Bases de Gröbner: Resolvendo Equações Polinomiais

Bases de Grobner:

Resolvendo Equac~oes Polinomiais

Andre Vieira Costa

?

_{e Israel Vainsencher}

~

Universidade Federal de Pernambuco

Departamento de Matematica

ESCOLA DE  ALGEBRA

IMECC{UNICAMP

julho'94

~1

1

?_{A minha pequena Lu.}

~Tita,

mesmo a margem n~ao sendo pequena, Pessoa me perdoe, cabe n~ao explicar que toda forma de amor :::vale a pena!

Conteudo

0 Introduc~ao

5

1 Relembrando a algebra basica

7

1.1 Aneis e corpos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1.2 Algoritmo de Euclides : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1.3 Ideais : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11 1.4 Primos e maximais : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 1.5 Homomorsmos : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.6 MDC : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

2 Divis~ao de polin^omios

19

2.1 Ordenac~ao de mon^omios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 2.2 Divis~ao em varias variaveis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 2.3 Algoritmo da divis~ao : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

3 Bases de Grobner

29

3.1 Ideais monomiais : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 3.2 Bases de Grobner : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 3.3 O teorema da base de Hilbert : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 3.4 O algoritmo de Buchberger : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 3.5 (In)Exist^encia e nitude das soluc~oes : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

4 Variedades algebricas

41

4.1 Os zeros de um ideal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 4.2 O teorema dos zeros : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 4.3 Eliminac~ao e projec~oes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 4.4 Equac~oes implcitasparametricas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47

4.5 Curva dual: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 4.6 Junc~oes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 4.7 Decomposic~ao em irredutveis : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

5 Dimens~ao

55

5.1 Uni~oes de subespacos coordenados : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55 5.2 Dimens~ao zero: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55

4 CONTE  UDO

5.3 Func~oes numericas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 5.4 A func~ao de Hilbert : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 5.5 Propriedades da func~ao de Hilbert : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62 5.6 A dimens~ao de uma variedade : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63 5.7 Dimens~ao via bases de Grobner : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65 5.8 Dimens~ao e grau de transcend^encia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

Captulo 0

Introduc~ao

Consideremos um sistema de m equac~oes lineares em n variaveis,

8 > > < > > : p1(X1;:::;Xn) := a11X1+


+a 1nXn c1 = 0 ... pm(X1;:::;Xn) := am1X1+


+amnXn cm = 0:

Aprendemos nos cursos basicos de Algebra Linear respostas a cada uma das seguintes quest~oes:

1. o sistema e consistente?

2. como decidir se uma nova equac~ao, f(X1;:::;Xn) = 0, e independente das

anteriores?

3. o conjunto das soluc~oes e nito?

4. quando innito, como estimar o \tamanho" ou \dimens~ao"?

5. interpretando cada equac~ao como denindo um hiperplano, o que se pode dizer sobre a geometria do conjunto das soluc~oes?

6. como obter express~oes parametricas para as soluc~oes?

De fato, o algoritmo de eliminac~ao gaussiana nos permite resolv^e{las de forma cons-trutiva.

O objetivo deste curso e discutir quest~oes analogas para o caso de sistemas de equac~oes polinomiais de graus arbitrarios. Essa generalidade exagerada sera na pratica moderada por construc~oes e exemplos motivados pela Geometria. De fato, confessamos que parte inerente ao objetivo e servir de porta de entrada para o fascinante domnio da Geometria Algebrica.

Esclarecamos de pronto quen~aofaremos qualquer incurs~ao sobre as importantes quest~oes de complexidade computacional ou de analise numerica.

6 CAPTULO 0. INTRODUC ~ AO

Os pre-requesitos s~ao, em ess^encia, familiaridade com a Algebra Linear basica e com a noc~ao de polin^omios . Para conveni^encia do leitor, reservamos o captulo 1 para revis~ao de algumas noc~oes utilizadas no decorrer do curso bem como para estabelecer notac~oes.

As duas primeiras perguntas acima ser~ao re{enunciadas como o problema da pertin^encia a um ideal:

Dados polin^omios f;p1;:::;pm, decidir se existem

polin^omios g1;:::;gm tais que f = gipi:

No captulo 2 apresentamos o algoritmo de divis~ao para polin^omios em varias va-riaveis, uma vez estabelecido o conceito de ordem monomial.

A introduc~ao das bases de Grobner no cap. 3 e seu calculo efetivo atraves do algoritmo de Buchberger e a principal ferramenta que nos permitira abordar as quest~oes mencionadas. Pretendemos expor varios exemplos concretos, fazendo uso de implementac~oes emMaple para alguns algoritmos.

O conjunto de soluc~oes de um sistema de equac~oes polinomiais e chamado uma

variedade algebrica, apresentada no cap. 4. Aqui aprenderemos como obter equac~oes para alguns lugares geometricos interessantes, tais como as envoltorias de tangentes, projec~oes, superfcies regradas, junc~oes, etc.

O cap. 5 contem a parte matematicamente mais signicativa do curso: o estudo da dimens~ao de uma variedade via func~ao de Hilbert.

Desnecessario enfatizar a escandalosa omiss~ao de tantos assuntos correlatos. Consolamo{nos lembrando o prefacio de [7]: a escolha de material para um curso introdutorio a Algebra Comutativa ou Geometria Algebrica e t~ao ampla que permi-tiria uma sucess~ao quase inndavel de semestres letivos sem perigo de repetic~ao:::

Citamos por m, a refer^encia e fonte de inspirac~ao [2] para a maior parte da escolha de material e sequencia de apresentac~ao.

Captulo 1

Relembrando a algebra basica

Neste captulo revisaremos algumas noc~oes basicas de algebra, introduzindo parte da notac~ao que utilizaremos no restante do curso.

1.1 Aneis e corpos

Chamaremos de anel (comutativo com unidade) um conjunto A munido de duas operac~oes, denotadas + (adic~ao) e
(multiplicac~ao) e satisfazendo as seguintes

pro-priedades:

1. a + (b + c) = (a + b) + c; 8a;b;c2A (associatividade da adic~ao);

2. a + b = b + a; 8a;b2A (comutatividade da adic~ao);

3. 902A tal que 8a2A; a + 0 = a (elemento neutro da adic~ao);

4. 8a2A;9 a2A tal que a + ( a) = 0 (inverso aditivo);

5. a
(b
c) = (a
b)
c; 8a;b;c2A (associatividade da multiplicac~ao);

6. a
b = b
a; 8a;b2A (comutatividade da multiplicac~ao);

7. 912A tal que 8a2A; a
1 =a (elemento neutro da multiplicac~ao);

8. a
(b + c) = a
b + a
c; 8a;b;c2A (distributividade).

Se, alem dessas, valer a propriedade:

9. a
b = 0 ) a = 0 ou b = 0 (sem divisores de zero)

A e chamado de domnioou domnio de integridade.

Dizemos que um elemento a 2 A einversvel se existir a 0

2 A tal que a:a 0 = 1.

Neste caso, verica{se facilmente que a0 e unico, chamadoinverso multiplicativo de

a e escrevemos a0=a 1 = 1=a.

Se cada a2Anf0g admitir inverso multiplicativo,A e dito umcorpo.

8 CAPTULO 1. RELEMBRANDOA 

ALGEBRAB  ASICA

Denotaremos por

N

,

Z

,

Q

,

R

e

C

, os conjuntos dos numeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente. Veja o exc. 1.1.1{1.

Reservaremos a letra K para denotar um corpo. Suporemos K =

C

quando necessario garantir a exist^encia de razes para polin^omios , ouK =

R

ao imaginarmos interpretac~oes geometricas.

Diremos que um subconjunto A0

A e um subanel de um anel A se 0;1 2 A 0 e 8a;b;c2A

0

) a b
c2A

0. Segue que todo subanel e naturalmente um anel com

as operac~oes induzidas.

1.1.1 Exerccios

1.

Mostre que

C

,

R

e

Q

s~ao corpos. Mostre que

Z

e um domnio, mas n~ao e um corpo. Mostre que

N

n~ao e um anel.

2.

SejaA =f0;1gum conjunto formado por dois elementos. Mostre queA admite

uma e so uma estrutura de anel tal que 0 e 1 funcionam como elementos neutros de + e
respectivamente. Mostre que A e de fato um corpo.

3.

Mostre que o elemento neutro da adic~ao e unico. Idem para a multiplicac~ao e para o inverso multiplicativo.

4.

Mostre que todo corpo e um domnio. Mostre com um exemplo porque a recproca n~ao e verdadeira.

1.2 Algoritmo de Euclides

Veremos nesta sec~ao propriedades do anel de polin^omios em uma variavel a coe-cientes em um corpoK. Em geral, dado um anel A, denotaremos por A[t] o conjunto formado por todos os polin^omios na variavelt com coecientes em A. Consideremos emA[t] as operac~oes de soma e multiplicac~ao de polin^omios que aprendemos no 2o

grau. Deixamos como exerccio a vericac~ao de queA[t] e um anel. Cada elemento f 2A[t] se escreve na forma f = antn+


+a

1t + a0 com cada ai

2A. Se an6= 0

dizemos ent~ao que f e de grau n e escrevemos do_{f = n: Convencionaremos que}

do_{0 =} 1. Chamamos

TL(f) = antn

determo lder def: Se an = 1, dizemos quef em^onico. De modo analogo denimos

o anel de polin^omios nas variaveis x1;:::;xn, pondo

A[x1;:::;xn] =A[x1;:::;xn 1][xn]:

Assim, podemos pensar num polin^omio a n variaveis a coecientes em A como um polin^omio a 1 variavel a coecientes no anel de polin^omios a n 1 variaveis. Escreveremos tambem de forma abreviada,

A[x] =A[x

1.2. ALGORITMO DE EUCLIDES 9

1.2.1 Exerccios

1.

Seja A um domnio. Mostre que A[t] e um domnio. Mostre que 8 f;g 2 A[t]

temos

i. do_{(fg) = d}o_{f + d}o_{g, e}

ii: do_{(f + g)}max(dof;dog) valendo a igualdade se dof 6=dog.

2.

SejaA um anel. Mostre que A[t] n~ao e um corpo.

3.

Seja A um domnio e sejam g;q;r;q0;r0

2 A[t] tais que dor < dog;dor

0 < dog e

qg + r = q0g + r0. Mostre quer = r0;q = q0.

1.2.2 Proposic~ao.

(Algoritmo de Euclides) Seja K um corpo e sejam f; g 2

K[t]; g 6= 0. Ent~ao existem unicos q;r 2 K[t] (chamados de quociente e resto,

respectivamente) tais que

f = qg + r;

com r = 0 ou do_{r < d}o_g.

Demonstrac~ao.

Se do_{f < d}o_{g, faca q = 0 e r = f. Prosseguimos por induc~ao}

sobre n = do_f  m = dog. Escrevamos g = amtm +:::; f = bntn+:::. Seja

h = f bntn ma 1

m g. Note o ajuste feito para cancelar o termo de maior grau de f,

de sorte que do_{h < d}o_{f. Por induc~ao, h se escreve na forma h = q}

1g + r, com r = 0

ou do_{r < d}o_{g. Fazendo q = q}

1+bna 1

mtn m, conclumos f = qg + r.

Para vericarmos a unicidade, suponhamos qg + r = q0g + r0. Da vem (q q0)g =

r0 r. Ora, se q

6

= q0

ent~ao o 1o membro e um polin^omio de grau  m enquanto

que o 2o, supondo r (resp r') = 0 ou do_{r (resp. r') < d}o_{f, certamente e nulo ou de}

grau < m. 2

Uma maneira construtiva de demonstrar este teorema e deixada como exerccio para o leitor (exc.1.2.5.1).

1.2.3 Exemplo.

Fazendo a divis~ao de f = 4x3+ 3x2 + 2x + 1 por g = 2x + 2,

obtemosq = 2x2 1 2x +

3

2 er = 2. Conra o processo de divis~ao abaixo.

4x3+ 3x2+ 2x + 1 (4x3 + 4x2) x2+ 2x + 1 ( x2 x) 3x + 1 (3x + 3) 2!r 2x + 2 2x2 1 2x + 3 2

10 CAPTULO 1. RELEMBRANDOA 

ALGEBRAB  ASICA

1.2.4 Corolario.

Se K e um corpo e p 2 K[t] e n~ao nulo, ent~ao o numero de

razes de p em K e no maximo do_p.

Demonstrac~ao.

Provaremos por induc~ao sobre n = do_{p. Quando n = 0, p e}

uma constante n~ao nula (por hipotese), logo p n~ao admite razes e a armac~ao e verdadeira.

Agora, suponhamos que o resultado vale para polin^omios quaisquer de grau n 1. Tome p de grau n. Se p n~ao admite razes em K, terminou. Caso contrario, existe um  2 K, tal que p() = 0. Agora podemos escrever p(t) = q(t)(t ), com

do_{q = n 1 (verique). Note que se  e raiz de p distinta de , ent~ao  e raiz de q.}

Como q tem no maximo n 1 razes, p admite no maximo n razes. 2

1.2.5 Exerccios

1.

Mostre que o algoritmo abaixo (pseudo-codigo em Maple), fornece uma prova

construtiva para a prop. 1.2.2:

divisao:= proc(f,g) q:=0;

r:=f;

while (r<>0 and TL(g) divide TL(r)) do q:= q + TL(r)/TL(g);

r:= r - (TL(r)/TL(g))*g; od;

RETURN([q,r]); end:

Note que o testeTL(g) divide TL(r)deve ser previamenteimplementado. OMaple

ja contem tal procedimento. Mas atenc~ao com a sintaxe! Em Maple, para testar se

p divide q, digita{se divide(q,p). Note a ordem! A func~ao g 7! TL(g) tambem

deve ser previamente implementada. Se a variavel de gex, pode-se denir TL:=g->lcoeff(g,x)*x^(degree(g,x)).

2.

Seja f = qg + r como na prop.1.2.2. Mostre que toda raiz comum a f;g e tambem raiz comum a r;g e vice{versa. Deduza um algoritmo para decidir se dois polin^omios admitem raiz em comum sem precisar calcular raiz.

3.

Seja A um anel e seja g 2 A[t] um polin^omio m^onico. Mostre que o algoritmo

de Euclides se estende para a divis~ao de f 2 A[t] por g. Mostre tambem que, se

1.3. IDEAIS 11

1.3 Ideais

Diremos que um subconjuntoIde um anelAe umidealdeA se satiszer as seguintes

propriedades: i. 0 2I;

ii. 8a;b2I, vale a + b2I;

iii. 8a2I e 8b2A, vale a
b2I.

1.3.1 Exemplo.

Seja A um anel e a2A. Ent~ao o conjunto hai:=fabjb2Ag

formado por todos os multiplos de a e claramente um ideal, chamado um ideal principal. Usaremos tambem a notac~ao aA para o ideal hai gerado por a. Veja o

exc. 1.3.3{2

1.3.2 Proposic~ao.

Seja K um corpo e seja I6=h0ium ideal deK[t]. Ent~ao existe

um unico f 2K[t] m^onico tal que

I =hfi:

Demonstrac~ao.

SendoI 6=h0i, existe um elementof 2Im^onico e de grau mnimo

com essa propriedade. Mostraremos que I = hfi, i.e., que todo elementog 2 I e

multiplo de f. Com efeito, aplicando o algoritmo da divis~ao, podemos em todo o caso escrever,

g = qf + r;

onde r = 0 ou do_{r < d}o_{f. Como r = g qf e claramente um elemento do ideal} I,

se ocorresse r6= 0, produziramos um elemento em I com grau inferior ao mnimo,

o que e absurdo. A unicidade e deixada como exerccio. 2

Um domnio de integridade no qual cada ideal e principal e dito domnio de ideais principais ou simplesmente DIP. O resultado acima nos diz que se K e um corpo ent~ao K[t] e um DIP.

1.3.3 Exerccios

1.

Sejan2

Z

e dena n

Z

=fk
njk 2

Z

g. Mostre quen

Z

e um ideal de

Z

(ideal

gerado por n). Por exemplo, o conjunto dos numeros pares, 2

Z

; e um ideal de

Z

. Mostre que

Z

e um DIP.

12 CAPTULO 1. RELEMBRANDOA 

ALGEBRAB  ASICA

2.

SejaA um anel e sejam f1;:::;fn

2A: Denimos hf 1;:::;fn i= ( n X i=1 hifi : h1;:::;hn 2A ) : Mostre que hf 1;:::;fn i e um ideal de A. Chamaremos hf 1;:::;fn i deideal gerado porf1;:::;fn.

3.

Seja A =

Z

[t] o anel de polin^omios a coecientes inteiros. Mostre que h2;ti e

um ideal de A quen~ao e principal. Idem para hx;yiK[x;y]:

4.

SejaA um anel e seja fIsgs

2S uma famlia de ideais de A.

1. Mostre que \

s2S Is

e um ideal deA.

2. D^e um exemplo de ideaisI;J tais queI [J n~ao e um ideal.

3. Suponha que para cadas;t2S existe u2S tal queIs[It Iu. Mostre que [

s2S Is

e um ideal deA.

5.

SejaA um anel e seja S A. Seja SF a colec~ao de todos os subconjuntosnitos

de S. Para cada T S nito, seja hTi o ideal gerado (veja o exc. 2 acima) por T.

Mostre que

hSi:= [

T2SF hTi

e um ideal de A e que e igual a intersec~ao de todos os ideais de A que cont^em S. Conclua que cada elemento do ideal hSi gerado por S pode ser escrito na forma

f1g1+

+fngn, com os fi 2S e gi 2A.

6.

Seja A um anel e seja I A um ideal. Dado a2 A, mostre que I : a

def₌

fb2

Ajab2Ige um ideal. FacaA =

Z

,I =h6i e calculeI :n para cada n2

Z

.

1.4 Primos e maximais

1.4.1 Denic~ao.

Dizemos que um ideal I A eprimo se I 6=A e8 a;b2A; a
b2I =)a2I ou b2I:

Dizemos que um ideal I A emaximal se n~ao existir ideal intermediario entreI e

1.5. HOMOMORFISMOS 13

1.4.2 Exemplos.

1) Se A e um domnio ent~ao h0i e um ideal primo e

reciproca-mente.

2) Os ideais primos n~ao nulos de

Z

s~ao os gerados por um numero primo. 3) h2i 

Z

[x] e um ideal primo n~ao maximal.

4) Dadas as constantes c1;:::;cn

2K, o conjunto dos polin^omios f 2K[x] tais que

f(c1;:::;cn) = 0 e um ideal maximal de K[ x].

5) Um ideal principalhfiK[x] e primo se e so se f e um polin^omio irredutvel.

1.4.3 Proposic~ao.

Seja K um corpo. Ent~ao todo ideal primo n~ao nulo de K[x]e maximal, gerado por um polin^omio irredutvel.

Demonstrac~ao.

Seja f 2 K[x] n~ao constante tal que hfi e um ideal primo. Se f

admite fatorac~ao, f = gh com g;h2K[x] ent~ao, por denic~ao de ideal primo, temos

g 2 hfi ou h 2 hfi. Se g = fg

1 para algum g1

2 K[x], conclumos de f = fg 1h

que h e constante. Isto mostra a irredutibilidade de f. Se hfi n~ao fosse maximal,

existiria algum ideal, digamoshgi, tal quehfi hgih1i. Da adviria uma relac~ao

de divisibilidade,f = gh que ja sabemos acarreta g ou h constante, contradic~ao. 2

1.4.4 Exerccios

1.

Prove as armac~oes dos exemplos acima.

2.

Mostre que todo ideal maximal e primo.

3.

Seja K um corpo algebricamente fechado. Mostre todo ideal maximal de K[x] e da formahx ci para algumc2K.

1.5 Homomorsmos

1.5.1 Denic~ao.

Sejam A e B aneis. Um homomorsmo de A em B e uma aplicac~ao ' :A!B tal que '(1) = 1 e8a;b;c2A ) '(a+b
c) = '(a)+'(b)
'(c).

Dizemos que um homomorsmo bijetivo' e umisomorsmo;neste caso, a aplicac~ao inversa ' 1 e necessariamente um homomorsmo. Dizemos que os aneis A; B s~ao

isomorfos se existir um isomorsmo ' : A!B.

1.5.2 Exemplos.

1) Se A0 e um subanel de um anel A, ent~ao a aplicac~ao de

inclus~aoA0

A e um homomorsmo.

2) A aplicac~ao deconjugac~ao

C

!

C

; a+bi7!a bi e um homomorsmo (de fato

14 CAPTULO 1. RELEMBRANDOA 

ALGEBRAB  ASICA

3) Seja A = f0;1g como no exc. 1.1.1{2 e seja  :

Z

!A a aplicac~ao denida por

paridade,i.e.,(n) = 0 se n e par, 1 sempar. E imediatoque  e um homomorsmo.

1.5.3 Denic~ao.

Seja ' : A!B um homomorsmo de aneis. O nucleo de ' e

denido por,

nuc(') :=fa2Aj'(a) = 0g:

1.5.4 Lema.

Seja ' : A!B um homomorsmo de aneis. Ent~ao o nucleo de ' e

um ideal de A.

Demonstrac~ao.

Fica como exerccio para o leitor. 2

O resultado central desta sec~ao e arma que todo ideal ocorre como nuc(') para algum (essencialmente unico) homomorsmo.

1.5.5 Proposic~ao.

Seja I  A um ideal de um anel A. Ent~ao existe um

homo-morsmo sobrejetivo ' : A!B tal que nuc(') =I.

Demonstrac~ao.

Suponhamos por um instante ja construdo ' : A!B com as

propriedades enunciadas. Observemosque para cadab;b0

2B, o subconjunto ' 1

fbg

e n~ao vazio e que b 6= b 0 ) ' 1 fbg\' 1 fb 0 g = ;. Assim, b 7! ' 1 fbg estabelece

uma bijec~ao deB em um subconjunto de partes de A. A ideia agora e reconstruir B a partir dos subconjuntos do tipo' 1

fbg. Vejamos comoI entra em cena. Fixados

b2B e algum a 0

2' 1

fbg, v^e-se facilmente que

' 1 fbg = fa2Aj9 i2I tal que a = a 0+i g = fa 0+i ji2Ig:

Ora, o lado direito faz sentido independentemente de'! Denamos logo, pois, para cada a2A, a classe residual

a +I =fa + iji2Ig;

e seja

B =fa +Ija 2Ag;

o conjunto de todas as classes residuais de I em A. Resta a fazer a vericac~ao

rotineira de queB herda uma estrutura de anel mediante as receitas, (a +I) + (a 0+ I) = (a + a 0) + I (a +I)
(a 0+ I) = (a
a 0) + I

de sorte que a aplicac~ao denida naturalmente por ' : A ! B

a 7 ! a +I

1.5. HOMOMORFISMOS 15

1.5.6 Denic~ao.

SejamA um anel e I um ideal de A. Chamamos de anel

quo-ciente de AporI,denotado por A=I, o anel das classes residuais deI emA descrito

na demonstrac~ao acima. Para cadaa2A dizemos que ae umrepresentanteda classe

residual a +I. O homomorsmo quociente A!A/I denido por a 7! a +I sera

denotado por '_A/I.

A formac~ao do anel quociente atende a necessidade de se lidar com aneis em que sejam validas identidades escolhidas a priori. Um exemplo instrutivo e dado pela construc~ao do corpo

C

dos numeros complexos a partir de

R

. Sabemos que a equac~ao x2 + 1 = 0 n~ao admite raiz em

R

. Ora, no anel quociente

R

[x]/

hx 2+ 1

i

vale, por decreto, a relac~ao x2+1 = 0, onde x denota a classe residual x+ hx

2+ 1 i:::

1.5.7 Proposic~ao.

Seja : A!B um homomorsmo de aneis e seja I um ideal

de A. Se I nuc( ) ent~ao existe um e so um homomorsmo : A/I!B tal que

= '

A/I, i.e.,tornando assim o diagrama abaixo comutativo:

A ! B

'_A/

I



# %

A/I

Demonstrac~ao.

A unicidade de decorre da sobrejetividade do homomorfsmo quociente. Para a exist^encia, vericamos de incio que

(?) se a;a0

2A representam uma mesma classe residual ent~ao

(a) = (a0):

Com efeito, a +I = a 0+

I implica a a 0

2 I. Dado que I  nuc( ), temos

(a a0) = 0, o que mostra (?). Podemos assimdenir (a+

I) := (a), visto que

o lado direito so depende da classe residuala+I (e n~ao do particular representante

a). Deixamos por m ao leitor a tarefa, sem surpresas, de vericar a armac~ao de que e de fato um homomorsmo. 2

A aplicac~ao acima referida e dita a induzida por .

1.5.8 Exerccios

1.

A composic~ao '
: A!C de homomorsmos : A!B, ' : B!C e um

homomorsmo.

2.

Sejam A;B aneis. Dizemos que B e uma A algebra se existir uma aplicac~ao  : AB!B, que escreveremos(a;b) = a
b, satisfazendo as propriedades esperadas

de multiplicac~ao de elementos de B por elementos de A, i.e., 8a;a 0 2 A;b;b 0 2 B vale: (1) 1A
b = b; (2) a
(b + b 0) = a
b + a
b 0; (3) (a + a0)
b = a
b + a 0
b; (4) (aa0)
(bb 0) =a
((a 0
b)b

0). Mostre que a aplicac~ao A

16 CAPTULO 1. RELEMBRANDOA 

ALGEBRAB  ASICA

um homomorsmo. Reciprocamente, mostre que cada homomorsmoA!B provem

de uma unica estrutura de A algebra em B.

3.

Seja ' : A!B um homomorsmo e seja a 2 A um elemento inversvel de A.

Ent~ao '(a) e inversvel em B.

4.

Mostre que o homomorsmo quociente '_A/I construdo na demonstrac~ao da

prop. 1.5.5 de fato satisfaz a nuc('_A/I) = I.

5.

Seja : A!B um homomorsmo sobrejetivo e seja I := nuc( ). Mostre que

o homomorsmo induzido : A/I!B e um isomorsmo. Mostre que todo ideal

(primo, resp. maximal) de B e imagem de um unico ideal (primo, resp. maximal) deA que contemI.

6.

SejaA um anel e xe a1;:::;an

2A. Mostre que a aplicac~ao

ev : A[x1;:::;xn] !A

denida por ev(f(x1;:::;xn)) :=f(a1;:::;an) (substituir xi =ai) e um

homomor-smo. Prove que nuc(ev) =hx

1 a1;:::;xnan i.

7.

Sejamp1(x1);:::;pn(xn)

2K[x

1;:::;xn] polin^omios , com cada pi

6

= 0 e envol-vendo apenas a variavel indicada. Mostre que o anel quociente

K[x1;:::;xn]/ hp

1;:::;pn i

e um espaco vetorial de dimens~ao nita e calcule esta dimens~ao.

8.

Seja :

R

[x]!

C

denido porp(x)7!p(i) (i

2 = 1). Mostre que e sobrejetivo

e nuc( ) =hx 2+ 1

i. Conclua que :

R

[x]/hx 2+ 1

i!

C

e um isomorsmo.

9.

Seja I  A um ideal. Mostre que I e um ideal primo (resp. maximal) se e so

se A/I e um domnio (resp. corpo).

10.

SejaK um corpo e seja c2K. Mostre quehx ciK[x] e um ideal maximal

e que a composic~ao de homomorsmos naturais, K ,!K[x] !

K[x]/

hx cie um

isomorsmo.

11.

SejaV um K espaco vetorial e seja W V um subespaco. Para cada v 2V

seja v + W := fv + wjw 2 Wg o transladado de W por v. Mostre que 8u;v 2

V; v + W = u + W se e so se u v 2 W. Imite a construc~ao do anel quociente

e mostre que a colec~ao V /W := fv + Wjv 2 Vg de todos os transladados de W

admite uma estrutura natural de espaco vetorial sobre K, dito espaco quociente de

V por W, de sorte que a aplicac~ao quociente V 

!V /W;(v) := v + W e linear,

sobrejetiva e de nucleo igual aW. Mostre que dimV /W = dimV dimW (suponha dimV nita).

12.

Sejam W;W0;V0 subespacos de um espaco vetorial V . Suponha W0

 W \

V0. Mostre que a correspond^encia v0+W0 7! v

0+W dene uma aplicac~ao linear

V0/W0

!V /W. Mostre que esta aplicac~ao e injetiva se e so se W 0=W

\V

0. Mostre

que a aplicac~ao natural V /W0

1.6. MDC 17

1.6 MDC

1.6.1 Denic~ao.

Seja ffsgs

2S uma colec~ao de polin^omios. Dizemos que um

poli-n^omio m^onicop e um maximo divisor comum (MDC) desta colec~ao se i: p divide cada fs;

ii: 8q2K[t], se q divide cada fs, ent~ao q divide p.

1.6.2 Proposic~ao.

Seja S  K[t] uma colec~ao de polin^omios. Ent~ao existem

f1;:::;fn 2S e g 1;:::;gn 2K[t] tais que f = g1f1+


+gnfn e o MDC dessa colec~ao.

Demonstrac~ao.

SejaI o ideal gerado por S (veja o exc. 1.3.3{5), I =f X 1im gifijf 1;:::;fm 2S; g 1;:::;gm 2K[t]; m = 0;1;::: g:

Seja f o gerador m^onico de I (1.3.2). Sendo f um elemento de I, necessariamente

se escreve na forma

f = g1f1+::: + gnfn; com gi

2K[t]:

Assim, seq divide cada fi 2S ent~ao q divide f. Por m, sendo I =hfi, e claro que

cada fi (como elemento de I:::) e divisvel por f. 2

1.6.3 Exerccios

1.

Mostre que o procedimento emMaple abaixo, que tem como entrada os

polin^o-miosf e g na variavel t, fornece o MDC(f;g).

mdc:= proc(f,g) local r1,r2,resto; r1:=f; r2:=g; while (r2<>0) do resto:= rem(r1,r2,t); r1:= r2; r2:=resto; od; RETURN(r1); end:

# rem = funcao do Maple para o resto # da divisao de r1 por r2.

2.

Generalize o problema acima para achar f 2 K[t], tal que hfi = hf

1;:::;fm i,

18 CAPTULO 1. RELEMBRANDOA 

ALGEBRAB  ASICA

Captulo 2

Divis~ao de polin^omios

2.1 Ordenac~ao de mon^omios

Vimos no captulo anterior que dado um ideal I := hf

1;:::;fm

i  K[t], podemos

encontrarf 2 K[t] tal que I =hfi. Examinando a argumentac~ao, percebemos que

o principal ponto e o algoritmo da divis~ao. Este, por sua vez, baseia-se na escolha dos termos lderes do dividendo e do divisor.

Para calcular geradores para ideais de polin^omios a varias variaveis, precisare-mos estender o algoritmo da divis~ao. O leitor deve se convencer de que certamente cairemos num problema do tipo seguinte:

\Qual o termo lder de f = 5x2y4+ 2x3y?"

Ou seja, como ordenar os mon^omios x2y4 e x3y?

Lembremos que existe uma ordenac~ao de \mon^omios" com que estamos acostu-mados a lidar no dia-a-dia: a encontrada nos dicionarios ou listas telef^onicas! Veja a denic~ao formal logo mais em 2.1.3.

Utilizando esta ordenac~ao, convencionamos, (salvo menc~ao em contrario) que a  b  c:::  z: Segue que 2x

3y deve ser tomado como termo lder de f pois a

palavraxxxy = x3y viria antes de x2y4 =xxyyyy num dicionario.

Para abreviar a notac~ao, dada uma sequ^encia de variaveis x=x

1;:::;xn e uma

sequ^encia de expoentes  = 1;:::;n, escreveremos o mon^omio x  _=x1 1


x n n :

Agora estabelecer uma ordem para o conjunto de mon^omios fxj 2

N

ng e o

mesmo que por ordem no conjunto

N

n _{dos expoentes.}

2.1.1 Denic~ao.

Diremos que uma relac~ao de ordem  em

N

n _{e uma ordem}

monomial se satiszer a:

i. e uma ordem total, i.e., 8; 2

N

n_{; se}

6

= ent~ao   ou  

20 CAPTULO 2. DIVIS ~ AODE POLIN ^ OMIOS ii.  =) +  + ; 8; ; 2

N

n_;

iii.  e uma boa ordem, ou seja, todo subconjunto n~ao vazio de

N

n admite um

menor elemento.

Escolhida uma ordem , diremos naturalmente que um mon^omio x e maior

(resp. menor) que x, e escreveremos x  x (resp. x  x), se    (resp.

 ).

O leitor percebera que a condic~ao ii. acima e motivada pelo desejo de garantir que x  x  ₌ )x  x x  x _:

A condic~ao i. assegura que n~ao ha ambiguidade na escolha do maior mon^omio de uma colec~ao nita.

2.1.2 Denic~ao.

Fixada uma ordem monomialem

N

n_{, podemos escrever cada}

f 2K[x];f 6= 0 na forma f = cx ₊ X  cx _; comc 2K e c 6= 0. Denimos: TL(f) = cx;o termo lder de f; do_{f = ;o grau de f.}

Observemos que o grau do_{f e em geral um vetor com coordenadas inteiros n~ao}

negativos. Convencionaremos do₀₌ 1.

Escreveremos tambem TL(f) e d

o

(f) quando se zer necessario destacar a

ordem monomial empregada.

2.1.3 Denic~ao.

Denimos a ordem lexicograca em

N

n _declarando



LEX  se e somente se existe j

2f1;:::;ng tal que

j > j e k =k para cada k < j.

Em outras palavras, a primeira coordenada de que n~ao coincidir com a correspon-dente em  tem que ser maior.

2.1.4 Exemplos.

Temos, a. (2;3;0)  LEX(2;1;5). b. Note quex1 = x (1;0::::;0);:::;x n=x (0;:::;0;1). Assim segue, x1  LEXx 2  LEX :::  LEX xn:

Quando trabalharmos com poucas variaveis, vamos denota{las com frequ^enciax, y, z;::: ao inves de x1, x2, x3;::: Com isto, temos

2.1. ORDENAC ~ AO DE MON ^ OMIOS 21 c. xy LEX xz 2  LEX y 5z7  LEX z 13.

Antes de listar outros exemplos vamos caracterizar melhor a condic~ao iii. na de-nic~ao de ordem monomial.

2.1.5 Proposic~ao.

Uma ordem total  em

N

n e uma boa ordem se e somente

se toda sequ^encia decrescente (1   2 


) em

N

n _{estabiliza, i.e.,} 9n 0 tal que n ₌n0 8nn 0.

Demonstrac~ao.

Suponha que  n~ao e uma boa ordem. Ent~ao, existe A 

N

n_,

n~ao vazio, tal que A n~ao admite um menor elemento. Tome 1

2 A. Como A

n~ao admite elemento mnimo, podemos escolher um 2

2 A, tal que  1

  2.

Utilizando o mesmo raciocnio para 2, e assim sucessivamente, podemos encontrar

uma sequ^encia estritamente decrescente innita 1  2  3 


:

Reciprocamente, dada uma sequ^encia decrescente (1   2 


) em

N

n _tome A = f 1;2;:::

g. Por hipotese A admite um menor elemento. Logo, 9n

0 tal que

n ₌n0

8nn 0.

2

Vejamos em seguida que a ordem dos dicionarios e uma ordem monomial.

2.1.6 Proposic~ao.

A ordem lexicograca e uma ordem monomial.

Demonstrac~ao.

i. 

LEX e ordem total pois ao compararmos componente a

compo-nente e  2

N

n _{utilizamos a ordem> em}

_N

_{, que e total.}

ii. Suponha 

LEX , digamos, i =i, para i de 1 ate j 1, e j > j. Logo,

 + 

LEX  + , pois i+ i =i+ i, para i de 1 ate j 1, e j+ j > j + j.

iii. Suponha, por absurdo, que 

LEX n~ao e uma boa ordem. Ent~ao, pela prop.

2.1.5, existe uma sequ^encia innita estritamente decrescente 1  LEX  2  LEX  3  LEX

em

N

n_{. Mostraremos que isto e impossvel.}

Considere a sequ^encia (i

1) formada pela primeira componente. Ora, esta e uma

sequ^encia decrescente em

N

, logo estabiliza. Passando para a segunda componente, utilizando o mesmo raciocnio, vemos que esta tambem se estabiliza. Como i

admite um numero nito, xo de componentes, a sequ^encia i _{tem que estabilizar,}

o que e um contradic~ao. 2

2.1.7 Denic~ao.

Chamamos de grau total de um mon^omio, a soma dos graus de cada variavel, ou seja, o grau total dex e

1+

+n. Denotamos esta soma por jj=

P

22 CAPTULO 2. DIVIS ~

AODE POLIN ^ OMIOS

2.1.8 Denic~ao.

A ordem lexicograca graduadae denida por  LG  se e somente se jj>jjou jj=jje  LEX :

2.1.9 Exemplos.

a. (2;1;5)  LG (2;3;0), pois 2 + 1 + 5 > 2 + 3 + 0; b. x1  LG x 2  LG :::  LG xn. c. z13  LG y 5z7  LG z 12  LG xz 2  LG y 3  LG xy  LG xz  LG y 2.

2.1.10 Denic~ao.

A ordem lexicograca inversa graduadae denida por 

LIG  se e somente se

jj>jjou jj=jje

existej 2f1;:::;ng tal que k =k parak > j e j < j.

Note que agora o desempate quando jj = jje feito comparando as componentes

de e  da direita para a esquerda e declarando  

LIG  se a primeira coordenada

discrepante de  formaior que a correspondente em.

2.1.11 Exemplos.

a. (2;1;5)  LIG (2;3;0), pois 2 + 1 + 5 > 2 + 3 + 0; b. x1  LIG x 2  LIG :::  LIG xn. c. z13  LIG y 5z7  LIGz 12  LIG y 3  LIG xz 2  LIG xy  LIG y 2  LIG xz.

Note com o exemploabaixo que o termo lder e o grau de um polin^omiof 2K[x;y;z]

podem variar conforme a ordem monomial considerada. Tomando, f = 2x3 + 5x2 yzw2 + 3xy4 w teremos, TLLEX(f) = 2x3;

para o termo lder de f como relac~ao a ordem lexicograca, TLLG(f) = 5x2yzw2;

para o termo lder de f com a ordem lexicograca graduada, e TLLIG(f) = 3xy4w;

para a ordem lexicograca inversa graduada.

Apesar desta novidade com relac~ao ao caso de uma variavel, a seguinte proprie-dade continua valida.

2.2. DIVIS ~ AO EM V  ARIASVARI  AVEIS 23

2.1.12 Proposic~ao.

Sejam f;g2K[x] polin^omios n~ao nulos. Ent~ao temos:

i: do_{(fg) = d}o_{f + d}o_g;

ii: do_{(f + g)}max(dof;dog):

Se em ii: do_f 6=dog, ent~ao vale a igualdade.

Demonstrac~ao.

Faca a demonstrac~ao como exerccio. 2

Ha no Maple duas ordens monomiais pre-denidas, a plex que corresponde a

nossa LEX, e a tdeg, que e a nossa LIG.

Adotaremos, salvo menc~ao explcita em contrario, a

ordem

LG.

2.1.13 Exerccios

1.

Mostre que  +

N

n ₌

f + j 2

N

n

g e o conjunto dos expoentes de todos

mon^omios divisveis por x.

2.

Seja uma ordem monomial em

N

=f0;1;:::g. Seja m

0 o menor elemento de

N

com respeito a. Mostre quem

0 = 0. Seja agora m1 :=min(

N

nf0g). Quanto

valem1? Conclus~ao? (Sugest~ao: sem0

1, comparem

0;m0 1 com respeito a .)

3.

Verique que as ordens LG e LIG, s~ao ordens monomiais.

4.

Mostre que as ordens LG e LIG coincidem em

N

2.

5.

Escreva as sequ^encias de todos os mon^omios em 3 variaveis de grau total 3 ordenadas segundo cada uma das ordens 

LEX;  LG;  LIG.

6.

Sejam  1 ,  2 ordens monomiais em

N

r1;

N

r2. Dena uma relac~ao  1;2 em

N

r1 +r 2 =

N

r1 

N

r2 declarando, para c := (a;b);c

0 := (a0;b0) 2

N

r1 +r 2, c  1;2 c 0 se e so se a  1 a 0ou a = a0e b  2 b 0. Mostre que 

1;2 e uma ordem monomial, dita a

ordem produto. Mostre que 

LEX em

N

n+1 e a ordem produto da  LEX em

N

n _pela ordem natural em

N

.

2.2 Divis~ao em varias variaveis

Agora que sabemos escolher o termo lder de um polin^omio f de K[x], o proximo

passo e obter um algoritmo da divis~ao.

Lembramos que no caso de 1 variavel, para decidir se um dado g 2 K[t] se

expressa como combinac~ao de uma listaf1;:::;fm

2K[t], ou seja, se g pertence ao

ideal hf

1;:::;fm

i, e bastante vericar a divisibilidade porf = MDC(f

1;:::;fm).

No caso de varias variaveis sabemos que um ideal gerado por f1;:::; fm

2K[x]

24 CAPTULO 2. DIVIS ~

AODE POLIN ^ OMIOS

Isto motiva o objetivo desta sec~ao. Dadosf;f1;:::;fm

2K[x] discutiremos como

encontrar uma express~ao para f na forma, f = q1f1+

+qmfm+r;

comq1;:::;qm;r

2 K[x], onde os qi's podem ser imaginados como \quocientes " e

r deve ser um polin^omio \mais simples" ou \resto".

A caracterizac~ao do resto na divis~ao de polin^omios em 1 variavel, que de fato serve como sinalizador de m do algoritmo, e a exig^encia de ter grau menor do que o dividendo. Em termos da (essencialmente unica!) ordem monomial emK[t] (veja o exc. 2.1.13{2), essa condic~ao eequivalentea exigirque na express~aof = qg+r 2K[t]

tenhamos TL(g)  TL(r). Lembramos ainda que em cada passo do algoritmo,

impunhamos a simplicac~aodo termolder do resto parcial (ou dividendo atualizado) subtraindo um multiplo adequado do divisorg.

Temos ja as pistas necessarias ao procedimento em varias variaveis. Comecamos por xar uma ordem monomial, digamos LG (lexicograca graduada). Tomemos um exemplo pratico para xar as ideias:

dividir f = x2y + xy + yz + z, por f

1 =xy + x e f2 =yz + 1.

Para visualizar melhor o processo, utilizamos uma generalizac~ao da disposic~ao gra-ca que aprendemos no 1o grau:

f = x2y + xy + yz + z j f 1 =xy + x j f 2 =yz + 1 q1=? q2=? r =?

Iniciamos a divis~ao simplicando, se possvel, o termo lder def, TL(f) = x2y, pelo

termo lder, xy, de f1. A ordem em que aparecem os fi's e importante! Ou seja,

subtraimos de f o produto de f1 por x = TL(f)=TL(f1), obtendo assim o novo

dividendo, f0:=f f 1
TL(f)=TL(f 1) =f (x 2y + x2): x2y +xy +yz +z j xy + x (x2y +x2) j yz + 1 x2 +xy +yz +z q 1 =x q2 =? r =?

Repetimos agora o processo com f0 := x2 +xy + yz + z. Note que TL(f 1) n~ao

divideTL(f0). Passamos a dividi-lo por TL(f

2), o que tambem n~ao e possvel. Da

jogamos x2 em r. Continuamos, tomando agora f0 := xy + yz + z como novo

dividendo. Dividimos o termo lder xy pelo termo lder de f1, obtendo a constante

1. Fazemos a simplicac~ao, pondo f00 :=

f0 TL(f 0)

TL(f1)f 1:

2.3. ALGORITMO DA DIVIS ~

AO 25

Obtemosf00 =yz x+z. Agora TL(f00) n~ao e divisvel porTL(f

1) e assim passamos

a dividir por f2. Obtemos nalmente x + z 1 em que nenhum dos termos pode

ser dividido pelo termo lder de f1 nem de f2. Deslocamo{lo para o resto. Veja

abaixo a sequ^encia completa da divis~ao. x2y +xy + yz + z j xy + x (x2y +x2) j yz + 1 x2 +xy + yz + z q 1 =x + 1 x2 !r q 2 = 1 xy + yz + z r = x2 x + z 1 (xy + x) yz x+z (yz + 1) x+z 1!r

Portanto, podemos escreverf da seguinte maneira:

f = q1 f1 + q2 f2 +r

x2y+xy+yz+z = (x+1)(xy+x)+(yz+1)+( x2 x+z 1):

2.2.1 Exerccios

1.

Dividaf por f2 e f1, os mesmos polin^omios iniciais, apenas mudando a ordem.

2.

Idem, mudando a ordem monomial para LEX ou LIG.

2.3 Algoritmo da divis~ao

O processo de divis~ao, apesar de facil, pode ser bem cansativo e n~ao e raro se cometer algum errinho no meio de tantas contas. Portanto e do nosso interesse fazer um programa para que um computador se ocupe dessas contas macantes.

Apresentamos em seguida um procedimento que denominamos por div, em

Maple, que fornece a divis~ao de um polin^omio f, pelos polin^omios f1;:::;fm, em

K[x1;:::;xn]. Os comentarios s~ao indicados e precedidios por # em cada linha. Os

dados de entrada s~ao o polin^omiof e a lista de polin^omiosF:=[f1,...,fm].

Supo-remos a ordem monomial escolhida pelo sistema, bem como ja denido previamente um procedimento para o calculo do termo lderTL(f). A sada ou retorno e a lista

de polin^omios quocientes,[q1,...,qm]e o polin^omio resto,r. div := proc(f,F)

#div recebe os dados de entrada:f,F local s, q, r, i;

26 CAPTULO 2. DIVIS ~

AODE POLIN ^ OMIOS s:= nops(F);#numero de elementos na lista F

q:= array(1..s);

#vetor a ser preenchido com os quocientes for i to s do q[i]:=0 od:

#loop de inicializacao

p:= f; #valor inicial dos dividendos sucessivos while(p<>0) do

#loop principal, repetido enquanto p<>0 i:=1; #contador para os divisores F[i] houvedivisao:=false;

#variavel booleana que sinaliza fim do #proximo loop

while (i<=s and houvedivisao=false) do

if TL(F[i])<>0 and type(TL(p)/TL(F[i]),polynom) then #verifica divisibilidade

q[i]:= q[i] + TL(p)/TL(F[i]); p:= p-(TL(p)/TL(F[i]))*F[i]; #atualizados quocientes e dividendo houvedivisao:=true;

#sinaliza volta ao loop principal else

i:= i+1;

fi; #fecha o `if` acima od; #fecha o `while` if houvedivisao=false then

#desloca para o resto um termo nao divisivel r:= r+TL(p); p:= p-TL(p); fi; od; RETURN(q,r); end:

Poderamos ser induzidos a pensar que uma condic~ao necessaria para que um po-lin^omio g pertenca ao ideal I = hf

1;:::;fm

i, e que o resto r da divis~ao de g por

f1;:::;fm seja nulo. Veja no entanto o exc. 2.3.4{2. Uma discuss~ao mais completa

deste problema sera adiada para o proximo captulo quando estudarmos as bases de Grobner e o algoritmo de Buchberger.

2.3.1 Denic~ao.

Dizemos que o polin^omiof ereduzido modulo uma lista de poli-n^omios g1;:::;gs, se f e combinac~ao linear de mon^omios que n~ao s~ao divisveis por

nenhum dosTL(g1);:::;TL(gs). Mais geralmente, dizemos quef ereduzido modulo

GK[x], se nenhum dos termos def e divisvel por TL(g), para qualquer g2G.

2.3. ALGORITMO DA DIVIS ~

AO 27

2.3.2 Proposic~ao.

Fixe uma ordem monomial  em

N

n _{e seja F = [f}

1;:::;fs]

uma lista de polin^omios em K[x]. Ent~ao qualquer f em K[x] pode ser escrito como

f = q1f1+

+qsfs+r

onde os qi's e r est~ao em K[x]; do(qifi)dof e r e reduzido modulo F.

Demonstrac~ao.

Examinando o \loop"

while p<>0 do

...

od

no algoritmo da divis~ao, notamos que podem ocorrer duas situac~oes:

i: Se algum TL(fi) divide TL(p), ent~ao atualizamos o valor de p e de qi (note

que a condic~ao sobre do_{(qifi) e satisfeita);}

ii: Se nenhum TL(fi) divide TL(p), ent~ao atualizamos o valor de p e de r.

Para vericar que o algoritmo funciona, devemos mostrar que I. a igualdade

f = q1f1+

+qsfs+r

vale a cada nova iterac~ao,

II. r e reduzido modulo a lista dos fi's e, nalmente,

III. o algoritmo para!

As duas primeiras vericac~oes s~ao faceis e deixamos para o leitor. Ocupemo-nos de (III).

Note que a condic~ao de nalizac~ao do algoritmo e p=0. Ora, a cada iterac~ao,

ou bem o grau de p diminui ou obtemos p = 0. Ou seja, chamando de p0 o valor

atualizado dep (quer seja pelo passo i ou pelo passo ii) temos, do_pdop

0:

Suponha agora que o algoritmo nunca termina. Assim obtemos uma sequ^encia innita estritamente decrescente de elementos de

N

n_{, o que e um absurdo pela}

proposic~ao 2.1.5. 2

2.3.3 Denic~ao.

SejamF := [f1;:::;fm];f;r como na prop. acima. Escreveremos

r = fF

para indicar quer e o resto da divis~ao de f por F e diremos que r e a reduc~ao def mod. F.

28 CAPTULO 2. DIVIS ~ AODE POLIN ^ OMIOS

2.3.4 Exerccios

1.

Divida f = x3 x2+xy2 xy + z3 z2 por F = [x2 z;xy z;z2+ 1], com

relac~ao as ordens LEX e LIG.

2.

Dividaf = x + yx por F =fxy

2+ 1;x2y x

g(escolha a ordem) e observe que

r 6= 0. Note que f pode ser escrito como f = x(xy

2+ 1) y(x2y x), ou seja,

f 2hxy

2+ 1;x2y x

i, embora ao dividi-lo, tenhamos obtido o resto n~ao nulo.

Captulo 3

Bases de Grobner

3.1 Ideais monomiais

Os ideais apresentados nesta sec~ao desempenham papel fundamental. Alem da sim-plicidade de sua descric~ao, eles representam (num sentido que se pode explicitar rigorosamente) todas as famlias \completas" de ideais.

Um exemplo simples e sugestivo para o leitor re etir e dado por

I=hxy z;z i:

A famlia de hiperboles tem como \limite" o par de retas xy = 0 no plano z = 0, correspondente ao idealI

0 =

hxy;zi. Note que este e gerado por mon^omios.

Um sonho ou projeto parcialmente frustrado mas intensamente perseguido e o de se procurar entender propriedades do conjunto das soluc~oes de um sistema de equac~oes polinomiais \generico" atraves do estudo de um sistema especial, mais simples,e.g., formado so por mon^omios, obtido por variac~ao contnua dos coecien-tes.

3.1.1 Denic~ao.

Dizemos que um ideal deK[x] e umideal monomialse for gerado

por algum conjunto de mon^omios. Em smbolos,I K[x] e um ideal monomial se

existir um subconjunto M 

N

n _{de expoentes tal que}

I :=hxj 2Mi:

Note que, embora M possa ser innito, cada elemento f 2 I se escreve na forma

f =P

2Mh

x, onde apenas um numero nito (que depende def) de coecientes

h 2K[x] s~ao n~ao nulos. Veremos mais adiante que todo ideal de K[x] admite um

conjunto nito de geradores.

3.1.2 Exemplo.

hx

2y3;x3y2;x4y

iK[x;y].

Como se depreende dos exemplos acima, em geral o conjunto dos zeros de um ideal monomial e uma uni~ao de subespacos coordenados.

30 CAPTULO 3. BASES DE GR 

OBNER

O que pode ser uma surpresa e o fato de que certos invariantes discretos asso-ciados a uma variedade algebrica arbitraria (e.g., a dimens~ao e o grau) podem ser efetivamente calculados atraves do estudo de um ideal monomial associado (grosso modo pelo processo \limite" ilustrado por I no incio deste captulo). Voltaremos

a este tema no cap. 5.

E claro que nem todo elemento de um ideal monomial tem que ser um mon^omio! No entanto, os mon^omios pertencentes a um ideal monomial podem ser caracteriza-dos como segue.

3.1.3 Proposic~ao.

Seja M 

N

n_{. Ent~ao}

x pertence a I :=hxj 2Mi

se, e somente se, existe 2M tal que x e divisvel por x.

Demonstrac~ao.

Sexfor multiplo de algumx, e claro quex pertence aI. Agora

suponha quex pertence a I. Ent~ao temosx = P

ti=1hi

xi, com oshi's emK[x]

e osi's2M. Expandindo cada hi como combinac~ao linear de mon^omios, podemos

reescrever a igualdade acima como combinac~ao linear de mon^omios distintos,

x =

u

X

j=1

cjxj

com coecientes constantes cj 2 K e cada mon^omio xj sendo multiplo de algum xj, com j 2 M. Ora, por denic~ao de igualdade de polin^omios, nesta ultima

relac~ao o lado direito contem so um termo, ou seja,u = 1;c1 = 1 e 1 =.

2

3.1.4 Exerccios

1.

SejaDn K[x;y] o conjunto dos polin^omios cujas derivadas parciais ate ordem

n s~ao nulas para x = y = 0. Mostre que Dn e um ideal monomial.

2.

Seja f 2 K[x] e I  K[x] um ideal monomial. Mostre que f 2 I se e so se

cada termo de f pertence a I.

3.

SejamI;J ideais monomiais de K[x].

1. Mostre queI J se e somente se o conjunto dos mon^omios deIe subconjunto

deJ.

2. Mostre que I\J e monomial.

3. Encontre um conjunto nito de geradores para

hx

3y;xy2;x4 i\hx

3;xy;y2 i.

3.2. BASES DE GR 

OBNER 31

3.2 Bases de Grobner

Vamos associar a cada idealI K[x] um ideal monomial.

3.2.1 Denic~ao.

SejaS K[x]. Denimos o ideal dos termos lderes de S como hTL(S)i=hfTL(f)jf 2Sgi;

i.e., o ideal geradopelos termos lderes dos elementos de S.

3.2.2 Exemplos.

1) Seja I :=hfiK[x]. Lembrando que

TL(fg) = TL(f)TL(g);

vemos de imediato que, neste exemplo, valeTL(I) =hTL(f)i. Veja o exc. 3.2.5{4.

2) Seja I :=hx

2 y;x y

iK[x;y]. Note que hTL(x 2 y);TL(x y) i=hx 2;x i=hxi: No entanto, temos y2 y

2 I (verique!) cujo termo lder, y

2, n~ao esta em hxi.

Isto mostra que em geral hTL(I)i pode ser estritamente maior que hTL(G)i, onde

G denota um conjunto de geradores para I.

3.2.3 Denic~ao.

Seja I um ideal de K[x]. Dizemos que um subconjunto

nito

GI e umabase de Grobner para I se hTL(G)i=hTL(I)i.

A import^ancia das bases de Grobner pode comecar a ser apreciada em virtude do seguinte. Reveja a def. 2.3.3.

3.2.4 Proposic~ao.

SeGe uma base de Grobner paraI, ent~aof 2I se, e somente

se fG = 0.

Demonstrac~ao.

Seja f um elemento n~ao nulo em K[x]. Seja r = f

G _{o resto da}

divis~ao def por G. Como G I, ser = 0, temos f 2I.

Seja agora f 2 I e suponha seu resto na divis~ao, r 6= 0. Escrevamos f = P

mg2Ghgg + r. Como os g's est~ao em

I, segue r 2I. Portanto TL(r)2hTL(I)i= hTL(G)i. Logo r e divisvel pelo termo lder de algum elemento de G, o que e uma

contradic~ao pois tomamosr reduzido modulo G (veja 2.3.2). Portanto r = 0. 2

3.2.5 Exerccios

1.

Mostre que fx

3;y2

ge uma base de Grobner dehx

3 y2;x3+ 2y2 i.

2.

Mostre que todo ideal monomial gerado por um numero nito de polin^omios admite uma base de Grobner. (Veja em 3.3.1 que a restric~ao e articial.)

32 CAPTULO 3. BASES DE GR 

OBNER

3.

Mostre quefx;y 2

ge uma base deTL(hx

2 y;x y

i). Conclua que fx y;y 2

yge uma base de Grobner de hx

2 y;x y i.

4.

Mostre que TL(I) e principal se e somente se o ideal I K[x] o for.

5.

Mostre que uma base de Grobner dehy x

2;z x3

i com respeito a ordem LG

n~ao pode ser formada por menos de 3 elementos. No entanto,fy x

2;z x3

ge uma

base de Grobner com respeito a LEX se escolhermosz yx!

3.3 O teorema da base de Hilbert

Mostraremos que todo ideal de K[x] admite um conjunto nito de geradores.

Ini-ciamos pelo caso monomial.

3.3.1 Proposic~ao.

Seja I  K[x

1;:::;xn] um ideal monomial. Ent~ao

I

admi-te uma base nita i.e., existe um subconjunto nito de mon^omios F  I tal que I = hFi. Mais precisamente, tal conjunto nito pode ser extrado de qualquer

conjunto de mon^omios que gere I.

Demonstrac~ao.

Argumentaremos por induc~ao sobre o numero n de variaveis. O caso n = 1 e imediato (e segue tambem de 1.3.2). Para a etapa indutiva, destaque-mos uma nova variavel y e consideremos um ideal I  K[x

1;:::;xn][y]. Podemos

supor I 6=h0i. Assim, existef 1 =f  1( x)yd 1 2Inh0i, onde f  1( x)2K[x] denota um

mon^omio e d1 e mnimo com essas condic~oes estipuladas na escolha de f1. Agora

se I = hf 1 i, m. Sen~ao, escolhemos f 2 = f  2( x)yd 2 2 I nhf 1 i, onde novamente f 2( x)2K[x] denota um mon^omio e d

2e mnimo. Note que temosd2 d

1, sen~ao a

escolha de f1 teria sido mal feita. Se

I infringisse a condic~ao de nitude armada,

poderamos prosseguir na escolha de uma sequ^encia innita, f1;f2;:::, com cada

fm = f m(x)ydm 2 Inhf 1;:::;fm 1 i, onde f  m(x) 2 K[x] denota um mon^omio e dm e mnimo. Seja I 

 K[x] o ideal gerado pelos mon^omios f  1;:::;f



m:::. Pela

hipotese de induc~ao, existe N tal que I  = hf  1;:::;f  Ni. Em particular, teremos o mon^omio f N+1 2 I

, e portanto, divisvel por algum dos anteriores, digamos

f

N+1 =g
f



m, com 1 mN e g 2K[x]. Lembrando que na sequ^encia dos graus

tnhamosdm dm +1 


, podemos escrever fN+1=f  N+1y dN+1 =g
f  m
y dN+1 =gydN+1 dm(f  mydm); mostrando que fN+1 2hfmi hf 1;:::;fN i, contradic~ao.

Por m, seja M  I um conjunto de mon^omios tal que I = hMi e seja F = ff

1;:::;fN

gum conjunto nito de geradores de I. Desprezando alguns elementos

se necessario, podemos supor que nenhuma relac~ao de divisibilidade ocorre entre os elementos deF, i.e., fi =gfj com g 2K[x] =)fi =fj. Provaremos queF M.

Com efeito, temos f1 divisvel por algum g

2 M, digamos f

1 = gh para algum

3.3. OTEOREMA DA BASEDE HILBERT 33

f1. Pelo expurgo previo feito emF, segue que f1 =fi. Das relac~oesg = f1q = ghq

(lembrando que g;f1 s~ao mon^omios) se deduz queh = q = 1 e f1 =g

2M. 2

Podemos agora provar a exist^encia de bases de Grobner(3.2.3).

3.3.2 Corolario.

Seja I K[x] um ideal (n~ao necessariamente monomial).

Ent~ao I admite uma base de Grobner.

Demonstrac~ao.

Aplicando a prop. anterior ao ideal monomial gerado pelos termos lderes, hTL(I)i, o resultado segue imediatamente da denic~ao 3.2.3. 2

Temos ja o necessario para o celebre teorema da base de Hilbert.

3.3.3 Teorema.

Todo ideal I K[x] e nitamente gerado.

Demonstrac~ao.

Pela prop. 3.3.1, existem f1;:::;fN

2 I cujos termos lderes

geram o ideal TL(I) dos termos lderes dos elementos de I. Provaremos que I = hf

1;:::;fN

i. A igualdade so pode falhar pela exist^encia de algum f 2 I n hf

1;:::;fN

i. Neste caso, suponhamos f escolhido com grau mnimo. Ponha f  =

TL(f). Assim, f = f+termos de grau menor que dof = dof. Por outro lado,

temos f

2 TL(I) = hTL(f

1);:::;TL(fN)

i. Da segue uma relac~ao f

 = TL(f

i)g

para algum mon^omio g. Seja h = f gfi. E claro que h 2 I. Por outro lado,

h n~ao pode estar no ideal gerado pelos fj, do contrario f tambem estaria. Como

TL(fig) = TL(f), vemos que h = 0 ou seu grau e estritamente menor que dof,

contradizendo a minimalidade do infrator. 2

3.3.4 Corolario.

(ACC) Seja fIngn

1 uma cadeia ascendente de ideais em K[ x]

(i.e., I 1

 I 2




In


). Ent~ao existe N tal que In = IN 8n  N. Em outras

palavras, vale em K[x] a condic~ao de cadeia ascendente para ideais: toda cadeia

ascendente e estacionaria a partir de certa ordem.

Demonstrac~ao.

Seja I=I 1 S I 2 S

. O leitor deve ter vericado no exc. 1.3.3{4

que I e um ideal. Pelo teorema da base de Hilbert, I admite uma base nita, I = hf

1;:::;fN

i. Temos cada fi 2Ini para algum ni. Tomando n

0 = max fn 1;:::;nN g, temos todos os fi's2In 0. Da segue I  In 0 I, e portanto, I =In 0 = Im8m  n0: 2

3.3.5 Denic~ao.

Dizemos que um anel A e noetheriano se todo ideal de A e nitamente gerado. Veja o exc. 3.3.7{3 para caracterizac~oes de aneis noetherianos. Assim o teorema da base arma que o anel de polin^omios a coecientes num corpo e um anel noetheriano.

34 CAPTULO 3. BASES DE GR 

OBNER

3.3.6 Lema.

Seja B um anel e seja A um subanel. Suponha que existe v 2 B e

inteiro N 0 tal que todo b2B e da forma

b = X 0iN

aivi

com ai 2 A. Seja M A um ideal 6=A. Ent~ao o ideal MB de B gerado por M

tambem e6=B.

Demonstrac~ao.

Suponhamos, por absurdo, MB = B. Seguem{se relac~oes

vi ₌XN

j=0

mijvj; i = 0;:::;N ;mij 2M:

Reescrevendo em forma matricial, deduzimos (idN (mij))
w = 0, onde w

de-nota o vetor coluna com entradas 1;v;:::;vN _{e idN = matriz identidade.}

Multipli-cando a esquerda pela matriz adjunta (=transposta dos cofatores), resulta det(idN

(mij))w = 0. Ou seja, det(idN (mij))vk = 0; k = 1;:::;N. Temos em particular

det(idN (mij))
1 = 0. Desenvolvendo o determinante, obtemos uma express~ao da

forma 1  = 0 com  2M, o que e um absurdo. 2

3.3.7 Exerccios

1.

SejaA um anel noetheriano. Mostre que A[x] e noetheriano.

2.

SejaI A um ideal do anel noetheriano A. Mostre que A/I e noetheriano.

3.

Seja A um anel. Mostre que s~ao equivalentes: (1) A e noetheriano; (2) vale a condic~ao de cadeia ascendente para ideais de A; (3) toda colec~ao 6= ; de ideais de

A admite elemento maximal.

4.

Seja A um anel noetheriano e seja f(x)2 A[x] um polin^omio m^onico em uma

variavel a coecientes em A. Seja B := A[x]/hfi e seja ' : A!B o homomorsmo

natural, a7!a+hfi. Mostre que ' e injetivo. IdenticandoA com sua imagem em

B, mostre que AB satisfaz as hipoteses do lema 3.3.6.

3.4 O algoritmo de Buchberger

Vimos em 3.2.4 que para saber se um dado polin^omiof pertence a um idealI, basta

dividi-lo pelos elementos de uma base de Grobner de I. Se o resto da divis~ao for

zero, temos f 2 I, caso contrario f =2 I. Assegurada a exist^encia, resta a quest~ao

3.4. OALGORITMO DE BUCHBERGER 35

3.4.1 Denic~ao.

O S-polin^omio ou polin^omio sizigetico 1 de um par de

polin^o-mios n~ao nulos f;g2K[x] e denido por

S(f;g)def= MMC(TL(f);TL(g))
(f=TL(f) g=TL(g)):

Convencionamos que o MMC(ax;bx) coma;b 2K constantes, e o mesmo que o

MMC(x;x) =x , onde o vetor e dado por i = max(i;i).

E importante notar na denic~ao de S(f;g) o cancelamento forcado dos termos lderes de f e g.

Provaremos que uma base de Grobner para o ideal gerado por uma lista de polin^omios [f1;:::;fm] e produzida pela repetida adjunc~ao de S-polin^omios .

3.4.2 Exemplo.

Sejam p = 2x3y + xy2 e q = 3xy3 + 2xy. Temos TL(p) =

2x3y;TL(q) = 3xy3. Logo,

S(p;q) = x3y3
((2x 3y + xy2)=(2x3y) (3xy3+ 2xy)=(3xy3)) = 1 2xy 4 2 3x 3y

O lema seguinte nos ensina que os S-polin^omios s~ao, de certo modo, os maiores responsaveis por cancelamentos de termos lderes.

3.4.3 Lema.

Sejam p1;:::;pN

2K[x]polin^omios, todos com o mesmo grau . Se

existirem c1;:::;cN constantes tais que

do P

Ni=1cipi 

,

ent~ao existem constantes cjk tais que N

X

i=1

cipi =X

j;k cjkS(pj;pk):

Alem disso, temos do_S(pj;pk) 8j;k.

Demonstrac~ao.

Seja li 2 K o coeciente lder de pi. Como todos os pi's s~ao do

mesmo grau  e do P Ni=1cipi  , temos P Ni=1cili = 0. Seja p0 i =pi=li. Note que S(pj;pk) =p0 j p0 k. Podemos escrever P Ni=1cipi = c 1l1(p 0 1 p 0 2) + (c 1l1+c2l2)(p 0 2 p 0 3) +


+(PN 1 i=1 cili)(p 0 N 1 p 0 N) + (P Ni=1cili)p 0 N = PN 1 i=1 c 0 iS(pi;pi+1); onde c0 i=P ik=1cklk: Convenca-se de que S(pj;pk) =p0 j p0

k tem grau menor que. 2 1syzygy polynomial {Aurelio, socorro!

36 CAPTULO 3. BASES DE GR 

OBNER

3.4.4 Lema.

Sejam p;q 2 K[x], e sejam x e x mon^omios tais que do(xp) =

do₍xq). Ent~ao existe em

N

n_{, tal que} S(x _p; x _{q) =} x _S(p;q):

Demonstrac~ao.

Fica a cargo do leitor. 2

Temos o seguinte criterio de Buchberger.

3.4.5 Teorema.

Seja I um ideal polinomial. Ent~ao uma base G = fg

1;:::;gN g

de I e uma base de Grobner se, e somente se, para todo par p, q em G, temos

S(p;q)G= 0 (veja a def. 2.3.3).

Demonstrac~ao.

) Como S(p;q) 2 I 8 p;q 2 I, temos pela prop. 3.2.4 que

S(p;q)G= 0.

( Dado f 2 I, desejamos provar que TL(f) 2 hTL(g

1);:::;TL(gN)

i. Como I =hGi, existemc;g 2K, tais que f =

P

P

g2Gc;g xg.

Seja  = maxf + dog : c;g 6= 0g. Ponhamos

f:=

X

+dog=;g2G

c;gx

_g:

Assim,f = f+termos de menor grau. Por boa ordenac~ao podemos tomar mnimo

com esta propriedade, i.e., para qualquer express~ao de f na forma f =P P g2Gb;g xg, com b;g2K, temos maxf + dogjb;g6= 0g. Sedo_{(f) =, ent~ao d}o_{(f) =  e portanto TL(f) = TL(f)}2hTL(G)i.

Suponha por absurdo que do_f  . Ent~ao pelos 2 lemas acima existe uma

express~ao f =X j;k bj;k x jkS(g_j;g_k); combj;k 2K e  jk+doS(gj;gk).

Por hipotese,S(gj;gk)G= 0. Isto se traduz numa relac~ao

S(gj;gk) =X  X g2G a;gx _{g; com d}o_(a;gx _g) do(S(gj;gk)): Da segue x jkS(g_j;g_k) =X  X g2G a;gx + jkg comdo_(a;gx + jkg)

 do(x jkS(gj;gk)): (Verique a ultima desigualdade!)

Portanto f (e consequentemente tambemf) pode ser escrito como

f =X  X g2G c0 ;gx _g;

3.4. OALGORITMO DE BUCHBERGER 37

com cada termoc0

;gxg de grau. Isto e um absurdo pela minimalidade de . 2

Vejamos como essa caracterizac~ao de bases de Grobner pode servir para produzi-las de forma efetiva, descrevendo o

ALGORITMO DE BUCHBERGER:

SejaI =hf

1;:::;fm

ium ideal deK[x], apresentado por uma lista de geradores.

Como ponto de partida, facamos G =ff

1;:::;fm g.

O teorema 3.4.5 fornece um criterio para que G seja uma base de Grobner: para cada par fi,fj emG, calculamos S(fi;fj) e testamos se a reduc~ao S(fi;fj)G = 0.

Caso isto n~ao ocorra, declaramosfm+1 :=S(fi;fj)

G_{e acrescentamo-lo aG. Ou seja,}

redenimos G = ff

1;:::;fm;fm+1

g, e repetimos o processo de vericac~ao com este

novoG.

Que garantia temos de que o processo termina?

Note que o teste S(fi;fj)G 6= 0 para admiss~ao de novos elementos a G

signi-ca efetivamente que TL(S(fi;fj)G) 62 TL(G). Assim, cada novo membro de G

causa uma ampliac~ao do ideal TL(G). Mas o teorema da base de Hilbert probe o crescimento innito de ideais encaixados!

Vamos aplicar essas ideias no exemplo seguinte.

3.4.6 Exemplo.

Vamos construir uma base de Grobner para I =hx y;xy xi.

Fixemos a ordem 

LEX. Escrevemos g

1 = x y e g2 = xy x. Comecamos por

testar seG = fg 1;g2

ge uma base de Grobner. Calculamos o S-polin^omio de g 1 eg2,

S(g1;g2) = y

2+x. O proximo passo e dividi-lo por g

1;g2. Como o resto da divis~ao

y2+y = y

2+xG n~ao e zero, denotamo-lo porg

3 e conclumos que G, n~ao e base

de Grobner para I. AumentamosG para G =fg

1;g2;g3

g e recomecamos as contas.

O proximo passo seria calcularS(g1;g3)

G _{e S(g}

2;g3)

G_{. Ambos s~ao nulos! Logo G e}

uma base de Grobner.

Embora o exemplo acima talvez n~ao levante a suspeita, o algoritmo e explosivo! De fato, mostra{se que, no \pior" caso, ele e duplamente exponencial, no seguinte sentido. Se B(n;d) denota o grau maximo dos elementos de uma base de Grobner com respeito a LEX, para o ideal gerado por polin^omios emn variaveis e de graus d,

mostra{se que

B(n;d) ((n + 1)(d + 1) + 1)

2n(n+1)):

Ha evid^encias ([1]) de que a ordem LIG produz, \em media", bases de Grobner contendo polin^omios de grau total menor possvel. Mas, por exemplo, uma base de Grobner com respeito a LIG para o ideal gerado porxn+1 yzn 1w;xyn 1 zn;xnz

yn_{w contem z}n2

+1 yn 2

w.

Pelo lado mais otimista, registramos a constatac~ao pratica de que, em muitos casos interessantes, o algoritmo funciona melhor do que se deveria esperar. Citamos em particular, o pacote MACAULAY, desenvolvido por D. Bayer e M. Stillman (e

38 CAPTULO 3. BASES DE GR 

OBNER

com contribuic~oes de D. Eisenbud nas vers~oes mais recentes) que tem sido intensa-mente utilizado. Ele e de domnio publico, acessvel por ftp no endereco eletr^onico

math.harvard.edu login:ftp

password:qualquer cd Macaulay

3.4.7 Exerccios

1.

Prove que o algoritmo de Buchberger para o caso de polin^omios a uma variavel e \equivalente" ao algoritmo de Euclides para o calculo de MDC.

2.

Demonstre o lema 3.4.4

3.

Calcule uma base de Grobner parahx

3 yzw;xy z2;x2z y2w

icom respeito

a LIG.

4.

Calcule uma base de Grobner para hy x

2;z x3

i com respeito a cada uma

das ordens LEX, LG, LIG e as varias permutac~oes [x;y;z], [z;x;y]:::das variaveis.

5.

Dizemos que uma base de Grobner G e reduzida se gGg = g, 8g 2 G onde

Gg :=Gnfgg. Prove que todo idealI K[x] admite uma base de Grobner reduzida.

Dizemos que uma lista [g1;:::;gm] e uma base de Grobner ordenada sed

o_g

1






do_{gm, seus elementos formam uma base de Grobner e cada TL(gi) e um mon^omio}

(i.e., seu coeciente numerico vale 1). Prove que todo ideal I K[x] admite uma

e so uma base de Grobner reduzida e ordenada. (Sugest~ao: se G = fg

1;:::;gm g e

H = fh

1;:::;hn

g s~ao bases de Grobner reduzidas ent~ao fTL(g

1);:::;TL(gm) g = fTL(h

1);:::;TL(hn) g).

3.5 (In)Exist^encia e nitude das soluc~oes

O objetivo desta sec~ao e mostrar o seguinte criterio.

3.5.1 Teorema.

f1;:::;fm Seja K um corpo algebricamente fechado e sejam

f1:::fm

2K[x

1;:::;xn]. Ent~ao o sistema de equac~oes

f1 =

=fm = 0

admite no maximo um numero nito de soluc~oes emKn _{(resp. e incompatvel) se e}

somente se o idealTL(I)dos termos lderes deI :=hf

1;:::;fm

icom respeito aLEX

contem uma pot^encia de cada variavel, i.e.,9N tal que xNi 2TL(I);8 i = 1;:::;n

(resp. 12I).

Demonstrac~ao.

Podemos supor, sem perda de generalidade, as variaveis ordenadas de forma que x1




 xn. Se tivermos cada xNi 2 TL(I), note em particular

3.5. (IN)EXIST ^

ENCIAE FINITUDEDAS SOLUC ~

OES 39

termo de gn ocorre outra variavel. Ou seja, gn e um polin^omio so na variavel xn.

Portanto, o numero de valores permissveispara a ultima coordenada de uma soluc~ao do sistema e limitado pelo grau de gn. Seja agora gn 1

2 I tal que TL(gn 1) =

xNn 1. Por um argumento analogo ao anterior, segue que em gn

1 ocorrem apenas

as variaveisxn;xn 1. Em outras palavras,gn 1 pode ser escrito como um polin^omio

em xn 1 a coecientes em K[xn]. Isto evidentemente limita o numero de pares

a;b 2 K tais que gn(b) = gn

1(a;b) = 0. Prosseguindo, obtemos g1;:::;gn 2 I

tal que em cada gi ocorrem apenas as variaveis xi;:::;xn. Lembrando que cada gi

e combinac~ao dos fj, vemos que qualquer soluc~ao do sistema original e soluc~ao do

sistema \triangular" 8 > > > > < > > > > : g1(x1;x2;:::;xn) = 0 g2(x2;:::;xn) = 0 ... gn(xn) = 0:

Pelo argumento acima exposto, este ultimo sistema so admite um numero nito de soluc~oes.

Reciprocamente, se o conjunto de soluc~oes do sistema dado e nito, os possveis valores para a i esima coordenada s~ao as razes de um polin^omio da forma hi :=

Q

j(xi cij) = xiNi +


, com os cij 2 K. Pelo teorema dos zeros de Hilbert (veja

4.2.4), conclumos primeiro que alguma pot^encia de hi cai em I e portanto, alguma

pot^encia de xi 2TL(I).

Por m, observemos que o teorema dos zeros garante que o sistemae incompatvel

se e somente se 12I 2

3.5.2 Exemplo.

Vamos vericar se o sistema

8 > < > : x2+y2+z2 = 1 x2 2y2 +z2 = 0 x2 2y2+ 3z2 = 1:

admite um numero nito de soluc~oes. Calculamos sucessivamente S(x2+y2+z2 1;x2 2y2+z2) = 3y2 1

S(x2+y2+z2 1;x2 2y2+ 3z2 1) = 3y2 2z2

donde se depreende facilmente que y2;z2;x2 pertencem ao ideal dos termos lderes.

Logo, o numero de soluc~oes e nito.

3.5.3 Exerccios

1.

Verique a nitude do numero de soluc~oes para cada um dos sistemas: 1.

(

x2 +y2= 1

40 CAPTULO 3. BASES DE GR  OBNER 2. 8 > < > : z2(x2+y2) =x4+y4; 2xz2= 4x3 2yz2 = 4y3: 3. ( 111x2 140y2+ 196 + 39y2x2+ 25y4+ 15x4 = 0; 222x + 78xy2+ 60x3 = 0:

2.

Mostre que o teorema da nitude 3.5.1 continua valido substituindo LEX por uma ordem monomial arbitraria. (Sugest~ao: se 9 N tal que xNi 2 TL(I); 8 i =

1;:::;n, mostre que K[x1;:::;xn]/

I e um espaco vetorial de dimens~ao nita.

Con-clua que existemp1(x1);:::;pn(xn) n~ao nulos em

I. Compare com a prova de 5.2.1.)

3.

Sejaf(x;y)2K[x;y] um polin^omio de grau total d1. Mostre que existe uma

mudanca de variaveis da forma (x;y)7!(x+ay;y) tal que se ~f(x;y) := f(x+ay;y)

ent~ao seu termo lder com respeito a LG e multiplo de yd_{. Aplique o algoritmo da}

divis~ao para concluir que se f;g 2 K[x;y] s~ao polin^omios primos relativos ent~ao o

sistema f = g = 0 so admite um numero nito de soluc~oes.

4.

Lembre de seu curso de Calculo o metodo de multiplicadores de Lagrange para a determinac~ao de maximos e mnimos locais de uma func~ao f(x;y) restrita a uma curva g(x;y) = 0: uma condic~ao necessaria e que os gradientes sejam proporcionais. Isto se traduz no sistema 8

> > > > < > > > > : @f @x =t@g@x @f @y =t@g@y g(x;y) = 0 Aplique o metodo para achar os pontos crticos de

1. f(x;y) = xy sobre a curva x2+ 3y2= 1.

2. f(x;y;z) = xy z2 sobre a superfciex2 + 3y2+ 4z2 = 1.

(Usando Maple para esta ultima:

> with(grobner): > f:=x*y-z^2:g:=x^2+3*y^2+4*z^2-1: > gbasis({diff(f,x)-t*diff(g,x), diff(f,y)-t*diff(g,y),diff(f,z)-t*diff(g,z),g}, [t,x,y,z],plex); [z^2-y*x+t,2*x^2+4*z^2-1,z*x,6*y^2+4*z^2-1,y*z,4*z^3-z] )