Key words: spatial model coefficients; direct effects; indirect effects.

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Texto

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How to interpret the coefficients of spatial models

André Braz Golgher1

Abstract

This paper is part of a series that discusses introductory concepts of spatial econometrics2. The texts were written in Portuguese and intend to present this field of study to students at upper undergraduate to graduate levels in Economy and in Regional Sciences. This second paper of the series addresses the question of how to interpret the coefficients of spatial models, such as: the spatial error model, the spatial lag model, the Kelejian-Prucha model, the spatial Durbin error model and the spatial Durbin model. In many empirical studies, the spatial models’ coefficients were interpreted as partial derivatives, what might be correct in some, but not in all cases. In order to address these differences, I discuss each model separately, when I present topics such as partial derivatives, approximations, direct, indirect and total effects, and different orders of interactions. So as to give a broader perspective of the applicability of these concepts, I include a brief discussion of empirical applications that addressed these topics. Finally, I show some simulations using Matlab, when I compare the different types of spatial models regarding direct, indirect and total effects. Lastly, I present approximations concerning spillovers among regions.

Key words: spatial model coefficients; direct effects; indirect effects.

1

Associate Professor at the Economics Department at the Cedeplar/FACE/UFMG, visiting scholar at the Regional Research Institute (RRI) at the West Virginia University (WVU) and visiting scholar at the Carolina Population Center (CPC) at the University of North Carolina (UNC) in Chapel Hill.

2 A large part of the references selected for these texts comes from the readings assigned by professor Donald Lacombe in his course ARE 693L Spatial Econometrics (spring 2012) at the WVU (http://community.wvu.edu/~djl041/teaching.html).

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2

Interpretando os coeficientes dos modelos espaciais

André Braz Golgher3

Resumo

Esse texto faz parte de uma série que apresenta a econometria espacial em pontos introdutórios. Neste segundo texto da série se aborda a questão de como interpretar os coeficientes de alguns dos modelos espaciais como: o modelo de erro espacial, o modelo de lag espacial, o modelo de Kelejian-Prucha, o modelo de erro espacial de Durbin e o modelo espacial de Durbin. Em muitos trabalhos empíricos que utilizam modelos espaciais, os coeficientes são analisados como se fossem similares às derivadas parciais. Como veremos, os coeficientes de alguns modelos espaciais podem ser interpretados dessa forma, enquanto para outros, isso não ocorre. Cada um dos modelos foi discutido em separado, onde foram apresentados conceitos como a estimação das derivadas parciais, aproximações, efeitos diretos, indiretos e totais, e ordem da interação. Em seguida, apresentam-se algumas aplicações empíricas que discutiram esses conceitos e foram feitas simulações no Matlab aplicando diretamente os conceitos discutidos. Procurou, assim, mostrar as diferenças entre os diversos modelos quanto aos impactos diretos e indiretos em uma discussão conjunta, incluindo impactos que seriam verificados devido a choques exógenos em áreas centrais e periféricas, onde se observou como que spillovers se espalham pelas diversas áreas.

Palavras chave: coeficientes dos modelos espaciais; efeitos diretos; efeitos indiretos.

3 Professor do Cedeplar/FACE/UFMG, pesquisador visitante do Regional Research Institute (RRI) da West Virginia University (WVU) e pesquisador visitante do Carolina Population Center (CPC) na University of North Carolina (UNC) em Chapel Hill.

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3

1 - Introdução

Esse texto faz parte de uma série que apresenta a econometria espacial em pontos introdutórios4. No texto anterior, “Introdução à Econometria Espacial”, foram discutidos alguns conceitos introdutórios sobre a econometria espacial, onde foram apresentados alguns dos modelos espaciais, incluindo motivações para o uso desses modelos.

Neste segundo texto da série abordamos a questão de como interpretar os coeficientes dos modelos discutidos neste primeiro texto, tema discutido em maiores detalhes em Elhorst (2010) e LeSage e Pace (2009). Segundo LeSage e Dominguez (2012) são muitos os exemplos de aplicação empírica dos modelos espaciais em que as estimativas são erradamente interpretadas. Muitos autores analisam os coeficientes de um modelo espacial como se eles pudessem ser considerados como similares a derivadas parciais, como é o caso quando se utiliza o MQO. Como veremos, os coeficientes de alguns modelos espaciais podem ser interpretados dessa forma, enquanto para os modelos com dependência espacial isso não ocorre. Por exemplo, no MQO, assumem-se que as observações são independentes uma das outras e, assim, mudanças no valor de uma variável independente de uma observação específica implica em mudanças apenas na variável dependente da própria observação. Isso não é verificado quando temos dependência espacial entre as observações, pois uma mudança no valor de uma variável exógena de dada uma observação implica tanto em efeitos nas demais observações como em uma realimentação na própria observação. A diversidade de modelos espaciais, cada qual com uma interpretação específica a respeito dos coeficientes, e a dificuldade inerente de como interpreta-los justifica a inclusão dessa discussão neste 2º texto da série.

A figura 1, similar a apresentada em Elhorst (2010), mostra a relação entre os modelos espaciais que serão abordados aqui. Iniciamos a discussão com o modelo 1 – MQO, o único não espacial. Esse modelo é o mais simples dentre todos, e serve de padrão de comparação para os modelos espaciais. Em seguida, discutimos o 2 - modelo de erro espacial (SEM), onde os erros da regressão são espacialmente correlacionados. Como veremos, a interpretação dos coeficientes do modelo também é relativamente simples e é, em muitos aspectos, similar ao MQO. Depois apresentamos o 3 - Modelo de lag espacial (SAR). Nesse terceiro modelo, a variável dependente

4 Grande parte do material citado aqui foi selecionado da ementa do curso ARE 693L Spatial Econometrics (spring 2012) (http://community.wvu.edu/~djl041/teaching.html) ministrado por Donald Lacombe do RRI da WVU..

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4 é parcialmente determinada pelos valores dessa mesma variável dos vizinhos. Isso torna a interpretação dos coeficientes um pouco mais complicada, pois temos a interdependência endógena entre as observações. Existem diferentes conceitos de como interpretar os coeficientes de modelos espaciais e alguns destes serão apresentados tendo esse modelo como exemplo. Nestes dois últimos modelos, de erro espacial e de lag espacial, temos um único termo com correlação espacial.

Depois discutimos os três modelos que incorporam dois termos com correlação espacial: o 4 - modelo de Kelejian-Prucha (SAC); o 5- modelo de erro espacial de Durbin (SDEM); e o 6 - modelo espacial de Durbin (SDM). Essa ordem foi estabelecida para a apresentação desses modelos devido a similaridade entre os modelos de lag espacial e de Kelejian-Prucha, e também devido a dificuldade de interpretação dos coeficientes obtidos, onde o modelo espacial de Durbin incorpora características dos modelos de lag espacial e de erro espacial de Durbin.

O último modelo da figura é o 7 - modelo de Manski, que incorpora todos os termos dos demais modelos: a interação endógena dos efeitos da variável dependente, a interação exógena das variáveis independentes e a correlação dos efeitos dos erros aleatórios de diferentes unidades espaciais. Segundo Elhorst (2010) não existem problemas técnicos para se estimar os parâmetros do modelo, mas esses não podem ser interpretados de forma relevante, pois efeitos endógenos e exógenos não podem ser distinguidos (Manski, 1993). Para que os diferentes coeficientes sejam mais bem identificados, deve-se incluir alguma restrição nos valores dos coeficientes, ou seja, devemos nos ater aos modelos citados anteriormente. Assim, este último modelo não é discutido no restante do texto.

Esse texto foi dividido em nove seções além dessa introdução. As seis primeiras discutem em separado cada um dos modelos citados. A oitava seção apresenta algumas aplicações empíricas de diferentes autores e temas que discutiram os conceitos abordados aqui. Na nona é apresentada uma simulação ilustrativa utilizando o Matlab, que compara os diversos modelos. A última seção conclui o texto.

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5 Figura 1 – Modelos espaciais

De 1 para 2: inclusão do termo WY De 1 para 3: inclusão do termo Wu

De 2 para 5:

De 2 para 4: inclusão do termo WX

De 3 para 4: inclusão do termo WY inclusão do termo Wu De 3 para 6: inclusão do termo WX De 5 para 7: inclusão do termo WY De 4 para 7: inclusão do termo WX De 6 para 7: inclusão do termo Wu 1 - MQO

2 – Modelo de erro espacial (SEM) 3 – Modelo de lag espacial (SAR)

4 - Modelo de Kelejian-Prucha (SAC)

5 - Modelo erro espacial de Durbin (SDEM)

6 - Modelo espacial de Durbin (SDM)

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6

2 - MQO

A discussão se inicia pelo modelo mais simples, o MQO, que servirá de padrão de comparação para os modelos de erro espacial e de lag espacial. A discussão de todos os modelos se inicia com a equação dos mesmos e segue o mesmo procedimento, incluindo a obtenção das derivadas parciais de cada um dos modelos.

Para o modelo MQO temos a seguinte expressão: (1) Y inX , ~ (0, ). 2 n I N  

Em seguida obtemos o valor esperado de Y dado X exógeno a partir dessa equação: . ] [ ] [Y X Ei X  Xi XEn   n

Depois, calculamos as derivadas parciais da equação (1) com relação a uma variável explicativa especifica. Para facilitar o raciocínio de obtenção das derivadas parciais, escrevemos um modelo com 3 observações e 2 variáveis explicativas:

. 1 ... 1 3 2 1 2 1 32 31 22 21 12 11 3 2 1                                                        x x x x x x y y y

Derivando essa expressão com relação a uma das variáveis explicativas, a primeira, por exemplo,

1 i x , temos: . 0 0 0 0 0 0 1 1 1 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1                                                   x y x y x y x y x y x y x y x y x y

Generalizando para um problema com n observações e k variáveis explicativas, temos as derivadas com relação uma variável qualquer j:

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7 . 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 1 ... 0 ... ... ... 0 ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 I x y x y x y x y j j j j nj n j n nj j                                                 

As derivadas parciais para uma variável específica têm como valor o parâmetro estimado na regressão. Elas representam para a observação especifica a variação da variável dependente com relação a variações de uma variável independente particular. Como os termos fora da diagonal principal da matriz identidade são zero, não existe dependência espacial entre as observações: quando o valor de uma variável independente de uma determinada observação varia, as variações na variável dependente das demais são nulas. Na diagonal principal, temos os valores j , indicando que variações na variável independente j implicam em variações desta magnitude na variável dependente da própria região.

Por exemplo, de forma ilustrativa, tome o problema com três observações, que aqui serão regiões, e duas variáveis explicativas. Assuma que a variável dependente é renda per capita, que a primeira variável explicativa é nível médio regional de capital humano, e que a segunda é um indicador de qualidade local de infraestrutura. Definimos os coeficientes como1= 2 e 2 3. Obtemos assim a matriz com as derivadas parciais com relação ao nível médio regional de capital humano: . 2 0 0 0 2 0 0 0 2 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1                                                x y x y x y x y x y x y x y x y x y

Para entender melhor o que isso significa, variamos o nível de capital humano na região 3 em um pequeno acréscimo de dez unidades, enquanto todo o resto continua constante, e verificamos de forma aproximada o que acontece com a renda per capita das três regiões. Vejamos.

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8                                                                      20 0 0 10 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 31 21 11 3 2 1 x x x y y y MQO

Apenas a terceira região sofre qualquer influência desse acréscimo, com um aumento de 20 em sua renda per capita. Ou seja, mudanças nas variáveis independentes de uma dada região têm impacto apenas na própria. A interpretação dos coeficientes e derivadas parciais é direta:

k ik i x y   , e 0  ik j x y para ij.

Uma vez discutido o MQO, vejamos o que acontece nos modelos espaciais, primeiramente com o 2 - modelo de erro espacial.

3 - Modelo de erro espacial

O modelo de erro espacial (SEM) é discutido em seguida, pois além de ser o mais simples dentre os modelos espaciais discutidos aqui, apresenta muitas similaridades com o modelo MQO. O modelo de erro espacial tem a seguinte equação, onde o erro estocástico apresenta correlação espacial: , u X i Y n    ,     Wu u  ~N(0,2In)

Manipulando essas equações obtemos o processo de geração de dados (DGP) do modelo:      ()1  i X I W Y n

A partir dessa expressão obtemos as estimativas de Y do modelo. Como veremos, modelos diferentes têm, em geral, DGP distintos. Seguindo os mesmos passos realizados para o MQO, obtemos o valor esperado da expressão acima:

i X

Y

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9 Note que esse valor é exatamente igual ao valor esperado para um modelo MQO. Ou seja, se o DGP for realmente essa representada pelo modelo de erro espacial e a análise for feita com modelos MQO, ou seja, não incorporarem correlações espaciais nos erros, a estimativa será não enviesada. Inferências com o modelo MQO para amostras pequenas podem ser mal especificadas, porque os desvios-padrões diferem: os desvios-padrões dos modelos de MQO, quando comparados com o modelo de erro espacial, apresentam um viés de serem subestimados quando a correlação espacial é positiva (Lacombe e Shaughnessy, 2007). Existe, assim, uma perda de eficiência na estimação. Entretanto, em estudos com amostras grandes, o problema é minimizado, e os dois modelos devem estimar parâmetros idênticos.

Calculamos as derivadas parciais do DGP do modelo e temos a mesma relação observada para o modelo MQO: . ... 0 ... ... ... 0 ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1                                  j j nj n j n nj j x y x y x y x y  

Note que podemos expressar a relação entre o MQO e o modelo de erro espacial da seguinte forma: u X i yn    , ) (  FW u

u onde F(W) é uma função qualquer da matriz de peso W.

Em pares de modelos que poder ser diferenciados apenas pela função F(W)0, os valores esperados E[Y] são iguais entre eles, e a interpretação dos parâmetros também é a mesma. Essa mesma relação será observada em outros pares de modelos, como veremos.

4 - Modelo de lag espacial

O próximo modelo a ser discutido e o de lag espacial (SAR). Assim como no modelo de erro espacial, ele contém apenas um termo com correlação espacial, que é o de dependência espacial

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10 da variável dependente. Entretanto, as consequências da inclusão desse termo são muito diferentes. Esse modelo tem como equação:

 

i WY

YnX ,  ~ N(0,2In).

Manipulando essa equação obtemos o DGP do modelo:

) (

)

(IW Y  inX

(3) Y (I W)1(inX )

A expressão tem como valor esperado:

) ( ) ( )] [( ) ( )] ( ) [( ] [Y E IW 1 i X  IW 1Ei X  IW 1i XE    n     n     n

Note que esse valor é diferente do observado para os modelos MQO e de erro espacial, pois temos a matriz (IW)1multiplicando a expressão (inX).

Para facilitar o entendimento sobre as consequências da inclusão dessa matriz, escrevemos a equação (3) com três observações e duas variáveis explicativas:

                                                                                           3 2 1 2 1 32 31 22 21 12 11 1 32 31 23 21 13 12 3 2 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1        x x x x x x w w w w w w y y y

As consequências da matriz (IW)1 dependem da matriz de peso escolhida. Definimos uma de forma fictícia a partir da figura 2. A matriz de peso é definida como peso 1 se as regiões são contiguas e zero caso contrário.

Figura 2 – Regiões fictícias

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11 Obtemos assim a matriz de contiguidade, que foi posteriormente normalizada:

           0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 W .

Em seguida, obtemos a matriz a ser invertida e a invertemos:

                1 0 2 1 2 0 1     W I                           2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 1          W I

Se 0, não temos correlação espacial, e ficamos com a seguinte matriz:

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 ) ) 0 ( (I W 1 I                              

Ou seja, obtemos o modelo MQO.

A titulo de ilustração, se 2 1 

 , ficamos com a seguinte matriz:

. 6 7 3 2 6 1 3 1 3 4 3 1 6 1 3 2 6 7 8 7 2 1 8 1 4 1 1 4 1 8 1 2 1 8 7 3 4 8 1 1 2 1 8 1 4 1 1 4 1 8 1 2 1 8 1 1 4 1 1 1 ) 2 1 ( 1                                                                               W I

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12                             6 1 3 2 6 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 2 6 1 ) ) 0 ( ( ) 2 1 (I W 1 I W 1 .

Note que essa diferença observada entre as matrizes é devido aos spillovers. Como vimos no texto anterior:

... ) ( )

(IW 1 IW W 2

Assim, essa matriz acima decorre da seguinte relação: ...) ( ...) (I W2W2  I  W2W2  . Note que 3 ... 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0                n W W W , n W W WW W2 4 ... 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0                                    

Para o valor específico 2 1 

 , obtemos a serie de matrizes cuja soma é obtida acima:

                                                      6 1 3 2 6 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 2 6 1 ... 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 4 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 ...) ( 2 2 W W  

Note que, em geral, assumimos que:  1. Além disso, na maioria das aplicações empíricas temos correlações positivas ou nulas: [0,1) . Assim, como 2 3 ... a influência das

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13 matrizes de maior ordem é menor do que as de menor. O que indicam essas matrizes? A matriz de ordem 1 é a dependência espacial de uma observação com relação aos vizinhos. A matriz de ordem 2 é a dependência espacial de uma observação com relação aos vizinhos dos vizinhos. Note que uma observação é vizinha de si mesma em 2ª ordem.

Essa breve explicação procurou incorporar alguns insights da dependência espacial entre as observações. Em seguida, calculamos as derivadas parciais da equação (3) para um caso geral para uma variável explicativa especifica j: (4)

1 1 1 1 1 1 ) ( ... 0 ... ... ... 0 ... ) ( ... ... ... ... ... (4)                                       W I W I x y x y x y x y j j j nj n j n nj j     

Seguindo nosso exemplo ilustrativo, se tomarmos a matriz de pesos de contiguidade

normalizada,            0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0

W , e obtemos as derivadas parciais com relação a 1ª variável

independente: . 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 (5) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1                                                                                                                             x y x y x y x y x y x y x y x y x y

Note que aqui os coeficientes do modelo de lag espacial não representam as derivadas parciais, como foi verificado nos dois casos anteriores, mas são apenas parte da expressão que definem as derivadas. No caso desse modelo, as derivadas parciais para uma variável independente

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14 específica tem o valor do coeficiente da variável, j, que multiplica uma matriz não diagonal. Como os termos fora da diagonal são diferentes de zero se  0, existe dependência espacial: quando o valor de uma variável independente de uma determinada observação varia todas as regiões são influenciadas.

Tomando as derivadas da diagonal principal, note que elas têm a seguinte propriedade:

1 2 2 1 2 2 1 33 3 11 1 2 2 2 2 1 1                                     x y x y 1 2 1 22 2 1               x y

Esse fato decorre do fato que os efeitos na própria região, ou respostas diretas representadas pelas derivadas parciais na diagonal da matriz,

ik i x y  

, incluem o spillover de realimentação.

As derivadas cruzadas, não diagonais na matriz, representam as respostas indiretas ou de

spillover de uma região para as demais,

jk i x y  

, com ij (LeSage e Dominguez, 2012).

Como ilustração, tome o mesmo problema discutido para o modelo MQO: a variável dependente é renda per capita, a primeira variável explicativa é nível médio de capital humano e a segunda é qualidade do nível de infraestrutura. Também assuma que 1= 2 e 2 3, e que o nível de capital humano na região 3 sofreu um pequeno acréscimo de dez unidades, enquanto todo o resto continuou constante. Ou seja, temos exatamente o mesmo problema em um modelo diferente. O que acontecerá com a renda per capita das três regiões? Note que esses resultados são influenciados pela escolha da matriz de vizinhança.

. 2 1 2 2 1 20 10 0 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 31 21 11 2 2 2 2 2 3 2 1                                                                                                  x x x y y y

(15)

15 Aqui a resposta depende claramente do coeficiente . Se  0, temos um modelo MQO e já sabemos a resposta: . 20 0 0 1 0 0 1 20 3 2 1                                          MQO y y y

Uma variação no capital humano na terceira região não impacta as demais, pois no modelo MQO (ou de erro espacial) não temos dependência espacial. Como vimos, o aumento da renda per

capita na região três foi de 20 unidades.

Serão analisados dois modelos de lag espacial, um com uma correlação positiva de menor magnitude,  0,2, e outro com uma correlação também positiva, mas de maior magnitude,

8 , 0   .

Se  0,2 , vejamos a variação da renda per capita nas três regiões:

. 42 , 20 08 , 2 42 , 0 2 ) 2 , 0 ( 1 2 ) 2 , 0 ( 2 ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 ( 1 20 2 2 2 ) 2 , 0 ( 3 2 1                                                Lag y y y

Note que a variação total é maior que no caso anterior por causa dos spillovers. Subtraindo esse último resultado do primeiro, temos:

                                      42 , 0 08 , 2 42 , 0 3 2 1 ) 2 , 0 ( 3 2 1 MQO Lag y y y y y y .

Uma variação no nível de capital humano na região 3 implica em um spillover para a região 2, aumentado, assim, a renda per capita também dessa região. Por sua vez, existe um spillover de menor magnitude da região 2 para a região 1. Além disso, existe o impacto de volta para a região 3. Por causa dos spillovers houve um acréscimo de 0,42 unidades de renda per capita na região 1, 2,08 na região 2 e 0,42 na região 3.

(16)

16 Esses spillovers são pequenos, pois a correlação espacial não é de grande magnitude. Se  0,8, temos uma correlação positiva de maior magnitude, onde as variações são bem maiores:

                                               8 , 37 2 , 22 8 , 17 2 ) 8 , 0 ( 1 2 ) 8 , 0 ( 2 ) 8 , 0 ( ) 8 , 0 ( 1 20 2 2 2 ) 8 , 0 ( 3 2 1 Lag y y y                                       8 , 17 2 , 22 8 , 17 3 2 1 ) 8 , 0 ( 3 2 1 MQO Lag y y y y y y

Segundo Elhorst (2010), se uma variável dependente em uma observação particular sofre alguma mudança, não só haverá uma mudança na variável dependente da própria unidade, como também nas demais observações. A soma das variações nas próprias observações são os efeitos diretos. Note que no nosso problema os efeitos diretos têm respectivamente os seguintes valores para os modelos MQO, de lag espacial com  0,2 e de lag espacial com  0,8 : 20, 20,42 e 37,8. Ou seja, como temos  0 , se a correlação aumenta, os efeitos diretos também aumentam. Os efeitos observados somados nas demais regiões são chamados de efeitos indiretos. Quando temos

0 

 , os valores são positivos. Para os nossos modelos tínhamos respectivamente os valores de 0, 2,5 e 40.

Note que os elementos da diagonal principal da matriz com as derivadas parciais representam os efeitos diretos e os elementos fora da diagonal principal representam os efeitos indiretos. O efeito total de uma mudança em qualquer das variáveis independentes consiste da soma dos efeitos diretos e indiretos (LeSage e Pace, 2009).

No nosso problema, que consiste de apenas três observações, apresentar todos os resultados foi de certa maneira bastante prático. Entretanto, para problemas maiores e mais reais, a apresentação dos resultados neste formato pode ser problemática. Por exemplo, Kirby e LeSage (2009) analisaram mais de 63,000 observações, referentes aos setores censitários nos EUA. Analisar vetores dessa magnitude com relação a cada um dos valores pode ser pouco

(17)

17 esclarecedor. Se forem N unidades de analise e K variáveis explicativas, obtém-se K diferentes N x N matrizes de efeitos diretos e indiretos (Elhorst, 2010).

Com o intuito de tornar a interpretação mais factível para problemas com muitas observações e variáveis, LeSage e Pace (2009) propõem expressar a média dos valores dos efeitos diretos, ou seja, a média dos elementos da diagonal principal da matriz. Para os efeitos indiretos, teríamos a média das somas dos elementos não diagonais em cada uma das linhas da matriz. Ou ainda, o mesmo referente a coluna, pois o resultado é o mesmo.

Vejamos com um exemplo o que isto significa. Prosseguimos a discussão com a matriz (4). A única mudança na matriz abaixo é que esta representa qualquer uma das variáveis explicativas, e, então, 1 foi trocado pork. Denominamos essa matriz como Sr(W), indicando que essa matriz é uma função da matriz de peso. Essa nomenclatura é similar a utilizada em LeSage e Pace (2009). Ficamos com: . 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 ) ( (6) 2 2 2 2 2 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1                                                                               k r x y x y x y x y x y x y x y x y x y W S

Tirando a média dos termos da diagonal principal, temos os efeitos diretos (ED):

ED = 2

2

2 2 2 3 ) 1 ( 3 2 1 1 2 1 1 3 1                                                 k k

Em seguida, obtemos os efeitos indiretos (EI):

EI = 2

2

2 2 2 3 ) 1 ( 3 2 2 2 2 1 3 1                                    k k

(18)

18 Lembrando que o traço de uma matriz A é a soma dos elementos da diagonal principal,

aii

A

tr( ) , e que podemos somar todos os elementos de uma matriz a partir da expressão,

ij

n

n Ai a

i ' , as expressões acima podem ser expressas da seguinte forma:

i) ED = 1 tr

S (W)

n r     ii) EI = ET - ED iii) ET = in

Sr W

in n ' ( ) 1      

Segue um exemplo para o caso especifico com 2 1   e 12: . 3 7 3 4 3 1 3 2 3 8 3 2 3 1 3 4 3 7 8 1 1 2 1 8 1 4 1 1 4 1 8 1 2 1 8 1 1 4 1 1 2 ) (                                                              W Sr

Calculando os ED, temos:

9 22 3 7 3 8 3 7 3 1 ) ( 1                    W S tr n r . Calculando os ET:

4. 1 1 1 3 7 3 4 3 1 3 2 3 8 3 2 3 1 3 4 3 7 1 1 1 3 1 ) ( ' 1                                        n r n S W i i n

Assim, obtemos os EI: . 9 14 9 22 4 

(19)

19 Segundo LeSage e Dominguez (2012), como já discutido, são muitos os exemplos de aplicação empírica dos modelos espaciais que interpretaram as estimativas de forma equivocada. Como vimos aqui os coeficientes dos modelos espaciais com dependência espacial não podem ser interpretados como derivadas parciais. Ou seja, não se devem comparar os coeficientes de um modelo MQO com os mesmos coeficientes de modelos espaciais com dependência espacial. Uma comparação mais correta seria contrastar os coeficientes do modelo MQO com o efeito direto. Além disso, claro, não tem como comparar os efeitos indiretos do modelo espacial com o modelo MQO que não tem esses efeitos.

Por fim, podemos separar a influência direta e indireta por ordem de vizinhança (LeSage e Pace, 2009). Partimos da seguinte expressão:

... ) ( )

(IW 1IW W 2

Reescrevemos a relação (4) utilizando essa expressão:

...) )( ( ) )( ( ... ... ... ... ... 2 2 1 1 1 1 1                              W W I W I x y x y x y x y j j nj n j n nj j     

Retornando ao exemplo ilustrativo, temos:

. ... 2 1 2 1 ) 2 ( ) ( 2 2 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1                                                              I W W x y x y x y x y x y x y x y x y x y W Sr

Temos, então, os efeitos de ordem zero, um, dois, etc. Para a ordem zero ficamos com a matriz,

 

           2 0 0 0 2 0 0 0 2 ) 2 ( I .

(20)

20 Daí, temos: ED = 1

( )

2      W S tr n r . ET = 1 '

( )

2.      n r n S W i i n EI = 0

Esses são os resultados dos modelos sem o lag espacial. Para a ordem um, ficamos com a matriz:

                        0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 ) 2 ( W W .

Para ordem dois, temos:

                                  4 1 0 4 1 0 2 1 0 4 1 0 4 1 2 1 2 1 ) 2 ( 2 2 2 W W .

Para a ordem três, ficamos com:

                                  0 4 1 0 8 1 0 8 1 0 4 1 0 4 1 2 1 ) 2 ( 3 3 W W .

Os efeitos de ordem zero representam os efeitos diretos sem a realimentação devido aos

spillovers. Não temos os efeitos indiretos, pois os elementos não diagonais são nulos. Os efeitos

de primeira ordem representam os efeitos dos vizinhos. Uma vez que os termos da diagonal principal são nulos não temos os ED. Em geral em todos os demais termos temos efeitos diretos e indiretos (Sedadyo et al, 2009), o que não é observado aqui por causa da matriz de pesos específica deste exemplo ilustrativo.

(21)

21 Os resultados para as ordens zero, um, dois e três são mostrados na tabela abaixo. Os valores para as ordens superiores foram obtidos pela diferença entre o efeito total de todas as ordens e a soma dos efeitos de ordem 0 até 3.

Tabela 1 – Efeitos diretos, indiretos e totais por ordem da interação Ordem

Efeito

Direto Indireto Total

Zero 2 0 2 Um 0 1 1 Dois 3 1 6 1 2 1 Três 0 4 1 4 1 Quatro e mais 9 1 36 5 4 1 Total 9 22 9 14 4 5 - Modelo de Kelejian-Prucha

O primeiro modelo com dois termos espaciais a ser discutido é o modelo de Kelejian-Prucha (SAC). Discutimos esse modelo antes dos demais porque, com veremos, ele é de certa forma similar ao modelo de lag espacial. Como vimos, esse modelo tem a seguinte equação:

u X i Wy Y  n   ,     Wu u  ~N(0,2In)

Manipulando a equação obtemos o DGP do modelo de Kelejian-Prucha. Note que esse DGP tem como valor esperado o mesmo que o modelo de lag espacial:

      1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) (          I W i X I W I W Y n ) ( ) ( ] [Y IW 1 i XE    n

(22)

22 Além disso, dada que a relação entre os modelos é similar ao observado entre os modelos MQO e de erro espacial, ou seja, inclui somente uma correlação espacial no erro, a interpretação dos coeficientes é igual. Assim, toda a discussão mostrada acima também é válida aqui, e passamos para o próximo modelo com dois termos com correlação espacial.

6 – Modelo de erro espacial de Durbin

O modelo de erro espacial de Durbin (SDEM) inclui o termo WX quando se tem como origem  o modelo de erro espacial:

u WX X i Y n    ,     Wu u  ~ N(0,2In)

Assim, temos como DGP do modelo:      1 ) (       i X WX I W Y n

Para um modelo com três observações e duas variáveis exógenas, temos:

                                                                              3 2 1 1 2 1 32 31 22 21 12 11 32 31 23 21 13 12 2 1 32 31 22 21 12 11 3 2 1 0 0 0 1 1 1          I W x x x x x x w w w w w w x x x x x x y y y

Derivando com relação a uma variável específica, a primeira, por exemplo, temos:

                                               1 1 32 1 31 1 23 1 1 21 1 13 1 12 1 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1          w w w w w w x y x y x y x y x y x y x y x y x y

(23)

23 j j j j n j n j nj n j n nj j W I w w x y x y x y x y                                          ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 1 1

Note que aqui temos uma matriz não diagonal por causa do lag espacial de X.

O ED é a média dos termos da diagonal principal, no caso desse modelo todos iguais ao coeficientej, daí, temos:

ED =j.

Para os efeitos indiretos temos a seguinte expressão:

EI =                                

i ni i i i i j w w w n .. 1 2 1 

Se a matriz de peso for normalizada na linha, como é muito usual, temos simplesmente:

EI = j

   

 

j n             1 .. 1 1 1

Como exemplo ilustrativo, retornamos ao problema com três observações:

                                               1 1 1 1 1 1 1 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1 0 2 2 0       x y x y x y x y x y x y x y x y x y

Tome o mesmo problema discutido anteriormente com 11, sendo que neste modelo temos mais dois coeficientes, 1 e2, referentes a dependência espacial exógena. Assuma que elas têm os seguintes valores: 1= 1 e 2 2.

(24)

24 Assim como feito anteriormente, o nível de capital humano na região 3 sofre um pequeno acréscimo de dez unidades, enquanto todo o resto continua constante. Substituindo esses valores, temos:                                              20 5 0 10 0 0 2 1 0 2 1 2 2 1 0 1 2 3 2 1 SDEM y y y

O aumento da renda per capita na região três foi de 20 unidades, assim como observado no modelo MQO ou SEM. Entretanto, aqui temos um impacto também na segunda região. Uma variação no capital humano na terceira região impacta na segunda em cinco unidades, pois as variáveis explicativas da terceira região fazem parte da equação da segunda.

Esse mesmo resultado é obtido para um modelo similar sem a correlação espacial no erro, que não consta da figura 1, conhecido como de lag em X (SLX), que tem a seguinte equação:

,         i X WX Y n ~ (0, ). 2 n I N  

7 - Modelo espacial de Durbin

Como vimos na figura 1, além dos termos do modelo de lag espacial, o modelo espacial de Durbin (SDM) contém WX :  ,           Wy i X WX y n  ~ N(0,2In)

Esse modelo inclui a interação endógena, presente no modelo de lag espacial, e a interação exógena, discutida no modelo de erro espacial de Durbin. Manipulando essa equação obtemos o DGP do modelo: ) ( ) (IW Y  inXWX ) ( ) (  1        WX X i W I Y n

(25)

25 Assim como foi feito para os demais modelos, calculamos as derivadas parciais da equação com relação a uma variável explicativa específica:

                                   j j n j n j nj n j n nj j w w W I x y x y x y x y      ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 1 1 1

Note que aqui temos uma matriz não diagonal por causa do lag espacial em Y,

IW

1, e outra também não diagonal por causa do lag em X, jIWj.

Como ilustração, retornamos ao exemplo com três observações utilizado anteriormente:

                                                                              1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1 0 2 2 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1                 x y x y x y x y x y x y x y x y x y

Substituindo todos os valores já utilizados, temos:

. 10 0 0 2 1 0 2 1 2 2 1 1 0 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 1                                                                           SDM y y y . 1 10 20 5 1 10 5 1 10 5 20 5 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 (6) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1                                                                                                  SDM y y y

(26)

26 Como as respostas dependem de  , fazemos as mesmas três simulações feitas anteriormente para o lag espacial com  0,  0,2 e 0,8. No primeiro caso, obtemos o modelo SLX, citado acima, que tem a mesma interpretação do modelo de erro espacial de Durbin.

Na segunda simulação temos uma correlação positiva de menor magnitude,  0,2. Vejamos a variação da renda per capita nas três regiões, substituindo esse valor em (6):

                        46 , 21 29 , 7 46 , 1 ) 2 , 0 ( 3 2 1 SDM y y y

Note que as variações são maiores para o modelo SDM do que para o modelo de lag espacial com a mesma correlação espacial de Y, pois no primeiro temos dois tipos de correlação espacial.

                                      04 , 1 21 , 5 04 , 1 ) 2 , 0 ( 3 2 1 ) 2 , 0 ( 3 2 1 Lag SDM y y y y y y .

Uma variação no nível de capital humano na região 3 implica em um spillover para as demais regiões, tanto via variável dependente como via variável independente.

Se 0,8 temos spillovers bem maiores também devido a esses dois aspectos:

                        89 , 48 11 , 36 89 , 28 ) 8 , 0 ( 3 2 1 SDM y y y

No caso do modelo espacial de Durbin, os efeitos indiretos podem ser divididos em duas partes: uma denominada local, devido aos coeficientes , também presente no modelo de erro espacial de Durbin; e os efeitos ditos globais devido a

(Elhorst, 2010). Note que os primeiros são locais porque impactam apenas nos vizinhos imediatos. No caso dos efeitos globais, como vimos também para o modelo de lag espacial, temos efeitos em todas as regiões em ordens.

(27)

27 Para obter as expressões para o efeito direto, indireto e total, basta multiplicar as matrizes abaixo e utilizar as mesmas expressões já citadas.

                                                                                                   0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 31 3 21 3 11 3 31 2 21 2 11 2 31 1 21 1 11 1            x y x y x y x y x y x y x y x y x y

Como a multiplicação é um pouco trabalhosa e pouca acrescenta na discussão dos conceitos, ele fica como exercício para o leitor. O ED e o EI são dados pelas seguintes expressões (Elhorst, 2010): ED = jj      ) 1 ( 3 2 ) 1 ( 3 3 2 2 2     EI = jj       ) 1 ( 3 3 ) 1 ( 3 3 2 2 2     

Note que no modelo espacial de Durbin, os resultados para ED, EI e ET dependem dos parâmetros j e j. Nos modelos de lag espacial, e consequentemente também para o modelo de Kelejian-Prucha, esses efeitos dependem somente do primeiro parâmetro e a razão entre o ED e EI é um valor definido pelo coeficiente

: 2

2 3 3       EI ED .

Para o modelo espacial de Durbin, essa limitação não existe, pois também temos os parâmetros j

 (Elhorst, 2010). O modelo espacial de Durbin tem essa interessante propriedade, que não está presente nos outros modelos apresentados. Além dessa propriedade, o modelo apresenta outras características também não presentes nos outros modelos (LeSage e Pace, 2009).

(28)

28

8 – Aplicações empíricas

As seções anteriores apresentaram alguns conceitos que são utilizados na interpretação dos coeficientes dos modelos espaciais. Nesta seção são comentados cinco trabalhos empíricos que utilizaram conceitos iguais ou muito similares.

Kirby e LeSage (2009) utilizaram o modelo espacial de Durbin para analisar o tempo gasto para se ir ao trabalho nos EUA. Os autores justificam o uso desse modelo especifico devido a elevada possibilidade que variáveis explicativas importantes tenham sido omitidas (ver LeSage e Pace (2009) para uma discussão sobre o assunto). Eles observaram que houve um aumento nesse tempo entre os anos de 1990 e 2000, o que não estava em concordância com a perspectiva de que a suburbanização seria a válvula de escape para os problemas associados aos engarrafamentos. Segundo os autores, a econometria espacial permitiu distinguir os efeitos indiretos, devido à

spillovers causados, por exemplo, por engarrafamentos em outras regiões, dos efeitos diretos, por

causa das características da própria região, como a qualidade das estradas.

LeSage e Dominguez (2012) argumentam que modelos MQO são limitados em estudos que tratam do comportamento de governos locais e temas correlatos distribuição de votos em eleições e determinação da magnitude das taxas de impostos regionais. Os autores utilizaram um modelo espacial de Durbin em análises empíricas sobre a relação entre imigração e emigração, e o custo marginal dos serviços governamentais. Os resultados empíricos mostraram que tanto para as áreas metropolitanas como para não metropolitanas, que a imigração tinha um efeito de reduzir custos, enquanto a emigração tinha o efeito contrario. Fazendo uso desse modelo espacial, os autores examinaram os efeitos diretos e indiretos da migração. Segundo os autores, os efeitos diretos seriam de interesse principal da região que é afetada pela migração, enquanto os efeitos indiretos refletiriam a perspectiva da sociedade como um todo. Ou seja, interesses privados (de uma região especifico) diferem do público (todo um grupo de regiões).

Em um estudo sobre crescimento regional da renda per capita, LeSage e Fischer (2008) também aplicaram o modelo espacial de Durbin e mostraram que a renda regional no longo prazo depende das características da própria região, das características das regiões vizinhas, da estrutura espacial de conectividade entre as regiões e da magnitude da dependência espacial. Eles estimaram os efeitos diretos e indiretos de variações em diversas variáveis explicativas, como

(29)

29 capital humana e densidade populacional, na determinação de variações da renda per capita regional.

Seldadyo et al (2009) analisaram a qualidade de governos de estados nacionais com modelos de lag espacial e espacial de Durbin, com uma matriz de pesos com os dez vizinhos mais próximos. Eles observaram que a renda per capita, o grau de abertura comercial, o grau de intervenção estatal na sociedade, e a proporção da população que era protestante impactavam na qualidade do governo, sendo que o primeiro, terceiro e quarto tinham associações positivas, quanto mais, melhor, e o segundo negativo. Quando estimaram os efeitos diretos e indiretos, eles verificaram que os primeiros eram aproximadamente o dobro dos segundos. Ou seja, os fatores locais eram os mais importantes na determinação da qualidade dos governos, mas que influência dos demais países próximos também era relevante.

Kelejian et al (2006) analisaram a interdependência nos preços de bens em diferentes países emergentes. Segundo os autores, um choque macroeconómico em qualquer dos países tem um impacto no próprio e também em todos os demais, devido à spillovers. Eles modelaram esses impactos e verificaram se esses podiam ser relacionados com a distância geográfica e/ou com o comercio entre países. Os autores verificaram empiricamente que os países emergentes centralmente envolvidos nas crises sofriam um contágio mais impactante dos países próximos geograficamente, enquanto países periféricos em termos da crise eram mais afetados pelo comércio entre países. Os autores apresentam duas medidas sínteses, similares aos efeitos diretos e indiretos discutidos aqui, para representar a magnitude do contágio entre os países. O próprio efeito de contágio foi definido como que a mudança de um fundamento económico em um país afeta o indicador de crise do próprio país, depois que os efeitos de realimentação do spillover são incluídos no cálculo. Além disso, eles definem o efeito imanente como o impacto que uma mudança em um dos fundamentos económicos em um país impacta no índice indicador de crise nos demais.

Em um contexto teórico bem distinto, Anselin e Le Gallo (2006) analisaram como que a qualidade do ar impactava no preço de casas na Califórnia com o uso de modelos hedónicos. Com relação ao modelo espacial, eles verificaram uma significativa correlação positiva nos dados, mesmos depois de controladas várias das características dos imóveis e da vizinhança. De

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30 forma similar aos efeitos diretos e indiretos apresentados aqui, os autores estimaram a propensão marginal a pagar por níveis mais baixos de ozónio na atmosfera. Segundo eles, os indivíduos estariam dispostos a pagar entre 2000 e 7000 dólares, dependendo do modelo, para uma melhora de 1ppb nos níveis de ozónio.

Depois de discutidos alguns conceitos referentes à interpretação dos coeficientes de diferentes modelos espaciais e apresentadas algumas aplicações empíricas sobre o tema, para complementar a discussão, apresenta-se a seguir uma simulação bastante simples feita no Matlab. Discussões com nível de sofisticação maior serão mostradas em textos subsequentes.

9 – Simulação ilustrativa

Segue uma pequena simulação feita no Matlab a partir do uso direto das expressões mostradas acima. A matriz de vizinhança foi definida a partir de 8 áreas fictícias, dispostas como mostrado no diagrama abaixo, com peso 1 para regiões contíguas e zero caso contrário. Em seguida a matriz foi normalizada de forma que todas as linhas tivessem a soma igual a 1.

São três os objetivos dessa simulação: mostrar um problema mais completo do que o realizado nas seções anteriores, que contava com apenas três regiões; comparar em conjunto os diversos modelos discutidos neste texto; e apresentar as consequências de choques em áreas centrais e periféricas na propagação de spillovers.

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31 Diagrama 1 – Regiões fictícias

Assim como nos exemplos acima, temos uma variável dependente, renda per capita, e variações em apenas uma das variáveis independentes, que é no nível de capital humano. Para o coeficiente dessa última variável temos o mesmo valor utilizado anteriormente: 1= 2. Definimos dois valores para

, 0,2 e0,5, e um único para : .

2 1

De posse dessa informação, obtemos as derivadas parciais segundo as expressões descritas nas seções anteriores para: um modelo MQO (ou de erro espacial, pois são similares com relação a simulação); dois modelos de lag espacial (ou de Kelejian-Prucha) cada um com um dos valores de

descritos acima; um modelo de erro espacial de Durbin (ou de lag de X); e dois modelos espaciais de Durbin (ou de Manski) cada um com um dos valores de

descritos acima e com o valor de acima. Assim, temos seis modelos que são similares do ponto de vista da simulação aos outros seis em parênteses.

A tabela abaixo compara os efeitos diretos, indiretos e totais de cada um desses modelos. Para o MQO, os ED são menores, e os EI são nulos, pois o modelo não apresenta spillovers. Por sua vez, o modelo de lag espacial tem spillovers devido ao lag na variável dependente. Note que quando a correlação espacial é de menor magnitude,

0,2, o ED e o EI aumentam um pouco quando comparamos esse modelo com o MQO. Quando aumentamos a magnitude dessa correlação para 0,5, esses efeitos aumentam, como esperado. O modelo de erro espacial de

(32)

32 Durbin apresenta spillovers devido a variável explicativa. Esse modelo quando comparado com o modelo MQO, verifica-se que os ED são iguais, mas nos modelos de erro espacial de Durbin temos os EI, inexistentes no MQO. Note que não devemos comparar diretamente os modelos de lag espacial e de erro espacial de Durbin porque os resultados dependem dos valores dos parâmetros, que aqui foram arbitrariamente definidos. O modelo espacial de Durbin tem os

spillovers tanto da variável dependente como da independente. Note que os ED e EI são mais

acentuados neste modelo, principalmente no modelo com dependência espacial em Y de maior magnitude.

Tabela 2 – Efeitos diretos, indiretos e totais das simulações

Efeitos diretos Efeitos indiretos Efeitos totais

MQO 2,00 0,00 2,00

Lag (0,2) 2,03 0,47 2,50

Lag (0,5) 2,21 1,79 4,00

Erro espacial de Durbin 2,00 1,00 3,00

Espacial de Durbin (0,2) 2,09 1,66 3,75

Espacial de Durbin (0,5) 2,43 3,57 6,00

Vimos acima o que acontece com relação aos ED, EI e ET nos diferentes modelos espaciais. Utilizando esses mesmos modelos, estimasse a variação na renda per capita se tivéssemos dois choques no nível de capital humano, ambos de 10 unidades: um em uma região periférica, a de número sete; e outra em uma região central, a de numero três.

Analisando o primeiro desses choques, para o modelo MQO, temos um acréscimo apenas na renda per capita da própria região. O modelo de lag espacial com

0,2 mostra que os efeitos de spillover ocorrem basicamente para as regiões vizinhas, as de número 6 e 8. Quando se aumenta a correlação para

0,5, temos um spillover maior para essas duas regiões, mas verificam-se valores relativamente elevados também em outras mais distantes. O modelo de erro de Durbin contem o lag nas variáveis explicativas dos vizinhos e assim o spillover ocorre apenas para estes, em um efeito local, como descrito acima. O modelo espacial de Durbin, por

(33)

33 apresentar spillover tanto da variável dependente com da explicativa, apresenta um acréscimo da renda per capita mais elevado nas demais regiões.

Um aumento no capital humano da região 3, central no diagrama, do ponto de vista teórico, deveria promover um spillover mais abrangente do que o observado para a região 7, região periférica. O resultado simulado mostrou realmente que choques em regiões centrais promovem um spillover que se distribui para mais regiões. Entretanto, deve-se ressaltar que por causa do formato da matriz de pesos, que é normalizada na linha, a intensidade total dos spillovers tem a mesma magnitude em ambas as aproximações. Assim, matrizes de pesos distintas desta podem mostrar resultados bem diferentes com relação à distribuição e a intensidade dos spillovers.

Tabela 3 – Aproximações do impacto em cada uma das regiões nas simulações Região MQO Lag (0,2) Lag (0,5) Erro de

Durbin

Espacial de Durbin (0,2)

Espacial de Durbin (0,5) Variação de 10 unidades na região 7

1 0,00 0,01 0,18 0,00 0,02 0,36 2 0,00 0,01 0,32 0,00 0,04 0,65 3 0,00 0,11 1,28 0,00 0,39 2,56 4 0,00 0,09 0,89 0,00 0,32 1,79 5 0,00 0,23 1,92 0,00 0,82 3,84 6 0,00 2,13 6,48 5,00 7,44 12,96 7 20,00 20,23 21,79 20,00 20,80 23,59 8 0,00 2,19 7,13 5,00 7,67 14,25

Variação de 10 unidades na região 3

1 0,00 0,88 2,85 2,00 3,07 5,70 2 0,00 0,96 3,51 2,00 3,36 7,02 3 20,00 20,31 22,65 20,00 21,08 25,30 4 0,00 0,91 3,21 2,00 3,20 6,41 5 0,00 0,86 2,78 2,00 3,00 5,55 6 0,00 0,10 0,95 0,00 0,35 1,89 7 0,00 0,04 0,51 0,00 0,15 1,02 8 0,00 0,94 3,55 2,00 3,29 7,10

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34

10 - Conclusão

Esse texto, que discute como interpretar os coeficientes dos modelos espaciais, é de certa forma uma continuação do texto anterior da série, “Introdução à Econometria Espacial”, onde foram apresentados diferentes modelos espaciais: modelo de erro espacial, modelo de lag espacial, modelo de Kelejian-Prucha, modelo de erro espacial de Durbin e modelo espacial de Durbin. Neste segundo texto da série, foram discutidos como interpretar os coeficientes de cada um deles.

Cada um dos modelos foi discutido em uma seção em separado, onde foram apresentados conceitos como a estimação das derivadas parciais, aproximações, efeitos diretos, indiretos e totais e ordem da interação (Elhorst, 2010; LeSage e Pace, 2009). Foram descritos exemplos numéricos nestas seções e procurou-se assim abarcar as diferenças entre os modelos com relação a esses tópicos em uma descrição introdutória. Em seguida, foram descritos alguns trabalhos empíricos que apresentaram estimativas dos efeitos diretos e indiretos, ou de conceitos muito similares. Esses efeitos foram estimados: em estudos sobre tempo de comutação para o trabalho (Kirby e LeSage, 2009); em análises sobre a relação entre imigração e emigração e o custo marginal dos serviços governamentais (LeSage e Dominguez, 2012); em um estudo sobre crescimento regional da renda per capita (LeSage e Fischer, 2008); em modelos que discutiram a qualidade de governos (Seldadyo et al, 2009); em análises sobre a interdependência nos preços de bens em diferentes países emergentes em tempos de crise (Kelejian et al, 2006); em modelos hedónicos discutindo como que a qualidade do ar impactava no preço de casas na Califórnia (Anselin e Le Gallo, 2006). Alguns aspectos desses trabalhos foram apresentados, indicando as diferentes possibilidades de estudo com os conceitos discutidos aqui.

Por fim, foi feita uma simulação no Matlab em uma região fictícia com oito áreas aplicando diretamente os conceitos discutidos aqui. Procurou, assim, mostrar as diferenças entre os diversos modelos quanto aos impactos diretos e indiretos em uma discussão conjunta. Em seguida, foram apresentados os impactos que seriam verificados devido a choques exógenos em áreas centrais e periféricas, onde se observou como que os spillovers se espalham pelas diversas áreas.

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Referências

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