Mon´oides e o Algoritmo de Exponencia¸c˜ao

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Mon´ oides e o Algoritmo de Exponencia¸ c˜ ao

Lu´ıs Fernando Schultz Xavier da Silveira

Departamento de Inform´atica e Estat´ıstica - INE - CTC - UFSC

12 de maio de 2010

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Mon´oides e o Algoritmo de Exponencia¸c˜ao

Conte´ udo

1 Mon´oides Defini¸c˜ao Propriedades Exemplos

2 Produtórios e Exponencia¸cão em Monóides Defini¸cão

Propriedades

3 O Algoritmo de Exponencia¸c˜ao Enunciado

Prova de Corretude An´alise da Complexidade Implementa¸c˜ao

4 Aplica¸c˜oes

Exponencia¸c˜ao Modular

C´alculo Eficiente dos N´umeros de Fibonacci

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Monóides e o Algoritmo de Exponencia¸cão Monóides

Defini¸c˜ao

Defini¸c˜ ao

Defini¸c˜ao

SejaM um conjunto e·:M →M uma fun¸cão. Dizemos que(M,·)é um monóide se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

·´e associativa.

Existe um elemento 1∈M tal que, para todox∈M,1·x=x·1 =x.

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Propriedades

Proposi¸c˜ao (Unicidade da Unidade)

Seja(M,·) um mon´oide e1,1⁰∈M tais que, para todox∈M, 1·x=x·1 = 1⁰·x=x·1⁰=x. Ent˜ao1 = 1⁰.

Demonstra¸c˜ao.

Temos que 1·1⁰= 1 e 1·1⁰= 1⁰, logo 1 = 1⁰. Com isso podemos definir a unidade de um mon´oide.

(5)

Exemplos

S˜ao exemplos de mon´oides:

(R,·) onde 1 = 1.

(Z,+) onde 1 = 0.

(R^2×2,·), onde 1 =

»1 0 0 1 –

. (Σ^∗,·), onde 1 =ε.

(F(A, A),◦), onde 1(x) =x.

(L(A, A),◦), onde 1(x) =x.

(B(A, A),◦), onde 1(x) =x.

(2^A,∪), onde 1 ={}.

(2^A,∩), onde 1 =A.

(2^A,⊕), onde 1 ={}.

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Monóides e o Algoritmo de Exponencia¸cão Produtórios e Exponencia¸cão em Monóides

Defini¸c˜ao

Produt´ orios e Exponencia¸c˜ ao em Mon´ oides

Defini¸c˜ao

Seja(M,·)um mon´oide ef:Z→M uma fun¸c˜ao. Definimos indutivamente

b

Y

i=a

f(i) = 8

><

>:

1, b < a

f(a)·

b

Y

i=a+1

f(i)

!

, sen˜ao,

ondea, b∈Z.

Defini¸c˜ao

Seja(M,·) um mon´oide,k∈Num n´umero natural ex∈M um elemento qualquer. Definimos

x^k=

k−1

Y

i=0

x.

(7)

Propriedades

Propriedades dos Produt´ otios em Mon´ oides

Proposi¸c˜ao

Seja(M,·) um monóide,f:Z→M uma fun¸cão ea, c, b∈Znúmeros inteiros satisfazendoa6c6b. Então

c−1

Y

i=a

f(i)

!

·

b−1

Y

i=c

f(i)

!

=

b−1

Y

i=a

f(i).

(8)

Propriedades

Propriedades dos Produt´ otios em Mon´ oides

Demonstra¸c˜ao.

Por indu¸c˜ao emc−a. No caso basea=c, logo

c−1

Y

i=a

f(i)

!

·

b−1

Y

i=c

f(i)

!

=

a−1

Y

i=a

f(i)

!

·

b−1

Y

i=a

f(i)

!

= 1·

b−1

Y

i=a

f(i)

!

=

b−1

Y

i=a

f(i).

(9)

Propriedades

Propriedades dos Produt´ otios em Mon´ oides

Demonstra¸c˜ao.

Para o passo indutivo, assumaa < c. Portanto

c−1

Y

i=a

f(i)

!

·

b−1

Y

i=c

f(i)

!

= f(a)·

c−1

Y

i=a+1

f(i)

!!

·

b−1

Y

i=c

f(i)

!

=f(a)· _c−1

Y

i=a+1

f(i)

!

·

b−1

Y

i=c

f(i)

!!

=f(a)·

b−1

Y

i=a+1

f(i)

!

=

b−1

Y

i=a

f(i).

(10)

Propriedades

Propriedades da Exponencia¸c˜ ao em Mon´ oides

Corol´ario.

Seja(M,·) um monóide,x∈M um elemento qualquer em, n∈Nnúmeros naturais. Então

x^m+n=x^m·xⁿ. Demonstra¸c˜ao.

x^m·xⁿ=

m−1

Y

i=0

x

!

·

n−1

Y

i=0

x

!

=

m−1

Y

i=0

x

!

· 0

@

(m+n)−1

Y

i=m

x 1 A=

(m+n)−1

Y

i=0

x

=x^m+n.

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Propriedades

Propriedades da Exponencia¸c˜ ao em Mon´ oides

Proposi¸c˜ao

Seja(M,·) um monóide,x∈M um elemento qualquer em, n∈Nnúmeros naturais. Então

(x^m)ⁿ=x^mn.

Demonstra¸c˜ao.

A prova será por indu¸cão emn. Paran= 0 o resultado é trivial.

Sejan∈Nqualquer e assuma que (x^m)ⁿ=x^mn. Ent˜ao

(x^m)⁽ⁿ⁺¹⁾= (x^m)ⁿ·(x^m)¹=x^mn·x^m=x^mn+m=x^m(n+1).

(12)

Propriedades

Propriedades da Exponencia¸c˜ ao em Mon´ oides

Como uma observa¸c˜ao final, note que 0^x´e 1 para todox. Inclusive, 0⁰= 1.

(13)

Monóides e o Algoritmo de Exponencia¸cão O Algoritmo de Exponencia¸cão

Enunciado

Seja (M,·) um monóide,x∈M em elemento qualquer ek∈Num número natural. Considere então o seguinte algoritmo:

exp(x, k) 0 a, n, p←x, k,1 1 enquanton6= 0fa¸ca 2 senmod 2 = 1ent˜ao

3 p←p·a

4 a←a·a 5 n←¨_n

2

˝ 6 retornep

(14)

Prova de Corretude

Teorema

O algoritmo anterior corretamente computa o valorx^k.

Demonstra¸c˜ao.

A prova ser´a atrav´es da seguinte invariante de loop:

“Sempre que o algoritmo passa pela linha 1,p·aⁿ=x^k.”

Na primeira vez que ele chega à linha 1, essa invariante é trivialmente satisfeita, poisp= 1,a=xen=kem virtude da atribui¸cão na linha 0.

(15)

Prova de Corretude

Demonstra¸c˜ao.

Suponha que o algoritmo chegou `a linha 1 satisfazendo a invariante. Vamos mostrar que se ele retornar, a invariante ainda continua sendo satisfeita.

O algoritmo ir´a voltar `a linha 1 se, e somente se,n6= 0. Iremos, portanto, assumir este fato.

Se ele voltar, os novos valores paraa,nepser˜ao a⁰=a·a, p⁰=p·aⁿ^{mod 2}, n⁰=

jn 2 k

. Mas ent˜ao

p⁰·a⁰ⁿ⁰ =p·aⁿ^{mod 2}·(a·a)bⁿ2c=p·aⁿ^{mod 2}·(a²)bⁿ2c

=p·aⁿ^{mod 2}·a^2·bⁿ2c=p·aⁿ^{mod 2}·aⁿ⁻⁽ⁿ^{mod 2)}

=p·aⁿ=x^k.

(16)

Prova de Corretude

Demonstra¸c˜ao.

Portanto, ao fim do algoritmo,x^k=p·aⁿ, mas comon= 0,

x^k=p·a⁰=p·1 =p. Logo o algoritmo corretamente retornap=x^k.

(17)

An´alise da Complexidade

An´ alise da Complexidade

Este algoritmo pode ter sua complexidade analisada com o Teorema Mestre atrav´es da recorrˆencia

T(n) =T

“n 2

” + Θ(1).

Como Θ(1) = Θ(n^log²¹), temos

T ∈Θ(logn).

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Implementa¸c˜ao

Detalhes de Implementa¸ c˜ ao

Senestiver representado na base 2, este algoritmo pode ser eficientemente implementado.

Paran escrito em uma base geral b, precisamos adaptar o algoritmo como segue:

expb(x, k) 0 a, n, p←x, k,1 1 enquanton6= 0fa¸ca 2 p←p·aⁿ^mod^b 3 a←a^b

4 n←¨_n

b

˝ 5 retornep

A demonstra¸c˜ao de que ele funciona e roda em Θ(logn) para todobfica como exerc´ıcio.

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Monóides e o Algoritmo de Exponencia¸cão Aplica¸cões

Exponencia¸c˜ao Modular

Exponencia¸ c˜ ao Modular

V´arios protocolos de criptografia assim´etrica precisam computar eficientemente o valor dea^bmodnpara valoresn∈N\ {0}ea, b∈Zn.

Observando que (Zn,·) ´e um mon´oide, esse problema pode facilmente ser resolvido com o algoritmo que estudamos.

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C´ alculo Eficiente dos N´ umeros de Fibonacci

On-ésimo número de Fibonacci é definido recursivamente por

fn= 8

><

>:

0, n= 0

1, n= 1

fn−2+fn−1, sen˜ao.

Gostar´ıamos de ser capazes de computar eficientemente on-´esimo n´umero de Fibonaccifnpara um dadon∈N.

(21)

C´ alculo Eficiente dos N´ umeros de Fibonacci

Conhecemos um algoritmo capaz de fazer isso, mas ele executa Θ(n) somas.

Ainda, o n-´esimo n´umero de Fibonacci tem da ordem de Θ(n) d´ıgitos em qualquer base. Se levarmos isso em conta este algoritmo leva Θ(n²) para concluir.

Iremos mostrar um algoritmo para calcular on-ésimo número de Fibonacci usando apenas Θ(logn) somas e multiplica¸cões. Ainda, se considerarmos que uma multiplica¸cão de dois números de n d´ıgitos pode ser executada emO(nlognlog logn), este algoritmo leva apenasO(nlog²nlog logn) para terminar, sendo bastante mais rápido.

Mesmo usando o algoritmo de Karatsuba para multiplicar faz com que esse algoritmo rode emO(n^log²³logn), o que ainda ´e bem mais r´apido.

(22)

C´ alculo Eficiente dos N´ umeros de Fibonacci

A principal id´eia por traz desse algoritmo vem da seguinte igualdade

»fn+2

fn+1

–

=

»1 1 1 0

– »fn+1

fn

– . Por indu¸c˜ao obt´em-se

»fn+1

fn

–

=

»1 1 1 0

–n» f1

f0

– .

Mas como (N^2×2,·) ´e um mon´oide, segue que podemos calcular

»1 1 1 0

–n

rapidamente, usando apenas Θ(logn) vezes a opera¸cão do monóide, que é um produto matricial 2×2 e que portanto pode ser implementado com Θ(1) somas e multiplica¸cões.

(23)

C´ alculo Eficiente dos N´ umeros de Fibonacci

Outra observa¸c˜ao interessante ´e que comof0= 0,f1= 1,f2= 1 e

»fk+1

fk

–

=

»1 1 1 0

–k» f1

f0

– ,

»fk+2

fk+1

–

=

»1 1 1 0

–k» f2

f1

– ,

obt´em-se que, parak>1,

»1 1 1 0

–k

=

»fk+1 fk

fk fk−1

– ,

e como os número de Fibonacci são não decrescentes, temos que o maior número que aparece em uma matriz no algoritmo de exponencia¸cão éfn+1, que tem Θ(n) d´ıgitos em qualquer base.

SeM(n) é o tempo que um algoritmo de multiplica¸cão leva para multiplicar dois inteiros den d´ıgitos eMé da classe de complexidade de uma fun¸cão assintoticamente não decrescente, segue que podemos implementar esse algoritmo emO(M(n) logn).