A B C

Cursos: Contabilidade

Departamento de Matemática

Escola Superior de Tecnologia e de Gestão Instituto Politécnico de Bragança

Ficha Prática 8: Capítulo 4 – Matrizes e Sistemas de equações Lineares

ESTG/IPB Departamento de Matemática 2013/14 Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar

8

Matrizes, linhas, colunas, elementos, submatriz. Adição de Matrizes, Multiplicação de uma Matriz por um Escalar

1. Considerar a matriz

2

1

1 1

4

2

1

4

5

4

2

5

0

2 3

2

4

0

[

]

0

6 7

9

4

8 9

3

1 2

5

1

6

2

7

2

1

5



_





















_{ }

_





















ij

A

a

. Escrever o seguinte: a. As linhas 3 e 5. b. As colunas 1 e 4. c. Os elementos a ,₆₃ a ,₄₃ a ,₂₂ a₅₅ .

d. A submatriz de A formada pelas linhas 2, 3, 4 e pelas colunas 2 e 3. e. Uma submatriz de A do tipo 3 x 3.

2. Resolver as operações seguintes. a. A – 2B. b. 4(B – C) + 5A. c. 2(3A + C).

1

2

3

1

1

11

A

B

C

3

1 7

5

0

8

10

















_

_



_

_



_

_





















.

ESTG/IPB Departamento de Matemática 2013/14 Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar Multiplicação de Matrizes. Matriz Transposta

3. Considerar a igualdade, C 1 0 1 5 0 1 0 4 0 8 4 5 / 3 1 12 12 5 / 2 7 2 6 5 / 1 1 8 0 0 8 2 6 25 1 77 1 3 10 / 9 4 2 / 1 7 8 6 3 2                                  .

a. Qual o tipo da matriz C?

b. Escrever os elementos c11, c43, c31.

c. Escrever a linha 3 de C. Escreva a coluna 3 de C.

4. Efectuar as operações seguintes.

a. AB b. (2A)(5C). c. A2 d. (AC)2 e. EF f. FE





2 3 1 1 2 1 3 A B C 1 7 5 0 4 0 1 5 2 E 1 2 3 4 F 6 8          _{ }  _{ }  _{ }           _            . 5. Escrever c1, c2, c3.































































3 2 1 33 23 31 23 22 21 13 12 11

c

c

c

z

y

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

.

6. Utilizar as matrizes A, B e C para mostrar que a igualdade ABACnão implica

ESTG/IPB Departamento de Matemática 2013/14 Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar (i.e., na álgebra de matrizes não é válida a lei do corte para o produto)

1 1

2

3

1 0

A

B

C

2 2

3

4

0

1

















_

_



_

_



_

_



















Sistemas de Equações Lineares

7. Caracterizar o tipo de soluções dos sistemas lineares cujas matrizes aumentadas podem ser reduzidas por linhas às matrizes indicadas.

a. 1 1 2 | 3 0 1 4 | 2        b. 1 2 3 | 3 0 1 2 | 1 0 0 2 | 4            c. 1 1 0 3 0 | 4 0 0 1 1 0 | 0 0 0 0 0 1 | 2 0 0 0 0 0 | 0     _           d. 1 2 3 | 3 0 1 2 | 1 0 0 2 | 4    _       

8. Utilizar o método de Gauss-Jordan para encontrar as soluções gerais dos sistemas.

a.          8 x 2 x 3 3 x 5 x 4 2 1 2 1 b.                  4 x 7 x x 3 x 9 0 x 3 x x x 2 8 x x 2 x 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1

9. Considerar o sistema completo (b 0), Ax = b.

a. Considerar o sistema homogéneo associado, Ax = 0. Mostrar que se W1 e W2

são duas soluções particulares deste sistema, então qualquer combinação linear na forma r1W1 + r2W2, sendo r1 e r2 dois escalares quaisquer, é também uma

solução particular do sistema. Estender este resultado a combinações lineares com um número qualquer de parcelas do tipo rnWn, sendo rn um escalar

qualquer e Wn uma solução particular qualquer do sistema homogéneo.

b. Seja Xp uma solução particular concreta qualquer do sistema completo, Ax =

b, (b 0). Mostrar que toda e qualquer solução do sistema completo pode ser escrita na forma

ESTG/IPB Departamento de Matemática 2013/14 Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar sendo Xh uma solução particular do sistema homogéneo associado.

10. Escrever, se for possível, os seguintes sistemas lineares.

a. Sistema impossível com quatro equações a duas incógnitas.

b. Sistema possível e determinado com duas equações a quatro incógnitas. c. Sistema possível e indeterminado com duas equações a quatro incógnitas. d. Sistema impossível com duas equações a quatro incógnitas.

e. Sistema possível e determinado com quatro equações a duas incógnitas.

11. Estudar o sistema seguinte, sendo  um parâmetro real (ou seja, averiguar qual o tipo de soluções do sistema em função dos valores do parâmetro  ).

1 2 3 1 2 3 2 1 2 3

x

x

x

1

x

x

x

x

x

x

 









 



 







 

 



.

12. Resolver os seguintes sistemas.

a.

x

y

z

a

x

(1 a)y

z

2a

x

y

(1 a)z

0





















   





b.

x

4z

2t

3

x

y

2z

t

1

4x

y

2z

1

x

y

z

t

0











_

_

_{ }













    



c.

x

4y

2z

1

2x

3y

z

13

33x

77 y

41z

88





















_

_

_



Matriz Inversa

13. Determinar as matrizes inversas (se existirem). Verificar os resultados obtidos. (a é uma constante real)

ESTG/IPB Departamento de Matemática 2013/14 Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar 1. 1 1 0 1       2. 3 6 4 8       3. 1 0 1 0 1 1 0 0 1            4. 2 1 4 3 2 5 0 1 1            5. 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5    _               