2008.2 Aula de apoio aos feras:Sistemas de Numeração pet

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2008.2

Aula de apoio aos feras:

Sistemas de Numeração

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Roteiro

• Visão geral de sistemas numéricos e aprender como

transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal,

e vice-versa.

•Aprender as operações aritméticas básicas utilizando estes sistemas de numeração

•Transmitir uma noção da importância dos

sistemas de numeração binário e hexadecimal, principalmente, para a computação

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Sistemas Numéricos

• Principais sistemas numéricos:

• Decimal

• 0, 1, ..., 9

• Binário

• 0, 1

• Octal

• 0, 1, ..., 7

• Hexadecimal

• 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F

•É importante atentar que no sistema hexadecimal, as letras de A até F equivalem, em decimal, a 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente

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Conversão Base X – Base 10

• Processo: soma de multiplicações

• num_d = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₀x⁰

•Exemplos, converter para a base 10:

• 1011₂

• 4A3B₁₆

•7271₈

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Conversão Base X – Base 10

• ^num_d ^{= a}_n^{xn + a}_n-1^{xn-1 + ... + a}₀^x0

• Binário – Decimal: 1011₂

• 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰

• 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1110

• Octal– Decimal: 7271₈

• 7 * 8³ + 2 * 8² + 7 * 8¹ + 1 * 8⁰

• 7 * 512 + 2 * 64 + 7 * 8 + 1 * 1 = 3769₁₀

• Hexadecimal – Decimal: 4A3B₁₆

• 4 * 16³ + A * 16² + 3 * 16¹ + B * 16⁰

• 4 * 16³ + 10 * 16² + 3 * 16¹ + 11 * 16⁰

• 4 * 4096 + 10 * 256 + 3 * 16 + 11 * 1 = 19003₁₀

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Conversão Base X – Base 10

•Exercícios, converter para a base 10:

• 1100₂

• 0111₂

• ABCD₁₆

•A8B2₁₆

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Respostas

•Respostas ao exercício anterior:

• 1100₂ = 12 ₁₀

• 0111₂ = 7 ₁₀

• ABCD_{16 =} 43981 ₁₀

•A8B2_{16 =} 43186 ₁₀

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Conversão Base 10 – Base X

• num_1d x

r₁ num_2d x

r₂ num_3d

num_n-1d x r_n-1 r_n

num_ix = r_nx...r_2xr_1x

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Conversão Base 10 – Base X

Momento de Parar: quando o

quociente é menor do que o

valor da base Neste caso, o valor da base é

“2”

• Exemplo, converter 53₁₀ para binário:

53 2

1 26 2

0 13 2 1 6 2

0 3 2 1 1 110101₂

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Conversão Base 10 – Base X

• Exemplo, converter 1016₁₀ para hexadecimal:

1016 16

8 63 16

15 3 3F8₁₆

•Exemplo, converter 53₁₀ para hexadecimal:

53 16 5 3

35₁₆

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Conversão Base 10 – Base X

•Exercícios, converter da base 10:

• para binário, 25

• para hexadecimal, 156

•Respostas

• 25 ₁₀ = 11001 ₂

• 156 ₁₀ = 9C ₁₆

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Adição e subtração em

binário

• As operações aritméticas com números binários são feitas de forma análoga aos decimais

• Para a subtração, em especial, é necessário

lembrar os “empréstimos” ensinados durante o primário

• É importante ter em mente que:

– 1 + 1 = 0 e “vai” 1 – 1 + 0 = 0 + 1 = 1 – 0 + 0 = 0

– 1 + 1 + 1 = 1 e “vai” 1

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Exemplos

Ex1: 1 1 1 - vai 1

1 0 1 1 – 1a. parcela + 1 1 1 1 - 2a. parcela 1 1 0 1 0 – resultado

0 1

Ex2:

1 0

0 1

- 0 1 1 0

0 0 1 1

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Complemento a 2

• Por questões de convenção e eficiência, utiliza-se a notação de complemento a 2 para se trabalhar com números binários no computador

• Utilizando esta notação, a subtração é uma soma. Por exemplo: 7 – 5 seria 7 + (-5)

• Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme diferença para o computador

• Números que tenham o bit mais à esquerda 1 são negativos.

Os que tiverem 0 neste bit, serão positivos

• Para trabalhar com complemento a 2, é necessário saber a quantidade de bits que os números devem ter. Isto varia de acordo com o processador. Caso o resultado exceda esta quantidade de bits, o bit mais à esquerda é desprezado

• Deve-se proceder da seguinte maneira:

– Os números negativos devem ter seus bits invertidos – Soma-se 1 ao valor obtido

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Exemplo

• Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu processador trabalhe com números de 5 bits

• Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5)

• 10, em binário é: 01010

• 5 em binário é: 00101

• Aplicando o complemento a 2, obteremos -5:

– 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010 – Fazendo 11010 + 1, temos 11011

• Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101. Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado foi 00101. De fato, o resultado é 5.

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Representação no computador

• O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em geral, essas palavras são de 16 ou 32bits, mas hoje existem computadores manipulando 64bits.

• Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).

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• No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos:

– - e , para os infinitos.

– NaN (not-a-number), para representar resultados de operações como 0/0,  - , 0x,

– -0, definido com o inverso de -.

Números especiais

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• O computador representa os números de uma forma finita e aproximativa:

– Precisa de forma de gerenciar o infinitamente pequeno e o infinitamente grande,

– Precisa de minimizar e medir os erros de aproximação.

Erros de aproximação

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• Os números manipulados

– grande demais para ser representados provocam um overflow.

– pequeno demais para ser representados provocam um underflow.

• Os sistemas têm feedback diferentes em caso de over ou underflow. Certos param a execução, certos dão uma mensagem e outros representam o número de uma

forma especifica.

Overflow e underflow

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• A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador).

• O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base:

10

1

3 em base 10 ou base 12, 0,1 em base 10 ou base 2

O computador usa representação finita, ele não pode representar de

forma exata os números reais.

Conclusão

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