Análise de modelos e metodologias lineares e nebulosos para a estimativa de produtividade da cana-de-açúcar.

Análise de modelos e metodologias lineares e nebulosos para a estimativa de

produtividade da cana-de-açúcar.

André P. de Godoy

, Gilmar Barreto

, Fábio C. da Silva

1 André P. de Godoy, Aluno de mestrado do Departamento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes -FEEC -UNICAMP, Cidade Universitária Zeferino Vaz, CP 6101 - 13083-970 - Campinas, SP, Brasil, andrepg@ dmcsi.fee.unicamp.br

2 Gilmar Barreto, Professor Doutor do Departamento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes -FEEC -UNICAMP, Cidade Universitária Zeferino Vaz, CP 6101 - 13083-970 - Campinas, SP, Brasil, gbarreto@dmcsi.fee.unicamp.br

3 Fábio C. da Silva, Pesquisador da Embrapa Informática Agropecuária, Professor do FATEP /IAT, Pós-doutorando no Departamento de Produção Vegetal da ESALQ/USP, C. Postal : 6041, Cidade Universitária Zeferino Vaz, 13.083-970 Campinas SP, Brasil, fcesar@cnptia.embrapa.br

Abstract _{ The increase of sugar exportations and of}

international and national demand of ethanol had designated to the sugarcane crop a very important assignment in the national economy and in energetic plan of Brazil. However the production of sugarcane is limited to the sugarcane industry capacity, in certain regions of country. So are necessary exact production estimations, to plan of sugar industry. In that way, exist the need of mathematical models that allow an exact estimative of yield. This work presents a model to sugarcane production therefore provide to sugarcane industry sector a exact computational tool, capable of predict sugarcane crop yield. The developed model is a alternative to the Australian model QCANE. Computational simulations had been done, and are presented, showing the model performance.

Index Terms  Modeling, QCANE, Fuzzy Models and

sugarcane.

I

A cana-de-açúcar tem assumido um papel muito importante na economia brasileira devido às exportações de açúcar e a produção do etanol. O etanol, recentemente, vem se destacando no cenário internacional com uma alternativa energética aos combustíveis líquidos derivados de petróleo devido a duas razões: preços crescentes do petróleo e efeito estufa. Assim, o etanol apresenta-se como o possível futuro dos combustíveis líquidos por ser renovável, limpo e não ser geograficamente monopolista.

O Brasil tem uma longa tradição como produtor de cana-de-açúcar. Inicialmente voltada para a produção de açúcar e a partir de 1970, através do pró-álcool, apresentou uma forte expansão na produção deste combustível. Atualmente, pela forte demanda de combustíveis, pela expansão do mercado mundial de açúcar, e pela expansão das usinas a demanda pela produção de cana-de-açúcar tem crescido principalmente no Estado de São Paulo. Assim, alguns grupos sucroalcooleiros estão trabalhando próximo de sua capacidade máxima de produção de cana-de-açúcar, o que exige um maior rigor de planejamento por parte das usinas.

Dentro deste contexto este trabalho apresenta algumas metodologias para a modelagem da produção de cana-de-açúcar em comparação com uma metodologia apresentada na literatura mostrando os resultados de simulações computacionais.

M

Na literatura são apresentados vários modelos para a simulação do desenvolvimento de cana-de-açúcar. No Brasil destacam-se os autores: [4], [11] e [14][15]; e no exterior: [11][7], [16] e [9][8]. Os trabalhos de modelagem de cana-de-açúcar diferem principalmente em relação a profundidade da descrição da planta e na quantidade de variáveis incorporadas. Contudo, os modelos desenvolvidos no exterior consideram variedades de cana-de-açúcar da Austrália e África do Sul, e dessa forma podem não ser

válidos para variedades brasileiras. Os modelos

desenvolvidos no Brasil apresentam principalmente a acumulação de biomassa da planta como um todo considerando condições ideais de manejo, ou seja, a

produtividade potencial. Os modelos internacionais

incorporam uma quantidade maior de processos biológicos descrevendo as taxas de crescimento de cada componente da planta, diferenciando os ciclos de cultivo (cana-planta e cana-soca) e penalizam condições de produtividade devido à deficiência de água e nitrogênio determinando valores próximos à produtividade real.

A partir dos trabalhos [8] e [9] definimos uma metodologia e estrutura de modelo para as variedades brasileiras de cana-de-açúcar. Este modelo foi escolhido por ter uma descrição completa dos processos de crescimento, por ter a melhor exatidão que os outros modelos, segundo [17], e por ter o conjunto de dados de várias partes da cana-de-açúcar.

A partir do conjunto de dados realizamos algumas análises para poder determinar as variáveis mais relevantes

considerando critérios lineares. Posteriormente,

determinamos a melhor estrutura para o modelo auto-regressivo com entradas externas ARX (“Auto-Regressive with eXogenous inputs”), e de processos, segundo [5]. Finalmente foi utilizado um algoritmo de sistemas nebulosos, [2] para avaliar qual teria melhor desempenho.

Nesta primeira fase do estudo foram analisados apenas os conjuntos de dados considerando o peso seco dos colmos da cana-de-açúcar durante o desenvolvimento da planta para duas variedades australianas com comportamentos distintos. A primeira, Q138, tem maiores concentrações de fibra e a segunda, Q141, apresenta maiores concentrações de açúcar. Foram consideradas que as duas variedades de cana-de-açúcar, Q137 e Q141, tiveram o mesmo período de desenvolvimento. O trabalho buscou elaborar um modelo que abrangesse as duas variedades, sendo assim o mais geral possível. O foco inicial foi sobre os dados de colmo por serem a parte da planta de maior interesse comercial.

Análise de correlação

As análises dos gráficos de correlação auxiliam na forma de determinar nas relações das variáveis de processos que compõem o sistema. Para se obter os seguintes gráficos de correlação cruzada e de auto-correlação, aplica-se as seguintes definições:

corr(τ,t)=E

[

]

onde u e ys são as variáveis de entrada e saída,

respectivamente, E[] é a esperança matemática, τ é o atraso, t é o tempo.

Analisando algumas janelas (atrasos), dentro do período total no qual se obteve os dados, nota-se muitas das vezes uma relação direta e reversa entre as variáveis. Os gráficos apresentados apresentam as fronteiras do intervalo de confiança que foi de 95%.

Modelo ARX

O modelo ARX da categoria de modelos que tem erro na equação. Considerando que um caso para r entradas e p saídas a estrutura do modelo é dada pela seguinte expressão,

) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 t nu k k n k k k u n y n_y e u B u B y A y A y + − + − + + − − − − = K K (2) sendo A_i∈ℜp×p e B_i∈ℜp×re . )] ( ) ( ) ( [ ) ( )] ( ) ( ) ( [ ) ( )] ( ) ( ) ( [ ) ( 2 1 2 1 2 1 T p T r T p k e k e k e k k u k u k u k k y k y k y k K K K = = = e u y

onde ui(k), yi(k) e ei(k) são os sinais de entrada, saída e o erro

do modelo na forma discreta.

Esta representação é para sistemas MIMO (“Multiples Inputs e Multiples Outputs”). No entanto, os resultados obtidos pela análise da função de correlação determinou-se uma estrutura SISO (“Single Input e Single Output”) para o

conjunto de variáveis tratadas até o momento.

Possivelmente, ao introduzir outras variáveis, componentes do colmo, a estrutura mais adequada para o modelo seja a multivariável. O problema da utilização do modelo ARX multivariável é que o método de determinação dos

parâmetros A oferece múltiplas soluções possíveis [10]. i

O modelo de processo utilizado é apresentado em [2] e foi utilizado neste trabalho para efeitos comparativos, pois é limitado a sistemas SISO e o objetivo deste trabalho é gerar um modelo que incorpore as variáveis de maior interesse econômica da cana-de-açúcar.

Sistemas Nebulosos

O conceito da teoria de sistemas nebulosos pode ser empregado na modelagem de sistemas de inúmeras maneiras. Neste trabalho estamos focados na representação de sistemas baseados em regras, onde as regras estabelecem relações entre as variáveis da forma:

e consequent prosição ENTÃO e antecedent proposição SE (3)

Dependendo de uma estrutura particular da proposição do conseqüente, três tipos de modelo podem ser distinguidos em: modelo nebuloso lingüístico [12], modelo nebuloso relacional [13] e modelo nebuloso Takagi-Sugeno (TS) [18].

Neste trabalho nos concentramos na estrutura TS, pois esta estrutura é apropriada para a aproximação de uma ampla classe de modelos não lineares. No modelo TS, o conseqüente da regra são funções das entradas do modelo:

K i x f y A x R_i :Se is _iEntão _{i = i}( ), ₌1,2,K, ₍₄₎

onde, x∈ℜrsão as variáveis de entrada (antecedente) e

ℜ ∈

y é a variável de saída (conseqüente). Ri denota a

i-ésima regra, e K o número de regras na base. Ai é o conjunto

nebuloso do antecedente, definida por uma função de pertinência:

µA_i(x):ℜr →[0,1] (5)

A função do conseqüente fi são tipicamente escolhidas

como passos de uma função parametrizada apropriada, cujo a estrutura mantêm-se igual em todas regras e somente os parâmetros variam. A parametrização utilizada é a forma linear afim, simples e prática:

y_i =a_iTx+b_i, (6)

onde ai é o vetor de parâmetros e bi é um escalar ajuste. Este

modelo é chamado de modelo TS afim. Os conseqüentes de

um modelo nebuloso afim são hiperplanos em ℜr+1. O

nebulosa para o correspondente modelo linear afim. O modelo global é composto como a concatenação dos modelos locais.

No modelo nebuloso TS, a inferência é reduzida a uma simples expressão algébrica:

. ) ( ) ( 1 1

∑

∑

onde, β_i(x), que é o grau de preenchimento do antecedente

denotado por (x)

i

A i µ

β = .

Neste trabalho foi utilizada uma ferramenta

computacional, que utilizam a teoria básica acima e incorpora as ferramentas computacionais desenvolvidas por Babuska [2] utilizando o software Matlab®.

Tratamento dos dados

Os dados disponíveis foram fornecidos por Dr. De Li Liu e foram utilizados para compor o artigo [9]. Pode ser observada neste trabalho a necessidade de gerar uma curva ajustada pelo conjunto de dados para poder comparar o desempenho do modelo para simulação desenvolvido. Isto ocorre ao número limitado de amostras que pode ser obtido de cada experimento, devido ao processo de amostragem experimental. Este processo é destrutivo e leva a redução dos espécimes, assim um número muito elevado de amostras pode resultar na destruição de todo experimento. Assim, a amostragem é esparsa ao longo do tempo e no campo experimental.

A curva ajustada permite saber se o modelo segue a dinâmica da planta, considerando os limites de confiança da curva ajusta que considerou uma margem de confiança de 95%.

A curva ajustada aos dados é necessária, pois: os espaços de tempo entre as amostras dependem de variáveis climáticas, sendo assim variáveis; a amostragem esta sujeita a variabilidades espacial dos dados, devendo então considerar uma margem de erro [5]; e o modelo objetiva simular o comportamento diário da planta.

R

Nas análises iniciais foram consideradas as mesmas variáveis que em [8][9], que forma temperatura máxima, mínima e média e radiação solar. Porém a análise de correlação indicou que estas variáveis apresentavam uma fraca influência segundo os dados experimentais obtidos. Então foi considerado o grau dia acumulado (Cd°) segundo a formulação de [3] com a temperatura base fixada em (12 °C) e obteve-se os gráficos de correlação da Figura 1, considerando os dados para a variedade Q138.

-500 0 500 -0.5 0 0.5 1 Atrasos A m o s tr a d e c o rr e la ç ã o c ru z a d a

Ensaio: cana-soca 18-Ago-1992

-500 0 500 -0.5 0 0.5 1 Atrasos A m o s tr a d e c o rr e la ç ã o c ru z a d a

Ensaio: cana-planta 19-Nov-1992

-500 0 500 -1 -0.5 0 0.5 1 Atrasos A m o s tr a d e c o rr e la ç ã o c ru z a d a

Ensaio: cana-planta 24-Fev-1993

-500 0 500 -0.5 0 0.5 1 Atrasos A m o s tr a d e c o rr e la ç ã o c ru z a d a

Ensaio: cana-soca 03-Jun-1993

FIGURA 1

GRÁFICOS DE ANALISE DE CORRELAÇÃO ENTRE CD° E O PSC PARA A

VARIEDADE Q138

Posteriormente aplicou-se o modelo ARX utilizando o

Cd° e o peso seco de colmo (PSc) apenas para a variedade

Q138. Obtendo-se a figura 2. Nela pode ser observado que o modelo ARX só consegue acompanhar razoavelmente os dados que foram apresentados na fase de treinamento.

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m 2]

Ensaio: cana-soca 18-Ago-1992 (treinamento)

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m 2]

Ensaio: cana-planta 19-Nov-1992 (treinamento)

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m 2]

Ensaio: cana-planta 23-Feb-1993 (validação)

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m 2]

Ensaio: cana-soca 03-Jun-1993 (validação) Modelo Curva Ajustada Fronteira superior Fronteira inferior

FIGURA 2

MODELO ARX APLICADO AOS DADOS DOS ENSAIOS DA VARIEDADE Q138,

OS DOIS GRÁFICOS DE CIMA PARA AJUSTE E OS DE BAIXO PARA VALIDAÇÃO

Na seqüência foi utilizado o modelo nebuloso, segundo

[2], considerando Cd° e PSc como variáveis de entrada e

saída respectivamente. Através de tentativa e erro o melhor modelo encontrado foi utilizando 5 funções de pertinência para a entrada, gerando o seguinte os gráficos apresentados na figura 3.

Para comparação entre os dados foram calculados os erros de duas formas distintas: na primeira se considerou o erro quadrático médio da curva estimada para os pontos fora da região do intervalo de confiança da curva ajustada; na segunda determinou-se o erro quadrático médio em relação à distância dos pontos estimados a curva ajustada. Os resultados estão apresentados na tabela I.

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m -2]

Ensaio: cana-soca 18-Ago-1992 (treinamento)

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m -2]

Ensaio: cana-planta 19-Nov-1992 (treinamento)

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m -2]

Ensaio: cana-planta 24-Feb-1993 (validação)

0 100 200 300 400 500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Dias P Sc [ g m -2]

Ensaio: cana-soca 03-Jun-1993 (validação) Modelo nebuloso Curva ajustada Fronteira superior Fronteira inferior

FIGURA 3

RESPOSTAS MODELO DO NEBULOSO PARA AS MESMAS CONDIÇÕES DO MODELO ARX.

Utilizando a função de auto-correlação para a curva

ajustada de PSc para os dados da variedade Q138 foi

observada que os ensaios 1 e 4 (cana-soca: 18-Ago-1992 e cana-soca 03-Jun-1993) representam melhor a dinâmica da cana-de-açúcar do que os ensaios (cana-planta 19-Nov-1992 e cana-planta 24-Fev-1993). Então foi gerado um novo sistema nebuloso treinado com estes conjuntos de dados e os erros foram apresentados na tabela II. Pode ser observado que os erros foram reduzidos.

Este resultado contraria o senso agronômico que considera que as dinâmicas de cana-planta e cana-soca são normalmente diferentes, assim um modelo deveria levar em conta em seu ajuste dados de ciclos de soca e cana-planta.

TABELA I

ERROS OBTIDOS A PARTIR DO MODELO NEBULOSO E DO MODELOS ARX Modelo ARX

Erro fora das fronteiras

[g m-2_] Erro à curva ajustada _{[g m}-2_]

Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 1,4 81,8 775,9 970,8 327,5 286,6 1.135,5 1.304,7 Média 457,5 763,6 Modelo nebuloso Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 0,2 242,1 0,4 823,6 279.5 455.8 945.5 1.143,1 Média 266,6 706

Os resultados do modelo nebuloso apresentaram-se superiores aos do modelo ARX. Por esta razão aplicamos os dados dos ensaios 2 e 3 da variedade Q141, selecionados pela técnica da auto-correlação mencionada acima, para o ajuste do modelo nebuloso, para verificar a capacidade de generalização do modelo nebuloso para as variedades. A tabela III apresenta os resultados dos erros encontrados.

TABELA II

MODELO NEBULOSO TREINADO COM OS DADOS SELECIONADOS A PARTIR DA AUTOCORRELAÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA

Erro fora das fronteiras

[g m-2_] Erro à curva ajustada _{[g m}-2_]

Modelo nebuloso Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 0,2 0,6 48,4 367 634,8 277,6 664,9 658,5 Média 104,1 558.9 TABELA III

MODELO NEBULOSO TREINADO COM OS DADOS DAS DUAS VARIEDADES SELECIONADOS A PARTIR DA AUTOCORRELAÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA

Modelo nebuloso

Erro fora das fronteiras [g m-2_]

Erro à curva ajustada [g m-2_] VARIEDADE Q138 Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 0,1 0,2 0,3 4,8 900,3 396,5 468,9 471,4 Média 5,4 559,2 VARIEDADE Q141 Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 37,3 6,4 575,7 44,2 716,6 289 629,7 423 Média 165,9 514,6

A partir dos dados da tabela III podemos observar que as curvas para a variedade Q138 ficaram mais dentro do intervalo de confiança, no entanto mais afastadas da curvas ajustadas. Para a variedade Q141 observa-se que as curvas tenderam a ficar fora do intervalo de confiança, mas próximas da curva ajustada. Isto se deve ao fato de que as curvas ajustadas de Q141 possuem um intervalo de confiança mais fechado, devido à qualidade de ajuste da curva aos dados. Portanto, os erros dos resultados foram inferiores ao do modelo ARX.

Os trabalhos de Liu, [8] e [9], indicam que o conteúdo de fibra na cana-de-açúcar tem uma relação direta com o

PSc. Avaliamos a inclusão da curva de acumulação de fibra

(Fc) como variável de entrada na redução de erro do modelo

nebuloso. Os resultados estão na tabela IV apresentando uma redução do erro quadrático médio dentro do intervalo de confiança da curva ajustada e em comparação com os dados da tabela III.

Assim, comprova-se que a inclusão de Fc aumenta a

exatidão do modelo nebuloso. Contudo isso cria um problema adicional, uma vez que é necessário então se

estimar um modelo para Fc considerando os dados climáticos

disponíveis. Isto aumenta complexidade do problema que não cabe neste trabalho, mas indica um caminho para a continuidade deste trabalho.

A variável Fc não foi aplicada ao modelo ARX por dois

motivos: o método de tentativa e erro é ineficiente para determinar uma boa estrutura para este modelo, uma vez que tem mais de uma solução possível para um dado conjunto de ajuste, além do tempo computacional dispensado e pela sua

inferioridade em relação ao modelo nebuloso apresentada nos resultados anteriores.

TABELA IV

MODELO NEBULOSO TREINADO COM OS DADOS DAS DUAS VARIEDADES SELECIONADOS A PARTIR DA AUTOCORRELAÇÃO DOS DADOS DE SAÍDA

Modelo nebuloso

Erro fora das fronteiras

[g m-2_] Erro à curva ajustada _{[g m}-2_]

VARIEDADE Q138 Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 6,8 144,4 41,4 0 146 407,3 272,4 183,1 Média 48,1 252.2 VARIEDADE Q141 Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3 Ensaio 4 0 0 728,9 0 212,1 91,5 232,8 202 Média 182,2 184,6

Podemos ver na tabela IV que houve um aumento da aproximação da curva estimada com a curva ajusta, apesar de alguns saltos fora do intervalo de confiança, mas de uma forma geral aumentou a qualidade de modelo.

C

Pelos resultados computacionais apresentados e pelas análises apresentadas a função de correlação cruzada apresentou bons resultados para a seleção de variáveis e do conjunto de dados. Observa-se que o modelo nebuloso obteve uma resposta mais acurada e o ajuste realizado para a variedade Q138 apresentou uma resposta mais exata que o modelo ARX ajustado para a variedade Q141. O modelo nebuloso tratado neste trabalho consegue aproximar o comportamento das duas variedades de cana-de-açúcar. Portanto, o modelo apresentado consegue representar o comportamento do desenvolvimento da cultura da cana-de-açúcar para duas variedades diferentes.

Na continuidade deste trabalho vamos explorar um sistema MIMO para incorporar outras variáveis do comportamento da cana-de-açúcar.

A

Gostaria de agradecer a CAPES, pelo apoio financeiro e ao Prof. Dr. Ginalber Luiz Oliveira Serra da Universidade de Santiago do Chile por suas observações e comentários.

R

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