LISTA DE EXERCÍCIOS DE LIMITE E DERIVADA
Questão 01 Um tanque está completamente cheio com 200 litros de água. Então abri-se uma torneira, cuja vazão é de 20 litros por minuto. O proprietário desejando saber qual seria o volume do tanque em 5 minutos após ter aberto a torneira, fez os seguintes cálculos.
I) Obteve um modelo matemático que relaciona o volume V em litros e o tempo (t) em minutos, obtendo: V t( )20t200
II) Obteve um modelo matemático que relaciona o volume V em litros e o tempo (t) em minutos, obtendo: V t( )200 20 t
III) O proprietário concluiu que após 5 minutos o tanque estará com a metade de seu volume. IV) Considerando que a função V t( )é contínua em t = 10, o proprietário concluiu que após 10 minutos o tanque estará completamente vazio,
10
lim ( ) 0 t V t Usando seus conhecimentos, julgue os itens a seguir: a) I e II estão corretos
b) I e III estão corretos c) I e IV estão corretos d) II, III e IV estão corretos e) nenhum dos itens estão corretos
Questão 02 No cálculo de limite de função é possível analisar o comportamento da função em um determinado intervalo nas proximidades de um valor c. Usando as propriedades de
limite e fatoração de função determinou-se o
2 2 3 3 lim x c x c x c , obtendo um resultado apresentado a seguir. Usando seus conhecimentos indique o resultado correto.
a) 2 2 3 3 2 lim 3 x c x c x c c b) 2 2 3 3 2 lim 3 x c x c x c c) 2 2 3 3 3 lim 2 x c x c x c c d) 2 2 3 3 2 lim x c x c x c c e) 2 2 3 3 3 lim x c x c x c c
Questão 03
Sabe-se que uma função pode ser representada geometricamente através de seu gráfico e que o limite de função é uma ferramenta do cálculo que permite analisar o comportamento de uma função.
Em certa questão de uma prova de cálculo foi apresentado o seguinte gráfico:
A respeito de tal gráfico um aluno tirou as seguintes conclusões:
I) O gráfico representa uma função cujo domínio é [ -6, 9]
II) O gráfico representa uma função contínua em x = 2, pois o
2
lim ( )
x f x = 3 e f(2) = 3
III) f(-2) = f(7)
Use seus conhecimentos de cálculo e julgue cada conclusão do aluno, marcando a alternativa correta:
a) I e II estão corretos b) I e III estão corretos c) II e III estão corretos d) I,II e III estão corretos e) nenhum dos itens estão corretos
Questão 04 No cálculo do limite de f(x), quando x tende a 4, são feitas as seguintes considerações:
2 4 16 lim 4 x x x . I) 0 0 4 16 lim 2 4 x x
x Indeterminação, onde substituição direta anula o denominador e o
numerador, e a função é indefinida neste ponto.
II) Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,
4 8 ) 4 ( lim ) 4 ( ) 4 )( 4 ( lim 4 4 x x y x x x x x
III) Em f
x x4, o ponto
4,8
deve ser excluído do gráfico, pois x 4, pois o domínio de f
x é: D:
x/
,4
4,
e tem como imagem
/ ,8 8,
: y I . IV) A função é contínua em x = 4.Usando seus conhecimentos, julgue os itens a seguir: a) I, II e IV estão corretos
b) I, III e IV estão corretos c) II e IV estão corretos d) I,II e III estão corretos e) nenhum dos itens está correto
QUESTÃO 05
A funçãodeproduçãodeumcertobememrelaçãoàquantidadedematériaprima,em
quilogramas,édadapor:
Deseja-se saber qual é a produção quando se tem 3 quilogramas de matéria prima. Diante de tal situação foram propostas as seguintes afirmativas:
I) Tem que analisar o comportamento da função nas proximidades de x = 3, usando conceitos de limites.
II) P(x) não está definida para x =3, então
III) Tem que fatorar o numerador para fugir da indeterminação IV) A produção para 3 Kg de matéria prima é de 6 unidades Estão corretas as afirmativas:
a) I, II e III b) I e III c) I, III e IV d) II, III e) IV Y X 4 4 4 8 2 9 ( ) 3 x P x x 2 4 9 lim 3 x x não existe x
Questão 06 Vimos que a modelagem matemática é uma aplicação direta de função e que o limite de função é uma ferramenta do cálculo que permite analisar o comportamento de uma função. Analise o gráfico a seguir:
I) A função está definida em x = -1 II) O valor da função f( 1) 3 III) O
1
lim ( )
x f x não existe, pois
1 1 ( ) ( ) 1
lim
lim
x x f x f x IV) A função é modelada por f(x) =
2
2 3
x x
V) A função é modelada por f(x) =3x
2
- 4x + 1
As alternativas corretas são:
a) I e II b) I e III c) II e III d) III e IV e) I e IV
QUESTÃO 07
Numa cidade observa que a despesa de uma família com TV a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem TV e esta quantidade, em centenas de reais, é
modelada por: 0 0 20 ( ) 0,1 20 100 40 1000 100 2 100 se t P t t se t t se t t
QUESTÃO 08
Uma barra de ferro com temperatura inicial de -10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência.
Analisando as informações dadas, julgue os itens a seguir:
a) A lei de formação que modele a experiência é:
f(t) = 8t -10
b) A temperatura da barra atingiu 0°C, para 5 4 t . c) o 0 5 lim ( ) 4 t f t d) a função é descontínua em t = 0
A opção que apresenta as características corretas acerca da função são: I) a e b. II) a e c . III) b e c. IV) c e d. V) a e d
Questão 09 No estudo de limites de funções observamos a importância de se estudar o comportamento de uma função nas proximidades de um determinado valor e os
benefícios que isto poderá trazer. No plano de coordenadas cartesianas xoy abaixo, está representado o gráfico de uma
função y = f(x).
A partir das informações gráficas, julgue os ítens a seguir:
I) A função y é uma função modular cuja lei de formação é y = |x|; II) O 0 lim ( ) x f x existe, pois, 0 0 ( ) ( ) 0
lim
lim
x x f x f x III) A função é descontínua em xo= 0.
IV) O valor da função f(0)0
Escolha a opção que apresenta as características corretas acerca da função e justifique a resposta:
a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV
QUESTÃO 10
Calcule limite de f(x) em x = 0, sendo f(x) =
QUESTÃO 11
Ache o limite se existir: a)
lim
2 2 x x b) 2lim
x a x c) 9 3 2 3lim
x x x d)lim
2 1 2 / 1 x x e) 3 2 2 3 5lim
x x x f) 2 2 2 4lim
x x x QUESTÃO 12
Ao estudar limite de função vimos que as vezes, não podemos obter o limite
diretamente, mas talvez seja possível obtê-lo indiretamente, quando uma função está limitada o limite é um número. Diante dos conceitos adquiridos julgue os itens a seguir:
I) Uma função f(x) terá limite quando x se aproximar de c, se e somente se, tiver um limite lateral à esquerda e um limite lateral à direita e os dois limites laterais forem iguais.
II) Para o cálculo do limite de qualquer função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “c”) na expressão da função f(x).
III) No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que o limite não existe.
IV) No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que o limite poderá existir.
Estão corretas as alternativas:
a) I e II b) I e III c) II e III d) III e IV e) I e IV
QUESTÃO 13
Vimos que a modelagem matemática é uma aplicação direta de função. Em geral os custos de produção diminuem quando aumentam a produção. Suponha que uma empresa que comercializa adubos tem a seguinte função custo:
2 2 1, 1 ( ) 2 , 1 x se x f x x x se x
A respeito de tal função custo, foram feitas as seguintes afirmações: I) A função está definida em x = 1 e o valor da função f(1)3
II) A função é contínua em x = 1
III) A função está definida em x = 1 e o valor da função f(1)2 IV) O
1
lim ( )
x f x não existe, pois
1 1 ( ) ( )
lim
lim
x x f x f x Escolha a opção que apresenta as características corretas acerca da função. a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV.
QUESTÃO 14
Vimos que a modelagem matemática é uma aplicação direta de função. Suponha que uma empresa que fabrica um determinado produto teve um gasto fixo de 1000,00 mais um custo variável de 20,00 na fabricação de até 50 unidades. Quando a produção supera 50 unidades, o valor fixo muda para 1500,00, mas o custo por unidade cai para 10,00. A respeito das informações acima, propôs-se uma função custo. Usando seus conhecimentos, analise os itens a seguir:
I) Tal função custo é: ( ) 50 1000, 50
50 1500, 50 x se x f x x se x
II) Tal função custo é: ( ) 20 1000, 50
10 1500, 50 x se x f x x se x
III) A função não está definida em x = 50, pois o valor da função em x =50 não existe; IV) A função está definida em x = 50, o
50
lim ( )
x f x existe e a função é contínua em x = 50;
V) O
50
lim ( )
x f x não existe, pois
50 50 ( ) ( )
lim
lim
x x f x f x .As alternativas correta são:
a) I, II e V. b) I, III e V. c) II e III. d) II e IV. e) III e V.
QUESTÃO 15
Ache o limite se existir:
3 0 )
lim
x a x 3 2 2 4) lim
x x xb
c
) lim
x1/2 (2x1) 4 2 2 )lim
( 2) x d x x e) 0 lim 5 xDERIVADAS
QUESTÃO 16
Engenheiros Agrônomos, verificaram que, em uma indústria de adubos, o número de unidades (em toneladas), produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por: 2 50( ), 0 4 ( ) 200( 1), 4 8 t t para t f t t para t
Analise as seguintes afirmações:
I) A razão de produção (em unidades por hora) após 10 horas de trabalho é 3500 II) A razão de produção (em unidades por hora) após 12 horas de trabalho é 35000 III) A razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho é 350 IV) A razão de produção (em unidades por hora) após 7 horas de trabalho é 200 É correto afirmar que:
a) I e II estão corretas b) I e III estão corretas c) I e IV estão corretas d) II e III estão corretas e) III e IV estão corretas
QUESTÃO 17
Sabe-se que o crescimento populacional de certa espécie em extinção em um determinado habitat é dado por f x( )(x65) em x anos. Biólogos e Agrônomos, observaram que há uma variação no crescimento populacional da espécie. Para saber a taxa de variação de seres existentes daqui a 3 anos, é necessário fazer o seguinte:
I) Derivar a função e encontrar o valor f´(3) = 2538
II) Fazer o gráfico da função no intervalo [0,3]
IV) Derivar a função e encontrar o valor f´(3) = 1458
Nestas condições:
a) O item I está correto
b) Os itens I e I I estão corretos
c) O item III está correto
d) O item IV está correto
e) Os itens III e IV estão corretos
QUESTÃO 18 Um empresário constatou que o lucro mensal em sua empresa é modelado pela função: f(x) = 1000 3
(x 2). Interessado em estimar a variação do lucro nos três primeiros meses do ano o empresário contratou então um Engenheiro que lhe deu um resultado satisfatório. Pode-se dizer que o resultado apresentado pelo engenheiro é:
a) 27000,00 reais b) 17000,00 reais c) 15000,23 reais d) 18000,00 reais e) 50000,00 reais QUESTÃO 19
Um quadrado de lado l está se expandindo e sua área em função do tempo é dada por:
2
( ) 2
A t t pode-se dizer que a taxa de variação da área de tal quadrado num instante t =20s. é dada por:
a) 40 unid. área/unid. tempo
b) 84 unid. área/unid. tempo c) 38 unid. área/unid. tempo d) 83 unid. área/unid. tempo e) 34 unid. área/unid. tempo QUESTÃO 20
Em um determinado mês, um Lojista vendeu x unidades de um produto, cujo lucro é dado pela função: L(x) = x22. Se no mês seguinte as vendas deste produto aumentar em 20 unidades, o lucro marginal será em reais:
b) 40 reais c) 34 reais d) 44 reais e) 63 reais QUESTÃO 21
A fim de estudar a forma como o organismo humano metaboliza o cálcio, um médico injetou no sangue de um paciente voluntário uma amostra de cálcio quimicamente marcado com o intuito de medir a rapidez com que tal produto é removido do sangue. Admitindo que a função:
Q(t) = 2 – 0,06t + 0,03t2 – 0,01t3
forneça a quantidade de cálcio (em mg) que permanece na corrente sanguínea após t horas, podemos afirmar que a taxa segundo a qual o cálcio está sendo eliminado da corrente sanguínea, 2 horas após ter sido ministrado é:
a) 0,04 mg por hora. b) - 0,06 mg por hora. c) - 0,08 mg por hora. d) 0,10 mg por hora. e) - 0,12 mg por hora. QUESTÃO 22 O número de litros de gasolina em um reservatório, t horas depois de iniciar seu esvaziamento é dado pela equação V(t) = 200(30 – t2). A taxa segundo a qual a gasolina está saindo ao fim de 10 horas é:
a) 5800 litros/hora. b) –9 000 litros/hora. c) 2000 litros/hora. d) –10 000 litros/hora. e) nda.
