acabaram desenvolvendo a chamada numeração hierática, uma notação numérica mais simples e mais abreviada.

2.2.1. Os algarismos hieróglifos

Como dito anteriormente, foi por volta de 3000 a.C. surgiu a numeração egípcia.

Era uma numeração formada por sete símbolos: a unidade era representada por um pequeno traço vertical, a dezena representada por um signo em forma de asa (que mais se parece a letra U invertida), a centena por uma espiral mais ou menos enrolada, a unidade de milhar representada por uma flor de lótus, a dezena de milhar era um dedo erguido e ligeiramente inclinado, a centena de milhar por uma rã ou girino e por fim, o milhão era representado por um homem ajoelhado de braços erguidos.

FIGURA 6 – Algarismos hieróglifos egípcios.

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Todos os outros números intermediários eram escritos a partir da repetição de cada classe decimal quantas vezes fosse necessário. Começando pela representação do valor mais alto, ou seja, de maior potência decimal, vinha-se decrescendo ao longo das ordens até se chegar à unidade simples.

Como já citado, o olho humano consegue perceber de forma direta números até quatro. Os egípcios também perceberam isso. A partir do século XXVII a.C., para evitar a acumulação de muitos desenhos na mesma linha de uma mesma classe de unidade, dificultando assim a sua leitura, os egípcios resolveram agrupar esses algarismos em grupos de dois, três ou quatro desenhos iguais superpostos em uma, duas ou até três linhas.

FIGURA 7 – Representação da numeração por agrupamento em linhas superpostas.

O sistema numérico egípcio era simples: um traço vertical só poderia representar 1 unidade e não cem ou mil, pois não se trata de uma notação posicional.

2.2.2. A numeração hierática

Na tentativa de uma escrita cada vez mais rápida, dado o grande número de de detalhes e até pela quantidade de símbolos que era preciso para escrever os números foi que, no século XXVIII-XXIII a.C., os escribas egípcios resolveram simplificar o grafismo. A essa notação numérica mais simplificada, chamou-se de numeração hierática.

Além dos agrupamentos de cinco a nove terem recebido signos específicos, alguns outros números também o receberam. Totalizando agora não mais apenas sete signos, e sim trinta e seis signos:

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FIGURA 8 – Algarismos hieráticos egípcios.

O sistema com grafismo hierático sem dúvida melhorou, e muito, a escrita dos números para os escribas egípcios, tornando-a mais simples, mais rápida e com bem menos símbolos. Por exemplo, veja a diferença da escrita do número 3.577 nos dois modelos de notação egípcia:

FIGURA 9 – Diferença entre as notações hieroglífica e hierática.

2.3. Sistema De Numeração Grego

Antes de criarem seu próprio sistema de numeração, os gregos utilizavam uma notação numérica similar ao sistema cretense. O sistema cretense era decimal, aditivo e atribuía signos apenas à unidade e a algumas potências de sua base, repetindo quantas vezes fossem necessários cada

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signo para obter os outros números. No início, por volta do século IX a.C., de posse desse sistema cretense, era assim a representação utilizada pelos gregos:

FIGURA 10 – Primeira representação numérica utilizada pelos gregos.

Mas não demorou muito para que os gregos percebessem, assim como outrora os egípcios também o perceberam, que apesar da facilidade e simplicidade da escrita, havia a inconveniência da demora para se escrever pois exigia uma quantidade muito grande de signos para representar números grandes.

Mais tarde então os gregos acrescentam ao sistema que eles já usavam novos símbolos, agora para representar os números cinco, cinquenta, quinhentos e assim sucessivamente, além de modificarem as formas gráficas usadas até então.

Depois, ainda trocaram mais uma vez a sua escrita numérica para uma formada com as letras de seu alfabeto.

2.3.1. Numeração ática

Para melhorar e superar os problemas causados pela demora e pelas, muitas vezes, enormes repetições foi que, a partir do século VI a.C., os gregos adicionaram progressivamente novos algarismos à sua lista inicial. Tratava-se de uma base auxiliar à base decimal, a base cinco. Agora os símbolos eram para representar os números: 1, 5, 10, 50 (=5x10), 100 (=10²), 500 (=5x10²), e assim por diante. Dessa forma surgia o chamado sistema de numeração ática.

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Ao mesmo tempo, substituía a antiga forma gráfica pelas letras alfabéticas equivalentes a inicial formada pelos números em questão. Por exemplo: 5 era representado pela antiga forma da letra pi (Γ), inicial de pente e que significa cinco; 10 era a letra delta (Δ), inicial de deka que significa dez; o número 50 era o signo , junção de Γ e Δ correspondente a abreviação de pente-deka, ou seja, cinquenta. E assim sucessivamente:

FIGURA 11 – Numeração ática.

2.3.2. Numeração alfabética (ou jônico)

A fim de facilitar ainda mais a escrita dos números, no final do século IV e início do século III a.C. os matemáticos gregos resolveram simplificar e substituir os números por letras do seu próprio alfabeto. Surgia um novo sistema de numeração, chamado jônico (ou numeração alfabética grega), no qual cada número estava relacionado a uma letra do alfabeto. Para tanto, eles

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utilizaram as vinte e quatro letras de seu alfabeto acrescido de mais três letras do alfabeto fenício (dígamo, san e qoppa). Esses vinte e sete signos foram então divididos em três classes de unidade segundo a base decimal.

FIGURA 12 – Numeração alfabética grega.

Os números intermediários, por sua vez, eram escritos através de combinações. E para que não houvesse confusões durante a leitura de um texto, os gregos diferenciavam as letras-números das ditas letras comuns: as primeiras eram escritas geralmente por uma barra horizontal acima delas.

FIGURA 13 – Representação das letras-números.

Para representar os números de 1.000 em diante, juntaram às nove letras da classe das unidades simples, um acento colocado ao lado superior esquerdo (no entanto, por vezes esse acento era omitido quando o contexto deixava nítido a ordem de grandeza).

FIGURA 14 – Representação dos números igual ou maiores que mil.

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2.4. Sistema De Numeração Chinês

Há mais de três mil anos, os chineses construíram uma numeração formada por treze signos. Os signos representavam respectivamente os números:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1.000 e 10.000 Tais signos não tinham valores de algarismos propriamente ditos. Na verdade, eles eram signos-palavras. Esses signos-palavras exprimem, além do seu valor intelectual, também o valor fonético correspondente ao nome dado à numeração chinesa, ou seja, os signos numéricos chineses eram apenas uma forma simples de escrever os números correspondentes por extenso.

FIGURA 15 – Valor fonético da numeração chinesa.

Mais tarde os chineses desenvolveram um sistema de numeração baseado no princípio de posição, utilizando-se de barras verticais e barras horizontais. Estas sofreram pequenas adaptações afim de sanar algumas ambiguidades. Porém, ainda havia um inconveniente: a falta do zero. Durante muito tempo os chineses improvisaram uma forma de representá-lo: seja pela multiplicação ou simplesmente deixando a casa vazia para a unidade em falta.

No século VIII d.C., esse problema foi resolvido.

2.4.1. Signos-palavras

É a representação gráfica usada pelos chineses para representar os treze signos fundamentais da numeração escrita, e que além do valor simbólico, expressam também o valor fonético dos nomes chineses dado aos números correspondentes:

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FIGURA 16 – Signos fundamentais da numeração chinesa atual e mais comumente utilizado.

A numeração escrita chinesa ainda é utilizada até hoje. Para cada um desses treze caracteres há várias grafias, cada qual segundo os diversos estilos diferentes da escrita chinesa e seu uso. A pronúncia permanece a mesma, independente do estilo.

Para a escrita dos demais números, era usado ao mesmo tempo o princípio aditivo e o multiplicativo. As dezenas, centenas, e assim sucessivamente, são representadas a partir da combinação das mesmas com as unidades respectivamente associadas:

FIGURA 17 – Representação da combinação dos signos com as unidades associadas.

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2.4.2. As barras: verticais e horizontais (sistema posicional)

Por volta do século II a.C. ao III d.C., os chineses construíram um sistema de numeração escrita: o sistema posicional. Escrito através da combinação de barras verticais e barras horizontais.

Inicialmente as barras eram, em sua predominância, verticais (primeira série). Depois passaram a ser escritas, na maioria, de modo horizontal

(segunda série)

FIGURA 18 – Representação numérica por meio de barras verticais e horizontais.

Fonte: Ifrah, 1998, pag.244 e 245

De posse desses dois modelos e com o intuito de sanar algumas ambiguidades, os chineses resolveram mesclar entre as duas formas de representação, para diferenciar as ordens superiores das unidades, na hora da escrita.

Mas nem tudo estava resolvido: ainda tinha o problema da falta do zero.

Por causa disso, alguns deixavam um espaço vazio para a potência de 10 que faltava ou escreviam os números em quadrados e deixavam a casa correspondente vazia. Outros ainda combinavam a notação posicional com a notação por extensão.

Foi somente a partir do século VIII d.C. que os chineses passaram a representar o zero, “sob a influência dos matemáticos e dos astrônomos de origem indiana” (IFRAH, 1998, p.248).

FIGURA 19 – Representação do número zero pelos chineses.

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2.5. Sistema De Numeração Romano

O sistema de numeração romano é o segundo sistema mais usado nas escolas, perdendo somente para o indo-arábico, que abordaremos em breve.

Sua notação é comumente usada nos relógios, para a escrita de séculos e datas, nas indicações de capítulos e volumes de livros etc. É um sistema de numeração formado por apenas sete símbolos: I, V, X, L, C, D e M. Estes valem respectivamente:

FIGURA 20 – Algarismos romanos.

Nem sempre os grafismos foram assim. No início, a escrita desses algarismos nada tinham a ver com as letras do alfabeto. Apesar de os algarismos usados para representar os números 1, 5 e 10 já se parecerem com letras do alfabeto, as demais letras passaram por transformações na sua escrita e evoluíram até se parecerem com a letras do alfabeto, como as conhecemos hoje.

Como a maior parte dos sistemas de numerações antigos, a romana também era formada segundo o princípio da adição para a escrita dos números intermediários. Contudo, os romanos acabaram por complicar esse sistema quando estabeleceram a regra de subtrair o número da esquerda do valor total do número superior a direta, para a escrita de números que envolvem o número 4 e o 9, fazendo da seguinte forma:

FIGURA 21 – Regra: Todo símbolo numérico a esquerda de um algarismo de valor superior deverá ser dele abatido

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34 2.6. Sistema De Numeração Maia

Durante os séculos III – IV d.C., os maias, em relação ao sistema de numeração, utilizavam um de base vinte, acrescida do zero. O valor dos algarismos era determinado de acordo com sua posição.

Além dos dedos das mãos, os maias também utilizavam os dedos dos pés para poder contar. Daí a base ser vigesimal.

Esse sistema era formado por apenas dois símbolos: o ponto e o traço.

Tais símbolos eram combinados e dispostos da seguinte maneira:

FIGURA 22 – Algarismos maia.

Para os números superiores a 20, escrevia-se esses mesmos símbolos só que em coluna vertical, de baixo para cima e com fileiras para cada ordem.

Números de duas ordens eram escritos, os de unidade simples em baixo e, logo acima, os algarismos das vintenas. Sempre procedendo dessa mesma maneira, colocando os de menor ordem abaixo.

Este sistema não tinha o objetivo de atender às necessidades habituais do dia a dia. Pelo contrário, ela fora concebida para satisfazer as exigências das observações astronômicas e do tempo. Por isso, para a terceira posição fora usado o valor da terceira unidade de tempo. E ao invés desta posição

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corresponder então ao número 400 (múltiplos de 20 x 20), na verdade ele indicava 360 ( = 18 x 20).

Por conta dessa irregularidade na terceira ordem, a posição de quarta ordem era formada pelos múltiplos de 7.200 ( = 20 x 360) e não de 8.000 ( = 20 x 20 x 20) e assim sucessivamente.

Para que cada algarismo ficasse sempre em sua posição, quando alguma unidade de uma ordem viesse a faltar, os sábios criaram o zero. Ele era representado em forma de concha ou casinhas de caracol

FIGURA 23 – Representação maia para o número zero.

Desta maneira, fica claro que foram eles (os sábios) que elaboraram uma numeração de posição e também que foram eles que inventaram o zero.

2.7. Sistema De Numeração Maconde

Os macondes são um grupo étnico bantu, um povo que está localizado no sudeste da Tanzânia e no norte de Moçambique.

Seu sistema de numeração representa um dentre as muitas centenas inventados na África, ao Sul do Sahara. Eles não têm numeração escrita. Ela é falada e expressa por gestos que utilizam partes do corpo.

Com o indicador da mão esquerda e os outros dedos recolhidos, começa-se a contagem abaixando o dedo mínimo da mão direita, em seguida o dedo anelar, depois o médio e o indicador, representando assim o um, dois, três e o quatro. Para representar o cinco, faz-se o punho com a mão direita. De

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seis até nove, a representação é simétrica a de um até quatro, invertendo porém o papel das mãos. A fim de representar o dez, junta-se os dois punhos.

FIGURA 24 – Numeração Maconde expressa por gestos

Fonte: Guerreiro apud Gerdes, 2008, p.22

Enquanto gesticula-se, diz-se:

1 imo 2 mbili 3 nnatu 4 ncheche 5 mwanu

6 mwanu na imo 7 mwanu na mbili 8 mwanu na nnalu 9 mwanu na ncheche 10 kumi

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Para prosseguir na contagem, basta proceder de maneira semelhante ao que foi feito até o dez, , porém, ao bater novamente com os punhos um no outro, diz-se:

20 makumi mavili

E assim sucessivamente, até chegar no cem:

30 makumi matuta 40 makumi nchehe 50 makumi mwanu

60 makumi mwanu na limo 70 makumi mwanu na mavili 80 makumi mwanu na matatu 90 makumi mwanu na ncheche 100 makumi kumi

É um sistema de base quinária combinada com outra decimal. Por isso, basicamente, com seis palavras: imo, mbili, nnatu, ncheche, mwanu e kumi se conta até cem (as demais palavras são seus plurais)

Por exemplo: mwanu na imo = 6 ( 5 E 1 )

makumi mavili = 20 ( plural de 10 e plural de 2) Na falta de numeração escrita, eles se utilizavam de nós em cordel, de dez em dez unidades, para registrar a numeração.

2.8. Sistema De Numeração Hindu

Chegamos então ao último sistema de numeração abordado neste trabalho. É nele que encontramos o ancestral do nosso sistema moderno e as bases dos cálculos, como são feitos hoje em dia.

Ifrah (1998, p. 264) nos afirma que: “de fato, foi no norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o ancestral de nosso sistema

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moderno e que foram estabelecidas as bases do cálculo escrito tal como é praticado hoje em dia”. Claro que até chegar ao modo tal qual lemos e escrevemos hoje nosso sistema, foi preciso muito tempo e também aperfeiçoamento na escrita, que era muito rudimentar, como pode ser visto em inscrições do século III a.C.

Já possuía uma das características do nosso sistema moderno: os nove primeiros algarismos (os da unidade simples):

FIGURA 25 – Escrita numérica do século III a.C.

No entanto, o sistema ainda não era posicional. De base decimal, atribuíam um algarismo a cada um dos números de forma aditiva, ou seja, havia algarismo não somente para cada unidade simples, mas também para dezena e centena simples e para cada milhar e dezena de milhar. Assim, para representar o número 7.629, era necessário justapor os algarismos 7.000, 600, 20 e o 9 dessa maneira:

FIGURA 26 – A justaposição na inscrição dos algarismos

Era uma numeração bastante limitada ainda, não sendo possível realizar simples operações e nem mesmo escrever números maiores que 99.999. Para contornar a impossibilidade de escrever números grandes por algarismos, os hindus tiveram a ideia de exprimi-los por extenso. De início, foram atribuídos nomes aos 9 primeiros algarismos.

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Construída sobre uma base decimal, tambẽm foram atribuídos nomes às diferentes potências de 10

1 eka 10 dasa

2 dvi 100 sata

3 tri 1.000 sahasra

4 catur 10.000 ayuta

5 pañca 100.000 laksa

6 sat 1.000.000 prayuta

7 sapta 10.000.000 koti

8 asta 100.000.000 vyarbuda

9 nava 1.000.000.000 padma

Na hora de exprimir um número, bastava acrescentar dasa entre o número da unidade simples e o da unidade de segunda ordem, em seguida acrescentar sata entre a unidade de segunda e terceira ordem e assim por diante.

Dessa forma, os hindus já caminhavam para duas descobertas fundamentais: o princípio de posição e, consequentemente, a descoberta do zero.

A partir do século IV d.C, os hindus expressavam os números pelas potências crescentes de 10. Por exemplo, para enunciar o número 3.406 era dito: sat catur dasa tri sahasra (seis quatro centos três mil).

Esse processo tornou-se ainda mais simples no século V, quando os hindus passaram a omitir qualquer menção aos nomes que indicavam a base e sua potência (dasa, sata e etc.) na hora de expressar um número, mas permanecendo e respeitando a ordem e a sequência da leitura de acordo com as potências crescentes de 10 . Sendo então o número 7.523 expresso da seguinte maneira: tri dvi pañca sapta (três. dois. cinco. sete.). Isso significa (3 + 2x10 +5x100 + 7x1.000).

Logo, era criado uma numeração oral de posição, onde a partir das nove unidades simples, um valor variava conforme a sua posição dentro do número.

Mas, como expressar o número 401? Como não confundir 41 com 401 já que só temos palavra para representar as nove unidades simples?

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Para contornar essa dificuldade, os sábios hindus utilizam a palavra śūnya que significa “vazio”. Assim, já temos todos os componentes necessários que formam a numeração atual:

-Algarismos distintos de 1 a 9 -Princípio de posição

-Zero (vazio)

Só faltava ainda um único detalhe: as regras se aplicarem aos algarismos, pois essas regras só se aplicavam de maneira oral às palavras.

A partir do século VI d.C., os hindus trocaram as colunas do ábaco (usadas para fazer contas), aplicou-lhes a regra da posição aos algarismos escritos e acrescentaram uma notação gráfica para o śūnya ou zero: este último fora representado por um ponto, chamado de bindu (uma das palavras- símbolos sinônima de vazio) ou então representado por um pequeno círculo.

Assim nascia o zero dos tempos atuais.

Desse momento em diante, ao invés dos números começarem das unidades simples para as maiores unidades, os números passam a ser representados das unidades maiores para as menores, ou seja, pelas potências decrescentes de 10. Assim, são dispostos na seguinte ordem:

FIGURA 27 – Nova regra para posição dos algarismos

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Fora também nesse período que esse sistema de numeração se expandiu para fora das fronteiras da Índia. Os árabes foram os responsáveis por difundir esse sistema da Índia para o Ocidente.

2.8.1. Sistema de numeração indo-arábico

Foi por meio das relações comerciais que os árabes tiveram acesso ao sistema de numeração hindu. Era um sistema mais prático, mais rápido e, no qual, era mais fácil a realização de técnicas operatórias, o que facilitava muito as contas e cálculos comerciais. A partir do final do século VIII os árabes adotam o sistema numérico hindu, adaptando-o à sua própria cultura.

De início, os algarismos foram simplesmente copiados. Em meados do século IX alguns algarismos ainda eram muito parecidos porém, pouco a pouco, foram sendo modificados pelos escribas e copistas arábicos.

Tendo as regiões árabes se desagregado, havia agora os árabes ocidentais e os árabes orientais. Os árabes do Oriente utilizavam uma grafia denominada grafia hindi, enquanto os árabes do Ocidente denominaram os símbolos numéricos de algarismos ghobar (é destes que vêm os nossos algarismos atuais). Apesar das variações, percebe-se ainda uma influência muito forte do hindu.

FIGURA 28 – Algarismos hindi x algarismos ghobar

Fonte: Ifrah, 1998, pag.301 e 302

A grafia utilizada pelos árabes ocidentais para os números, chega aos cristãos da Europa medieval através da Espanha, antes de formar os algarismos que conhecemos hoje,

Até ganhar a Europa não foi assim tão rápido, muito pelo contrário, foram séculos até isso acontecer. As descobertas alcançadas pelos hindus chegaram ao Ocidente graças a influência árabe, que souberam reconhecer a superioridade e as vantagens vinda dessa numeração e seus métodos de

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cálculo e por isso a adotaram. Diferentemente dos cristãos europeus que preferiram continuar usando seus sistemas arcaicos. Foi necessário alguns séculos até que os algoritmos vindos da Índia dominassem total e definitivamente.

E então partir dos séculos XIII e XIV a grafia adquire:

A aparência definitiva que hoje conhecemos. Quando da invenção da imprensa, em 1440, (...) não fará nenhuma modificação substancial, limitando-se esta descoberta a fixar a forma desses números de acordo com protótipos bastante determinados e definitivamente adotados... (IFRAH, 1998, pag.310)

Apesar de terem sido os hindus que construíram o sistema de numeração que temos hoje, com suas características, foram os árabes que, por muito tempo, receberam essa fama, já que eles mesmos espalharam esse sistema de numeração. Devido à criação por um e à disseminação por outro, esse sistema ficou conhecido como “indo-arábico”!

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CAPÍTULO 3. O ENSINO APRENDIZAGEM DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

A Matemática, embora muito presente no nosso dia a dia, apresenta regras e características muito próprias que, dada sua complexidade, faz-se necessário o seu ensino de maneira lenta e gradativa.

Em relação ao tema Sistemas de Numeração, que para nós parece fácil, Itzcovich (2008) vai dizer que:

O fato de que o sistema de numeração seja um conhecimento que utilizamos permanentemente, às vezes, nos faz perder de vista a complexidade que envolve seu funcionamento e as dificuldades que, consequentemente, possam encontrar aqueles que estão tentando aprender esse objeto matemático. (ITZCOVICH, 2008, p.31)

Tudo indica que algumas possíveis causas para esta dificuldade podem ser: complexidade e abstração do assunto; a descontextualização do trabalho pedagógico; a relação ruim com o professor, quando existe; a má formação do professor do primeiro segmento do ensino fundamental, que muitas vezes não gosta de matemática ou tem pouca carga horária nessa disciplina; o método escolhido para o ensino não ser o mais adequado etc.

O sistema de Numeração Decimal, como visto no capítulo anterior, possui dez algarismos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), é um sistema posicional, ou seja, a posição do algarismo tem influência no valor do número e é chamado de decimal porque nós os agrupamos de dez em dez.

Segundo o currículo de matemática da Secretaria Municipal de Educação do Município do Rio de Janeiro (SME-RJ, 2020, p.4), por exemplo, é esperado que o aluno aprenda, ao longo dos anos iniciais do ensino fundamental, a base que irá construir o conhecimento a ser adquirido nos anos seguintes, tudo de maneira sequencial. Espera-se que o aluno desenvolva algumas habilidades e competências em matemática. No caso específico do Sistema de Numeração decimal, o aluno deve desenvolver as seguintes habilidades e competências até o final do 4° ano:

-Ler, escrever, comparar e ordenar os números até 99.999;

- Conhecer as características do sistema de numeração de base