Matematica aplicada a Administração e Economia

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OUTRAS OBRAS

MATEMÁTICA APLICADA À

ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA

E CONTABILIDADE

FUNÇÕES DE UMA E MAIS VARIÁVEIS

Luiza Maria Oliveira da Silva e

Maria Augusta Soares Machado

ESTATÍSTICA APLICADA À

ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

TRADUÇÃO DA 6ª EDIÇÃO

NORTE-AMERICANA / 3ª EDIÇÃO BRASILEIRA

Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams

e David R. Anderson

INTRODUÇÃO À

LÓGICA MATEMÁTICA

Carlos Alberto F. Bispo,

Luiz B. Castanheira e Oswaldo Melo S. Filho

PRÉ-CÁLCULO

3ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA

André Machado Caldeira, Luiza Maria Oliveira da Silva,

Maria Augusta Soares Machado e Valéria Zuma

Medeiros (coord.)

M

atemática aplicada a administração e economia apresenta uma abordagem

intuitiva e de fácil compreensão, tornando-se um excelente material para utilização em sala de aula dos cursos universitários.

O autor usou de sua experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas para buscar introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de experiências comuns da vida real.

Nesta edição, além de atualizações dos exemplos aplicados e também dos exercícios,

muitos dos novos problemas envolvem temas atuais, como o aquecimento global, as vendas de smartphones, os encargos de cheques sem fundos e a produção de painéis solares. Além disso, foram mantidos muitos dos marcos que fizeram esta obra ser tão útil e bem recebida nas edições anteriores:

• Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra;

• Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos;

• Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas; • Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão

e resolução de problemas;

• Características para incentivar maior exploração.

Aplicações

Livro-texto para as disciplinas de cálculo e matemática aplicada nos cursos de graduação em Administração e Economia.

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ferramentas multimídia para uma nova estratégia de ensino e aprendizagem.

MA

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ISBN-13: 978-85-221-1646-1 ISBN-10: 85-221-1646-6 9 7 8 8 5 2 2 1 1 6 4 6 1

TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO

NORTE-AMERICANA

MATEMÁTICA

APLICADA

A

ADMINISTRAÇÃO

E

ECONOMIA

MATEMÁTICA APLICADA

A

ADMINISTRAÇÃO

E

ECONOMIA

TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANA

S. T. TAN

capa.matematica3.final3.pdf 1 09/06/14 14:49

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MATEMÁTICA APLICADA

A ADMINISTRAÇÃO E

ECONOMIA

Tradução da 9ª edição norte-americana

SOO T. TAN

STONEHILL COLLEGE

REVISÃO TÉCNICA: RICARDO MIRANDA MARTINS

Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)

TRADUÇÃO: FOCO TRADUÇÕES

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page III

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SUMÁRIO

Prefácio xi

CAPÍTULO 1 Preliminares 1

1.1 Revisão I 3 1.2 Revisão II 15

1.3 O Sistema de Coordenadas Cartesianas 25 1.4 Retas 33

Capítulo 1 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 46 Capítulo 1 Questões Conceituais de Revisão 46

Capítulo 1 Exercícios de Revisão 46 Capítulo 1 Antes de Prosseguir... 48

CAPÍTULO 2 Funções, Limites e Derivadas 49

2.1 Funções e seus Gráficos 50

Usando Tecnologia: Representando Graficamente uma Função 63

2.2 A Álgebra de Funções 67

2.3 Funções e Modelos Matemáticos 75

PORTFÓLIO: Todd Kodet 82

Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Interseção de Dois Gráficos e Modelando 93

2.4 Limites 97

Usando Tecnologia: Determinando o Limite de uma Função 116

2.5 Limites Unilaterais e Continuidade 118

Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Descontinuidade de uma Função 132

2.6 A Derivada 135

Usando Tecnologia: Representando Funções e suas Retas Tangentes 152 Capítulo 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 154

Capítulo 2 Questões Conceituais de Revisão 155 Capítulo 2 Exercícios de Revisão 156

Capítulo 2 Antes de Prosseguir... 159

CAPÍTULO 3 Diferenciação 161

3.1 Regras Básicas da Diferenciação 162

Usando Tecnologia: Determinando a Taxa de Variação de uma Função 174

3.2 Regra do Produto e do Quociente 176

Usando Tecnologia: Regras do Produto e do Quociente 185

3.3 Regra da Cadeia 187

Usando Tecnologia: Determinando a Derivada de uma Função Composta 198

3.4 Funções Marginais em Economia 199 3.5 Derivadas de Ordem Superior 213

Usando Tecnologia: Determinando a Segunda Derivada de uma Função em um Ponto Dado 219

3.6 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas 221 3.7 Diferenciais 234

Usando Tecnologia: Determinando a Diferencial de uma Função 243 Capítulo 3 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 245

CAPÍTULO 4 Aplicações da Derivada 251

4.1 Aplicações da Primeira Derivada 252

Usando Tecnologia: Usando a Primeira Derivada para Analisar uma Função 269

4.2 Aplicações da Segunda Derivada 272 4.3 Esboçando Curvas 291

Usando Tecnologia: Analisando as Propriedades de uma Função 303 Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page VII

(4)

4.4 Otimização I 305

Usando Tecnologia: Encontrando os Extremos Absolutos de uma Função 319

4.5 Otimização II 320

Capítulo 4 Resumo dos Principais Termos 331 Capítulo 4 Questões Conceituais de Revisão 332 Capítulo 4 Exercícios de Revisão 332

CAPÍTULO 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 337

5.1 Funções Exponenciais 338

Usando Tecnologia 344

5.2 Funções Logarítmicas 346 5.3 Juros Compostos 353

Usando Tecnologia: Determinando o Valor Acumulado de um Investimento,

a Taxa de Juros Efetiva e o Valor Presente de um Investimento 367

5.4 Derivadas de Funções Exponenciais 368

Usando Tecnologia 378

5.5 Derivadas das Funções Logarítmicas 380

5.6 Modelos Matemáticos que Usam Funções Exponenciais 388

PORTFÓLIO: Carol A. Reeb, Ph.D. 389

Usando Tecnologia: Analisando Modelos Matemáticos 400 Capítulo 5 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 402 Capítulo 5 Questões Conceituais de Revisão 403

CAPÍTULO 6 Integração 407

6.1 Antiderivadas e as Regras de Integração 408 6.2 Integração por Substituição 422

6.3 Área e a Integral Definida 431

6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo 440

PORTFÓLIO: Molly H. Fisher, David C. Royster e Diandra Leslie-Pelecky 441

Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas 451

6.5 Calculando Integrais Definidas 452

Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas para Funções Definidas por Partes 462

6.6 Área entre Duas Curvas 464

Usando Tecnologia: Encontrando a Área entre Duas Curvas 475

6.7 Aplicações da Integral Definida em Negócios e Economia 476

Usando Tecnologia: Aplicações em Administração e Economia / Exercícios de Tecnologia 488 Capítulo 6 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 489

CAPÍTULO 7 Tópicos Adicionais de Integração 497

7.1 Integração por Partes 498

7.2 Integração Usando Tabelas de Integrais 505 7.3 Integração Numérica 512

7.4 Integrais Impróprias 526

7.5 Volumes de Sólidos de Revolução 534

CAPÍTULO 8 Cálculo de Várias Variáveis 545

8.1 Funções de Várias Variáveis 546 8.2 Derivadas Parciais 557

PORTFÓLIO: Karthik Ramachandran 559

Usando Tecnologia: Determinando Derivadas Parciais em um Ponto Dado 571

VIII Matemática Aplicada a Administração e Economia

(5)

8.3 Máximos e Mínimos de Funções com Várias Variáveis 572 8.4 O Método dos Mínimos Quadrados 583

Usando Tecnologia: Determinando a Equação da Reta dos Mínimos Quadrados 592

8.5 Máximos e Mínimos Restritos e o Método dos Multiplicadores de Lagrange 594 8.6 Diferenciais Totais 605

8.7 Integrais Duplas 612

8.8 Aplicações das Integrais Duplas 618

Índice Remissivo IR1

CAPÍTULOS ADICIONAIS DISPONÍVEIS EM PDF NA TRILHA

CAPÍTULO ADICIONAL 9 Equações Diferenciais 631

9.1 Equações Diferenciais 632 9.2 Separação de Variáveis 638

9.3 Aplicações das Equações Diferenciais Separáveis 644 9.4 Soluções Aproximadas de Equações Diferenciais 655

CAPÍTULO ADICIONAL 10 Probabilidade e Cálculo 665

10.1 Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias 666

Usando Tecnologia: Esboçando um Histograma 678

10.2 Valor Esperado e Desvio Padrão 679

PORTFÓLIO: Gary Li 682

Usando Tecnologia: Encontrando o Valor Médio e o Desvio Padrão 693

10.3 Distribuições Normais 695

Capítulo 10 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 706 Capítulo 10 Questões Conceituais de Revisão 706 Capítulo 10 Exercícios de Revisão 707

CAPÍTULO ADICIONAL 11 Polinômios de Taylor e Séries Infinitas 709

11.1 Polinômios de Taylor 710 11.2 Sequências Infinitas 720 11.3 Séries Infinitas 727

11.4 Séries com Termos Positivos 739 11.5 Série de Potências e Série de Taylor 748 11.6 Mais Informações sobre a Série de Taylor 757 11.7 Método de Newton 764

Usando Tecnologia: Método de Newton 773

CAPÍTULO ADICIONAL 12 Funções Trigonométricas 777

12.1 Medidas de Ângulos 778 12.2 As Funções Trigonométricas 783

12.3 Diferenciação das Funções Trigonométricas 791

Usando Tecnologia: Analisando Funções Trigonométricas 802

12.4 Integração de Funções Trigonométricas 804

Usando Tecnologia: Calculando Integrais de Funções Trigonométricas 810

Sumário IX

(6)

APÊNDICE A

A.1 A Inversa de uma Função 816 A.2 Gráficos de Funções Inversas 818 A.3 Funções que Possuem Inversas 818

A.4 Determinando a Inversa de uma Função 819

APÊNDICE B

B.1 Formas Indeterminadas 821

B.2 As Formas Indeterminadas 0/0 e ⬁/⬁ e a Regra de l’Hôpital 821

APÊNDICE C

C.1 Distribuição Normal Padrão 826

Respostas 829

X Matemática Aplicada a Administração e Economia

(7)

PREFÁCIO

Matemática Aplicada a Administração e Economiaé destinado ao uso em um curso introdutório de cálculo de dois semestres ou três trimestres para estudantes de Administração e Ciências Humanas. Ao preparar a 9a_{Edição, levei} em conta dois objetivos antigos: (1) escrever um texto aplicado que motivasse os alunos e (2) constituir uma ferra-menta de ensino útil para professores. Por trás disso está a minha crença de que a matemática é parte integrante do nosso dia a dia. Entre as lições mais importantes que aprendi durante os muitos anos de ensino em cursos de graduação de matemática, chamou-me a atenção uma delas: é que a maioria dos estudantes – desta ou de outras áreas – responde melhor quando conceitos e resultados matemáticos são introduzidos por meio de ilustrações da vida real.

Em minha experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas, também aprendi que muitos alunos che-gam a esses cursos com algum grau de conhecimento. Esse saber me levou a adotar nos meus livros uma abordagem intuitiva. Como vocês verão, busco introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de ex-periências comuns da vida real. Só após expressar a ideia, tento dar-lhe uma maior precisão, impedindo a perda do rigor matemático no tratamento intuitivo.

Outra lição aprendida com meus alunos é que sua motivação é maior quando as aplicações partem de seus cam-pos de interesse e de situações cotidianas. Esse é um dos motivos por que vocês verão em meus textos vários exer-cícios construídos com dados retirados de jornais, revistas e outras mídias. Tento introduzir tópicos de interesse atual, como o mercado de medicamentos redutores de colesterol, financiamento de casas, licitações de direitos de trans-missão na televisão a cabo, domicílios com conexões de banda larga, ou vendas anuais do Starbucks, buscando man-ter o livro atrativo para todos os meus leitores.

A ABORDAGEM

Nível de Apresentação

Minha abordagem é intuitiva, e os resultados são enunciados informalmente. No entanto, tomei cuidados especiais para garantir que essa abordagem não comprometa o conteúdo e a precisão matemática.

Abordagem de Resolução de Problemas

A abordagem de resolução de problemas é destacada durante o livro. Diversos exemplos e aplicações ilustram cada novo conceito e resultado. Especialmente, os alunos são ajudados a formular, resolver e interpretar os resultados dos proble-mas que envolvem aplicações. Como os alunos geralmente têm dificuldade em estabelecer e resolver probleproble-mas mate-máticos, uma maior atenção é dada para ajudá-los a dominar essas habilidades:

■ No início do texto, os alunos praticam o estabelecimento de problemas matemáticos (veja a Seção 2.3). ■ Orientações são dadas para ajudar a formular e resolver problemas de taxas relacionadas na Seção 3.6.

■ No Capítulo 4, duas seções abrangem os problemas de otimização. Na primeira, as técnicas de cálculo são

utili-zadas para resolver problemas em que a função a ser otimizada é dada (Seção 4.4); na segunda, são tratados os problemas de otimização que requerem a etapa adicional de formulação do problema (Seção 4.5).

■ No Capítulo 9, “Equações Diferenciais”, os alunos são novamente incentivados a estabelecer problemas que

en-volvem aplicações (veja a Seção 9.1), antes de serem apresentados aos métodos de solução desses problemas nas Seções 9.2-9.4.

Introdução Intuitiva aos Conceitos

Quando adequado, os conceitos matemáticos são introduzidos com exemplos reais do cotidiano. Abaixo estão alguns dos tópicos que são introduzidos dessa maneira:

■ Limites:O Movimento de um Maglev

■ A álgebra de funções: O Déficit Orçamentário Norte-Americano

■ A Regra da Cadeia:A População de Norte-Americanos com 55 Anos ou Mais

■ Diferenciais:Calculando Pagamentos Hipotecários

■ Funções crescentes e decrescentes:A Economia de Combustível de um Automóvel

■ Concavidade: O Crescimento Populacional nos Estados Unidos e no Mundo

(8)

■ Pontos de inflexão:O Ponto de Retorno Decrescente

■ Esboço de curvas:O Índice Dow Jones na “Segunda-feira Negra”

■ Funções exponenciais:Distribuição de Renda da Família Norte-Americana

■ Área entre duas curvas:Economia de Petróleo com Medidas Conservativas ■ Aproximando integrais definidas:O Fluxo Cardíaco

Conexões

Um exemplo (o maglev) é utilizado como fio condutor ao longo do desenvolvimento do cálculo - desde os limites até a integração. O objetivo aqui é mostrar aos alunos as conexões entre os conceitos apresentados: limites, conti-nuidade, taxas de variação, a derivada, a integral definida, e assim por diante.

Motivação

A ilustração do valor prático da matemática nas áreas aplicadas é um objetivo da minha abordagem. Muitas das apli-cações são baseadas em modelos matemáticos (funções) que construí utilizando dados retirados de diversas fontes, incluindo jornais atuais, revistas e internet. As fontes são dadas no texto desses problemas aplicados.

Modelagem

Acredito que uma das habilidades importantes que um aluno deve adquirir é a habilidade de traduzir um problema real em um modelo matemático que pode oferecer a compreensão sobre esse problema. Na Seção 2.3, o processo de modelagem é discutido, e pede-se aos alunos que utilizem os modelos (funções) construídos com base em dados reais para responder às questões. Os alunos adquirem uma experiência prática ao construir esses modelos nas seções Usando Tecnologia.

NOVIDADES DESTA EDIÇÃO

Incentivando Aplicações da Vida Real

Entre as muitas novidades e atualiza-ções dos exemplos aplicados e dos exercícios, estão os problemas que en-volvem o aquecimento global, a sol-vência dos fundos fiduciários do Insti-tuto de Seguridade Social dos Estados Unidos, o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller, as vendas de smartpho-nes, os encargos de cheques sem fun-dos, a produção de painéis solares, a tá-tica de cobertura do México, o Índice de Gini, os usuários do Facebook, o público de e-books, o crescimento das cooperativas de crédito, o tempo de es-pera para um show nas “Fontes de Bel-lagio” e os usuários de telefone celular na China.

Modelagem com Dados

Como na edição anterior, os exercícios de modelagem com dados são encontrados em várias seções Usando Tecno-logia em todo o texto. Aqui, os alunos podem realmente ver como são construídas algumas das funções encontradas nos exercícios. Muitas dessas aplicações foram atualizadas, e alguns exercícios novos foram adicionados.

XII Matemática Aplicada a Administração e Economia

EXEMPLO APLICADO 2 Aquecimento Global O aumento de dióxido de carbono

(CO₂) na atmosfera é uma das principais causas do aquecimento global. A curva de Keeling, cujo nome é em homenagem a Charles David Keeling, um profes-sor do Scripps Institution of Oceanography, fornece a quantidade média de CO₂, me-dida em partes por milhão em volume (ppmv), na atmosfera, de 1958 a 2010. Ainda que os dados estivessem disponíveis para cada ano nesse intervalo, construiremos a curva com base apenas nos seguintes pontos de dados selecionados aleatoriamente.

Ano 1958 1970 1974 1978 1985 1991 1998 2003 2007 2010

Quantidade 315 325 330 335 345 355 365 375 380 390

O diagrama de dispersão associado a esses dados encontra-se na Figura 18a. Um modelo matemático que fornece uma aproximação da quantidade de CO₂na atmos-fera durante esse período é dado por

A(t) 0,012313t2 _0,7545t _313,9_{(1 t 53)} Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XII

(9)

Conectando-se à Tecnologia

Toda a arte nas seções “Usando Tecnologia” foi refeita. As te-las da calculadora científica agora mostram as escate-las nume-radas em ambos os eixos, tornando mais fácil para os alunos a utilização e a compreensão desses gráficos. Muitas das aplica-ções nos exemplos e exercícios das seaplica-ções Usando Tecnologia foram atualizadas.

Variedade de Tipos de Problema

Questões de memorização, questões de falso ou verdadeiro e questões conceituais foram adicionadas ao longo do texto para aprimorar os conjuntos de exercícios.

Soluções Cuidadosamente Concebidas

O Manual Completo de Soluções foi completamente renovado. Todas as novas artes foram criadas para o manual, e as soluções foram revisadas e simplificadas para facilidade de uso. Como em edições anteriores, as soluções para to-dos os exercícios foram escritas pelo autor.

Gráficos Aprimorados

As ilustrações tridimen-sionais na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foram re-feitas para que os alu-nos vejam com maior facilidade os conceitos descritos em 3D. Por exemplo, a Figura 7 na Seção 8.1 agora mostra o traço do gráfico de z = f(x, y) e o plano z = k e sua projeção sobre o plano xy (Figura 7a) e a

curva de nível correspondente (Figura 7b).

Mudanças Específicas de Conteúdo

■ Os Exemplos 4, 7b e 10c foram adicionados à Seção 1.1.

■ O Exemplo Aplicado 4 na subseção “Usando Tecnologia” da Seção 2.2 foi refeito. Os gráficos de déficit

orça-mentário que são utilizados como motivação para a introdução da Seção 2.2, “A Álgebra de Funções”, foram re-feitos para refletir os números atuais de déficit. Um novo exercício conceitual gráfico foi adicionado na Seção 2.2. Na Seção 2.3, “Funções e Modelos Matemáticos”, foram construídos novos modelos para os quatro primeiros exemplos aplicados – Encargos de Cheques Sem Fundo, Aquecimento Global, Ativos do Fundo Fiduciário do Ins-tituto de Seguridade Social e Custos de Direção.

7. Falência de Banco O banco Haven Trust de Duluth, no

es-tado da Georgia, fundado em 2000, aumentou rapida-mente seu portfólio de investimentos de risco no setor imobiliário, apesar de muitos alertas dos órgãos regula-dores. O banco faliu em dezembro de 2008. O volume de empréstimos imobiliários do banco, em relação ao per-centual de seu capital, é estimado pela função

f_{1t2 ⫽ ⫺5,92t}4_{⫹ 58,89t}3_{⫺ 165,75t}2_{⫹ 56,21t ⫹ 629}

10 ⱕ t ⱕ 52 onde t⫽ 0 corresponde ao início do ano 2003.

a. Trace o gráfico de f, usando a janela retangular

[0, 5] ⫻ [0, 650].

b. Mostre que em nenhum momento, durante o período

compreendido entre o início do ano 2003 até o começo de 2008, o montante de financiamento imobiliário, em relação ao percentual do capital do banco, ficou abaixo de 415%. Observação: A porcentagem máxima recomendada pelos órgãos reguladores em 2008 era de 100%.

Fonte: FDIC Office of Inspector General.

Prefácio XIII

(a) A curva de nívelCcom a equaçãof (x, y) k (b)A curva de nível C

é projeção do traço defno planoz k sobre o plano xy

z k f(x, y) k y C f(x, y) k C z 0 x z f (x, y) x y 0 FIGURA 7

(10)

■ Os Exemplos Aplicados 8 nas Seções 3.1 e 3.3 foram modificados. Na Seção 3.4, a subseção sobre a Elasticidade

da Demanda foi reescrita e a discussão simplificada. Na Seção 3.6, “Diferenciação Implícita e Taxas Relaciona-das”, dois novos exemplos foram adicionados. O Exemplo 5 ilustra o processo de encontrar implicitamente a se-gunda derivada de uma função, e o Exemplo Aplicado 6 é uma aplicação econômica utilizada para introduzir a taxa marginal de substituição técnica (TMST).

■ No Capítulo 4, as curvas orçamentárias utilizadas para motivar os extremos relativos foram atualizadas para

re-fletir o déficit atual. Sete novos exercícios gráficos foram adicionados ao Conjunto de Exercícios 4.2, incluindo Boatos de uma Corrida ao Banco e o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller. A aplicação Idade Média de Au-tomóveis, utilizada para motivar o conceito de extremo absoluto na Seção 4.4, foi atualizada. O Exemplo Apli-cado 7 nessa seção também foi modifiApli-cado.

■ Do Capítulo 5 ao 7, várias aplicações novas e únicas foram adicionadas aos conjuntos de exercícios. Entre estas,

Roubo Farmacêutico, Lobby Federal, Total de Procedimentos de Substituição de Joelho, Tática de Cobertura do México, Déficit do Reino Unido, Gastos do Consumidor em Entretenimento e Custos Médicos para os Vetera-nos. Na Seção 5.3, os exemplos e os exercícios foram atualizados para refletir as atuais taxas de juros mais bai-xas. A Seção 5.4 é agora introduzida por um novo modelo para a distribuição de renda nos Estados Unidos em 2010. Duas novas aplicações no Índice de Gini nos Estados Unidos foram adicionadas ao conjunto de exercícios 7.2 para a integração numérica.

■ A ilustração tridimensional na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foi refeita. Os novos gráficos tornam a visão dos

con-ceitos descritos em 3D mais fácil para os alunos.

CARACTERÍSTICAS CONFIÁVEIS

Além das novas características, mantivemos muitos dos marcos que fizeram esta série ser tão útil e bem recebida nas edições anteriores:

■ Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra ■ Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos ■ Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas

■ Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas ■ Características para incentivar uma maior exploração

A Revisão de Álgebra Oferece aos Alunos um Plano de Ação

Um Exercício de Diagnóstico an-tecede a revisão de álgebra. Cada questão é referenciada pela seção e pelo exemplo no texto em que o tópico relevante pode ser revisado. Os alunos podem usar esse exer-cício para diagnosticar seus pontos fracos e revisar o material con-forme necessário.

Testes de Conhecimento

1. a. Avalie a expressão:

(i) (ii)

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos:

(Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7)

2. Racionalize o numerador

(Racionalização, Exemplo 5, página 7) 3 B x2 yz3 (x 2_y 1₎3 3 B 27 125 a16_{9 b}3/2

XIV Matemática Aplicada a Administração e Economia

(11)

Revisão de Álgebra Posicionada Onde os Alunos Mais Precisam

Notas de revisão de álgebra bem posi-cionadas, vinculadas ao capítulo de re-visão, aparecem ao longo do texto em lugares onde os alunos mais precisam. Estas são indicadas pelo ícone .

Testes de Conhecimento

Oferecendo aos alunos um feedback imediato sobre os conceitos--chave, os Testes de Conhecimento dão iní-cio a cada conjunto de exercícios ao final da seção. Suas soluções completas podem ser encontradas no final de cada seção de exercícios.

Questões Conceituais

Desenvolvidas para testar a compreensão dos conceitos básicos discutidos na seção, as Questões Conceituais encorajam o estudante a explicar os concei-tos aprendidos com suas próprias palavras.

(x2)

EXEMPLO 6 Calcule:

Solução

Fazendo h tender a zero, obtemos a forma indeterminada 0/0. Em seguida, racionali-zamos o numerador do quociente multiplicando numerador e denominador pela ex-pressão e obtemos Portanto, lim hS0 11 h 1 h hlimS0 1 11 h 1 1 11 1 1 2 1 11 h 1 h h1 11 h 12 1 h 1 h1 11 h 12 11 h 1 h 1 11 h 121 11 h 12 h1 11 h 12 1 11 h 12 lim hS0 11 h 1 h 1 1a 1b2 11a 1b2 a b Veja página 19. (x2₎ 1. Calcule .

2. Desde a inauguração da Ryan’s Express no início de

2009, o número de passageiros (em milhões) que voam nessa companhia tem crescido a uma taxa de

R1t2 0,1 0,2te 0,4t

passageiros/ano (t 0 corresponde ao início de 2009). Supondo-se que essa tendência se mantenha até 2013, de-termine quantos passageiros voaram pela Ryan’s Express por esse tempo.

As soluções dos Testes de Conhecimento 7.1 podem ser en-contradas na página 504.

x2_{ln x dx}

7.1 Testes de Conhecimento

7.1 Questões Conceituais

1. Escreva a fórmula de integração por partes.

2. Explique como você escolheria u e dv quando se utiliza

a fórmula de integração por partes. Ilustre a sua resposta

com x2_e x_dx_{. O que acontece se você inverter suas}

es-colhas de u para d√?

Prefácio XV

(12)

Exercícios

Cada seção de exercí-cios contém um am-plo conjunto de pro-blemas de natureza computacional roti-neira, seguidos por um extenso conjunto de problemas orienta-dos para aplicações.

Usando Tecnologia

Os recursos opcionais de Usando Tecnologia apare-cem após os exercícios da seção. Eles podem ser utili-zados em sala de aula, caso desejado, ou como material para estudo individual. Aqui, a calculadora científica é usada como uma ferramenta na resolução de problemas. Essas seções são escritas no formato tradicional exem-plo-exercício, com respos-tas dadas ao final do livro. Ilustrações com telas de cal-culadoras científicas são usadas extensivamente. Se-guindo o tema da motivação por meio de exemplos da vida real, muitas aplicações com fontes estão incluídas. Os alunos podem construir seus próprios modelos utili-zando dados reais em diver-sas seções Usando

Tecnolo-gia. Estes incluem modelos para o crescimento da indústria indiana de videogame, gastos com planos de saúde, proprietários de TiVo, teor de nicotina dos cigarros, segurança do computador, jogos on-line, entre outros.

Um Índice de Orientações de Tecnologia está incluído ao final do livro para referência.

7.1 Exercícios

Nos exercícios 1 a 26 encontre cada integral indefinida.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Dica:Sendo u ln x e d√ dx. 22. 23.

Dica: Integrar por partes duas vezes.

24.

Dica:Primeiro faça a substituição em seguida integre por partes.

25.

Dica: Integre por partes duas vezes.

26.

Dica: Primeiro, faça a substituição u x 1; depois integre por partes. x ln1x 12 dx x1ln x22_dx u 1x; e 1x_dx x2_e x_dx ln1x 12 dx ln x dx ln x x3 dx ln x x2 dx ln x 1x dx 1x ln 1x dx 1x ln x dx x3_{ln x dx} x2_{ln 2x dx} x ln 2x dx 3x 12x 3dx x 1x 5 dx x1x 42 2_dx x1x 12 3/2_dx 1x 32e3x_dx 1x 12ex_dx 1e x _x₂2_dx 1ex _x₂2_dx 6 xe3x_dx 1 2xe x/4_dx x e x_dx xe2x_dx

Apesar de a prova estar fora do escopo deste livro, pode ser demonstrado que uma fun-ção exponencial da forma f(x) bx_,_{onde b 1, cresce mais rápido que qualquer}

fun-ção de potência t(x) xn_{, para qualquer número real positivo n. Para visualizar esse}

resultado no caso especial da função exponencial f(x) ex_{, podemos usar uma}

calcu-ladora com recursos gráficos e fazer ambos os gráficos de f e t (fixados alguns valores de n) no mesmo plano cartesiano em uma janela retangular apropriada e observar que o gráfico de f está acima do gráfico de t.

EXEMPLO 1 Use uma calculadora com recursos gráficos para fazer os gráficos de (a) f(x) exe t(x) x3_{nos mesmos eixos cartesianos na janela retangular [0, 6]} [0, 250] e (b) f(x) ex_{e t(x) x}5_{na janela retangular [0, 20] [0, 1}_.₀₀₀_._000].

Solução

a. Os gráficos de f(x) ex_{e t(x) x}3_{na janela retangular [0, 6] [0, 250] estão} es-boçados na Figura T1a.

b. Os gráficos de f(x) ex_{e t(x) x}5_{na janela retangular [0, 20]} _{[0, 1}_.₀₀₀_._000] estão esboçados na Figura T1b.

6 0 250 20 0 1 000 000 Usando TECNOLOGIA FIGURA T1

(a) Os gráficos de f(x) ex_e _{(b) Os gráficos de f(x) e}x_e g(x) x3_{na janela retangular} _{g(x) x}5_{na janela retangular}

[0, 6] [0, 250] [0, 20] [0, 1,000,000] XVI Matemática Aplicada a Administração e Economia

(13)

Explorando com Tecnologia

Concebidas para explorar concei-tos matemáticos e esclarecer ainda mais os exemplos, as ques-tões opcionais de Explorando com Tecnologia aparecem ao longo do corpo principal do texto e servem para que os estudantes aprimorem sua compreensão dos conceitos e teoria apresentados. Geralmente, uma solução gráfica

ou numérica é acrescentada à solução de um exemplo no texto.

Resumo das

Principais Fórmulas e Termos

Cada seção de revisão inicia com o Resumo, que destaca equações e termos relevantes com remissão do número da página para fácil revisão.

Questões Conceituais de Revisão

As Questões Conceituais de Revisão oferecem aos estudantes a possibili-dade de verificar seu co-nhecimento das defini-ções e dos conceitos básicos apresentados em cada capítulo.

Explorando com

TECNOLOGIA

Para comprovar visualmente o fato de a expressão (1 1>m)m_aproximar-se

do número e 2,71828. . . à medida que mcresce ilimitadamente, faça o

grá-fico de f(x) (1 1>x)x_{, utilizando uma janela retangular adequada no visor}

de sua calculadora, e observe que f(x) se aproxima de 2,71828... com o au-mento crescente do valor de x. Use ZOOM e TRACE para encontrar o valor de f(x) para valores grandes de x.

Prefácio XVII

Resumo das Principais Fórmulas e Termos

Capítulo 5 FÓRMULAS

1. Função exponencial com base b y bx

2. O número e

3. Função exponencial com base e y ex

4. Função logarítmica com base b y log_bx

5. Função logarítmica com base e y ln x

6. Propriedades inversas de ln x e ex _{ln e}x _x _{e e}ln x _x

8. Taxa de juros efetiva 9. Juros compostos (valor presente)

10. Juros compostos contínuos A Pert

11. Derivada de uma função exponencial 12. Regra da cadeia para função exponencial 13. Derivada de uma função logarítmica 14. Regra da cadeia para funções logarítmicas

e lim mS a 1 1 m b m 2,71828p d dxln0 u 0 1 u du dx d dxln0 x 0 1 x d dx 1e u₂ _eudu dx d dx 1ex2 ex P Aa 1 _{m b}r mt reff a 1 r m b m 1 A Pa 1 _{m b}r mt 7. Juros compostos (quantia

acumu-lada)

Preencha as lacunas.

1. A função f(x) xb _{(b, um número real) é chamada função}

________, enquanto a função t(x) bx_{, onde b}

________, e b ________, é chamada de função ________.

2. a. O domínio da função y 3x_{é ________, e sua}

ima-gem é ________.

b. O gráfico da função y 0,3x_{passa pelo ponto}

________ e é decrescente em ________. 3. a. Se b 0 e b 1, então a função logarítmica y logbx

tem domínio ________ e imagem ________; seu grá-fico passa pelo ponto ________.

b. O gráfico de y logbxé decrescente se b ________

e crescente se b ________. 4. a. Se x 0, então eln x _{________.}

compostos continuamente, por t anos, então um valor principal de P dólares terá um valor acumulado de A ________ dólares.

8. a. Se t(x) ef(x)_{, onde f é uma função diferenciável,}

então t (x) ________.

b. Se t(x) ln f(x), onde f(x) 0 é uma função diferen-ciável, entãot (x) ________.

9. a. No modelo de crescimento exponencial irrestrito Q

Q0ekt, Q0representa a quantidade presente ________,

e k é chamada constante de ________.

b. No modelo de decaimento exponencial Q Q0ekt, k

é chamado constante de ________.

c. A meia-vida de uma substância radioativa é o ________ necessário para que a substância decaia até a ________ ________ de sua quantidade original.

TERMOS logaritmo comum (346) logaritmo natural (346) juros compostos (354) diferenciação logarítmica (382) crescimento exponencial (389) crescimento constante (389) decaimento exponencial (390) decaimento constate (390)

meia-vida de uma substância radioativa (391)

função logística de crescimento (394)

Questões Conceituais de Revisão

Capítulo 5 Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVII

(14)

Exercícios de Revisão

Oferecendo uma revisão contínua do material do capítulo, os Exercícios de Revisão contêm exer-cícios computacionais rotineiros seguidos por problemas aplicados.

Antes de Prosseguir...

Encontrados no final de cada revisão do capí-tulo, os exercícios de Antes de Prosseguir oferecem aos estudan-tes a chance de verificar se dominaram as habili-dades computacionais básicas desenvolvidas no capítulo.

Explore e Discuta

As questões opcionais de Explore e Discuta podem ser usadas em sala de aula ou atribuídas como atividade extraclasse. Essas qutões geralmente requerem mais es-forço e reflexão do que os exercí-cios usuais. Elas também podem ser utilizadas para adicionar um componente de escrita às aulas ou como projetos de equipe.

Exercícios de Revisão

Capítulo 5

1. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos das fun-ções exponenciais definido pelas equafun-ções

a. y 2x _b.

Nos exercícios 2 e 3, reescreva as equações usando logaritmos. 2. 3. 163/4 _0,125

Nos exercícios 4 e 5, resolva as equações para a variável x. 4. log412x 12 2

5. ln1x 12 ln 4 ln12x 42 ln 2

Nos exercícios 6 a 8, dado que ln 2 x, ln 3 y, e ln 5 z, ex-presse cada um dos logaritmos dados em termos de x, y e z.

6. ln 30 7. ln 3,6 8. ln 75 9. Represente o gráfico da função y log₂(x 3).

10. Represente o gráfico da função y log₃(x 1). 11. A soma de US$ 10.000 é depositada em um banco. Qual

será a quantia na conta depois de dois anos, se o banco paga uma taxa de juros composto de 6% ao ano (a) dia-riamente (supondo 365 dias por ano) e (b) continuamente. 12. Qual é a taxa de juros necessária para um investimento de US$ 10.000 crescer para a quantia de US$ 12.000 em três anos, se os juros são capitalizados trimestralmente? 13. Quanto tempo levará para um investimento de US$ 10.000

crescer para US$ 15.000, se o investimento rende uma taxa de juros de 6% ao ano, capitalizada trimestralmente? 14. Encontre a taxa de juros nominal que rende uma taxa de juros efetiva a 8% ao ano capitalizada trimestralmente. a2_{3 b} 3 27₈

y a1 2b

x

1. Resolva a equação para t.

2. Encontre a quantia acumulada depois de quatro anos,

considerando-se que US$ 3.000 foram investidos a 8% ao ano, capitalizados semanalmente.

3. Encontre o declive da reta tangente no gráfico de

.

4. Encontre a taxa na qual y xln(x2 _{1) varia em x} _1.

5. Encontre a segunda derivada de y e2x_{ln 3x.}

6. A temperatura de uma xícara de café no tempo t (em

mi-nutos) era

T1t2 70 ce kt

Inicialmente, a temperatura do café era de 200 ºF. Três minutos depois, era de 180 ºF. Quando a temperatura do café estará em 150 ºF? f1x2 e1x 100 1 2e0,3t 40 Antes de Prosseguir... Capítulo 5

Explore e Discuta

O preço médio da gasolina na bomba ao longo de um período de três meses, durante o qual

houve uma escassez temporária de petróleo, é descrito pela função f definida no intervalo [0,

3]. Durante o primeiro mês, o preço foi crescente em uma taxa crescente. Começando o se-gundo mês, a boa notícia foi que a taxa de crescimento diminuiu, apesar de o preço do com-bustível ainda estar aumentando. Esse padrão continuou até o final do segundo mês. O preço

da gasolina atingiu o pico em t 2 e começou a cair a uma taxa crescente até t 3.

1. Descreva os sinais de f (t) e f (t) sobre cada um dos intervalos (0, 1), (1, 2) e (2, 3). 2. Faça um esboço que mostre um gráfico plausível de f sobre [0, 3].

XVIII Matemática Aplicada a Administração e Economia

(15)

Portfólios

As experiências no mundo real de uma variedade de profissionais que utilizam a matemática no local de trabalho são narradas nas entrevistas do Portfólio. Entre os entrevistados estão Gary Li, um associado na JPMorgan Chase, e Todd Kodet, Vice--Presidente Sênior de Suprimentos da Earthbound Farm.

MATERIAIS DE ENSINO

ENHANCED WEBASSIGN (www.webassign.net)

Exclusivo da Cengage Learning, Enhanced WebAssign oferece um extenso programa on-line para incentivar a prá-tica, tão importante para o domínio de conceitos. Feedback imediato e facilidade de uso são apenas duas razões pe-las quais o sistema de atividades extracpe-lasse é o mais utilizado no ensino superior. O Enhanced WebAssign permite que você atribua, receba, dê notas e registre atividades via web e inclui links para conteúdos específicos ao texto, exem-plos de vídeo e tutoriais específicos ao problema. Agora, este consagrado sistema de atividades extraclasse foi apri-morado para incluir o YouBook, um e-book personalizável com recursos de realce, anotações e pesquisa, bem como linkspara recursos de multimídia.

CENGAGE YOUBOOK

YouBook é um e-book interativo e personalizável. Incluindo todo o conteúdo da 9a_{edição de Matemática Aplicada} a Administração e Economiade Tan, o YouBook possui uma ferramenta de edição de texto que permite que profes-sores modifiquem a narrativa do livro conforme necessário. Com YouBook, os profesprofes-sores podem rapidamente reor-denar seções e capítulos inteiros ou ocultar qualquer conteúdo não ensinado para criar um e-book que combina per-feitamente com seus conteúdos programáticos. Os professores podem ainda personalizar o texto por meio da publicação de links da web. Outros recursos de mídia incluem: figuras animadas, videoclipes, realces, notas e muito mais! YouBook está disponível no Enhanced WebAssign.

SOLUTION BUILDER (www.cengage.com/solutionbuilder)

Esse banco de dados on-line para professores oferece as soluções completas para todos os exercícios no texto, incluindo as questões em Explorando com Tecnologia e em Explore & Discuta. Solution Builder permite criar cópias perso-nalizadas e seguras (em formato PDF) que correspondem exatamente aos problemas dados em sala de aula.

PORTFÓLIO

Historicamente, pensava-se que os oceanos proporcionariam uma ili-mitada fonte de pesca a baixo custo. No entanto, em um mundo onde a população humana excede 6 bi-lhões de pessoas, a pesca excessiva impulsionou um terço de toda a pesca marinha para um estado de colapso.

Como uma geneticista em pescaria na Estação da Marinha Hopkins, estudo populações marinhas para colheitas comer-ciais e uso modelos exponencomer-ciais no meu trabalho. A equação que determina o tamanho da população que cresce ou decai exponencialmente é xt x0ert, onde x0é a população inicial, t

é o tempo e r é o crescimento ou declínio constante (positivo para crescimento e negativo para declínio).

Essa equação tanto pode ser usada para estimar a popula-ção do passado quanto a do futuro. Sabemos que a demanda por produtos da pesca cresce conforme a população cresce, causando assim, eventualmente, o declínio da população

ma-rinha. Por conta de a diversidade genética estar ligada ao ta-manho da população, a função exponencial é útil para mode-lar mudanças na população de pesca e seus conjuntos gené-ticos ao longo do tempo.

Curiosamente, funções exponenciais podem, também, ser usadas para modelar o aumento do valor de mercado de frutos do mar nos Estados Unidos ao longo dos últimos 60 anos. Em ge-ral, o preço dos frutos do mar tem crescido exponencialmente, embora o preço tenha sido brevemente estabilizado em 1995. Embora as curvas exponenciais sejam importantes no meu trabalho, nem sempre são a melhor opção. As curvas expo-nenciais são mais bem aplicadas em prazos curtos, quando o meio ambiente e o mercado são

ilimi-tados. Para longos períodos, a função lo-gística de crescimento é mais ade-quada. Em minha pesquisa, selecionar o modelo mais exato exige a análise de diversas possibilidades.

Carol A.

Reeb, Ph.D.

CARGO Pesquisadora Adjunta

INSTITUIÇÃO Estação da Marinha Hopkins,Universidade de Stanford

Michel Le Tallec; (inset) © Rich Carey/Shutterstock.com

Prefácio XIX Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIX

(16)

Agradeço também aos seguintes revisores, cujos comentários e sugestões para edições anteriores moldaram a forma atual desta edição.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de expressar meus agradecimentos pessoais a cada um dos revisores da 9a_{Edição, cujas diversas sugestões} ajudaram a melhorar em muito este livro.

XX Matemática Aplicada a Administração e Economia

Mario Borha

Moraine Valley Community College

Sarah Clark

South Dakota State University

Mark Crawford

Waubonsee Community College

Charles Cunningham

James Madison University

James Hager

The Pennsylvania State University

George Hurlburt

Corning Community College

Herbert Kasube

Bradley University

Anton Kaul

California Polytechnic State University– San Luis Obispo

Gloria M. Kittel

University of West Georgia

Mark S. Korlie

Montclair State University

Linda E. Nash

Clayton State University

Tejinder Neelon

California State University—San Marcos

Katherine Pedersen

Southeastern Louisiana University

Mari Peddycoart

Lone Star College—Kenwood

Shahla Peterman

University of Missouri—St. Louis

Yvonne Sandoval

Pima Community College

Gordon H. Shumard

Kennesaw State University

Edward E. Slaminka

Auburn University

Michael Threapleton

Centralia College

Lisa Yocco

Georgia Southern University

Laurie Zack

High Point University

Paul Abraham

Kent State University—Stark

James Adair

Missouri Valley College

Jill Britton

Camosun College

Debra D. Bryant

Tennessee Technological University

Michelle Dedeo

University of North Florida

Scott L. Dennison

University of Wisconsin—Oshkosh

Christine Devena

Miles Community College

Andrew Diener

Christian Brothers University

Mike Everett

Santa Ana College

Kevin Ferland

Bloomsburg University

Tao Guo

Rock Valley College

Mark Jacobson

Montana State University—Billings

Sarah Kilby

North Country Community College

Murray Lieb

New Jersey Institute of Technology

Lia Liu

University of Illinois at Chicago

Rebecca Lynn

Colorado State University

Mary T. McMahon

North Central College

Daniela Mihai

University of Pittsburgh

Kathy Nickell

College of DuPage

Carol Overdeep

Saint Martin’s University Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XX

(17)

Prefácio XXI

Também gostaria de agradecer a Tao Guo pelo esplêndido trabalho de revisão deste texto. Agradeço às equipes de edição, produção e marketing da Brooks/Cole – Richard Stratton, Laura Wheel, Haeree Chang, Andrew Coppola, Cheryll Linthicum e Vernon Boes – por toda a ajuda e apoio durante o desenvolvimento e a produção desta edição. Agradeço a Martha Emry e Barbara Willette, que fizeram um trabalho excelente em garantir a exatidão e a legibili-dade desta edição. Simplificando, a equipe com que tenho colaborado é extraordinária, e eu realmente agradeço por todo o seu esforço e trabalho árduo.

S. T. Tan

Mohammad Siddique

Virginia Union University

Dennis H. Risher

Loras College

Brian Rodas

Santa Monica College

Dr. Arthur Rosenthal

Salem State College

Abdelrida Saleh

Miami Dade College

Stephanie Anne Salomone

University of Portland

Mohammed Rajah

Miracosta College

Jennifer Strehler

Oakton Community College

Ray Toland

Clarkson University

Justin Wyss-Gallifent

University of Maryland at College Park Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XXI

(18)

SOBRE O AUTOR

SOO T. TAN completou a sua graduação no Massachusetts Institute of Technology, seu mestrado na University of Wisconsin-Madison e o seu Ph.D. na University of California em Los Angeles. Ele publicou diversos trabalhos em Teoria do Controle Ótimo, Análise Numérica e Matemática Apli-cada às Finanças. Ele também é autor de uma série de livros de Matemática.

(19)

Quanto dinheiro é necessário para adquirir pelo menos 100 000 ações da Starr Communications Company? Corbyco, um grande conglomerado, deseja adquirir no mínimo 100 000 ações da empresa. No Exemplo 11, página 21, você verá como a gerência da Corbyco determina quanto dinheiro será necessário para a aquisição.

As primeiras duas seções deste capítulo contêm uma breve revisão de álgebra. Em seguida, introduzimos o sistema de coor-denadas cartesianas, que permite repre-sentar os pontos do plano por meio de pa-res ordenados e números reais. Isso, por sua vez, possibilita calcular a distância entre dois pontos algebricamente. Este capítulo também trata do estudo das retas. A incli-nação da reta é parte importante no es-tudo do cálculo.

1

PRELIMINARES

(20)

Use este teste para identificar eventuais dificuldades no uso da álgebra necessária para o material de cálculo a seguir. A seção de revisão e os exemplos que ajudam a relem-brar as ferramentas necessárias para resolver o problema estão indicados após cada exercício. As respostas são encontradas logo após o teste.

Testes de Conhecimento

1. a. Avalie a expressão:

(i) (ii)

b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos:

(Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7)

2. Racionalize o numerador

(Racionalização, Exemplo 5, página 7)

3. Simplifique as seguintes expressões:

a. 13x4 10x3 6x2 10x 32 12x4 10x3 6x2 4x2

b. 13x 42 13x2 2x + 32

(Operações com expressões algébricas, Exemplos 6 e 7, páginas 8-9)

4. Fatore completamente:

a. 6a4_b4_c 3a3_b2_c 9a2_b2 _{b. 6x}2 xy y2

(Fatoração, Exemplos 8-10, páginas 9-11)

5. Use a fórmula quadrática para resolver a seguinte equação: 9x2 12x 4

(Fórmula quadrática, Exemplo 11, páginas 12-13)

6. Simplifique as seguintes expressões:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplo 1, página 16)

7. Efetue as operações indicadas e simplifique:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplos 2 e 3, páginas 16-18)

8. Efetue as operações indicadas e simplifique:

a. b.

(Expressões racionais, Exemplos 4 e 5, páginas 18-19)

9. Racionalize o denominador:

(Racionalização de frações algébricas, Exemplo 6, página 19)

10. Resolva as desigualdades:

a. x2 x 12 0

(Desigualdades, Exemplo 9, página 20)

b.

(Valor absoluto, exemplo 14, página 22)

Respostas: 1. a. (i) (ii) b. 2. 3. a. 5x4 20x3 12x2 14x 3 b. 9x3 18x2 17x 12 4. a. 3a2b212a2b2c ac 32 b. 12x y2 13x y2 x z 13xy 1 x6_y3 3 5 64 27 03x 4 0 2 3 1 21x x13x2 12 x 1

#

3x3 5x2 x x1x 12 13x2₁21/2 1 1 x 2 x 9 x 3x x2₂ 3x2 x3₁ 2x 6 x 3

#

x2 6x 9 x2₉ 1t2₄2 12t 42 1t2 4t 42 12t2 1t2₄22 2x2_{3x 2} 2x2 5x 3 3 B x2 yz3 1x2_y1₂3 3 B 27 125 a16 9 b 3>2 2 Matemática Aplicada a Administração e Economia

(21)

5. 6. a. b.

7. a. 2 b.

8. a. b.

9. 10. a. [4, 3] b.

1.1 Revisão I

As seções 1.1 e 1.2 revisam alguns conceitos e técnicas básicas de álgebra que são es-senciais para o estudo do cálculo. O material desta revisão ajudará nos exemplos e exer-cícios deste livro. Agora você poderá ler todo o material e fazer os exerexer-cícios das áreas em que se sentir “enferrujado”, ou poderá revisar o material conforme sua necessidade enquanto estuda o texto. O Teste de Conhecimento que precede esta seção auxiliará na identificação da extensão da dificuldade.

A Reta Real

O sistema de números reais é composto pelo conjunto dos números reais, juntamente com as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Podemos representar números reais geometricamente por pontos em uma reta

realou reta coordenada. Essa reta pode ser construída da seguinte forma: escolha

ar-bitrariamente um ponto em uma reta para representar o número 0. Esse ponto é deno-minado origem. Se a reta for horizontal, um ponto a uma distância conveniente à di-reita da origem é escolhido para representar o número 1. Isso determinará a escala numérica. Cada número real positivo se encontra a uma distância apropriada à direita da origem, e cada número real negativo se encontra a uma distância apropriada à es-querda da origem (Figura 1)

FIGURA 1 A reta real

Uma correspondência biunívoca é estabelecida entre o conjunto de todos os núme-ros reais e o conjunto dos pontos na reta, ou seja, exatamente um ponto na reta é asso-ciado a cada número real. Do mesmo modo, exatamente um número real está assoasso-ciado a cada ponto na reta. O número real que está associado a um ponto na reta real é deno-minado coordenada daquele ponto.

Intervalos

Neste livro, frequentemente focaremos a atenção em subconjuntos do grupo de núme-ros reais. Por exemplo, se x denota o número de carnúme-ros fabricados diariamente por uma

linha de montagem, x deve ser não negativo, ou seja: x 0. Além disso, suponha que

a gerência tenha decidido que a produção diária não poderá exceder 200 carros. Então,

xdeverá satisfazer a desigualdade 0  x 200.

– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 Origem x 1 2 2 – 3

Direção negativa Direção positiva

c2₃, 2d 311 21x 2 1 4x x 21 3x213x2 5x 12 1x 122 x 1x 22 1x 32 3x12x3 2x 12 1x2₂2 1x3₁2 41t2₄2 1t2 422 x 2 x 3 2 311 12 2; 2 311 12 2 Preliminares 3 Tan01:Layout 1 5/21/14 4:28 PM Page 3

(22)

De forma geral, os seguintes subconjuntos de números reais nos interessam: inter-valos abertos, interinter-valos fechados e interinter-valos semiabertos. O conjunto de todos os nú-meros reais que se encontram estritamente entre dois núnú-meros fixos a e b é denominado

intervalo aberto(a, b). Esse intervalo consiste em todos os números reais x que

satis-fazem a desigualdade a x b, sendo denominado “aberto” por não conter nenhum

de seus extremos. Um intervalo fechado contém ambos os extremos. Portanto, o

con-junto de números reais x que satisfazem a desigualdade a x b é o intervalo fechado

[a, b]. Note que colchetes são usados para indicar que os extremos estão incluídos no intervalo. Intervalos semiabertos contêm apenas um dos extremos. Portanto, o

inter-valo [a, b) é o conjunto de números reais x que satisfazem a x b, enquanto o

in-tervalo (a, b] é descrito pelas desigualdades a  x b. Exemplos destes intervalos

fi-nitosestão ilustrados na Tabela 1.

4 Matemática Aplicada a Administração e Economia

TABELA 1

Intervalos finitos

Intervalo Gráfico Exemplo

Aberto: (2, 1) Fechado: Semiaberto: Semiaberto: 3a, b2 1a, b4 3a, b4 1a, b2 31 2, 32 11 2, 34 31, 24 x x x x a b a b a b a b x 3 2 1 0 –1 –2 –3 –1 –2 –3 –1 –2 –3 –2 –3 x 2 3 1 0 –1 x 3 2 1 0 x 3 2 1 0 – 1 2 1 2

Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. Exemplos de

inter-valos infinitos são as semirretas (a, ), [a, ), (, a) e (, a] definidas pelo conjunto

de números reais que satisfaz x a, x a, x a e x a, respectivamente. O símbolo

, denominado infinito, não é um número real. Esse símbolo é usado com objetivo de

notação, juntamente com a definição de intervalos infinitos. A notação (, ) é usada

para o conjunto de todos os números reais x. Assim, de acordo com essa definição, as

inequações  x representam qualquer número real x. Intervalos infinitos estão

ilustrados na Tabela 2. a a a a x x x x 2 1 2 1 2 1 0 –1 2 0 –1 –1 –1 0 2 1 0 x x x x TABELA 2 Intervalos infinitos

Intervalo Gráfico Exemplo

1, a4 1, a2 3a, 2 1a, 2 1, 1 24 1, 12 31, 2 12, 2 Tan01:Layout 1 5/21/14 4:28 PM Page 4

(23)

Expoentes e Radicais

Lembre-se de que se b é qualquer número real e n é um inteiro positivo, então a expressão

bn_{(lê-se “b à potência n”) é definida como o número}

n fatores

O número b é denominado base, e o expoente n é denominado potência da expressão

exponencial bn_{, por exemplo,}

e

Se b 0, definimos

Por exemplo, 20 1 e _{, mas a expressão 0}0_{é indefinida.}

Além disso, lembre-se de que se n é um inteiro positivo, então a expressão b1/n _é

de-finida como o número que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b. Portanto,

Tal número, caso exista, é denominado raiz n-ésima de b, representado por .

Se n for par, a raiz n-ésima de um número negativo não é definida. Por exemplo,

a raiz quadrada de 2 (n 2) não é definida já que não há nenhum número real

bde modo que b2 2. Igualmente, dado um número b, mais de um número

po-derá ser sua raiz n-ésima, segundo nossa definição. Por exemplo, ambos 3 e 3

ele-vados ao quadrado resultam 9, e cada um poderia ser a raiz quadrada de 9. Então,

para evitar ambiguidades, definimos b1/n_{como a raiz n-ésima positiva de b sempre}

que existir. Portanto, 91/2 3. Por isso, a calculadora lhe mostra 3 quando

utilizada para calcular .

Além disso, lembre-se de que se (onde p e q são positivos inteiros e q 0) é

um número racional na forma simplificada, então a expressão bp/q_{é definida como}

nú-mero ou, equivalentemente, , sempre que existir. Por exemplo,

Expressões envolvendo expoentes racionais negativos são resolvidas pela definição

Portanto,

As regras que definem a expressão exponencial an_{, onde a > 0, para todos os valores}

ra-cionais de n estão apresentadas na Tabela 3.

As três primeiras definições na Tabela 3 também são válidas para valores negativos de a. A quarta definição é válida para valores negativos de a apenas quando n é ímpar.

Assim,

n é ímpar.

não possui valor real n é par.

Por fim, é possível provar que an_{está bem definido para todos os números reais n.}

Por exemplo, usando uma calculadora com a tecla yx , vemos que 2,665144.

212 1821/2 1821/3₂3 _{8 2} 45/2 1 45/2 1 141/225 1 25 1 32 bp/q 1 bp/q 23/2121/22311,414223_2,8283 2q bp 1b1/q2p p>q 19 19 2n b 1b1/n2n_b 1p20₁ b0₁ a2 3b 3 a2 3b a 2 3b a 2 3b 8 27 25 2

#

2

#

2

#

2

#

2 32 bn_b

#

_b

#

_b

#

_{. . .}

#

_b Preliminares 5 Tan01:Layout 1 5/21/14 4:29 PM Page 5

(24)

As cinco leis de exponenciação estão listadas na Tabela 4

6 Matemática Aplicada a Administração e Economia

TABELA 3

Regras para a definição dean

Definição de an_(a⬎ 0) _Exemplo _{Definição de a}n_(a⬎ 0) _Exemplo

Expoente inteiro: se n é um inteiro positivo, então

an a

_a

. . .

_a ₂5₂

₂

₂ (fatores nde a) (5 fatores)

32 Expoente nulo: se n é igual

a zero, então

a0₁ ₇0₁

(00_{não está definido.)} Expoente negativo: Se n é um

inteiro positivo, então (a0) 1 36 62 1 62 an 1 an Expoente fracional: a. Se n é um positivo inteiro, então a1/n _ou denota a raíz enésima de a.

b. Se m e n são inteiros positivos,

então

c. Se m e n são inteiros positivos,

então (a 0) 1 27 93/2 1 93/2 am/n 1 am/n 4 82>31 23822 am>n₂n_am1 2n_a2m 4 161/2₁₁₆ 2n a TABELA 4 Leis de Exponenciação Lei Exemplo 1. am_an amn _x2_x3 x23_x5 2. 1a 0 2 3. amn _1x423 x4₃ x12 4. an_bn 12x24 24_x4 16x4 5. 1b 02 1ab2n 1am₂n a₂xb3x3 23 x3 8 aa_bbnan bn x7 x4 x 74_x3 am an a mn

Essas leis são válidas para quaisquer números reais a, b, m e n sempre que as quanti-dades são definidas.

Lembre-se, . A equação correta é x23 x6_.

Os diversos exemplos a seguir ilustram o uso das leis de exponenciação.

EXEMPLO 1 Simplifique as expressões:

a. b. c. d. e. Solução a. Lei 1 b. 16 Lei 2 5/4 161/2 16 5/41/2₁₆3/41 24 1623 23 8 13x22 14x32 12x23_12x5 ay3/2 x1/4b 2 1x3_y222 162/323 165/4 161/2 13x22 14x32 1x223 1x223_x5 Tan01:Layout 1 5/21/14 4:30 PM Page 6

(25)

c. Lei 3

d. Lei 4

e. Lei 5

Podemos também usar as leis de exponenciação para simplificar expressões envol-vendo radicais, como ilustrado no exemplo a seguir.

EXEMPLO 2 Simplifique as expressões. (Supondo que x, y e n são positivos)

a. b. c.

Solução

a. b.

c.

Se um radical aparecer no numerador ou denominador de uma expressão algébrica, normalmente tentamos simplificar a expressão eliminando o radical do numerador ou denominador. Esse processo, chamado racionalização, está ilustrado nos dois exemplos a seguir.

EXEMPLO 3 Racionalize o denominador da expressão .

Solução

EXEMPLO 4 Expresse como um radical e racionalize o denominador da ex-pressão obtida.

Solução

EXEMPLO 5 Racionalize o numerador da expressão .

Solução

Operações com Expressões Algébricas

Em cálculo, trabalhamos frequentemente com expressões algébricas como:

2x4/3 x1/3 1 2x2 x 2 1x 3xy 2 x 1 2x 3_{2x 1} 3 2x 2x 3 2x 2x

#

2x 2x 3 2x2 2x 2x 3x 2x 2x 3 2 2x 3 1x 2x 1 2x 1/2 1 2 2x

#

2x 2x 2x 2x 1 2x 1/2 3x 2 2x 3x 2 2x

#

2x 2x 3x 2x 2 2x2 3x 2x 2x 3 22x 3x 2 1x 23_27x6 23 8y3 127x621/3 18y321/3 271/3 x2 81/3y 3x2 2y 212m3 n

#

23m5n 236m8n2 136m8n221/2 361/2

#

m4n 6m4n 24 16x4y8 116x4y821/4 161/4

#

x4/4y8/4 2xy2 23_27x6 23 8y3 212m3_n

#

_23m5_n 24 16x4_y8 ay3/2 x1/4b 2 y13/22 122 x11/42 122 y3 x1/2 x1/2 y3 1x3_y222 1x3221y222_x132122_y122122_x6_y4 y 4 x6 162/323₆12/32132₆2₃₆ Preliminares 7 Tan01:Layout 1 5/21/14 4:31 PM Page 7