2 a Lista de exerc´ıcios - MPM5601
1. SejaPa linguagem de primeira ordem formada pelos s´ımbolos funcionais 1-´arios Pai e M˜ae e pelas constantes Jo˜ao e Maria. Traduza as seguintes frases para a linguagem P:
a) Jo˜ao ´e primo de Maria.
b) Jo˜ao ´e filho ´unico.
c) Maria possui trˆes irm˜as(os).
d) Jo˜ao ´e meio-irm˜ao de Maria.
e) Uma das av´os de Maria possui quatro filhos(as).
2. SejaNa linguagem da aritm´etica, com as constantes 0 e 1, os s´ımbolos funcionais bin´arios + e × e o s´ımbolo relacional bin´ario <. Escreva as seguintes frases na linguagem N.
a) Todo n´umero par maior do que dois pode ser escrito como soma de dois n´umeros primos.
b) x possui exatamente trˆes divisores.
c) Todo n´umero ´e menor que um quadrado perfeito.
d) x ey s˜ao primos entre si.
e) 2 ´e o m´aximo divisor comum de x e y.
3. Considere a TCa linguagem da teoria dos conjuntos, com o s´ımbolos relacional bin´ario ∈ como ´unico s´ımbolo espec´ıfico da linguagem. Transcreva cada uma das frases abaixo para a linguagem TC.
(a) Existe um ´unico conjunto vazio;
(b) Para todo x n˜ao vazio, existe y pertencente a x tal que a intersec¸c˜ao de x e y´e vazia;
(c) x ´e o conjunto {y, z};
(d) x tem no m´aximo trˆes elementos;
(e) Dois conjuntos s˜ao iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.
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4. Para cada uma das frases abaixo, defina uma linguagem de primeira ordem apro- priada – introduzindo constantes, s´ımbolos funcionais e relacionais – e escreva a frase nessa linguagem. Diga qual conjunto universo vocˆe est´a utilizando (preste aten¸c˜ao, pois, em alguns casos, o universo pode ser formado por mais de uma categoria de objetos – vocˆe pode usar s´ımbolos relacionais un´arios para diferenciar os tipos de objetos).
a) Todo mundo ´e amigo de algu´em.
b) Algu´em ´e amigo de todo mundo.
c) Para todoε >0 existeδ >0 tal que para todos xey pertencentes ao dom´ınio da f, se |x−y|< δ ent˜ao|f(x)−f(y)|< ε.
d) x´e o menor n´umero real que ´e maior ou igual a todos os elementos do conjunto S.
e) Dados dois pontos distintos existe uma ´unica reta que passa por esses dois pontos.
f ) Dados uma reta e um ponto fora dessa reta, existe uma ´unica reta que passa por esse ponto e ´e paralela `a reta dada.
5. Lembrando que¬∀xA´e equivalente a∃x¬A, e¬∃xA´e equivalente a∀x¬A, passe as frases do exerc´ıcio 4 para a nega¸c˜ao, usando o s´ımbolo de nega¸c˜ao apenas na frente de subf´ormulas atˆomicas. Escreva as respostas na linguagem natural e na linguagem de primeira ordem.
6. Identifique as ocorrˆencias livres e ligadas das f´ormulas abaixo. Conte quantas vari´aveis livres cada f´ormula possui.
a) (∃x(¬((1 +y) = x)))∧ ∀y(y < x).
b) ∀y∀z((y·z =x)→((¬(y =z))∧((y = 1)∨(z = 1)))).
d) ∀x∃y((x < y)∧(z <1)).
e) (∀z∃y(x·y=z))→(x= 0).
f ) (x < y+ 1)→ ∀x∃y(x < y+ 1).
g) (∀x((x= 0)∨(0< x)))∧(∃y(y·(1 + 1) =x)).
h) ∀x(((1 + 1)< x)→(y <(x+x)↔ ∃y((x+y) = 1)).
7. Para cada uma das f´ormulas acima, calcule o grau de complexidade e encontre todas as subf´ormulas.
8. Para cada f´ormula A do exerc´ıcio 6, escreva as f´ormulas [A]0+1x e [A]x+1y .
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