ISCTE Licenciatura de Finanças Investimentos Frequência Resolução 24/06/2004 Duração: 3h

(1)

ISCTE – Licenciatura de Finanças

Investimentos 2003-2004 – Frequência

Resolução

24/06/2004

Duração: 3h

CASO 1

1. Comente a seguinte afirmação e classifique-a como sendo verdadeira ou falsa: “Uma carteira completamente diversificada pode ser representada simultaneamente sobre a capital market line e sobre a security market line”.

A carteira está sobre a CML sse:

( )

_p

M f M f p r r E r r E σ σ − + = .

A carteira está sobre a SML sse: E

( )

r_p =r_f +

[

E

( )

r_M −r_f

]

β_p.

Para que as duas igualdades anteriores sejam válidas em simultâneo é necessário que:

M p p p M p σ β = σ ⇔ β = σ σ .

Ora, tal acontece precisamente para uma carteira completamente diversificada e, portanto, a afirmação é verdadeira.

2. Comente a seguinte afirmação e classifique-a como sendo verdadeira ou falsa: “O modelo de Gordon não é adequado para avaliar acções de empresas com taxas de crescimentos dos resultados muito elevadas”.

Afirmação verdadeira. Para que o modelo de Gordon possa ser aplicado é necessário que g<r, ou seja, é imposto um tecto máximo à taxa de crescimentos dividendos e, portanto, dos resultados.

3. Admita ir receber, daqui a 2 anos, EUR100,000 vezes a seguinte taxa de juro: 1% mais a Euribor a 6 meses em vigor daqui a 1.5 anos. Defina a fórmula de cálculo do valor actual de tal remuneração.

Payoff daqui a 2 anos =

[

(

)

]

(

)

2 y 5 . 1 E 000 , 200 EUR 000 , 1 EUR % 1 y 5 . 1 E 000 , 100 EUR 6M M 6 + = + × × .

(2)

Portanto, o valor actual de tal payoff é dado por: EUR1,000×P

( )

0,2 +EUR200,000×

[

P

(

0,1.5

) ( )

−P 0,2

]

, onde P(0,t) designa o factor de desconto (interbancário) a “t” anos.

4. Demonstre que a convexidade de uma carteira de obrigações é igual à média ponderada das convexidades associadas às obrigações componentes.

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

c 0 j 0 p 1 j j c 0 j 0 p 1 j 0j k _k t j k k k p 1 j c₀ k _k t j k k k c 0 k _k t p 1 j j k k k c 0 k _k t c k k k c B B C B B B t , 0 r 1 CF t 1 t B t , 0 r 1 CF t 1 t B t , 0 r 1 CF t 1 t B t , 0 r 1 CF t 1 t C k k k k × = × + × + × = + × + × = + × + × = + × + × =

∑

= = = = CASO 2 a)

Settlement date = 24/06/04 + 5 dias de calendário = 29/06/04.

Settl. Date 278 dias (ACT)

25-09-05 25/9/2003

Last coupon date

=1.258 anos 108.00% B0 = ? 6.00% 29-06-04 6.00% 25-09-04 25-09-06 =2.272 anos 0.244+365/360 365 dias (ACT) 88/360 = 0.244 anos 0

Next coupon date Data de vencimento

365 dias (ACT)

1.258+365/360 366-278 dias

(3)

(

)

[

]

[

(

)

]

[

1 r

(

0,2.272

)

]

. % 108 258 . 1 , 0 r 1 % 6 244 . 0 , 0 r 1 % 6 B₀ ₀_.₂₄₄ ₁_.₂₅₈ ₂_.₂₇₂ + + + + + =

As taxa spot, sem risco, podem ser obtidas via extrapolação e interpolação linear:

(

)

(

)

1.872%; 1 2 1 244 . 0 % 25 . 2 % 75 . 2 % 25 . 2 244 . 0 , 0 r ≅ − − × − + ≈

(

)

(

)

2.379%; 1 2 1 258 . 1 % 25 . 2 % 75 . 2 % 25 . 2 258 . 1 , 0 r ≅ − − × − + ≈ e

(

)

(

)

2.954%. 2 3 2 272 . 2 % 75 . 2 % 5 . 3 % 75 . 2 272 . 2 , 0 r ≅ − − × − + ≈ Então:

[

]

[

]

[

1 2.954%

]

112.89%. % 108 % 379 . 2 1 % 6 % 872 . 1 1 % 6 B₀ ₀_.₂₄₄ ₁_.₂₅₈ ₂_.₂₇₂ ≅ + + + + + = b)

[

+

]

+

[

+

]

+

[

+

]

≅ < ⇒ = ₀_.₂₄₄ ₁_.₂₅₈ ₂_.₂₇₂ ₀ ask 0 112.84% B % 95 . 2 1 % 108 % 95 . 2 1 % 6 % 95 . 2 1 % 6 VT Comprar. c) %. 57 . 4 365 278 % 6 AI= × ≅ %. 97 . 112 % 57 . 4 % 40 . 108 VTask 0 = + =

Admitindo que as futuras taxas spot irão ser iguais às actuais taxas forward,

6.00% 6.00% 108.00% B25/09/04 =6%/[1+f(0,0.244,1.258)]1.014+108%/[1+f(0,0.244,2.272)]2.028 25-09-05 25-09-06 Data de vencimento 2.272 anos 25-09-04 1.258 anos Next coupon date

0.244 anos Settl. Date

0 -112.97%

(4)

Taxas de juro forward:

(

1+2.379%

)

1.258 =

(

1+1.872%

)

0.244×

[

1+ f

(

0,0.244,1.258

)

]

1.014 ⇒ f

(

0,0.244,1.258

)

≅2.501%.

(

1+2.954%

)

2.272 =

(

1+1.872%

)

0.244×

[

1+ f

(

0,0.244,2.272

)

]

2.028 ⇒ f

(

0,0.244,2.272

)

≅3.085%. Portanto, TRR:

(

)

(

)

(

1 3.085%

)

1.56%. % 108 % 501 . 2 1 % 6 % 6 1 % 97 . 112 0.244 ₁_.₀₁₄ ₂_.₀₂₈ _⇒ _≅ + + + + = + × TRR TRR d) OT

[

]

[

]

[

]

₂_.₁₁_. % 89 . 112 % 954 . 2 1 % 108 272 . 2 % 379 . 2 1 % 6 258 . 1 % 872 . 1 1 % 6 244 . 0 ₀_.₂₄₄ ₁_.₂₅₈ ₂_.₂₇₂ ≅ + × + + × + + × = OT DFW OCA

(

)

[

1 2.379%

]

105.09%. 2 % 4 1 % 100 258 . 1 2 2 0 ≅ + + × = × OCA B . 258 . 1 = OCA DFW Carteira 700 , 308 , 3 % 09 . 105 1 % 89 . 112 2

0 EUR M EUR M EUR

BC ₌ _× ₊ _× _≅ 84 . 1 700 , 308 , 3 % 09 . 105 1 258 . 1 700 , 308 , 3 % 89 . 112 2 11 . 2 × × + × × ≅ = EUR M EUR EUR M EUR DFW_C anos. %. 244 . 0 % 25 . 2 1 % 25 . 0 _≅ + = λ Portanto, %. 449 . 0 % 244 . 0 84 . 1 % ₀ ≈− × ≅ ∆ _Bc e)

(5)

Last coupon date Settl. Date Next coupon date 0.244+(365-184)/360 Data de vencimento 100% + [E6M(25/03/05)+0.75%]/2 25-03-04 29-06-04 25-09-04 25-03-05 [E6M(25/09/04)+0.75%]/2 25-09-05 B0 = ? 2.95%x180/360

0 0.244 anos =0.747 anos 1.258 anos

184 dias (ACT)

Tal é equivalente a considerar a seguinte decomposição de cash flows futuros:

(0.75%-0.7%)/2 100% =0.747 anos (0.75%-0.7%)/2 100% + 0.244 anos 1.258 anos

Settl. Date Next coupon date Data de vencimento

0

29-06-04 25-09-04 25-03-05 25-09-05

B0 = ? 2.95%/2 [E6M(25/09/04)+0.7%]/2 [E6M(25/03/05)+0.7%]/2

Credit spread BBB – Mercado monetário = 0.80% - 0.10% = 0.70%.

(

)

(

)

2.124%. 1 2 1 747 . 0 % 25 . 2 % 75 . 2 % 25 . 2 747 . 0 , 0 ≅ − − × − + ≈ r Portanto,

(

)

(

)

(

)

%. 75 . 100 % 80 . 0 % 379 . 2 1 2 % 70 . 0 % 75 . 0 % 80 . 0 % 124 . 2 1 2 % 70 . 0 % 75 . 0 % 80 . 0 % 872 . 1 1 2 % 95 . 2 % 100 258 . 1 747 . 0 244 . 0 0 = + + − + + + − + + + + = B

(6)

CASO 3 a)

( )

r_p =7.6%×0.6+14%×0.25+10.8%×0.15≅9.68%. E

( ) ( ) (

) (

)

032873 . 0 8 . 0 23 . 0 27 . 0 15 . 0 25 . 0 2 5 . 0 23 . 0 2 . 0 15 . 0 6 . 0 2 3 . 0 27 . 0 2 . 0 25 . 0 6 . 0 2 23 . 0 15 . 0 27 . 0 25 . 0 2 . 0 6 . 0 2 2 2 2 2 2 2 ≅ × × × × × + × × × × × + × × × × × + × + × + × = p σ %. 131 . 18 ≅ ⇒σ_p ? = f r

Visto que as taxas de rentabilidade esperadas foram obtidas via equação da SML e usando, por exemplo, as componentes EUR e USD:

( )

[

]

( )

[

]

[

( )

]

⇔_ _≅−       × − + = − = − ⇔    × − + = × − + = % 2 5 . 1 7 . 0 % 6 . 7 % 14 7 . 0 % 6 . 7 5 . 1 % 14 7 . 0 % 6 . 7 f f f f f M f M f f M f r r r r r r E r r E r r r E r

( )

. 424 . 0 % 131 . 18 % 2 % 68 . 9 ≅ − = − = p f p p r r E IS σ b) ( )_r p2 =18.1091

( )

p 2 −3.3978

( )

p +0.1921 E E r E r MIN p σ Condição de 1ª ordem

( )

0 2 18.1091

( )

3.3978 0

( )

9.381%. 2 ≅ ⇔ = − × ⇔ = _p _mvp p p r E r E r dE dσ c)

Visto que a carteira em análise para o Fundo EVN não integra o “activo sem risco”, a actual composição só é eficiente se estiver localizada sobre a fronteira eficiente de Markowitz.

(7)

1ª condição:

( )

r_p =9.68%>E

( )

r_mvp ≅9.381%. E Condição verificada. 2ª condição:

(

)

03288 . 0 032873 . 0 1921 . 0 % 68 . 9 3978 . 3 % 68 . 9 1091 . 18 032873 . 0 2 = ⇔ + × − × =

Proposição verdadeira (até à 4ª casa decimal). Trata-se, portanto, de uma carteira eficiente. d) ( )_r , 2 p

( )

p 4 p2 E U E r MAX p p σ σ = − Sujeito a

( )

3.3978

( )

0.1921 1091 . 18 2 2 ₌ ₋ ₊ p p p E r E r σ e (E

( ) ( )

r_p >E r_mvp )

Tal é equivalente a resolver o seguinte problema de optimização sem restrições:

( )

4

[

18.1091

( )

3.3978

( )

0.1921

]

2 2 2 , , 2 = p − p + p − p + p − r EMAXp p L E r E r E r σ λ σ λ σ Condições de 1ª ordem:

[ ]

1 0 4. 4 0 2 = ⇔− + = ⇔ = ∂ ∂ _λ _λ σ_p L

( )

[

( )

]

( )

10.072% 9.381%. 0 3978 . 3 4 1091 . 18 2 4 1 0 3978 . 3 1091 . 18 2 1 0 4 > ≅ ⇔ = × + × × − ⇒ = + × − + ⇔ = ∂ ∂ = p p p p r E r E r E r E L λ λ

( )

( ) 18.1091

(

10.072%

)

3.3978 10.072% 0.1921 18.325%. 0 1921 . 0 3978 . 3 1091 . 18 0 2 2 % 072 . 10 2 2 ≅ ⇔ + × − × = ⇒ = − + − ⇔ = ∂ ∂ ≅ p p r E p p p p r E r E L σ σ σ λ

(8)

. 96 . 0 15 . 0 1 . 1 25 . 0 5 . 1 6 . 0 7 . 0 × + × + × ≅ = p β

(

18.131%

) (

2 = 0.96×18%

)

2 + 2 ⇒ ≅5.49%≠0⇒ ε ε σ

σ Carteira não completamente diversificada uma vez

que possui risco especifico.

CASO 4 a)

Pretende-se avaliar uma acção com os seguintes dividendos esperados:

... 0 ... 5 r = 11.2% EUR0.3x1.053 4

EUR0.2 EUR0.3 EUR0.3x1.05 EUR0.3x1.052

1 2 3

r = 9.45% r = 10.452% r = 12.216% r = 12.715%

Cálculo das taxas de actualização: Ano 1

( )

0,1 =2.25%+8%×0.9=9.45%. r Ano 2

( ) (

)

1 3.252%. % 25 . 2 1 % 75 . 2 1 2 , 1 2 ≅ − + + = f r

( )

1,2 =3.252%+8%×0.9=10.452%. r Ano 3

( ) (

₍

)

₎

1 5.016%. % 75 . 2 1 % 5 . 3 1 3 , 2 ₂ 3 ≅ − + + = f r

( )

2,3 =5.016%+8%×0.9=12.216%. r Ano 4

( ) (

= 1+4%

)

4 − ≅

(9)

( )

3,4 =5.515%+8%×0.9=12.715%. r Ano 5 e seguintes = 4% + 8% x 0.9 = 11.2%.

(

)(

) (

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

. 54 . 4 % 715 . 12 1 % 216 . 12 1 % 452 . 10 1 % 45 . 9 1 % 5 % 2 . 11 05 . 1 3 . 0 % 715 . 12 1 % 216 . 12 1 % 452 . 10 1 % 45 . 9 1 05 . 1 3 . 0 % 216 . 12 1 % 452 . 10 1 % 45 . 9 1 05 . 1 3 . 0 % 452 . 10 1 % 45 . 9 1 3 . 0 % 45 . 9 1 2 . 0 3 2 0 EUR P ≅ + + + + − × + + + + + × + + + + × + + + + + = b)

Cotação bid = EUR4.57 > EUR4.54 ⇒ Vender. Cotação ask = EUR4.60 > EUR4.54 ⇒ Não comprar. c) %. 143 . 23 18 . 0 7 . 0 9 . 0 2 , _⇒ ₌ × _⇔ _≅ = S _S M M S M S S σ σ σ ρ σ σ β