CURSO DE LICENCIATURA EM ECONOMIA 1º ANO
FACULDADE DE ECONOMIA
DA UNIVERSIDADE DO ALGARVE
CÁLCULO FINANCEIRO
Ano lectivo 2009/2010 Docente: Cristina Viegas
I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS
Conceitos de Cálculo Financeiro estão presentes em operações de: - Investimento • Depósitos a prazo • Obrigações • ... - Financiamento • Empréstimos bancários • ...
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 3
I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS
Valor temporal do dinheiro
Para comparar capitais é necessário que eles estejam reportados a um mesmo momento.
Receber 100 euros hoje é diferente de receber 100 euros daqui a 1 ano.
Pagar 100 euros hoje é diferente de pagar 100 euros daqui a 1 ano.
O que é preferível? Porquê?
I – INTRODUÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS
Importância do factor tempo em qualquer análise factor tempo que envolva capitais.
Qual o valor do factor tempo? valor do factor tempo JUROJURO
O juro é a remuneração de um certo capital, durante um certo prazo. Normalmente o juro é expresso em percentagem, falando-se, então, de taxa de juro.
Três variáveis fundamentais em Cálculo Financeiro:
- Capital - Tempo - Juro
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 5
II – CAPITALIZAÇÃO
Capitalização em regime de juro simples - Exemplo
Exemplo 2.1:
Considere que aplicou um capital de 1.000 euros numa instituição financeira durante o prazo de dois anos. A taxa de juro da operação foi de 6%. Determine o valor do capital, decorridos os dois anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano não produz juro no segundo ano, isto é, o juro do primeiro ano é igual ao juro do segundo ano.
Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro simples.
Capitalização em regime de juro simples - Exemplo I I– CAPITALIZAÇÃO 0 1 2 Tempo em anos Capitais 2
?
C =
2C ⇒
Capital acumulado decorridos 2 anos0 1.000
C =
0
C ⇒
Capital inicial2
juro vencido durante os 2 anos
J ⇒
21.000 0, 06 2
J =
×
×
(
)
21.000 1.000 0, 06 2
21.000 1 0, 06 2
C
=
+
×
× ⇔
C
=
+
×
2 0 2C
=
C
+
J
com1.120
C =
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 7 Capitalização em regime de juro simples – Fórmulas gerais
I I– CAPITALIZAÇÃO 0
C
C
n0
1
2
3
n
Capitais Tempo...
nJ
⇒
Juro relativo a n períodos de tempon
C
⇒
Capital acumulado após n períodos de tempo 0n n
C
=
C
+
J
Capitalização em regime de juro simples – Fórmulas gerais I I– CAPITALIZAÇÃO
0
n
J
=
C in
Juro relativo a n períodos de tempo, em r.j.s.(
)
0
1
n
C
=
C
+
in
Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.s.,relativo a n períodos de tempo.corresponde à taxa de juro do período
i
Em regime de juro simples (r.j.s.), o juro produzido em cada período não produz juro nos períodos seguintes. Logo, o capital que vai gerar juros em cada período é sempre o mesmo.
0 0
n
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 9
I I– CAPITALIZAÇÃO
Capitalização em regime de juro simples - Breves notas
e têm que estar expressos na mesma unidade de tempo
n
i
⇒
(
)
0
0
Através da fórmula geral de capitalização,
1
,
também é possível determinar , conhecidos
,
e
n n
C
C
in
i
C
C
n
=
+
⇒
(
)
0 0Através da fórmula geral de capitalização,
1
,
também é possível determinar , conhecidos
,
e
n n
C
C
in
n
C
C
i
=
+
⇒
I I– CAPITALIZAÇÃOCapitalização em regime de juro composto - Exemplo
Exemplo 2.2
Considere que aplicou um capital de 5.000 euros numa instituição financeira durante o prazo de três anos. A taxa de juro anual da operação foi de 6%. Determine o valor do capital, decorridos os três anos, pressupondo que o juro produzido no primeiro ano produz juro no segundo ano, e, por sua vez, o juro produzido no primeiro e no segundo ano produz juro no terceiro ano.
Trata-se de determinar o valor acumulado ou capitalizado de um capital em regime de juro composto.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 11
Capitalização em regime de juro composto - Exemplo I I– CAPITALIZAÇÃO 0 1 3 Tempo em anos Capitais 3
?
C =
1,
2e
3C C
C ⇒
Capital acumulado decorridos 1, 2 e 3 anos, respectivamente 0 5.000 C = 0C ⇒
Capital inicial 2(
)
1 0 1 15.000 5.000 0, 06
15.000 1 0, 06
C
C
j
C
C
=
+
=
+
×
⇔
=
+
1,
2e
3j j
j ⇒
Juro relativo ao 1º, 2º e 3º ano, respectivamenteCapitalização em regime de juro composto - Exemplo I I– CAPITALIZAÇÃO
(
)
(
)
(
)
2 1 2 2 2 5.000 1 0, 06 5.000 1 0, 06 0, 06 2 5.000 1 0, 06 C C j C C = + = + + + × ⇔ = +(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 2 3 3 5.000 1 0, 06 5.000 1 0, 06 0, 06 3 5.000 1 0, 06 C C j C C = + = + + + × ⇔ = + 35.955, 08
C =
Qual o valor dos juros produzidos durante os três anos?
3 0
5.955, 08 5.000
955, 08
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 13 Capitalização em regime de juro composto – Fórmulas gerais
I I– CAPITALIZAÇÃO 0
C
C
n0
1
2
3
n
Capitais Tempo...
juro relativo ao período de tempo , com
1, 2,...,
t
j
⇒
t
t
=
n
capital acumulado após períodos de tempo,
com
1, 2,...,
tC
t
t
n
⇒
=
1 t t tC
=
C
−+
j
com =
j C i
t t−1para
t
=
1, 2,...,
n
Capitalização em regime de juro composto – Fórmulas gerais I I– CAPITALIZAÇÃO
Em regime de juro composto (r.j.c.), o juro produzido em cada período não é constante, sendo crescente de período para período. Neste regime, o juro vencido em cada unidade de tempo é adicionado ao capital inicial, passando imediatamente a vencer juros nas unidades de tempo posteriores.
(
)
0
1
n n
C
=
C
+
i
Valor acumulado ou capitalizado, em r.j.c.,relativo a n períodos de tempo.
0 n n
J
=
C
−
C
Juro relativo a n períodos de tempo, em r.j.c.corresponde à taxa de juro do período
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 15
I I– CAPITALIZAÇÃO
Capitalização em regime de juro composto - Breves notas
e têm que estar expressos na mesma unidade de tempo
e o período da taxa deverá sempre coincidir com o período
da capitalização dos juros.
n
i
i
⇒
(
)
n 0 0Através da fórmula geral de capitalização,
1
,
também é possível determinar (aplicando a regra das
potências/raízes), conhecidos
,
e
n nC
C
i
i
C
C
n
=
+
⇒
(
)
0 0Através da fórmula geral de capitalização,
1
,
também é possível determinar (aplicando a regra dos
logaritmos), conhecidos
,
e
n n nC
C
i
n
C
C
i
⇒
=
+
Actualização - Exemplo III– ACTUALIZAÇÃOExemplo 3.1: Considere um capital de 500 euros com vencimento daqui a 5 meses. Determine o capital que lhe é equivalente hoje, à taxa de juro anual de 8%. Trata-se de determinar o valor actual de um capital.
0 5 Tempo em meses
500
0
?
C =
0
0
valor actual de 500 euros
500 juro ou desconto relativo a 5 meses
C
C
⇒
=
−
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 17
III – ACTUALIZAÇÃO
Como determinar o valor dos juros ou do desconto?
Três hipóteses de determinar o valor actual: regime de juro simples com desconto por dentro; regime de juro simples com desconto por fora e regime de juro composto
3.1. Juro Simples
3.1. Juro Simples
Juro simples com desconto por dentro:
Juro simples com desconto por dentro: Os juros decorrentes da aplicação do capital são calculados com base no capital inicial.
Vamos voltar ao exemplo 3.1:
5 12 0
5
500;
8%;
;
?; Desconto=
1
2
C
?
C
=
i
=
n
=
=
III – ACTUALIZAÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 5 5 500 0, 08 0, 08 500 12 12 r r r r C = −C × × ⇔C +C × × =Actualização em regime de juro simples com desconto por dentro
( ) ( ) ( ) 0 0 0 5 500 1 0, 08 500 483,87 5 12 1 0, 08 12 r r r C + × = ⇔C = ⇔C = + × ( ) 0
1
n rC
C
in
=
+
Valor actual em regime de juro simples com desconto por dentro (Valor Actual Racional), relativo a n períodos de tempo
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 19
III – ACTUALIZAÇÃO
Actualização em regime de juro simples com desconto por dentro
5
483,87 0, 08
16,13
12
d d
D
=
×
×
⇔
D
=
Por sua vez, o juro ou o desconto por dentro do exemplo é:
Desconto por dentro d D ⇒
1
n dC
D
in
in
=
+
Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por dentro, relativo a n períodos de tempo Em termos gerais, vem:
III – ACTUALIZAÇÃO
Actualização em regime de juro simples com desconto por fora
Juro simples com desconto por fora:
Juro simples com desconto por fora: Os juros decorrentes da aplicação do capital são calculados com base no capital acumulado.
Vamos voltar ao exemplo 3.1:
( )
0
Valor actual comercial
Desconto por fora
c fC
D
≡
≡
( ) ( ) 0 05
500
500 500 0, 08
12
f c cC
=
−
D
⇔
C
=
−
×
×
( ) ( ) 0 05
500 1 0, 08
483, 33
12
c cC
=
−
×
⇔
C
=
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 21
III – ACTUALIZAÇÃO
Actualização em regime de juro simples com desconto por fora
( )
(
)
0c n
1
C
=
C
−
in
Valor actual em regime de juro simples com desconto por fora (Valor Actual Comercial), relativo a n períodos de tempo
Por sua vez, o juro ou o desconto por fora do exemplo é:
5
500 0, 08
16, 67
12
f f
D
=
×
×
⇔
D
=
Em termos gerais, vem:
Valor do juro ou do desconto em regime de juro simples com desconto por fora, relativo a n períodos de tempo
f n
D
=
C in
III – ACTUALIZAÇÃO
Actualização em regime de juro composto
3.2. Juro composto
3.2. Juro composto
Vamos voltar ao exemplo 3.1:
0
Valor actual em regime de juro composto (r.j.c.)
C
≡
(
)
(
5)
(
)
5 12 12 0500
01 0, 08
0 01 0, 08
500
C
=
−
C
+
−
C
⇔
C
+
=
(
)
5 12 0 0500
484, 22
1 0, 08
C
=
⇔
C
=
+
(
)
0 1 n n C C i = +Valor actual em regime de juro composto, relativo a n períodos de tempo
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 23
III – ACTUALIZAÇÃO
Actualização – Breves notas
O valor actual racional é aplicado no desconto de Bilhetes do Tesouro, por exemplo.
O valor actual comercial é aplicado no desconto de letras, por exemplo.
A aplicação do desconto por fora só é viável para prazos curtos e / ou taxas de juro baixas.
No desconto por fora a taxa realmente suportada pelo mutuário é superior à taxa enunciada.
⇒
⇒
⇒
⇒
4.1 Taxas equivalentes
IV– TAXAS DE JURO
Duas taxas dizem-se equivalentes, referidas a períodos de tempo diferentes, se aplicadas a um mesmo capital, durante igual extensão de tempo, produzem o mesmo valor acumulado.
Como o montante de juros depende do regime de juros que se considera (juro simples ou juro composto), torna-se necessário especificar em qual regime de juros as taxas são equivalentes.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 25 Taxas equivalentes
IV– TAXAS DE JURO
Exemplo 4.1:
Considere um capital inicial de 100 euros aplicado à taxa de juro anual de 10% durante um ano.
Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro simples?
(
)
1
100
1 0,10 1
1110
C
=
× +
× ⇔
C
=
Qual a taxa equivalente semestral que aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo (um ano), produz o mesmo valor acumulado?
( )
i' aTaxas equivalentes IV– TAXAS DE JURO
2 110; 0 100; i'( ) ?
C = C = sem =
(
)
110
=
100 1
+ ×
i
' 2
bDa comparação de a com b , vem:
(
1
' 2
)
1 0,10
'
0,10
'
0, 05
5%
2
i
i
i
+ ×
= +
⇔ =
⇔ =
=
Em termos gerais, vem: período da taxa ' com período da taxa ' i i i m m i
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 27
Taxas equivalentes IV– TAXAS DE JURO
Exemplo 4.2:
Considere os mesmos dados do exemplo 4.1.
Qual o valor acumulado decorrido um ano, pressupondo regime de juro composto?
(
)
11
100
1 0,10
1110
C
=
× +
⇔
C
=
Qual a taxa equivalente semestral que aplicada ao mesmo capital (100) durante o mesmo prazo (dois semestres), produz o mesmo valor acumulado (110), com capitalização de juros semestral?
( )
i' cTaxas equivalentes IV– TAXAS DE JURO
2 110; 0 100; i'( ) ?
C = C = sem =
(
)
2110
=
100 1
+
i
'
d Da comparação de c com d , vem:(
) (
)
1(
)
12 2
1
i
'
1 0,10
i
'
1 0,10
1
i
'
4,88%
⇔ +
= +
⇔ = +
− ⇔ =
Em termos gerais, vem:
(
)
1 m período da taxa ' 1 -1 com período da taxa ' i i i m i = + = Taxa de juro equivalente(
)
2 1+i' = +1 0,10⇔FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 29
IV– TAXAS DE JURO
É uma taxa de juro que não reflecte o efeito das capitalizações, ou seja é uma taxa de juro que não leva em consideração o facto de haver juros de juros.
O que é uma taxa nominal?
4.2 Taxas nominais e efectivas: Exemplo taxa nominal
Exemplo 4.3:
Considere um capital de 800 euros aplicado à taxa anual taxa anual nominal
nominal de 10%.
Pressupondo regime de juro composto, com capitalização de juros semestral, determine os juros vencidos e o capital acumulado decorrido o primeiro ano.
Taxa nominal - Exemplo IV– TAXAS DE JURO
Primeiro, calcular os juros produzidos durante o primeiro semestre: 1 1 1 800 0,10 40 2 j = × × ⇔ j =
Segundo, calcular os juros produzidos durante o segundo semestre:
(
)
2 21
800
40
0,10
42
2
j
=
+
×
× ⇔
j
=
Juros totais
82
Capital acumulado
8
40 4
8
2
800 82
2
=
+
=
=
+
=
1º Processo de resolução:FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 31
Taxa nominal - Exemplo IV– TAXAS DE JURO
2º Processo de resolução (mais rápido):
Aplicar a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto:
(
)
22
800 1
(
)
n sem
C
==
+
i sem
Quando a taxa de juro dada é nominal, o período a que está reportada a taxa deve coincidir com a periodicidade a que são efectuadas as capitalizações.
No exemplo:
capitalização de juros semestral
a taxa de juro
a aplicar nas fórmulas deverá ser semestral, (
i sem
)
⇒
Taxa nominal para diferentes períodos de tempo
IV– TAXAS DE JURO
Como alterar a periodicidade da taxa de juro nominal?
Taxas nominais e taxas proporcionais têm em comum o facto de não reflectirem o efeito de sucessivas capitalizações.
Então, para alterar o período da taxa de juro nominal, aplica-se a fórmula: período da taxa ' com período da taxa ' i i i m m i = =
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 33
Taxa nominal - Exemplo IV– TAXAS DE JURO
(
)
(
)
período da ( ) 2 semestres ( ) com 2 período da 1 semestre i anual i anual i sem m m i sem = = = = Então:(
)
0,10
0, 05
2
i sem =
=
Logo:C
n=2sem=
800 1 0, 05
(
+
)
2⇔
C
n=2sem=
882
(
)
(
(
)
)
No exemplo, pretende-se calcular a taxa de juro semestral
nominal ( ) , dada a taxa de juro anual nominal .
Aplicando a fórmula, vem:
i sem i anual
IV– TAXAS DE JURO
É uma taxa de juro que considera o efeito de sucessivas capitalizações, ou seja é uma taxa de juro que leva em consideração o facto de haver juros de juros.
O que é uma taxa efectiva? Taxa efectiva - Exemplo
Exemplo 4.4:
Considere um capital de 800 euros aplicado à taxa anual taxa anual efectiva
efectiva de 10,25%.
Pressupondo regime de juro composto, determine os juros vencidos e o capital acumulado decorrido um ano.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 35
Taxa efectiva - Exemplo IV– TAXAS DE JURO
Neste exemplo, a taxa de 10,25%% é efectiva, pelo que não é importante saber qual a periodicidade das capitalizações. Seja qual for o período de capitalização dos juros, o juro vencido no final do primeiro ano será 10,25% do capital inicialmente investido.
Valor acumulado decorrido um ano:
(
)
1 1 1800 1 0,1025
882
n anoC
n anoC
==
+
⇔
==
vencidos durante o 1º ano: 800 0,10
Juros
×
25
=
8
2
Taxa efectiva para diferentes períodos de tempo
IV– TAXAS DE JURO
Como alterar a periodicidade da taxa de juro efectiva?
Taxas efectivas e taxas equivalentes em regime de juro composto têm em comum o facto de reflectirem o efeito de sucessivas capitalizações.
Então, para alterar o período da taxa de juro efectiva, aplica-se a fórmula:
(
)
1 m período da taxa ' 1 -1 com período da taxa ' i i i m i = + =FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 37
Taxa efectiva - Exemplo IV– TAXAS DE JURO
(
)
(
)
(
)
(
)
No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva , a taxa
de juro semestral efectiva é calculada através da fórmula:
ef ef i anual i sem
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
1 m período da 2 sem 1 -1 com período da 1 sem ef ef ef ef i anual i sem i anual m i sem = + = =(
) (
)
1(
)
2Então,
i
efsem
= +
1 0,1025
− ⇔
1
i
efsem
=
0, 05
Pode-se, também, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa semestral:
(
)
2 2 2800 1 0, 05
n882
n semC
semC
==
+
⇔
==
Taxa efectiva - Exemplo IV– TAXAS DE JURO
(
)
(
)
(
)
(
)
No exemplo, dada a taxa de juro anual efectiva , a taxa
de juro mensal efectiva é calculada através da fórmula:
ef ef i anual i mensal
(
)
(
(
)
)
1(
(
)
)
m período da 12 meses 1 -1 com período da 1 mês ef ef ef ef i anual i mensal i anual m i mensal = + = =(
) (
)
1(
)
12Então, ief mensal = +1 0,1025 − ⇔1 ief mensal =0, 008165
Pode-se, também, calcular o valor acumulado do ex. recorrendo a esta taxa mensal:
(
)
1 12 2 12800 1 0, 0081
65
n882
n meses mesesC
==
+
⇔
C
==
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 39 Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
IV– TAXAS DE JURO
Como converter uma taxa nominal numa taxa efectiva?
Exemplo 4.5:
Qual é a taxa anual efectiva subjacente à taxa anual nominal de 10%, pressupondo capitalização de juros semestral?
Em primeiro lugar, deve-se calcular a taxa de juro nominal cujo período de tempo coincide com o período da capitalização dos juros, utilizando a fórmula da taxa proporcional. Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros a taxa é simultaneamente nominal e efectiva.
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Assim, para taxas nominais, a relação de equivalência corresponde a:
10%
(
)
10%
(
)
5%
2
i anual
=
⇒
i sem
=
=
A taxa semestral nominal de 5% também é taxa semestral efectiva, porque o período de capitalização dos juros é semestral.
Em segundo lugar, deve-se calcular a taxa de juro efectiva para o período pretendido, utilizando a fórmula de equivalência em regime de juro composto.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 41
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Conhece-se a taxa semestral efectiva (5%) e pretende-se determinar a taxa anual efectiva. Para taxas efectivas, a relação de equivalência corresponde a:
(
)
1(
)
1
(
)
1
período da
(
)
1 sem
1
com
período da
(
)
2 sem
2
m ef ef ef efi
anual
i
sem
i
sem
m
i
anual
= +
−
=
=
=
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 Logo: (1 0, 05) 1 (1 0, 05) 1 10, 25% ef ef ef i anua i l i anual anual = + − ⇔ ⇔ = + − ⇔ =Relação entre taxas nominais e taxas efectivas IV– TAXAS DE JURO
Como converter uma taxa efectiva numa taxa nominal?
Exemplo 4.6:
Qual é a taxa anual nominal subjacente à taxa anual efectiva de 4,0605%, pressupondo capitalização de juros trimestral?
Em primeiro lugar, deve-se calcular a taxa de juro efectiva cujo período de tempo coincide com o período da capitalização dos juros, utilizando a fórmula de equivalência em regime de juro composto. Quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros a taxa é simultaneamente efectiva e nominal.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 43
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Assim, para taxas efectivas, a relação de equivalência corresponde a:
(
)
1(
)
4, 0605%
(
)
1 0, 040605
m1
ef ef
i
anual
=
⇒
i
trim
= +
−
A taxa trimestral efectiva de 1% também é taxa trimestral nominal, porque o período de capitalização dos juros é trimestral.
(
)
(
)
período da
4 trim
4
período da
1 trim
ef efi
anual
m
i
trim
=
=
=
(
)
1 4(
)
1 0, 040605
1
(
)
1%
ef efi
trim
= +
− ⇔
i
trim
=
Com: Então:IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Em segundo lugar, deve-se calcular a taxa de juro nominal para o período pretendido, utilizando a fórmula da taxa proporcional.
Conhece-se a taxa trimestral nominal (1%) e pretende-se determinar a taxa anual nominal. Para taxas nominais, a relação de equivalência corresponde a:
( ) período da ( ) 1 trim 1 ( ) com período da ( ) 4 trim 4 i trim i trim i anual m m i anual = = = = 1 4 ( ) 4 0, 01 ( ) ( ) 0, 01 4 %
i anual = ⇔i anual = × ⇔i anual = Então:
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 45
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Outro processo de converter uma taxa nominal numa taxa efectiva e vice-versa – Dedução da fórmula
Exemplo 4.7:
Considere um capital de 1000 euros aplicado durante um ano, à taxa de juro anual nominal de 6%, com capitalização de juros mensal.
a) Determinar o valor acumulado.
A taxa de juro dada é nominal e a capitalização de juros é mensal, logo a taxa de juro a aplicar na fórmula geral de capitalização deverá ser mensal.
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
(
)
1 12 2 12 0, 06 0, 06 1000 1 12 n mes se 12 n meses 1061, 678 i men als = ⇒C= = + ⇔C= =b) Qual a taxa de juro anual efectiva que aplicada a um capital de 1000 euros, durante um ano, produz um valor acumulado igual ao encontrado através da utilização da taxa proporcional mensal, isto é um valor de 1061,678.
(
)
(
)
(
)
12O que se pretende é determinar a
, tal que:
1000
1061, 678 1000, ou:
0, 06
1000
1000 1
1000
12
ef ef efi
anual
i
anual
i
anual
×
=
−
×
=
+
−
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 47
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
(
)
12(
)
Após simplificação, vem: 0, 06 1 1 6,1678% 12 ef ef i anual = + − ⇔i anual =
Significa que o juro vencido no final do primeiro ano corresponde a 6,1678% do capital inicialmente investido (1000 euros). Então, a uma taxa de juro anual nominal de 6%, com capitalização de juros mensal, corresponde uma taxa anual efectiva é de 6,1678%.
Em termos gerais, a fórmula que permite determinar a taxa efectiva dada a taxa nominal e vice-versa, corresponde a:
1
1
m efi
i
m
=
+
−
m = nº de capitalizações que ocorrem durante o período da taxa i (taxa nominal)IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas Exemplo 4.8:
Aplicação de um capital de 2000 euros, durante 2 anos, à taxa de juro anual nominal de 8%, com capitalização de juros trimestral.
a) Determinar o valor acumulado no fim do prazo.
(
)
8 8 8 0, 08 ( ) ( ) 0, 02 4 2000 1 0, 02 2343, 32 n trim n trim i trim i trim C = C = = ⇔ = = + ⇔ =FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 49
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
b) Determinar a taxa de juro anual efectiva. Dois processos alternativos de resolução:
1º Processo: Aplicar as regras de equivalência entre taxas
0, 08
( ) ( ) 0, 02
4
i trim = ⇔i trim =
Cálculo da taxa trimestral nominal (também é efectiva):
Cálculo da taxa anual efectiva:
(
) (
)
4(
)
) 1 0, 02 1 ) 8, 243%
ef ef
i anual = + − ⇔i anual =
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
2º Processo: Aplicar a fórmula geral
1
1
m ef
i
i
m
=
+
−
4 (nº de capitalizações trimestrais que ocorrem durante um ano)
m = 4 0, 08 ( ) 1 1 ( ) 8, 243% 4 ef ef i anual = + − ⇔i anual =
O resultado obtido nos dois processos é o mesmo.
Nota: A aplicação da fórmula geral pressupõe que a taxa efectiva e a taxa nominal estão reportadas ao mesmo período de tempo.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 51
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
c) Determinar a taxa de juro semestral efectiva Dois processos alternativos de resolução:
1º Processo: Aplicar as regras de equivalência entre taxas Após o cálculo da taxa trimestral nominal e efectiva (já determinado na alínea b), 1º processo), determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a fórmula de equivalência de taxas em r.j.c.
(
) (
)
2(
)
) 1 0, 02 1 ) 4, 04%
ef ef
i sem = + − ⇔i sem =
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas 2º Processo:
Após calcular a taxa anual efectiva, através da fórmula geral (já determinado na alínea b), 2º processo) determina-se a taxa semestral efectiva aplicando a fórmula de equivalência de taxas em r.j.c.
(
) (
)
1(
)
2 ) 1 0, 08243 1 ) 4, 04% ef ef i sem = + − ⇔i sem =FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 53
IV– TAXAS DE JURO
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Para calcular a taxa trimestral efectiva, pode-se utilizar o resultado obtido na alínea b), para a taxa anual efectiva. Aplica-se, então, a equivalência de taxas em r.j.c.:
(
)
(
(
)
)
(
) (
)
(
)
1 1 4 1 1 1 0, 08243 1 2% m ef ef ef ef i trim i anual i trim i trim = + − ⇔ ⇔ = + − ⇔ =d) Determinar a taxa de juro trimestral efectiva e a taxa de juro trimestral nominal.
IV– TAXAS DE JURO
Para calcular a taxa trimestral nominal, recorre-se à fórmula de equivalência entre taxas nominais, uma vez que no enunciado inicial é dada a taxa anual nominal:
(
)
( )(
)
0, 08(
)
2%4
i anual
i trim i trim i trim
m
= ⇔ = ⇔ =
Relação entre taxas nominais e taxas efectivas
Neste caso, a taxa trimestral nominal é igual à taxa trimestral efectiva porque a capitalização dos juros é trimestral.
Em termos gerais, quando o período da taxa coincide com o período da capitalização dos juros, a taxa nominal é igual à taxa efectiva.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 55
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
5.1 Equações de equivalência
Como estabelecer equivalência entre vários capitais? Como estabelecer equivalência entre vários capitais?
Todos os capitais devem estar reportados a um mesmo momento, designado como data focal da operação de equivalência.
Assim, para determinada operação de equivalência, é necessário recorrer às fórmulas gerais de actualização e/ou de capitalização, definidas anteriormente.
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples
Exemplo 5.1:
Considere que a empresa “XYZ” tem o seguinte conjunto de dívidas:
1 Julho 2009 8.000€ 1 Abril 2009 12.000€ 1 Fevereiro 2009 5.000€ Data de vencimento Montante
a) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro, taxa de juro anual de 6% e data focal o dia 1 de Novembro de 2008.
A empresa pretende substituir este conjunto de dívidas por uma única a ser paga no dia 1 de Junho de 2009.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 57
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples Elaboração da equação de equivalência:
Composição de um membro da equação:
As três dívidas originais, actualizadas para o dia 1 de Novembro de 2008;
Composição do outro membro da equação:
O capital único, que se pretende determinar, também actualizado para o dia 1 de Novembro de 2008.
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples
1/11/08 1/2/09 1/4/09 1/6/09 1/7/09 5.000 12.000 C=? 8.000 Data focal 5.000 12.000 8.000 3 5 8 1 0, 06 1 0, 06 1 0, 06 12 1 7 1 0, 06 2 12 12 C = + + + × + × + × + ×
25.177,1338€
C =
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 59
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro simples Continuação do ex. 5.1:
b) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro simples com desconto por dentro, taxa de juro anual de 6% e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009.
Neste caso, todos os capitais devem estar reportados ao dia 1 de Fevereiro de 2009: 12.000 8.000 5.000 2 5 1 0, 06 1 0, 25.179, 787 4 1 0, 0 06 12 12 6 12 C C = + + + ⇔ + × × + × = V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro composto
c) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro composto, taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal e data focal o dia 1 de Fevereiro de 2009.
(
) (
2)
5(
)
412.000
8.000
5000
1 0, 005
1 0, 005
1 0, 005
C
+
+
=
+
+
+
25.181, 2515€
C =
Continuação do ex. 5.1:FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 61
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Exemplo – Equivalência de capitais em regime de juro composto
d) Calcular o valor do capital único a vencer no dia 1 de Junho de 2009, pressupondo regime de juro composto, taxa de juro anual nominal de 6% com capitalização de juros mensal e data focal o dia 1 de Maio de 2009.
(
)
(
)
(
)
(
)
1 3 1 28.000
5000 1 0, 005
12.000 1 0, 005
1 0, 005
1 0, 005
C
=
+
+
+
+
+
+
25.181, 2515€
C =
Continuação do ex. 5.1: V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAISDiferenças entre regime de juro simples e regime de juro composto
Comparação dos resultados obtidos em regime de juro simples Comparação dos resultados obtidos em regime de juro simples
--alíneas a) e b):alíneas a) e b):
Repare-se que o valor do capital único obtido na alínea b) é diferente do obtido na alínea a).
Alterando a data focal, deixa de haver equivalência relativamente à data focal anterior.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 63
V– EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Diferenças entre regime de juro simples e regime de juro composto
Comparação dos resultados obtidos em regime de juro Comparação dos resultados obtidos em regime de juro composto
composto --alíneas c) e d):alíneas c) e d):
Repare-se que o valor do capital único obtido na alínea c) é igual ao obtido na alínea d).
Uma vez estabelecida a equivalência para uma data focal, ela permanece válida, mesmo que se altere a data focal
No regime de juro composto a data focal não tem qualquer relevância.
VI – RENDAS
6.1 Conceitos genéricos
Exemplo 6.1
A empresa “ABC” contraiu um empréstimo no dia 30 de Outubro de 2008 e acordou que o pagamento do mesmo seria efectuado através de 24 prestações mensais, consecutivas e constantes. O valor de cada prestação é de 450 euros e a primeira prestação tem vencimento no dia 30 de Novembro de 2008. As prestações incluem juros com i mensal igual a 1%.
A este conjunto de capitais (prestações) dá-se o nome de rendarenda. Em termos gerais, uma renda corresponde a um conjunto de renda
capitais, espaçados periodicamente, onde o intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de quaisquer dois capitais consecutivos é constante.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 65 termos períodos VI – RENDAS 6.1 Conceitos genéricos 30/10/08 30/11/08 30/12/2008 ... 30/09/10 30/10/10 450 450 ... 450 450
Data da contracção do empréstimo
Termo da renda
Termo da renda: cada um dos capitais.
Período da renda
Período da renda: intervalo de tempo que decorre entre o vencimento de dois termos consecutivos.
VI – RENDAS
6.2 Classificação das rendas
Quanto ao período da renda:
Inteiras: período da renda coincide com o período da taxa de juro.
Fraccionadas: período da renda é diferente do período da taxa de juro. Quanto ao valor dos termos:
Termos constantes: todos os termos da renda têm o mesmo valor.
Termos variáveis: os termos da renda variam, não são constantes ao longo da vida da renda.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 67
VI – RENDAS
6.2 Classificação das rendas
Quanto ao prazo de vigência:
Temporárias: número limitado de termos.
Perpétuas: número ilimitado de termos. Quanto ao vencimento dos termos:
Termos normais ou postecipados: o vencimento dos termos ocorre no fim da cada período.
Termos antecipados: o vencimento dos termos ocorre no início de cada período.
VI – RENDAS
6.2 Classificação das rendas
Quanto ao momento de referência:
Imediatas: a data de contracção do empréstimo coincide com o início do primeiro período da renda.
Diferidas: existe um período de diferimento entre a data da contracção do empréstimo e a data de vencimento do primeiro termo.
No exemplo 6.1 a renda descrita é:
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 69 termos períodos VI – RENDAS 30/10/08 30/11/08 30/12/2008 ... 30/09/10 30/10/10 450 450 ... 450 450
6.3 Rendas temporárias inteiras
Continuação do exemplo 6.1
a) Qual o valor do empréstimo, no dia 30 de Outubro de 2008?
30 /10 / 2008
?
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras
Trata-se de resolver uma equação de equivalência de capitais, utilizando a fórmula geral de actualização em regime de juro composto.
Então, o valor do empréstimo a 30/10/2008, também designado como o valor actual da renda, é igual a:
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1 2 23 24 1 2 23 24 450 450 450 450 ... 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 1 1 1 450 ... 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 1 0, 01 + + + + = + + + + = + + + + + + + + FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 71
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
1 1 1 1 termos
períodos VI – RENDAS
Este método revela-se demasiado moroso… Imagine-se uma renda com 480 termos. Seria necessário aplicar a fórmula geral de actualização 480 vezes…
Então o passo seguinte consiste em deduzir uma fórmula geral que permite calcular o valor da renda, isto é, o valor de todos os termos unitários, reportados a um determinado momento, neste caso, t.
Considere uma renda com n termos normais e unitários, imediata, temporária e inteira – início do primeiro período da renda corresponde ao momento t.
6.3 Rendas temporárias inteiras
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras
O cálculo do valor dos n termos unitários no momento t (um período antes da data de vencimento do primeiro termo) designa-se por valor actual duma renda temporária, inteira, imediata com n termos normais e unitários.
O símbolo utilizado é: an
(
) (
1)
2(
)
1(
)
1
1
1
1
...
1
1
1
n1
n na
i
i
i
−i
=
+
+ +
+
+
+
+
+
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 73
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras
(
)
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n n n ni
i
i
a
a
i
i
i
+
−
−
+
+
+
=
×
⇔
=
⇔
+
−
−
+
+
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
n n n ni
i
a
a
i
i
−−
+
− +
⇔
=
⇔
=
+ −
VI – RENDAS6.3 Rendas temporárias inteiras
No exemplo, o valor da renda aplicando a fórmula deduzida anteriormente é dado por:
(
)
24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1%1
1 0, 01
450
450
0, 01
9.559, 524
A
a
A
A
−− +
=
×
⇔
=
×
⇔
=
Valor do empréstimo em 30/10/2008 Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:(
)
1
1
com
=
n n n ni
A
c a
a
i
−− +
= ×
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 75
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras Exemplo 6.2
A empresa Águas Turvas deposita mensalmente uma quantia constante no valor de 450 euros. O primeiro depósito ocorre no dia 30 de Novembro de 2008 e o último ocorrerá no dia 30 de Outubro de 2010. Sabe-se que os depósitos são efectuados em regime de juro composto com capitalização de juros mensal e que a taxa de juro mensal da operação é de 1%. Determine o montante que a empresa terá disponível imediatamente após efectuar o último depósito.
É pedido para determinar o valor de um capital único a vencer no dia 30 de Outubro de 2010, equivalente ao conjunto de 24 capitais a vencerem mensalmente.
termos
períodos VI – RENDAS
30/10/08 30/11/08 30/12/2008 ... 30/09/10 30/10/10
450 450 ... 450 450
6.3 Rendas temporárias inteiras
30 /10 / 2010
?
Trata-se de determinar o valor da renda na data de vencimento do último termo. Em esquema, vem:
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 77
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras
É necessário resolver uma equação de equivalência de capitais, utilizando a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto.
Então, o valor do empréstimo a 30/10/2010, também designado como o valor acumulado da renda, é igual a:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
23 22 1 23 22 1450 1 0, 01
450 1 0, 01
... 450 1 0, 01
450
450 1 0, 01
1 0, 01
...
1 0, 01
1
+
+
+
+ +
+
+
=
=
+
+ +
+ + +
+
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1 1 1 1 1 termos períodos VI – RENDASMais uma vez, este método revela-se demasiado moroso…
Então o passo seguinte consiste em deduzir uma fórmula geral que permite calcular o valor da renda, isto é, o valor de todos os termos unitários, reportados a um determinado momento, neste caso o momento t+n.
Considere uma renda com n termos normais e unitários, imediata, temporária e inteira – fim do último período da renda corresponde ao momento t+n.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 79
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras
O cálculo do valor dos n termos unitários no momento t+n (data de vencimento do último termo) designa-se por valor acumulado duma renda temporária, inteira, imediata com n termos normais e unitários. O símbolo utilizado é: sn
(
)
1(
)
2(
)
11
n1
n...
1
1
ns
= +
i
−+ +
i
−+ + +
i
+
VI – RENDAS6.3 Rendas temporárias inteiras
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 11
1
1
1
1
1
1
1
1
n n n n ni
i
i
s
i
s
i
i
− − − − − −− +
+
− +
= +
×
⇔
=
⇔
− +
− +
(
1
)
1
(
1
)
1
1
1
n n n ni
i
s
s
i
i
+
−
+
−
⇔
=
⇔
=
+ −
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 81
VI – RENDAS
6.3 Rendas temporárias inteiras
No exemplo 6.2, o valor da renda aplicando a fórmula deduzida anteriormente é dado por:
(
)
24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1%1 0, 01
1
450
450
0, 01
12.138, 059
S
s
S
S
+
−
=
×
⇔
=
×
⇔
=
Valor do empréstimo em 30/10/2010 Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:(
1
)
1
com
=
n n n ni
S
c s
s
i
+
−
= ×
VI – RENDAS Exemplo 6.3A empresa ABC comprou um equipamento industrial no valor de 4.500 euros nas seguintes condições:
Pagamento de 500 euros no acto da compra e do restante em 12 prestações mensais iguais, incluindo juros à taxa anual nominal de 6%.
Calcule o valor de cada prestação, no caso da primeira prestação vencer 1 mês após o acto da compra.
6.4 Rendas fraccionadas
Atenção: a taxa de juro dada é anual e as prestações são mensais.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 83
VI – RENDAS
Trata-se de uma renda fraccionada porque o período da renda é diferente do período da taxa de juro.
6.3 Rendas fraccionadas
As fórmulas deduzidas anteriormente, e , só podem ser utilizadas quando o período da taxa de juro é igual ao período da renda.
n n
a s
O que fazer quando a renda é fraccionada?O que fazer quando a renda é fraccionada?
R: Transformar a renda fraccionada numa renda inteira.
Como?
Como?
VI – RENDAS
6.3 Rendas fraccionadas
Uma vez que não é possível alterar o valor dos termos nem o período da renda, a solução passa por alterar a taxa de juro, tal que o período desta coincida com o período da renda. No exemplo 6.3, como os termos da renda são mensalidades e a taxa de juro dada é anual, calcula-se a taxa de juro mensal (transformando, por isso, a renda em inteira).
Para uma taxa de juro nominal, como converter o período da taxa?
R: Através de uma relação de proporcionalidade, isto é aplicando a fórmula:
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 85 VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas período da taxa ' com período da taxa ' i i i m m i = =
Para uma taxa de juro efectiva, como converter o período da taxa?
R: Através de uma relação de equivalência (em r.j.c.), isto é aplicando a fórmula:
(
)
1 m período da taxa ' 1 -1 com período da taxa ' i i i m i = + = VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadas Voltar ao exemplo 6.3:Converter a taxa anual nominal numa taxa de juro mensal, transformando a renda em inteira.
anual nominal 6%
mensal mensal mensal 0, 5%
12 12
i
i = ⇔i = ⇔i =
A renda do ex. tem a seguinte representação:
Período em meses Termos 0 1 2 3 … 11 12
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 87
VI – RENDAS
6.3 Rendas fraccionadas
Valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor da dívida da empresa após o pagamento dos 500 euros, ou seja:
(
)
12 12 0,5% 12 0,5% 4.000 4.000 4.500 500 1 1 0, 005 0, 005 344, 266 c a c c a c − − = × ⇔ = ⇔ = − + =A empresa ABC pagou o equipamento industrial do seguinte modo: 500 euros na data da compra e 344,266 euros mensalmente durante os próximos 12 meses.
VI – RENDAS
Exemplo 6.4
Considere que uma determinada entidade pretende acumular 6.000 euros numa conta bancária através de depósitos semestrais constantes, a efectuar durante 3 anos. Pressupondo regime de juro composto com capitalização de juros semestral e uma taxa de juro anual efectiva de 5,0625%, determine o valor de cada depósito, por forma a que imediatamente após ter efectuado o último depósito, a referida entidade possua na conta 6.000 euros.
6.4 Rendas fraccionadas
Atenção: a taxa de juro dada é anual e as prestações são semestrais. A renda é fraccionada.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 89
VI – RENDAS
6.3 Rendas fraccionadas
Converter a taxa anual efectiva numa taxa de juro semestral, transformando a renda em inteira.
A renda do ex. tem a seguinte representação:
Período em semestres Termos 0 1 2 … 6 c c c
(
)
(
)
1 2 1 2semestral
1
anual efectiva
1
semestral
1 0, 050625
1
semestral
2, 5%
i
i
i
i
= +
−
⇔
= +
− ⇔
=
VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadasValor da renda no momento “6”, corresponde a 6.000 euros:
A entidade terá na sua conta 6.000 euros, imediatamente após ter efectuado o último depósito, se efectuar semestralmente um depósito no valor de 939,30 euros.
(
)
6 6 2,5% 6 2,5%6.000
6.000
6.000
1 0, 025
1
0, 025
939, 30
c s
c
c
s
c
= ×
⇔ =
⇔ =
+
−
=
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 91
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
Exemplo 6.5
A empresa XPTO comprou um equipamento informático através do pagamento de 8 prestações trimestrais iguais a 220 euros cada, a primeira das quais logo no acto da compra, com juros contados a uma taxa de 2% ao trimestre.
a) Qual o valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo no momento da compra.
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
anteriores?
anteriores?
Pretende-se determinar o valor das prestações na data de vencimento da 1ª: trata-se de uma renda de termos renda de termos antecipados
antecipados (o vencimento dos termos ocorre no início de cada período).
termos período em trimestres
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
A renda do exemplo tem a seguinte representação:
220 220 220 …. 220
0 1 2 …. 7 8
O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”, isto é o valor da renda na data de vencimento do primeiro termo.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 93
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
Será que as fórmulas deduzidas anteriormente podem ser aplicadas para a resolução deste problema?
A fórmula do permite obter o valor de todos os termos da renda um período antes do vencimento do primeiro termo. No exemplo, pretende-se obter o valor dos termos na data de vencimento do primeiro term n a o. Então, vem:
(
)
8 2% 8 2%Valor da renda no momento "-1" 220
Valor da renda no momento "0"=220 1 0, 02
a a
= ×
× × +
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
(
)
8 8 2% 1 1 0, 02 220 (1, 02) 220 1, 02 1.643,84 0, 02 a − − + × × = × × =O valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo a pronto pagamento era de 1.643,84 euros.
Continuação do exemplo 6.5:
b) Considere agora que a empresa pretende pagar a totalidade do equipamento no fim do 8º trimestre. Qual o valor a pagar?
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 95
termos período em trimestres
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
Neste caso pretende-se determinar o valor da renda no momento “8”, ou seja um período após o vencimento do último termo. 220 220 220 …. 220 0 1 2 …. 7 8
(
)
8 2% 8 2%Valor da renda no momento "7": 220
Valor da renda no momento "8": 220 1 0, 02
s s
×
× × +
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
(
)
8 8 2% 1 0, 02 1 220 (1, 02) 220 1, 02 1.926, 02 0, 02 s + − × × = × × =Caso a empresa pretendesse pagar o equipamento informático no fim do 8º trimestre deveria entregar 1.926,02 euros.
Repare-se que:
(
)
8FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 97
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
1 1 1 1 termos
períodos VI – RENDAS
Em termos gerais, considere uma renda com n termos antecipados e unitários, imediata, temporária e inteira.
Para uma renda de termos antecipados, vem:
Início do primeiro período: t+1 (coincide com o vencimento do primeiro termo)
Início do último período: t+n Rendas de termos antecipados
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
O cálculo do valor actual da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda na data de vencimento do primeiro termo. No esquema apresentado, em t+1.
O símbolo utilizado é:
, onde
(
1
)
n n n
a
a
=
a
+
i
ɺɺ
ɺɺ
Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:
n n
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 99
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
O cálculo do valor acumulado da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda um período após o vencimento do último termo. No esquema apresentado, em t+n+1.
O símbolo utilizado é:
, onde
(
1
)
n n n
s
s
=
s
+
i
ɺɺ
ɺɺ
Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:
n n
S
ɺɺ
= ×
c s
ɺɺ
VI – RENDAS
Rendas diferidas
Exemplo 6.6
A empresa YYY comprou uma máquina através do pagamento de 24 prestações iguais e mensais de 300 euros cada a primeira das quais com vencimento daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de juro mensal de 1%, qual o valor da máquina?
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
anteriores?
anteriores?
Pretende-se determinar o valor das prestações, 6 meses antes da data de vencimento da primeira prestação. Trata-se de uma renda diferida.renda diferida.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 101 termos período em meses VI – RENDAS Rendas diferidas
A renda do exemplo tem a seguinte representação:
300 …. 300 300 0 … 5 6 …. 28 29
O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”. Como fazê-lo?
VI – RENDAS Rendas diferidas
Primeiro calculamos o valor da renda no momento “5”:
(
)
24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1% 1 1 0, 01 300 300 6.373, 016 0, 01 A a A A − − + = × ⇔ = × ⇔ =Então, o valor da renda no momento “0”, corresponde a:
(
)
56.373, 016
6.063, 706
1 0, 01
=
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 103
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
1 1 1 1 termos
períodos VI – RENDAS
Em termos gerais, como calcular o valor actual duma renda diferida:
Ao contrário das rendas imediatas, designam-se por rendas diferidas, as rendas para as quais se determina o valor actual numa data anterior ao início do primeiro período da renda. Tal significa, de acordo com o esquema seguinte, que o valor actual é calculado para uma data anterior a t.
Rendas diferidas
VI – RENDAS Rendas diferidas
Assim, o valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor actual duma renda temporária, inteira, diferida de t períodos, com n termos normais e unitários.
O símbolo utilizado é:
(
)
1
, onde
1
ta
n ta
n ta
ni
=
+
Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 105
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
termos
períodos VI – RENDAS
Rendas temporárias de termos constantes
c c c c
(
1)
t n c a× × +i − n c a× c a× n × +(
1 i)
n c s× c s× n × +(
1 i)
n tA
A
nA
nɺɺ
nS
nSɺɺ
Em esquema, o valor de uma renda temporária de termos constantes, para diferentes datas:VI – RENDAS
Rendas perpétuas
Exemplo 6.7
Um filantropo pretende criar um prémio anual perpétuo, no valor de 4.000 euros, destinado ao melhor aluno de uma universidade. Qual o montante que o filantropo deve disponibilizar hoje por forma a atingir esse objectivo, considerando que o capital rende juros com base numa taxa de juro anual de 5%, com capitalização de juros anual.
a) Considere que o prémio anual deverá começar a ser atribuído de hoje a uma ano.
Trata-se de uma renda perpétua ( renda com número ilimitado renda perpétua