Lauda projetada no quadro - Fundamentos de matemática

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“Aprender matemática é obter independência e autonomia para resolução de futuras questões de matemática”

EMENTA

Números reais; percentagens; noções de matemática

financeira; equações de 1° e 2° grau; noções de conjuntos;

funções elementares; noções de critério mínimos quadrados

Avaliações: 1. Frequência;

2. Lista de atividades; 3. Provas

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Revisão Matemática Básica

Um número natural é denominado primo quando este

tem apenas dois divisores positivos.

(2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; …) sequências de números

primos.

•

7 é primo;

•

12 não é primo;

•

1 não é primo;

Os divisores positivos de um número natural n são todos

os números naturais p > 0 tais que n dividido por p

resulta num outro número natural m. Diz-se então que p

divide n e indica-se p|n.

p|n – Lemos p divide n

Exemplo I

6|12, pois, 2.6 =12: logo 12 é múltiplo de 6

Decomposição de um número em fatores primos é útil

para proceder para cálculos diversos.

Exemplo II

é uma fração que pode reduzida

Veja no quadro como reduzir esta expressão usando a

decomposição em fatores primos

A decomposição em fatores primos é útil para

determinação do número de divisores de número inteiro.

Qual é a quantidade de divisores naturais do número

512?

Potenciação e radiciação

Sendo , ,

P1

Se e vamos considerar que é indeterminado.

Se ,

P

P

P

Se

,

,

e

P

Sendo

,

2.

3.

P

Sendo

Sendo

P

Sendo

P

Calcule o valor de cada expressão abaixo

a)

b)

c)

Atividade de fixação

1) Usando as propriedades básicas da potênciação

Simplifique as expressões:

a) 2

−2

2

b) 2

−4

2

c) 5

÷5

d) (0,25)

.

(

1

4

)

e) Prove que 2k+4 para todo k inteiro e positivo é sempre

um número par.

2) Coloque V ou F e justifique cada alternativa.

Noção de conjunto

Conjunto é uma coleção de (objetos, coisas, indivíduos)

que possui pelo menos uma característica em comum.

Aluno do 1°P/2019 TADS do Ifes de Alegre é um

conjunto? Por quê?

Pessoas que estudam no 1°P/2019 TADS e não tem

Facebook é um conjunto? Por quê?

Cada componente de um conjunto dizemos que ele é um

elemento de um conjunto e que pertence ao conjunto.

Conjuntos: A, B C,...Z

Elementos: a, b, c, ...z

Pertinência: Relação entre elemento e conjunto.

H ={ a; b; h; p}

•

a é um elemento de A, logo

•

é negação de

•

é negação de =

•

=

Representação de um conjunto:

A = { x | x é a cor da bandeira do Brasil}

Então o conjunto A pode também ser representado por:

ou A = {azul; verde; amarelo; branco}

.branco .verde .amarelo .azul

Diagrama de VENN . amarelo .azul

•

•

•

Considere o conjunto H = {x| x é um aluno que estuda no 1° I do Ifes com mais de 30 anos}

Um conjunto vazio é o conjunto que não tem nenhum elemento, ou seja, cardinalidade nula.

Representação H = { } ou H =

OBS:. H = { } - Conjunto unitário

Escreva os elementos do conjunto:

1) G= { x | x é um mês cuja letra inicial do nome começa p} B

2) J = { | , sendo y um número natural} 3) U = { | , sendo y um número inteiro}

4) O que significa conjunto vazio?

5) O que significa conjunto unitário?

6) U = J? Por quê?

Atividades de fixação

1. Escreva os elementos do conjunto F = {x| x é um

quadrado perfeito menor que 16}

2. Escreva os elementos do conjunto H = {x| x é um

quadrado perfeito menor ou igual que 16}

3. Considere p conjunto J = {y| y é um número primo

positivo e par}. Este conjunto é vazio? Por que?

4. Como você representaria em diagrama de Venn os dois

conjuntos A = {x| x é nome de um estado sul} e B = {y| y é

um estado do nordeste}

5. Como você representaria em diagrama de Venn os dois

conjuntos A = {x| x é nome de um estado brasileiro} e B =

{y| y é um estado do nordeste}

6. Como você representaria em diagrama de Venn os dois

conjuntos A = {x| x é nome de um membro de sua família}

e B = {y| y é um brasileiro}

7. Como você representaria em diagrama de Venn os dois

conjuntos A = {x| x é número natural entre 1 e 1000 } e B

= {y| y é um número par}

8. Considere os conjuntos:

= {a|a são as pessoas que formam a população brasileira atual}

A = {x|x são pessoas brasileiras que tem aids atualmente}

B= {y|y são pessoas brasileiras que atualmente moram no Espírito Santo Atualmente}

a) Represente usando o diagrama de Venn , A e B. b) Escreve qual é o conjunto .

c) Escreve qual é o conjunto .

Relação de inclusão em um conjunto

Definição:

ou que

Ou seja, elemento de B pertence a A.

F = { x| x é um aluno do 1ºI P TADS de Alegre 2019 de Guaçuí} J = { y| y é um aluno do 1° PTADS Ifes de Alegre 2019}

F é subconjunto de J? Por quê?

Argumente que é subconjunto de qualquer conjunto. O

número de elementos de conjunto é sempre indicado por

n(H) ou # H

Existem 4 elemento no conjunto H

União e intercessão entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B

A união entre dois conjuntos gera outro conjunto chamado conjunto união. = {x| x são os elementos que pertencem A ou B}

A intersecção entre dois conjuntos gera outro conjunto chamado conjunto

intersecção:

= { x| x pertence ao conjunto A e B simultaneamente}

Definição de conjunto universo

é um conjunto universo de um estudo qualquer.

Observações 1. 2. 3. 4. Diferença de conjuntos

Dado um conjunto universo e com e o conjunto diferença é

definido por:

Definição de conjunto complementar

O conjunto complementar de são todos os elementos que não pertencem a A dentro de um universo considerado.

= {x| x pertence ao universo e a A}

Obs.: ={x| x pertence ao universo e a A}

Atividade I

Leis de Morgan

Resolução de problemas teoria dos conjuntos

Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? R:. 600

Perguntas complementares relativa à questão anterior a) b) c)

Atividade II

Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos. b) venceu A, com 140 votos.

c) A e B empataram em primeiro lugar. d) venceu B, com 140 votos.

Atividade III

Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas? R:. 200

Programas n(E) n(N) n(H) n(E ∩ N) n(E ∩ H) n(N ∩ H) n(E ∩ N ∩ H) Nenhum

Nº de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Atividades propostas

1. Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezenove compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza? R:. 9

2. Sendo um conjunto universo, escreva qual é o conjunto pintado de preto.

3. Pinte o conjunto no diagrama.

A

4. Pinte no primeiro diagrama a união entre os dois conjuntos que estão representados pintado de preto nos dois últimos diagramas.

5. Qual operação com os conjuntos A, B e C é

representada a parte pintada de preto no diagrama

abaixo.

R:.

6

7. Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na

Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são

empresas exportadoras e 19 não se enquadram em

nenhuma das classificações acima. Das empresas do

Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das

empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de

empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e

exportadoras é:

a) 21

b) 14

c) 16

d) 19

e) 12

Conjuntos numéricos

Denominamos conjuntos numéricos os conjuntos cujos elementos são números. Os conjuntos numéricos estudados neste nível de ensino são dos números naturais , conjuntos dos números inteiros , conjuntos dos números racionais , conjuntos dos números irracionais e conjunto dos números

e

= Conjunto dos números inteiros não nulos

= Conjunto dos números inteiros estritamente positivos

Observações

= { | sendo e } Complete usado 1. - 5…... 2. 0 ….. 3. 9 ….. 4. 1, 2 …. 5. 7 …. 6. …. Coloque V ou F 1. 2. 3. 4.

O conjunto dos números decimais periódicos ao conjunto 1. 0,888888… =

2.

Observação:

O conjunto dos números decimais não periódicos Conjunto dos números reais é formado por

1,2 1,22222….

Representação em forma de diagrama de VENN os conjuntos

Exercícios

1. Qual é a representação fracionária de 2,55555….? 2. Defina o que é um número irracional

3. 2,5555 pertence a qual(is) conjuntos numéricos? 4. Considere os conjuntos A e B

Obtenha os conjuntos:

a) b) c) 5. Com relação ao exercício anterior coloque V ou F.

a) b)

c) d) d) e)

6. Como medir já que ele é irracional? E como marcá-lo na reta numérica?

7.Qual a diferença nesta duas notações e

8. Dados o conjunto A = {a; e; i; o; u}. Da definição de subconjuntos de um conjunto podemos obter quantos subconjunto de A?

De forma geral é o número de subconjunto de um conjunto com elementos, e é o número de subconjuntos não vazio conjunto com elementos.

9. Como marcar geometricamente ?

Atividades de fixação

1. Verificar se há alguma relação de inclusão, ou seja, se ou se . A = {x | x Î e x < 5} e B = {x | x Î e (x + 1)2 _{< 28}.}

2. Marque a alternativa incorreta:

a) Se x e y são números racionais, então x+y é um número racional. b) Se x e y são números irracionais, então x+y é um número irracional. c) Se x e y são números racionais, então x.y é um número racional.

d) Se x é um número racional e y é um número irracional, então x+y é um número irracional.

3. A dízima periódica pode ser representada . Qual é o valor de a e b? 4. Seja A = {2, {4}, {4,5}}. Quais das proposições abaixo são erradas. Justifique suas respostas!

5. Foi feita uma pesquisa com um grupo de 500 pessoas sobre a leitura dos jornais A, B e C e os dados foram assim registrados: 208 pessoas leem o jornal A; 98 pessoas leem o jornal B; 104 pessoas leem o jornal C; 52 pessoas leem os jornais A e B; 62 pessoas leem os jornais A e C; 38 pessoas leem os jornais B e C; 20 pessoas leem os jornais A, B e C. Definindo o conjunto H = {x | x é pessoa da pesquisa que não lế jornal A} e P = {x | x é pessoa da pesquisa que não lế jornal B. Responda as questões.

a) Quantas dessas pessoas não leem nenhum desses jornais? R:. 222 b) Quantos elementos têm o conjunto ? R:. 52

6. Seja os conjuntos A e B onde A = {x| x Î , -7 < x < 10} e B = {y| y Î e 12/5 < y < 20}, sendo =

a) A e B são conjuntos infinitos? b) Quais são os elementos de c) Determine

7) O resultado da expressão pertence a qual conjunto numérico?

8) Se a > b e a > 1 e b > 1 localize na reta numérica a, b, e . a) Qual afirmação pode ser feita sobre a localização de na reta?

b) Qual afirmação pode ser feita sobre a desigualdade ?

9) O número pertence a qual conjunto numérico?

10) O resultado da expressão + 1,6666…pertence a qual conjunto numérico?

11) O número 0,9999… pertence a qual(is) conjuntos numéricos?

12) Prove que todo número ímpar elevado ao quadrado é também um número ímpar

13) Prove que é divisível por 13.

Intervalos reais

Supõe que você ao marcar de encontrar com um colega de sua sala na biblioteca para fazer um trabalho escolar ele perguntou?

Qual é o horário ideal para começar o trabalho? Você responde que só pode entre 9 e 11 horas!

Como você representaria a sua disponibilidade para fazer o trabalho?

Dentro do contexto acima o que significa o intervalo P? Escreva de mais duas forma o Intervalo P.

Represente na reta real o intervalo I = {x | x < -5 ou x > 4}∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4}

Aplicação

Para fazer um trabalho de matemática Paula disse que só estaria disponível no intervalo entre 14 horas e 17 horas. Anderson disse que estaria disponível de 13 horas às 16 horas e Elisa de 15 horas às 18 horas. Obtenha o intervalo onde os três podem se reunir simultaneamente para fazer o trabalho.

1. Obtenha um horário onde pelo menos uma das três pessoas podem comparecer para fazer o trabalho.

2. Obtenha o intervalo onde apena Anderson e Elisa podem comparecer para fazer o trabalho.

3. Obtenha o intervalo onde apena Paula e Elisa podem comparecer para fazer o trabalho.

Atividades complementares sobre intervalos reais

1. Represente, na reta real, os intervalos:

a) U = [ 2; 8] b) I = {x | 2 < x < 5}∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4} c) P = ] – ∞, 2] d) A = {x | -2≤ x ≤ 2}∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4}

2. Use o conceito de intervalos reais para obter a solução das inequações simultâneas.

a) b) c)

3. Para fazer um trabalho de matemática Paula disse que só estaria disponível no intervalo entre 14 horas até 17 horas. Anderson disse que estaria disponível de 13 horas às 16 horas e Elisa de 15 horas às 18 horas. Obtenha o intervalo aonde os três podem se reunir simultaneamente para fazer o trabalho.

4) Considere os intervalos reais J = [ 2; 8], I = {x | 2 < x < 5} e F = ]-1; 9 [. Obtenha os∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4} intervalos:

a) b) c)

5) Considere o intervalo I = {x | x < -5 ou x > 4} e B = ] -4; 7[. Obtenha o intervalo ∈ ℝ| x < -5 ou x > 4} ℝ| x < -5 ou x > 4} 6) Exercício resolvido.

Proporcionalidade Motivação:

A quantia de R$ 3 000,00 precisa ser dividida entre Joana, Beatriz e Carla, de forma inversamente proporcional a suas idades, que são 20 anos, 15 anos e 12 anos, respectivamente. Determine a quantia que cada um receberá.

Proporcionalidade

Grandeza é tudo que pode ser medido ou contado. - Altura;

- Tempo de vida útil de um HD; - Massa;

- Preço do leite; - Doses de adubo

A relação entre duas grandezas pode ser:

•

•

•

A relação em entre as grandezas preço de HDs e números de HDs comprados.

•

•

rodução de uma planta e doses de adubo.

•

•

•

Nem sempre a relação entre duas grandezas é diretamente proporcional.

Em muitos casos do nosso cotidiano quando existe a proporcionalidade direta ou inversa entre duas grandezas é muito útil para resolver problemas do nosso cotidiano.

Vale ressaltar que nem sempre a relação entre duas grandezas é uma proporção direta.

Quando é evidente que a relação entre duas grandezas é uma proporção direta em geral dizemos que são grandezas diretamente proporcionais.

Quando é evidente que a relação entre duas grandezas é uma proporção inversa em geral dizemos que são grandezas inversamente proporcionais.

Quando é evidente que a relação entre duas grandezas não há relação de proporcionalidade dizemos que são grandezas não proporcionais.

É razoável supor proporcionalidade entre estas grandezas abaixo? Caso sim resolva o que se pede.

a) Seu avô, quando viajou para a praia, levou 4 horas para chegara até Santos. Durante a viagem, a velocidade do carro foi de 60 km/h. Quanto tempo ele levaria se viajasse a 120 km/h?

b) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²? R:. 7 h

c) Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias. Quantos dias seriam necessários para a construção deste mesmo muro, se fossem utilizados 12 operários? R:. 20 dias.

d) Uma caixa d'água está furada no fundo. Por causa disso, ela perde 2 litros de água a cada 1 hora. Marque no gráfico, considerando o tempo no eixo X e a quantidade de água perdida no eixo Y, as respostas de cada item:

a) Quantos litros de água vazaram da caixa em 2 horas? b) E em 3 horas?

c) E em 5 horas? d) E em meia hora?

e) Uma casa é construída por 40 operários trabalhando 9 horas por dia durante 6 dias. Em quantos dias 24 operários poderiam construir a mesma casa, trabalhando 5 horas por dia? R:. 18 dias

f) A quantia de R$ 3 000,00 precisa ser dividida entre Joana, Beatriz e Carla, de forma inversamente proporcional a suas idades, que são 20 anos, 15 anos e 12 anos, respectivamente. Determine a quantia que cada um receberá.

Porcentagem

Porcentagem é toda razão onde é 100. Assim é uma taxa percentual.

Uma taxa percentual podem ser escritas de várias formas.

0,25

Em geral os cálculos com taxas percentual simples podem são proporcionais.

O conceito de porcentagem é um dos mais utilizados no dia a dia, como para efetuar comparações com valores dados. Por exemplo, vamos supor que uma prestação de R$ 500,00 sofrerá de 30%. Em termos matemáticos, escrevemos:

✔

ou

✔

✔

Em uma avaliação com 25 questões Anderson acertou 18 questões. Calcule o percentual de acertos e de erros nesta avaliação.

Uma barra de chocolate de 250g custa R$ 5,00 reais. A empresa reduziu para 200g e continuou com o preço de R$ 5,00. Calcule:

a) O percentual de redução de chocolate.

b) O percentual de aumento no preço do chocolate.

Após obter um desconto de 5% por uma impressora Jairo pagou R$ 950,00. Calcule o preço da impressora antes de obter o desconto de 5%.

Em um terreno retangular ABCD de 20m2, serão construídos um deque e um lago, ambos de superfícies retangulares de mesma largura, com as medidas indicadas na figura. O projeto de construção ainda prevê o plantio de grama na área restante, que corresponde a 48% do terreno.

Paulo acertou 12 de 20 questões na prova e Anderson acertou 20 de 60 questões na prova. Quem teve melhor aproveitamento?

Fatoração

A fatoração de um número na forma de fatores primos é bem simples.

A decomposição do número 50 em fatores primos. (Veja no quadro)

Fatorar expressões algébricas em geral está relacionado ao conceito de fator comum em evidência e de alguns produtos notáveis.

Fatorar significa reescrever a expressão em outra forma equivalente e que seja útil para fins de simplificação em alguns momentos do cálculo I.

Fatoração de expressões algébricas

Fator comum em evidência:

A expressão pode ser reescrita de outra forma.

(Veja no quadro)

Logo usando o pensamento anterior a expressão pode ser simplificada

Reescreva a expressão ax + ay + bx + by na sua forma fatorada.

Produtos notáveis

1.

2.

3.

4.

Fatore a expressão x² - 16

Fatore a expressão x² - 8x + 16

Expandir a expressão x.(x - 4)

Atividades

1. Simplificar ao máximo a expressão

2. Se e . Calcule A – B.

4. Calcule o valor da expressão algébrica para x = -2 5. Fatore a expressões

Fatoração de equações de segundo grau.

Toda função da forma , onde é

denominada função do segundo grau.

Toda expressão de segundo grau pode ser fatorada como segue.

Exemplo

Fatorar função

Veja no quadro!

Reescreva as expressões abaixo na forma fatorada. 1)

2) 3) 4) 5)

Função

Função é uma lei (matemática ou não) que associa dado valor de um conjunto A (Domínio) a um único correspondente em um conjunto B (Contradomínio).

Raiz de uma f(x) é todo x tal que f(x) = 0.

Considere que um taxista cobre R$ 15, 00 reais por bandeirada mais R$ 2,00 reais por km rodados. Por quanto ficaria um viajem de 90 km?

E uma viajem de 210 km?

E uma viajem de km?

Construa uma tabela de alguns pares de km e R$ a serem pagos

km R$ 0 1 2 3 4 4,5 5 10

Anote os pares no plano cartesiano e observe o padrão dos pontos.

Para qual valor de km o valor a ser é R$ 315,00 reais.

Alguns tipos de funções e aplicações (Apenas formatos gráficos)

A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.

Obtenha a função f(x) do valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso.

Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de

vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é em função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Disponível em: <www.penta.ufrgs.br>. Acesso em: 13 jan. 2009 (Adaptação).

Obtenha a função que permite calcular o nível da água y em função do número de bolas x?

Alguns Softwares úteis

1. https://www.wolframalpha.com

2. www. geogebra .org

Domínio de uma função

Uma função f é uma lei que associa, a cada elemento x em

um conjunto D, exatamente um elemento, chamado f(x), em

um conjunto E.

Em geral, consideramos as funções para as quais D e E são

conjuntos de números reais. O conjunto D é chamado

domínio da função.

A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f

(x) obtidos quando x varia por todo o domínio.

O gráfico de uma função f está na figura abaixo

(a) Encontre os valores de f(1) e f(5).

Função crescente, decrescente e constante

Uma função é constante se para elementos de seu domínio

Considere as funções abaixo. Escreva os intervalos onde cada

função são crescente ou decrescente.

O gráfico de uma função f é dado:

(a) Diga o valor de f(1). (b) Estime o valor de f(-1).

(c) Para quais valores de x é f (x) =1?

(d) Estime os valores de x tais que f(x) = 0. (e) Diga qual é o domínio e a imagem de f. (f) Em qual intervalo f é crescente?

(g) Em qual intervalo f é decrescente? (h) Qual é o ponto máximo de f(x)?

Estudo do sinal de funções

Estudar o sinal de uma função f(x) é dizer para que valores de x torna f(x) positiva, para que valores de x torna f(x) negativa e para que valor de x torna f(x) = 0, ou seja, estabelecer para que valores do domínio f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) =0

Estude o sinal da função definida de R em R que está

representada abaixo.

Exemplo

1. Estudar o sinal da função

a)

b)

c)

d)

2. Obtenha os intervalos onde a função representada

abaixo é:

a) Crescente;

b) Decrescente;

3. Estudar o sinal da função representada abaixo.

5.

6. Estude o sinal da função h(x) = 2x – 6

7. A Figura abaixo mostra curvas de velocidade para dois

carros, A e B, que partem lado a lado e se movem ao longo da

mesma estrada.

a) Para o carro B qual é a velocidade quanto t se aproxima de

16 s?

b) Para o carro A qual é a velocidade quanto t se aproxima de

13 s?

8. A função f(x) = -x²-2x definida de R em R. Tem um ponto

de máximo ou de mínimo. Quais são as coordenadas deste

ponto?

9. Dada a função

definida para

. Obtenha

f(2); f(1); f(0).

FUNÇÃO DE 1° GRAU

Toda função da forma f(x) = ax + b, definida de R em R, onde a e b são números reais (a ≠ 0) é uma função de primeiro grau. Se a = 0 f(x) é uma função contante.

Exemplo

A função real f(x) = 5x + 10 é do primeiro grau. Onde a= 5 e b=10.

A construção do gráfico desta função pode ser através da marcação dos pares ordenados no plano cartesiano.

Veja no quadro!

A função do função do primeiro grau o gráfico é sempre uma reta crescente ou decrescente.

De forma geral a raiz de um função é por definição onde f(x)=0. Raiz da função do primeiro grau. (Veja no quadro)

A função de primeiro grau onde a > 0 é estritamente crescente e para a<0 é estritamente decrescente.

Exemplo:

Considere a função real f(x) = 2x-10.

•

•

Estudo do sinal da função de primeiro grau.

Estudar o sinal de uma função de uma foma geral é obter os intervalos que f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0

Exercícios

1. Beatriz é gerente de uma sorveteria. O lucro de vendas (L) da sorveteria é dado pela função L(x) = 25x – 300, em que x é a quantidade de potes de sorvetes vendidos

a). O que o valor de R$ 300,00 representa? b. E o valor de R$ 25,00?

c. Qual é a quantidade mínima que ela precisa vender para obter lucro?

2. Qual é a função de primeiro grau está representada no gráfico abaixo.

3. Seja a função definida de cujo gráfico está representado abaixo. a) Obtenha a função f(x) = ax + b que o gráfico representa.

b) Obtenha a raiz de f(x); c) Obtenha f(7);

d) Faça o estudo do sinal de f(x);

4. Considere a função de primeiro grau definida de A em B sendo A={2, -4, 6} e B = {2, -1, 4, 0}. Calcule

5. O gráfico da função f(x)= ax + b é o apresentado abaixo.

Determine:

a) os valores de a e b; b) a raiz da função.

6. Um vendedor recebe, a título de rendimento mensal, um valor fixo de R$ 160,00 mais um adicional de 2% das vendas efetuadas por ele no mês.

a) Obtenha uma equação que expressa o rendimento mensal R(x) desse vendedor em função do valor x de suas vendas mensais e construa o gráfico dessa função.

b) Calcule a taxa média de variação de y em relação a x, quando este varia de R$ 500,00 a R$ 1.000,00.

7. A relação entre as medidas de temperaturas, na escala Celsius (°C) e na escala Fahrenheit (°F), está representada no gráfico abaixo.

a) Obtenha a equação que expressa a medi-da y medi-da temperatura, em grau Fahrenheit em função da medida x, em grau Celsius. b) Determine a medida da temperatura, em grau Celsius, que corresponde a 24 °F.

Função de segundo grau;

FUNÇÃO DE 2° GRAU

Toda função da forma , definida de R em

R, onde a, b e c são números reais (a ≠ 0) é uma função de segunda grau. Se a = 0, f(x) é uma função primeiro grau.

Pode-se dizer que vários fenômenos (variáveis) da natureza pode ser aproximados (modeladas) por uma função de segundo grau.

Considere a função de segunda grau definida de IR em IR.

a) Estudar o formato do gráfico da função f(x); b) Calcular f(-2) + f(0);

c) Construir o gráfico de f(x); d) Estudar o sinal da função f(x); e) Obter onde f(x) > 0.

Seja a função definida de IR em IR .

a) Esta função tem ponto máximo ou mínimo? Quais são as coordenadas este ponto?

b) Faça um estudo do sinal desta função. c) Obtenha onde f(x) > 0.

Atividades de fixação sobre função de segunda grau.

1. Faça um rascunho do gráfico da função definida de IR em IR onde a. f(x) = x² – 4x+4 b. g(x) = -x² + 8x

2. Estude onde a função f(x) = 2x² – 4x é positiva, ou seja, f(x) > 0. 3. Estude onde a função f(x) = x² – 10x é negativa, ou seja, f(x) < 0.

4. Estude o sinal da função definida de IR em IR h(x) = -x² + 6x 5. Na fabricação de certo produto, o lucro mensal de uma empresa,

em milhares de reais, é dado por ,

sendo x o número de milhares de peças vendidas no mês. Determine:

a) O lucro mensal máximo na venda de peças;

b) Em que intervalo de valores de x a empresa teve prejuízo?

6. Entre todos os retângulos de perímetro 20 m. Qual tem maior área?

7. Resolva a inequação x² – 4x < 0

8. A função f(x)=y que expressa o número de milhares de downloads de um aplicativo baixado em um smartfones, em função do número x de semanas transcorridos desde o instante de em que esse aplicativo foi disponibilizado para ser baixado é

, aonde b é uma constante real. Sabe-se que ao completar uma semana do início da contagem, já haviam sido registrados 700 downloads, determine:

a) O valor de b;

b) Após quantas semanas, no mínimo não foram registrados mais downloads desse aplicativo;

c) Após quantas semanas do início o número de downloads desse aplicativo foi máximo e qual foi este número;

10. O gráfico representa a função de segundo grau dada por . Obtenha os valores de b e c.

Função exponencial

Uma função é toda função f(x) definida de

dada

pela lei

, em que a é um número real positivo

dado,

e

.

Exemplo:

As restrições

e

podem ser entendidas assim:

•

não pertence ao conjunto ;

•

é uma função contante para real.

Estudar a função e equações exponencias necessário deve-se ter habilidade com as propriedades de potenciação e radiciação.

Vamos construir e analisar o gráfico da função

Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei , em que k é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de k e de a.

A figura descreve o gráfico de uma função exponencial do tipo f(x) = ax, de

1. A função exponencial

permite

estimar a depreciação, em reais, de um equipamento do

laboratório de química após t anos da compra do mesmo.

Depois de quanto tempo o equipamento estará avaliado em

R$ 1250,00?

2. A quantidade de peixes em um lago está diminuindo

devido à contaminação da água por resíduos industriais logo

após a instalação de uma industria na região. A função

exponencial que nos dá a estimativa do número de peixes

vivos em t anos após a instalação é dada por

.

a) Estime (calcule) a quantidade de peixes vivos cinco anos

após a instalação da industria.

b) Após quanto tempo o número de peixes vivos será

estimado de 2440 unidades?

Noção de matemática financeira

Chamamos de juros a remuneração pelo uso de um certo capital aplicado por um determinado período.

“Aluguel” para usar uma quantia por um período. Este período pode ser em dia, meses, anos e etc. Em geral este aluguel é cobrado por mês.

Pegar uma quantia em dinheiro emprestado é vantajoso?

Qual valor de R$ 800,00 daqui 5 meses capitalizado a 1% a.m a juros simples?

Veja no quadro.

Qual valor de R$ 800,00 daqui 5 meses capitalizado a 1% a.m a juros composto?

FV = PV.(1 + i)t _{- Capitalização a juros compostos}

•

•

FV= PV.(1+ i.t) - Capitalização a juros simples

Exercícios

a) Calcule o montante final de R$ 1500,00 capitalizados juros simples por 12 meses a uma taxa de 2%a.m.

b) Calcule o montante final de R$ 1500,00 capitalizados juros composto por 12 meses a uma taxa de 2%a.m.

Descontos sucessivos

Para uma mercadoria no valor de R$ 250,00 o vendedor concedeu um desconto de 5%. Qual deve é o novo valor após este desconto?

Supõe que para este novo preço para o vendedor concede mais 5% de desconto. Qual deve é o novo valor após este desconto?

Qual seria a atualização para 3 três descontos sucessivos de 5%?

Aumentos sucessivos.

Para uma mercadoria no valor de R$ 250,00 o vendedor concedeu um aumento de 5%. Qual deve é o novo valor após este desconto?

Supõe que para este novo preço para o vendedor concede mais 5% de desconto. Qual deve é o novo valor após este desconto?

Telma tem duas opções de pagamento na compra de um telefone celular: Três prestações mensais de R$100, 00, ou seis prestações mensais de R$ 51,00 cada. Se o dinheiro vale 5% ao mês para Telma. O que ela deve preferir? Sendo a primeira parcela no ato da Compra.

Exercícios

1. Uma parcela de R$ 500,00 reais venceu há 6 meses. Supondo uma taxa de juros fixa de 2% a.m. Qual deve ser o valor de a ser pago após estes seis meses?

2. Uma parcela de R$ 500,00 reais vencerá daqui há 6 meses. Supondo uma taxa de juros fixa de 2% a.m. Qual deve ser o valor de a ser pago hoje?

Exercícios

1. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6 000,00 à taxa de 1% ao mês?

2. O capital de R$ 2 000,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros mensal?

3. Uma pessoa deseja aplicar R$10000,00 a juros compostos e, no fim de 3 meses, obter um montante de R$ 11248,64. Qual deve ser a taxa de juros?

4. Uma calça teve um aumento de 7% e passou a custar R$ 59,00. Qual era o preço antes do aumento?

5. Andersom pega R$ 5000,00 emprestado a uma taxa de 4 % ao mês.

6) Andersom pega R$ 5000,00 emprestado a uma taxa de 4 % ao mês.

a) Evidentemente se ele pagar o juro ao final de cada mês fica caracterizado que o sistema de cobrança é de juros simples . Determine o valor dos juros ao final de 2 anos.

b) Determine o valor dos juros ao final de dois anos se o sistema for de juros compostos?

7) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: À vista, com desconto de 30 % sobre o preço da tabela, e no cartão, com acréscimo de 10 % sobre o preço da tabela. Um artigo que sai por R$700,00 à vista , sairá por quanto no cartão?

Taxas de Juros Equivalentes e Proporcionais

Quando os alunos do ensino médio estudam Matemática Financeira, muitos exemplos e exercícios os levam a acreditar que uma taxa de juros de 2% ao mês é equivalente (ou seja, produz os mesmos rendimentos em condições iguais) à taxa de 24% ao ano, o que não é verdade.

A habilidade de relacionar taxas de juros dadas em diferentes unidades de tempo, além de ter importância fundamental na compreensão de termos do mercado financeiro como taxa nominal e taxa efetiva, pode ser usada como base para a introdução e compreensão do conceito de juros simples de acordo com o seu

contexto de aplicação.

No regime de juros compostos, a taxa de juros i rende, após n períodos de capitalização, o mesmo montante gerado pela taxa de juros I aplicada por um período, onde I é dada por:

As taxas i e I são chamadas de taxas equivalentes.

•

Aqui entra uma informação importante sobre a prática do mercado financeiro.

É comum encontrar nas propagandas financeiras frases do tipo "taxa nominal de juros de 24% ao ano com capitalização mensal". Pela propriedade acima, uma taxa de 24% ao ano seria equivalente a taxa mensal i dada por:

Definição:

Se i é uma taxa relativa a um determinado período, então, no prazo de n períodos:

•

taxas equivalentes;

•

Atividade de fixação.

Determinar a taxa efetiva anual de um investimento que rende 1% ao mês. Em seguida, determinar a taxa mensal equivalente à taxa de 12% ao ano.

1° Caso: 2° caso:

Equivalência de Capitais

Na Matemática Financeira, é comum o entendimento de

que o valor de um capital varia em função do tempo, pois

além das possibilidades de desvalorização da moeda,

inflação e consequente perda do poder de compra,

considera-se também o custo de oportunidade, que trata

de um potencial investimento (comercial, financeiro etc)

que o detentor da quantia dispõe para aumentar seu

capital. Dessa forma, dois capitais distintos em épocas

diferentes podem ter o mesmo valor quando analisados na

mesma data. Por exemplo, para um investidor que dispõe

de uma taxa de rendimento de 1% ao mês, a quantia de

R$ 100,00 hoje tem o mesmo valor que R$ 102,01 dois

meses depois, pois 100 · (1,01) 2 = 102,01.

Sob essa ótica, dois valores distintos de capitais que se

igualam quando analisados à mesma época, são ditos

capitais equivalentes.

As habilidades de analisar e comparar capitais em

diferentes épocas, transportando seus valores para a

mesma data, são essenciais na Matemática Financeira

para a resolução de problemas envolvendo

parcelamentos, amortizações e tomada de decisões,

conforme veremos nos problemas apresentados nesta e na

próxima seção.

No sistema de capitalização composta, utilizado em quase

todas as operações do mercado financeiro, dada uma taxa

i, um número n de períodos e um capital C, então, é

imediato verificar que C é equivalente a C.(1+i)

_.

Analogamente, o capital C·(1+i)

_{é equivalente a C. Tal}

No sistema de capitalização composta a uma taxa i, o

valor atual de um capital C é chamado de Valor Presente

(VP) e seu equivalente após n períodos de capitalização,

ou seja, C.(1 + i)

_{, é chamado de Valor Futuro (FV).}

Se após n períodos o valor futuro de um capital é C, então

é imediato verificar que seu valor presente é C·(1 + i)

_.

Por isso, utilizaremos os seguintes termos:

• Fator de obtenção do Valor Futuro: (1 + i)

_;

• Fator de obtenção do Valor Presente: (1 + i)

_.

Atividade de fixação

Uma pessoa pretende investir uma parte da sua renda

para a aposentadoria. Entre as pesquisas e simulações de

investimentos feitas, uma das opções consideradas era a

de investir mensalmente R$ 1.200,00 em um fundo com

taxa efetiva de ganho de 0,9% ao mês. Qual será o valor

acumulado por essa pessoa após 20 anos de investimento

(primeiro depósito na data zero)?

Veja no quadro!

V

= valor final; V

=valor fixo das parcelas

1200 1200 1200 1200 1200

….

0 1 2 3 239

VF= 1200.1,009240 _{+ 1200.1,009}239₊ … _{+1200.1,009¹=1020806,64}

Uma pessoa pretende investir uma parte da sua renda

para a aposentadoria. Entre as pesquisas e simulações de

investimentos feitas, uma das opções consideradas era a

de investir mensalmente R$ 1.200,00 em um fundo com

taxa efetiva de ganho de 0,9% ao mês. Qual será o valor

acumulado por essa pessoa após 20 anos de investimento

(primeiro depósito na data um)?

Veja no quadro!

1200 1200 1200 1200

0 1 2 3 240

Em geral temos:

O cálculo do valor futuro de uma série postecipada, ou seja, primeiro depósito feito na data UM

-(Depósitos no final do período)

; n é o número de prestações.

Cálculo do valor futuro de uma série antecipada, ou seja, primeiro depósito feito na data ZERO -(Depósitos no início de cada período)

Estas fórmulas podem ser deduzidas usando o conceito de

progressão geométrica com razão

e

,

com n+1 termos.

Um celular é vendido em duas condições. Sendo a

primeira parcela no ato da Compra

(data zero)

com taxa

i=0,5%a.m.

•

Quatro prestações de R$ 250,00;

•

Seis prestações de R$ 170,00.

Qual é o total dos dois celulares em cada situação? 250 250 250 250

0 1 2 3

1° Caso – 4 prestações

2° Caso – 4 prestações 170 170 170 170 170 170 0 1 2 3 4 5 FV=170.1,0056 _{+ 170.1,005}5 ₊ …._{+ 170.1,005}1 _{= 1037,99}

Qual deve ser o valor deste celular se for pago à vista em cada situação?

Um celular é vendido em duas condições.

com taxa

i=0,5%a.m.

•

•

Qual é o total dos dois celulares em cada situação?

1° Caso – 4 prestações

250 250 250 250

0 1 2 3 4

2° Caso – 6 prestações

Qual deve ser o valor deste celular se for pago à vista em cada situação?

Um cidadão deseja aplicar a juros compostos R$

15.000,00 à taxa de 4% ao mês, a fim de gerar um

montante equivalente a R$ 21.000,00. Qual o tempo

(período) necessário para a aplicação gerar o montante

desejado, conforme as condições citadas?

(Aplica logaritmo para obter t)

Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta

de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t

meses, é dado por M(t) = C.2

_{, onde C é uma constante}

positiva. Obtenha o tempo mínimo para duplicar a quantia

depositada.

Noções de critério mínimos quadrados

O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), ou Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) ou OLS (do inglês Ordinary Least Squares) é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças são chamadas resíduos).

Regressão linear simples

Imagina suponha que um cientista deseja estudar a relação entre consumo e renda. Ao amostras algumas residencias obteve os dados.

Observando o gráfico acima:

a) Qual a relação entre consumo e renda?

b) Qual seria o método de estimação dos parâmetros desta relação matemática?

c) Quais seriam este parâmetros?

d) Como obter a estimativa destes parâmetros? Modelo linear de primeiro grau:

VEJA NO QUADRO!

A Tabela abaixo fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, medidos em partes por milhão no Observatório de Mauna Loa em Hilo, no Havaí, de 1980 a 2008. Use os dados da Tabela para encontrar um modelo linear de primeiro grau para o nível de dióxido de carbono.

Atividades de fixação:

1. O pesquisador fixa então sete valores de X (sete níveis

do regressor), fazendo apenas uma observação Y (fator

resposta), em cada caso, tal como se vê na tabela.

Nitrogênio kg ha. ¹ (x)⁻¹ (x) Produtividade Safra kg ha. ¹ (y)⁻¹ (x)

10 1000 20 2300 30 2600 40 3900 50 5400 60 5800 70 6600

Obtenha os parâmetros do modelo linear. Estime a

produtividade para uma dose de nitrogênio igual a 55. É

possível estimar a produtividade para uma dose de

nitrogênio igual a 84? Justifique

Para estudar a produção média de leite em cabras foi feito

um experimento. No qual obteve os dados amostrais.

Estime os parâmetros modelo linear de primeiro grau. E

obtenha uma estimativa para produção de leite quando se

usa 132 gramas de ração.