Tradução do Schutz.pdf

1

2 Análise Vetorial na Relatividade Especial

2.1 Definição de um vetor

Vetor posição:

∆X_σ

 _→

 _{(∆t, ∆x, ∆y, ∆z)}   (2.1)

dizemos vetor ∆X com componentes _{t,x,y, z}, com respectivos índices _{0, 1, 2, 3}

Vale notar que um vetor é um objeto geométrico, que pode ser definido e visualizado sem se referir a um sistema coordenado específico.

Outra notação importante é:

∆X_σ

 _{→ {}

_∆xα

_}

  (2.2)

onde por ∆xα_{representamos todos os índices ∆x}0

, ∆x1

, ∆x2

, ∆x3

. Se quisermos as componentes desse vetor em outro sistemas coordenado, que chamaremos de referencial σ¯, escrevemos:

∆X_σ¯

 → {

∆x ¯

α

}

Basicamente , colocamos uma barra sobre o índice para denotar as novas coordenadas. O vetor ∆X continua o mesmo, o que torna desnecessária uma

nova notação depois da troca de base. Apenas suas componentes mudam. As novas componentes ∆x_α¯ _{são obtidas segundo a transformação de Lorentz:}

∆x¯0= ∆x 0

√ 

₁

−

v2

−

v∆x1

√ 

₁

−

v2,etc. 2

Como isso é uma transformação linear, podemos escrever:

∆x¯0 = 3



β=0 Λ¯0 β∆xβ, onde

 _{

Λ_o¯

β

}

 são quatro números, um para cada valor de β . Nesse caso:

Λ¯0 0 = 1/

 

1

−

v 2_{; Λ}¯0 1 =

 −

v/

 

1

−

v 2_{; Λ}¯0 2 = Λ ¯ 0 3 = 0. 3

Uma equação similar é empregada para ∆x¯1_{, e generalizando escrevemos:}

∆xα¯ =

3



β=0

Λα_β¯∆xβ,   (2.3)

isso para α¯ sendo os índices das novas componentes em σ¯, e com β  sendo os

índices das componentes. Temos então que

 _{

Λ_α¯

β

}

 é um conjunto de 16 número, 4 para cada índice de

∆x_α¯_{, que constitui as matriz da transformação de Lorentz. Agora podemos}

introduzir a última notação, a Notação de Einstein: sempre que uma expressão possuir o mesmo índice em cima e em baixo, uma soma é implicada sobre todos os valores que o índice pode assumir, ou seja:

são simplificações para as somas 3



α=0 AαBα; 3



γ =0 T γ E γα, enquanto AαBβ; T γ E βα; AβAα

não representam soma em nenhum índice. A transformação de Lorentz (eq. (2.3)) agora pode ser reescrita como:

* ∆x_α¯

= Λα_β¯∆xβ (2.4)

fazendo economia de notação. Note que a eq. (2.4) é idêntica a

∆xα¯ = Λα_γ ¯∆xγ .

O índice repetido apenas denota uma soma de 0 a 3, a letra usada não importa. Um índice que implica soma e chamado de  índice mudo (dummy index ), e a troca desses índices costuma ser uma ferramenta útil em álgebra tensorial. A única coisa que não pode substituir o índice mudo β  é um índice latino, isso porque o índice latino (como convencionado por nós) pode apenas assumir os valores 1, 2 e 3, enquanto β  também pode valer 0. Portanto, as expressões:

Λα_β¯∆xβ; Λα_i¯ ∆xi

não são as mesmas. Na verdade, temos:

Λ_α¯ ∆xβ _{= Λα}¯ 0∆x 0 + Λ_α¯ i ∆xi.   (2.5)

A eq. (2.4) é composta por quatro diferentes equações, uma para cada valor que α¯ pode assumir. Um índice como α¯, em que nenhuma soma é efetuada, é

chamado índice livre  ( free index ). Sempre que uma equação for escrita com um ou mais índices livres, isso será válido se e somente se for verdade para todos os valores que o índice pode assumir. A letra escolhida para o novo índice é completamente arbitrária.

É importante notar que se o índice for renomeado em algum lugar da equa-ção, ele deverá ser renomeado na equação toda.

O vetor geral é definido por um conjunto de número (suas componentes em uma base, que chamaremos de σ)

A

_→

_σ (A0_{, A}1_{, A}2_{, A}3_{) =}

 _{

_Aα

_}

  (2.6)

Lembrando que suas componente em uma base σ¯ são

Aα¯ _{= Λ}α_β¯Aβ_.   (2.7)

Ou seja, as componentes de um vetor se transformam da mesma forma que as coordenadas. Lebre-se que um vetor pode ser definido tomando quatro número em uma base, então as componentes em todas as outras bases também são

Por último, vetores no espaço-tempo obedecem as mesmas regras usuais: Sejam A e B vetores e _µ um número, então:

A₊B

_→

_{σ (A}0_+ B0_{, A}1_+ B2_{, A}2_+ B2_{, A}3_+ B3_);

µA

_→

_{σ (µA}0_{, µA}1_{, µA}2_{, µA}3_).   (2.8)

todos vetores. Ou seja, a regra do paralelogramo é válida.

Note que a não ser que eles sejam adimensionais, todos os quatro números usados para definir o vetor devem possuir a mesma dimensão.

2.2 Álgebra Vetorial

Vetores base . Em uma base σ temos quatro vetores especdiais, definidos por suas componentes:

e₀

 _→

_{σ (1, 0, 0, 0);} e1

 →

_σ (0, 1, 0, 0); e2

 →

_σ (0, 0, 1, 0);

e3

 →

_σ (0, 0, 0, 1).   (2.9)

Essas definições formam os vetores base de um referencial σ. Similarmente, σ¯

tem vetores base

e_σ¯

 →

¯_σ (1, 0, 0, 0),etc.

Geralmente, e¯0

 

=e0, uma vez que eles são definidos em diferentes bases. É

possível verificar que a definição de vetor base é equivalente a

(e_α)β _= δ β

α,   (2.10)

i.e., a componente β dee_α é o delta de Kronecker: 1 se _{β  =  α} e 0 se _β 

 _

_= α.

Todo vetor pode ser expresso em termos de vetores base. Se:

A

_→

_α (A0_{, A}1_{, A}2_{, A}3_), então A _= A0e0 + A 1 e1 + A 2 e2 + A 3 e3.

∗

A _= Aαe_α.   (2.11)

Na última linha usamos a notação de Einstein (o índice de e deve ser

subs-crito para empregar a notação). A eq. (2.11) diz que A é uma soma linear de

quatro vetores A0_e 0, A

1_e 1 etc.

Transformação de vetores base . A definição que levou à eq. (2.11) pode ser aplicada para qualquer base, portanto, é verdadeira em σ¯:

A _= Aα¯e_α¯.

Note que os vetores A¯0_e ¯

0, etc. não são os mesmos da eq. (2.11), uma vez que

eles são paralelo aos vetores base de ¯σ e não σ, porém, eles descrevem o mesamo vetorA. É importante entender que _Aαe_α e _Aα¯e_α¯ não são obtidos um do outro

por uma simples troca de índices mudos, eles tem significados diferentes. Ou seja,

_{

A_α¯

}

é um conjunto de número diferentes de

{

Aα

}

, bem como

{

e_α¯

}

e

{

e_α¯

}

.

Mas por definição:

Aαe_{α =  A}α¯e_α¯,   (2.12)

e isso tem uma importante consequência: dela deduzimos a lei para transforma-ção de vetores base, i.e., a relatransforma-ção entre

 _{

e_α

_}

 e

 _{

e_α¯

}

.

Usando a eq. (2.7) para A_α¯_{, escrevemos a eq. (2.12) da seguinte maneira:}

Λα_β¯Aβe_α¯ = Aαe_α.

Na esquerda temos duas somas, e como são finitas, a ordem não importa. Como Λ_α¯

Agora nos aproveitamos do fato de β  e α¯ serem índices mudos: trocamos β por

α e α¯ por β ¯,

AαΛβ_α¯e_β¯= Aαe_α.

Essa equação tem que ser verdadeira para todo

 _{

Aα

}

, visto que A é um vetor

arbitrário. Escrevendo Aα_(Λβ¯ αeβ¯

 −

eα) = 0 podemos deduzir Λβ_α¯e_β¯

 −

e_α = 0 para qualquer α, ou

∗

e_{α = Λ}β¯e_β¯.   (2.13)

Isso nos da a lei pela qual os vetores base se transformam. Não é uma transformação de componentes: ela nos da a base

 _{

e_α¯

}

 de σ¯. Comparando com

a lei de transformação para componentes, eq. (2.7),

Aβ¯_{= Λ}β¯ αAα,

vemos que de fato é diferente.

Note que a omissão dos símbolos de soma mantém as coisas mais limpas. Outro passo importante foi a troca do índice mudo, que permitiu isolar o Aα

arbitrário do resto dos termos.

E.g.: σ¯ se move com velocidade v na direção x relativa a σ. Então a matriz

[Λβ¯ α] é [Λβ¯ α] =









γ 

₋

vγ  0 0

−

vγ γ  0 0 0 0 1 0 0 0 0 1









, onde usamos γ 

 _≡

 1/

√ 

1

₋

v2_.

Então, se A

_→

_{σ (5, 0, 0, 2)}, suas componentes em _σ¯ são dadas por

A¯0 = Λ¯_o 0A 0 + Λ¯_o 0A 1 + ... = γ .5 + (

₋

vγ ).0 + 0.0 + 0.2 = 5γ. Similarmente: A¯1 =

 ₋

5vγ ; A¯2 = 0; A¯3 = 2. Portanto A

_→

_σ¯ (5γ,

−

5vγ, 0, 2).

Os vetores base são expressos como

e_{α = Λ}β¯ αeβ¯ ou e0 = Λ ¯ 0 0e¯0 + Λ ¯ 1 0e¯1 + Λ ¯ 2 0e¯2 + Λ ¯ 3 0