Sobre a estabilização de sistemas lineares

(1)

Departamento de Matem´

atica

Sobre a Estabiliza¸

c˜

ao de Sistemas

Lineares

Maria Cristina Canelas Lopes Ferreira

Doutoramento em Matemática(Matemática, especialidade de Álgebra, Lógica e Fundamentos)

(2)

Departamento de Matem´

atica

Sobre a Estabiliza¸

c˜

ao de Sistemas

Lineares

Maria Cristina Canelas Lopes Ferreira

Tese orientada pelo Professor Doutor Fernando Abel Concei¸cão Silva, especialmente elaborada para a obten¸cão do grau de doutor em Matemática

(3)

óóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó

(O vento lá fora)

(4)

aos responsáveis pelo Centro de Estruturas Lineares e Combina-tórias (CELC), pelo apoio nanceiro para participação em reuniões cientícas no país e no estrangeiro.

aos colegas do departamento de Matemática da Universidade de Aveiro e a todos os que nele trabalham, pelo companheirismo e pelas excelentes condições de trabalho.

a todos aqueles que me deram sugestões, críticas e esclareci-mentos para uma maior simplicidade e clareza na escrita deste texto, em particular aos Professores Doutores Paolo Vettori e Rita Simões, pela disponibilidade e pelo apoio.

aos Amigos que, estando sempre presentes, me deram força para continuar nos momentos mais difíceis.

(5)

a Lyapunov estabelece que −A é estável se e só se existe uma matriz hermítica H denida positiva tal que AH + HA∗ _{é denida positiva.}

O teorema geral de inércia, devido a Ostrowski, Scheneider e Taussky, estabelece que existe uma matriz hermítica H tal que AH + HA∗ _é

denida positiva se o só se A não tem valores próprios com parte real nula; e, neste caso, as inércias de A e H coincidem.

Um par (A, B) de matrizes de tamanhos n×n e n×m, respetivamente, diz-se estabilizável se existe X tal que A + BX é estável.

Nesta dissertação, os resultados anteriores e outros teoremas sobre inércia foram generalizados para pares de matrizes, com vista a estudar a estabilização. De seguida, resultados análogos sobre a estabilização com respeito ao círculo unitário foram também considerados.

palavras-chave

estabilidade

estabilização inércia de matrizes matrizes hermíticas

(6)

tes that −A is stable if and only if there exists a (Hermitian) positive denite matrix H such that AH + HA∗ _{is positive denite. The main}

inertia theorem, due to Ostrowski, Scheneider and Taussky, states that there exists a Hermitian matrix H such that AH + HA∗ _{is positive}

denite if and only if A has no eigenvalues with zero real part; and, in that case, the inertias of A and H coincide. A pair (A, B) of matrices of sizes n × n and n × m, respectively, is said to be stabilizable if there exists X such that A + BX is stable.

In this work, the results above and other inertia theorems were gene-ralized to pairs of matrices, in order to study stabilization. Analogous questions about stabilization with respect to the unit disc were also considered.

keywords

Stability

Stabilization Inertia of matrices Hermitian matrices

(7)

1 Introdução 1

1.1 Preliminares . . . 1

1.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . 9

1.2.1 Sistemas com Variáveis Contínuas . . . 10

1.2.2 Sistemas com Variáveis Discretas . . . 18

1.3 Objetivo . . . 29

2 Estabilização de Sistemas de Variável Contínua 33 2.1 Generalização do Teorema de Lyapunov . . . 33

2.2 Generalização do Teorema Geral da Inércia . . . 37

2.3 Generalização de um Teorema de Chen e Wimmer . . . 46

2.4 Um Teorema de Inércia de Loewy . . . 57

2.5 A Desigualdade π(AH + HA∗_{) ≥ l} _{. . . 61}

3 Estabilização de Sistemas de Variável Discreta 71 3.1 Generalização do Teorema de Stein . . . 72

(8)

3.3 A Desigualdade π(H + AHA∗_{) ≥ l} _{. . . 88}

Referências Bibliográcas 96

(9)

Introdução

1.1 Preliminares

Vamos começar por referir algumas notações e alguns resultados bem co-nhecidos que serão utilizados ao longo deste trabalho. Mais detalhes sobre os resultados aqui referidos podem ser encontrados em diversos livros sobre teoria de matrizes como, por exemplo, [8, 11, 13].

Vamos representar por F qualquer elemento do conjunto {R, C}, onde R representa o corpo dos números reais e C representa o corpo dos números complexos. Representamos por F[x] o anel dos polinómios na indeterminada x com coecientes em F e por gr(f) o grau de f ∈ F[x] \ {0}.

(10)

Dados dois polinómios f e g ∈ F[x] \ {0}, escrevemos f | g sempre que f divide g e dizemos que f é mónico se o monómio de maior grau que ocorre em f tem coeciente 1.

Vamos agora referir também algumas notações para matrizes. Assim se m e n forem inteiros positivos, F[x]m×n _{e F}m×n _{representam os conjuntos das}

matrizes de tamanho m × n com coecientes em F[x] e F, respetivamente. Usamos, em geral, letras maiúsculas do alfabeto latino para representar matrizes.

A matriz identidade de ordem n é representada por In e se n e m forem

inteiros positivos, 0n,m, 0n e 0 representam, respetivamente, a matriz nula

de tamanho n × m, a matriz nula de tamanho n × n, e uma matriz nula de tamanho não especicado. Representamos por e(n)

i a i-ésima linha ou a

i-ésima coluna da matriz identidade de ordem n, In.

Representamos por diag(a1, . . . , an) a matriz diagonal de ordem n, cuja

en-trada (i, i) é ai, i ∈ {1, . . . , n}, que tem todas as outras entradas nulas.

Se A ∈ Cn×m_{, car(A)} _{e tr(A) representam, respetivamente, a caraterística}

e o traço da matriz A.

Se A ∈ Cn×m_{, A}t_{e A}∗ _{= (A)}t _{representam,respetivamente, a matriz}

trans-posta e a matriz transconjugada de A.

(11)

deter-minante, o espetro e o raio espetral da matriz A. Se det(A) 6= 0, A−1

representa a inversa de A.

Representamos pelo símbolo ⊕ a soma direta de matrizes e por ∗ entradas não especicadas de uma matriz.

Seja H ∈ Cn×n _{uma matriz hermítica. Escrevemos H > 0 quando H é}

denida positiva e H ≥ 0 quando H é semidenida positiva.

Seja A = [aij] ∈ Cn×n. Dizemos que A é diagonalmente dominante por

linhas se |aii| > X j6=i |aij|, para todo i ∈ {1, . . . , n}.

Teorema 1.1 [11] Seja A ∈ Cn×n uma matriz diagonalmente dominante

por linhas.

1. Se todas as entradas da diagonal principal de A são reais positivas, então todos os valores próprios de A têm parte real positiva.

2. Se A é hermítica e todas as suas entradas principais são reais positivas, então todos os valores próprios de A são reais positivos.

(12)

(π0, ν0, δ0) quando π ≤ π0, ν ≤ ν0 e δ ≤ δ0.

Seja A ∈ F[x]m×n_{. Para cada j ∈ {1, . . . , r}, onde r = car(A),}

chama-mos divisor determinantal de ordem j de A ao máximo divisor comum mónico dos menores de ordem j de A, que será representado por dj(A).

Em particular, d1(A) é o máximo divisor comum mónico dos elementos da

matriz. Além disso, dj(A) 6= 0, para j ∈ {1, . . . , r}, e convencionamos que

dj(A) = 0, para j > r. Por outro lado, convencionamos que d0(A) = 1.

Resulta da regra de Laplace para o desenvolvimento do determinante que d0(A) | d1(A) | · · · | dr(A).

Seja A ∈ F[x]m×n_{. Para cada j ∈ {1, . . . , r}, onde r = car(A), designamos}

por j-ésimo fator invariante de A ∈ F[x]m×n _{o elemento}

sj(x) =

dj(A)

dj−1(A)

.

Seja A ∈ Fn×n_{. Aos fatores invariantes da matriz xI}

n− A ∈ F[x]n×n

cha-mamos polinómios invariantes de A.

Como a matriz xIn− A tem caraterística n, então A tem n polinómios

in-variantes.

Dizemos que as matrizes A ∈ F[x]m×n _{e B ∈ F[x]}m×n _{são equivalentes,}

se existirem matrizes invertíveis U ∈ F[x]m×m _{e V ∈ F[x]}n×n _{tais que}

A = U BV.

(13)

Seja A ∈ F[x]m×n. Então A é equivalente a uma única matriz com a forma    diag(f1, . . . , fr) 0 0 0   ,

onde f1, . . . , fr são polinómios mónicos tais que f1 | f2 | . . . | fr e r é a

cara-terística de A. Nestas condições, para cada j ∈ {1, . . . , r}, onde r = car(A), fj é o j-ésimo fator invariante de A.

A esta matriz chamamos forma normal de Smith de A, a qual será repre-sentada por S(A).

Podemos concluir que as matrizes A, B ∈ F[x]m×n _{são equivalentes se e só}

se têm os mesmos fatores invariantes.

Designamos por polinómio mínimo de A ∈ Fn×n _{o polinómio h ∈ F[x]}

mónico de grau mínimo tal que h(A) = 0.

Dizemos que A ∈ Fn×n _{é não derrogatória se o seu polinómio mínimo e o}

seu polinómio caraterístico, det(xIn− A), coincidem.

Sejam f1 | . . . | fr os polinómios invariantes de A ∈ Fn×n não constantes.

Representamos por i(A) o número r. Os polinómios mínimo e caraterís-tico de A, são, respetivamente, h = fr e f = f1· · · fr. Assim, A é não

(14)

Dado um polinómio mónico f(x) = xk_{+ a}

k−1xk−1+ · · · + a0 ∈ F[x], com

k ≥ 1, chamamos matriz companheira de f a C(f ) =    0 Ik−1 −a0 −a1 · · · − ak−1   ∈ F k×k_.

Os polinómios invariantes de C(f) são 1, . . . , 1, f. Assim, xIk − C(f ) e

diag(1, . . . , 1, f ) são equivalentes e C(f) é não derrogatória.

Dizemos que A ∈ Fn×n _{e B ∈ F}n×n _{são semelhantes se existir uma matriz}

não singular U ∈ Fn×n _{tal que}

A = U BU−1.

É conhecido que A, B ∈ Fn×n são semelhantes se e só se xI

n− Ae xIn− B

são equivalentes em F[x]n×n.

Assim, duas matrizes A, B ∈ Fn×n são semelhantes se e só se têm os mesmos

polinómios invariantes.

Forma normal racional para a semelhança [10, 13]

Toda a matriz A ∈ Fn×n _{é semelhante com uma única matriz da forma}

C(f1) ⊕ · · · ⊕ C(fr),

onde r = car(A) e f1 | f2 | . . . | fr são polinómios mónicos não constantes.

(15)

Um bloco de Jordan de ordem k é uma matriz k × k da forma Jk(λ) = λIk+    0 Ik−1 0 0   , ∈ F k×k onde λ ∈ C.

Forma normal de Jordan [11, 13]

Uma matriz A ∈ Cn×n _{é semelhante com uma matriz com a forma}

J = Jn1(λ1) ⊕ Jn2(λ2) ⊕ · · · ⊕ Jnk(λk) (1.1)

onde λi ∈ C, para i ∈ {1, 2, . . . , k}, é um valor próprio de A de

multiplici-dade ni e n1+ n2+ · · · + nk = n.

Uma matriz com a forma anterior chama-se forma normal de Jordan de A. Esta matriz é única a menos da permutação dos blocos de Jordan.

Por vezes é útil saber que toda a matriz A ∈ Cn×n _{é semelhante com uma}

matriz da forma (1.1) na qual todos os elementos iguais a 1, situados imedi-atamente acima da diagonal principal, são substituídos por 6= 0 e pode ser tomado com módulo arbitrariamente pequeno.

Um bloco de Jordan generalizado é uma matriz da forma

Jk,(λ) = λIk+    0 Ik−1 0 0   , onde λ ∈ C e ∈ C\{0}.

(16)

Forma normal de Jordan generalizada [11]

Dados uma matriz A ∈ Cn×n e 6= 0, então A é semelhantcom a uma matriz

com a forma

Jn1,(λ1) ⊕ Jn2,(λ2) ⊕ · · · ⊕ Jnk,(λk) (1.2)

onde λi ∈ C, para i ∈ {1, 2, . . . , k}, é um valor próprio de A de

multiplici-dade ni e n1+ n2+ · · · + nk = n.

Lema 1.2 [10, 13] Seja A ∈ Fn×n_{. A equação AX + XB = C tem uma}

única solução XC ∈ Fn×n, para qualquer C ∈ Fn×n, se e só se A e −B não

têm valores próprios em comum.

Sejam H, H0

∈ Fn×n_{. Dizemos que H e H}0 _{são congruentes se existir uma}

matriz não singular S ∈ Fn×n _{tal que}

H = SH0S∗. (1.3) Forma normal para a congruência de matrizes hermíticas [11, 13] Uma matriz hermítica H ∈ Fn×n _{é congruente com uma matriz com a forma}

Is⊕ −Ir−s⊕ 0n−r,

onde r = car(H) e s é o número de valores próprios positivos de H contando as multiplicidades.

(17)

O próximo resultado garante que pequenas alterações nas entradas de uma matriz A ∈ Cn×n conduzem a pequenas alterações nos valores próprios de

A. Por isso, podemos falar em continuidade dos valores próprios de uma matriz.

Teorema da continuidade de valores próprios [2, 12]

Sejam A = [aij] ∈ Cn×n uma matriz e λ1, . . . , λtos valores próprios distintos

de A. Seja mi a multiplicidade algébrica de λi, i ∈ {1, . . . , t}. Para todo o

δ > 0, existe > 0 tal que, para toda a matriz A0 = [a0_ij_{] ∈ C}n×n, se

max

i,j |a 0

ij − aij| < ,

então A0 _{tem m}

i valores próprios no disco com centro em λi e raio δ.

1.2 Estabilidade de Sistemas Lineares

Nesta secção, referem-se alguns conceitos e alguns resultados fundamentais sobre a estabilidade de sistemas lineares. Mais detalhes sobre estabilidade podem ser encontrados em diversos livros sobre teoria de sistemas, teoria de matrizes, equações diferenciais ou equações com diferenças, como por exemplo [11, 13, 18].

(18)

1.2.1 Sistemas com Variáveis Contínuas

Consideremos um sistema S descrito por uma lista nita de variáveis de estado x1(t), . . . , xn(t), denidas em R+0, que tomam valores em F e

obede-cem a um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem com coecientes constantes, dx(t) dt = Ax(t), onde A ∈ F n×n_, _e _(1.4) x(t) =        x1(t) ... xn(t)        .

Denição 1.3 Dizemos que um sistema S cujas variáveis de estado obe-decem a (1.4) é estável, se todas as soluções de (1.4) convergem para zero, quando t → +∞.

Prova-se que o sistema (1.4) é estável se e só se todos os valores próprios de A têm parte real negativa.

Denição 1.4 Dizemos que uma matriz A ∈ Cn×n é estável se todos os

seus valores próprios têm parte real negativa.

Por conveniência, vamos dizer que uma matriz A ∈ Cn×n _{é estável positiva}

(19)

estável.

Denição 1.5 A inércia de um polinómio f ∈ C[x] \ {0}, é o triplo In(f ) = (π(f ), ν(f ), δ(f )),

onde π(f), ν(f) e δ(f)) representam, respetivamente, o número de raízes de f com parte real positiva, negativa e nula.

Denição 1.6 A inércia de uma matriz A ∈ Cn×n é a inércia do seu

poli-nómio caraterístico e representa-se por In(A) = (π(A), ν(A), δ(A)).

Assim, A ∈ Cn×n _{é estável positiva se e só se In(A) = (n, 0, 0).}

Teorema 1.7 (Teorema de Lyapunov, caso complexo) [11, 13] Uma matriz A ∈ Cn×n _{é estável positiva se e só se existe uma matriz}

her-mítica denida positiva H ∈ Cn×n _{tal que AH + HA}∗ _{é denida positiva.}

Demonstração. Suponhamos que A é estável positiva. Seja um número real positivo tal que < Re(λi), i ∈ {1, . . . , s}. Seja S ∈ Cn×n uma matriz

invertível tal que

A0 := S−1AS =

s

M

i=1

(20)

tem uma forma normal de Jordan generalizada. Então A0+ A0∗= s M i=1           2 Re(λi) 0 2 Re(λi) ... ... ... 0 2 Re(λi)           .

Como < Re(λi), i ∈ {1, . . . , s} e A0 + A0∗ é hermítica e diagonalmente

dominante por linhas, pelo teorema 1.1, os valores próprios de A0_{+ A}0∗ _são

reais positivos e A0_{+ A}0∗ _{é denida positiva. Portanto,}

S(A0 + A0∗)S∗ = A(SS∗) + (SS∗)A∗

é denida positiva. Seja x ∈ Cn×1_\{0}_{. Como S é invertível, S}∗_{x 6= 0}_.

Assim, x∗_SS∗_{x > 0} _{e SS}∗ _{é denida positiva.}

Reciprocamente, suponhamos que existe uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n tal que AH + HA∗ é denida positiva. Seja λ ∈ C um valor próprio de A e seja u ∈ Cn×1 _{um vetor próprio de A}∗ _{associado ao valor próprio λ.}

Então,

0 < u∗(AH + HA∗)u = λu∗Hu + λu∗Hu = 2 Re(λ)u∗Hu. Como H é denida positiva, u∗_{Hu > 0}_{. Logo Re(λ) > 0.}

Estamos agora em condições de considerar uma generalização do teorema de Lyapunov.

(21)

Teorema 1.8 (Teorema Geral da Inércia, caso complexo) [15, 20] Seja A ∈ Cn×n. Existe uma matriz hermítica H ∈ Cn×n tal que

AH + HA∗ > 0 (1.5) se e só se δ(A) = 0. E se H ∈ Cn×n _{é uma matriz hermítica tal que (1.5)}

então In(A) = In(H).

Demonstração. Suponhamos que existe uma matriz hermítica H ∈ Cn×n

tal que (1.5) é válida. Suponhamos que A tem um valor próprio ia, com a ∈ R. Então A é semelhante com uma matriz com a forma

A0 := SAS−1 =    ia 0 ∗ A0   , onde S ∈ Cn×n _{é invertível, a ∈ R e A} 0 ∈ C(n−1)×(n−1). Seja H0 := SHS∗.

É fácil vericar que a entrada (1, 1) de A0_H0_{+ H}0_A0∗_{é nula, o que é absurdo,}

pois S(AH + HA∗_)S∗ _{= A}0_H0_{+ H}0_A0∗ _{é denida positiva. Logo δ(A) = 0.}

Reciprocamente, suponhamos que δ(A) = 0. Então A é semelhante com uma matriz com forma

A0 := T−1AT = A1⊕ A2,

onde T ∈ Cn×n é invertível, todos os valores próprios de A

1 ∈ Cn1×n1 têm

parte real positiva e todos os valores próprios de A2 ∈ Cn2×n2 têm parte real

(22)

H1 ∈ Cn1×n1 e H2 ∈ Cn2×n2 tais que A1H1+ H1A∗1 e (−A2)H2+ H2(−A2)∗

são denidas positivas. Então H0 _{:= H}

1⊕ (−H2)é hermítica e

A0H0+ H0A0∗= (A1H1+ H1A∗1) ⊕ ((−A2)H2+ H2(−A2)∗)

é denida positiva. Logo

T (A0H0+ H0A0∗)T∗ = A(T H0T∗) + (T H0T∗)A∗

é denida positiva. Finalmente, vamos provar por indução em n que, se existe uma matriz hermítica H ∈ Cn×n_{tal que AH+HA}∗_{é denida positiva,}

então In(A) = In(H). Este resultado é trivial quando n = 1.

Suponhamos que n ≥ 2. Então A é semelhante com uma matriz com a forma, A0 := SAS−1 =    A1,1 0 A2,2 a2,2   , onde S ∈ Cn×n _{é invertível e A} 1,1 ∈ C(n−1)×(n−1).

Particionemos H0 _{:= SHS}∗ _{do seguinte modo:}

H0 := SHS∗ =    H1,1 H1,2 H_1,2∗ h2,2   , onde H1,1 ∈ C(n−1)×(n−1) é hermítica. Então

S(AH + HA∗)S∗ = A0H0+ H0A0∗=    A1,1H1,1+ H1,1A∗1,1 ∗ ∗ ∗    é denida positiva. Donde A1,1H1,1 + H1,1A∗1,1 é denida positiva. Pela

(23)

e In(A1,1) = In(H1,1). Portanto H1,1 é uma matriz invertível e podemos

denir uma nova matriz V =    In−1 0 −H∗ 1,2H −1 1,1 1   . Então H0 _{é congruente com}

H00:= V H0V∗ = H1,1⊕ [h02,2], para algum h0 2,2 ∈ R. Notemos que A00 := V A0V−1 =    A1,1 0 A0_2,1 a2,2   , para algum A0 2,1 ∈ C1×(n−1). Então V (A0H0+ H0A0∗)V∗ = A00H00+ H00A00∗ =    A1,1H1,1+ H1,1A∗1,1 ∗ ∗ a2,2h02,2+ h02,2a2,2    é denida positiva. Logo a2,2h02,2 + h

0

2,2a2,2 > 0. Donde a parte real de a2,2

e o real h0

2,2 têm o mesmo sinal, ou seja, In([a2,2]) = In([h02,2)]. Já vimos

que In(A11) = In(H11). Tendo em conta as formas das matrizes A00 e H00

deduzimos que In(A00_{) = In(H}00₎_{. Como A, A}00_{são semelhantes e H, H}00 _são

congruentes, deduzimos que In(A) = In(H).

Teorema 1.9 Seja G ∈ Cn×n _{uma matriz denida positiva. Uma matriz}

A ∈ Cn×n é estável positiva se e só se existe uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n tal que AH + HA∗ = G.

(24)

Demonstração. (⇐) Resulta do teorema de Lyapunov.

(⇒) Suponhamos que A ∈ Cn×n é estável positiva. De acordo com o lema

1.2, existe H ∈ Cn×n tal que AH + HA∗ _{= G}_{. Donde AH}∗ _{+ H}∗_A∗ ₌

(AH + HA∗)∗ = G∗ = G. Pelo lema 1.2, H = H∗ e pelo teorema 1.8 In(A) = In(H). Como A é estável positiva, deduzimos que todos valores próprios de H são reais positivos, ou seja, H é denida positiva.

Corolário 1.10 Uma matriz A ∈ Cn×n _{é estável positiva se e só se existe}

uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n _{tal que AH + HA}∗ _{= I} n.

Vamos agora ver que o teorema de Lyapunov e o teorema geral da inércia ainda são válidos no caso de se trabalhar em R.

Teorema 1.11 (Teorema de Lyapunov, caso real)

Uma matriz A ∈ Rn×n é estável positiva se e só se existe uma matriz denida

positiva H ∈ Rn×n tal que AH + HAt é denida positiva.

Demonstração. (⇐) Resulta do teorema 1.7.

(⇒) Pelo corolário 1.10, existe uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n _tal

que AH + HA∗ _{= I}

n é denida positiva. Pelo lema 1.2, existe X ∈ Rn×n

tal que AX + XA∗ _{= I}

(25)

Teorema 1.12 (Teorema Geral da Inércia, caso real)

Seja A ∈ Rn×n. Existe uma matriz simétrica H ∈ Rn×n tal que AH + HAt

é denida positiva se e só se δ(A) = 0. Além disso, se existir uma matriz simétrica H ∈ Rn×n tal que AH + HAt é denida positiva, então In(A) =

In(H).

Demonstração. Se existir uma matiz simétrica H ∈ Rn×n _{tal que}

AH + HAt _{é denida positiva, então, pelo teorema 1.8, δ(A) = 0 e In(A) =}

In(H).

Com argumentos análogos a argumentos utilizados na demonstração do te-orema 1.8, prova-se que, se δ(A) = 0, então existe uma matriz simétrica H ∈ Rn×n _{tal que AH + HA}t _{é denida positiva.}

Observemos que, para toda a matriz A ∈ Fn×n_{, toda a matriz hermítica}

H ∈ Fn×n _{e toda a matriz não singular S ∈ F}n×n_{, temos que}

AH + HA∗ é congruente com

(SAS−1)(SHS∗) + (SHS∗)(SAS−1)∗.

Utilizando esta observação, é fácil ver que o teorema geral da inércia, quer no caso real quer no caso complexo, fornece um conjunto completo de relações entre as classes de semelhança de A e as classes de congruência de H quando

(26)

AH + HA∗ > 0 e o teorema geral da inércia pode ser enunciado como se segue.

Teorema 1.13 Sejam A, H ∈ Fn×n_{, onde H é uma matriz hermítica. As}

armações seguintes são equivalentes:

(a1.13) Existe uma matriz hermítica H0 ∈ Fn×n, congruente com H, tal que

AH0+ H0A∗ > 0.

(b1.13) Existe uma matriz A0 ∈ Fn×n, semelhante com A, tal que

A0H + HA0∗> 0.

(c1.13) Existe uma matriz hermítica H0 ∈ Fn×n, congruente com H, e existe

A0 _{∈ F}n×n, semelhante com A, tais que A0H0+ H0A0∗ > 0. (d1.13) δ(A) = 0 e In(A) = In(H).

1.2.2 Sistemas com Variáveis Discretas

Consideremos um sistema S descrito pela equação

x(t + 1) = Ax(t) (1.6) onde A ∈ Fn×n _{e t é uma variável que toma valores no conjunto dos inteiros}

(27)

Denição 1.14 Dizemos que o sistema S é estável se, para qualquer x(0) ∈ Fn×1, a solução (x(t))t∈N0 converge para 0.

Prova-se que o sistema S é estável se e só se todos os valores próprios de A têm módulo menor que 1.

Denição 1.15 Dizemos que A ∈ Cn×n _{é estável com respeito ao círculo}

unitário se, todos os seus valores próprios λ1, λ2, . . . , λn pertencem ao

in-terior do círculo unitário, isto é, |λj| < 1, j ∈ {1, . . . , n}.

Vamos passar ao desenvolvimento de um método análogo ao desenvolvido no caso de variável contínua.

Lema 1.16 [13] Se A ∈ Cn×n _{é uma matriz estável com respeito ao círculo}

unitário, então C = (In+ A)−1(In− A) é estável positiva.

Demonstração. Suponhamos que A é estável relativamente ao círculo unitário. Seja U ∈ Cn×n _{uma matriz invertível tal que U}−1_AU _{é triangular}

superior: U−1AU =        λ1 ∗ ... 0 λn        .

(28)

Então U−1CU = (In+ U−1AU )−1(In− U−1AU ). Donde U−1CU =        (1 + λ1)−1(1 − λ1) ∗ ... 0 (1 + λn)−1(1 − λn)        .

Qualquer que seja k ∈ {1, . . . , n}, 2 Re 1 − λk 1 + λk = 1 − λk 1 + λk +1 − λk 1 + λk = 2 − 2|λk| 2 |1 + λk|2 > 0. Logo C é estável positiva.

Lema 1.17 [13] Seja A ∈ Cn×n _{uma matriz estável relativamente ao círculo}

unitário. Seja C = (In + A)−1(In − A). Quaisquer que sejam H, G ∈

Cn×n, CH + HC∗ = G se e só se

H − AHA∗ = (2−1/2(In+ A))G(2−1/2(In+ A∗)).

Demonstração. Quaisquer que sejam H, G ∈ Cn×n_,

CH + HC∗ = G ⇔ (In+ A)−1(In− A)H + H(In− A∗)(In+ A∗)−1= G

⇔ (In+ A)−1[(In− A)H(In+ A∗) + (In+ A)H(In− A∗)](In+ A∗)−1 = G

(29)

⇔ 2(H − AHA∗) = (In+ A)G(In+ A∗)

⇔ H − AHA∗ _{= (2}−1/2_(I

n+ A))G(2−1/2(In+ A∗).

De seguida recordamos dois teoremas de estabilidade e inércia com respeito ao círculo unitário [9, 13, 19, 21, 23].

Teorema 1.18 (Teorema de Stein, caso complexo) [13]

Uma matriz A ∈ Cn×n _{é estável com respeito ao círculo unitário se e só se}

existe uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n _{tal que}

H − AHA∗ = G (equação de Stein) (1.7) é denida positiva.

Demonstração. Suponhamos que A ∈ Cn×n _{é uma matriz estável com}

respeito ao círculo unitário.

De acordo com o lema 1.16, C = (In+ A)−1(In− A) é estável positiva. De

acordo com o teorema de Lyapunov, existe uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n tal que CH + HC∗ = G, onde G ∈ Cn×n é denida positiva. De acordo com o lema 1.17,

H − AHA∗ = (2−1/2(In+ A))G(2−1/2(In+ A∗)).

Assim H − AHA∗ _{é congruente com G e, portanto, é denida positiva.}

(30)

Cn×n tal que H − AHA∗ é denida positiva. Seja λ ∈ C um valor próprio de A e seja u ∈ Cn×1 um vetor próprio de A∗ _{associado ao valor próprio λ.}

Então,

0 < u∗(H − AHA∗)u = (1 − |λ|2)u∗Hu.

Como H é denida positiva, u∗_{Hu > 0}_{. Portanto 1 − |λ|}2 _{> 0}_{. Donde}

|λ| < 1. Logo, A é estável relativamente ao círculo unitário.

Denição 1.19 A inércia com respeito ao círculo unitário de um polinómio f ∈ F[x] \ {0}, é o triplo eIn(f ) = (_eπ(f ),_eν(f ), eδ(f )), onde _eπ(f ),_eν(f ) e eδ(f) representam o número de raízes de f de módulo menor que 1, maior que 1 e igual a 1, respetivamente.

Denição 1.20 A inércia com respeito ao círculo unitário de A ∈ Cn×n _é

a inércia com respeito ao círculo unitário do seu polinómio caraterístico e denota-se por In(A) = (e π(A),_e _eν(A), eδ(A)).

Teorema 1.21 (Teorema Geral da Inércia, caso complexo)[13] Seja A ∈ Cn×n_{. Existe uma matriz hermítica H ∈ C}n×n _{tal que H − AHA}∗

é denida positiva se e só se eδ(A) = 0. Além disso, se existir uma matriz hermítica H ∈ Cn×n _{tal que H − AHA}∗ _{é denida positiva então}

e In(A) = In(H).

(31)

Demonstração. Suponhamos que existe uma matriz hermítica H ∈ Cn×n

tal que H − AHA∗ _{é denida positiva. Seja λ ∈ C um valor próprio de A.}

Seja S ∈ Cn×n uma matriz invertível tal que

A0 := SAS−1 =    λ 0 ∗ ∗   . Suponhamos que H0 _{:= SHS}∗ _{= [h}

ij]. Então H − AHA∗ é congruente com

S(H − AHA∗)S∗ = H0 − A0H0A0∗ =    h1,1(1 − |λ|2) ∗ ∗ ∗   . Como H − AHA∗ _{é denida positiva, h}

1,1(1 − |λ|2) > 0. Portanto |λ| 6= 1.

Logo eδ(A) = 0.

Reciprocamente suponhamos que eδ(A) = 0. Seja T ∈ Cn×n uma matriz

invertível tal que

A0 := T−1AT = A1⊕ A2,

onde todos os valores próprios de A1 ∈ Cn1×n1 têm módulo inferior a 1 e

todos os valores próprios A2 ∈ Cn2×n2 têm módulo superior a 1. Então A2

é invertível e todos os valores próprios de A−1

2 têm módulo inferior a 1.

Pelo teorema de Stein, existem matrizes denidas positivas H1 ∈ Cn1×n1

e H2 ∈ Cn2×n2 tais que H1 − A1H1A∗1 e H2 − A−12 H2(A∗2)−1 são denidas

positivas. A matriz H2− A−12 H2(A∗2)−1 é congruente com

A2(H2− A−12 H2(A∗2) −1 )A∗₂ = −H2 − A2(−H2)A∗2. Assim, tomando H0 _{= H} 1⊕ (−H2), a matriz H0 − A0H0A0∗ = (H1− A1H1A∗1) ⊕ (−H2− A2(−H2)A∗2)

(32)

é denida positiva. Tomando H = T H0_T∗_{, deduzimos que}

H − AHA∗ = T (H0− A0H0A0∗)T∗ é denida positiva.

Finalmente, vamos provar, por indução em n, que, se existir uma matriz hermítica H ∈ Cn×n _{tal que H − AHA}∗ _{é denida positiva, então}

e In(A) = In(H). Este resultado é trivial quando n = 1. Suponhamos que n ≥ 2. Então A é semelhante com uma matriz com a forma,

A0 := U AU−1 =    A1,1 0 A2,1 a2,2   , onde U ∈ Cn×n é invertível e A 1,1 ∈ C(n−1)×(n−1). Particionemos H0 := U HU∗ do seguinte modo: H0 := U HU∗ =    H1,1 H1,2 H_1,2∗ h2,2   , onde H1,1 ∈ C(n−1)×(n−1). Então U (H − AHA∗)U∗ = H0− A0H0A0∗=    H1,1− A1,1H1,1A∗1,1 ∗ ∗ ∗    é denida positiva. Donde H1,1 − A1,1H1,1A∗1,1 é denida positiva. Pela

primeira parte da demonstração e pela hipótese de indução, eδ(A1,1) = 0 e

e

In(A1,1) = In(H1,1). Como δ(H1,1) = eδ(A1,1) = 0, H1,1 é invertível. Seja

V =    In−1 0 −H∗ 1,2H −1 1,1 1   .

(33)

Então H0 _{é congruente com} H00:= V H0V∗ = H1,1⊕ [h02,2], para algum h0 2,2 ∈ R. Notemos que A00 := V A0V−1 =    A1,1 0 A0_2,1 a2,2   , para algum A0 2,1 ∈ C1×(n−1). Então V (H0− A0_H0_A0∗_)V∗ _{= G}00_{− A}00_H00_A00∗ =    H1,1− A1,1H1,1A∗1,1 ∗ ∗ h0_2,2− a2,2h02,2a2,2   

é denida positiva. Donde h0

2,2−a2,2h02,2a2,2 > 0. LogoIn([ae _2,2]) = In([h0_2,2]). Já vimos que In(Ae _1,1) = In(H_1,1). Tendo em conta as formas das matrizes A00e H00, temos queIn(Ae 00) = In(H00). Como A, A00são semelhantes e H, H00 são congruentes, deduzimos que In(A) = In(H)e .

Lema 1.22 Se A ∈ Fn×n _{é estável relativamente ao círculo unitário, então}

X − AXA∗ = G tem uma única solução XG ∈ Fn×n, para qualquer G ∈

(34)

Demonstração. Seja A ∈ Fn×n uma matriz estável relativamente ao

cír-culo unitário. Seja C = (In+ A)−1(In− A). De acordo com o lema 1.16, C

é estável positiva.

Seja G ∈ Fn×n. Seja G0 _{= 2(I}

n+ A)−1G(In+ A∗)−1. De acordo com o lema

1.17, as soluções de X − A∗_{XA = G} _{e CX + XC}∗ _{= G}0 _{coincidem. Logo a}

equação X − A∗_{XA = G}_{tem uma única solução.}

Teorema 1.23 Seja G ∈ Cn×n _{uma matriz denida positiva. Uma matriz}

A ∈ Cn×n _{é estável relativamente ao círculo unitário se e só se existe uma}

matriz denida positiva H ∈ Cn×n _{tal que H − AHA}∗ _{= G}_.

Demonstração. (⇐) Resulta do teorema de Stein.

(⇒) Suponhamos que A ∈ Cn×n _{é estável relativamente ao círculo unitário.}

De acordo com o lema 1.22, existe H ∈ Cn×n _{tal que H−AHA}∗ _{= G}_{. Donde}

H∗ − AH∗_A∗ _{= (H − AHA}∗₎∗ _{= G}∗ _{= G}_{. Tendo em conta a unicidade}

referida no lema 1.22, H = H∗_{. Pelo teorema 1.21,}

e

In(A) = In(H). Como Aé estável relativamente ao círculo unitário, deduzimos que todos os valores próprios de H são positivos, ou seja, H é denida positiva

Corolário 1.24 Uma matriz A ∈ Cn×n é estável relativamente ao círculo

unitário se e só se existe uma matriz denida positiva H ∈ Cn×n tal que

(35)

Vamos agora ver que o teorema de Stein e o teorema geral da inércia rela-tivamente ao círculo unitário ainda são válidos no caso de se trabalhar em R.

Teorema 1.25 (Teorema de Stein, caso real) [13]

Uma matriz A ∈ Rn×n _{é estável relativamente ao círculo unitário se e só se}

existe uma matriz denida positiva H ∈ Rn×n _{tal que}

H − AHAt= G (1.8) é denida positiva.

Demonstração. (⇐) Resulta do teorema 1.18

(⇒) Pelo corolário 1.24, existe uma matriz H ∈ Cn×n _{tal que H − AHA}∗

= Iné denida positiva. Pelo lema 1.22, existe X ∈ Rn×n tal que X −AXA∗ =

In. Resulta ainda do lema 1.22 que X = H.

Teorema 1.26 (Teorema Geral da Inércia, caso real)[13]

Seja A ∈ Rn×n_{. Existe uma matriz simétrica H ∈ R}n×n _{tal que H − AHA}t

é denida positiva se e só se eδ(A) = 0. Além disso se existir uma matriz simétrica H ∈ Rn×n _{tal que H − AHA}t _{é denida positiva então}

e In(A) = In(H).

(36)

Demonstração. Se existir uma matriz simétrica H ∈ Rn×n tal que

H − AHAté denida positiva, então, pelo teorema 1.21, eδ(A) = 0 e

e In(A) = In(H). Com argumentos análogos a argumentos utilizados na demonstração do teorema 1.21, provamos que, se eδ(A) = 0, então existe uma matriz simétrica denida positiva H ∈ Rn×n tal que H − AHAté denida positiva.

Para toda a matriz A ∈ Fn×n, para toda a matriz hermítica H ∈ Fn×n e

toda a matriz não singular S ∈ Fn×n, temos que

H − AHA∗ > 0 é congruente com

(SHS∗) − (SAS−1)(SHS∗)(SAS−1)∗ > 0.

Assim, o teorema geral de inércia, quer no caso real quer no caso complexo, fornece uma relação completa entre a classe de semelhança de A e a classe de congruência de H, quando H − AHA∗ _{> 0}_{, como pode ser observado no}

seguinte teorema.

Teorema 1.27 Sejam A, H ∈ Fn×n_{, onde H é uma matriz hermítica. As}

armações seguintes são equivalentes:

(37)

(b1.27) Existe uma matriz A0 ∈ Fn×n, semelhante com A, tal que

H − A0HA0∗ > 0.

(c1.27) Existe uma matriz hermítica H0 ∈ Fn×n, congruente com H, e existe

A0 _{∈ F}n×n, semelhante com A, tais que H0_{− A}0_H0_A0∗ _{> 0}_.

(d1.27) δ(A) = 0, e In(A) = In(H)e .

1.3 Objetivo

Consideremos um sistema S descrito por uma lista nita de variáveis de estado x1(t), . . . , xn(t), denidas em R+0, com valores em F, que pode ser

inuenciado por variáveis de controlo u1(t), . . . , up(t) e obedece à equação

linear seguinte dx(t) dt = Ax(t) + Bu(t) (1.9) onde A ∈ Fn×n , B ∈ Fn×m, x(t) =        x1(t) ... xn(t)        , u(t) =        u1(t) ... up(t)        .

Denição 1.28 Dizemos que um sistema S, descrito acima, é controlável se, quaisquer que sejam X0, X1 ∈ Fn×1, existir uma função contínua u(t),

(38)

denida num intervalo de tempo real nito [0, T ], com valores em Fm×1, tal

que a solução, x(t), de (1.9), com a condição inicial x(0) = X0, satisfaz

x(T ) = X1.

Denição 1.29 Dizemos que um par de matrizes (A, B) ∈ Fn×n

× Fn×m _é

controlável se o sistema (1.9) for controlável.

Denição 1.30 Dizemos que um sistema que obedece a (1.9) é estabilizável se existir X ∈ Fm×m _{tal que, tomando u(t) = Xx(t), obtemos um sistema}

estável.

Denição 1.31 Chamamos matriz de controlabilidade de um par (A, B) ∈ Fn×n× Fn×m à matriz C(A, B) := B AB · · · An−1B ∈ Fn×nm_.

Teorema 1.32 Para um sistema S, descrito acima, são equivalentes as armações seguintes. 1. S é controlável. 2. car C(A, B) = n. 3. minλ∈Ccar λIn− A B = n.

(39)

4. Os fatores invariantes de

xIn− A B

∈ F[x]n×m são todos iguais

a 1.

Denição 1.33 Dizemos que o par de matrizes (A, B) ∈ Fn×n

× Fn×m _é

estabilizável (respetivamente, estabilizável positivo) se existir X ∈ Fm×n _tal

que a matriz A + BX é estável (respetivamente, estável positiva).

Consideremos agora um sistema S descrito por um vetor de variáveis de estado discretas x(t), denidas em Z+

0, com valores em Fn×1, que pode

ser inuenciado por um vetor de controlo u(t) e obedece à equação linear seguinte

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) (1.10) onde A ∈ Fn×n _{e B ∈ F}n×m_.

Denição 1.34 Dizemos que um sistema S, descrito acima, é controlável se, quaisquer que sejam X0, X1 ∈ Fn×1, existir uma função u(t), denida

num intervalo nito {0, 1, . . . , T } de Z com valores em Fn×1_{, tal que a}

solu-ção, x(t), de (1.10), com a condição inicial x(0) = X0, satisfaz x(T ) = X1.

Para este sistema S, com variável discreta, o teorema 1.32 também é satis-feito.

Dizemos que S é estabilizável se existir X ∈ Fm×n _{tal que, tomando u(t) =}

(40)

Denição 1.35 Dizemos que um par de matrizes (A, B) ∈ Fn×n_{× F}n×m é

estabilizável relativamente ao círculo unitário se existir X ∈ Fm×n tal que

A + BX é estável relativamente ao círculo unitário.

Nesta dissertação, procuramos extender os resultados sobre estabilidade apresentados na secção 1.2 e outros que serão apresentados nos capítulos seguintes, de modo a obter novos resultados sobre a estabilização de siste-mas lineares com variáveis de controlo.

(41)

Estabilização de Sistemas de

Variável Contínua

2.1 Generalização do Teorema de Lyapunov

Neste capítulo, vamos abordar o estudo da estabilização de sistemas de variáveis contínuas.

Denição 2.1 Sejam A ∈ Fn×n

, B ∈ Fn×m. Denimos polinómio carate-rístico de (A, B) como sendo o produto dos fatores invariantes de

xIn− A B

(42)

Denição 2.2 Sejam A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m. Denimos valores próprios de

(A, B) como sendo as raízes do polinómio caraterístico de (A, B).

Denição 2.3 Se A ∈ Cn×n_{, B ∈ C}n×m_{, denimos inércia de (A, B) como}

sendo o triplo

In(A, B) = (π(A, B), ν(A, B), δ(A, B))

onde π(A, B), ν(A, B) e δ(A, B) representam o número dos valores pró-prios de (A, B) com parte real positiva, parte real negativa e parte real nula, respetivamente.

A descrição dos possíveis polinómios caraterísticos de A + BX, quando X varia, apresentado no seguinte lema, é um resultado conhecido da teoria de controlo, presente, por exemplo, em [18, teorema 13]. Para resultados mais gerais ver [28, teorema 2.6].

Lema 2.4 Sejam A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m_{. Seja f ∈ F[x] um polinómio}

mó-nico de grau n. Existe X ∈ Fm×n _{tal que A+BX tem polinómio caraterístico}

f se e só se o produto dos fatores invariantes de (2.1) divide f.

(43)

mónico de grau n + m. Existem matrizes C ∈ Fm×n e D ∈ Fm×m tais que L =    A B C D    (2.2)

tem polinómio caraterístico f se e só se o polinómio caraterístico de (A, B) divide f.

Podemos observar que, sendo A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m, as seguintes armações

são corolários dos lemas anteriores.

Corolário 2.6 O par de matrizes (A, B) é estabilizável positivo se e só se as raízes do seu polinómio caraterístico têm parte real positiva.

Corolário 2.7 O par de matrizes (A, B) é estabilizável positivo se e só se existem C ∈ Fm×n

, D ∈ Fm×m tais que (2.2) é estável positiva. Corolário 2.8 Dada uma matriz do tipo (2.2), tem-se que

In(A, B) ≤ In(L).

Estamos agora em condições de generalizar, para pares de matrizes, o teo-rema de Lyapunov.

(44)

Teorema 2.9 [5]

Sejam A ∈ Fn×n e B ∈ Fn×m. O par de matrizes (A, B) é estabilizável

positivo se e só se existem uma matriz denida positiva H1 ∈ Fn×n e uma

matriz H2 ∈ Fn×m tais que

AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗ > 0. (2.3)

Demonstração. Suponhamos que (A, B) é estabilizável positivo. Seja X ∈ Fm×n uma matriz tal que A + BX é estável positiva. De acordo com o teorema de Lyapunov, existe uma matriz denida positiva H1 ∈ Fn×n tal

que

(A + BX)H1+ H1(A + BX)∗ > 0.

Então (2.3) é válido, com H2 = H1X∗. Reciprocamente, suponhamos que

(2.3) é válido, com H1 denida positiva. Então

(A + BH₂∗H₁−1)H1+ H1(A∗+ H1−1H2B∗) > 0.

Pelo teorema de Lyapunov, A+BH∗ 2H

−1

1 é estável positiva. Portanto (A, B)

(45)

2.2 Generalização do Teorema Geral da

Inér-cia

O problema que vamos abordar de seguida é a generalização para pares de matrizes do teorema geral da inércia.

Comecemos por ver as noções de semelhança por blocos e congruência por blocos para pares de matrizes.

Seja S =    P 0 R Q   ∈ F (n+m)×(n+m)_, _{onde P ∈ F}n×n_, _(2.4)

uma matriz não singular.

Denição 2.10 A B e A0 B0 , onde A, A0 _{∈ F}n×n _{e B, B}0 _∈

Fn×m, são semelhantes por blocos se existe uma matriz não singular da forma (2.4) tal que

A0 B0 = P A B S−1. É fácil de ver que

A B e A0 B0

são semelhantes por blocos se e

só se os feixes de matrizes xIp− A B e xIp− A0 B0 são estrita-mente equivalentes. Assim a forma normal para a semelhança por blocos resulta facilmente da forma normal de Kronecker para a equivalência estrita. Um estudo detalhado dos feixes de matrizes pode encontrar-se em [8].

(46)

Lema 2.11 (Forma normal para a semelhança por blocos) [26, teo-rema 2.11] Sejam A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m. A matriz A B

é semelhante por blocos a uma única matriz da forma

   N 0 0 0 M1 M2   , (2.5) onde N = C(f1) ⊕ · · · ⊕ C(fw) ∈ Fd×d, M1 = C(xµ1) ⊕ · · · ⊕ C(xµu) ∈ F(n−d)×(n−d), M2 = e(n−d)µ1 e (n−d) µ1+µ2· · · e (n−d) µ1+···+µu 0 ∈ F(n−d)×m_,

onde f1(x) | · · · | fw(x), são polinómios mónicos, w ≥ 0, d = gr(f1· · · fw)

e 0 ≤ µ1 ≤ · · · ≤ µu com u ≥ 0. Os polinómios f1, . . . , fw são os fatores

invariantes não constantes e µ1, . . . , µu são os indices minimais para as

colunas diferentes de 0 do feixe (2.1).

Denição 2.12 Duas matrizes H1 H2 e H₁0 H₂0 , onde H1, H10 ∈

Fn×n são hermíticas e H2, H20 ∈ Fn×m, são congruentes por blocos se existir

uma matriz não singular da forma (2.4) tal que H₁0 H₂0 = P H1 H2 S∗.

(47)

Lema 2.13 (Forma normal para a congruência por blocos)[5] Sejam H1 ∈ Fn×n uma matriz hermítica e H2 ∈ Fn×m. Então

H1 H2

é congruente por blocos com uma única matriz da forma

          Iπ 0 0 0 0 0 0 −Iν 0 0 0 0 0 0 0ρ 0 Iρ 0 0 0 0 0n−π−ν−ρ 0 0           (2.6)

Neste caso, π = π(H1), ν = ν(H1) e ρ = ρ(H1, H2) := car

H1 H2

− car(H1).

Demonstração. Existência. Como H1 é hermítica, existe uma matriz

não singular P ∈ Fn×n _{tal que}

P H1P∗ = Iπ ⊕ (−Iν) ⊕ 0,

onde π = π(H1), ν = ν(H1). Suponhamos que P H2 =

M₁t M₂t M₃t t

, onde M1 ∈ Fπ×m, M2 ∈ Fν×m e M3 ∈ F(n−π−ν)×m. Note-se que

car(M3) = ρ(H1, H2) := car

H1 H2

− car(H1).

Sejam P0 ∈ F(n−π−ν)×(n−π−ν), Q ∈ Fm×m matrizes não singulares tais que

P0M3Q = Iρ⊕ 0, onde ρ = ρ(H1, H2). Então

H1 H2

(48)

blocos com        Iπ 0 0 0 Iν 0 0 0 P0        P H1 H2 (P∗⊕ Iq)           Iπ 0 0 −M1Q 0 Iν 0 M2Q 0 0 P₀∗ 0 0 0 0 Q           ,

e, esta matriz tem a forma prescrita. Unicidade. Se

H1 H2

é congruente por blocos com uma matriz da forma (2.6), é fácil ver que, π = π(H1), ν = ν(H1) e ρ = car

H1 H2

− car(H1).

Temos assim, que duas matrizes H1 H2 e H₁0 H₂0 , onde H1, H10 ∈ F n×n

são hermíticas e H2, H20 ∈ Fn×m, são congruentes por blocos se e só se

In(H1) = In(H10) e ρ(H1, H2) = ρ(H10, H 0 2).

Estamos agora em condições de generalizar o teorema geral da inércia.

Teorema 2.14 [7] Sejam A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m_{. Existe uma matriz}

her-mítica H1 ∈ Fn×n e existe H2 ∈ Fn×m tais que (2.3) é válido se e só se

δ(A, B) = 0. E se (2.3) é válido então In(A, B) ≤ In(H1).

Demonstração. Suponhamos que existe uma matriz hermítica H1 ∈ Fn×n

(49)

que δ(A, B) > 0 e ia, com a ∈ R, é um valor próprio de (A, B).

Por [18, lema 3.3.3], existe uma matriz P ∈ Cn×n não singular tal que

P A B (P−1⊕ Im) =    A1 A2 B1 0 A3 0   ,

onde A1, A3 são blocos quadrados e (A1, B1)é controlável. Então os valores

próprios de (A, B) são exatamente os valores próprios de A3. Podemos

assumir que P pode ser escolhida de forma que A3 seja a forma normal de

Jordan e a última linha de A3 é

0 . . . 0 ia

. Então,

P (AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗)P∗, (2.7)

tem a entrada (n, n) iguais a 0, o que é impossível, porque (2.7) é denida positiva. Portanto δ(A, B) = 0.

Mais, (2.7) tem uma submatriz principal da forma A3H0+ H0A∗3, onde H0 é

uma submatriz principal de P H1P∗. Pelo teorema geral da inércia, In(H0) =

In(A3) = In(A, B). Como δ(H0) = δ(A, B) = 0, então, pelas desigualdades

de entrelaçamento dos valores próprios para matrizes hermíticas, In(H0) ≤

In(H1). Assim In(A, B) ≤ In(H1).

Reciprocamente, suponhamos que δ(A, B) = 0. Seja h ∈ F[x] um polinómio mónico de grau n, múltiplo do polinómio caraterístico de (A, B), tal que δ(h) = 0. De acordo com o lema 2.4, existe X ∈ Fm×n tal que A + BX tem polinómio caraterístico h. De acordo com o teorema geral de inércia, existe uma matriz hermítica H1 ∈ Fn×n tal que

(50)

Então (2.3) é válido, com H2 = H1X∗.

Observação 2.15 Notemos que o teorema anterior é uma generalização do teorema geral da inércia, porque quando B = 0, a soma das três componen-tes de In(A, B) é igual a n e inequação In(A, B) ≤ In(H1) torna-se numa

igualdade.

Por outro lado, dada uma matriz do tipo (2.4) temos que a matriz AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗

é congruente com a seguinte matriz: P A B S−1   S    H1 H₂∗   P ∗    + P H1 H2 S∗   (S ∗ )−1    A∗ B∗   P ∗   .

Tendo em conta esta observação, é fácil concluir que o próximo teorema fornece um conjunto completo de relações entre a classe de semelhança por blocos de

A B

e a classe de congruência por blocos de H1 H2 , quando (2.3) é válida. Teorema 2.16 [5] Sejam A ∈ Fn×n , B ∈ Fn×m. Sejam π, ν, δ e ρ intei-ros não negativos tais que π + ν + δ = n. As seguintes armações são equivalentes.

(51)

(a2.16) Existe uma matriz hermítica H1 ∈ Fn×n e existe uma matriz H2 ∈

Fn×m tais que (2.3) é válido, In(H1) = (π, ν, δ) e ρ(H1, H2) = ρ.

(b2.16) ρ = δ ≤ car(B) e In(A, B) ≤ (π, ν, 0). Demonstração. (a2.16) ⇒ (b2.16). Se car H1 H2 < n, então H1 H2 é congruente por blocos com uma matriz em que a última linha é nula. Sem perda de generalidade, suponhamos que a última linha de

H1 H2

é nula. Então, a entrada (n, n) da matriz AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗ é igual

a zero, o que é uma contradição. Temos assim que car H1 H2 = n, logo ρ = δ. Então, H1 H2

é congruente por blocos com    ∆ 0 0 0 0 0ρ Iρ 0   , onde ∆ ∈ F(n−ρ)×(n−ρ) _{é hermítica e In(∆) = (π, ν, 0).}

Sem perda de generalidade, consideremos que

H1 H2

tem esta forma. Particionando A e B de modo análogo

A =    A1,1 A1,2 A2,1 A2,2   , B =    B1,1 B1,2 B2,1 B2,2   ,

onde A1,1 ∈ F(n−ρ)×(n−ρ) e B1,1 ∈ F(n−ρ)×ρ. Então B2,1+ B2,1∗ é uma

subma-triz principal de AH1+ H1A∗ + BH2∗+ H2B∗ e portanto B2,1+ B2,1∗ > 0.

Temos também que car(B) ≥ car(B2,1) = ρ = δ. No que se segue vamos

(52)

que

A B

tem a forma de (2.5). Particionemos H1 H2 de modo análogo H1 H2 =    G1,1 G1,2 G1,3 G∗_1,2 G2,2 G2,3   ,

onde G1,1 ∈ Fd×d, G2,2 ∈ F(n−d)×(n−d). Então, NG1,1 + G1,1N∗ é uma

sub-matriz principal da sub-matriz AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗.

Assim NG1,1 + G1,1N∗ > 0. Pelo teorema geral da inércia, δ(N) = 0 e

In(N ) = In(G1,1). Pelas condições de desigualdades de entrelaçamento dos

valores próprios para matrizes hermíticas, resulta que π(G1,1) ≤ π(H1) e

ν(G1,1) ≤ ν(H1). Então In(A, B) = In(N) = In(G1,1) ≤ (π, ν, 0).

(b2.16) ⇒ (a2.16). Sejam γ1 | . . . | γn os fatores invariantes de (2.1). Como

ρ ≤ car(B), temos que γ1 = · · · = γρ= 1 e existem matrizes não singulares

U ∈ Fn×n_{, V ∈ F}m×m tais que

U BV = B1,1⊕ Iρ,

para alguma matriz B1,1 ∈ F(n−ρ)×(n−ρ). Suponhamos que

A0 B0 := U A B U−1⊕ V =    A1,1 A1,2 B1,1 0 A2,1 A2,2 0 Iρ   , onde os blocos A0_{, A}

1,1, A2,2 são matrizes quadradas. Os fatores invariantes

de

xIn−ρ− A1,1 A1,2 B1,1

são γρ+1, . . . , γn. Como In(γρ+1. . . γn) =

In(A, B) ≤ (π, ν, 0), podemos escolher um polinómio mónico h tal que In(γρ+1. . . γnh) = (π, ν, 0). Pelo lema 2.4, existem X ∈ Fρ×(n−ρ) e Y ∈

(53)

γρ+1. . . γnh. Então

A B

é semelhante por blocos com

A00 B00 :=    In−ρ 0 −X Iρ    A0 B0               In−ρ 0 0 X Iρ 0 Y 0 Im−ρ        ⊕ Iρ        e A00 B00 tem a forma    A0_1,1 A1,2 B1,1 0 ∗ ∗ ∗ Iρ   , onde A0 1,1 = A1,1+ A1,2X + B1,1Y. É claro que A00 B00 é semelhante por blocos com

   A0_1,1 A1,2 B1,1 0 0 0 0 Iρ   . Sem perda de generalidade, consideremos que

A B

tem esta forma. Pelo teorema geral da inércia, existe uma matriz hermítica ∆ ∈ F(n−ρ)×(n−ρ)

tal que A0 1,1∆ + ∆A 0_∗ 1,1 > 0 e In(∆) = In(A 0 1,1) = (π, ν, 0). Sejam H1 =    ∆ 0 0 0   ∈ F n×n_, _H 2 =    0 0 0 Iρ   ∈ F n×m_. Então In(H1) = (π, ν, δ), ρ(H1, H2) = ρ e AH1+ H1A∗+ BH2∗ + H2B∗ = (A01,1∆ + ∆A 0_∗ 1,1) ⊕ 2Iρ> 0.

(54)

2.3 Generalização de um Teorema de Chen e

Wimmer

Chen [4] e Wimmer [25] provaram .

Teorema 2.17 [4, 25] Sejam A, H ∈ Fn×n_{, onde H é hermítica. Se}

K := AH0+ H0A∗ ≥ 0 e (A, K) é controlável. Então (d1.13) do teorema 1.13 é válido.

O recíproco é trivialmente verdadeiro, pois (d1.13) ⇒ (a1.13) ⇒ (a2.17). O

nosso propósito seguinte é obter uma generalização do teorema de Chen e Wimmer para pares de matrizes.

Lema 2.18 Sejam G, Y ∈ Fn×n matrizes hermíticas e suponha-se que Y

é não singular. Então existe um número real positivo tal que, para todo λ ≥ , In(G + λY ) = In(Y ).

(55)

Demonstração. Para todo o número real positivo λ, In(G + λY ) = In(λ−1G + Y ). Como lim λ→+∞(λ −1 G) = 0

e Y é não singular, a conclusão resulta da continuidade dos valores próprios.

Lema 2.19 Sejam G1,1 ∈ Fd×d, Y ∈ F(n−d)×(n−d) matrizes hermíticas não

singulares. Seja G1,2 ∈ Fd×(n−d) uma matriz. Então existe um número real

positivo tal que, para todo λ ≥ , In    G1,1 G1,2 G∗_1,2 λY   = In(G1,1) + In(Y ). Demonstração. Para todo o número real positivo λ

   G1,1 G1,2 G∗_1,2 λY    é congruente com G1,1⊕ (λY − G∗1,2G

−1

1,1G1,2). Então a conclusão resulta do

lema anterior.

Lema 2.20 Sejam M1 ∈ Fn×n, M2 ∈ Fn×m. Suponhamos que (M1, M2) é

controlável. Então existem Y−, Y+ ∈ Fn×n, Z−, Z+ ∈ Fn×m tais que Y−, Y+

são hermíticas, Y−< 0, Y+> 0 e

M1Y−+ Y−M1∗+ M2Z−∗ + Z−M2∗ > 0, (2.8)

(56)

Demonstração. Podemos considerar, sem perda de generalidade, que a matriz

M1 M2

está na forma normal para a semelhança por blocos. Vamos provar que existem Y−∈ Fn×n, Z− ∈ Fn×m tais que Y− < 0e (2.8) é

válido. O resto da demonstração é análoga.

Primeiro, suponhamos que car(M2) = 1. Podemos considerar que

M1 = C(xp), M2 =

e(n)n 0 · · · 0

.

Neste caso, a demonstração é feita por indução em n. Se n = 1, seja Y− Z− := −1 1 0 · · · 0 . Suponhamos que n ≥ 2, e que

M1 M2 =    L1 L2 0 0 · · · 0 0 0 1 0 · · · 0   ,

onde L1 ∈ F(n−1)×(n−1), L2 ∈ F(n−1)×1. De acordo com a hipótese de

in-dução, existe uma matriz denida negativa R ∈ F(n−1)×(n−1) _{e existe uma}

matriz S ∈ F(n−1)×1 _{tais que L}

1R + RL∗1+ L2S∗+ SL∗2 > 0. Vamos escolher µ ∈ R tal que Y− :=    R S S∗ µ   

tenha determinante (−1)n_{. Então escolhemos λ ∈ R tal que, com}

Z− :=    0 0 · · · 0 λ 0 · · · 0   ∈ F n×m_, a matriz M1Y−+ Y−M1∗+ M2Z−∗ + Z−M2∗

(57)

=    L1R + RL∗1+ L2S∗+ SL∗2 L1S + µL2 S∗L∗₁+ µL∗₂ 2λ   

tem determinante positivo. Utilizando o critério dos determinantes dos menores principais lideres, deduzimos que Y− é denida negativa e M1Y−+

Y−M₁∗ + M₂∗Z−∗ + Z−M₂∗ é denida positiva.

Suponhamos que u := car(M2) ≥ 2. Podemos considerar que

M1 = C(xµ1) ⊕ · · · ⊕ C(xµu), M2 = e(n)µ1 e (n) µ1+µ2 · · · e (n) µ1+···+µu 0 .

De acordo com o caso anterior, para todo i ∈ {1, . . . , u}, existem matrizes denidas negativas Yi ∈ Fµi×µi e existem Zi ∈ Fµi×1 tais que

C(xµi_)Y i+ YiC(xµi)∗+ e(µµii)Z ∗ i + Zie(µµii)∗ > 0. Seja Y− = Y1⊕· · ·⊕Yu ∈ Fn×n e Z− = Z1⊕ · · · ⊕ Zu 0 ∈ Fn×m_{. Então}

Y− é denida negativa e (2.8) é satisfeito.

Lema 2.21 Sejam M1 ∈ Fn

0_×n0

, M2 ∈ Fn

0_×m

. Consideremos que (M1, M2)

é controlável. Então, para todo c1, . . . , cn0 ∈ F,

M1 M2

é semelhante por blocos a uma matriz da forma

M₁0 M₂0 onde M0 1 ∈ Fn 0_×n0 é trian-gular superior com entrada (i, i) igual a ci, para todo i ∈ {1, · · · , n0}, e M20

tem a forma    0 0 Icar(M2) 0   . (2.10)

(58)

Demonstração. Por indução em n0_{. Como (M}

1, M2) é controlável,

car(M2) > 0. Sejam P ∈ Fn

0_×n0

e Q ∈ Fm×m matrizes não singulares

tais que M0

2 := P M2Q tem a forma (2.10). Seja s = car(M2).

Se n0 _{= s}_{, então, para toda M}0 1 ∈ Fn 0_×n0 , M1 M2 é semelhante por blocos com M₁0 M₂0 e o resultado é trivial. Suponhamos agora que n0 _{> s}_{. Então}

M1 M2

é semelhante por blocos com P M1 M2 (P−1⊕ Q) =    N1 N2 0 0 ∗ ∗ Is 0   , onde N1 ∈ F(n 0_−s)×(n0_−s) , N2 ∈ F(n 0_−s)×s

. Notemos que (N1, N2) é

contro-lável. De acordo com a hipótese de indução,

N1 N2

é semelhante por blocos com uma matriz da forma

N₁0 N₂0 , onde N0 1 ∈ F(n 0_−s)×(n0_−s)

é triangular superior com as entradas (i, i) iguais a ci, para todo i ∈

{1, · · · , n0_{− s}}_{. Então}

M1 M2

é semelhante por blocos com    N₁0 N₂0 0 0 0 diag(cn0_−s+1, . . . , c_n0) I_s 0   . A última matriz tem a forma prescrita.

O próximo resultado generaliza o teorema de Chen e Wimmer para pares de matrizes.

(59)

Teorema 2.22 [5] Seja A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m. Sejam π, ν, δ e ρ números

inteiros não negativos tais que π + ν + δ = n. Sejam γ1 | · · · | γn os fatores

invariantes de (2.1). As armações seguintes são equivalentes:

(a2.22) Existe uma matriz hermítica H1 ∈ Fn×n e existe uma matriz H2 ∈

Fn×m tais que In(H1) = (π, ν, δ), ρ(H1, H2) = ρ,

K := AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗ ≥ 0. (2.11) e A, B K é controlável. (b2.22) ρ ≤ m, ρ ≤ δ ≤ n − gr(γ1· · · γp) e In(A, B) ≤ (π, ν, 0).

Demonstração. (a2.22) ⇒ (b2.22). Vamos primeiro considerar que H1 é

não singular. É claro que ρ = δ = 0 ≤ n − gr(γ1· · · γn). Sem perda de

generalidade, suponhamos que

H1 = Iπ⊕ (−Iν), H2 = 0. Particionando A B de modo semelhante: A B =    A1,1 A1,2 B1 A2,1 A2,2 B2   , onde A1,1 ∈ Fπ×π, A2,2 ∈ Fν×ν. Seja j ∈ {−1, 1}. Sejam

Lj =        A1,1 A1,2 B1 A2,1 A2,2 B2 −jB∗ 1 jB ∗ 2 jIm        , Gj = Iπ ⊕ (−Iν) ⊕ (jIm).

(60)

Então LjGj + GjL∗j = K ⊕ 2Im ≥ 0. Como A, B K

é controlável, resulta que (Lj, LjGj + GjL∗j) é

con-trolável. Pelo teorema de Chen e Wimmer, In(Lj) = In(Gj). Pelo Lema 2.5

In(A, B) ≤ In(Lj). Então

In(A, B) ≤ In(L−1) = In(G−1) = (π, ν + m, 0),

In(A, B) ≤ In(L1) = In(G1) = (π + m, ν, 0).

Portanto In(A, B) ≤ (π, ν, 0).

Vamos agora ver o caso geral. A condição ρ ≤ m é trivial. Sem perda de generalidade, suponha-se que

A B

tem a forma (2.5). Particionando H1 H2 de modo análogo: H1 H2 =    G1,1 G1,2 G1,3 G∗_1,2 G2,2 G2,3   , onde G1,1 ∈ Fd×d, G2,2 ∈ F(n−d)×(n−d). Então K =    N G1,1+ G1,1N∗ N G1,2+ G1,2M1∗+ G1,3M2∗ G∗_1,2N∗+ M1G∗1,2+ M2G∗1,3 M1G2,2+ G2,2M1∗+ M2G∗2,3+ G2,3M2∗   . (2.12) Com vista a obter uma contradição, suponhamos que G1,1 é singular. Seja

e = car(G1,1). Então existe uma matriz não singular U ∈ Fd×d tal que

(61)

G1,1 = 0). Particionemos N0 = U N U−1 de modo análogo N0 =    N1,1 N1,2 N2,1 N2,2   ,

onde N1,1 ∈ F(d−e)×(d−e). Então NG1,1+ G1,1N∗ é congruente com

N0G0_1,1+ G0_1,1N0∗ =    0d−e N1,2∆ ∆N_1,2∗ N2,2∆ + ∆N2,2∗   .

Como NG1,1 + G1,1N∗ ≥ 0, temos que N1,2∆ = 0. Mas, como ∆ é não

singular, N1,2 = 0. Notemos que N0G01,1+ G01,1N0∗ é uma submatriz líder

principal de

K0 := (U ⊕ In−d)K(U∗⊕ In−d).

Como K ≥ 0 e K0 _{é congruente com K, deduzimos que as primeiras d − e}

linhas de K0 _{são nulas. Então}

A B K

é semelhante por blocos com

(U ⊕ In−d) A B K (U−1⊕ In−d+m⊕ U∗⊕ In−d) =    N1,1 0 0 ∗ ∗ ∗   . Se λ ∈ C é um valor próprio de N1,1 então car

λIn− A B K

< n. Isto é uma contradição, porque

A, B K é controlável. Portanto G1,1 é não singular. Então d = car(G1,1) ≤ car(H1) = n − δ e ρ ≤ δ ≤

n − d = n − gr(γ1· · · γn).

Para toda a matriz hermítica Y ∈ F(n−d)×(n−d)_{e toda a matriz Z ∈ F}(n−d)×m_,

seja KY,Z a matriz que resulta de K substituindo G2,2 por Y e G2,3 por Z

em (2.12). Como (M1, M2) é controlável, todos os fatores invariantes de

xIn−d− M1 M2

(62)

são iguais a 1 e a forma normal de Smith de (2.13) é In−d 0 . Tendo em conta a forma (2.5) de A B , deduzimos que xIn− A B KY,Z é equivalente, em F[x], a xId− N N G1,1+ G1,1N∗ N G1,2+ G1,2M1∗+ G1,3M2∗ ⊕ In−d 0 . (2.14) Podemos observar que (2.14) não depende de Y nem de Z. Em particular, sabemos que A, B K

é controlável e, portanto, (2.14) tem todos os seus fatores invariantes iguais a 1. Consequentemente

A,

B KY,Z

é controlável, para toda a matriz hermítica Y ∈ F(n−d)×(n−d) e toda a

matriz Z ∈ F(n−d)×m. De acordo com o lema 2.20, existem Y

−, Y+ ∈

F(n−d)×(n−d), Z−, Z+ ∈ F(n−d)×m tais que Y−, Y+ são hermíticas, Y− <

0, Y+ > 0 e (2.8),(2.9) são satisfeitos. Para todo o número real positivo

λ, sejam H1,−λ=    G1,1 G1,2 G∗_1,2 λY−   , H2,−λ =    G1,3 λZ−   , H1,λ =    G1,1 G1,2 G∗_1,2 λY+   , H2,λ =    G1,3 λZ+   . Notemos que AH1,−λ+ H1,−λA∗+ BH2,−λ∗ + H2,−λB∗ = KλY−,λZ−, AH1,λ+ H1,λA∗+ BH2,λ∗ + H2,λB∗ = KλY+,λZ+.

(63)

De acordo com o lema 2.19, existe um número real positivo tal que, para todo λ ≥ ,

In(H1,−λ) = In(G1,1) + (0, n − d, 0),

In(H1,λ) = In(G1,1) + (n − d, 0, 0),

e H1,−λ e H1,λ são não singulares.

Seja V ∈ Fd×d _{uma matriz não singular tal que}

V (N G1,1+ G1,1N∗)V∗ = 0d−r ⊕ ∆,

onde r = car(NG1,1 + G1,1N∗) e ∆ ∈ Fr×r é denida positiva. Então

(V ⊕ In−d)K(V∗⊕ In−d) tem a forma        0d−r 0 P 0 ∆ Q P∗ Q∗ M1G2,2+ G2,2M1∗+ M2G∗2,3+ G2,3M2∗        ,

para algumas matrizes P, Q. Como K ≥ 0, deduzimos que P = 0. Notemos que, para algum número real positivo λ, (V ⊕In−d)KλY−,λZ−(V

∗_{⊕ I} n−d)tem a forma 0d−r⊕    ∆ Q Q∗ λ(M1Y−+ Y−M₁∗+ M2Z−∗ + Z−M₂∗)   .

Pelo lema 2.19 existe um número real positivo −tal que, para todo λ ≥ −,

KλY−,λZ− é semidenida positiva. Analogamente, existe um número real

(64)

Para λ ≥ max{, +, −}, pelo caso estudado em primeiro lugar e pelas

desi-gualdades de entrelaçamento dos valores próprios para matrizes hermíticas, resulta que

In(A, B) ≤ In(H1,−λ) = In(G1,1) + (0, n − d, 0) ≤ (π, ν + n − d, 0),

In(A, B) ≤ In(H1,λ) = In(G1,1) + (n − d, 0, 0) ≤ (π + n − d, ν, 0).

Portanto In(A, B) ≤ (π, ν, 0). (b2.22) ⇒ (a2.22). Suponhamos que

A B

está na forma (2.5. Temos que In(N) = In(A, B) ≤ (π, ν, 0). Então d = gr(γ1· · · γn) ≤ π + ν.

Seja n0 _{= n − d}_{. Seja}

M₁0 M₂0

uma matriz, semelhante por blocos com

M1 M2

, da forma indicada no lema 2.21, com os elementos c1, . . . , c0n

escolhidos tais que, se M0 é a submatriz líder principal de M10 de tamanho

(π + ν − d) × (π + ν − d), então In(N ⊕ M0) = (π, ν, 0).

Então

A B

é semelhante por blocos com    N 0 0 0 M₁0 M₂0   .

Como ρ ≤ δ = n − π − ν, não é difícil deduzir que existe uma matriz de permutação Q ∈ Fm×m tal que

M₂0Q =    0 B_1,20 B2,1 B2,2   ∈ F (n−d)×m , onde B2,1 =    0 0 0 Ir   ∈ F δ×ρ , r = min{car(B), ρ}. Particionando N ⊕ M₁0 como

   A1,1 A1,2 0 A2,2   , onde A1,1 = N ⊕ M0 ∈ F (π+ν)×(π+ν)_.

(65)

Então

A B

é semelhante por blocos com    A1,1 A1,2 0 B1,2 0 A2,2 B2,1 B2,2   , onde B1,2 =    0 B0_1,2   . (2.15) Sem perda de generalidade, suponhamos que

A B

tem a forma (2.15). De acordo com o teorema geral da inércia, existe uma matriz hermítica ∆ ∈ F(π+ν)×(π+ν) tal que A

1,1∆ + ∆A∗1,1 > 0 e In(∆) = In(A1,1) = In(N ⊕

M0) = (π, ν, 0). Seja H1 H2 :=        ∆ 0 0 0 0 0 0δ−ρ 0 0 0 0 0 0ρ Iρ 0        ,

onde H1 é uma matriz n × n e H2 é uma matriz n × m. Então

In(H1) = (π, ν, δ), ρ(H1, H2) = ρ, K := AH1+ H1A∗+ BH2∗+ H2B∗ = (A1,1∆ + ∆A∗1,1) ⊕ 0 ⊕ 2Ir ≥ 0, e A, B K é controlável.

2.4 Um Teorema de Inércia de Loewy

Para todas as matrizes A ∈ Fn×n_{, B ∈ F}n×m_{, denotamos por i(A, B) o}

(66)

(A, B) é controlável se e só se i(A, B) = 0. O próximo lema é um corolário de [16, 22], como se verá. Este também é uma consequência de [1]; e uma consequência de [27], quando q = 0.

Lema 2.23 Sejam A ∈ Fn×n

, B ∈ Fn×m. Então i(A, B) é o menor in-teiro não negativo τ para o qual existe uma matriz X ∈ Fn×τ _{tal que}

A, B X é controlável.

O resultado é válido quando q = 0.

Demonstração. Seja i(A, B) = τ. De acordo com [16, 22], existe M (x) ∈ Fn×τ tal que

xIn− A B M (x)

tem todos os fatores invarian-tes iguais a 1. Suponhamos que M(x) = (xIn− A)Q(x) + X, onde Q(x) ∈

F[x]n×τ, X ∈ Fn×τ. Então xIn− A B M (x) e xIn− A B X são equivalentes, e portanto,

A, B X é controlável. Suponhamos agora que Y ∈ Fn×σ_{, onde σ < τ. Sejam γ}

1 | . . . | γnos fatores

invariantes de (2.1) e η1 | · · · | ηn os fatores invariantes de

xIp− A B Y

.

De acordo com [16, 22], γn−σ | ηn. Como γn−σ é não constante, isto implica

que A, B Y não é controlável.

Loewy [14] obteve condições necessárias para (a2.17) quando "(A, K) é

(67)

{0, . . . , n}".

O próximo teorema fornece uma condição necessária para as armações que resultam de (a2.17), quando "(A, K) é controlável"é substituído pela

ar-mação mais geral "i(A, K) = τ ". Também se irá obter uma versão deste resultado para pares de matrizes.

Teorema 2.24 [5] Seja A ∈ Fn×n_{. Sejam π, ν, δ, τ inteiros não negativos}

tais que π +ν +δ = n. Sejam α1 | . . . | αn os fatores invariantes de xIn− A.

Se existir uma matriz hermítica H ∈ Fn×n _{tal que In(H) = (π, ν, δ), K :=}

AH + HA∗ ≥ 0 e i(A, K) = τ então (b2.24) In(α1· · · αn−τ) ≤ (π, ν, 0).

(Com a convenção de α1· · · αn−τ = 1, quando n = τ).

Observação 2.25 A condição (b2.24)implica que gr(α1· · · αn−τ) ≤ π + ν =

n − δ e, portanto, δ ≤ n−gr(α1· · · αn−τ). Como gr(α1· · · αn−τ) = n, é fácil

deduzir que, quando τ = 0, (b2.24) é equivalente a (d1.13).

Omitimos a demonstração deste teorema, porque é análogo à demonstração do próximo teorema.

Teorema 2.26 [5] Sejam A ∈ Fn×n

, B ∈ Fn×m. Sejam π, ν, δ, τ inteiros não negativos tais que π+ν+δ = n. Sejam γ1 | . . . | γnos fatores invariantes