ESTUDO DOS LOGARITMOS

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11

Professor Cláudio Kaneko



_{LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL}

Sejam

aa

ee

b

números reais positivos enúmeros reais positivos e

b

≠

11

.. Chama-se logaritmo de

Chama-se logaritmo de

aa

na basena base

b

o expoenteo expoente

xx

taltal que b que bxx= a.= a. Ou seja: Ou seja: log log bba = xa = x

⇔

bbxx = a= a Onde: Onde: a

a

→

logaritmando ou antilogaritmologaritmando ou antilogaritmo b b

→

basebase x x

→

logaritmologaritmo        

Exemplo:

 Determine:Determine: a) log a) log2288

Resolução:

Representando por x o valor procurado, temos: Representando por x o valor procurado, temos: log log228 = x8 = x

⇔

22xx = 8= 8

⇔

22xx = 2= 233

⇔

x = 3x = 3 Portanto, log Portanto, log228 = 38 = 3 b) log b) log3399

Resolução:

⇔

33xx = 9= 9

⇔

33xx = 3= 322

⇔

x = 2x = 2 Portanto, log Portanto, log339 = 29 = 2        

APLICAÇÕES

01.

Calcule:Calcule: a) log

a) log2216 16 e) e) loglog 2222 b) log

b) log33243 243 f) f) loglog171711 c) log

c) log77(1/49) (1/49) g) g) loglog(5/3)(5/3)0,60,6 d) log

d) log101010001000

02.

Calcular o Calcular o valor valor de de x x na na igualdade: igualdade: loglog₉₉33 2727= x.= x.

03.

Determine o valor de:Determine o valor de: a) a) loglog₅₅55 55 c)c) 2 2 2 2 log log 3 3 4 4 b) log

b) log0,20,20,04 0,04 d) d) loglog0,040,04 0,20,2

04.

O valor deO valor de lloogg₈₈331616 éé:: a)

a) 4/9 4/9 b) b) 4/3 4/3 c) c) 1/3 1/3 d) d) 3 3 e) e) 44



_{CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA}

A partir dos exemplos abaixo, vamos estabele A partir dos exemplos abaixo, vamos estabele -cer alguns critérios para a existência de um logaritmo. cer alguns critérios para a existência de um logaritmo.

       

Exemplos:

a) Não existe log

a) Não existe log –3 –3 27, pois não existe x real para que27, pois não existe x real para que se tenha (-3)

se tenha (-3)xx= 27.= 27. b) Não existe log

b) Não existe log 00 7, pois não existe x real para que se7, pois não existe x real para que se tenha 0

tenha 0xx= 7.= 7. c) Não existe log

c) Não existe log 11 3, pois não existe x real para que se3, pois não existe x real para que se tenha 1

tenha 1xx= 3.= 3.



_Conclusão:

_{a base de um logaritmo não pode ser}_{a base de um logaritmo não pode ser}

negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um. negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um. d) Não existe log

d) Não existe log 22 (-8) , pois não existe x real para que(-8) , pois não existe x real para que se tenha 2

se tenha 2xx= -8.= -8. e) Não existe log

e) Não existe log 55 0, pois não existe x real para que se0, pois não existe x real para que se tenha 5

tenha 5xx= 0.= 0.



_Conclusão:

_{o logaritmando não pode ser negativo e}_{o logaritmando não pode ser negativo e}

nem igual a zero. nem igual a zero.







≠

<

>

1 1 b b 0 0 0 0 a a :: C.E. C.E. 



_{CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO}

       

Exemplo:



Considerando a definição e as condições de existên -Considerando a definição e as condições de existên -cia de um logaritmo, calcule:

cia de um logaritmo, calcule: a) log

a) log5511

Resolução:

⇔

55xx = 1= 1

⇔

55xx= 5= 500

⇔

x = 0x = 0 Ou seja: log Ou seja: log 551 = 01 = 0 b) log b) log3333

Resolução:

⇔

33xx = 3= 311

⇔

x = 1x = 1 Ou seja: log Ou seja: log 333 = 13 = 1 c) log c) log222255

Resolução:

Representando por x o valor procurado, temos: Representando por x o valor procurado, temos: log log222255= x= x

⇔

22xx = 2= 255

⇔

x = 5x = 5 Ou seja: log Ou seja: log 2222 5 5 = 5 = 5 d) d) ₅₅loglog552525

Resolução:

Analisando o expoente temos: Analisando o expoente temos: log

log552525

⇔

loglog5555 2 2

_⇔

log

log5525 = 225 = 2

Substituindo o valor encontrado temos: Substituindo o valor encontrado temos: 25 25 log log55 5 5 = 5= 522= 25= 25 Ou seja:

Ou seja: ₅₅loglog552525₌₌₂₂₅₅

A partir dos exemplos acima é possível observar A partir dos exemplos acima é possível observar que:

que:

log

logbb1 1 = = 0 0 loglogaaa = 1a = 1

log

logaaaann= n = n bbloglogbbaa

=

aa

ESTUDO DOS LOGARITMOS

LOGARITMOS LOGARITMOS

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       

APLICAÇÕES

05.

Qual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmoQual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmo de 1/8 na base 4?

de 1/8 na base 4?

06.

Calcular com o auxílio da definição:Calcular com o auxílio da definição:

a) 27 a) loglog 27 9 9 1 1 b) b) loglog₃₃ ₃₃2727

07.

Determinar o valor de baseDeterminar o valor de base

n

que verifica a igualda -que verifica a igualda -de log

de lognn16 = 416 = 4

08.

Calcule os seguintes logaritmos:Calcule os seguintes logaritmos: 3 3 3 3 log log a) a) 9 9 1 1 f)f)loglog16163388 3 3 7 7 49 49 7 7 log log b) b) 33 25 25 1 1 55 log log g) g) 0,6 0,6 log log c) c) 27 27 125 125 h)h)loglog221616 22













+

125 125 93 93 2 2 log log d) d) _1,4_1,4 i)i)loglog₁₀₀₁₀₀ 0,0010,001 169 169 144 144 log log e) e) 12 12 13 13 77 7 7 1 177 77 log log j) j)

09.

Calcule o valor dos logaritmos abaixo:Calcule o valor dos logaritmos abaixo: a) log

a) log2232 32 h) h) loglog 33(1/81)(1/81) b) log

b) log3381 81 i) i) loglog0,010,01 10001000 c) log

c) log2525125 125 j) j) loglog0,010,01 0,00010,0001 d) log

d) log44 2 2 k) k) lologg0,06250,0625(1/1024)(1/1024) e) log

e) log10100,001 0,001 l) l) loglog55

_













4 4 2 2 2 2 2 2 .. 3 3 12 12 f) log f) log55625625 g) log g) log77343343

10.

O valor deO valor de

_











4 4 log log 2 2 log log 16 16 4 4 é:é: a) a) 4 4 b) b) 1/2 1/2 c) c) 10 10 d) d) 1 1 e) e) 1616

11.

Calcule a soma S em cada caso:Calcule a soma S em cada caso: 5 5 log log 9 9 1 1 log log 8 8 log log S S a) a)

=

₂₂

+

₃₃

+

₅₅ 2 2 log log --5 5 log log 0,1 0,1 log log S S b) b) 2 2 3 3 25 25 100 100

+

=

2 2 log log 0,001 0,001 log log --0,6 0,6 log log S S c) c) 8 8 1 1 10 10 5 5 3 3

+

=

12.(IME-RJ)

Calcule o valor do logaritmo de 625 na ba-Calcule o valor do logaritmo de 625 na ba-se

se 5533 55..



_{IGUALDADE ENTRE LOGARITMOS}

Dois logaritmos na mesma base serão iguais, Dois logaritmos na mesma base serão iguais, se, e somente se seus logaritmandos também forem se, e somente se seus logaritmandos também forem iguais.

iguais.

Então: Então:

log

logbba = loga = log bbcc

⇔

a = ca = c

       

Exemplo:



Sendo logSendo log 33x = logx = log339, encontre o valor de x.9, encontre o valor de x.

Resolução:

log

log33x = logx = log 3399

⇔

x = 9x = 9 



_{PROPRIEDADES OPERATÓRIAS}

Os logaritmos apresentam algumas proprieda Os logaritmos apresentam algumas proprieda des que tornam fundamental a sua utilização, principal des que tornam fundamental a sua utilização, principal -mente na simplificação de cálculos. Dentre elas mente na simplificação de cálculos. Dentre elas teremos:

teremos:

P1) Logaritmo de Um Produto

log

logaa(M . N) = log(M . N) = logaa M + logM + logaaNN

P2) Logaritmo de Um Quociente

log

log aa(M : N) = log(M : N) = logaaM - logM - logaaNN

P3) Logaritmo de Uma Potência

log logaann k k = k . log = k . log aann        

Exemplos:

a) log

a) log33(4 . 5) = log(4 . 5) = log 334 + log4 + log3355 b) log

b) log223 + log3 + log 227 = log7 = log22(3 . 7)(3 . 7) c) log

c) log55(10 : 5) = log(10 : 5) = log5510 - log10 - log5555 d) log

d) log3327 - log27 - log33 9 = log9 = log33(27 : 9)(27 : 9) e) log

e) log228833= 3 . log= 3 . log2288 f) 2 . log

f) 2 . log55125 = log125 = log 55125125 2 2        

APLICAÇÕES

13.

Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a eDeterminar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.

log 3 = b.

14.

Se logSe log aab = 1, então calcular logb = 1, então calcular log aa(a . b).(a . b).

15.

Se logSe log22b – logb – log 22a = 5, então determinar o quocientea = 5, então determinar o quociente b / a.

b / a.

16.(Fuvest-SP)

Resolvendo-se 3 log x = 2 log 8, iremosResolvendo-se 3 log x = 2 log 8, iremos obter: obter: a) x = a) x =

±

4 4 c) c) x x = = 4 4 e) e) x x = = ( ( 8 8 ))2/32/3 b) x = b) x =

±

1/4 1/4 d) d) x x = = 1/41/4

17.

Considerando logConsiderando logaa2 = 0,69 e log2 = 0,69 e logaa3 = 1,10, calcular 3 = 1,10, calcular 4 4 a a 1212 lloogg ..

18.

Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, cal-Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, cal-cular:

cular: a)

a) log log 8 8 g) g) log log 0,00010,0001 b)

b) log log 12 12 h) h) log log 200200 c)

c) log log 72 72 i) i) log log 30003000 d)

d) loglog 22 j)j) loglog33 6060

e) 108

e) lloog g 108 kk)) _log_log44_1,2_1,2 f)

f) log log 5 5 l) l) log log (0,54)(0,54)0,50,5

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mudando para mudando para base “c” base “c”

19.

Calcule log 24, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.Calcule log 24, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.

20.(FAAP-SP)

Ache y real sabendo-se que:Ache y real sabendo-se que: log

log ₂₂y = logy = log₂₂3 + log3 + log ₂₂6 – 3 log6 – 3 log₂₂44

21.(Objetivo-SP)

Se logSe log xxy = 2, então logy = 2, então logxx(xy) é:(xy) é: a)

a) 0 0 b) b) 1 1 c) c) 2 2 d) d) 3 3 e) e) 44

22.(FGV-SP)

Considerando o valor de logConsiderando o valor de log 1010 2 = 0,30102 = 0,3010 e log

e log10103 = 0,4771, então poderemos afirmar que o valor 3 = 0,4771, então poderemos afirmar que o valor de log

de log10100,6 será igual a:0,6 será igual a: a) a) 1,7781 1,7781 d) d) – – 0,22190,2219 b) b) – – 0,7781 0,7781 e) e) 0,22190,2219 c) 0,7781 c) 0,7781

23.(PUC-SP)

O valor de logO valor de log0,040,04 125 é igual a:125 é igual a: a)

a) –2/3 –2/3 b) b) –4/3 –4/3 c) c) –3/2 –3/2 d) d) 2/3 2/3 e) e) 4/34/3

24.(Fuvest-SP)

Sabendo-se que aSabendo-se que a22 + b+ b22 = 70ab, calcule= 70ab, calcule

( (

))

ab ab b b a a log log 2 2 5 5

+

em função de m = log

em função de m = log552 e n = log2 e n = log553.3.

25.(PUCCAMP-SP)

O sistemaO sistema







=

+

5 5 3y 3y --4x 4x 1 1 y y log log x x log log₂₂ ₂₂ tem so tem so lução, tal que x + y seja igual a:

lução, tal que x + y seja igual a: a)

a) 3 3 b) b) 1 1 c) c) –11/7 –11/7 d) d) 41/1241/12



_{MUDANÇA DE BASE}

log logaa bb a a log log b b log log c c c c        

Exemplo:



Mudar para base “2” os logaritmos:Mudar para base “2” os logaritmos: a) log a) log4455

Resolução:

4 4 log log 5 5 log log 5 5 log log 2 2 2 2 4 4

=

b) log b) log1/81/899

Resolução

(1/8) (1/8) log log 9 9 log log 9 9 log log 2 2 2 2 8 8 1 1

=

 

_COLOGARITMO

colog

colog aab = - logb = - logaabb

       

Exemplo:

a) colog

a) colog 228 = - log8 = - log228 = -38 = -3 b) colog

b) colog 331/9 = - log1/9 = - log331/9 = -(-2) = 21/9 = -(-2) = 2

       

APLICAÇÕES

26.

Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771,Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule:

calcule: a) log

a) log664 4 c)c) loglog331212 e)e) cologcolog33108108 b)

b) lloog g 66 dd) ) ccoolloog g 772 2 ff) ) ccoolloog g 1155-1-1

27.

Considere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 e mostreConsidere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 e mostre que colog

que colog332 = log2 = log1/31/3 2.2.

28.

Qual é a base de um sistema logarítmico, onde oQual é a base de um sistema logarítmico, onde o logaritmo é 1/2 e o antilogaritmo é logaritmo é 1/2 e o antilogaritmo é 2 2 2 2 .. 



_{EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS}

São equações que apresentam a incógnita São equações que apresentam a incógnita localizada no logaritmando e/ou na base do logaritmo. localizada no logaritmando e/ou na base do logaritmo.

       

Exemplos:

a) log

a) log33(log(log22x) = 2x) = 2 b) log

b) logxx(x + 6) = 2(x + 6) = 2

As equações logarítmicas podem se apresentar As equações logarítmicas podem se apresentar em dois tipos básicos que são:

em dois tipos básicos que são:

1º TIPO

       

Exemplos:



 Determinar o conjunto solução das seguintes equa -Determinar o conjunto solução das seguintes equa -ções logarítmicas:

ções logarítmicas: a) log

a) log55(log(log22x) = 0x) = 0

Resolução:

Aplicando a definição, duas vezes, obtemos: Aplicando a definição, duas vezes, obtemos: log

log55(log(log22x) = 0x) = 0

log log22x = 5x = 5 0 0 log log22x =1x =1 x = 2 x = 211

⇔

x =2x =2 S = { 2 } S = { 2 } b) log b) logxx(x + 6) = 2(x + 6) = 2

Inicialmente aplicaremos a definição de logarit Inicialmente aplicaremos a definição de logarit -mo e, em seguida, resolvere-mos a equação do 2º grau. mo e, em seguida, resolveremos a equação do 2º grau.

Resolução:

log logxx(x + 6) = 2(x + 6) = 2 x x22= x + 6= x + 6 x x22– x – 6 = 0– x – 6 = 0 a = 1; b = -1 e c = -6 a = 1; b = -1 e c = -6

∆

= (-1)= (-1)22– 4 . 1 . (-6) = 25– 4 . 1 . (-6) = 25







=

±

=

3 3 x" x" C.E.) C.E.) a a contraria contraria pois pois convém, convém, (não (não 2 2 --x' x' 2 2 5 5 1 1 x x S = { 3 } S = { 3 }        

APLICAÇÕES

29.

Resolver as equações:Resolver as equações: a) log

a) log1/21/2(log(log99x) = 1x) = 1 b) log

b) log33(2x – 1) = 4(2x – 1) = 4

30.

Resolver a equação logResolver a equação log22[log[logxx(x + 2)] = 1(x + 2)] = 1

31.

Determine o conjunto verdade das seguintes equa -Determine o conjunto verdade das seguintes equa -ções logarítmicas:

ções logarítmicas: a) log

a) log77(log(log22x) = 0x) = 0 b) log

b) log33(log(log55x) = 1x) = 1 c) log

c) log22(x + 4) = 3(x + 4) = 3

Aquelas em que aplicaremos apenas a

Aquelas em que aplicaremos apenas a defini- defini-ção de logaritmo para sua resoludefini-ção.

ção de logaritmo para sua resolução.

C.E:

x > 0x > 0

C.E:

x + 6 > 0x + 6 > 0

⇔

x > -6x > -6 1 1

≠

x > 0x > 0

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2º TIPO

       

Exemplo:



Determinar o conjunto solução da equação logarítmi -Determinar o conjunto solução da equação logarítmi -ca:

ca:

log

log33(x + 7) + log(x + 7) + log33(x – 1) = 2(x – 1) = 2

Resolução:

Inicialmente aplicaremos a propriedade relativa Inicialmente aplicaremos a propriedade relativa ao logaritmo do produto, ou seja:

ao logaritmo do produto, ou seja: log

log33(x + 7) + log(x + 7) + log33(x – 1) = 2(x – 1) = 2 log log33[(x + 7) . (x – 1)] = 2[(x + 7) . (x – 1)] = 2 (x + 7) . (x – 1) = 3 (x + 7) . (x – 1) = 322 x x22– x + 7x – 7 – 9 = 0– x + 7x – 7 – 9 = 0 x x22+ 6x – 16 = 0+ 6x – 16 = 0 a = 1; b = 6 e c = -16 a = 1; b = 6 e c = -16

∆

= 100= 100







=

±

=

2 2 x" x" convém) convém) (não (não 8 8 --x' x' 2 2 10 10 6 6 --x x S = { 2 } S = { 2 }        

APLICAÇÕES

32.

Resolver a equação logResolver a equação log22(x – 1) + log(x – 1) + log 22(x – 2) = 1.(x – 2) = 1.

33.

Qual é o conjunto verdade da equação logarítmica aQual é o conjunto verdade da equação logarítmica a seguir log

seguir log xx(3x + 4) = log(3x + 4) = log xx(4x + 2)?(4x + 2)?

34.

Resolver a equação logResolver a equação log44x + logx + log 44(x + 12) = 3.(x + 12) = 3.

35.

Encontre o conjunto solução da equação abaixo:Encontre o conjunto solução da equação abaixo: log

log 33(2x + 1) + log(2x + 1) + log33(x + 8) = 3(x + 8) = 3

       

GABARITO

QUESTÃO 01: QUESTÃO 01:a) a) 4 4 b) b) 5 5 c) c) –2 –2 d) 3 d) 3 e) e) 1 1 f) f) 0 0 g) g) -1-1 QUESTÃO 02: QUESTÃO 02:x = 5/4x = 5/4 QUESTÃO 03 QUESTÃO 03: : a) a) 3/2 3/2 b) b) 2 2 c) c) –1/3 –1/3 d) d) 1/21/2 QUESTÃO 04:

QUESTÃO 04:AA QUESTÃO 05:QUESTÃO 05:2 e –3/22 e –3/2

QUESTÃO 06

QUESTÃO 06: : a) a) –3/4 –3/4 b) b) 22 QUESTÃO 07:QUESTÃO 07:n = 2n = 2

QUESTÃO 08: QUESTÃO 08: a) a) –3/4 –3/4 b) b) 1/3 1/3 c) c) –1/3 –1/3 d) d) 3 3 e) e) –2 –2 f) f) 1/41/4 g) g) –1/6 –1/6 h) h) 9/2 9/2 i) i) –3/4 –3/4 j) j) –8/7–8/7 QUESTÃO 09: QUESTÃO 09:a) a) 5 5 b) b) 4 4 c) c) 3/2 3/2 d) 1/4 d) 1/4 e) e) –3 –3 f) f) 4 4 g) g) 33 h) h) –4 –4 i)-3/2 i)-3/2 j) j) 2 2 k) k) 5/2 5/2 l) l) 00 QUESTÃO 10:

QUESTÃO 10:DD QUESTÃO 11:QUESTÃO 11:a) a) 3/2 3/2 b) –14/6 b) –14/6 c) c) 41/641/6

QUESTÃO 12:

QUESTÃO 12:33 QUESTÃO 13:QUESTÃO 13:a + ba + b QUESTÃO 14:QUESTÃO 14:22

QUESTÃO 15:

QUESTÃO 15:3232 QUESTÃO 16:QUESTÃO 16:CC QUESTÃO 17:QUESTÃO 17:0,620,62

QUESTÃO 18: QUESTÃO 18: a) a) 0,9030 0,9030 b) b) 1,0791 1,0791 c) c) 1,8572 1,8572 d) d) 0,15050,1505 e) e) 1,0167 1,0167 f) f) 0,6990 0,6990 g) g) –4 –4 h) h) 2,3010 2,3010 i) i) 3,4771 3,4771 j) j) 0,59270,5927 k) k) 0,0198 0,0198 l) l) –0,13385–0,13385 QUESTÃO 19:

QUESTÃO 19:3a + b3a + b QUESTÃO 20:QUESTÃO 20:9/329/32 QUESTÃO 21:QUESTÃO 21:DD

QUESTÃO 22:

QUESTÃO 22:DD QUESTÃO 23:QUESTÃO 23:CC QUESTÃO 24:QUESTÃO 24:3m + 2n3m + 2n

QUESTÃO 25: QUESTÃO 25:AA QUESTÃO 26: QUESTÃO 26: a) a) 0,7736 0,7736 b) b) 0,3890 0,3890 c) c) 0,3597 0,3597 d) d) –1,8572–1,8572 e) e) –0,6777 –0,6777 f) f) 1,17611,1761 QUESTÃO 27:

QUESTÃO 27:-0,630-0,630 QUESTÃO 28:QUESTÃO 28:1/21/2

QUESTÃO 29:

QUESTÃO 29:a) a) 3 3 b) b) 4141 QUESTÃO 30:QUESTÃO 30:22

QUESTÃO 31:

QUESTÃO 31:a) a) 2 2 b) b) 125 125 c) c) 44 QUESTÃO 32:QUESTÃO 32:33

QUESTÃO 33:

QUESTÃO 33:22 QUESTÃO 34:QUESTÃO 34:44 QUESTÃO 35:QUESTÃO 35:11

AS MARAVILHAS DA MATEMÁTICA!

ACÚSTICA E LOGARITMO ACÚSTICA E LOGARITMO

A ciência, nas suas várias ramificações, foi

beneficiada pelo advento do logaritmo. A título de exemplo,

descreveremos uma dessas aplicações.

Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som

apresenta características como: altura, intensidade e timbre.

No caso da intensidade (I), que representa a potência

de uma onda sonora por unidade de área (W/m

22

_),

encontraremos detalhes interessantes como é o caso da

limitação

auditiva.

Para

perceber a on

da sonora, o

tímpano hu

mano neces

sita que ela

tenha, no mí

nimo, uma in

tensidade I

00

=

= 10

10

-12-12

(W/m

22

), chamado de limiar de

audibilidade e, no máximo, de 1 (W/m

22

), chamado de limiar

da dor.

O nível sonoro (N) representa a comparação entre a

intensidade sonora (I) e o limiar da audibilidade (I

00

). A sua

unidade usual chama-se decibel (dB).

A grandeza nível sonoro (N) obedece a uma escala

logarítmica, sendo definida por:

0 0 II II log log .. 10 10 N N==

É possível relacionar esses conceitos com diversas

situações do cotidiano.

--

O ouvido humano apresenta lesões irrecuperáveis

sempre que é exposto, por um determinado tempo, a

níveis sonoros (N) superiores a 80 (dB).

--

As unidades bel (B) e decibel (dB) representam uma

homenagem ao físico escocês Alexander Graham Bell

(1847 – 1922).

Aquelas em que aplicaremos as proprie Aquelas em que aplicaremos as proprie -dades do logaritmo para a resolução. dades do logaritmo para a resolução.