Distribuição de valores extremos generalizada inflada de zeros

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(1)U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE C ENTRO DE C I Eˆ NCIAS E XATAS E DA T ERRA ´ -G RADUAÇ AO ˜ EM M ATEM ATICA ´ P ROGRAMA DE P OS A PLICADA E E STATÍ STICA ´ M ESTRADO EM M ATEM ATICA A PLICADA E E STATÍ STICA. ˜ DE VALORES EXTREMOS DISTRIBUIC ¸ AO GENERALIZADA INFLADA DE ZEROS. Alexandre Henrique Quadros Gramosa. Natal-RN Maio / 2017.

(2) Alexandre Henrique Quadros Gramosa. ˜ DE VALORES EXTREMOS DISTRIBUIC ¸ AO GENERALIZADA INFLADA DE ZEROS. ´ Trabalho apresentado ao Programa de PosGraduaça˜ o em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obtença˜ o do t´ıtulo de Mestre. ´ Area de Concentraça˜ o: Probabilidade e Estat´ıstica. Linha de Pesquisa: Valores Extremos.. Orientador. Prof. Phd. Fernando Ferraz do Nascimento Co-Orientador. Prof. Phd. Fidel Ernesto Castro Morales U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE – UFRN ´ -G RADUAÇ AO ˜ EM M ATEM ATICA ´ P ROGRAMA DE P OS A PLICADA E E STATÍ STICA – PPGMAE. Natal-RN Maio / 2017.

(3) Gramosa, Alexandre Henrique Quadros ˜ DE VALORES EXTREMOS GENERALIZADOS INFLADISTRIBUIC ¸ AO DOS DE ZEROS - IGEV / Alexandre Henrique Quadros Gramosa - 2017. Biblioteca Central Zila Mamede. 102 fl Dissertaça˜ o - Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN. ´ Graduaça˜ o Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET. Programa de Pos em Matemática Aplicada e Estat´ıstica - PPGMAE. 1. Eventos Extremos. 2. Inflacionados de Zeros. 3. Abordagem Bayesiana. Orientador: Fernando Ferraz do Nascimento Co-Orientador: Fidel Ernesto Castro Morales. 12300.

(4) ˜ DE VALORES EXTREMOS GEDissertaça˜ o de Mestrado sob o t´ıtulo DISTRIBUIÇAO NERALIZADA INFLADA DE ZEROS apresentada por Alexandre Henrique Quadros ´ Gramosa e aceita pelo Programa de Pos-Graduac ¸ a˜ o em Matemática Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:. Prof. Phd. Fernando Ferraz do Nascimento Orientador CCN UFPI / UFRN. Prof. Phd. Fidel Ernesto Castro Morales Co-Orientador CCET UFRN. Prof. Phd. Hedibert Freitas Lopes Externo INSPER. Prof. Dr. Marcelo Bourguignon Pereira CCET UFRN. Natal-RN, 05 de Maio de 2017..

(5) Agradecimentos Agradeço ao SENHOR nosso Deus por tudo o que tem feito por mim e por minha Fam´ılia, por esta grande Bênça˜ o, por Sua direça˜ o e proteça˜ o durante toda esta jornada, ´ pelas dificuldades e pelas vitorias que me fizeram cada vez mais dependente dEle, pois se não fosse o Seu poder e Sua luz, não tinha chegado até aqui. Obrigado SENHOR! Agradeço a minha Fam´ılia que me ajudou e incentivou em todos os momentos, principalmente os mais dif´ıceis, em especial aos meus pais Sr. Gramosa e D. Socorro, pela confiança, pelo apoio moral e financeiro durante o pe´ıodo sem Bolsa, bem como a minha esposa, Eulenir, por toda compreensão e dedicaça˜ o. ˜ especiais a meu Orientador e Co-Orientador, Prof. Phd. FerAgradeço com dedicaçoes nando Ferraz do Nascimento e Prof. Phd. Fidel Ernesto Castro Morales, por terem aceitado a me orientar, pela paciência e sabedoria no guia e no desbravo deste trabalho. Agradeço aos Professores da Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, ´ bem como aos do Programa de Pos-Graduac ¸ a˜ o em Matemática Aplicada e Estat´ıstica - PPGMAE, pela oportunidade de participar do Curso de Mestrado em Matemática Aplicada e Estat´ıstica, e por todo o Apoio durante estes dois anos e dois meses. ˆ Agradeço aos meus amigos do mestrado, Colombia (”Menino do Exército”), Evandro, Tito, Felipe, Jhonata, moisés, La´ıs, Isaac, Wanderson, Wyara que foram fundamentais nestes dois anos, por todo o companheirismo nas disciplinas. Agradeço aos amigos e irmãos da Igreja Adventista na cidade de Esperança, Natal/RN por terem me acolhido como Filho, e por toda torcida e oraça˜ o. Agradeço aos amigos e irmãos da Igreja Adventista em Nazária/PI, pelo incentivo, ˜ e pelo cuidado com a minha Fam´ılia que tanto precisou. pelas Oraçoes Agradeço a todos que torceram e contribu´ıram para realizaça˜ o deste trabalho, em especial o Professor Batista Teles Presidente do Instituto Amostragem..

(6) ”Mas buscai primeiro o Seu reino e Sua justi¸ca, e todas as estas coisas vos serão acrescentadas”. Mateus 6:33.

(7) ˜ DE VALORES EXTREMOS DISTRIBUIC ¸ AO GENERALIZADA INFLADA DE ZEROS. Autor: Alexandre Henrique Quadros Gramosa Orientador: Prof. Phd. Fernando Ferraz do Nascimento Co-Orientador: Prof. Phd. Fidel Ernesto Castro Morales. R ESUMO Eventos Extremos geralmente são responsáveis por produzirem grandes ganhos ou grandes perdas a` sociedade. Já existe uma distribuiça˜ o espec´ıfica, conhecida como Distribuiça˜ o de Valores Extremos Generalizada (GEV), desenvolvida para predizer e ˜ com dados extremos, prevenir tais acontecimentos. Entretanto, em muitas situaçoes existem a presença de zeros excessivos no banco de dados, dificultando a análise e a precisão na estimaça˜ o. A Distribuiça˜ o Inflada de Zeros (ZID) e´ recomendada para fazer a modelagem desses dados que apresentam zeros inflacionados. E´ objetivo deste trabalho criar uma nova distribuiça˜ o para modelar dados de valores extremos e inflados de ˜ GEV e ZID, e também feito zeros. Portanto, foi realizado uma mistura das distribuiçoes ˜ com dauma abordagem Bayesiana, na busca de obter um melhor ajuste em aplicaçoes dos de máximos inflacionados de zeros. Foram escolhidas para análises, a precipitaça˜ o diária de chuvas na cidade de Natal do estado do Rio Grande do Norte e nas cidades de Paulistana, Picos, São João do Piau´ı e Teresina do estado do Piau´ı. Foi utilizado também a distribuiça˜ o GEV padrão para modelar estes mesmos dados coletados, a ˜ feitas pelas duas t´ıtulo de comparaça˜ o, e assim, por meio de medidas e estimaçoes ˜ distribuiçoes, verificar a qualidade do ajuste encontrado pela nova distribuiça˜ o de Valores Extremos Inflados de Zeros (IGEV). Logo, verificou-se que o modelo foi bem desenvolvido, conseguindo estimar bem os dados de máximos, mesmo uma quantidade excessiva de zeros, sendo que a GEV padrão não conseguiu encontrar a distribuiça˜ o de equil´ıbrio quando os dados dados possuem muitos zeros. Além disso, quando os dados de valores extremos não tem zeros inflacionados, o novo modelo converge para a GEV padrão, identificando a ausência dos zeros. Palavras-chave: Eventos Extremos, Inflacionados de Zeros, Abordagem Bayesiana..

(8) GENERALIZED EXTREMES VALUES DISTRIBUTION ZEROS INFLATED. Author: Alexandre Henrique Quadros Gramosa Advisor: Prof. Phd. Fernando Ferraz do Nascimento Co-Advisor: Prof. Phd. Fidel Ernesto Castro Morales. A BSTRACT Extreme events are usually responsible for producing big gains or big losses to society. There is already a specific distribution, known as Generalized Extreme Values Distribution (GEV), developed to predict and prevent such events. However, in many situations with extreme data, there are the presence of excessive zeros in the database, making analysis difficult and difficult to estimate. Influenced Zero Distribution (ZID) is recommended to model such data that has inflated zeros. It is the objective of this work to create a new distribution to model data of extreme and inflated values of zeros. Therefore, a mixture of the GEV and ZID distributions was made, as well as a Bayesian approach, in order to obtain a better fit in applications with data of inflated maximums of zeros. The daily precipitation of rainfall in the city of Natal in the state of Rio Grande do Norte and in the cities of Paulistana, Picos, São João do Piau´ı and Teresina in the state of Piau´ı were chosen for analysis. It was also used the standard GEV distribution to model the same data collected by way of comparison, and thus, through measurements and estimates made by the two distributions, to verify the quality of the adjustment found by the new distribution of Extremes Inflated Zeros Values (IGEV). Therefore, it was verified that the model was well developed, being able to estimate well the maximum data, even an excessive amount of zeros, and the standard GEV could not find the equilibrium distribution when the data given have many zeros. In addition, when the data of extreme values does not have inflated zeros, the new model converges to the standard GEV, identifying the absence of zeros. Keywords: Extreme Events, Inflated Zeros, Bayesian Approach..

(9) Lista de figuras 1. Natal/RN (Fonte: Jornal Tribuna do Norte/13.06.2014). . . . . . . . . .. p. 1. 2. Teresina/PI (Fonte: De Olho No Tempo da Meteorologia/09.04.2015). .. p. 2. 3. Washington DC/EUA (http://noticias.uol.com.br/internac...-nos-euaesvazia-prateleiras.htm?cmpid=tw-uol/22.01.2016). . . . . . . . . . . .. 4. p. 3. Exemplo de densidade e n´ıvel de retorno da distribuiça˜ o GEV com µ = 3 e σ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17. 5. ˆ da GEV para p=0,10 e n=300. . . . . p. 47 ˆ σˆ e ξ) Cadeias dos Estimadores (µ,. 6. ˆ da GEV para p=0,30 e n=1000. . . . p. 48 ˆ σˆ e ξ) Cadeias dos Estimadores (µ,. 7. ˆ da IGEV para p=0,10 e n=300. ˆ Sˆ µ, ˆ σˆ e ξ) Cadeias dos Estimadores (ω,. p. 49. 8. ˆ da IGEV para p=0,30 e n=300. ˆ Sˆ µ, ˆ σˆ e ξ) Cadeias dos Estimadores (ω,. p. 50. 9. ˆ da IGEV para p=0,50 e n=300. ˆ Sˆ µ, ˆ σˆ e ξ) Cadeias dos Estimadores (ω,. p. 51. 10. ˆ da IGEV para p=0,80 e n=300. ˆ Sˆ µ, ˆ σˆ e ξ) Cadeias dos Estimadores (ω,. p. 52. 11. Gráficos de Retornos da IGEV com n=300 e p=(0.10, 0.30, 0.50 e 0.80) . p. 56. 12. Gráficos de Retornos da IGEV com n=1000 e p=(0.10, 0.30, 0.50 e 0.80) . p. 57. 13. ˜ de Chuvas (mm) das Cidades. . . . . . . p. 60 Histograma das Precipitaçoes. 14. ˜ de Chuvas (mm) das Cidades. . . . p. 61 Gráfico de Séries das Precipitaçoes. 15. Cadeias MCMC dos Estimadores ωˆ e Sˆ da IGEV de Natal. . . . . . . . p. 64. 16. ˆ σˆ e ξˆ da IGEV de Natal. . . . . . . p. 65 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 17. ˆ σˆ e ξˆ da GEV de Natal. . . . . . . . p. 66 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 18. Cadeias MCMC dos Estimadores ωˆ e Sˆ da IGEV de Teresina. . . . . . . p. 67. 19. ˆ σˆ e ξˆ da IGEV de Teresina. . . . . . p. 68 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 20. ˆ σˆ e ξˆ da GEV de Teresina. . . . . . p. 69 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,.

(10) 21. Cadeias MCMC dos Estimadores ωˆ e Sˆ da IGEV de Picos. . . . . . . . . p. 70. 22. ˆ σˆ e ξˆ da IGEV de Picos. . . . . . . p. 71 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 23. ˆ σˆ e ξˆ da GEV de Picos. . . . . . . . p. 72 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 24. Cadeias MCMC dos Estimadores ωˆ e Sˆ da IGEV de Paulistana. . . . . p. 73. 25. ˆ σˆ e ξˆ da IGEV de Paulistana. . . . p. 74 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 26. ˆ σˆ e ξˆ da GEV de Paulistana. . . . . p. 75 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 27. Cadeias MCMC dos Estimadores ωˆ e Sˆ da IGEV de São João do Piau´ı.. 28. ˆ σˆ e ξˆ da IGEV de São João do Piau´ı. p. 77 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 29. ˆ σˆ e ξˆ da GEV de São João do Piau´ı. p. 78 Cadeias MCMC dos Estimadores µ,. 30. N´ıvel de Retorno da GEV e da IGEV para Teresina. . . . . . . . . . . . p. 82. p. 76.

(11) Lista de tabelas 1. Tipos de Zeros em Conjuntos de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21. 2. Cenários sobre a origem de zero nos dados e a modelagem recomendada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21. 3. ˜ Mistura de Distribuiçoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24. 4. ˜ GEV e IGEV, Estimaça˜ o dos parâmetros fixados pelas distribuiçoes ˜ em todas as amostras com p=0,10 e p=0,30. . . . . . p. 43 para as simulaçoes. 5. ˜ GEV e IGEV, Estimaça˜ o dos parâmetros fixados pelas distribuiçoes ˜ em todas as amostras com p=0,50 e p=0,80. . . . . . p. 44 para as simulaçoes. 6. Comparaça˜ o dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas ˜ com p=0,10 e n=300 e 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54 simulaçoes. 7. Comparaça˜ o dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas ˜ com p=0,30 e n=300 e 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54 simulaçoes. 8. Comparaça˜ o dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas ˜ com p=0,50 e n=300 e 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55 simulaçoes. 9. Comparaça˜ o dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas ˜ com p=0,80 e n=300 e 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 55 simulaçoes. 10. Proporça˜ o de Zeros dos Dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62. 11. Estat´ıstica Descritiva nas cidades em estudo. . . . . . . . . . . . . . . . p. 63. 12. Estimativa dos Parâmetros para a Média a Posteriori. . . . . . . . . . . p. 79. 13. Comparaça˜ o dos N´ıveis de Retorno de Teresina . . . . . . . . . . . . . p. 80. 14. Comparaça˜ o dos N´ıveis de Retorno de Teresina. . . . . . . . . . . . . . p. 81.

(12) Sumário. 1. 2. Introdu¸ca˜ o. p. 1. 1.1. Valores Extremos e Excessos de Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 4. 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 5. 1.3. Descriça˜ o dos Cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 6. Distribui¸ca˜ o de Valores Extremos Generalizada (GEV). p. 7. 2.1. Teoria dos Valores Extremos (TVE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 7. 2.1.1. Distribuiça˜ o de Máximos e M´ınimos . . . . . . . . . . . . . . . .. p. 8. 2.1.2. A Distribuiça˜ o GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10. 2.1.3. Propriedades da GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12. 2.2. 3. Inferência para Distribuiça˜ o GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14 2.2.1. Estimaça˜ o por Máxima Verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . p. 15. 2.2.2. Inferência para os N´ıveis de Retornos . . . . . . . . . . . . . . . p. 17. Distribui¸coes ˜ Infladas de Zeros (ZID) 3.1. ´ Numero Excessivo de Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20 3.1.1. 3.2. 4. Classificaça˜ o dos Zeros Inflacionados . . . . . . . . . . . . . . . p. 22. Distribuiça˜ o Inflada de Zeros (ZID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22 3.2.1. Propriedades da Distribuiça˜ o ZID . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23. 3.2.2. Verossimilhança para a Distribuiça˜ o ZID . . . . . . . . . . . . . p. 23. Inferência Bayesiana 4.1. p. 19. p. 25. Estimadores Bayesianos (EB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25.

(13) 4.2. ˜ ZID . . . . . . . . . . . . . . . p. 27 Inferência Bayesiana para Distribuiçoes. 4.3. ˜ GEV . . . . . . . . . . . . . . . p. 30 Inferência Bayesiana para Distribuiçoes. 4.4. Técnicas MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31. 4.5 5. 4.4.1. Cadeia de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32. 4.4.2. Algoritmo de Metropolis - Hastings . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33. MCMC4Extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33. Distribui¸coes ˜ de Valores Extremos Generalizada Infladas de Zeros (IGEV) 5.1. Distribuiça˜ o IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35 5.1.1. 6. Propriedades da IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36. 5.2. Inferência Bayesiana para Distribuiça˜ o IGEV . . . . . . . . . . . . . . . p. 38. 5.3. N´ıveis de Retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41 p. 42. Simula¸ca˜ o 6.1. 7. p. 35. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43 6.1.1. Estimadores e Intervalos de Confiança . . . . . . . . . . . . . . . p. 43. 6.1.2. N´ıveis de Retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53. Aplica¸ca˜ o em Dados de Chuvas. p. 59. 7.1. Conjunto de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59. 7.2. Cidade de Natal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64. 7.3. 7.4. 7.2.1. IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64. 7.2.2. GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66. Cidade de Teresina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67 7.3.1. IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67. 7.3.2. GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69. Cidade de Picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70 7.4.1. IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70.

(14) 7.4.2 7.5. 7.6. 8. GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72. Cidade de Paulistana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73 7.5.1. IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73. 7.5.2. GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75. Cidade de São João do Piau´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76 7.6.1. IGEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76. 7.6.2. GEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78. 7.7. Estimadores Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79. 7.8. Medidas de Ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80. 7.9. Retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81. Conclusão. Referências Bibliográficas. p. 83 p. 86.

(15) 1. 1. Introdu¸ca˜ o. ´ Nos ultimos anos, o mundo vem enfrentando grandes mudanças ambientais. Problemas como enchentes, intensos per´ıodos de seca, devidos a altos e baixos ´ındices de chuvas, preocupam o governo pela grande perda material e financeira que esses eventos trazem para a sociedade. Ter o conhecimento da frequência com o qual esses eventos ocorrem e´ de suma importância para o governo e para a populaça˜ o em geral, devido ao grande impacto que esses eventos acarretam na sociedade, para que assim possam ser feitos trabalhos preventivos para diminuir as perdas e potencializar ˆ os ganhos. Este pensamento também se aplica a outros fenomenos naturais, como por exemplo, em vazão de rios, velocidade do vento, temperaturas máximas e m´ınimas, entre outros, Nascimento (2012).. Figura 1: Natal/RN (Fonte: Jornal Tribuna do Norte/13.06.2014). A Figura 1 mostra a cidade de Natal - RN, no dia 13 de junho de 2014, onde milhares de pessoas sofreram com os alagamentos em alguns bairros da cidade, tendo suas casas invadidas pela a´ gua, perdendo bens e sofrendo com a lama nas ruas correndo o risco de doenças. Os moradores do bairro Mãe Lu´ıza tiveram suas casas arrastadas,.

(16) 2. centenas de pessoas ficaram desabrigadas e aguardavam pela ajuda dos governos e pela solidariedade da populaça˜ o. E até no estadio Arena das Dunas em plena Copa do Mundo foi sentido o impacto das chuvas, alagando o estádio, durante o jogo México ˜ (1 × 0), pela primeira rodada de jogos do Grupo A, causando um grande e Camaroes preju´ızo de R$ 1,3 bilhão. ˆ A prefeitura de Natal informou que naquelas 36 horas os pluviometros da Emparn registraram uma precipitaça˜ o de 221 mil´ımetros na Zona Leste de Natal, enquanto a média pluviométrica registrada na cidade para o mês de junho e´ de 284 mil´ımetros. O prefeito Carlos Eduardo determinou estado de alerta na cidade, deixando todas as secretarias com equipes, materiais e ve´ıculos de sobreaviso durante a noite e enquanto dura-se as chuvas (Fonte: Jornal Tribuna do Norte/13.06.2014).. Figura 2: Teresina/PI (Fonte: De Olho No Tempo da Meteorologia/09.04.2015). Em Teresina - PI, no dia 09 de abril de 2015, uma chuva de mais de 70 mm provocou ´ alagamentos e desmoronamentos. O escoamento do vento umido do leste em todos os n´ıveis de altitude da coluna troposférica formou nuvens carregadas na madrugada da quinta-feira (09) no oeste do Piau´ı, o que resultou em fortes pancadas de chuva. Na a´ rea da capital Teresina, ruas, avenidas e residências ficaram completamente alagadas. Parte de um trecho da rodovia federal BR-343 cedeu e precisou ser interditado. No bairro Vila da Paz, uma casa desabou parcialmente, mas ninguém ficou ferido. Já na ´ Zona Leste, imoveis de um condom´ınio ficaram alagados e carros submersos conforme.

(17) 3. ´ mostra a Figura 2. A precipitaça˜ o registrada na estaça˜ o meteorologica automática do Instituto Nacional de Meteorologia (Inmet) até a` s 11 horas chegou a 72 mil´ımetros (Fonte: De Olho No Tempo da Meteorologia/09.04.2015).. Figura 3: Washington DC/EUA (http://noticias.uol.com.br/internac...-nos-euaesvazia-prateleiras.htm?cmpid=tw-uol/22.01.2016).. Já nos EUA, a cidade e região metropolitana de Washington foi atingida, na sexta´ feira dia 22 de janeiro de 2016, por uma nevasca historica, que superou um recorde de 71 cent´ımetros registrados em 1922. A capital americana mal teve tempo de se recuperar de uma forte tempestade de neve que ocorreu na noite de quarta (20) e a madrugada de quinta (21). Centenas de pessoas que trabalham em Washington DC e vivem nos estados vizinhos, como Virg´ınia e Maryland, demoraram horas para voltar para casa. Outros tiveram que deixar seus ve´ıculos nas estradas conforme mostra a Figura ˜ apocal´ıpticas deixaram 2, algumas delas intransitáveis por causa do gelo. As previsoes as prateleiras de alguns supermercados praticamente vazias. Até a caravana que acompanhava o presidente dos EUA, Barack Obama, da base aérea de Andrews (Maryland) até a Casa Branca também foi afetada pela neve. De acordo com jornalistas que acompanhavam a comitiva, os carros deslizaram e patinaram no gelo várias vezes durante o percurso. Muitas escolas de Washington e de alguns condados da Virg´ınia e Maryland iniciaram as aulas mais tarde do que o habi˜ tual ou até mesmo decidiram mandar as crianças ficarem em casa. Mais de 80 milhoes.

(18) 4. de pessoas que vivem na região, que abrange desde o sudeste de Nebraska a` cidade de Nova York, foram afetadas. O governador da Virg´ınia, Terry McAuliffe, declarou estado de emergência e alertou a populaça˜ o que leve a tempestade a sério, assim como poss´ıveis problemas nas estradas e cortes de fornecimento de energia elétrica (http: // noticias.uol.com.br / internac...-nos-eua-esvazia-prateleiras.htm? cmpid=twuol/22.01.2016).. 1.1. Valores Extremos e Excessos de Zeros. A distribuiça˜ o de Valores Extremos Generalizada (GEV) e´ conhecida por apresentar uma melhor performance na modelagem dos dados de eventos raros, pois, as ˜ desses eventos possuem a cauda pesada, e a distribuiça˜ o GEV possui distribuiçoes ˜ com caudas pesadas, sendo recomendadas essa caracter´ıstica de modelar distribuiçoes para a análise desses eventos extremos (FISHER, R. A. and TIPPETT, L. H. C. (1928)). ˜ usuais que não possuem a caracter´ıstica de modelar caudas pesaJá as distribuiçoes das, como por exemplo a distribuiça˜ o Normal ou Gama, não conseguem extrair as ˜ nelas contidas, e portanto não conseguem estimar bem seus parâmetros. informaçoes A distribuiça˜ o GEV (Generalized Extreme Value) teve in´ıcio com os trabalhos de von ˜ limite de Mises (1954) e Jenkinson (1955), nos quais mostraram que as distribuiçoes máximos, apresentados no Teorema de Fisher Tippett (1928), cujos argumentos foram completados e formalizados por Gnedenko (1943), podem ser englobadas em apenas ´ uma unica, chamada distribuiça˜ o GEV. O avanço de métodos computacionais proporcionou o uso de técnicas mais sofisticadas para a estimaça˜ o de modelos espec´ıficos para dados de valores extremos, como o aperfeiçoamento de técnicas utilizando a abordagem Bayesiana de estimaça˜ o que utilizam métodos computacionais intensos, como MCMC (Markov Chain Monte Carlo), que podem ser vistos em Gamerman e Lopes (2006). ˜ práticas, e´ comum encontrar uma grande quantiNo entanto, em muitas situaçoes ˜ mais dade de zeros nos conjuntos de dados, como a precipitaça˜ o de chuvas em regioes a´ ridas e secas. Esse excesso dificulta a elaboraça˜ o de uma análise estat´ıstica precisa para o problema, já que os modelos usuais desenvolvidos também não ajustam bem tal situaça˜ o. Martin et al. (2005), ressalta que o valor zero pode acontecer de quatro maneiras diferentes: duas delas podem ser definidas como zeros verdadeiros e duas ´ como aleatorios ou falsos..

(19) 5. Os zeros que aparecem num conjunto de dados podem ser resultados de zeros verdadeiros, de um erro humano, ou ser um zero de amostragem. A distinça˜ o destes ˜ de zeros, na maioria ds situaçoes, e´ uma tarefa imposs´ıvel de ser realizada. Quando ˜ existe uma incerteza sobre a origem das observaçoes, utiliza-se de um procedimento ˜ truncadas. comum de distribuiçoes Uma metodologia eficaz na modelagem destes dados com zeros excessivos e´ a mis˜ Zero Inflacionadas (ZID). Estas requerem a tura de modelos, através das Distribuiçoes definiça˜ o de uma distribuiça˜ o espec´ıfica para o modelo dos dados, caso não existisse zeros excessivos, e uma outra distribuiça˜ o degenerada no ponto zero. Rodrigues (2003) apresentou a abordagem Bayesiana para ZID utilizando um procedimento baseado em dados ampliados, com o objetivo de tornar a posteriori π (θ, w| D ) conhecida, facilitando o tratamento computacional.. 1.2. Objetivos. O objetivo deste trabalho e´ conseguir modelar dados de valores extremos que apresentam em seus conjuntos de dados uma quantidade excessiva de zeros, na busca por uma maior precisão, na probabilidade de eventos raros. O que tornou-se necessário propor uma distribuiça˜ o que proporcione modelar esses dados extremos inflacionados de zeros. E, utilizando a mistura de distribuiça˜ o de valores extremos generalizada, referentes aos eventos extremos, e a distribuiça˜ o inflada de zeros, referente aos exces˜ e, sos de zeros, espera-se encontrar um novo modelo, espec´ıfico para estas situaçoes ˜ que obtenha um melhor resultado em suas estimaçoes, em comparaça˜ o com a GEV. Ajudando na prevença˜ o de grandes perdas e na aquisiça˜ o de grandes ganhos. ˜ pluviométricas Também e´ objetivo deste, calcular as estimativas das precipitaçoes das cidades de Natal do estado do Rio Grande do Norte e de Paulistana, Picos, São João do Piau´ı e Teresina do estado do Piau´ı, modeladas por esta distribuiça˜ o proposta, e compará-las com as estimativas que foram feitas pela distribuiça˜ o GEV para estas mesmas cidades. Na expectativa de confirmar, um melhor ajuste pela distribuiça˜ o pro´ ˜ posta, quando existe numeros excessivos de zeros nas observaçoes, do que quando ˜ usuais de extremos. modeladas pelas distribuiçoes.

(20) 6. 1.3. Descri¸ca˜ o dos Cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 2, comenta-se sucintamente conceitos fundamentais para a modela˜ infladas de zeros, o gem de extremos. No Cap´ıtulo 3, descreve-se sobre distribuiçoes excesso de zeros nos conjuntos de dados, e as séries de potências inflacionadas. No Cap´ıtulo 4, faz-se uma revisão de análise Bayesiana, técnicas MCMC, e sobre o novo pacote do MCMC4Extremes (Nascimento, 2012 e Nascimento e Silva, 2016). O Cap´ıtulo 5 apresenta o novo modelo de distribuiça˜ o para dados extremos quando os dados pos´ suem um numero excessivo de zeros, e sua aplicaça˜ o em dados de precipitaça˜ o de chuvas em algumas cidades do Nordeste. No Cap´ıtulo 6, apresentamos as principais ˜ conclusoes..

(21) 7. 2. Distribui¸ca˜ o de Valores Extremos Generalizada (GEV). 2.1. Teoria dos Valores Extremos (TVE). A Teoria de Valores Extremos (TVE) engloba várias técnicas na análise de eventos raros ou extremos, possibilitando a descriça˜ o e a quantificaça˜ o do comportamento desses acontecimentos, procurando estimar uma poss´ıvel distribuiça˜ o limite para os ´ máximos (ou m´ınimos) da amostra, composta por variáveis aleatorias (v.a.’s) independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d.). Assim, dados considerados como eventos raros não são tratados simplesmente como ”outliers”, mas, inseridos em uma modelagem de extremos, alcançando assim uma maior precisão nos resultados, levando em ˜ usuconsideraça˜ o que os valores extremos não são bem modelados pelas distribuiçoes ais como, por exemplo, a distribuiça˜ o Normal e a Gama, Gamerman (2006). A análise de valores extremos tem um maior destaque nas a´ reas ambientais e ˆ ´ economicas, justamente por vir enfrentando principalmente nos ultimos anos grandes ˜ no numero ´ mudanças climáticas e financeiras, que implicam em alteraçoes de eventos extremos, sejam estas de máximos ou de m´ınimos. Parmesan (2000) comenta que eventos de temperaturas extremas são mais responsáveis por mudanças na natureza do que mudanças na temperatura média. Exemplos como enchentes, nevascas, devidos a altos ´ındices de chuvas, e altos ´ındices de neves, preocupam as autoridades e a sociedade em geral pela grande perda material e financeira que esses eventos trazem. Ter o conhecimento da frequência com qual estes eventos ocorrem e´ de grande importância, para que assim possam ser feitos trabalhos preventivos para diminuir as perdas e potencializar os ganhos, como vimos nos exemplos das cidades de Natal, Teresina e Washington citados no Cap´ıtulo 1. ˜ em daAtravés de modelos espec´ıficos utilizados para estimaça˜ o de aplicaçoes dos de valores extremos e suas probabilidades, a TVE apresenta-se como sendo de.

(22) 8. suma importante para a prediça˜ o destes acontecimentos, prevenindo as autoridades e a populaça˜ o em geral para as grandes perdas e grandes ganhos.. 2.1.1. Distribui¸ca˜ o de Máximos e M´ınimos. ´ Seja X1 , . . . , Xn uma sequência de variáveis aleatorias independentes e identicamente distribu´ıdas com funça˜ o de distribuiça˜ o FX e Mn = max ( X1 , X2 , . . . , Xn), sendo ´ ˜ e Mn represente o máximo dentre as n unidades, que n e´ o numero de observaçoes então a distribuiça˜ o do máximo e´ encontrada por P( Mn ≤ x ) = P(max ( X1 , X2 , . . . , Xn ) ≤ x ) = P( X1 ≤ x, X2 ≤ x, . . . , Xn ≤ x ) n. = P ( X1 ≤ x ) × P ( X2 ≤ x ) × . . . × P ( X n ≤ x ) =. ∏ P ( Xi ≤ x ). n =1. = P( Xi ≤ x )n = FX ( x )n . Para M1 = min( X1, . . . , Xn), a distribuiça˜ o do m´ınimo e´ dada por P( M1 ≤ x ) = P(min( X1 , X2 , . . . , Xn ) ≤ x ) = 1 − P( X1 ≥ x, X2 ≥ x, . . . , Xn ≥ x )) n. n. = 1 − ∏ P( Xi > x ) = 1 − ∏ [1 − P( Xi ≤ x )] n =1. n =1. n. = 1 − [1 − FX ( x )] . Pode-se também para encontrar o m´ınimo, multiplicar os dados por (−1) e analisar os máximos destes. M1 = − max (− X1 , − X2 , · · · , − Xn). Assim, pode-se conhecer a distribuiça˜ o do máximo e do m´ınimo conhecendo apenas ´ a distribuiça˜ o acumulada FX . No entanto, foi necessário obter resultados assintoticos para a distribuiça˜ o dos máximos e dos m´ınimos, pois, em muitos casos não se encontra a distribuiça˜ o FX dos dados. Assumindo que FX e´ desconhecido e procurando por fam´ılias aproximadas de modelos para FXn , que posam ser estimadas baseando-se apenas nos dados de máximos. Similar a` prática usual de aproximar a distribuiça˜ o das médias amostrais pela distribuiça˜ o normal, como justificado pelo Teorema Central do Limite. ´ As origens da caracterizaça˜ o assintotica de máximo amostral tem in´ıcio em Fisher e Tippet (1928), cujos argumentos foram completados e formalizados por Gnedenko.

(23) 9. (1943), através da normalizaça˜ o linear da variável Mn :. Mn∗ =. Mn − bn . an. Escolhas apropriadas de an e bn estabilizam a posiça˜ o e a escala de Mn quando n cresce, evitando as dificuldades que aparecem com a variável Mn . Procura-se, portanto, ˜ limite para Mn∗ , ao invés de Mn . distribuiçoes Teorema 2.1.1 (Fisher-Tippet (1928) e Gnedenko (1943)) Se existem sequências de constantes an > 0 e bn tais que Pr. Mn − bn ≤z an. . → G (z) quando n → ∞,. em que G e´ uma fun¸ca˜ o de distribui¸ca˜ o não-degenerada, então G pertence a uma das seguintes fam´ılias: . . Gumbel : G (z) = exp − exp −. . z−b a. .   0, h i Frechet : G (z) =  exp exp[− z−b , α.  i h  exp exp[− z−b , α Weibull : G (z) =  1,. , −∞ < z < ∞; se z ≤ b, se z > b; se z ≤ b, se z > b,. para parâmetros a > 0, b, e no caso das fam´ılias Frechet e Weibull, α > 0. O Teorema 2.1.1 diz que os máximos amostrais padronizados ( Mn − bn )/an convergem em distribuiça˜ o para uma variável com distribuiça˜ o igual a uma das três fam´ılias, amplamente conhecidas como distribuiça˜ o de valores extremos, Gumbel, Fréchet e Weibull. Cada fam´ılia tem parâmetro de posiça˜ o e escala, b e a, respectivamente; adicionalmente, as fam´ılias Fréchet e Weibull têm parâmetro de forma α. Em outras palavras, quando Mn puder ser estabilizado utilizando sequências adequadas { an } e {bn }, a variável normalizada correspondente Mn∗ tem como distribuiça˜ o limite um dos três tipos de distribuiça˜ o de valores extremos. Uma observaça˜ o muito interessante desse ´ resultado e´ que os três tipos de distribuiça˜ o de valores extremos são os unicos limites ˜ de Mn∗ . E´ nesse sentido que o teorema fornece um resulposs´ıveis para as distribuiçoes.

(24) 10. tado para valores extremos análogo ao Teorema Central do Limite.. 2.1.2. A Distribui¸ca˜ o GEV. A distribuiça˜ o GEV e´ conhecida por apresentar uma melhor performance na mo˜ desses eventos delagem dos dados de eventos raros, pois, as caudas das distribuiçoes ˜ usuais, como por exemplo a possuem a cauda pesada, que no caso das distribuiçoes ˜ nelas contidas. distribuiça˜ o Normal ou Gama, não conseguem extrair as informaçoes A distribuiça˜ o GEV teve in´ıcio com os trabalhos de von Mises (1954) e Jenkinson (1955) ˜ limite de máximos apresentados no com a reformulaça˜ o dos modelos das distribuiçoes Teorema 2.1.1. descritas por Fisher e Tippett (1928) e Gnedenko (1943). E´ simples ve´ rificar que as fam´ılias Gumbel, Fréchet e Weibull podem ser combinadas numa unica fam´ılia de modelos, chamada distribuiça˜ o GEV e, que possui a seguinte funça˜ o de distribuiça˜ o. ( G (z|µ, σ, ξ ) = exp. . − 1+ξ. . z−µ σ. −1/ξ ) ,. (2.1). definida em {z : 1 − ξ (z − µ)/σ > 0}, em que −∞ < µ < ∞, σ > 0 e −∞ < ξ < ∞, com ξ 6= 0. A distribuiça˜ o GEV possui três parâmetros: um parâmetro de posiça˜ o, µ; um de ˜ Fréchet e Weibull de valoescala, σ; e um parâmetro de forma, ξ. As distribuiçoes res extremos que correspondem, respectivamente, aos casos ξ > 0 e ξ < 0 na nova parametrizaça˜ o. O caso ξ = 0 e´ interpretado como o limite de (2.1) quando ξ → 0, conduzindo a` fam´ılia Gumbel. Por meio da inferência em ξ os dados por si so´ determinam o tipo mais apropriado de comportamento de cauda, não havendo a necessidade de se fazer julgamentos subjetivos sobre qual tipo de fam´ılia de valores extremos adotar. Assim, por conveniência, reformulamos o Teorema 2.1.1 para a forma generalizada.. Teorema 2.1.2 (Von Mises (1954) e Jenkinson (1955)) Se existem sequências de constantes an > 0 e bn tais que.

(25) 11. Pr. Mn − bn ≤z an. . → G (z) quando n → ∞,. para uma fun¸ca˜ o de distribui¸ca˜ o G não-degenerada, então G e´ membro da fam´ılia GEV: ) ( z − µ −1/ξ , G (z|µ, σ, ξ ) = exp − 1 + ξ σ definida em {z : 1 + ξ (z − µ)/σ > 0}, em que −∞ < µ < ∞, σ > 0 e −∞ < ξ < ∞. O Teorema 2.1.2 nos diz que a distribuiça˜ o limite da fam´ılia GEV e´ uma alternativa para a modelagem da distribuiça˜ o de máximos de sequências longas, pois, e´ a unificaça˜ o das três fam´ılias originais de valores extremos (Teorema 2.1.1) e, e´ encontrada por meio de uma aproximaça˜ o para n suficientemente grande. ´ Seja Z uma variável aleatoria com distribuiça˜ o GEV (µ, σ, ξ ). A funça˜ o densidade da distribuiça˜ o GEV, derivada da funça˜ o de distribuiça˜ o acumulada (2.1), e´. ( − 1 −1 − 1 ) ξ ξ 1 ξ ξ 1 + (z − µ) exp − 1 + (z − µ) , g(z|µ, σ, ξ ) = σ σ σ. (2.2). definida em: {z : 1 + ξ (z − µ)/σ > 0}, quando ξ 6= 0. ˜ independentes Logo, para a modelagem de extremos de uma série de observaçoes X1 , X2 , · · · , Xn , os dados são agrupados em blocos de sequências de tamanho n, para algum valor de n suficientemente grande, e para cada sequência e´ obtido o máximo, gerando uma série de máximos de blocos, Mn , 1, · · · , Mn , m, para a qual e´ modelada de acordo com a distribuiça˜ o GEV. Geralmente, os dados originais são dados diários agrupados em blocos, em per´ıodos de meses ou de anos obtendo séries correspondes aos máximos mensais ou máximos anuais. Estimativas dos quantis extremos das ˜ de máximos mensais ou anuais são obtidas pela inversão da equaça˜ o distribuiçoes (2.1), fazendo z p = G −1 (1 − p),.  n o  µ − σ 1 − [− log (1 − p)]−ξ , ξ zp =  µ − σ log [− log (1 − p)] ,. se ξ 6= 0; se ξ = 0,. (2.3).

(26) 12. em que G (z p ) = 1 − p. Na terminologia usual, z p e´ o n´ıvel de retorno associado ao per´ıodo 1/p, visto que e´ esperado que o n´ıvel z p ultrapasse em média uma vez a cada 1/p per´ıodos de tempo. A relaça˜ o do modelo GEV com seus parâmetros e´ mais facilmente interpretada em ˜ para os quantis (2.3), definido y p = − log(1 − p), tal que termos de expressoes.   µ − σ 1 − y−ξ , p ξ zp =  µ − σ log y p ,. se ξ 6= 0;. (2.4). se ξ = 0.. Por exemplo, se p = 0.02 e analisamos máximos mensais, obter o retorno z0.02 = 100 nos diz que e´ esperado que seja excedido o valor 100 em média uma vez a cada 1/0.02 = 50 meses. Esta grande ferramenta nos ajuda a prever a ocorrência de ´ındices ˆ muito extremos para alguns fenomenos probabil´ısticos, em determinados per´ıodos mensais ou anuais.. 2.1.3. Propriedades da GEV. Apresentamos, nesta subseça˜ o, algumas propriedades importantes para uma v.a X com distribuiça˜ o GEV (X ∼ GEV ( x |µ, σ, ξ )), como a média, moda, mediana, variança, assimetria e curtose, e o r-ésimo momento central. Se ξ > 0, então, x > (µ − σ/ξ ) e a esperança de X e´ E( X ) =. =. ( − 1 −1 − 1 ) ξ ξ 1 ξ ξ x 1 + (z − µ) exp − 1 + (z − µ) dx σ σ (µ−σ/ξ ) σ. Z ∞. Z ∞ 0. σ σy−ξ µ− + ξ ξ. considerando y = [1 + ξ (. x −µ −1/ξ σ )]. . exp{−y}dy =. e. R∞ 0. σ µ− ξ. . σ + Γ (1 − ξ ), ξ. x v−1 exp(−µx )dx = 1/µv Γ(v) se µ > 0 e. v > 0 (Gradshteyn & Ryzhik, 2000, equaça˜ o 3.381.4). ˜ acima, encontramos o r-ésimo momento cenUtilizando as mesmas substituiçoes tral E(( X − E( X ))r ).

(27) 13. ( − 1 −1 − 1 ) ξ ξ ξ ξ 1 dx = 1 + (z − µ) exp − 1 + (z − µ) E((z − E( X ))r ) σ σ σ (µ−σ/ξ ) r Z ∞ σ ( y − ξ − 1) σ σ = µ+ − µ− exp{−y}(−dy), + Γ (1 − ξ ) ξ ξ ξ 0 Z ∞ h i r σ −ξ = µ − Γ (1 − ξ ) exp{−y}dy. ξ 0 Z ∞. A partir deste resultado, obtemos a variança de X ∼ GEV, que e´ dada por E(( X −. E( X ))2 ). = Var ( X ) =. Z ∞ h σ 0. ξ. µ. −ξ. − Γ (1 − ξ ). i 2. exp{−y}dy. 2 Z ∞ h i σ y−2ξ − 2Γ(1 − ξ )y−ξ + Γ2 (1 − ξ ) = ξ 0 2 h i σ Γ(1 − 2ξ ) − Γ2 (1 − ξ ) . = ξ Assim, também encontramos os momentos centrais de terceira e de quarta ordem 3 h i σ E(( X − E( X )) ) = Γ(1 − 3ξ ) − 3Γ(1 − 2ξ )Γ(1 − ξ ) + 2Γ3 (1 − ξ ) ξ 3. E(( X − E( X ))4 ) 4 h i σ = Γ(1 − 4ξ ) − 4Γ(1 − 3ξ )Γ(1 − ξ ) + 6Γ(1 − 2ξ )Γ2 (1 − ξ ) + 3Γ4 (1 − ξ ) ξ Logo, os coeficientes de assimetria e de curtose são obtidos, respectivamente, por. γ1,GEV =. E(( X − E( X ))3 ) [ E(( X − E( X ))2 )]3/2 . =. Γ(1 − 3ξ ) − 3Γ(1 − 2ξ )Γ(1 − ξ ) + 2Γ3 (1 − ξ ) . [Γ(1 − 2ξ ) − Γ2 (1 − ξ )].

(28) 14. γ2,GEV =. E(( X − E( X ))4 ) [ E(( X − E( X ))2 )]2 . =. Γ(1 − 4ξ ) − 4Γ(1 − 3ξ )Γ(1 − ξ ) + 6Γ(1 − 2ξ )Γ2 (1 − ξ ) + 3Γ4 (1 − ξ ) . 2 σ 2 [Γ(1 − 2ξ ) − Γ (1 − ξ )] ξ. A moda da distribuiça˜ o GEV e´ dada por, i σh −ξ (1 + ξ ) − 1 , argmax f ( x |µ, σ, ξ ) = µ + ξ em que 1 + ξ ( x − µ)/σ > 0. A partir do p-ésimo quantil da distribuiça˜ o GEV, apresentado na expressão (2.3), encontra-se a sua mediana calculando-se o quantil p = 0, 50 = 1/2. Logo, ( m=. 2.2. µ+. σ ξ. . [log(2)]−ξ − 1 ,. µ − σ log [log(2)] ,. se ξ 6= 0; se ξ = 0.. (2.5). Inferência para Distribui¸ca˜ o GEV. De acordo com o Teorema 2.1.2, a distribuiça˜ o GEV propicia um modelo para a distribuiça˜ o dos máximos dos blocos. Sua aplicaça˜ o está baseada em encontrar os máximos de cada bloco, separando os blocos em igual comprimento e ajustando a GEV para o conjunto de máximos dos blocos. No entanto, ao implementar este modelo para um conjunto de dados, a escolha do tamanho do bloco deve ser feita com prudência. A escolha e´ concernente a um trade-off entre v´ıcio e variância: blocos muito ´ pequenos significam que a aproximaça˜ o assintotica pelo modelo limite do Teorema ˜ e extrapolaçoes, ˜ tornando 2.1.2 e´ provavelmente ruim, levando a v´ıcios nas estimaçoes a distribuiça˜ o GEV inadequada para estimar estes máximos. Blocos muito grandes, por sua vez, geram poucos máximos para se fazer a inferência, conduzindo a uma maior variabilidade das estimativas dos parâmetros, o que acarreta uma imprecisão nas estimativas. Considerando a notaça˜ o denotando os máximos dos blocos por Z1 , . . . , Zm , assu´ mimos que Zi são variáveis aleatorias independentes de uma distribuiça˜ o GEV cujos parâmetros serão estimados. Se os Xi são independentes, então os Zi também o são. Contudo, a independência dos Zi e´ geralmente uma aproximaça˜ o razoável, mesmo.

(29) 15. quando os Xi são dependentes, como por exemplo nos casos de dados ambientais ˜ diárias são muitos dependentes dos dias proximos. ´ e financeiros que as observaçoes Mesmo nesse caso, pode ser razoável a afirmaça˜ o de que Zi tem distribuiça˜ o GEV , pois, para n grande a dependência do vetor Z1 , . . . , Zm se torna quase inexistente, Nascimento (2012). Muitas técnicas têm sido propostas para a estimaça˜ o de parâmetros em modelos de valores extremos, dentre as quais estão inclu´ıdas técnicas baseadas em momentos, nas quais os momentos são equiparados aos seus equivalentes emp´ıricos (Reiss e Thomas, 1997), método dos L-momentos (Hosking e Wallis, 1997); procedimentos nos quais os ˜ espec´ıficas de estat´ısticas de ordem (Jansen e parâmetros são estimados como funçoes de Vries, 1991), métodos baseados em verossimilhança (Embrechts, Kluppelberg e Mi˜ de kosch, 1997), e métodos robustos baseados em estimadores B-robustos, e em funçoes ˜ (Dupuis e Field, 1998). Cada técnica tem seus pesos usadas para validar as observaçoes ´ e contras, mas o método mais convencional e´ método de máxima verosimilhança, pros mesmo apresentando algumas dificuldades nas estimaça˜ o dos parâmetros, com res˜ de regularidade necessárias para a validade das propriedades aspeito a` s condiçoes ´ sintoticas usuais associadas ao estimador de máxima verossimilhança. Smith (1984) estudou este problema detalhadamente e obteve os seguintes resultados: • quando ξ > −0, 5 os estimadores de máxima verossimilhança são regulares, isto ´ e´ , são satisfeitas as propriedades assintoticas usuais; • quando −1 < ξ < −0, 5 os estimadores de máxima verossimilhança podem ser ´ obtidos, mas não satisfazem as propriedades assintoticas usuais; e • quando ξ < −1 os estimadores de verossimilhança não existem. ˜ em ξ ≤ −0, 5, as distribuiçoes ˜ possuem uma cauda muito leve, raAs situaçoes ˜ de modelagem de valores extremos de acordo ramente são encontradas em aplicaçoes ˜ teoricas ´ com Coles (2001). Assim, as limitaçoes da abordagem de máxima verossimilhança geralmente não são um obstáculo na prática.. 2.2.1. Estima¸ca˜ o por Máxima Verossimilhan¸ca. ´ Sob a suposiça˜ o de que Z1 , . . . , Zm são variáveis aleatorias i.i.d. com distribuiça˜ o GEV (Z ∼ GEV (µ, σ, ξ )), com funça˜ o densidade apresentada em (2.2). Obtemos a.

(30) 16. funça˜ o de verossimilhança, fazendo o produto de suas densidades. (. ". n. ξ −1 L(µ, σ, ξ ) = σ−n exp − ∑ (1 + (zi − µ)) ξ σ i =1 −(1+ 1ξ ) m ξ , ∏ 1 + σ ( zi − µ ) i =1 em que, 1 +. #). ×. ξ (z − µ) > 0, para i = 1, ..., m. σ i. E assim, aplicando o logaritmo na funça˜ o de verossimilhança, encontramos a logverossimilhança com a seguinte forma m. . l (µ, σ, ξ ) = −m log(σ ) − (1 + 1/ξ ) ∑ log 1 + ξ. . i =1. somente se 1 + ξ. . zi − µ σ. . zi − µ σ. . m. . −∑ 1+ξ. . i =1. zi − µ σ. −1/ξ. > 0, para i = 1, ..., m.. A log-verossimilhança em que ξ = 0 e´ estimado utilizando o limite Gumbel da distribuiça˜ o GEV, m. l (µ, σ, ξ ) = −m logσ − ∑. i =1. . zi − µ σ. . m. . − ∑ exp − i =1. . zi − µ σ. .. ˜ (2.4) e (2.5), com respeito ao vetor de parâmetros A maximizaça˜ o das equaçoes. (µ, σ, ξ ), conduz aos estimadores de máxima verossimilhança da fam´ılia GEV. No entanto, não existe soluça˜ o anal´ıtica, sendo necessário a utilizaça˜ o de algoritmos numéricos ˜ de otimizaça˜ o para a maximizaça˜ o dos dados. Coles (2001) comenta a dicom padroes ficuldade numérica que aparece em (2.4) quando os valores ξ pertencem a` vizinhança de zero. Neste caso, e´ facilmente solucionado, utilizando a expressão em (2.5) ao invés de (2.4) para estimaça˜ o dos parâmetros (µ, σ). ˆ σˆ , ξˆ) e´ a normal multivariada com média (µ, σ, ξ ), ´ A distribuiça˜ o assintotica de (µ, Gamerman (2006). Intervalos de confiança e outras formas de inferência podem ser constru´ıdos para estes parâmetros..

(31) 17. 2.2.2. Inferência para os N´ıveis de Retornos. Os n´ıveis de retornos (z p ) para 1/p per´ıodos, 0 < p < 1 são obtidos pelas estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros da GEV em (2.3), baseado na estimaça˜ o dos p quantis da GEV. Quando a estimativa do parâmetro ξˆ < 0, a distribuiça˜ o e´ limitada superiormente, que e´ efetivamente o per´ıodo de retorno quando o valor observado e´ igual a infinito, correspondendo a z p com p = 0, permitindo encontrar a estimativa de máxima verossimilhança dada por ˆ zˆ0 = µˆ − σˆ /ξ. E´ necessário uma atença˜ o especial para interpretaça˜ o das inferências de n´ıveis de retornos, principalmente para per´ıodos longos, pois as estimativas e suas respectivas medidas de precisão são baseadas na suposiça˜ o de que o modelo esteja correto.. Figura 4: Exemplo de densidade e n´ıvel de retorno da distribuiça˜ o GEV com µ = 3 e σ = 1. ` esquerda: densidade da GEV: linha cheia: ξ = 0, 5, tracejada: ξ = 0.1, pontilhada: A ` direita: n´ıveis de retorno em t per´ıodos: linha cheia: ξ = 0, 5, pontilhada: ξ = −0, 2. A ξ = −0, 2 A Figura 6, retirada do livro de Nascimento (2012), mostra a` esquerda o gráfico da ˜ do parâmetro de forma ξ. Observe que a distribuiça˜ o GEV, em diferentes configuraçoes medida em que ξ aumenta, a densidade passa a ter um comportamento de cauda mais ` direita, observamos o gráfico da evoluça˜ o do n´ıvel de retorno esperado em t pesada. A per´ıodos para as densidades da distribuiça˜ o GEV, baseado G (z p ) = 1 − 1/t. Suponha que este modelo fosse utilizado para ´ındices de retorno de um ativo de uma carteira de investimento, em que foram coletados os máximos mensais. Baseado no gráfico a`.

(32) 18. direita, era esperado que, a cada 8 meses iria ocorrer uma vez um ganho igual ou maior do que 6, 47%, se o modelo para este investimento fosse o de cauda mais pesada, e de 4, 65%, se o modelo verdadeiro fosse o de cauda mais leve..

(33) 19. 3. Distribui¸coes ˜ Infladas de Zeros (ZID). ˜ práticas, e´ comum encontrar uma grande quantidade de zeros Em várias situaçoes nos conjuntos de dados. Esses zeros excessivos dificultam a elaboraça˜ o de uma análise estat´ıstica precisa para o problema, já que os modelos usuais desenvolvidos não ajustam bem tal situaça˜ o. E´ importante pesquisar quais são as origens desses zeros. Martin et al. (2005), ressalta que o valor zero pode acontecer de quatro maneiras diferentes: ´ duas delas podem ser definidas como zeros verdadeiros e duas como aleatorios ou falsos. Os zeros verdadeiros podem estar relacionados com a pouqu´ıssima frequência de ocorrência do evento. Outra situaça˜ o considerada como zero verdadeiro e´ quando re´ almente no local não havia nenhum indiv´ıduo presente. Os zeros aleatorios ou falsos podem ser resultado de erros de amostragem ou um v´ıcio visual, ou seja, no contexto de variáveis de contagens a pessoa existe, ocupa o local, mas não estava presente durante a realizaça˜ o da pesquisa ou o elemento ocupa o local, está presente, mas o pesquisador não conseguiu encontrá-lo. Quando existe uma incerteza sobre a origem das ˜ ˜ truncadas. observaçoes, uma alternativa bastante utilizada e´ a de distribuiçoes A produça˜ o dos zeros excessivos nas amostras podem ser classificadas de duas formas. Na primeira, o excesso de zeros e´ resultado da superdispersão, ou seja, a variância dos dados e´ maior que a assumida pelo modelo (Paula, 2004). Na segunda forma o ex˜ distintas que podem estar relacionadas a` cesso de zeros e´ formado por subpopulaçoes alguma intervença˜ o natural ou truncamento nos dados. Uma metodologia eficaz na modelagem destes dados com zeros excessivos e´ a mis˜ Zero Inflacionadas (ZID). As distribuiçoes ˜ tura de modelos, através das Distribuiçoes infladas de zeros requerem a definiça˜ o de uma distribuiça˜ o espec´ıfica para o modelo dos dados, caso não existisse zeros excessivos, e uma outra distribuiça˜ o degenerada no ponto zero, Rodrigues (2003)..

(34) 20. 3.1. Numero ´ Excessivo de Zeros. Em muitos estudos, nas análises de dados, e´ comum encontrar uma grande quantidade de zero, dificultando assim na elaboraça˜ o de uma análise estat´ıstica precisa para o problema, já que os modelos usuais desenvolvidos não ajustam bem tal situaça˜ o. Segundo Martin et al. (2005) o valor zero acontece de quatro modos, dois podem ser ´ definidos como zeros verdadeiros e dois como falsos (aleatorios), sendo que o primeiro tipo de zero verdadeiro aparece de uma baixa frequência de ocorrência ou ser o resultado de um efeito que conduz para locais que não tem nenhum indiv´ıduo presente. ´ como por exemplo, o numero de faltas de funcionários em uma determinada empresa durante um per´ıodo de tempo, neste caso, o excesso de zeros significa que os empregados faltam pouco ao serviço. A segunda situaça˜ o considerada como zero verdadeiro e´ quando realmente no local ˜ que envolvem estudos não havia nenhum evento presente. Podemos citar as aplicaçoes ˜ pluviométricas, pois, ao analisarmos as precipitaçoes ˜ diárias de chude precipitaçoes ˜ com clima a´ rido, percebe-se o baixo registro de chuvas, vas, em determinadas regioes ´ ou seja, apresenta um grande numero de zeros, devido ao clima da região. ´ O primeiro tipo de zeros falsos (ou aleatorios) e´ resultado de erros de amostragem, ou seja, o indiv´ıduo existe, ocupa o local, mas não estava presente durante a realizaça˜ o da pesquisa, por exemplo, se o objetivo e´ quantificar de forma rápida a espécie, e ela não se encontra temporariamente neste local, então, sua ausência temporal se tornará um zero falso, a espécie existe no local, mas, não estava presente na hora da inspeça˜ o. Ou então a espécie estava presente no momento da inspeça˜ o, mas o pesquisador não conseguiu encontrá-lo, configurando-se em um erro visual, neste ´ caso, a segunda situaça˜ o de zeros falsos (ou aleatorios), Rodrigues (2003).. ˜ A Tabela 1 apresenta um resumo sobre os tipos de zeros e suas respectivas definiçoes. (Fonte: Martin et al. (2005)).. Pela Tabela 1 percebemos que, num banco de dados podem aparecer diversos tipos de zeros. Pode não ter zeros inflacionados, ou ter zeros inflacionados causados por zeros verdadeiros, ou causados por zeros falsos, ou até mesmo causados ao mesmo tempo por zeros verdadeiros e falsos..

(35) 21. Tipos de Zeros. Defini¸ca˜ o. Zeros Verdadeiros. 1. Baixa frequência de ocorrência; 2. Quando realmente não existe nenhum indiv´ıduo presente.. Zeros Falsos ´ (ou Aleatorios). 1. Apesar de existir, ocupar o local, não estava presente na hora da pesquisa; 2. Acontece quando ocupa o local e está presente na hora de amostrar, mas o pesquisador não encontra.. Tabela 1: Tipos de Zeros em Conjuntos de Dados. A Tabela 2 apresenta alguns cenários sobre a origem dos zeros nos dados e a modelagem recomendada para solucionar os excessos. (Fonte: Martin et al. (2005)).. Zeros Inflacionados. Modelagem Apropriada. Sem Inflaça˜ o de Zeros. Modelos Espec´ıficos aos Dados. Zeros Verdadeiros. Misturas de Modelos Distribuiça˜ o Zeros Inflacionadas. Zeros Falsos ´ (ou Aleatorios). Misturas de Modelos Distribuiça˜ o Zeros Inflacionadas. Combinaça˜ o de Ambos. ˜ Mistura de duas ou mais distribuiçoes. Incerteza da Origem. ˜ Truncadas Distribuiçoes. Tabela 2: Cenários sobre a origem de zero nos dados e a modelagem recomendada. De acordo com a Tabela 2, quando os dados não possuem zeros inflacionados, pode-se modelá-los somente pela distribuiça˜ o que melhor se adequar a eles. Já quando ´ os dados possuem excessos de zeros, verdadeiros ou aleatorios, ou excesso de zeros verdadeiros e falsos, e´ recomendável o uso de mistura de modelos. O procedimento seria atribuir uma distribuiça˜ o degenerada no ponto zero e uma outra distribuiça˜ o es˜ Quando pec´ıfica para os dados, considerando uma média ponderadas das distribuiçoes. não e´ poss´ıvel distinguir a origem dos zeros dados, utiliza-se uma distribuiça˜ o trun-.

(36) 22. cada, uma alternativa comum que elimina os zeros e modela somente as ocorrências, (Silva, Deise D., 2009).. 3.1.1. Classifica¸ca˜ o dos Zeros Inflacionados. O surgimento dos zeros inflacionados nos dados, tanto zeros verdadeiros como ´ ˜ distintas. zeros aleatorios são classificadas como superdispersão ou subpopulaçoes Segundo Echavarr´ıa (2004), dado uma suposiça˜ o de distribuiça˜ o para os dados temos superdispersão se a variância observada dos dados e´ maior que a variância suposta pelo modelo. A superdispersão pode ser causada por heterogeneidade ou por excesso de zeros na contagem. Na primeira situaça˜ o, a heterogeneidade pode ser devido a alguma covariável que não foi quantificada. Na segunda situaça˜ o, o excesso de zeros também produz a superdispersão (Paula, 2004). O excesso de zeros em um conjunto de dados também podem estar relacionados a` alguma intervença˜ o natural ou truncamento dos dados, ou seja, podem ser produ˜ distintas, como por exemplo o numero ´ zidos por subpopulaçoes de peças defeituosas ´ encontradas na linha de produça˜ o em que a industria possui um controle de qualidade. ´ Assim, e´ esperado o menor numero poss´ıvel de defeitos, criando uma inflaça˜ o de zeros nos dados. Levando em consideraça˜ o que são poss´ıveis os defeitos no processo de fabricaça˜ o, mas evitáveis, tem-se duas origens diferentes de zeros, sendo recomendado uma modelagem de mistura de distribuiça˜ o para os dados, Rodrigues (2003).. 3.2. Distribui¸ca˜ o Inflada de Zeros (ZID). Para dados com zeros inflacionados, recomenda-se fortemente a utilizaça˜ o de mis˜ para as análises estat´ısticas. Murat e Szynal (1998) descreveram turas de distribuiçoes a distribuiça˜ o para dados com zeros inflacionados da seguinte maneira     ω + (1 − ω ) f (y|θ ), se y = 0 P[Y = y|Θ = (θ, ω )] =    (1 − ω ) f ( y | θ ), se y 6= 0, ´ com 0 ≤ w ≤ 1, y ∈ N, em que N representa os numeros naturais.. (3.1).

(37) 23. 3.2.1. Propriedades da Distribui¸ca˜ o ZID. ˜ Apresentamos algumas propriedades importantes para estas distribuiçoes, como, por exemplo, a sua média E (Y ) =. Z ∞ y =0. y P [Y = y ] (3.2). = (1 − ω ) E ( X ). O momento de segunda ordem e´ obtido por E (Y 2 ). =. Z ∞ y =0. y 2 P [Y = y ] (3.3). = (1 − ω ) E ( X 2 ). Assim, encontramos o r-ésimo momento E (Y r ). =. Z ∞ y =0. y r P [Y = y ] (3.4). = (1 − ω ) E ( X r ). A variância e´ expressa pelo resultado V (Y ) = E(Y 2 ) − [ E(Y )]2 (3.5) . = (1 − ω ) V ( X ) + ωE( X ). 2. .. O desenvolvimento destas propriedades nos mostram claramente, a relaça˜ o entre ˜ não degeneradas, e as distribuiçoes ˜ inflacionadas. as distribuiçoes. 3.2.2. Verossimilhan¸ca para a Distribui¸ca˜ o ZID. Já vimos que para dados que possuem uma quantidade excessiva de zeros, e´ necessário utilizar misturas de modelos, pois, modelam bem os zeros inflacionados dos.

(38) 24. dados. (Rodrigues, 2003). Para tanto, temos ( p [Y = y | Θ = θ ] =. I{s} (y),. se y = 0. f ( y | θ ),. se y 6= 0,. (3.6). em que a funça˜ o indicadora I{s} (y) e´ uma distribuiça˜ o que está degenerada em zero e f (y|θ ) e´ uma funça˜ o de probabilidade condicional de Y dado θ. ˜ atribuiremos os seguintes pesos. Para a construça˜ o da mistura de distribuiçoes Y 0 y. Peso (P) ω (1-ω). ˜ Tabela 3: Mistura de Distribuiçoes para 0 ≤ ω ≤ 1, conduzindo a seguinte distribuiça˜ o inflado de zero (ZID). p[Y = y|Θ = (θ, ω )] = ωI{0} (y) + (1 − ω ) f (y|θ ), y = 0, 1, 2, ..... (3.7). em que, f (y|θ ) e´ uma distribuiça˜ o adequadas aos dados caso não existisse inflado de zeros, e o parâmetro ω e´ a proporça˜ o de zeros. Seja A o conjunto dos valores yi iguais a zero, Y = (Y1 , ..., Yn ) um vetor de n v.a.’s com uma distribuiça˜ o ZID, ou seja, A = {yi : yi = 0} e m a quantidade de zeros, isto e´ , m = n( A). Logo, a funça˜ o de verossimilhança e´ dada por n. L(θ, ω ) =. ∏ p(yi |θ, ω ) i =1. (3.8). = [ω + (1 − ω ) f (0|θ )]m (1 − ω )n−m. ∏. f ( y i | θ ),. yi ∈ A. ´ em que os elementos de A, tanto podem ser zeros verdadeiros como zeros aleatorios..

(39) 25. 4. Inferência Bayesiana. ˜ x, cujos vaA inferência Bayesiana e´ desenvolvida num conjunto de observaçoes lores são expressos por uma densidade f ( x |θ ), em que θ representa o(s) parâmetro(s) ˜ em estudo. Por exemplo, no caso da distribuiça˜ o GEV temos que, θ = das distribuiçoes. {µ, σ, ξ }. Esta análise considera que o conhecimento do pesquisador possa ser incorporado na análise, ajudando a explicar o comportamento da populaça˜ o. Esta informaça˜ o inicial pode ser incorporada em uma densidade p(θ ), que não necessariamente precisa ser uma informaça˜ o muito precisa. Com a funça˜ o de verossimilhança e a distribuiça˜ o a priori, podemos estimar o comportamento dos parâmetros através da distribuiça˜ o encontrada, conhecida como distribuiça˜ o a posteriori, dada por: π ( θ ) ∝ L ( θ ) p ( θ ), em que L(θ ) e´ a funça˜ o de verossimilhança e p(θ ) a distribuiça˜ o a posteriori.. 4.1. Estimadores Bayesianos (EB). Assim como na abordagem clássica ou frequentista de estimaça˜ o, a abordagem ˜ x, cujos Bayesiana também e´ desenvolvida na presença de um conjunto de observaçoes valores são descritos por uma densidade ou funça˜ o de probabilidade f ( x |θ ), sendo θ ˜ o(s) parâmetro(s) em estudo das distribuiçoes. Na inferência Bayesiana considera-se que o pesquisador tenha conhecimento sobre o comportamento dos parâmetros em estudo, e este conhecimento possa ser incorporado na análise, com distribuiça˜ o a priori e funça˜ o densidade de probabilidade p(θ ), ajudando a explicar o comportamento da populaça˜ o (Nascimento, 2012)..

(40) 26. O estimador de Bayes e´ encontrado a partir do risco de Bayes do procedimento d( X) r ( p, d) =. Z Θ. R(θ − d( x )) p(θ )dθ.. Sendo que a funça˜ o de risco de um procedimento qualquer d( X ) e´ dada por R(θ, d( x )) =. Z. l (θ, d( x )) f ( x |θ )dx, χ. e considerando a funça˜ o da perda quadrática l (θ, d( x )) = (θ − d( x ))2 , temos que R(θ, d( x )) =. Z. (θ − d( x ))2 f ( x |θ )dx. χ. Então, o risco de Bayes com relaça˜ o a perda quadrática e´ dado por r ( p, d) =. Z Z Θ. (d( x ) − θ )2 f ( x |θ ) p(θ )dxdθ. χ. Como f ( x |θ ) p(θ ) = f ( x; θ ) = p(θ | x ) f ( x ), logo, r ( p, d) =. Z Z χ. 2. Θ. . (d( x ) − θ ) p(θ | x )dθ f ( x )dx.. (4.1). Assim temos que, para cada x, o procedimento de Bayes e´ o procedimento que minimiza (4.1) Z Θ. (d( x ) − θ )2 p(θ | x )dθ = E[(d( X ) − θ )2 | X ].. Derivando a funça˜ o com relaça˜ o a d(X) e igualando a derivada a zero, encontramos o procedimento d B ( X ) = E [ θ | X ],. que e´ a forma geral do estimador de Bayes, para o parâmetro θ com relaça˜ o a perda ˜ de decisoes, ˜ ´ quadrática, na classe D de todas as funçoes de uma amostra aleatoria.

(41) 27. ´ { x1 , . . . , xn } da distribuiça˜ o da variável aleatoria { X1 , . . . , X N }, com funça˜ o de densidade de probabilidade f ( x |θ ), e com distribuiça˜ o a priori p(θ ) , sendo o valor da esperança de θ dado X, calculado na, combinaça˜ o da funça˜ o de verossimilhança com a distribuiça˜ o a priori que e´ a, distribuiça˜ o a posteriori de θ dada por. p(θ | x ) =. f (θ; x ) f (θ | x ) p(θ ) = . f (x) f (x). (4.2). em que f (θ; x ) e´ a densidade conjunta de X1 , . . . , Xn e θ obtida pela multiplicaça˜ o das duas densidades f (θ | x ) p(θ ). Note que 1/ f ( x ), não Zdepende de θ, funciona como uma constante normalizadora de p(θ | x ), em que f ( x ) =. Θ. f (θ | x ) p(θ )dθ, e´ a densidade (ou. funça˜ o de probabilidade) marginal de x, e também conhecida como distribuiça˜ o pren. ditiva, sendo que f ( x |θ ) = a amostra.. ∏ f (xi |θ ), e´ a funça˜ o de verossimilhança correspondente i =1. Uma maneira mais compacta de escrever a funça˜ o a posteriori e´ dada por p ( θ | x ) ∝ f ( θ | x ) p ( θ ), ´ pois, para encontrar a distribuiça˜ o a posteriori precisamos conhecer apenas o nucleo da distribuiça˜ o, que e´ representada pela parte que depende de θ na funça˜ o em (4.3). ´ A distribuiça˜ o a posteriori e´ uma distribuiça˜ o onde o parâmetro e´ a variável aleatoria, onde o estimador pontual do parâmetro e´ a média, ou a mediana e o intervalo de confiança (1 − α) para o parâmetro são os quantis α/2 e (1 − α/2). ˜ a distribuiça˜ o a posteriori e´ uma distribuiça˜ o conhecida, em Em algumas situaçoes outras, não e´ poss´ıvel obter uma distribuiça˜ o a posteriori conhecida, sendo necessário ˜ numéricas, e nesses casos utiliza-se as técnicas MCMC (Markov obter aproximaçoes ˜ chain Monte Carlo) que gera pontos da distribuiça˜ o a posteriori baseado em distribuiçoes condicionais conhecidas como cadeias de Markov.. 4.2. Inferência Bayesiana para Distribui¸coes ˜ ZID. De acordo com o modelo (3.13), pode-se propor uma priori conjunta dada por π (θ, w) e a posteriori conjunta (θ, w), dado D e´ :.

(42) 28. π (θ, w| D ) ∝ L(θ, w| D )π (θ, w),. em que, π (θ, w) = π (w)π (θ ). Para melhorar modelagem se faz necessário formular o excesso de zeros apresen˜ tados pelos dados. Rodrigues (2003) menciona que existem muitas formulaçoes, e sugeriu a seguinte,. Pr ( X = x |Θ = θ ) =.     I{0} ( x ), se x = 0    p( x |θ ), se x > 0. em que: • I{0} ( x ) e´ uma distribuiça˜ o degenerada no ponto zero, • p( x |θ ) e´ uma funça˜ o de probabilidade que se ajusta aos dados. ˜ Muitos autores utilizam mistura de distribuiçoes, pois incorporam o excesso de zeros apresentados pelos dados. Para isto, considere peso w ao evento 0 e peso (1 − w) a θ, valores diferentes de zeros, sendo 0 ≤ w ≤ 1, resultando na seguinte Distribuiça˜ o de Inflados de Zero (ZID):. P( x |θ, w) = wI{0} ( x ) + (1 − w) p( x |θ ).. O parâmetro w e´ a proporça˜ o de zeros que excede o que seria predito através de p ( x | θ ). ´ Seja X = ( X1 , ..., Xn ) um vetor de n variáveis aleatorias geradas pelo modelo ZID. Seja A = yi : yi = 0, i = 1, ..., n e m = n( A), então a funça˜ o de verossimilhança e´ : L(θ, w) = [w + (1 − w) p(0|θ )]m (1 − w)n−m. ∏. p ( x i | θ ).. xi 6 ∈ A. Os elementos de A provém da distribuiça˜ o degenerada de zero..