Slides Calculo Financeiro Economia

(1)

CURSO DE LICENCIATURA EM ECONOMIA 1º ANO

FACULDADE DE ECONOMIA

DA UNIVERSIDADE DO ALGARVE

CÁLCULO FINANCEIRO

Ano lectivo 2009/2010 Docente: Cristina Viegas

I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS

Conceitos de Cálculo Financeiro estão presentes em operações de: - Investimento • Depósitos a prazo • Obrigações • ... - Financiamento • Empréstimos bancários • ...

(2)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 3

Valor temporal do dinheiro

Para comparar capitais é necessário que eles estejam reportados a um mesmo momento.

Receber 100 euros hoje é diferente de receber 100 euros daqui a 1 ano.

Pagar 100 euros hoje é diferente de pagar 100 euros daqui a 1 ano.

O que é preferível? Porquê?

Importância do factor tempo em qualquer análise factor tempo que envolva capitais.

Qual o valor do factor tempo? valor do factor tempo JUROJURO

O juro é a remuneração de um certo capital, durante um certo prazo. Normalmente o juro é expresso em percentagem, falando-se, então, de taxa de juro.

Três variáveis fundamentais em Cálculo Financeiro:

- Capital - Tempo - Juro

(3)

II – CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro simples - Exemplo

Exemplo 2.1:

Considere que aplicou um capital de 1.000 euros numa instituição financeira durante o prazo de dois anos. A taxa de juro da operação foi de 6%. Determine o valor do capital, decorridos os dois anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano não produz juro no segundo ano, isto é, o juro do primeiro ano é igual ao juro do segundo ano.

Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro simples.

Capitalização em regime de juro simples - Exemplo I I– CAPITALIZAÇÃO 0 1 2 Tempo em anos Capitais 2

?

C =

2

C ⇒

Capital acumulado decorridos 2 anos

0 1.000

C =

0

C ⇒

Capital inicial

2

juro vencido durante os 2 anos

J ⇒

2

1.000 0, 06 2

J =

×

(

)

2

1.000 1.000 0, 06 2

2

1.000 1 0, 06 2

C

=

+

×

× ⇔

C

=

+

×

2 0 2

C

=

C

+

J

com

1.120 C =

(4)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 7 Capitalização em regime de juro simples – Fórmulas gerais

I I– CAPITALIZAÇÃO 0

C

_n

0

1

2

3 n

Capitais Tempo

...

n

J

⇒

Juro relativo a n períodos de tempo

n

C

⇒

Capital acumulado após n períodos de tempo 0

n n

C

=

C

+

J

Capitalização em regime de juro simples – Fórmulas gerais I I– CAPITALIZAÇÃO

0

n

J

=

C in

Juro relativo a n períodos de tempo, em r.j.s.

(

)

0

1

n

C

=

C

+

in

Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.s.,_{relativo a n períodos de tempo.}

corresponde à taxa de juro do período

i

Em regime de juro simples (r.j.s.), o juro produzido em cada período não produz juro nos períodos seguintes. Logo, o capital que vai gerar juros em cada período é sempre o mesmo.

0 0

n

(5)

I I– CAPITALIZAÇÃO

Capitalização em regime de juro simples - Breves notas

e têm que estar expressos na mesma unidade de tempo

n

i

⇒

(

)

0

Através da fórmula geral de capitalização,

1 ,

também é possível determinar , conhecidos

,

e

n n

C

in

i

C

n

=

+

⇒

(

)

0 0

Através da fórmula geral de capitalização,

1 ,

também é possível determinar , conhecidos

,

e

n n

C

in

n

C

i

=

+

⇒

Capitalização em regime de juro composto - Exemplo

Exemplo 2.2

Considere que aplicou um capital de 5.000 euros numa instituição financeira durante o prazo de três anos. A taxa de juro anual da operação foi de 6%. Determine o valor do capital, decorridos os três anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano produz juro no segundo ano, e, por sua vez, o juro produzido no primeiro e no segundo ano produz juro no terceiro ano.

Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro composto.

(6)

Capitalização em regime de juro composto - Exemplo I I– CAPITALIZAÇÃO 0 1 3 Tempo em anos Capitais 3

?

C =

1

,

2

e

3

C C

C ⇒

Capital acumulado decorridos 1, 2 e 3 anos, respectivamente 0 5.000 C = 0

C ⇒

Capital inicial 2

(

)

1 0 1 1

5.000 5.000 0, 06

1

5.000 1 0, 06

C

j

C

=

+

=

+

×

⇔

=

+

1

,

2

e

3

j j

j ⇒

Juro relativo ao 1º, 2º e 3º ano, respectivamente

Capitalização em regime de juro composto - Exemplo I I– CAPITALIZAÇÃO

(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 2 5.000 1 0, 06 5.000 1 0, 06 0, 06 2 5.000 1 0, 06 C C j C C = + = + + + × ⇔ = +

(

)

(

)

(

)

3 2 3 2 2 3 3 5.000 1 0, 06 5.000 1 0, 06 0, 06 3 5.000 1 0, 06 C C j C C = + = + + + × ⇔ = + 3

5.955, 08

C =

Qual o valor dos juros produzidos durante os três anos?

3 0

5.955, 08 5.000

955, 08

(7)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 13 Capitalização em regime de juro composto – Fórmulas gerais

I I– CAPITALIZAÇÃO 0

C

_n

0

1

2

3 n

Capitais Tempo

...

juro relativo ao período de tempo , com

1, 2,...,

t

j

⇒

t

=

n

capital acumulado após períodos de tempo,

com

1, 2,...,

t

C

t

n

⇒

=

1 t t t

C

=

C

₋

+

j

com =

j C i

_t _t₋₁

para

t

=

1, 2,...,

n

Capitalização em regime de juro composto – Fórmulas gerais I I– CAPITALIZAÇÃO

Em regime de juro composto (r.j.c.), o juro produzido em cada período não é constante, sendo crescente de período para período. Neste regime, o juro vencido em cada unidade de tempo é adicionado ao capital inicial, passando imediatamente a vencer juros nas unidades de tempo posteriores.

(

)

0

1

n n

C

=

C

+

i

Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.c.,

relativo a n períodos de tempo.

0 n n

J

=

C

−

C

Juro relativo a n períodos de tempo, em r.j.c.

corresponde à taxa de juro do período

(8)

Capitalização em regime de juro composto - Breves notas

e têm que estar expressos na mesma unidade de tempo

e o período da taxa deverá sempre coincidir com o período

da capitalização dos juros.

n

i

⇒

(

)

n 0 0

Através da fórmula geral de capitalização,

1 ,

também é possível determinar (aplicando a regra das

potências/raízes), conhecidos

,

e

n n

C

i

C

n

=

+

⇒

(

)

0 0

Através da fórmula geral de capitalização,

1 ,

também é possível determinar (aplicando a regra dos

logaritmos), conhecidos

,

e

n n n

C

i

n

C

i

⇒

=

+

Actualização - Exemplo III– ACTUALIZAÇÃO

Exemplo 3.1: Considere um capital de 500 euros com vencimento daqui a 5 meses. Determine o capital que lhe é equivalente hoje, à taxa de juro anual de 8%. Trata-se de determinar o valor actual de um capital.

0 5 Tempo em meses

500

0

?

C =

0

valor actual de 500 euros

500 juro ou desconto relativo a 5 meses

C

⇒

=

−

(9)

III – ACTUALIZAÇÃO

Como determinar o valor dos juros ou do desconto?

Três hipóteses de determinar o valor actual: regime de juro simples com desconto por dentro; regime de juro simples com desconto por fora e regime de juro composto

3.1. Juro Simples

Juro simples com desconto por dentro:

Juro simples com desconto por dentro: Os juros decorrentes da aplicação do capital são calculados com base no capital inicial.

Vamos voltar ao exemplo 3.1:

5 12 0

5 500;

8%;

;

?; Desconto=

1

2 C

?

C

=

i

=

n

=

III – ACTUALIZAÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 5 5 500 0, 08 0, 08 500 12 12 r r r r C = −C × × ⇔C +C × × =

Actualização em regime de juro simples com desconto por dentro

( ) ( ) ( ) 0 0 0 5 500 1 0, 08 500 483,87 5 12 1 0, 08 12 r r r C _ + × _= ⇔C = ⇔C =   ₊ _× ( ) 0

1

n r

C

in

=

+

Valor actual em regime de juro simples com desconto por dentro (Valor Actual Racional), relativo a n períodos de tempo

(10)

Actualização em regime de juro simples com desconto por dentro

5 483,87 0, 08

16,13

12

d d

D

=

×

⇔

D

=

Por sua vez, o juro ou o desconto por dentro do exemplo é:

Desconto por dentro d D ⇒

1

n d

C

D

in

=

+

Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por dentro, relativo a n períodos de tempo Em termos gerais, vem:

Actualização em regime de juro simples com desconto por fora

Juro simples com desconto por fora:

Juro simples com desconto por fora: Os juros decorrentes da aplicação do capital são calculados com base no capital acumulado.

( )

0

Valor actual comercial

Desconto por fora

c f

C

D

≡

( ) ( ) 0 0

5

500 500 500 0, 08

12

f c c

C

=

−

D

⇔

C

=

−

×

( ) ( ) 0 0

5 500 1 0, 08

483, 33

12

c c

C

=



_

−

×



_

⇔

C

=





(11)

Actualização em regime de juro simples com desconto por fora

( )

(

)

0c n

1 C

=

C

−

in

Valor actual em regime de juro simples com desconto por fora (Valor Actual Comercial), relativo a n períodos de tempo

Por sua vez, o juro ou o desconto por fora do exemplo é:

5 500 0, 08

16, 67

12

f f

D

=

×

⇔

D

=

Em termos gerais, vem:

Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por fora, relativo a n períodos de tempo

f n

D

=

C in

Actualização em regime de juro composto

3.2. Juro composto

0

Valor actual em regime de juro composto (r.j.c.)

C

≡

(

)

(

5

)

(

)

5 12 12 0

500

0

1 0, 08

0 0

1 0, 08

500 C

=

−

C

+

−

C

⇔

C

+

=

(

)

5 12 0 0

500 484, 22

1 0, 08

C

=

⇔

C

=

+

(

)

0 1 n n C C i = +

Valor actual em regime de juro composto, relativo a n períodos de tempo

(12)

Actualização – Breves notas

O valor actual racional é aplicado no desconto de Bilhetes do Tesouro, por exemplo.

O valor actual comercial é aplicado no desconto de letras, por exemplo.

A aplicação do desconto por fora só é viável para prazos curtos e / ou taxas de juro baixas.

No desconto por fora a taxa realmente suportada pelo mutuário é superior à taxa enunciada.

⇒

4.1 Taxas equivalentes

IV– TAXAS DE JURO

Duas taxas dizem-se equivalentes, referidas a períodos de tempo diferentes, se aplicadas a um mesmo capital, durante igual extensão de tempo, produzem o mesmo valor acumulado.

Como o montante de juros depende do regime de juros que se considera (juro simples ou juro composto), torna-se necessário especificar em qual regime de juros as taxas são equivalentes.

(13)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 25 Taxas equivalentes

IV– TAXAS DE JURO

Exemplo 4.1:

Considere um capital inicial de 100 euros aplicado à taxa de juro anual de 10% durante um ano.

Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro simples?

(

)

1

100 1 0,10 1

1

110 C

=

× +

× ⇔

C

=

Qual a taxa equivalente semestral que aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo (um ano), produz o mesmo valor acumulado?

( )

i' a

Taxas equivalentes IV– TAXAS DE JURO

2 110; 0 100; i'( ) ?

C = C = sem =

(

)

110 =

100 1

+ ×

i

' 2

b

Da comparação de a com b , vem:

(

1 ' 2

)

1 0,10

'

0,10

'

0, 05

5%

2 i

i

+ ×

= +

⇔ =

=

Em termos gerais, vem: período da taxa ' com período da taxa ' i i i m m i

(14)

Exemplo 4.2:

Considere os mesmos dados do exemplo 4.1.

Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro composto?

(

)

1

100 1 0,10

1

110 C

=

× +

⇔

C

=

Qual a taxa equivalente semestral que aplicada ao mesmo capital (100) durante o mesmo prazo (dois semestres), produz o mesmo valor acumulado (110), com capitalização de juros semestral?

( )

i' c

2 110; 0 100; i'( ) ?

C = C = sem =

(

)

2

110 =

100 1

+

i

'

d Da comparação de c com d , vem:

(

) (

)

1

(

)

1

2 2

1 i

'

1 0,10

i

'

1 0,10

1 i

'

4,88%

⇔ +

= +

⇔ = +

− ⇔ =

Em termos gerais, vem:

(

)

1 m período da taxa ' 1 -1 com período da taxa ' i i i m i = + = Taxa de juro equivalente

(

)

2 1+i' = +1 0,10⇔

(15)

IV– TAXAS DE JURO

É uma taxa de juro que não reflecte o efeito das capitalizações, ou seja é uma taxa de juro que não leva em consideração o facto de haver juros de juros.

O que é uma taxa nominal?

4.2 Taxas nominais e efectivas: Exemplo taxa nominal

Exemplo 4.3:

Considere um capital de 800 euros aplicado à taxa anual taxa anual nominal

nominal de 10%.

Pressupondo regime de juro composto, com capitalização de juros semestral, determine os juros vencidos e o capital acumulado decorrido o primeiro ano.

Taxa nominal - Exemplo IV– TAXAS DE JURO

Primeiro, calcular os juros produzidos durante o primeiro semestre: 1 1 1 800 0,10 40 2 j = × × ⇔ j =

Segundo, calcular os juros produzidos durante o segundo semestre:

(

)

2 2

1

800

40 0,10

42

2 j

=

+

×

× ⇔

j

=

Juros totais

82 Capital acumulado

8 40 4

8

2 800 82

2 =

+

=

+

=

1º Processo de resolução:

(16)

2º Processo de resolução (mais rápido):

Aplicar a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto:

(

)

2

800 1

(

)

n sem

C

₌

=

+

i sem

Quando a taxa de juro dada é nominal, o período a que está reportada a taxa deve coincidir com a periodicidade a que são efectuadas as capitalizações.

No exemplo:

capitalização de juros semestral

a taxa de juro

a aplicar nas fórmulas deverá ser semestral, (

i sem

)

⇒

Taxa nominal para diferentes períodos de tempo

IV– TAXAS DE JURO

Como alterar a periodicidade da taxa de juro nominal?

Taxas nominais e taxas proporcionais têm em comum o facto de não reflectirem o efeito de sucessivas capitalizações.

Então, para alterar o período da taxa de juro nominal, aplica-se a fórmula: período da taxa ' com período da taxa ' i i i m m i = =

(17)

(

)

(

)

período da ( ) 2 semestres ( ) com 2 período da 1 semestre i anual i anual i sem m m i sem = = = = Então:

(

)

0,10

0, 05

2 i sem =

=

Logo:

_C

_n₌₂_s_em

=

_{800 1 0, 05}

(

+

)

2

⇔

_C

_n₌₂_s_em

=

₈₈₂

(

)

(

)

No exemplo, pretende-se calcular a taxa de juro semestral

nominal ( ) , dada a taxa de juro anual nominal .

Aplicando a fórmula, vem:

i sem i anual

IV– TAXAS DE JURO

É uma taxa de juro que considera o efeito de sucessivas capitalizações, ou seja é uma taxa de juro que leva em consideração o facto de haver juros de juros.

O que é uma taxa efectiva? Taxa efectiva - Exemplo

Exemplo 4.4:

Considere um capital de 800 euros aplicado à taxa anual taxa anual efectiva

efectiva de 10,25%.

Pressupondo regime de juro composto, determine os juros vencidos e o capital acumulado decorrido um ano.

(18)

Taxa efectiva - Exemplo IV– TAXAS DE JURO

Neste exemplo, a taxa de 10,25%% é efectiva, pelo que não é importante saber qual a periodicidade das capitalizações. Seja qual for o período de capitalização dos juros, o juro vencido no final do primeiro ano será 10,25% do capital inicialmente investido.

Valor acumulado decorrido um ano:

(

)

1 1 1

800 1 0,1025

882

n ano

C

n ano

C

₌

=

+

⇔

₌

=

vencidos durante o 1º ano: 800 0,10

Juros

×

25 =

8

2

Taxa efectiva para diferentes períodos de tempo

IV– TAXAS DE JURO

Como alterar a periodicidade da taxa de juro efectiva?

Taxas efectivas e taxas equivalentes em regime de juro composto têm em comum o facto de reflectirem o efeito de sucessivas capitalizações.

Então, para alterar o período da taxa de juro efectiva, aplica-se a fórmula:

(

)

1 m período da taxa ' 1 -1 com período da taxa ' i i i m i = + =

(19)

(

)

(

)

(

)

(

)

No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva , a taxa

de juro semestral efectiva é calculada através da fórmula:

ef ef i anual i sem

(

)

(

)

(

)

(

)

1 m período da 2 sem 1 -1 com período da 1 sem ef ef ef ef i anual i sem i anual m i sem = + = =

(

) (

)

1

(

)

2

Então,

i

ef

sem

= +

1 0,1025

− ⇔

1 i

ef

sem

=

0, 05

Pode-se, também, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa semestral:

(

)

2 2 2

800 1 0, 05

_n

882

n sem

C

sem

C

=

+

⇔

=

(

)

(

)

(

)

(

)

No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva , a taxa

de juro mensal efectiva é calculada através da fórmula:

ef ef i anual i mensal

(

)

(

)

1

₍

(

)

₎

m período da 12 meses 1 -1 com período da 1 mês ef ef ef ef i anual i mensal i anual m i mensal = + = =

(

) (

)

1

(

)

12

Então, i_ef mensal = +1 0,1025 − ⇔1 i_ef mensal =0, 008165

Pode-se, também, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa mensal:

(

)

1 12 2 12

800 1 0, 0081

65

n

882

n meses meses

C

₌

=

+

⇔

C

₌

=

(20)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 39 Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

IV– TAXAS DE JURO

Como converter uma taxa nominal numa taxa efectiva?

Exemplo 4.5:

Qual é a taxa anual efectiva subjacente à taxa anual nominal de 10%, pressupondo capitalização de juros semestral?

Em primeiro lugar, deve-se calcular a taxa de juro nominal cujo período de tempo coincide com o período da capitalização dos juros, utilizando a fórmula da taxa proporcional. Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros a taxa é simultaneamente nominal e efectiva.

IV– TAXAS DE JURO

Relação entre taxas nominais e taxas efectivas

Assim, para taxas nominais, a relação de equivalência corresponde a:

10%

(

)

10%

(

)

5%

2 i anual

=

⇒

i sem

=

A taxa semestral nominal de 5% também é taxa semestral efectiva, porque o período de capitalização dos juros é semestral.

Em segundo lugar, deve-se calcular a taxa de juro efectiva para o período pretendido, utilizando a fórmula de equivalência em regime de juro composto.

(21)

IV– TAXAS DE JURO

Conhece-se a taxa semestral efectiva (5%) e pretende-se determinar a taxa anual efectiva. Para taxas efectivas, a relação de equivalência corresponde a:

(

)

1

(

)

1 (

)

1 período da

(

)

1 sem

1 com

período da

(

)

2 sem

2

m ef ef ef ef

i

anual

i

sem

i

sem

m

i

anual

= +

−

=

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 Logo: (1 0, 05) 1 (1 0, 05) 1 10, 25% ef ef ef i anua i l i anual anual = + − ⇔ ⇔ = + − ⇔ =

Relação entre taxas nominais e taxas efectivas IV– TAXAS DE JURO

Como converter uma taxa efectiva numa taxa nominal?

Exemplo 4.6:

Qual é a taxa anual nominal subjacente à taxa anual efectiva de 4,0605%, pressupondo capitalização de juros trimestral?

Em primeiro lugar, deve-se calcular a taxa de juro efectiva cujo período de tempo coincide com o período da capitalização dos juros, utilizando a fórmula de equivalência em regime de juro composto. Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros a taxa é simultaneamente efectiva e nominal.

(22)

IV– TAXAS DE JURO

Assim, para taxas efectivas, a relação de equivalência corresponde a:

(

)

1

(

)

4, 0605%

(

)

1 0, 040605

m

1

ef ef

i

anual

=

⇒

i

trim

= +

−

A taxa trimestral efectiva de 1% também é taxa trimestral nominal, porque o período de capitalização dos juros é trimestral.

(

)

(

)

período da

4 trim

4 período da

1 trim

ef ef

i

anual

m

i

trim

=

(

)

1 4

(

)

1 0, 040605

1 (

)

1%

ef ef

i

trim

= +

− ⇔

i

trim

=

Com: Então:

IV– TAXAS DE JURO

Em segundo lugar, deve-se calcular a taxa de juro nominal para o período pretendido, utilizando a fórmula da taxa proporcional.

Conhece-se a taxa trimestral nominal (1%) e pretende-se determinar a taxa anual nominal. Para taxas nominais, a relação de equivalência corresponde a:

( ) período da ( ) 1 trim 1 ( ) com período da ( ) 4 trim 4 i trim i trim i anual m m i anual = = = = 1 4 ( ) 4 0, 01 ( ) ( ) 0, 01 4 %

i anual = ⇔i anual = × ⇔i anual = Então:

(23)

IV– TAXAS DE JURO

Outro processo de converter uma taxa nominal numa taxa efectiva e vice-versa – Dedução da fórmula

Exemplo 4.7:

Considere um capital de 1000 euros aplicado durante um ano, à taxa de juro anual nominal de 6%, com capitalização de juros mensal.

a) Determinar o valor acumulado.

A taxa de juro dada é nominal e a capitalização de juros é mensal, logo a taxa de juro a aplicar na fórmula geral de capitalização deverá ser mensal.

IV– TAXAS DE JURO

(

)

1 12 2 12 0, 06 0, 06 1000 1 12 n mes se 12 n meses 1061, 678 i men als = ⇒C₌ = _ + _ ⇔C₌   =

b) Qual a taxa de juro anual efectiva que aplicada a um capital de 1000 euros, durante um ano, produz um valor acumulado igual ao encontrado através da utilização da taxa proporcional mensal, isto é um valor de 1061,678.

(

)

(

)

(

)

12

O que se pretende é determinar a

, tal que:

1000

1061, 678 1000, ou:

0, 06

1000

1000 1

1000

12

ef ef ef

i

anual

i

anual

i

anual

×

=

−





×

=

_

+

_

−





(24)

IV– TAXAS DE JURO

(

)

12

(

)

Após simplificação, vem: 0, 06 1 1 6,1678% 12 ef ef i anual =_ + _ − ⇔i anual =  

Significa que o juro vencido no final do primeiro ano corresponde a 6,1678% do capital inicialmente investido (1000 euros). Então, a uma taxa de juro anual nominal de 6%, com capitalização de juros mensal, corresponde uma taxa anual efectiva é de 6,1678%.

Em termos gerais, a fórmula que permite determinar a taxa efectiva dada a taxa nominal e vice-versa, corresponde a:

1

m ef

i

m





=

_

+

_

−





m = nº de capitalizações que ocorrem durante o período da taxa i (taxa nominal)

IV– TAXAS DE JURO

Relação entre taxas nominais e taxas efectivas Exemplo 4.8:

Aplicação de um capital de 2000 euros, durante 2 anos, à taxa de juro anual nominal de 8%, com capitalização de juros trimestral.

a) Determinar o valor acumulado no fim do prazo.

(

)

8 8 8 0, 08 ( ) ( ) 0, 02 4 2000 1 0, 02 2343, 32 n trim n trim i trim i trim C ₌ C ₌ = ⇔ = = + ⇔ =

(25)

IV– TAXAS DE JURO

b) Determinar a taxa de juro anual efectiva. Dois processos alternativos de resolução:

1º Processo: Aplicar as regras de equivalência entre taxas

0, 08

( ) ( ) 0, 02

4

i trim = ⇔i trim =

Cálculo da taxa trimestral nominal (também é efectiva):

Cálculo da taxa anual efectiva:

(

) (

)

4

(

)

) 1 0, 02 1 ) 8, 243%

ef ef

i anual = + − ⇔i anual =

IV– TAXAS DE JURO

2º Processo: Aplicar a fórmula geral

1

m ef

i

m





=

_

+

_

−





4 (nº de capitalizações trimestrais que ocorrem durante um ano)

m = 4 0, 08 ( ) 1 1 ( ) 8, 243% 4 ef ef i anual =_ + _ − ⇔i anual =  

O resultado obtido nos dois processos é o mesmo.

Nota: A aplicação da fórmula geral pressupõe que a taxa efectiva e a taxa nominal estão reportadas ao mesmo período de tempo.

(26)

IV– TAXAS DE JURO

c) Determinar a taxa de juro semestral efectiva Dois processos alternativos de resolução:

1º Processo: Aplicar as regras de equivalência entre taxas Após o cálculo da taxa trimestral nominal e efectiva (já determinado na alínea b), 1º processo), determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a fórmula de equivalência de taxas em r.j.c.

(

) (

)

2

(

)

) 1 0, 02 1 ) 4, 04%

ef ef

i sem = + − ⇔i sem =

IV– TAXAS DE JURO

Relação entre taxas nominais e taxas efectivas 2º Processo:

Após calcular a taxa anual efectiva, através da fórmula geral (já determinado na alínea b), 2º processo) determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a fórmula de equivalência de taxas em r.j.c.

(

) (

)

1

(

)

2 ) 1 0, 08243 1 ) 4, 04% ef ef i sem = + − ⇔i sem =

(27)

IV– TAXAS DE JURO

Para calcular a taxa trimestral efectiva, pode-se utilizar o resultado obtido na alínea b), para a taxa anual efectiva. Aplica-se, então, a equivalência de taxas em r.j.c.:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

1 1 4 1 1 1 0, 08243 1 2% m ef ef ef ef i trim i anual i trim i trim = + − ⇔ ⇔ = + − ⇔ =

d) Determinar a taxa de juro trimestral efectiva e a taxa de juro trimestral nominal.

IV– TAXAS DE JURO

Para calcular a taxa trimestral nominal, recorre-se à fórmula de equivalência entre taxas nominais, uma vez que no enunciado inicial é dada a taxa anual nominal:

(

)

( )

(

)

0, 08

(

)

2%

4

i anual

i trim i trim i trim

m

= ⇔ = ⇔ =

Neste caso, a taxa trimestral nominal é igual à taxa trimestral efectiva porque a capitalização dos juros é trimestral.

Em termos gerais, quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros, a taxa nominal é igual à taxa efectiva.

(28)

V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

5.1 Equações de equivalência

Como estabelecer equivalência entre vários capitais? Como estabelecer equivalência entre vários capitais?

Todos os capitais devem estar reportados a um mesmo momento, designado como data focal da operação de equivalência.

Assim, para determinada operação de equivalência, é necessário recorrer às fórmulas gerais de actualização e/ou de capitalização, definidas anteriormente.

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples

Exemplo 5.1:

Considere que a empresa “XYZ” tem o seguinte conjunto de dívidas:

1 Julho 2009 8.000€ 1 Abril 2009 12.000€ 1 Fevereiro 2009 5.000€ Data de vencimento Montante

a) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro, taxa de juro anual de 6% e data focal o dia 1 de Novembro de 2008.

A empresa pretende substituir este conjunto de dívidas por uma única a ser paga no dia 1 de Junho de 2009.

(29)

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples Elaboração da equação de equivalência:

Composição de um membro da equação:

As três dívidas originais, actualizadas para o dia 1 de Novembro de 2008;

Composição do outro membro da equação:

O capital único, que se pretende determinar, também actualizado para o dia 1 de Novembro de 2008.

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples

1/11/08 1/2/09 1/4/09 1/6/09 1/7/09 5.000 12.000 C=? 8.000 Data focal 5.000 12.000 8.000 3 5 8 1 0, 06 1 0, 06 1 0, 06 12 1 7 1 0, 06 2 12 12 C = + + + × + × + × + ×

25.177,1338€

C =

(30)

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples Continuação do ex. 5.1:

b) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro, taxa de juro anual de 6% e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009.

Neste caso, todos os capitais devem estar reportados ao dia 1 de Fevereiro de 2009: 12.000 8.000 5.000 2 5 1 0, 06 1 0, 25.179, 787 4 1 0, 0 06 12 12 6 12 C C = + + + ⇔ + × × + × = V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro composto

c) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro composto, taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009.

(

) (

2

)

5

(

)

4

12.000

8.000 5000

1 0, 005

C

+

=

+

25.181, 2515€

C =

Continuação do ex. 5.1:

(31)

Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro composto

d) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro composto, taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal e data focal o dia 1 de Maio de 2009.

(

)

(

)

(

)

(

)

1 3 1 2

8.000 5000 1 0, 005

12.000 1 0, 005

1 0, 005

C

=

+

25.181, 2515€

C =

Continuação do ex. 5.1: V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Diferenças entre regime de juro simples e regime de juro composto

Comparação dos resultados obtidos em regime de juro simples Comparação dos resultados obtidos em regime de juro simples

--alíneas a) e b):alíneas a) e b):

Repare-se que o valor do capital único obtido na alínea b) é diferente do obtido na alínea a).

Alterando a data focal, deixa de haver equivalência relativamente à data focal anterior.

(32)

Diferenças entre regime de juro simples e regime de juro composto

Comparação dos resultados obtidos em regime de juro Comparação dos resultados obtidos em regime de juro composto

composto --alíneas c) e d):alíneas c) e d):

Repare-se que o valor do capital único obtido na alínea c) é igual ao obtido na alínea d).

Uma vez estabelecida a equivalência para uma data focal, ela permanece válida, mesmo que se altere a data focal

No regime de juro composto a data focal não tem qualquer relevância.

VI – RENDAS

6.1 Conceitos genéricos

Exemplo 6.1

A empresa “ABC” contraiu um empréstimo no dia 30 de Outubro de 2008 e acordou que o pagamento do mesmo seria efectuado através de 24 prestações mensais, consecutivas e constantes. O valor de cada prestação é de 450 euros e a primeira prestação tem vencimento no dia 30 de Novembro de 2008. As prestações incluem juros com i mensal igual a 1%.

A este conjunto de capitais (prestações) dá-se o nome de rendarenda. Em termos gerais, uma renda corresponde a um conjunto de renda

capitais, espaçados periodicamente, onde o intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de quaisquer dois capitais consecutivos é constante.

(33)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 65 termos períodos VI – RENDAS 6.1 Conceitos genéricos 30/10/08 30/11/08 30/12/2008 ... 30/09/10 30/10/10 450 450 ... 450 450

Data da contracção do empréstimo

Termo da renda

Termo da renda: cada um dos capitais.

Período da renda

Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de dois termos consecutivos.

VI – RENDAS

6.2 Classificação das rendas

Quanto ao período da renda:

Inteiras: período da renda coincide com o período da taxa de juro.

Fraccionadas: período da renda é diferente do período da taxa de juro. Quanto ao valor dos termos:

Termos constantes: todos os termos da renda têm o mesmo valor.

Termos variáveis: os termos da renda variam, não são constantes ao longo da vida da renda.

(34)

VI – RENDAS

Quanto ao prazo de vigência:

Temporárias: número limitado de termos.

Perpétuas: número ilimitado de termos. Quanto ao vencimento dos termos:

Termos normais ou postecipados: o vencimento dos termos ocorre no fim da cada período.

Termos antecipados: o vencimento dos termos ocorre no início de cada período.

VI – RENDAS

Quanto ao momento de referência:

Imediatas: a data de contracção do empréstimo coincide com o início do primeiro período da renda.

Diferidas: existe um período de diferimento entre a data da contracção do empréstimo e a data de vencimento do primeiro termo.

No exemplo 6.1 a renda descrita é:

(35)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 69 termos períodos VI – RENDAS 30/10/08 30/11/08 30/12/2008 ... 30/09/10 30/10/10 450 450 ... 450 450

6.3 Rendas temporárias inteiras

Continuação do exemplo 6.1

a) Qual o valor do empréstimo, no dia 30 de Outubro de 2008?

30 /10 / 2008

?

VI – RENDAS

Trata-se de resolver uma equação de equivalência de capitais, utilizando a fórmula geral de actualização em regime de juro composto.

Então, o valor do empréstimo a 30/10/2008, também designado como o valor actual da renda, é igual a:

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

1 2 23 24 1 2 23 24 450 450 450 450 ... 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 1 1 1 450 ... 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 + + + + = + + + +     = + + + +  ₊ ₊ ₊ ₊   

(36)

0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1

1 1 1 1 termos

períodos VI – RENDAS

Este método revela-se demasiado moroso… Imagine-se uma renda com 480 termos. Seria necessário aplicar a fórmula geral de actualização 480 vezes…

Então o passo seguinte consiste em deduzir uma fórmula geral que permite calcular o valor da renda, isto é, o valor de todos os termos unitários, reportados a um determinado momento, neste caso, t.

Considere uma renda com n termos normais e unitários, imediata, temporária e inteira – início do primeiro período da renda corresponde ao momento t.

VI – RENDAS

O cálculo do valor dos n termos unitários no momento t (um período antes da data de vencimento do primeiro termo) designa-se por valor actual duma renda temporária, inteira, imediata com n termos normais e unitários.

O símbolo utilizado é: a_n

(

) (

1

)

2

(

)

1

(

)

1

1 ...

1

n

1

n n

a

i

−

i

=

+

+ +

+

(37)

VI – RENDAS

(

)

1

1 ₁

1

n n n n

i

_i

i

a

i

+





₋

− 

₊



₊





=

×

⇔

=

⇔

+

₋

+

(

)

(

)

1

n n n n

i

a

i

−

+

− +

⇔

=

⇔

=

+ −

VI – RENDAS

No exemplo, o valor da renda aplicando a fórmula deduzida anteriormente é dado por:

(

)

24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1%

1 1 0, 01

450

450 0, 01

9.559, 524

A

a

A

−

− +

=

×

⇔

=

×

⇔

=

Valor do empréstimo em 30/10/2008 Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

(

)

1

1 com

=

n n n n

i

A

c a

a

i

−

− +

= ×

(38)

VI – RENDAS

6.3 Rendas temporárias inteiras Exemplo 6.2

A empresa Águas Turvas deposita mensalmente uma quantia constante no valor de 450 euros. O primeiro depósito ocorre no dia 30 de Novembro de 2008 e o último ocorrerá no dia 30 de Outubro de 2010. Sabe-se que os depósitos são efectuados em regime de juro composto com capitalização de juros mensal e que a taxa de juro mensal da operação é de 1%. Determine o montante que a empresa terá disponível imediatamente após efectuar o último depósito.

É pedido para determinar o valor de um capital único a vencer no dia 30 de Outubro de 2010, equivalente ao conjunto de 24 capitais a vencerem mensalmente.

termos

30/10/08 30/11/08 30/12/2008 ... 30/09/10 30/10/10

450 450 ... 450 450

30 /10 / 2010

?

Trata-se de determinar o valor da renda na data de vencimento do último termo. Em esquema, vem:

(39)

VI – RENDAS

É necessário resolver uma equação de equivalência de capitais, utilizando a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto.

Então, o valor do empréstimo a 30/10/2010, também designado como o valor acumulado da renda, é igual a:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

23 22 1 23 22 1

450 1 0, 01

... 450 1 0, 01

450 450 1 0, 01

1 0, 01

...

1 0, 01

1 +

+

+ +

+

=

+

+ +

+ + +

+

0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1 1 1 1 1 termos períodos VI – RENDAS

Mais uma vez, este método revela-se demasiado moroso…

Então o passo seguinte consiste em deduzir uma fórmula geral que permite calcular o valor da renda, isto é, o valor de todos os termos unitários, reportados a um determinado momento, neste caso o momento t+n.

Considere uma renda com n termos normais e unitários, imediata, temporária e inteira – fim do último período da renda corresponde ao momento t+n.

(40)

VI – RENDAS

O cálculo do valor dos n termos unitários no momento t+n (data de vencimento do último termo) designa-se por valor acumulado duma renda temporária, inteira, imediata com n termos normais e unitários. O símbolo utilizado é: s_n

(

)

1

(

)

2

(

)

1

n

1

n

...

1

n

s

= +

i

−

+ +

i

−

+ + +

i

+

VI – RENDAS

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1

1

n n n n n

i

s

i

s

i

− − − − − −

− +

+

− +

= +

×

⇔

=

⇔

− +

(

1 )

1 (

1 )

1

n n n n

i

s

i

+

−

+

−

⇔

=

⇔

=

+ −

(41)

VI – RENDAS

No exemplo 6.2, o valor da renda aplicando a fórmula deduzida anteriormente é dado por:

(

)

24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1%

1 0, 01

1

450

450 0, 01

12.138, 059

S

s

S

+

−

=

×

⇔

=

×

⇔

=

Valor do empréstimo em 30/10/2010 Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

(

1 )

1 com

=

n n n n

i

S

c s

s

i

+

−

= ×

VI – RENDAS Exemplo 6.3

A empresa ABC comprou um equipamento industrial no valor de 4.500 euros nas seguintes condições:

Pagamento de 500 euros no acto da compra e do restante em 12 prestações mensais iguais, incluindo juros à taxa anual nominal de 6%.

Calcule o valor de cada prestação, no caso da primeira prestação vencer 1 mês após o acto da compra.

6.4 Rendas fraccionadas

Atenção: a taxa de juro dada é anual e as prestações são mensais.

(42)

VI – RENDAS

Trata-se de uma renda fraccionada porque o período da renda é diferente do período da taxa de juro.

As fórmulas deduzidas anteriormente, e , só podem ser utilizadas quando o período da taxa de juro é igual ao período da renda.

n n

a s

O que fazer quando a renda é fraccionada?O que fazer quando a renda é fraccionada?

R: Transformar a renda fraccionada numa renda inteira.

Como?

VI – RENDAS

Uma vez que não é possível alterar o valor dos termos nem o período da renda, a solução passa por alterar a taxa de juro, tal que o período desta coincida com o período da renda. No exemplo 6.3, como os termos da renda são mensalidades e a taxa de juro dada é anual, calcula-se a taxa de juro mensal (transformando, por isso, a renda em inteira).

Para uma taxa de juro nominal, como converter o período da taxa?

R: Através de uma relação de proporcionalidade, isto é aplicando a fórmula:

(43)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 85 VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas período da taxa ' com período da taxa ' i i i m m i = =

Para uma taxa de juro efectiva, como converter o período da taxa?

R: Através de uma relação de equivalência (em r.j.c.), isto é aplicando a fórmula:

(

)

1 m período da taxa ' 1 -1 com período da taxa ' i i i m i = + = VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas Voltar ao exemplo 6.3:

Converter a taxa anual nominal numa taxa de juro mensal, transformando a renda em inteira.

anual nominal 6%

mensal mensal mensal 0, 5%

12 12

i

i = ⇔i = ⇔i =

A renda do ex. tem a seguinte representação:

Período em meses Termos 0 1 2 3 … 11 12

(44)

VI – RENDAS

Valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor da dívida da empresa após o pagamento dos 500 euros, ou seja:

(

)

12 12 0,5% 12 0,5% 4.000 4.000 4.500 500 1 1 0, 005 0, 005 344, 266 c a c c a c − − = × ⇔ = ⇔ = − + =

A empresa ABC pagou o equipamento industrial do seguinte modo: 500 euros na data da compra e 344,266 euros mensalmente durante os próximos 12 meses.

VI – RENDAS

Exemplo 6.4

Considere que uma determinada entidade pretende acumular 6.000 euros numa conta bancária através de depósitos semestrais constantes, a efectuar durante 3 anos. Pressupondo regime de juro composto com capitalização de juros semestral e uma taxa de juro anual efectiva de 5,0625%, determine o valor de cada depósito, por forma a que imediatamente após ter efectuado o último depósito, a referida entidade possua na conta 6.000 euros.

Atenção: a taxa de juro dada é anual e as prestações são semestrais. A renda é fraccionada.

(45)

VI – RENDAS

Converter a taxa anual efectiva numa taxa de juro semestral, transformando a renda em inteira.

A renda do ex. tem a seguinte representação:

Período em semestres Termos 0 1 2 … 6 c c c

(

)

(

)

1 2 1 2

semestral

1 anual efectiva

1 semestral

1 0, 050625

1 semestral

2, 5%

i

= +

−

⇔

= +

− ⇔

=

VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas

Valor da renda no momento “6”, corresponde a 6.000 euros:

A entidade terá na sua conta 6.000 euros, imediatamente após ter efectuado o último depósito, se efectuar semestralmente um depósito no valor de 939,30 euros.

(

)

6 6 2,5% 6 2,5%

6.000

6.000 1 0, 025

1 0, 025

939, 30

c s

c

s

c

= ×

⇔ =

+

−

=

(46)

VI – RENDAS

Rendas de termos antecipados

Exemplo 6.5

A empresa XPTO comprou um equipamento informático através do pagamento de 8 prestações trimestrais iguais a 220 euros cada, a primeira das quais logo no acto da compra, com juros contados a uma taxa de 2% ao trimestre.

a) Qual o valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo no momento da compra.

Qual a diferença deste exemplo em relação aos

anteriores?

Pretende-se determinar o valor das prestações na data de vencimento da 1ª: trata-se de uma renda de termos renda de termos antecipados

antecipados (o vencimento dos termos ocorre no início de cada período).

termos período em trimestres

VI – RENDAS

A renda do exemplo tem a seguinte representação:

220 220 220 …. 220

0 1 2 …. 7 8

O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”, isto é o valor da renda na data de vencimento do primeiro termo.

(47)

VI – RENDAS

Será que as fórmulas deduzidas anteriormente podem ser aplicadas para a resolução deste problema?

A fórmula do permite obter o valor de todos os termos da renda um período antes do vencimento do primeiro termo. No exemplo, pretende-se obter o valor dos termos na data de vencimento do primeiro term n a o. Então, vem:

(

)

8 2% 8 2%

Valor da renda no momento "-1" 220

Valor da renda no momento "0"=220 1 0, 02

a a

= ×

× × +

VI – RENDAS

(

)

8 8 2% 1 1 0, 02 220 (1, 02) 220 1, 02 1.643,84 0, 02 a − − + × × = × × =

O valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo a pronto pagamento era de 1.643,84 euros.

Continuação do exemplo 6.5:

b) Considere agora que a empresa pretende pagar a totalidade do equipamento no fim do 8º trimestre. Qual o valor a pagar?

(48)

termos período em trimestres

VI – RENDAS

Neste caso pretende-se determinar o valor da renda no momento “8”, ou seja um período após o vencimento do último termo. 220 220 220 …. 220 0 1 2 …. 7 8

(

)

8 2% 8 2%

Valor da renda no momento "7": 220

Valor da renda no momento "8": 220 1 0, 02

s s

×

× × +

VI – RENDAS

(

)

8 8 2% 1 0, 02 1 220 (1, 02) 220 1, 02 1.926, 02 0, 02 s + − × × = × × =

Caso a empresa pretendesse pagar o equipamento informático no fim do 8º trimestre deveria entregar 1.926,02 euros.

Repare-se que:

(

)

8

(49)

0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1

1 1 1 1 termos

Em termos gerais, considere uma renda com n termos antecipados e unitários, imediata, temporária e inteira.

Para uma renda de termos antecipados, vem:

Início do primeiro período: t+1 (coincide com o vencimento do primeiro termo)

Início do último período: t+n Rendas de termos antecipados

VI – RENDAS

O cálculo do valor actual da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda na data de vencimento do primeiro termo. No esquema apresentado, em t+1.

O símbolo utilizado é:

, onde

(

1 )

n n n

a

=

a

+

i

ɺɺ

Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:

n n

(50)

VI – RENDAS

O cálculo do valor acumulado da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda um período após o vencimento do último termo. No esquema apresentado, em t+n+1.

, onde

(

1 )

n n n

s

=

s

+

i

ɺɺ

n n

S

ɺɺ

= ×

c s

ɺɺ

VI – RENDAS

Rendas diferidas

Exemplo 6.6

A empresa YYY comprou uma máquina através do pagamento de 24 prestações iguais e mensais de 300 euros cada a primeira das quais com vencimento daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de juro mensal de 1%, qual o valor da máquina?

Qual a diferença deste exemplo em relação aos

anteriores?

Pretende-se determinar o valor das prestações, 6 meses antes da data de vencimento da primeira prestação. Trata-se de uma renda diferida.renda diferida.

(51)

FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 101 termos período em meses VI – RENDAS Rendas diferidas

A renda do exemplo tem a seguinte representação:

300 …. 300 300 0 … 5 6 …. 28 29

O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”. Como fazê-lo?

VI – RENDAS Rendas diferidas

Primeiro calculamos o valor da renda no momento “5”:

(

)

24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1% 1 1 0, 01 300 300 6.373, 016 0, 01 A a A A − − + = × ⇔ = × ⇔ =

Então, o valor da renda no momento “0”, corresponde a:

(

)

5

6.373, 016

6.063, 706

1 0, 01

=

(52)

0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1

1 1 1 1 termos

Em termos gerais, como calcular o valor actual duma renda diferida:

Ao contrário das rendas imediatas, designam-se por rendas diferidas, as rendas para as quais se determina o valor actual numa data anterior ao início do primeiro período da renda. Tal significa, de acordo com o esquema seguinte, que o valor actual é calculado para uma data anterior a t.

Rendas diferidas

VI – RENDAS Rendas diferidas

Assim, o valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor actual duma renda temporária, inteira, diferida de t períodos, com n termos normais e unitários.

(

)

1 , onde

1

t

a

n t

a

n t

a

n

i

=

+

(53)

0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1

termos

Rendas temporárias de termos constantes

c c _c _c

(

1

)

t n c a× × +i − n c a× c a× _n × +

(

1 i

)

n c s× c s× _n × +

(

1 i

)

n t

A

n

A

n

ɺɺ

n

S

n

Sɺɺ

Em esquema, o valor de uma renda temporária de termos constantes, para diferentes datas:

VI – RENDAS

Rendas perpétuas

Exemplo 6.7

Um filantropo pretende criar um prémio anual perpétuo, no valor de 4.000 euros, destinado ao melhor aluno de uma universidade. Qual o montante que o filantropo deve disponibilizar hoje por forma a atingir esse objectivo, considerando que o capital rende juros com base numa taxa de juro anual de 5%, com capitalização de juros anual.

a) Considere que o prémio anual deverá começar a ser atribuído de hoje a uma ano.

Trata-se de uma renda perpétua ( renda com número ilimitado renda perpétua