Parábola
Considere uma reta d e um ponto f não
pertencente a d
Parábola é o conjunto dos pontos cuja
distância ao ponto f é igual a distância deste ponto à reta d
Graficamente
F P
P’ v
Seja P’ o pé da reta perpendicular a d que
passa por P
Assim P pertence à parábola se e
somente se
Notações
F-> foco
d-> reta diretriz
Eixo -> reta que passa pelo foco e é
perpendicular à diretriz
Vértice (v) -> Ponto de interseção entre a
parábola e o eixo
Por definição de parábola, se P = v então d(v,f)=d(v,a)=p/2, p-> parâmetro da
Encontrar a equação da parábola
Eixo da parábola = eixo y V(0,0)
|FP|=|PP’|
PP’ = (x-x,y+p/2)=(0,y+p/2) FP = (x-0,y-p/2) =(x,y-p/2)
|(x,y-p/2) |=|(0,y+p/2)| ou
√
x2 +y2− py+ p 2 4 =√
y 2+py+ p2 4x
2=
2py
y=x
2/
2p
Estudo da Parábola
Se 2py=x2 -> 2py >=0 -> p e y tem sinais
iguais
Caso 1: p>=0 -> y>=0 -> concavidade
para cima
Caso 2: p<=0 -> y<=0 -> concavidade
Eixo da parábola = eixo x V(0,0) |FP|=|P’P| P’P = (x+p/2,y-y)=(x+p/2,0) FP = (x-p/2,y-0) =(x-p/2,y) y2=2px
Estudo da Parábola
Como y2 >=0 então 2px>=0. Logo p e x
tem sinais iguais
Caso 1: p >= 0 -> x >= 0 -> concavidade
para direita
Caso 2: p <= 0 -> x <= 0 -> concavidade
Exercício
Determinar a equação da parábola v(0,0)
Exercicio
Determinar a equação da parábola com
Determinar a equação da parábola com
Determinar a equação da parábola com
V(0,0), simétrica em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P(2,-3)
Determinar Vértice, foco, equações da
reta diretriz e eixo
Determinar Vértice, foco, equações da
reta diretriz e eixo
Vértices fora da origem
V(x
v,yv)
Eixo paralelo ao eixo y (x-x
v)2=2p(y-yv)
Eixo paralelo ao eixo x (y-y
Exercício
Determine a equação da parábola V(-2,3),
Determine a equação da parábola F(2,3) e
Determine a equação da parábola V(1,3),
eixo paralelo ao eixo x passando pelo ponto P(-1,-1)
Equação explícita da parábola
A equação da parábola de vértice V(a,b) e
eixo paralelo ao eixo y tem a forma (x-a)2=2p(y-b)
x2-2ax+a2=2py-2pb
y=(x2-2ax+a2+2pb)/2p
Esta última é a forma explícita da
Exercício
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo
Exercício
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo
Exemplo
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo
Exemplo
Ache o vértice, o foco, a diretriz e o eixo
Elipse
Uma elipse de focos F e F’ é o conjunto
dos pontos cuja soma das distâncias a F e F’ é igual a uma constante que indica-se por 2a
Portanto, P є Elipse se, e somente se,
Equação
Caso 1: F(-c,0) e F’(c,0), c>=0
Olhando para o triângulo PFF’ vemos que
o lado F’F mede 2c e é menor que a soma dos outros dois lados, medindo 2a
a a c c
F F’ P
Logo, c<a
Nota: quanto mais a se aproxima de c,
mais achatada fica a elipse, logo a excentricidade (e) cresce
Elementos
Focos: são os pontos F e F’ Distância Focal = 2c
Centro = ponto médio do segmento FF’ Eixo Maior: segmento A1A2 medindo 2a Eixo Menor é o segmento B1B2 de
De acordo com a definição, P(x,y) є elipse
se, e somente se, |PF’|+|PF|=2a
Equação
Desenvolvendo a equação anterior
obtém-se a equação reduzida da elipobtém-se x2/a2+y2/b2=1
Eixo maior sobre o eixo x focos sobre o
Equação
Caso 2: Focos F(0,c) e F’(0,-c) Analogamente
Equação
Caso 3: centro fora da origem C(x
c,yc)
Eixo maior//eixo x: (x-x
c)2/a2 +(y-yc)2/b2=1
Eixo maior//eixo y: (x-x
Exercício
Determinar os vértices A1 e A2, focos e
excentricidade
X2/100+y2/36=1
x2+25y2=25
Exercício
Determinar a equação da elipse
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(0,0) um foco F(3/4,0) e um
Exercício
Determinar a equação da elipse
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(0,0), focos no eixo x, e=2/3 e
Exercício
Determinar a equação da elipse
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(-3,0), um foco F(-1,0), a elipse é
Exercício
Determinar a equação da elipse Centro C(-3,4), semi-eixos de
Exercício
Determinar a equação da elipse
Centro C(2,-1), tangente aos eixos
coordenados e eixos de simetria (eixo maior e eixo menor) paralelos aos eixos coordenados
Exercício
Determinar centro, vértices A1 e A2 e
excentricidade
Hipérbole
Sejam dois pontos fixo F1 e F2 com
d(F1,F2)=2c
A hipérbole é o conjunto dos pontos P(x,y)
do plano tais |d(F1,P)-d(F2,P)|=2a
F2 F1
Da equação anterior tem-se d(F1,P)-d(F2,p)= ±2a
Quando P estiver no ramo da direita,
d(F1,P)>d(F2,p) -> d(F1,P)-d(F2,p)= 2a
Quando P estiver no ramo da esquerda,
Seja o segmento de reta F1F2 e chame
de A1 e A2 a interseção de F1F2 com a hipérbole
Considere outra reta perpendicular a esta
C A2 F2 A1
A hipérbole é simétrica em relação a:
Segmento F1F2 Eixo vertical
Ponto C
Qual é o valor de d(A1,A2)?
Se P=A2, da def de hipérbole
|d(F1,A2)-d(F2,A2)|=2a
Como A2 está no ramo direito,
C A2 F2 A1 F1 M N P Q r s θ
Pela figura vemos que
Pela figura vemos que
d(F1,A2)=d(F1,A1)+d(A1,A2)
Substituindo
d(F1,A1)+d(A1,A2)- d(F2,A2)=2a Logo d(A1,A2) =2a
Elementos da hipérbole
Focos F1 e F2
Distância Focal: d(F1,F2)=2c
Centro C: Ponto médio de F1F2 Vértices: A1,A2
Eixo Real: segmento A1A2 e |A1A2|=2a Eixo imaginário: Segmento B1B2 onde de
MNPQ é um retângulo inserido no círculo
de raio c
r e s são assíntotas da hipérbole
s passa por ponto C e tem inclinação –b/a θ abertura da hipérbole
e=c/a excentricidade da hipérbole
Note que e está relacionado com a abertura θ
C A2 F2 A1 F1 M N P Q r s θ
Na figura anterior fixando c e aumentando a
vemos que a abertura da hipérbole diminui
Menor a abertura menor a excentricidade e>1 Maior a abertura maior a excentricidade
Quando a=b, dizemos que a hipérbole é
Equação
Caso 1: Eixo real sobre o eixo x e C(0,0) Obs: determinaremos a equação do ramo
direito: F1(-c,0),F2(c,0) e P(x,y)
d(F1,P)-d(F2,P)=2a d(F1,P) =2a+d(F2,P) |F1P| =2a+|F2P|
((x+c)2+y2)1/2=2a+((x-c)2+y2)1/2 x2+2xc+c2+y2=4a2 +4a((x-c)2+y2)1/2+x2 -2xc+c2+y2 4xc- 4a2 = 4a((x-c)2+y2)1/2 xc- a2 = a((x-c)2+y2)1/2 x2c2-2xca2+a4=a2x2-2xca2+a2c2+a2y2
x2c2-a2x2-a2y2=a2c2-a4
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2) x2b2-a2y2=a2b2
x2/a2-y2/b2=1
Observações
Se P(x,y) estivesse no ramo esquerdo,
então Q(-x,y) estaria no ramo direito de modo que ainda valeria a igualdade
anterior
Quando o eixo real estiver sobre o eixo y
Analogamente
Quando C(x
c,yc) e o eixo real // eixo x
(x-x
c)2/a2-(y-yc)2/b2=1
Quando C(x
c,yc) e eixo real // eixo y
Equação das assíntotas
y-y
c = m(x-xc) m é a inclinação
Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade
Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade
Exemplo
Determinar vértices, focos, excentricidade
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
Focos F(±5,0), Vértices (±3,0) Eixo real = eixo x, centro C(0,0)
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
a=4, Vértices (±4,0)
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
b=8, e=5/3
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
C (5,1), um foco F(9,1) eixo imaginário mede
Exemplo
Determinar a equação da hipérbole que
satisfaz as seguintes condições:
C (2,-3), eixo real // eixo y passando por (3,-1)
