MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas
Departamento de Engenharia de Minas
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral – PPGEM
ANÁLISE NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE ADENSAMENTO UNIDIMENSIONAL NÃO LINEAR ATRAVÉS DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Autor: RONALD DANTAS PEREIRA Orientadora: Profa. Dra. CHRISTIANNE DE LYRA NOGUEIRA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia de Minas da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral. Área de concentração: Lavra de Minas Ouro Preto/MG Dezembro de 2017
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Dedico esta dissertação à minha amada família, em especial à minha avó Otília pelos 90 anos de puro amor, fé e enormes ensinamentos.
Agradecimentos
Agradeço a Deus por ter me dado forças, necessárias para que eu não desistisse, nos momentos mais difíceis.
À minha família espetacular por todo amor, companheirismo e apoio: meus pais – José Geraldo e Maria Célia; meus irmãos e suas esposas – Rafael, Graziela Braga, Rodrigo e Graziela Ribeiro; meus sobrinhos – Pedro, Rafaela, João e Anabella; meus tios e primos.
À minha orientadora, Christianne Nogueira de Lyra, por todas as contribuições técnicas neste trabalho e não menos importante, pela sua paciência e enorme dedicação ao ensino.
A todos os professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral (PPGEM) e à Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) por todo apoio e suporte técnico.
À CAPES pelo apoio financeiro.
Aos amigos do mestrado, em especial, Karla, Leandro e Pedro Campos, por todas as discussões em trabalhos e estudos acadêmicos e principalmente pela parceria durante o curso.
Aos meus amigos da Diretoria-DM (Fábio, Igor, Michael e Michel) por todos os essenciais momentos de descontração. Aline, Isabela, Larissa e Mário por serem pessoas especiais e estarem sempre presentes de alguma forma.
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Resumo da Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral.
ANÁLISE NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE ADENSAMENTO
UNIDIMENSIONAL NÃO LINEAR ATRAVÉS DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
Ronald Dantas Pereira
Dezembro/2017
Orientadora: Christianne de Lyra Nogueira
Esta dissertação apresenta uma formulação através do método das diferenças finitas para análises não lineares, física e geométrica, do problema de adensamento unidimensional usando uma formulação Lagrangiana. A não linearidade física do material é levada em consideração pela relação não linear entre o coeficiente de permeabilidade e a tensão efetiva com o índice de vazios, definida como variável primária. A formulação numérica é implementada num código computacional escrito em linguagem de programação Fortran denominado AC-3.0 e o modelo numérico é verificado comparando os resultados numéricos, em termos de variação temporal da distribuição espacial do índice de vazios e variáveis secundárias ao longo da camada de solo mole, com os resultados analíticos e numéricos encontrados na literatura específica. É observada boa concordância entre os resultados analíticos e numéricos. Uma comparação entre as formulações geométricas lineares e não lineares destaca a importância da formulação não linear para problemas de adensamento de materiais compressíveis com alta distribuição de índice de vazios inicial.
Palavras-chave: análise geométrica não linear, método das diferenças finitas, descrição
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Abstract of Dissertation presented as partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science in Mining Engineering.
NUMERICAL ANALYSIS OF ONE-DIMENSIONAL NON LINEAR CONSOLIDATION PROBLEM BY FINITE DIFFERENCE METHOD
Ronald Dantas Pereira
December/2017
Supervisor: Christianne de Lyra Nogueira
This paper presents a formulation of the finite difference method for geometric nonlinear analysis of one-dimensional consolidation problem by using a Lagrangian formulation and by considering a material physical nonlinearity. The material physical nonlinearity is taken into account by the nonlinear relationship between the permeability coefficient and effective stress with the void ratio, defined as primary variable. The numerical formulation is implemented in the computational code written in Fortran programming language (AC-3.0) and the numerical model is verified by comparing the numerical results, in terms of the variation in time of the distribution of void ratio and secondary variables through soil layer, with the analytical and semi-analytical results found on the specific literature. Good agreements are observed between the analytical and numerical results. Comparison between the geometric linear and nonlinear formulations highlights the importance of the nonlinear formulation for consolidation problems of high compressible materials and high void ratio distribution of initial condition.
Keywords: geometric nonlinear analysis, finite difference methods, total Lagrangian
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Sumário
Página
Capítulo 1 – Introdução... 1
1.1 Considerações Preliminares... 1
1.2. Objetivos e Descrição do Trabalho... 2
1.3. Metodologia... 2
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica... 4
2.1 Considerações Preliminares... 4
2.2. Teoria Linear do Adensamento Unidimensional... 7
2.3. Teoria Não Linear do Adensamento Unidimensional... 12
2.3.1. A descrição do movimento... 12
2.3.2. A equação de governo... 15
2.3.3. Leis constitutivas... 21
2.3.4. Variáveis secundárias ... 23
2.3.5. Solução analítica de Xie e Leo (2004)... 26
Capítulo 3 – Modelo numérico para o Adensamento Não Linear através do MDF... 28
3.1 O Método das Diferenças Finitas (MDF)... 28
3.2. Modelo Numérico Generalizado... 30
3.3. Modelo Numérico Simplificado (Algoritmo Explícito)... 35
Capítulo 4 – O Sistema AC-3.0... 37
Capítulo 5 – Exemplos de Verificação... 45
5.1. Exemplo 1... 45
5.2. Exemplo 2... 50
5.3. Exemplo 3... 56
5.4. Exemplo 4... 60
5.5. Exemplo 5... 64
Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões para Futuros Trabalhos... 72
ix
Lista de Figuras
Página Figura 2.1. Adensamento unidimensional de Terzaghi – Idealização do
problema... 7
Figura 2.2. Descrição Euleriana do movimento... 13
Figura 2.3. Descrição Lagrangiana do movimento... 13
Figura 2.4. Variação do índice de vazios durante o adensamento... 14
Figura 2.5. Equilíbrio de tensões totais – Adensamento não linear físico e geométrico... 16
Figura 2.6. Balanço de massa – Adensamento não linear físico e geométrico... 17
Figura 3.1. Malha unidimensional de pontos nodais – MDF... 31
Figura 3.2. Ilustração do processo de solução via algoritmo de Picard... 35
Figura 4.1. Ambiente de trabalho FORTRAN, AC-3.0 em plataforma DOS-Windows... 37
Figura 4.2. Modelo de arquivo de entrada (ARQE_.D)... 39
Figura 4.3. Modelo de arquivo de saída (ARQS_.DAT)... 39
Figura 5.1. Idealização do problema – Exemplo 1... 47
Figura 5.2. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação – Exemplo 1 – Situação 1... 49
Figura 5.3. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação – Exemplo1 – Situação 2... 49
Figura 5.4. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação – Exemplo 1 – Situação 3... 50
Figura 5.5. Idealização do problema – Exemplo 2... 51
Figura 5.6. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação – Exemplo 2 – Dupla drenagem... 53
Figura 5.7. Variação temporal da percentagem média de adensamento – Exemplo 2 – Dupla drenagem... 53
x
Figura 5.8. Variação temporal do recalque – Exemplo 2 – Dupla
drenagem... 54 Figura 5.9. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação –
Exemplo 2 – Simples drenagem... 55 Figura 5.10. Variação temporal da percentagem média de adensamento – Exemplo 2 –
Simples drenagem... 55 Figura 5.11. Variação temporal do recalque – Exemplo 2 – Simples
drenagem... 56 Figura 5.12. Idealização do problema – Exemplo 3... 57 Figura 5.13. Variação temporal da distribuição espacial do índice de vazios –
Exemplo 3... 58 Figura 5.14. Variação temporal da distribuição espacial do excesso de poro pressão –
Exemplo 3... 59 Figura 5.15. Variação temporal da altura – Exemplo 3... 60 Figura 5.16. Idealização do problema – Exemplo 4... 61 Figura 5.17. Variação temporal da distribuição espacial do índice de vazios –
Exemplo 4... 62 Figura 5.18. Variação temporal da distribuição espacial do excesso de poro pressão –
Exemplo 4... 63 Figura 5.19. Variação temporal da altura – Exemplo 4... 64 Figura 5.20. Idealização do problema – Exemplo 5... 65 Figura 5.21. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação –
Exemplo 5 – Dupla drenagem... 67 Figura 5.22. Variação temporal da distribuição espacial do grau de consolidação –
Exemplo 5 – Simples drenagem... 68 Figura 5.23. Variação temporal da altura – Exemplo 5 – Dupla drenagem... 69 Figura 5.24. Variação temporal da altura – Exemplo 5 – Simples drenagem... 69 Figura 5.25. Variação temporal da percentagem média de adensamento – Teoria linear
xi
Lista de Tabelas
Página
Tabela 4.1. Definição das varáveis gerais... 40
Tabela 4.2. Definição das varáveis do arquivo de dados de entrada ... 41
Tabela 4.3. Parâmetros constitutivos ... 41
Tabela 4.4. Definição das varáveis auxiliares... 42
Tabela 4.5. Definição das varáveis locais da sub-rotina SOLNUN... 43
Tabela 4.6. Definição das varáveis locais da sub-rotina SOLANA... 44
Tabela 4.7. Definição das varáveis secundárias impressas nos arquivos de saída 44 Tabela 5.1. Situações propostas para o Exemplo 1... 47
Tabela 5.2. Influência da discretização espacial e da evolução temporal no tempo de processamento... 48
Tabela 5.3. Condições iniciais e de contorno para diferentes incrementos de carga – Exemplo 5... 65
Tabela 5.4. Coeficiente de permeabilidade e compressibilidade volumétrica para teoria de Terzaghi... 70
xii
Lista de Quadros
Página
Quadro 4.1. Fluxograma esquemático do programa principal AC – 3.0... 38
Quadro 4.2. Fluxograma esquemático da sub-rotina RESOLVE... 40
Quadro 4.3. Modelo de arquivo de entrada de dados – ARQE_. D ... 40
Quadro 4.4. Fluxograma esquemático da sub-rotina SOLNUN... 43
xiii
Lista de Símbolos
a – coordenada Lagrangiana
A – matriz tri-diagonal presente na equação de governo discretizada em MDF para o
adensamento a grandes deformações
A – parâmetro da relação constitutiva de Somogyi (1979) e Liu e Zinidarcic (1991) A1 – elemento da matriz tri-diagonal A
A1base – elemento da matriz tri-diagonal A
A1topo – elemento da matriz tri-diagonal A
A2 – elemento da matriz tri-diagonal A
A2base - elemento da matriz tri-diagonal A
A2topo - elemento da matriz tri-diagonal A
A3 – elemento da matriz tri-diagonal A
AC – Analisys of Consolidation (programa computacional) Ar – área da secção horizontal do volume elementar
B – matriz tri-diagonal presente na equação de governo discretizada em MDF para o
adensamento a grandes deformações
B - parâmetro da relação constitutiva de Somogyi (1979) e Liu e Zinidarcic (1991) B1 – elemento da matriz tri-diagonal B
B1base - elemento da matriz tri-diagonal B
B1topo - elemento da matriz tri-diagonal B
B2 – elemento da matriz tri-diagonal B
B2base - elemento da matriz tri-diagonal B
B2topo - elemento da matriz tri-diagonal B
B3 – elemento da matriz tri-diagonal B
C – parâmetro da relação constitutiva de Somogyi (1979) e Liu e Zinidarcic (1991)
C – vetor que contém as condições de contorno na equação de governo discretizada em
MDF para o adensamento a grandes deformações
xiv CCbase – elemento do vetor C
CCtopo – elemento do vetor C
CDF – confined disposal facility
Ck – parâmetro da relação constitutiva de Schiffman (2001)
CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico CRD – ensaio de adensamento com taxa de deformação constante
cv – coeficiente de adensamento
cv0 – coeficiente de adensamento inicial
D – parâmetro da relação constitutiva de Somogyi (1979) e Liu e Zinidarcic (1991) di – diâmetro interno da coluna de adensamento
e – índice de vazios E – módulo de Young e0 – índice de vazios inicial
E0 – vetor de índice de vazios no instante T na equação de governo discretizada em MDF para o adensamento a grandes deformações
e00 – índice de vazios inicial da superfície
e1 – índice de vazios final
E1 – vetor de índice de vazios no instante T+ΔT na equação de governo discretizada em
MDF para o adensamento a grandes deformações ek – elementos dos vetores de índice de vazios E0 e E1
EM – Escola de Minas
em – índice de vazios médio observado durante o adensamento a grandes deformações
f – grau de consolidação em termos de índice de vazios G – densidade relativa das partículas sólidas
g1 – função na equação de governo do adensamento a grandes deformações
g2 – função na equação de governo do adensamento a grandes deformações
g200 – função na equação de governo do adensamento a grandes deformações definida
para o índice de vazios inicial da superfície
g3 – função na equação de governo do adensamento a grandes deformações
H – altura da camada h – carga hidráulica total
H0 – altura inicial da camada de solo
HCT – ensaio de adensamento induzido por forças de percolação Hd – maior comprimento de drenagem
xv he – carga hidráulica de elevação
hp – carga hidráulica de pressão
Hr – altura da camada de solo em coordenada reduzida
Hw – altura do nível de água em relação à superfície da camada
iz – gradiente hidráulico na direção vertical
j – instante de tempo (relativo ao instante de tempo normalizado T) k – coeficiente de permeabilidade
k00 – coeficiente de permeabilidade inicia da superfície
M – variável da equação de governo normalizada do adensamento não linear MDF – métodos das diferenças finitas
mv – coeficiente de compressibilidade volumétrica
Mw – massa de água
Mw in – massa de água que entra no volume elementar de referencia
Mw out – massa de água que sai do volume elementar de referencia
n – porosidade
N – variável da equação de governo normalizada do adensamento não linear p – poro pressão
PPGEM – Programa de Pós-graduação em Engenharia Mineral pss – poro pressão hidrostática
q´0 – carga efetiva preexistente e distribuída uniformemente ao longo da camada
Qs – quantidade de sólidos em massa
Qw – quantidade de água em massa
R1 – parâmetro na equação de governo discretizada do adensamento a grandes
deformações
R2 – parâmetro na equação de governo discretizada do adensamento a grandes
deformações S – recalque t – tempo
T – tempo normalizado
tp – tempo de processamento do sistema AC-3.0
UFOP – Universidade Federal de Ouro Preto
Um – percentagem média de adensamento em termos de excesso de poro pressão
uz – deslocamento vertical
xvi V0 – volume de referência inicial
vc – velocidade do volume de controle elementar
vs – velocidade dos sólidos
Vs – volume de sólidos
Vv – volume de vazios
Vw – massa de água
vw – velocidade da água
Vw – volume de água
vz – velocidade de fluxo na direção vertical
Z – altura normalizada
z – coordenada vertical com origem na base da camada z - coordenada reduzida com origem na base da camada Z´ – profundidade normalizada
ZL - parâmetro da relação constitutiva de Zinidarcic (1991)
α – parâmetro na relação constitutiva de Gibson (1967) γ – peso específico do solo saturado
γs – peso específico das partículas sólidas
γw – peso específico da água
Δp – excesso de poro pressão
Δpm – excesso de poro pressão médio ao logo da camada
Δq – sobrecarga aplicada na superfície da camada de solo vol – deformação volumétrica
z – deformação linear na direção vertical
θ – evolução ou marcha no tempo em MDF
λ – parâmetro na relação constitutiva de Gibson (1967) ν – coeficiente de Poisson
ξ – coordenada Euleriana ρw – densidade da água
σ– tensão total σ´ – tensão efetiva
σ´00 – tensão efetiva inicial à superfície
σ´m – tensão efetiva média observada durante o adensamento a grandes deformações
σ´z – tensão efetiva vertical
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Considerações Preliminares
O fenômeno do adensamento é definido classicamente como a redução gradual do volume de um solo, completamente saturado e de baixa permeabilidade, como consequência da drenagem de uma determinada quantidade de água dos seus poros. Esse processo acontece devido à ação de forças de corpo (peso próprio e percolação) e forças de superfície. Neste processo, um excesso de poro pressão é gerado e dissipado ao longo do tempo causando uma variação nos campos de deslocamento, deformações e tensões.
Quanto mais complexo o fenômeno físico mais complexo será o seu modelo matemático e mais difícil será a obtenção de uma solução analítica ou exata. Desta forma, de modo a se levar em conta características tais como a não linearidade física e geométrica, torna-se imprescindível a adoção de algum método numérico a fim de se obter uma solução aproximada, porém precisa.
Esta dissertação de mestrado está inserida no Projeto de Pesquisa financiado pelo CNPq no âmbito do Programa de Bolsas de Produtividade em Pesquisa do CNPq (PQ2016) intitulado “Análise Numérica Avançada de Obras Geotécnicas”, no contexto da linha de pesquisa de Geomecânica e Geotecnia da área de concentração de Lavra de Minas do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral (PPGEM) da Escola de Minas (EM) da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) e, ainda, do Grupo de Pesquisa em Geotecnia Computacional do Diretório de Grupo de Pesquisas (DGP) do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
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1.2. Objetivos e Descrição do Trabalho
O objetivo principal desta dissertação de mestrado consiste no entendimento do fenômeno de adensamento unidimensional a grandes deformações adotando uma formulação Lagrangiana e levando em consideração a não linearidade constitutiva do material. O objetivo específico desta dissertação, todavia, consiste na continuação do desenvolvimento do sistema computacional – Analisys of Consolidation (AC) – para a análise numérica, com base no método de diferenças finitas (MDF), do fenômeno do adensamento unidimensional não linear.
Este documento é apresentado em seis capítulos, incluindo este introdutório. O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica englobando o modelo matemático que descreve o fenômeno do adensamento linear e não linear (físico e geométrico). No Capítulo 3, tem-se a sua formulação numérica com base no MDF enquanto que o Capítulo 4 mostra a implementação computacional do sistema AC-3.0. No Capítulo 5 são apresentados os exemplos de verificação e validação. Por fim, no Capítulo 6, apresentam-se as conclusões e as sugestões para trabalhos futuros.
1.3. Metodologia
O desenvolvimento desta dissertação iniciou-se a partir de uma revisão bibliográfica referente ao fenômeno do adensamento, da sua formulação linear (física e geométrica), tal como proposta pela teoria clássica de Terzaghi (1925), à sua formulação não linear (física e geométrica) considerando o peso próprio da camada.
Para obtenção da formulação numérica do problema do adensamento não linear geométrico levando em conta a não linearidade física dos materiais, fez-se necessário uma imersão nos conceitos relacionados aos métodos numéricos. Para tanto, o autor desta dissertação, foi aprovado nas disciplinas: Métodos Numéricos e Estatísticos Aplicados à Engenharia Mineral (MIN 747) e Métodos dos Elementos Finitos Aplicados à Engenharia Mineral (MIN 748), oferecidos regularmente pelo PPGEM/UFOP.
Uma vez concluídas as disciplinas acima mencionadas, o modelo numérico obtido com base no MDF foi implementado no sistema computacional AC-3.0. O
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sistema computacional AC foi inicialmente desenvolvido por Nogueira (2002) e em seguida por Ferreira e Nogueira (2004), mas só agora, em sua terceira versão (AC-3.0), foi introduzido o algoritmo de Picard para a solução do sistema de equação não linear. Nesta última versão, foram introduzidos diferentes modelos constitutivos. Escrito em linguagem de programação FORTRAN, sua implementação tem sido verificada comparando-se as soluções numéricas com as soluções analíticas desenvolvidas por Gibson et al. (1967) e Xie Leo (2004), com a solução numérica proposta por Bartholomeeusen et al. (2002), e ainda, com resultados numéricos obtidos a partir de softwares tais como Condes0 (Yao e Znidarcic, 1997) e SVFLUX/SVSOLID (SoilVision Ltda, 2017).
4
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1 Considerações Preliminares
O adensamento é um fenômeno físico que pode ocorrer em meios porosos e que está relacionado à dissipação ao longo do tempo de um excesso de poro pressão gerado pela ação de forças externas (de corpo e/ou superfície) causando uma variação nos campos de deslocamento, deformações e tensões. Este fenômeno envolve uma análise simultânea de um problema de equilíbrio de solos deformáveis e um problema de fluxo transiente em meio poroso saturado. Durante este processo observa-se a transferência de carga do poro-líquido para o esqueleto sólido (Nogueira, 1998).
A rigor o processo do adensamento ocorre num espaço tridimensional. No entanto, tanto do ponto de vista das formulações quanto do ponto de vista dos parâmetros, modelos 3D conduzem a um número tão elevado de dificuldades que se utilizam, na prática, modelos mais simplificados, uni ou bidimensionais, produzindo resultados aceitáveis (Azevedo et al., 1999).
Alguns autores propuseram-se a estudar o fenômeno do adensamento unidimensional. Terzaghi, pioneiro destes estudos, em sua teoria linear conhecida como a teoria clássica do adensamento, formulada em 1923, propõe a análise de solos moles, considerando hipóteses simplificadoras, tais como:
o solo é homogêneo;
o solo está completamente saturado;
as partículas sólidas e a água são incompressíveis; a compressão e o fluxo são unidimensionais (verticais);
5 as deformações são pequenas;
a lei de Darcy é válida para todo gradiente hidráulico;
o coeficiente de permeabilidade e o de compressibilidade volumétrica permanecem constantes durante todo o processo;
a relação entre o índice de vazios e a tensão efetiva é independente do tempo.
Resultados experimentais mostram que algumas dessas premissas são bastante irreais em alguns casos. Contudo, Schiffman et al. (1969) ressaltam que a teoria de Terzaghi apresenta uma simplicidade matemática que permite simular várias situações práticas fornecendo bons resultados. No entanto, em algumas situações, tal como a análise do comportamento hidromecânico de depósitos/barragens de rejeito de mineração faz-se necessário a doção de uma teoria mais abrangente envolvendo a não linearidade física e geométrica, uma vez que os rejeitos (ou lamas) provenientes da planta de beneficiamento são muito compressíveis, apresentando uma elevada distribuição inicial de índice de vazios (Silva e Azevedo, 1999; Almeida et al., 2005).
Bartholomeeusen et al. (2002) e Brasil (2015) ressaltam a adoção de uma teoria que levem em conta a não linearidade física do material para análise de problemas de adensamento associados, respectivamente, às obras de dragagem e construções de aterro sob solos compressíveis.
Yao et al. (2002) ressaltam a importância do estudo do fenômeno do adensamento no sentido da otimização da capacidade de armazenamento e da redução do tempo de consolidação da grande quantidade de solos compressíveis provenientes dos processos de mineração e dragagem. Neste contexto, como bem destacado por Abu-Hejleh et al. (1996), os modelos computacionais são ferramentas valiosas no planejamento da capacidade do local de disposição, da previsão do tempo de duração do fenômeno e, por fim, do tempo de recuperação da área. Penna e Oliveira Filho (2012) ressaltam a importância da verificação da estabilidade das estruturas de contenção de rejeitos durante a fase construtiva.
Ainda no campo da não linearidade, vários autores apresentaram diferentes formulações levando em conta a não linearidade física (Richart, 1957; Lo, 1960; Hansbo, 1960; Davis e Raymond, 1965). Mcnabb (1960) e Mikasa (1965) trataram da teoria unidimensional não linear física e geométrica paralelamente a Gibson et al.
6
(1967). Estes autores adotaram as seguintes hipóteses simplificadoras nas suas formulações:
o meio poroso é constituído por partículas sólidas e água incompressíveis; a deformação do esqueleto é devido ao rearranjo das partículas sólidas acompanhadas pelo fluxo da água que preenche os vazios (poros);
o volume de sólidos permanece constante durante o processo; não existe restrição à magnitude da deformação do esqueleto;
o esqueleto é homogêneo, constituído por apenas um único material;
a camada de argila encontra-se inicialmente saturada e normalmente adensada, isto é, a tensão efetiva vertical atuante na camada é a máxima tensão efetiva vertical já experimentada pelo solo ao longo de sua história de tensão;
o fluxo e as deformações são unidimensionais;
o adensamento é motivado por forças mecânicas tais como peso próprio e sobrecarga;
o carregamento é monotônico, desta forma não existe mudança no sinal da derivada da tensão efetiva com relação ao tempo;
o princípio de tensão efetiva de Terzaghi é válido;
as deformações independem do tempo (não são levadas em conta as deformações por creep – capacidade de fluir com tensão efetiva constante);
o coeficiente de permeabilidade e o coeficiente de compressibilidade volumétrica são funções do índice de vazios que varia ao longo do espaço e tempo;
a água se comporta como um fluido newtoniano, sendo assim sua viscosidade é constante para diferentes taxas de cisalhamento e não varia com o tempo. Nesses fluidos, a tensão é diretamente proporcional à taxa de deformação.
Gibson et al. (1967) apresentam resultados para a sua teoria apenas para situações em que o peso próprio da camada é desconsiderado. Porém, Gibson et al. (1981) apresentam aplicações para camadas espessas de solo argiloso em que a distribuição de tensão referente ao peso próprio são levadas em conta durante o processo. Vários outros estudos referem-se a esta publicação (Znidracic et al., 1984; Tan et al., 1990; Consoli, 1991, Boer et al.; 1996, Sills, 1998; Toorman, 1999; Bartholomeeusen et al., 2002; Nogueira, 2002, Ferreira e Nogueira, 2004; Xie e leo, 2004; entre outras). A maior discussão em torno dessa teoria, de acordo com Bartholomeeusen et al. (2002), encontra-se na determinação da relação constitutiva
7
utilizada para descrever as propriedades materiais. Este fato é dependente de amostragem significativa e técnicas adequadas de ensaios de campo e/ou laboratório. As decisões tomadas neste ponto podem levar a uma previsão da evolução do adensamento totalmente distinta. No contexto de uma solução analítica para este problema, cita-se ainda o trabalho apresentado por Xie e Leo (2004).
A seguir serão apresentadas as equações de governo do fenômeno do adensamento unidimensional à luz das teorias linear e não linear.
2.2. Teoria Linear do Adensamento Unidimensional
Considere uma camada infinita de espessura finita (H0), constituída por
material poroso, saturado, homogêneo e linear elástico com porosidade (n), coeficiente de permeabilidade (k), módulo de Young (E) e coeficiente de Poisson (), submetido ao um processo de adensamento devido à aplicação instantânea de uma sobrecarga (q) na superfície da camada, considerada uma superfície drenante, tal como ilustrado na Figura 2.1.
Figura 2.1. Adensamento unidimensional de Terzaghi – Idealização do problema
Considere, ainda, um volume de referência (V0) nesta camada de solo. A massa
de água (Mw in) que entra neste volume de referência através da secção horizontal de
área Ar, a uma altura z, pode ser escrita como:
win w z r M v A (2.1) Δq H0 z n, k, E, ν, ρw Mw out Mw in V0
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em que w é a densidade da água e vz é a velocidade de fluxo na direção vertical z. Da
mesma forma, a massa de água (Mwout) que deixa este volume de referência através da
secção horizontal de área Ar, a uma altura z+dz, pode ser escrita como:
z w out w z r dv M v dz A dz (2.2)
Fazendo o balanço de massa e aplicando a lei de conservação da massa é possível obter a seguinte equação da continuidade de fluxo de água que deve ser atendida ao longo de toda espessura da camada:
w w out win d M M M dt (2.3) ou ainda, w z w r d M dv dzA dz dt (2.4)
ou então, considerando que a densidade da água não varia com o tempo, tem-se que:
w z w r w d V dv dzA dz dt (2.5) ou ainda, w z r d V dv dzA dz dt (2.6)
Considerando que o meio encontra-se saturado e que não ocorre carreamento de partículas sólidas, ou seja, que o volume de sólidos permanece constante, durante o processo, tem-se que:
w
d V d V dt dt
(2.7)
Assim, pode-se reescrever a Equação (2.6) como:
z r dv d V dzA dz dt (2.8) ou ainda,
9 vol z d dv dz dt (2.9) em que vol r 0 V V A dz V (2.10)
onde vol é a deformação volumétrica (considerando uma convenção de sinal de
deformação volumétrica positiva durante uma compressão). Considerando que as deformações laterais são nulas, a Equação (2.9) pode ser escrita como:
z z
dv d dz dt
(2.11)
onde z é a deformação linear na direção vertical que se relaciona com a tensão efetiva
vertical (σ´z) através da relação linear:
z mv z
(2.12)
em que mv é o módulo de deformabilidade na compressão confinada, que de acordo
com a teoria da elasticidade, pode ser escrito em termos do módulo de Young e coeficiente de Poisson, tal como:
v (1 )(1 2 ) m E(1 ) (2.13)
Considerando que as propriedades elásticas não variam com o tempo, pode-se escrever a Equação (2.11) da seguinte forma:
z z v dv d m dz dt (2.14)
Considerando válida a Lei de Darcy, e assumindo que o meio é homogêneo e isotrópico, pode-se escrever a velocidade de fluxo na direção vertical em função do gradiente hidráulico na direção vertical (iz), fazendo:
z z
v ki (2.15)
em que k é o coeficiente de permeabilidade do meio considerado constante ao longo de todo processo.
10
De acordo com a equação de Bernoulli, para um problema isotérmico, com pequena velocidade de fluxo e em que o referencial não varia ao longo do processo, o gradiente hidráulico na direção vertical pode ser escrito como:
p e
p z d h h dh dh i 1 dz dz dz (2.16)em que h é a carga hidráulica total, hp é a carga hidráulica de pressão, e he é a carga
hidráulica de elevação.
Usando a definição da Equação (2.16), a Equação (2.15) pode ser escrita como:
p z dh v k 1 dz (2.17)
Substituindo a Equação (2.17) na Equação (2.14), chega-se a:
2 p z v 2 d h d k m dz dt (2.18)
A carga de pressão, por sua vez, pode ser escrita em termos da poro pressão (p), tal como: p ss w w 1 1 h p (p p) (2.19)
em que w é o peso específico da água, pss é a poro pressão hidrostática e p é o excesso
de poro pressão gerado pela ação de forças externas. Considerando que a poro pressão hidrostática varia linearmente com a profundidade, a Equação (2.18) pode ser reescrita como: 2 z v 2 w d k d p m dz dt (2.20) ou ainda, 2 z v 2 d d p c dz dt (2.21)
11 v v w k c m (2.22)
De acordo com o princípio das tensões efetivas de Terzaghi, pode-se escrever:
z z p z (pss p)
(2.23)
em que z é a tensão total na vertical. Considerando que as tensões totais e a poro
pressão hidrostáticas são mantidas constantes ao longo de todo processo, a Equação (2.21) pode ser reescrita em termos do excesso de poro pressão tal como:
2 v 2 d p d p c dz dt (2.24)
A Equação (2.24) é uma equação diferencial parcial parabólica e é conhecida como a equação do adensamento unidimensional a pequenas deformações. Ela deve ser atendida para todo ponto z ao longo da camada de solo. Além disto, ela deve atender às condições de contorno:
0
p(H , t) 0
(2.25)
Considerando que o topo da camada de solo (z=H0) é um contorno drenante; e,
p(0, t) 0
(2.26)
No caso da base da camada (z=0) ser considerando também um contorno drenante. No caso da base da camada ser considerada um contorno impermeável, tem-se a seguinte condição de contorno: d p (0, t) 0 dz (2.27)
A Equação (2.24) também deverá atender a uma condição inicial que dependerá do tipo ação externa no qual a camada esta sendo submetida. Para o caso de um carregamento uniformemente (q) distribuído aplicado instantaneamente na superfície da camada, tem-se que:
p(z, 0) q
12
A solução da Equação (2.24) foi proposta por Terzaghi (Craig, 2007) em termos da profundidade normalizada (Z´) e do tempo normalizado (T), de acordo com a equação:
M T2 m 0 2 p(Z´, T) p(Z´, 0) sen MZ´ exp M
(2.29) em que p(Z´, 0) q (2.30)
M 2m 1 2 (2.31) 0 d H z Z´ H (2.32) v 2 d c T t H (2.33)em que Hd é o caminho de drenagem definido como o maior caminho percorrido por
uma partícula de água. No caso de uma camada com drenagem no topo e na base (ou seja, com dupla drenagem) tem-se que Hd igual a H0/2. No caso de uma camada com
drenagem apenas pelo topo (ou seja, com simples drenagem) tem-se que Hd é igual a
H0.
2.3. Teoria Não Linear do Adensamento Unidimensional
2.3.1. A descrição do movimento
Duas formas de descrição de movimento são normalmente utilizadas na análise de problemas de adensamento não linear: descrição Euleriana e Lagrangiana. (Gibson et al. 1967 e 1981; Nogueira 2002; Xie e Leo 2004; Cançado 2010).
Na descrição Euleriana, ou espacial, (Figura 2.2) a deformação do material está relacionada a planos fixos no espaço. Desse modo, são fixados, previamente, um referencial fixo e um determinado plano no espaço em que sua distância (ξ0) permanece
13
o volume de controle (δξ) com velocidades (vw) e (vs), respectivamente, assumindo
diferentes posições ao longo do tempo.
Na descrição Lagangiana, ou material, (Figura 2.3) o movimento das partículas no espaço é acompanhado ao longo de suas trajetórias. Desse modo, considera-se um volume elementar, delimitado por planos cujas posições, em relação ao referencial fixo, são variáveis ao longo do tempo. O volume de controle, mesmo se deformado durante o processo, encapsula sempre o mesmo volume de partículas sólidas, ocorrendo fluxo apenas de fase líquida.
Figura 2.2. Descrição Euleriana do movimento
Figura 2.3. Descrição Lagrangiana do movimento
Em um determinado instante de tempo (t > 0) o volume de controle () ocupa a posição (a,t) e se movimenta com velocidade (vc) enquanto a água apresenta uma
velocidade real (vw). Neste instante de tempo (t), tem-se, ainda que:
NT ξ = h(t) ξ = 0 H δξ ξ0 referencial fixo vs vw ξ(t) t > 0 NT a = H0 a = 0 H0 δa ξ(a,0) referencial fixo t = 0 NT vc vw H(t) a = H0 a = 0 δξ ξ(a+δa,0) ξ(a,t) ξ(a+δa,t) S(t)
14
a a, t
a, t a t a t (2.34)Na base da camada (0,t) = 0 e no topo da camada (H(t),t) = H0. No instante inicial,
(a,0) = a.
A vantagem em se adotar a descrição Lagrangiana do movimento é que a espessura da camada, incógnita do problema, é tomada como constante ao longo do processo ao contrário do que ocorre na descrição Euleriana.
Como o volume de sólidos é mantido constante durante o adensamento, a relação mostrada na Equação (2.35) pode ser obtida a partir da variação do índice de vazios durante o processo, como ilustra a Figura 2.4:
0 1 e da d 1 e (2.35)
em que e0 é o índice de vazios inicial; e, e é o índice de vazios num instante de tempo t
maior que zero.
Figura 2.4. Variação do índice de vazios durante o adensamento
Para uma função F = F((a,t)) é possível escrever a seguinte variação em relação a coordenada Lagrangiana (a):
dF dF d dF dt da d da dt da
(2.36)
Como a e t não estão relacionados, utilizando a Equação (2.35), a Equação (2.36) pode ser reescrita da seguinte forma:
0
1 e dF dF d da 1 e (2.37) 1 1 e e0 δa δξ15
Outro sistema de coordenadas especialmente utilizado na análise de problemas de adensamento, podendo trazer simplificações nas equações adotadas, é o sistema de coordenada reduzida, zz a
, baseado no volume de partículas sólidas existentes entre o referencial fixo e o ponto a ser analisado de coordenada Lagrangiana (a). Desta forma é possível escrever:
a
0 0 1 a z a da 1 e a, 0 1 e
(2.38)Logo, tem-se que:
0
dz 1
da 1 e (2.39)
Assim, para uma dada função FF(z(a)) tem-se, aplicando a regra da cadeia, que:
0
dF dF dz dF 1
da dz da dz 1 e (2.40)
2.3.2. A equação de governo
De acordo com Gibson et al. (1967) a equação diferencial que representa a condição de equilíbrio em termos de tensão total (σ), ilustrada na Figura 2.5, num determinado volume de controle e num determinado instante de tempo (t) é dada por:
r r r r d A d A A A d 0 d (2.41) ou ainda: d 0 d (2.42)
O peso específico do solo saturado (γ) pode ser escrito em função do índice de vazios (e) e dos pesos específicos da água (γw) e das partículas sólidas (γs), fazendo:
s1 ee
w
16
Substituindo a Equação (2.43) na Equação (2.42), tem-se que:
s e
w d 0 d 1 e (2.44)Figura 2.5. Equilíbrio de tensões totais – Adensamento não linear físico e geométrico
Considerando válido o princípio das tensões efetivas (σ´) de Terzaghi; sabendo que numa condição de equilíbrio a pressão da fase líquida (p) é dada pela soma da parcela de poro pressão hidrostática (pss) e pelo excesso de poro pressão (Δp); e
considerando a poro pressão hidrostática como uma função da altura de lâmina de água acima do ponto em questão (pss = γw(H+Hw – ξ)), pode-se reescrever a Equação (2.44)
em função da tensão efetiva (σ´) e do excesso de poro pressão (Δp) tal como:
s w
d p d 0 d d 1 e (2.45)Aplicando a lei de conservação de massa no volume de controle submetido a um fluxo ascendente de água e descendente de partículas sólidas, conforme mostrado na Figura 2.6; e considerando que as partículas sólidas e de água são individualmente conservadas, obtém-se a seguinte equação de continuidade:
s r
w s w d v A
dQ dQ dV
d d d
d d dt d (2.46)
Sabendo que as quantidades de água e de sólidos podem ser escritas, respectivamente, como: w w r Q nv A (2.47) NT NA Hw(t) H(t) ξ referencial fixo t > 0 d d d σ γ ξ δξ Δq q´0
17
s s r
Q 1 n v A (2.48)
Figura 2.6. Balanço de massa – Adensamento não linear físico e geométrico
E ainda, considerando a hipótese do meio saturado, tem-se que:
w v r
V V nA d (2.49)
Substituindo as Equações (2.47), (2.48) e (2.49) na Equação (2.46), chega-se a:
w
s
s
s d nv d v d nv dn d v d d d dt d (2.50) ou ainda,
w s
d n v v dn d dt (2.51)onde
vwvs
representa a velocidade relativa do fluxo de água e partículas sólidas. De acordo com a lei de fluxo de Darcy-Gersevanov, tem-se que a velocidade relativa de fluxo de água e partículas sólidas é dada por:
w s
w 1 n k d p n v v d (2.52)em que k é o coeficiente de permeabilidade que, neste caso, deixa de ser uma constante ao longo do processo. O coeficiente de permeabilidade, neste contexto, passa a ser uma função o índice de vazios e, portanto, varia ao logo do processo. Substituindo a Equação (2.52) na Equação (2.51), tem-se que:
NT NA H(t) ξ referencial fixo t > 0 QW vC QS S S dQ Q d d W W dQ Q d d δξ ξ Hw(t) Δq q´0
18
w 1 n k d p d dn d d dt (2.53)Sabendo que a porosidade (n) pode ser escrita em termos de índice de vazios (e), fazendo-se:
e
n 1 e (2.54)Pode-se reescrever a Equação (2.53) em termos do índice de vazios (e) tal como:
2 w d p d k 1 de d 1 e d 1 e dt (2.55)Da equação de equilíbrio em termos da tensão vertical total (Equação 2.45), pode-se obter:
s w
d p d d 1 e d (2.56)Substituindo a Equação (2.56) na Equação (2.55), chega-se a:
s w
2 w d k d 1 de d 1 e 1 e d 1 e dt (2.57) ou ainda,
s w
2
2 w w k d d k d 1 de d 1 e d 1 e d 1 e dt (2.58)ou ainda, aplicando a regra da cadeia, chega-se a seguinte equação de governo para o adensamento não linear físico e geométrico em coordenada Euleriana:
s w 2 2 w w k e k e d e d de d de 1 de de 1 e d d 1 e de d 1 e dt (2.59)A Equação (2.59) considera que o esqueleto sólido não exibe efeito de deformação dependente do tempo (creep) e que o adensamento é monotônico. O coeficiente de permeabilidade (k) e a tensão efetiva (σ´) são funções apenas do índice de
19
vazios; e, portanto, são chamadas de funções constitutivas (de permeabilidade e de compressibilidade) e exercem um papel fundamental no processo de adensamento. Diferentes funções foram propostas por vários autores com base em resultados de ensaios de laboratório. Algumas delas serão apresentadas num próximo item.
Usando a transformação indicada na Equação (2.37) é possível reescrever a Equação (2.59) em termos das coordenadas Lagrangiana (a
0, H0
) tal como:
s w 0 0 0 2 2 w w k e k e 1 e d e d de d de 1 de 1 e 1 e de 1 e da da 1 e de da 1 e dt (2.60)Ou ainda, usando a transformação indicada na Equação (2.40) pode-se obter a seguinte em termos das coordenadas reduzidas (z
0, Hr
):
s w 2 2 w w k e k e d e d de d de 1 de de 1 e dz dz 1 e de dz 1 e dt (2.61)ou ainda aplicando a regra da cadeia na Equação (2.61), chega-se a:
2 s w 2 w w w k e k e d e k e d e d de d de d e de de 1 e dz dz 1 e de dz 1 e de dz dt (2.62)ou ainda, numa forma compacta:
2 3 2 2 de d e de g (e) g (e) dz dz dt (2.63) em que: 2 3 1 dg (e) g (e) g (e) dz (2.64)
s w
1 w k e d g e de 1 e (2.65)
2 w k e d e g e 1 e de (2.66) e20 0 r 0 H H (1 e ) (2.67)
onde Hr é a espessura inicial da camada em coordenada reduzida; H0 é a espessura
inicial da camada; e, e0 é o índice de vazios inicial da camada.
Gibson et al. (1981) sugeriram normalizar a equação de governo (Equação 2.63) adotando a seguinte transformação de variável:
r z Z H (2.68) 2 00 r 2 t T g (e ) H (2.69)
em que Z e T são, respectivamente, a altura e tempo normalizados; z é a altura de um ponto qualquer em coordenada reduzida definida de acordo com a Equação (2.38). Usando as definições das Equações (2.68) e (2.69) obtém-se a seguinte equação diferencial parcial não linear de segunda ordem na forma normalizada:
2 e de d de N M dZ dZ dT (2.70) em que:
3 r 2 00 g e N H g e (2.71)
2 2 00 g e M g (e ) (2.72)A Equação (2.70) deverá ser atendida para todos os pontos Z
0,1 e ainda deverá atender às seguintes condições de contorno: na superfície (ou topo) da camada (Z=1) considerada como um contorno drenante ao longo do processo:
e 1, T e 1, T (2.73a) em que:
21
1, T q0 q
(2.73b)
em q´0 é a carga efetiva previamente existente e distribuida uniformemente ao longo da
camada e Δq é o incremento de carga aplicado sobre a superfície da camada no instante inicial (t=0) e mantido constante durante o processo.
na base da camada (Z=0) quando esta é considerada como um contorno drenante ao longo do processo, ou seja, quando se tem uma condição de dupla drenagem, deve-se adotar:
e 0, T e 0, T (2.74a) em que:
0, T q0 q
s w
Hr (2.74b) na base da camada (Z=0) quando esta é considerada como um contorno impermeável ao longo do processo, ou seja, quando se tem uma condição de simples drenagem, deve-se adotar:
w s
rde 1
0, T H
dZ d de (2.75)
A Equação (2.70) ainda deverá atender à seguinte condição inicial (t=0):
e Z, 0 e Z, 0 (2.76a) em que:
Z, 0 q0
s w
H l Zr
(2.76b)onde o segundo termo do lado direito da Equação (2.76b) representa a sobrecarga efetiva do peso da camada de argila.
2.3.3. Leis constitutivas
No contexto deste trabalho, as leis constitutivas são definidas como as relações entre o coeficiente de permeabilidade e a tensão efetiva com o índice de vazios, adotado
22
como a variável primária. As leis constitutivas podem ser definidas com base em resultados de ensaios de campo e de laboratório de diversas formas.
De acordo com Azevedo et al. (1999) as características de compressibilidade e permeabilidade podem ser obtidas através de ensaios de campo a partir da determinação do índice de vazios e das poro pressões de cravação e de equilíbrio medidas com uma sonda piezométrica.
Em laboratório, estas leis têm sido obtidas através de ensaios de adensamento convencionais analisados à luz da teoria linear (Bromwell e Carrier, 1979; Imai, 1979; Been e Sills, 1981; Scully, 1984; Pane, 1985; Martinez et al., 1987; Alves, 1992 e Gobara et al., 1995); de ensaios de adensamento com taxa de deformação constante (CRD) fazendo uso da teoria de adensamento com grandes deformações (Znidarcic et al., 1986; Guimarães Filho, 1990 e Lima, 1996); e, de ensaios de adensamento induzido por forças de percolação (HCT) fazendo uso da teoria de adensamento com grandes deformações e técnicas de otimização (Abu-Hejeleh et al., 1996 e Silva e Azevedo, 1999). A seguir são apresentadas as leis constitutivas adotadas neste trabalho.
Com base em ensaios de adensamento, Schiffman (2001) sugere a seguinte relação exponencial:
c00 e e C 00 e exp (2.77a)
k00 e e C 00 k e k exp (2.77b)em que σ´00,e00 ek00 são, respectivamente, a tensão efetiva, o índice de vazios e o
coeficiente de permeabilidade iniciais na superfície ou topo da camada; CC e Ck são
constantes determinadas experimentalmente a partir de ajustes das curvas de ensaios de adensamento.
Somogyi (1979) sugeriu a seguinte relação de potência:
1 B e e A (2.78a)
D k e Ce (2.78b)23
em que A, B, C e D são constantes determinadas a partir de ajustes das curvas de ensaios de adensamento. Liu e Znidarcic (1991) expandiram a relação de potência sugerida por Somogyi (1979) para:
1 B L e e Z A (2.79a)
D k e Ce (2.79b)em que ZL é um parâmetro do solo com unidade de tensão, adicionado a fim de remover
a limitação imposta à tensão efetiva nula.
Xie e Leo (2004), por sua vez, propuseram as seguintes relações:
0
v 00 1 e 1 e q´ ln m 1 e (2.80a)
00 2 00 1 e k e k 1 e (2.80b)onde q´0 é a carga efetiva previamente existente e distribuida uniformemente ao longo
da camada, mv o coeficiente de compressibilidade volumétrica, k00 e e00 são,
respectivamente, o coeficiente de permeabilidade e o índice de vazios inicial à superfície.
2.3.4. Variáveis secundárias
Conhecida a distribuição de índice de vazios (variável primária) através da solução da equação diferencial parcial não linear (Equação 2.70) pode-se obter várias medidas secundárias, tais como: tensão total, tensão efetiva, poro pressão, recalque superficial e grau de consolidação.
A Equação (2.44) que representa o equilíbrio da tensão total num ponto qualquer da camada de solo mole pode ser reescrita em termos da coordenada normalizada Z, fazendo:
s e(Z, T w
r d dZ ) H (2.81)24
Assim, para qualquer instante de tempo T após o início do adensamento, pode-se obter a tensão total em qualquer ponto Z no interior da camada de solo mole, fazendo:
Z s w r 0 (Z, T) (Z, 0) e(Z, T) H dZ
(2.82a) ou ainda Z s r w r 0 (Z, T) (Z, 0) H Z H e(Z, T)dZ
(2.82b) em que: 0 w w (Z, 0) q q H (2.83)onde Hw representa a altura de lâmina d´água sobre a camada de solo mole tal como
ilustrado na Figura 2.5.
A tensão efetiva será obtida de acordo com a relação constitutiva adotando umas das Equações (2.77a), (2.78a), (2.79a) ou (2.80a).
Conhecendo-se a tensão total e a tensão efetiva determina-se a distribuição de poro pressão (p) aplicando-se o princípio da tensão efetiva de Terzaghi, ou seja, fazendo-se:
p Z, T Z, T Z, T (2.84)
A poro pressão hidrostática (pss) é obtida pela seguinte relação:
Z
ss w w r r
0
p Z, T H(T) H (T) H Z H e Z, T dZ
(2.85)Enquanto o excesso de poro pressão (Δp) é obtido fazendo-se:
ss
p Z, T p Z, T p Z, T
(2.86)
Numa condição de deformação unidimensional é possível descrever a deformação vertical (z) num ponto qualquer no interior da camada de solo tal como:
25 0 z z z z z r (1 e ) du du 1 du 1 du d (1 e) da (1 e) dz H (1 e) dZ (2.87)
em que uz representa o deslocamento vertical em qualquer ponto da camada.
Considerando que o meio encontra-se saturado e que os grãos são incompressíveis tem-se que: z e (1 e) (2.88)
Igualando-se as Equações (2.87) e (2.88); e rearranjando-se os termos, tem-se que:
z r du H e dZ (2.89) ou ainda:
Z z r 0 u (Z, T) H
e(Z, 0) e(Z, T) dZ (2.90) No topo da camada, tem-se o recalque superficial S(T) dado como:
1
z r
0
S(T)u (Z 1, T) H
e(Z, 0) e(Z, T) dZ (2.91) A percentagem média de adensamento (Um) pode ser definida em termos deexcesso de poro pressão tal como:
m m m p (T) U T 1 100% p (T 0 ) (2.92) onde: npoin m i i 1 p (T) p(Z , T)
(2.93a) npoin m i i 1 p (T 0 ) p(Z , 0 )
(2.93b)Por fim, o grau de consolidação f(Z,T) pode ser definido em termos do índice de vazios tal como:
26
1
0 1 e e f Z, T e e (2.94)em que e0 e e1 são a distribuição de índice de vazios inicial e final, respectivamente.
2.3.5. Solução analítica de Xie e Leo (2004)
Xie e Leo (2004) apresentam a solução analítica para o adensamento a grandes deformações aplicado tanto a camadas finas quanto espessas de argila homogênea e completamente saturada. De acordo com estes autores a Equação (2.60) pode ser escrita em termos de excesso de poro pressão e em coordenadas Lagrangianas (com referencial fixo na superfície) tal como:
2 2 v0 2 v p p p c m a a t (2.95)
onde cv0 é o coeficiente de adensamento inicial do solo, dado por:
00 v0 v w k c m (2.96)
em que k00 é o coeficiente de permeabilidade correspondente ao índice de vazios inicial
à superfície (e00). O coeficiente de compressibilidade volumétrica do esqueleto sólido
(mv) para grandes deformações é definido como:
v 1 de m (1 e) d (2.97)
Para o problema proposto a seguinte condição inicial é válida:
p(a, 0) q
(2.98)
em que (Δq) é a sobrecarga aplicada sobre o terreno instantaneamente em t=0 e mantida constante durante o processo.
Como condições de contorno, tem-se, na superfície da camada, uma drenagem livre, de tal modo que:
p(0, t) 0
27
Enquanto que na base da camada, a condição de contorno irá depender da condição de drenagem. Assim, tem-se no caso de dupla drenagem:
p(H, t) 0
(2.100)
e para simples drenagem:
p
(H, t) 0 a
(2.101)
Desse modo, Xie e Leo (2004) apresentaram para a condição de dupla drenagem, a seguinte solução analítica para a Equação (2.95):
2
v
m 0
v 0
1 2 2Ma
p(a, t) ln 1 exp m q 1 sen exp 4M T
m M H
(2.102)E para simples drenagem, tem-se que:
2
v
m 0
v 0
1 2 Ma
p(a, t) ln 1 exp(m q) 1 sen exp M T
m M H
(2.103) onde: v0 2 0 c t T H (2.104) 1 M m 2 (2.105)Por fim, o recalque por adensamento S(t) pode ser obtido da seguinte forma para dupla drenagem:
2
0 v 2
m 0
0 0
a 1 2Ma
S(T) H 1 exp m q 1 1 cos exp 4M T
H M H
(2.106)E para simples drenagem:
2
0 v 2 m 0 0 0 a 2 MaS(T) H 1 exp m q 1 cos exp M T
H M H
(2.107)28
Capítulo 3
Modelo Numérico para o Adensamento
Não Linear através do MDF
3.1 O Método das Diferenças Finitas (MDF)
Os problemas físicos contínuos são governados por equações ou sistemas de equações que geralmente são diferenciais e, em muitos casos, de resolução extremamente complexa. A utilização de técnicas de discretização que transformam estas equações contínuas em equações discretas pode ser a saída para obtenção da solução desses problemas. Diferentes métodos numéricos podem ser definidos em função da técnica de discretização adotada, tais como os métodos das diferenças finitas, dos elementos finitos, dos elementos de contorno, dos elementos discretos, entre outros.
O método das diferenças finitas (MDF), discretiza o domínio espacial do problema em pontos discretos denominados pontos nodais e o conjunto desses pontos forma uma malha de pontos nodais no domínio do problema a ser resolvido. Em seguida, as derivadas contínuas das equações de governo do problema físico são aproximadas pela taxa de variação da variável de estado neste ponto nodal, ou seja, fazendo: z 0 df f f lim dz z z (3.1)
29
O MDF estima o valor de uma dada função em um ponto nodal com base no valor desta função nos pontos vizinhos, aproximando as expressões diferenciadas por uma série de Taylor. Sendo assim, para uma função de uma única variável, f(z), pode-se obter a seguinte expansão em série de Taylor na vizinhança do ponto z em z+Δz:
2 2 3 3 2 3 df 1 d f 1 d f f z z f z z z z dz 2! dz 3! dz (3.2)Da mesma forma, pode-se obter a seguinte expansão em série de Taylor na vizinhança do ponto z em z-Δz:
2 2 3 3 2 3 df 1 d f 1 d f f z z f z z z z dz 2! dz 3! dz (3.3)Subtraindo as Equações (3.2) e (3.3) e truncando o resultado no termo de primeira ordem, obtém-se a seguinte aproximação central para a derivada de primeira ordem da função f(z) no ponto z:
z f z z df f z z dz z (3.4)Somando as Equações (3.2) e (3.3) e truncando o resultado no termo de segunda ordem, obtém-se se a seguinte aproximação central para a derivada de segunda ordem da função f(z) no ponto z:
2 2 2 z f z z 2f z f z z d f dz z (3.5)O MDF também é usado para discretização temporal em problemas transientes. Neste caso, a variável de tempo é discretizada em intervalos de tempo finitos Δt. A evolução, ou a marcha, no tempo pode ser feita de diferentes formas a depender do instante de tempo adotado para a aproximação temporal. Assim, adotando uma variável adimensional θ que localiza a função no intervalo de tempo de t a t+Δt, pode-se obter os seguintes esquemas de integração no tempo:
θ = 0: algoritmo explícito – a função é avaliada a partir dos valores da função e suas derivadas no instante t;
30
θ = 0.5: algoritmo implícito (Cranck-Nicholson) – a função é avaliada a partir dos valores da função e suas derivadas no instante 0.5(t+Δt);
θ = 1: algoritmo puramente implícito – a função é avaliada a partir dos valores da função e suas derivadas no instante (t+Δt).
De uma forma geral, para problemas transientes, as aproximações para as derivadas espacial, de primeira e segunda ordem, e temporal de primeira ordem para uma função f(z,t) podem ser definidas como:
z z,t t z z,t t z z,t z z,t z, t t f f f f df 1 dz z z (3.6)
2 z z,t t z,t t z z,t t z z,t z,t z z,t 2 2 2 z, t t f 2f f f 2f f d f 1 dz z z (3.7) z,t t z,t z, t f f df dt t (3.8)3.2. Modelo Numérico Generalizado
A equação diferencial normalizada (Equação 2.70) representada abaixo
2
e de d de N M
dZ dZ dT
governa o problema do adensamento unidimensional a grandes deformações considerando a não linearidade física do material, em termos de índice de vazios (e).
Com base no MDF, o domínio do problema, neste caso a espessura da camada de solo mole, é dividido em um número finito de pontos nodais, formando uma malha de diferenças finitas constituída por npoin pontos nodais definidos no espaço normalizado Z
