1 Limite de fun¸ c˜ oes com duas ou mais vari´ aveis

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Roteiro de Atividades: refor¸ co da segunda parte do curso de C´ alculo II

Instituto de Astronomia e Geof´ısica

Objetivo do Roteiro

Pesquisa e Atividades: Teoremas de diferenciabilidade de fun¸c˜oes, Vetor gradiente.

Consequˆencias da regra da cadeia.Teorema de Schwarz

Exerc´ıcios: Limite e continuidade de fun¸c˜oes com duas ou mais vari´aveis. Derivadas parciais, Fun¸c˜oes diferenci´aveis e plano tangente, Derivadas direcionais. Regra da cadeia.

Derivadas parciais de ordem superior.

1 Limite de fun¸ c˜ oes com duas ou mais vari´ aveis

1.1 Pesquisar

Fazer um resumo e/ou pesquisar

1. as principais propriedades do limite de fun¸c˜oes;

2. limites fundamentais:

• lim

(x,y)→(0,0)

sen (x²+y²) x²+y² = 1

• lim

(x,y)→(x0,y0) e

1 x²+y²−1

= 0 onde p

x²+y² <1 e x²₀+y₀² = 1 Dica: usar coordenadas polares;

3. teorema do confronto.

1.2 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Determine o dom´ınio e calcule os limites abaixo, caso existam, justificando.

a. lim

(x,y)→(1,1)

x+y

2x−y b. lim

(x,y)→(0,0)

x px² +y² c. lim

(x,y)→(0,0)

(x+y)³

x²+y² d. lim

(x,y)→(0,0)

x⁴ sen (x²+y²) x⁴+y²

e. lim x²

sen xy

f. lim x³+ sen(x²+y²)

2. Verifique se a afirma¸c˜ao abaixo ´e verdadeira ou falsa.

(x,y)→(1,1)lim

(x²+y² −2) sen(x²+y²−2)

|x²+y²−2| existe e vale zero.

1.3 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Calcule os limites abaixo, caso existam, justificando.

a. lim

(x,y)→(0,0)

xy

x²+y² b. lim

(x,y)→(0,0)

2x²y x²+y⁴ c. lim

(x,y)→(0,0)

x+y

x−y d. lim

(x,y)→(0,0)

xy(x−y) x⁴+y⁴ e. lim

(x,y)→(0,0) x sen x

x²+y²

f. lim

(x,y)→(0,0)

x⁵y¹⁰ x¹⁵−y¹⁵ g. lim

(x,y)→(0,0)

x²

px²+y² h. lim

(x,y)→(0,0) sen xy px²+y²

i. lim

(x,y)→(0,0)

x y²

x²−y² j. lim

(x,y)→(1,1) (x+y−2) sen 1

x y−1

k. lim

(x,y)→(0,1) arctg

x²+ 1 x²+ (y−1)²

l. lim

(x,y)→(−1,0)

(x+ 1)² p(x+ 1)²+y² m. lim

(x,y)→(0,1)

x+y−1

|x+y−1| sen(x+y−1) n. lim

(x,y)→(0,0)

x³(1−cos(x² +y²)) (x²+y²)³

2 Continuidade de fun¸ c˜ oes com duas ou mais vari´ aveis

2.1 Pesquisar

Fazer um resumo da defini¸c˜ao de continuidade e principais teoremas.

2.2 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Determine os pontos em que a fun¸c˜ao abaixo ´e cont´ınua.

a. f(x, y) =







x+ 4y

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

b. f(x, y) =







x² + 4y²

x²+y⁴ x se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

2.3 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Determine os pontos em que as fun¸c˜oes abaixo s˜ao cont´ınuas.

a. f(x, y) =x²y⁴−2x+ 4y−3 b. f(x, y) =





 3x³

3x²+y² se (x, y)6= (0,0) 1 se (x, y) = (0,0) c. f(x, y) =







x²−y²

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

d. f(x, y) =





 e





1 x²+y²−1





sex² +y² <1 0 sex² +y² ≥1 .

3 Derivadas parciais

3.1 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Ache as derivadas parciais de primeira ordem das fun¸c˜oes:

a. z = arctg √

x y

b. z =ln(1 + cos²(x³y))

2. Sejaf :IR→IR uma fun¸c˜ao deriv´avel. Calcule as derivadas parciais de 1a. ordem de:

a. u(x, y) = f √

x y

b. u(x, y) = f(ax+by), ondea e b s˜ao constantes.

3. Verifique em que pontos as fun¸c˜oes dadas tem derivadas parciais de 1a. ordem e determine-as.

a. f(x, y) =







xy²+y³

x²+y² −3x se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

b. h(x, y) = p³

x³+xy²+ 4

3.2 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Determine as derivadas parciais de 1a. ordem de:

a. z =e^−x2−y2 b. z = x³+y²

x²+y² c. z=y²ln(1 +x²+ 3y) d. z = x

y e. z = cosx

y

f. f(x, y, z) =xyze^x2y g. z = 2x

h. f(x, y) =

Z x²+y

sen t²dt i. g(x, y, z, t) = x−y

2. Verifique em que pontos as fun¸c˜oes dadas tem derivadas parciais de 1a. ordem e determine-as.

a. f(x, y) =







x²−y²

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

b. f(x, y) =





 x²y

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

c. f(x, y) =







xy+x²

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

d. z = arctg y x

4 Derivadas parciais de ordem superior

Fazer um resumo e/ou pesquisar

1. defini¸c˜ao e os principais conceitos de derivadas parciais de ordem superior;

2. condi¸c˜ao para igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas;

3. exemplo de fun¸c˜ao onde n˜ao temos a igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas;

4.1 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Calcule todas as derivadas parciais de 2a. ordem de;

a. z =x⁴y²− x³y

2 +y³ b. f(x, y) = cos(x³y²) 2. Seja a fun¸c˜aof(x, y) =





 x³y

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0) .

a. Mostre que ∂f

∂x(0, y) = 0,para todo y∈IR e que ∂f

∂y(x,0) =x, para todo x∈IR.

b. Verifique que ∂²f

∂y ∂x(0,0) = 0 e que ∂²f

∂x ∂y(0,0) = 1.

3. Sejag(x, y) = (x+y)e

xy

,y 6= 0. Prove que x ∂²g

∂x ∂y + y∂²g

∂²y = 0, para todo y6= 0.

4. Mostre que a fun¸c˜ao u(x, y) =lnp

x²+y² ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace (bidi- mensional) ∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0.

5 Diferenciabilidade

5.1 Pesquisar

Fazer um resumo e/ou pesquisar 1. defini¸c˜ao de derivada direcional;

2. defini¸c˜ao de gradiente e a rela¸c˜ao com derivada direcional e gradiente e a diferen¸ca entre estes;

3. Comparar a defini¸c˜ao de diferenciabilidade apresentada na disciplina com a apresen- tada no livro Curso de C´alculo (p´agina 190 do volume 2 - 5^a ed.) do Guidorizzi.

Dica: No curso dissemos que uma fun¸c˜ao f : Ω ⊂ IR² → IR ´e dita diferenci´avel em p ∈ Ω se existirem uma transforma¸c˜ao linear T(p) e uma fun¸c˜ao escalar E(p, v) tais que

f(p+v) =f(p) +T(p)·v+||v||E(p, v) .

Se usarmos p= (x₀, y₀),T(p) = (a, b) e v = (h, k) escrevemos a express˜ao como f(x₀+h, y₀+k) = f(x₀, y₀) +ah+bk+||(h, k)||E((x₀, y₀),(h, k)) .

5.2 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Considere a fun¸c˜ao f(x, y) =







(x²+y²) sen 1 px²+y²

se (x, y)6= (0,0)

0 se (x, y) = (0,0)

.

Mostre que f ´e diferenci´avel em (0,0).

Observa¸c˜ao: Para resolver este problema podemos aplicar a defini¸c˜ao de diferenciabilidade apresentada na disciplina com a apresentada no livro Curso de C´alculo (p´agina 190 do volume 2 - 5^a ed.) do Guidorizzi.

2. Sejag(x, y) =





 x³

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

a. Mostre que g ´e continua em (0,0). b. Calcule ∂g

∂x(0,0) e ∂g

∂y(0,0).

c. g ´e diferenci´avel em (0,0)? d. S˜ao ∂g e ∂g

cont´ınuas em (0,0)?

5.3 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Justifique a diferenciabilidade das seguintes fun¸c˜oes:

a. f(x, y) =xy b. g(x, y) = 3x−y c. f(x, y) = 1

x−y d. ln(x²+y²) e. f(x, y) = (x²+y²)^2/3 f. g(x, y) =|xy|^5/4 Observa¸c˜ao: tomar cuidado com o ponto (0,0).

2. Sejaf(x, y) =





 x²y

x⁴+y² + sen(x+ 3y) se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0) a. Mostre que as derivadas parciais ∂f

∂x e ∂f

∂y existem em todos os pontos.

b. f ´e cont´ınua em (0,0)? c. f ´e diferenci´avel em (0,0)?

4. Determine os pontos em que as fun¸c˜oes abaixo s˜ao diferenci´aveis:

a. f(x, y) =







x²−y²

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

b. h(x, y) =





 x²y

x²+y² + 3y se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

6 Plano tangente e reta normal

6.1 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente e da reta normal `as superf´ıcies dadas abaixo nos pontos indicados.

a. z = arctg(x−2y) em

2,1

2, z(2,1 2)

. b. z =x e^x2−y2 em (2,2, z(2,2)).

2. Sejaz=f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que o plano de equa¸c˜ao 4x+3y−5z−12 = 0

´

e o plano tangente ao gr´afico def no ponto (1,1,1).

a. Determine o valor das derivadas parciais de 1a. ordem de f em (1,1).

b. Escreva uma equa¸c˜ao da reta normal ao gr´afico def no ponto (1,1, f(1,1)).

3. Determine k ∈ IR para que o plano tangente ao gr´afico de f(x, y) = ln(x² +ky²) no ponto (2,1, f(2,1)) seja perpendicular ao plano 3x+z = 0.

6.2 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Determine uma equa¸c˜ao do plano tangente e da reta normal `as superf´ıcies dadas abaixo nos pontos indicados.

a. z =x³y³+ 2xy−3x em (1,−1, f(1,−1)). b. z =e^xln y em (3,1,0).

2. Determine um plano que passa pelos pontos (1,1,2) e (−1,1,1) e que ´e tangente ao gr´afico da fun¸c˜aoz =xy. S´o existe um s´o plano nestas condi¸c˜oes?

3. Determine o plano que ´e paralelo ao planoz = 2x+ 3ye tangente `a superficie de equa¸c˜ao z =x²+xy

7 Regra da Cadeia

7.1 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Seja h : IR → IR uma fun¸c˜ao deriv´avel tal que h⁰(1) = 3. Considere a fun¸c˜ao g(x, y) = h(xy²). Calcule ∂g

∂x(1,1) e ∂g

∂y(1,1).

2. Sejaf(x, y) = x²+y² e considereγ(t) = (t, t, z(t)), comt∈IR, uma curva cuja trajet´oria est´a contida no gr´afico de f.

a. Determine a coordenada z(t).

b. Esboce o gr´afico def e a trajet´oria de γ no mesmo sistema de coordenadas.

c. Determine a reta tangente `a curva γ no ponto (1,1,2).

3. Sejag :IR→IRuma fun¸c˜ao diferenci´avel e considere a fun3˜aof(x, y) = (x²+y²)g x

y

, com y6= 0. Mostre quef admite derivadas parciais e que x∂f

∂x +y∂f

∂y = 2f.

4. Seja f(x, y) = sen(xy²) e considere x = t² e y = 4t, para todo t ∈ IR. Tomando z(t) = f(x(t), y(t)), para t∈IR,

a. Determine z =z(t). b. Calculez⁰(t) diretamente e depois via a Regra da Cadeia.

5. Seja f = f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel e seja z(t) = t²f(t³, e^t2). Expresse z⁰(t) em termos das derivadas parciais de f.

6. Sejaw=f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenc´ıavel tal que f(3t, t³) = arctg t,∀t ∈IR.

a. Se ∂f

∂x(3,1) = 2, qual ´e o valor de ∂f

∂y(3,1)?

b. Qual a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f em (3,1, f(3,1))?

7. Seja f : IR² → IR uma fun¸c˜ao diferenci´avel em IR², tal que ∇f(−2,−2) = (a,−4).

Considere a fun¸c˜ao g(t) = f(2t³ −4t, t⁴ −3t). Determine o valor de a para que a reta tangente ao gr´afico deg no ponto de abscissa 1 seja paralela `a reta y= 2x+ 3.

8. Seja a fun¸c˜ao f(x, y) =





 x³

x²+y² se (x, y)6= (0,0) 0 se (x, y) = (0,0)

. Considere a curva γ(t) = (t, t), para t ∈IR, e seja a fun¸c˜aoz(t) = f(γ(t)).

a. Determine a senten¸ca de z =z(t).

b. Calcule dz

dt(0), usando a senten¸ca obtida em a.

c. Calcule∇f(0,0)◦γ⁰(0). Compare este resultado com o obtido em b. Voce sabe explicar o que aconteceu e o motivo do acontecido?

7.2 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. A trajet´oria da curvaγ(t) = (2t, t², z(t)) est´a contida no gr´afico da fun¸c˜ao diferenci´avel z = f(x, y). Sabendo-se que f(2,1) = 3, ∂f

∂x(2,1) = 1 e ∂f

∂y(2,1) = −1, determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a γ no ponto γ(1).

2. Sejam z = g(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel no IR² e h : IR → IR diferenci´avel tais que g(t, h(t)) = 3, para todot∈IR. Supondo que h(0) = 2, ∂g

∂x(0,2) = 1 e ∂g

∂y(0,2) = 4, qual a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva plana γ(t) = (t, h(t)) no ponto γ(0)?

3. Sejaz =f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel.

a. Considere a fun¸c˜aog(u, v) = f(u²+ 3v, u−4v²). Determine as derivadas parciais de 1a.

ordem de g, em termos das derivadas parciais de f.

b. Idem parag(u, v) = f(uv, u³−v²).

4. Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que x∂f

∂x(x, y) − y∂f

∂y(x, y) = 0, para todo (x, y)∈IR². Mostre que a fun¸c˜aoh(t) =f(t,²_t), parat >0, ´e constante.

5. Seja z = f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que f(3,4) = 1 e ∇f(3,4) = (−2,5).

Considere a fun¸c˜aog(u, v) =u²f(3uv,2u²+ 2v³). Calcule ∇g(1,1).