CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
GEO213 TRABALHO DE GRADUAÇÃO
DETERMINAÇÃO AUTOMÁTICA DA
VELOCIDADE DE EMPILHAMENTO E
OBTENÇÃO DA SEÇÃO ZERO-OFFSET
MARCELO SANTANA DE SOUZA
SALVADOR BAHIA JULHO 2014
por
Marcelo Santana de Souza
Orientador: Prof. Dr. Milton J. Porsani
GEO213 TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Departamento de Geofísica do
Instituto de Geociências da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora Dr. Milton J. Porsani (Orientador) Dr. Sérgio L. de Moura Freire Msc. Michelângelo G. da Silva
algum, porque Tu estás comigo, a tua vara e o teu cajado me consolam.
Neste trabalho, apresentamos um novo método de picking automático das velocidades de empilhamento que consiste em calcular, automaticamente, as velocidades associadas às re exões primárias dentro de um corredor (função guia) no espectro de velocidades, obtendo a seção zero-oset e o campo de velocidades da linha sísmica processada. Para auxiliar a análise de velocidades, utilizamos outras ferramentas, que são o método de decomposição SVD (Singular Value Decomposition) e o logaritmo da medida de coerência MUSIC (Multiple Signal Classi cation).
O SVD é aplicado nos painéis corrigidos de NMO à velocidade constante, para melhorar a razão sinal/ruído dos espectros de velocidades. Esse método faz a decomposição da matriz em outras matrizes chamadas de autoimagens, cada uma associada a um valor singular. A primeira autoimagem, associada ao maior valor singular, é a que contém a maior informa-ção correlacionável, correspondendo ao sinal, enquanto que as últimas possuem informações relacionadas aos ruídos. Para obter a primeira autoimagem, utilizamos o método iterativo chamado de power method.
O logaritmo da medida de coerência MUSIC foi aplicado no intuito de melhorar a resolução dos espectros, realçando os valores de maior coerência, relacionados com o sinal, em detrimento do ruído. A obtenção da velocidade de empilhamento é feita pelo cálculo de uma média das velocidades em cada amostra, ponderada pelos valores de coerência. Esse corredor além de restringir a região de análise, tem a vantagem de diminuir o custo computacional.
O método foi aplicado em famílias CMPs da Bacia do Jequitinhonha para gerar os campos de velocidades e suas correspondentes seções zero-oset. O método é relativamente simples de implementar e computacionalmente rápido. De um modo geral, os campos de ve-locidades apresentaram-se coerentes, porque as seções zero-oset obtidas foram satisfatórias, apresentando boa continuidade dos re etores, muitas vezes superando o método convencio-nal.
In this work, we present a new method of automatic picking of the stacking velocities that consist in to calculate, automatically, the velocities associated to the primary re ections, inside a corridor in the velocity spectra, obtaining the zero-oset section and the velocity eld. To assist the velocity analysis, we use other tools that is the SVD (Singular Value Decomposition) method and the logarithm of the measure of coherency MUSIC (Multiple Signal Classi cation).
We use the SVD on constant velocity panels of CMP corrected from normal moveout (NMO), to improve the signal to noise ratio. This method makes the decomposition of the matrix in others matrices called eigenimages, each of them associated to one singular value. The rst eigenimage, related to the greatest singular value, is the matrix which has the greatest correlated information, corresponding to the signal, while the last eigenimages contain informations related to the noises. To obtain the rst eigenimage, we use the iterative method called power method.
In order to enhance the greatest values of coherency, related to the signal, we applied the logarithm of the measure of coherency MUSIC. Obtaining the stacking velocity is done calculating an average of the velocities in each sample, weighted by the coherency values. This corridor both restrict the region of analysis and has the advantage of reducing the computational cost.
We applied the method in CMP gathers of the Jequitinhonha Basin to generate the velocity elds and the corresponding zero-oset section. The method is both relatively simple to implement, and computationally fast. In general, the velocity elds are consistent because the zero-oset sections obtained were satisfactory, with good continuity of re ectors, often surpassing the conventional method.
RESUMO . . . iii
ABSTRACT . . . iv
ÍNDICE . . . v
ÍNDICE DE TABELAS . . . vii
ÍNDICE DE FIGURAS . . . viii
INTRODUÇÃO . . . 1
CAPÍTULO 1 Análise de velocidades e empilhamento CMP . . . 3
1.1 Organização de dados sísmicos em famílias CMP . . . 3
1.1.1 Levantamento de dados sísmicos . . . 3
1.1.2 Processamento CMP . . . 4
1.2 Correção de normal moveout (NMO) . . . 5
1.2.1 NMO em um meio horizontalmente estrati cado . . . 7
1.2.2 NMO para re etores inclinados . . . 8
1.2.3 Estiramento NMO . . . 9
1.3 Velocidade de empilhamento e análise de velocidades . . . 11
1.3.1 O espectro de velocidades . . . 12
1.3.2 Medida de coerência e semblance . . . 14
1.3.3 Análise de velocidades em um corredor de velocidades . . . 15
1.4 Aplicação da análise de velocidades convencional em famílias CMPs . . . 15
1.5 Empilhamento CMP . . . 16
CAPÍTULO 2 Decomposição SVD . . . 18
2.1 Matriz de covariância . . . 18
2.2 Autovalores e autovetores . . . 19
2.3 Decomposição em valores singulares (SVD) . . . 20
2.3.1 Importância das autoimagens . . . 21
CAPÍTULO 3 Aplicação do método de picking automático . . . 22
3.1 A decomposição SVD na geração dos espectros de velocidades . . . 23
3.4 Aplicação da função muting aos dados corrigidos de NMO . . . 31
CAPÍTULO 4 Resultados e discussões . . . 32
4.1 Linha 214-0268 . . . 33
4.2 Linha 214-0270 . . . 40
4.3 Linha 214-0298 . . . 47
4.4 Discussão dos resultados . . . 56
CAPÍTULO 5 Conclusões . . . 59
Agradecimentos . . . 60
APÊNDICE A Programas e comandos do Seimic Unix . . . 61
A.1 Análise de velocidades . . . 61
A.2 Geração do campo de velocidades . . . 63
A.3 Correção NMO e empilhamento CMP (método convencional) . . . 64
A.4 Conversão para acesso direto . . . 64
A.5 Visualização do picking automático . . . 64
A.6 Suavização do campo de velocidades . . . 65
4.1 Parâmetros de aquisição da linha sísmica 214-268 da Bacia do Jequitinhonha. 33 4.2 Parâmetros de aquisição da linha sísmica 214-270 da Bacia do Jequitinhonha. 40 4.3 Parâmetros de aquisição da linha sísmica 214-298 da Bacia do Jequitinhonha. 47
1.1 Tipos de organização de dados sísmicos. . . 4 1.2 Trajetória dos raios para uma família de ponto médio comum. Para um re etor
plano em (a) e para um re etor inclinado em (b). . . 4 1.3 Trajetória do raio para um CMP. . . 5 1.4 Sismograma para um modelo de duas camadas em (a). O mesmo sismograma
corrigido de NMO encontra-se em (b). . . 6 1.5 Equema de aplicação da correção NMO. . . 7 1.6 Trajetória do raio para um meio horizontalmente estrati cado. . . 7 1.7 Geometria da trajetória de um raio para um modelo com uma camada inclinada. 9 1.8 Estiramento do período T de um pulso em (a) para um período T0 após
correção NMO em (b). Adaptado de Yilmaz (1987). . . 10 1.9 Família CMP real da parte rasa da Bacia de Jequitinhonha em (a); em (b)
observamos a mesma família CMP corrigida de NMO, evidenciando o efeito do estiramento. . . 11 1.10 Esquema de geração do espetro de velocidades. Modi cado de Kearey et al.
(2009). . . 13 1.11 Traço empilhado após a correção NMO. Adaptado de Evans e Dragoset (1997). 17 3.1 Comparação entre o painel de semblance convencional em (a) e o painel de
semblance da primeira autoimagem em (b). Em (c) e (d) observamos a mesma comparação de forma mais detalhada. . . 25 3.2 Comparação entre o painel de semblance convencional em (a) e o painel do
logaritmo da MUSIC. Em (c) e (d) observamos a mesma comparação de forma mais detalhada. . . 27 3.3 Espectros de velocidades com diferentes medidas de coerência: em (a) a
sem-blance convencional, em (b) a semsem-blance da 1a autoimagem, em (c) temos o
logaritmo da MUSIC da 1a autoimagem e sua respectiva região detalhada em
(d). . . 28 3.4 Determinação automática das velocidades de empilhamento: em (a) a
de-terminação é feita percorrendo um corredor de velocidades em um completo espectro de velocidades; em (b) determina-se as velocidades em um corredor onde é gerado o próprio espectro de velocidades. Em ambos os casos, a medida de coerência utilizada é o logaritmo da MUSIC da primeira autoimagem. . . 30
4.1 Localização da Bacia do Jequitinhonha. (Fonte: ANP) . . . 32 4.2 Levantamentos sísmicos da Bacia do Jequitinhonha. Fonte: Alves (2008) . . 33 4.3 Família CMP da linha 214-0268 em (a), a determinação das velocidades de
empilhamento em (b) e o painel corrigido de normal moveout em (c). . . 35 4.4 Campos de velocidades da linha 214-0268: obtido após a análise de
velocida-des convencional em (a), após a determinação automática das velocidavelocida-des de empilhamento em (b) e sua respectiva suavização em (c). . . 36 4.5 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0268 após análise de velocidades
con-vencional. . . 37 4.6 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0268 após a determinação automática
das velocidades instantâneas de empilhamento. . . 38 4.7 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0268 após a determinação automática
das velocidades instantâneas de empilhamento após suavização do campo de velocidades. . . 39 4.8 Região detalhada das seções zero-oset da linha 214-0268 obtidas pelo método
convencional em (a), pelo método de picking automático sem suavização do campo de velocidades em (b), e com suavização do campo de velocidades em (c). . . 40 4.9 Família CMP da linha 214-0270 em (a), a determinação das velocidades
ins-tantâneas de empilhamento em (b) e o painel corrigido de normal moveout em (c). . . 42 4.10 Campo de velocidades da linha sísmica 214-270 obtido após análise de
velo-cidades convencional em (a), após a aplicação do método em (b) e após a aplicação do método depois da suavização em (c). . . 43 4.11 Seção zero-oset da linha 214-0270 gerada após análise de velocidades
con-vencional. . . 44 4.12 Seção zero-oset da linha 214-270 obtida após a determinação automática das
velocidades instantâneas de empilhamento. . . 45 4.13 Seção zero-oset da linha 214-270 obtida após a determinação automática das
velocidades instantâneas de empilhamento e suavização do campo de veloci-dades. . . 46 4.14 Região detalhada das seções zero-oset da linha 214-0270 obtidas pelo método
convencional em (a), pelo método de picking automático sem suavização do campo de velocidades em (b), e com suavização do campo de velocidades em (c). . . 47 4.15 Família CMP em (a), a determinação das velocidades instantâneas de
com e sem aplicação da suavização, respectivamente. . . 50 4.17 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0298 após análise de velocidades
con-vencional. . . 51 4.18 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0298 após a determinação automática
das velocidades instantâneas de empilhamento sem aplicação do muting. . . . 52 4.19 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0298 após a determinação automática
das velocidades instantâneas de empilhamento com aplicação do muting. . . 53 4.20 Seção zero-oset da linha sísmica 214-0298 após a determinação automática
das velocidades instantâneas de empilhamento com suavização do campo de velocidades e aplicação do muting. . . 54 4.21 Detalhe da porção esquerda das seções zero-oset da linha 214-0298 obtidas
pelo método convencional em (a), pelo método de picking automático sem suavização do campo de velocidades em (b), e com suavização do campo de velocidades em (c). . . 55 4.22 Detalhe da porção direita das seções zero-oset da linha 214-0298 obtidas
pelo método convencional em (a), pelo método de picking automático sem suavização do campo de velocidades em (b), e com suavização do campo de velocidades em (c). . . 55
A obtenção de um bom campo de velocidades é um dos quesitos mais importantes no processamento sísmico CMP. Essa premissa se deve pelo fato de que a qualidade do campo de velocidades sísmicas em subsuperfície re ete diretamente na qualidade da seção zero-oset obtida, sendo importante nas etapas do empilhamento CMP e na migração. Dessa forma, a etapa da análise de velocidades torna-se imprescindível, pois quanto maior a acurácia na determinação das velocidades, ótimas para o empilhamento, melhor será o resultado da seção sísmica que se deseja obter.
Atualmente, a forma mais convencional da análise de velocidades de empilhamento é realizada utilizando-se um espectro de velocidades, associado à uma medida de coerência, geralmente a semblance. Neste caso, determina-se manualmente os valores de velocidade associados aos pontos de coerência que correspondem às re exões primárias. Essa etapa costuma ser relativamente trabalhosa, primeiramente pelo fato de o trabalho ser feito manu-almente, o que culmina num grande tempo gasto, principalmente se a linha em que se deseja processar possui muitas famílias CMPs. Segundo, esse processo requer certa experiência do intérprete, visto que muitas energias que não são re exão primária estão presentes durante a análise. No intuito de diminuir o tempo gasto e o trabalho manual do intérprete, o que se faz atualmente é a análise de velocidades apenas em algumas famílias CMPs da linha sísmica, e depois interpola-se as funções velocidades de modo a gerar o campo de velocidades, mas este método não seria o ideal, já que as funções velocidades não são determinadas separadamente para cada família CMP.
É importante lançarmos mão de novos métodos que auxiliem a determinação das veloci-dades de empilhamento. Um desses métodos consiste em fazer esse procedimento automati-camente, de forma a diminuir tempo gasto no processo de geração do campo de velocidades, de forma satisfatória, amenizando consideravelmente o trabalho do intérprete. Outros méto-dos que melhoram a análise de velocidades também podem ser aplicaméto-dos, resultando em um melhor espectro de velocidades, como novas medidas de coerência e métodos de ltragem, como por exemplo, a Decomposição em Valores Singulares (SVD).
A ltragem SVD tem sido normalmente utilizada e tem como objetivo reforçar a coe-rência espacial dos dados sísmicos, evidenciando as re exões, em detrimento do ruído. Freire (1986) utilizou a decomposição SVD na separação e extração de informação correlacionável em seções sísmicas e sismogramas CDPs. Freire e Ulrych (1988) aplicaram a decomposição SVD na separação dos campos ascendente e descendente em registros VSP (Vertical Seismic
Pro le). Porsani et al. (2010a), Porsani et al. (2010b) e Porsani et al. (2010c), usaram a ltragem SVD com outras nalidades, para realce do sinal sísmico, atenuação do ground roll e rastreamento de horizonte sísmico, respectivamente. Em análise de velocidades, a aplica-ção da ltragem SVD foi estudada por Ladino (2011). Recentemente, Ursin et al. (2013) aplicaram a decomposição SVD nos painéis corrigidos de NMO, no intuito de obter novos tipos de semblance generalizada.
Dentre as novas medidas de coerência que melhoram o espectro de velocidades, real-çando os pontos de maior coerência, podemos citar a MUSIC (Multiple Signal Classi cation), abordada por Schmidt (1986) e mais recentemente por Barros (2012). Ursin et al. (2013) aplicaram o logaritmo da MUSIC como medida de coerência nos espectros de velocidades ob-tidos após aplicação da decomposição SVD, gerando vários tipos de semblance generalizada. Esta aplicação também foi utilizada neste trabalho.
Atualmente na literatura, existem alguns trabalhos relacionados à determinação auto-mática das velocidades de empilhamento, apresentando outras abordagens, dentre os quais podemos citar Oliveira et al. (2012), o qual utiliza o método de otimização Algoritmo Ge-nético. Recentemente, temos o trabalho de Vieira et al. (2013) o qual aborda o picking automático como o um problema de otimização sequencial não linear.
O presente trabalho está organizado da seguinte forma: no capítulo 1 apresentamos a base teórica que envolve a análise de velocidades e o empilhameneto CMP. No capítulo 2 abordamos os conceitos e a matemática da ltragem SVD. No capítulo 3 é apresentado a aplicação e a teoria do método de determinação automática das velocidades de empilha-mento. No capítulo 4 são apresentados os resultados obtidos pelo método e suas respectivas discussões, e nalmente, relatamos no capítulo 5 as conclusões obtidas no trabalho. No apêndice A encontram-se alguns programas utilizados neste trabalho.
Análise de velocidades e empilhamento CMP
1.1 Organização de dados sísmicos em famílias CMP
1.1.1 Levantamento de dados sísmicosA aquisição de dados sísmicos é geralmente realizada pela utilização de uma fonte de energia, localizada próxima à superfície, a qual emite uma onda de choque que permeia as camadas em subsuperfície (Evans e Dragoset, 1997). Parte da energia transmitida pela onda, sofre re exão em uma das interfaces entre camadas, retorna para a superfície, e são detectadas através de sensores (receptores) denominados de geofones, em levantamentos terrestres, ou hidrofones, no caso de uma aquisição marinha, os quais transformam a energia de vibração das ondas em pulsos elétricos.
A representação grá ca da saída de um único geofone é uma representação visual do pa-drão local do movimento vertical do solo (em terra) ou da variação de pressão (no mar), num curto intervalo de tempo, após o disparo de uma fonte sísmica próxima (Kearey et al., 2009). Essa representação grá ca é denominada de traço sísmico e pode ser de nido como a res-posta combinada do meio estrati cado e o pulso sísmico. Na aquisição sísmica, inicialmente os dados são organizados de forma que o conjunto de traços, relacionado aos receptores, está associado a um único tiro, chamados de família de tiro comum (commom shot point gather), os receptores podem ser distribuídos em ambos os lados do tiro ou em apenas um dos lados de acordo com o arranjo de aquisição (split-spread ou end-on, respectivamente). Podemos organizar os dados sísmicos de uma maneira mais conveniente, por exemplo, se organizarmos os traços de forma que os mesmos correspondam ao mesmo receptor, teremos uma família de receptor comum, se os traços forem organizados de forma que possuam a mesma distância fonte-receptor (oset), teremos uma família de afastamento comum, e se os traços forem or-ganizados tendo em comum a distância do ponto médio fonte-receptor, teremos uma família de ponto médio comum ou CMP (Common Mid Point). Todos os tipos de organização de dados sísmicos podem ser visto na gura 1.1.
FAMÍLIA DE TIRO COMUM FAMÍLIA DE RECEPTOR COMUM
FAMÍLIA DE AFASTAMENTO COMUM FAMÍLIA DE PONTO MÉDIO COMUM
FONTE RECEPTOR
Figura 1.1: Tipos de organização de dados sísmicos.
1.1.2 Processamento CMP
A organização CMP é conhecida universalmente como ótima para o imageamento das cama-das geológicas em subsuperfície. Primeiro, o desenvolvimento matemático para esse tipo de abordagem é mais simples, principalmente se considerarmos interfaces horizontais, segundo, esse tipo de processamento gera uma melhor razão sinal ruído, já que o mesmo ponto em profundidade é amostrado diversas vezes para diferentes afastamentos. Se considerarmos os re etores em subsuperfície plano-paralelos e que não existe variação lateral de velocidade, os traços com ponto médio comum estarão associados a um único ponto re etor em pro-fundidade (da Silva, 2004), nesse caso, podemos chamar as famílias CMP de família CDP (Commom Depth Point) ( gura 1.2 (a)), conceito este que falha para o caso de re etores inclinados, pois temos diferentes pontos iluminados em profundidade para cada tiro, e dessa não existe mais essa equivalência ( gura 1.2 b).
CMP S1 S2 S3 S4 R1 R2 R3 R4 CDP (a) CMP S1 S2 S3 S4 R1 R2 R3 R4 (b) Sn− T IRO Rn− RECEP T OR
Figura 1.2: Trajetória dos raios para uma família de ponto médio comum. Para um re etor plano em (a) e para um re etor inclinado em (b).
O número de traços contidos numa família CMP é conhecido como multiplicidade ou cobertura (fold), e representa o número de vezes em que o ponto em subsuperfície, associado ao ponto médio comum, é imageado e, quanto maior a cobertura de uma família CMP, maior é a razão sinal/ruído.
Se observarmos a trajetória de um único raio que sai da posição da fonte S, percorre uma camada homogênea e isotrópica de velocidade v, re ete em um re etor plano num ponto O à uma profundidade h e chega no receptor a uma distância x no ponto R, sendo M o ponto médio da distância fonte-receptor ( gura 1.3), temos que a distância percorrida pelo raio é:
SOR2 = SR2 + (2h)2 Dessa forma, o tempo de trânsito para um único re etor é:
t(x)2 = 2h v 2 + xv2 t(x)2 = t(0)2+ x 2 v2 (1.1)
sendo t(0) = 2h/v o tempo duplo de trânsito ao longo da trajetória vertical MO.
S R O M 2h S' x v
Figura 1.3: Trajetória do raio para um CMP.
A equação (1.1) descreve uma hipérbole no plano tempo duplo versus distância, t(x)×x. Para uma família CMP, como na gura 1.1, os traços correspondem ao mesmo ponto em pro-fundidade, desta forma, o caráter hiperbólico no plano é devido aos diferentes afastamentos fonte-receptor, ou seja, quanto maior o oset maior o tempo duplo de re exão.
1.2 Correção de normal moveout (NMO)
A gura 1.4 (a) mostra um exemplo de traços numa família CMP para um modelo contendo dois re etores. Podemos perceber que os tempos duplos t(x), associados a um determinado
oset, são maiores que o tempo duplo t(0), correspondente ao afastamento nulo (zero-oset). T emp o (s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 Tempo[s] 20 40 60 80 Offset[m] T emp o (s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 Tempo[s] 20 40 60 80 Offset[m] (a) (b)
Figura 1.4: Sismograma para um modelo de duas camadas em (a). O mesmo sis-mograma corrigido de NMO encontra-se em (b).
A diferença entre o tempo duplo em um dado oset e o tempo duplo zero-oset é chamado de normal moveout (NMO) ou sobretempo normal (Yilmaz, 1987), e conhecendo-se o afastamento x, t(x) e t(0), podemos através da equação (1.1), encontrar a velocidade da camada situada acima do re etor. O ajuste dessa diferença de tempo é chamado de correção de normal moveout (NMO). Na prática, a correção NMO é feita através de uma estimativa de velocidade. A velocidade que melhor horizontaliza as hipérboles de re exão é a velocidade NMO, vN M O, a qual é a velocidade do meio. A gura 1.4 (b) mostra o sismograma sintético
com os re etores corrigidos de NMO. Uma vez corrigidos, os traços em uma família CMP são somados, resultando em um único traço de afastamento nulo. Dessa forma, o tempo de trânsito é obtido por:
t(x)2 = t(0)2+ x
2
v2 N M O
(1.2) e a correção NMO será dada por:
∆tN M O = t(x) − t(0) = t(0) " 1 + x vN M Ot(0) 2#1/2 − 1 (1.3) Considerando um re etor plano, quando a velocidade aplicada é maior do que a velocidade
velocidade menor, ocorrerá uma sobrecorreção. Para um determinado traço, associado a um oset x e que apresenta uma amplitude A num tempo t(x), numericamente, a ideia é encontrar a amplitude A0
( gura 1.5), correspondente ao tempo t(0), após a correção NMO. Computacionalmente, como a amplitude A em t(x) não necessariamente ca localizada em um ponto de amostragem, interpola-se os valores de amplitude entre amostras vizinhas para calcular o valor da amplitude em t(x).
x x
t t0 = t(0)
A0 /
A ∆tN M O
Figura 1.5: Equema de aplicação da correção NMO.
1.2.1 NMO em um meio horizontalmente estrati cado
Consideremos um meio composto por n camadas horizontais, cada uma com velocidades intervalares v1, v2, ..., vn e com respectivas espessuras d1, d2, ..., dn, como podemos ver na
gura 1.6. S R M x O v1 v2 v3 vn . . . d1 d2 d3 dn . . .
Figura 1.6: Trajetória do raio para um meio horizontalmente estrati cado.
camada e chegando em um receptor no ponto R em um oset x, a equação do tempo de trânsito será: t2x,n = t20,n+x 2 v2 (1.4) de forma que v = Pn
i=1viti/t0,n, em que t0,n é o tempo de trajetória vertical até a base
da n-ésima camada. Entretanto, sabemos que a trajetória do raio é a qual o seu tempo é mínimo, de acordo com o princípio de Fermat. Desta forma o tempo de chegada será dado pela seguinte série in nita, derivada por Taner e Koehler (1969):
t2x,n = C1+ C2x2+ C3x4+ C4x6+ ... (1.5)
onde os coe cientes C1, C2, ...dependem das espessuras e das velocidades das camadas.
En-tretanto, considerando pequenos afastamentos comparados com a profundidade de investi-gação, podemos truncar a expressão (1.5), simpli cando a expressão em:
t2x,n = C1+ C2x2 (1.6)
onde C1 = t20,ne C2 = 1/v2rms, em que vrms é a velocidade quadrática média (Dix, 1955) dada
por vrms = s Pn i=1v 2 iti t0,n (1.7) e a equação (1.6) torna-se t2x,n = t20,n+ x 2 v2 rms (1.8) Comparando as equações (1.1) e (1.8), podemos concluir que para pequenos osets a veloci-dade normal moveout, vN M O, será igual a velocidade média quadrática vrms.
Da expressão (1.8), podemos deduzir que a correção de NMO para o modelo horizon-talmente estrati cado é dada por
∆tn= tx,n− t0,n= t20,n+ x 2 v2 rms 1/2 − t0,n (1.9)
1.2.2 NMO para re etores inclinados
Observemos agora o caso de um re etor inclinado, em que o raio sai do ponto da fonte em S, re ete num ponto O em profundidade e chega em um receptor no ponto R ( gura 1.7).
S R M x/2 O O' φ
Figura 1.7: Geometria da trajetória de um raio para um modelo com uma camada inclinada.
O ponto médio permanece comum a todos os pares fonte-receptor dentro da família CMP, entretanto, o ponto de re exão em profundidade é diferente para cada par (Yilmaz, 1987). Dessa forma, a equação do tempo de trânsito depende do ângulo φ de inclinação da camada e é dado por (Levin, 1971):
t(x)2 = t(0)2+x
2cos φ2
v2 (1.10)
Nesse caso, a velocidade NMO será dada pela velocidade do meio acima do re etor dividida pelo cosseno do ângulo φ de inclinação, ou seja:
vN M O =
v
cos φ (1.11)
Como podemos deduzir da equação (1.11), vN M O para um re etor inclinado é maior do que
para um re etor horizontal.
Para um modelo composto de várias camadas, cada uma com uma inclinação arbitrária, Hubral, Krey e Larner (1980) derivaram a expressão para o tempo de trânsito dada por
t(x)2 = t(0)2+ x
2
v2 N M O
+ ordens mais altas (1.12)
sendo a velocidade NMO dada por
v2N M O = 1 t(0) cos β02 N X i=1 vi2∆ti(0) i−1 Y k=1 cos2α k cos2β k (1.13) Para um modelo com apenas um re etor inclinado, a equação (1.13) torna-se a equação (1.11), e se considerarmos um re etor plano, obteremos vrms. Se considerarmos os osets
curtos, em comparação com a profundidade de investigação, e o ângulo de inclinação das camadas pequeno, a equação de tempo de trânsito torna-se a equação (1.2).
1.2.3 Estiramento NMO
Quando aplicamos a correção NMO, ocorre um efeito bastante indesejável na família CMP. Mais precisamente, ocorre uma distorção para eventos rasos e offsets longos. Esta distorção
é causada por um aumento do período dominante T do pulso de onda para um período T0
( gura 1.8), após a correção NMO, ou seja, o comprimento de onda do pulso ca maior, por isso esse fenômeno é chamado de estiramento NMO. O estiramento NMO é uma distorção na frequência em que eventos são modi cados para frequências mais baixas (Yilmaz, 1987) e é proporcional à correção NMO, por isso está mais presente em longos offsets. O estiramento NMO é quanti cado por:
∆f f =
∆tN M O
t(0) (1.14)
onde f é a frequência dominante, ∆f é a variação da frequência e ∆tN M O é dado pela equação
1.3.
Figura 1.8: Estiramento do período T de um pulso em (a) para um período T0 após
correção NMO em (b). Adaptado de Yilmaz (1987).
O efeito do estiramento é muito presente em famílias CMPs da região de lâmina d'água rasa de linhas sísmicas marítimas. A consequência disso é observada após o empilhamento CMP, na seção zero-oset, pois este efeito prejudica consideravelmente o imageamento dos eventos de tempos rasos. Uma solução para o problema, é a aplicação do muting na região que sofreu o estiramento, e pode ser aplicado manualmente ou automaticamente, usando a quanti cação de estiramento apresentada na equação 1.14. A gura 1.9 mostra uma família CMP real da parte rasa da Bacia do Jequitinhonha antes a após a correção NMO (em (a) e (b), respectivamente), podemos perceber que o efeito o estiramento afeta bastante o dado corrigido de normal moveout, sendo necessário a aplicação do muting.
T emp o (s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo[s] 20 40 60 Offset[m] T emp o (s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo[s] 20 40 60 Offset[m] (a) (b)
Figura 1.9: Família CMP real da parte rasa da Bacia de Jequitinhonha em (a); em (b) observamos a mesma família CMP corrigida de NMO, evidenciando o efeito do estiramento.
1.3 Velocidade de empilhamento e análise de velocidades
A etapa da análise de velocidades no processamento sísmico consiste na estimativa das velo-cidades de um dado sísmico, pela qual se busca obter uma função velocidade que resultará na melhor correção NMO e consequentemente no melhor empilhamento, culminando numa ótima seção empilhada. Essa velocidade é chamada de velocidade de empilhamento vst, a
qual difere de vN M O pois esta é adequada para pequenos osets, enquanto que vst é a
ve-locidade que melhor caracteriza a hipérbole de re exão, sendo válida para todos os osets. A velocidade de empilhamento se aproxima muito de vrms se o oset máximo for pequeno,
em relação à profundidade de investigação. Outra de nição de velocidade de empilhamento é a velocidade que produz, no empilhamento de traços, a máxima amplitude dos eventos de re exão (Kearey et al., 2009). Uma consideração importante, é que para se encontrar a função velocidade mais adequada para o empilhamento CMP, é importante que se leve em
conta o ângulo de mergulho das camadas, realizando, além da correção NMO, a correção dip moveout (DMO). Dessa forma, a equação da hipérbole considerando a velocidade de empilhamento é: t(x)2 = t(0)2+ x 2 v2 st (1.15) Um método de análise das velocidades vst é feito plotando-se a equação (1.15) no plano
t(x)2− x2. Desta maneira, a equação de tempo de trânsito se tornará uma reta de coe ciente
angular 1/v2
st. Na prática, a melhor reta que representa os pontos é achada pelo método dos
mínimos quadrados (MMQ). Claerbout (1977) propôs um método manual de obtenção da velocidade intervalar de uma camada, que consiste em traçar retas tangentes às hipérboles de re exão correspondentes ao topo e a base da camada e traçar uma outra reta ligando os dois pontos de tangência das retas, o valor da velocidade intervalar será dado pela raiz quadrada do produto entre a inclinação de uma das retas tangentes e a inclinação da reta que liga os pontos de tangência. A di culdade deste método está na capacidade do intérprete em reconhecer e analisar os re etores fortes.
Um outro método de análise de velocidades, chamado de método CVS, consiste em apli-car diversas correções NMO a uma família CMP, utilizando em cada correção uma velocidade constante, diferente da anterior, de forma crescente. Depois, as famílias CMP corrigidas de NMO são postas lado a lado, de modo que pode-se inferir qual a velocidade horizontaliza tal evento presente na família CMP. Esse método é útil em áreas com estruturas complexas, pois permite ao intérprete escolher diretamente o empilhamento com maior continuidade de eventos (Yilmaz, 1987).
1.3.1 O espectro de velocidades
Observando um sismograma CMP para um modelo de uma única camada, temos que as ener-gias re etidas aparecerão em cada traço sísmico, descrevendo uma trajetória hiperbólica no domínio tempo duplo×offset, em que a energia re etida para x = 0 corresponde ao tempo t0,
como vimos na gura 1.4. Considerando o re etor plano e horizontal, a camada apresentará uma velocidade aparente vrms dada pela equação (1.7). Podemos então passar a analisar
as energias das re exões em um domínio tempo de incidência normal × velocidade rms, gerando um espectro em que a energia de re exão é colocada em função do tempo e da velocidade, esse espectro é chamado de espectro de velocidades.
Analisando mais detalhadamente, a geração do espectro é feita percorrendo-se os traços com várias hipérboles em uma janela de tempo, a partir de um valor t0,n localizado no ápex
da hipérbole, as quais são geradas variando a velocidade de um valor constante mínimo vmin
até um valor constante máximo vmax. Essas hipérboles são corrigidas de NMO e empilhadas
novamente é corrigido de NMO e empilhado e assim sucessivamente, de forma que todo o sismograma é analisado, resultando num espectro de velocidades, geralmente apresentado sob a forma de um mapa de contorno. Os maiores picos que aparecem no espectro de velocidades são os que correspondem às energias das re exões em um particular t0, e a
velocidade associada a esses picos pode ser tomada como a velocidade de empilhamento vst
que melhor corrige de NMO. A gura 1.10 exempli ca como é feita a geração do espectro de velocidades.
Figura 1.10: Esquema de geração do espetro de velocidades. Modi cado de Kearey et al. (2009).
O espectro de velocidades possui várias aplicações. A principal delas está em extrair uma função velocidade que resultará na melhor seção empilhada. Para isso, é necessário identi car as re exões primárias diretamente do espectro, tomando as velocidades corres-pondentes às mesmas (vst), procedimento conhecido como picking das velocidades. Com
essas velocidades faz-se uma nova correção NMO, se a função velocidade for escolhida cor-retamente, na etapa de empilhamento (seção 1.5), os eventos serão somados coerentemente e teremos uma seção empilhada (zero-oset) adequada.
Como no espectro de velocidades são englobadas todas as re exões, as re exões múl-tiplas não passam despercebidas, dessa forma, podemos usar o espectro de velocidades com um viés de interpretação, diferenciando as re exões primárias das re exões múltiplas, bem como determinar, tempo de re exão, a ordem, a velocidade aparente e o poder relativo das múltiplas em relação a alguma medida de coerência (Taner e Koehler, 1969). Outra aplica-ção do espectro de velocidades está na determinaaplica-ção do tempo duplo zero-oset de re exão, comparando o tempo de re exão no espectro com o tempo correspondente ao máximo local da hipérbole no sismograma.
1.3.2 Medida de coerência e semblance
Associada ao espectro de velocidades, geralmente aplica-se uma medida de coerência para facilitar o reconhecimento dos eventos de re exão, evidenciando as energias correspondentes às re exões. Segundo Telford et al. (1976), a coerência é a característica mais importante no reconhecimento de um evento sísmico. Para entendermos o que é coerência, vejamos um exemplo da aquisição sísmica. Na aquisição sísmica, as ondas re etidas produzem o mesmo efeito em cada receptor. Se a onda for forte o bastante para sobrepor outras energias que chegam nos receptores, os traços serão aproximadamente iguais durante o tempo de chegada (Telford et al., 1976). É justamente essa similaridade na aparência entre os traços que é chamada de coerência, sendo necessária para o reconhecimento de qualquer evento.
Uma medida de coerência é a correlação cruzada entre dois traços. Para vários traços, podemos usar o fato de que no empilhamento, os eventos coerentes se somam de modo que a amplitude empilhada resultante é maior do que a amplitude empilhada dos eventos incoerentes. Aplicando esses conceitos às amplitudes do espectro de velocidades, podemos quanti car o grau de coerência dos eventos. Na verdade, para o espectro de velocidades, o que temos é uma medida do grau de ajuste da hipérboles analisados em todos os traços de uma família CMP. Neidell e Taner (1971) sumarizaram vários tipos de medidas de coerência, as quais podem ser usados como atributos no cálculo do espectro de velocidades (Yilmaz, 1987).
A amplitude empilhada do espectro de velocidades é dada por
st= M
X
j=1
fj,t (1.16)
sendo fj,t o valor da amplitude no j-ésimo traço em um tempo duplo t ao longo da hipérbole,
M é o número de traços da família CMP, e o quadrado de st é a energia da amplitude
empilhada num tempo t.
Uma medida do grau de coerência seria a comparação entre a energia da amplitude empilhada e a soma das energias dos componentes individuais. Chamando Et a razão entre
a energia de saída e a soma das energias dos traços de entrada, temos a energia da amplitude empilhada normalizada: Et= s2 t PM j=1f 2 j,t (1.17)
A medida de coerência mais utilizada atualmente é a semblance, e segundo Neidell e Taner (1971), o coe ciente semblance é de nido como a razão normalizada entre a energia de saída e a energia de entrada. A semblance é determinada para cada t0,n localizado no
de comprimento L e normalizada pelo número de traços M. Essa janela de tempo percorre o tempo de registro, de modo que obtemos um espectro, em que os picos representam os eventos de maior coerência.
Podemos de nir a semblance por
S = 1 M Pt+L/2 t−L/2s 2 t Pt+L/2 t−L/2 PM j=1f 2 j,t . (1.18)
Esta é a forma mais convencional de de nição da semblance, como a medida é normalizada, podemos perceber que seu valor está situado entre 0 ≤ S ≤ 1.
Os valores de semblance estão diretamente relacionados com a coerência dos eventos, de modo que os eventos mais coerentes terão um valor próximo de 1 e corresponderão aos picos do espectro, enquanto que os eventos menos coerentes, ou seja, aqueles eventos relacionados aos ruídos apresentarão valores mais baixos, próximos de zero. A análise de velocidades realizada através do painel de semblance busca extrair as velocidades correspondentes aos valores de maior coerência e que estejam relacionados com as re exões primárias.
1.3.3 Análise de velocidades em um corredor de velocidades
Na geração do espectro de velocidades, o custo computacional está diretamente relacionado com o tamanho da janela deslizante, a qual gera os painéis corrigidos de NMO à velocidades constantes. Se o comprimento da janela for muito grande, o custo computacional aumenta, e o espectro perde resolução temporal (Yilmaz, 1987).
Uma forma de diminuir o custo computacional, é realizar as medidas de coerência ape-nas dentro de um corredor de velocidades presente no espectro, o qual passaria pela região de coerência onde se encontram as re exões primárias. Esse procedimento diminui conside-ravelmente o tempo de processamento, adicionalmente, tomando-se apenas um corredor de velocidades restringimos a região de análise às primárias, e a maioria das re exões múltiplas são descartadas. Veremos mais profundamente esta aplicação no capítulo 3, já que esta abordagem foi utilizada no método proposto neste trabalho.
1.4 Aplicação da análise de velocidades convencional em famílias
CMPs
Atualmente, o modo mais convencional de realização da análise de velocidades é feito atra-vés do picking manual das velocidades de empilhamento, determinados atraatra-vés do espectro de velocidades, associados a alguma medida de coerência (geralmente a semblance). Mais precisamente, primeiramente seleciona-se o grupo de famílias CMPs que possuem grau de
cobertura máximo, e depois determina-se o intervalo entre as famílias CMPs, escolhidas para análise de velocidades. Em seguida, para as famílias selecionadas, geram-se os espec-tros, onde são feitos os picks de velocidades em alguns pontos, de forma manual. Daí é importante considerar a habilidade e experiência do intérprete em reconhecer as regiões de coerência que correspondem às re exões primárias, pois, visualizando-se o espectro e a cor-respondente família CMP lado a lado, compara-se e se reconhece os eventos em cada tempo duplo de re exão t0 (tempo correspondente ao ápex das hipérboles de re exão na família
CMP). Cada picking manual, gera uma função velocidade, obtida através da interpolação dos picks determinados no espectro de velocidades. As funções velocidades, de nidas para as famílias CMPs selecionadas, são interpoladas de modo a criar um campo de velocidades equivalente para toda a linha sísmica. Esse campo de velocidades é utilizado para corrigir a linha sísmica de NMO e posteriormente empilhá-la, gerando a seção sísmica zero-oset. A depender do número de famílias CMPs contidas na linha a ser processada, a etapa de aná-lise de velocidades pode ser muito trabalhosa, uma medida que é geralmente tomada para solucionar esse problema é a criação de supergathers, o qual abrange uma boa quantidade de famílias CMPs, gerando poucos sismogramas equivalentes.
1.5 Empilhamento CMP
A etapa do empilhamento CMP no processamento sísmico geralmente é uma etapa que su-cede a análise de velocidades e a correção NMO, pois é através da análise de velocidades que são extraídas as velocidades de empilhamento vst, consideradas ótimas para uma
ade-quada correção NMO. Após a correção NMO, realiza-se uma soma aritmética dos traços horizontalmente da família CMP. O resultado dessa soma é o traço empilhado, o qual possui uma melhor razão sinal ruído ( gura 1.11), comparado com a família CMP antes da correção NMO. Isso acontece porque cada traço no empilhamento contém o mesmo evento de re exão, os quais são somados coerentemente, mas os ruídos não são (Evans e Dragoset, 1997). A equação para o empilhamento normalizado é dada por:
A(t) = 1 N N X i=1 ai(t) (1.19)
em que A(t) é a amplitude do traço empilhado no tempo t, N é o número de traços da família CMP, i é o índice indicador do traço e ai(t) é o valor da amplitude do traço i no tempo t.
Figura 1.11: Traço empilhado após a correção NMO. Adaptado de Evans e Dragoset (1997).
O empilhamento CMP é muito útil para atenuação de ruídos como o ground roll, ocasi-onado pelas ondas super ciais, mas a sua aplicação não consiste apenas na melhora da razão sinal/ruído, mas também é útil para a atenuação de re exões múltiplas. Na gura 1.11, po-demos ver que a correção NMO horizontalizou o evento de re exão primária, mas a re exão múltipla ainda continua com um caráter hiperbólico, de forma que no traço empilhado a re exão primária é realçada enquanto que a re exão múltipla é atenuada.
Cada traço empilhado da família CMP torna-se um traço chamado de pseudo oset. A reunião desses traços pseudos oset gera a seção empilhada ou seção zero-oset. Considerando re etores planos e as camadas uniformes, os traços empilhados após a correção NMO serão ótimos para formar a seção empilhada, entretanto, as camadas em subsuperfície geralmente apresentam inclinações, de forma que apenas a correção NMO não é su ciente, sendo necessária a aplicação da correção Dip Moveout.
Decomposição SVD
Em processamento de dados sísmicos, geralmente lidamos com matrizes retangulares reais do tipo X (m × n), sendo m o número de amostras num intervalo de tempo e n o número de traços, como ocorre no registro de aquisição sísmica. O elemento xij dessa matriz
de dados, representa a amplitude captada pelo receptor j em um determinado instante de tempo i, devido a uma excitação imposta ao sistema Terra (Freire, 1986). Abaixo uma representação dessa matriz:
X = x11 x12 . . . x1n x21 x22 . . . x2n ... ... ... ... xm1 xm2 . . . xmn m×n
2.1 Matriz de covariância
As matrizes do tipo XTXou XXT são chamadas de matriz de covariância. A sua
denomina-ção em Estatística e Probabilidade é dada pela matriz que sumariza a covariância entre duas variáveis, sendo a covariância uma medida de correlação entre duas variáveis. Essas matrizes são de grande importância na decomposição SVD, pois aplicando uma transformação linear, os autovetores de XXT compõem as colunas da matriz U, enquanto que os autovetores de
XTX compõem a colunas da matriz V.
Em XTX, de ordem n×n, cada elemento da matriz é obtido pelo produto interno entre
os traços da matriz X, os elementos da diagonal principal representam tanto a autocorrelação do traço correspondente como também a sua energia, e a soma dos elementos da diagonal principal fornece a energia da matriz X.
XTX = P ix2i,1 P ixi,1xi,2 . . . P ixi,1xi,n P ixi,2xi,1 P ix2i,2 . . . P ixi,2xi,n ... ... ... ... P ixi,nxi,1 P ixi,nxi,2 . . . P ix 2 i,n n×n
Em XXT, de ordem m × m, seus elementos são formados pelo produto interno entre
os elementos das linhas de X, que representam a amplitude da matriz X em cada instante de tempo. Os elementos de XXT indicam em que tempo e com que intensidade a correlação
existe. A informação presente em cada instante de tempo é medida na diagonal principal, enquanto que os elementos de fora da diagonal fornecem uma medida do grau de correlação entre dois instantes diferentes de tempo (Freire, 1986).
XXT = P jx 2 1,j P ix1,jx2,j . . . P ix1,jxm,j P ix2,jx1,j P ix 2 2,j . . . P ix2,jxm,j ... ... ... ... P ixm,jx1,j P ixm,jx2,j . . . P ix2m,j m×m
2.2 Autovalores e autovetores
Seja A uma matriz de covariância do tipo XTX de ordem n, podemos caracterizá-la por
seus autovalores e autovetores. A matriz A pode ser vista como um operador linear (trans-formação linear de um espaço V nele mesmo T : V → V ), o qual leva o vetor não nulo v a um vetor pertencente ao mesmo espaço vetorial e que é proporcional a v por um fator λ. De forma que
Av = λv (2.1)
λ é chamado de autovalor de A e v 6= 0 é um autovetor de A e são soluções da equação 2.1. Sendo I a matriz identidade, a equação 2.1 pode ser escrita na forma
Av = (λI)v ou (A − λI)v = 0 (2.2)
onde 0 é o vetor nulo.
A única maneira de encontrarmos v (soluções não nulas da equação 2.2) é termos (Boldrini, 1986):
det(A − λI) = 0 (2.3)
Dessa forma, determinamos primeiramente os autovalores λ que satisfazem a equação e depois os autovetores a eles associados, de forma que
P (λ) = det(A − λI) = a11− λ . . . a1n ... ... ... an1 . . . ann− λ (2.4)
é um polinômio em λ de grau n e é chamado de polinômio característico e suas raízes são os autovalores da matriz A (Boldrini, 1986).
Segundo Freire (1986), as principais propriedades dos autovetores e autovalores de ma-trizes simétricas e covariância são:
• Se A é uma matriz simétrica seus autovalores são reais;
• Se A é uma matriz simétrica e seus autovalores são distintos, então os autovetores associados são ortogonais entre si e formam uma base do espaço vetorial;
• Se A é uma matriz de covariância, seus autovalores são sempre não negativos;
• Se λj, j = 1, 2, . . . , n são os autovalores de A, então podemos a rmar que T r(A) =
λ1+ λ2+ . . . + λn e det(A) = λ1λ2. . . λn;
• Seja X uma matriz retangular m × n cujo rank r é tal que r < min(m, n). Supondo m < n então os r autovalores não nulos de XXT são iguais aos r autovalores não nulos de XTX. Os demais autovalores são iguais a zero.
2.3 Decomposição em valores singulares (SVD)
A decomposição SVD (Singular Value Decomposition) é uma operação aplicada a qualquer matriz X, seja ela real, complexa, quadrada ou retangular. A decomposição SVD faz a expansão de uma matriz em uma soma ponderada de suas autoimagens, as quais são matrizes de rank unitário, ou seja, a dimensão do espaço vetorial gerado pelas colunas ou pelas linhas das autoimagens é igual a 1. As autoimagens são determinadas a partir dos autovetores associados ao espaço dos parâmetros e das observações, e carregam todas as informações necessárias para a construção dos dados originais (Freire, 1986). Para uma matriz X de ordem m × n , a decomposição SVD fatora a matriz em
X = UΣVT (2.5)
sendo U uma matriz ortogonal de ordem m × m, V uma matriz ortogonal de ordem n × n, logo U−1 = UT e V−1 = VT. Σ é uma matriz diagonal, retangular e do mesmo tipo de
X, cujos elementos da diagonal principal são números não negativos, chamados de valores singulares de X, os quais são iguais a raiz quadrada positiva dos autovalores associados à matriz de covariância. Como os valores singulares da matriz Σ são sempre não negativos, os mesmos podem ser ordenados de forma decrescente de modo que a matriz apresenta-se da seguinte forma: Σ = σ1 0 . . . 0 0 σ2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 0 σr
sendo r o rank da matriz X, de forma que σ1 ≥ σ2. . . ≥ σr ≥ 0.
Podemos expressar a equação 2.5 como uma soma de matrizes de rank unitário, pon-deradas pelos valores singulares, de modo que
X =
r
X
i=1
σiuivTi (2.6)
onde ui é o i-ésimo autovetor de XXT, vi é o i-ésimo autovetor de XTX e σi é o i-ésimo
valor singular de X.
O produto escalar externo, uivTi é denominado de i-ésima autoimagem de X. Cada
autoimagem é uma matriz de rank unitário, do mesmo tipo de X, calculada através do produto externo entre um autovetor do espaço de dimensão n (dos traços) e o correspondente autovetor do espaço de dimensão m (do tempo). Qualquer matriz X pode ser vista como uma soma de suas autoimagens, ponderadas pelos respectivos valores singulares (Freire, 1986).
2.3.1 Importância das autoimagens
A decomposição em valores singulares é um método ótimo para determinação do rank de uma matriz, que está inversamente relacionado com o grau de correlação entre os traços, ou seja, quanto menor for o rank, maior será a correlação entre os traços de uma matriz e a maior parte da informação estará concentrada nas primeiras autoimagens, que estão associadas aos maiores valores singulares. Podemos então inferir que as primeiras autoimagens possuem uma maior coerência em relação ao sinal, enquanto que as últimas autoimagens guardam informações mais associadas ao ruído, informação incoerente. Esse fato nos permite retirar as autoimagens relacionadas ao menores valores singulares, caracterizando uma ltragem, de modo a obter uma matriz de dados resultante com uma melhor razão sinal/ruído.
Aplicação do método de picking automático
O método consiste na determinação das velocidades de empilhamento de forma auto-mática, extraídas diretamente dos espectros de velocidades gerados por cada família CMP. As velocidades são consideradas instantâneas porque são determinadas para cada amostra, de modo a criar uma função velocidade de uma maneira diferente do método convencional.
Com o intuito de reforçar a coerência espacial, o método utiliza a decomposição SVD para extrair a primeira autoimagem (associada ao maior valor singular) de cada painel cor-rigido de NMO à velocidade constante, a cada janela de tempo. Para isso, utilizamos um algoritmo que utiliza o power method e que permite que sejam extraídos os autovetores que compõem a primeira autoimagem. Em cada espectro de velocidades, utilizamos como me-dida de coerência o negativo do logaritmo da meme-dida de coerência conhecida como MUSIC (Barros, 2012), de modo a realçar os pontos de maior coerência, e de forma que os valores de coerência não se encontram mais normalizados, assumindo valores maiores que 1.
As velocidades de empilhamento são determinadas dentro de um corredor de veloci-dades, o qual abrange a região do espectro correspondente às re exões primárias. Elas são determinadas percorrendo-se esse corredor de velocidades, pelo qual, calcula-se uma mé-dia para cada amostra, ponderada pelos valores de coerência, e que está associada a um determinado valor de velocidade, criando uma função velocidade para cada CMP.
O método então usa as funções velocidades de cada família CMP para gerar o campo de velocidades sísmicas, o qual passa por uma suavização, no intuito de atenuar as discrepâncias de velocidades. Em seguida, cada função velocidade suavizada é utilizada para corrigir as famílias CMP de NMO, obter os traços de afastamento nulo para cada CMP, e gerar a seção sísmica zero-oset. Uma ferramenta importante é a aplicação de uma função muting, a qual permite que a região que sofre o efeito do estiramento nos dados corrigidos de NMO tenham suas amplitudes zeradas, de modo que esse efeito é removido durante no empilhamento CMP, permitindo o imageamento satisfatório dos re etores mais rasos.
Nas próximas seções, discutiremos mais profundamente como funciona cada ferramenta utilizada pelo método, bem como as suas aplicações.
3.1 A decomposição SVD na geração dos espectros de velocidades
Na seção 1.3.2, vimos que a geração do espectro de velocidades é feita através de uma janela de tempo deslizante D de dimensão L × Nx, em que L é o número de amostras da janelae Nx é o número de traços da família CMP. Em cada janela, faz-se correções NMO para
cada velocidade constante variando de um vmin até um vmax, empilhando os traços para
cada velocidade e gerando o espectro de velocidades, geralmente associado a uma medida de coerência. Para reforçar a coerência espacial dos espectros de velocidades, o método de picking automático aplica a decomposição SVD aos painéis corrigidos de NMO à velocidade constante correspondente à cada janela, extraindo somente a primeira autoimagem associada ao maior valor singular.
Seja D(L × Nx) a matriz correspondente ao painel corrigido à velocidade constante,
matricialmente o coe ciente semblance dessa matriz será dado por S = ||De||
2
Nx||D||2
(3.1) onde e é chamado de vetor diretor de dimensão Nx× 1 e os seus elementos são iguais a um.
Aplicando à matriz D a decomposição SVD, de acordo com as equações (2.5) e (2.6) temos D = UΣVT = L X k=1 ukσkvTk (3.2)
sendo uk e vk vetores ortonormais e σk os valores singulares organizados em ordem
decres-cente, sendo L ≤ Nx.
Supondo que na matriz de dados as L primeiras autoimagens compõem o sinal e as N S − L últimas autoimagens compõem o ruído, sendo NS o número total de amostras, temos que a semblance de nida para as L primeiras autoimagens será dada por
SL= PL k=1σ 2 kv2k NxPLk=1σk2 (3.3) A equação (3.3) é a semblance generalizada, a qual é a soma dos quadrados dos primeiros L valores singulares multiplicados pelo quadrado da média dos elementos do vetor correspon-dente ao espaço (Ursin et al., 2013). Tomando apenas a primeira autoimagem temos:
S1 = 1 Nx v21 = 1 Nx vT1e 2 (3.4) 3.1.1 O power method
Para a aplicação da decomposição SVD nos painéis corrigido à velocidade constante, uti-lizamos o método iterativo chamado de power method e sua vantagem está no fato de, ao
invés de encontrar todos os autovalores da matriz, somente o autovalor dominante e seu autovetor é computado (Manenti e Porsani, 2013), de forma que podemos extrair a primeira autoimagem de uma matriz.
Considerando o problema do autovetor abordado na seção 2.2, seja uma matriz A um operador linear de ordem n×n pela qual temos a operação Ax = λx. O objetivo é encontrar o autovalor λ1e o seu autovetor associado, sendo que λiestá organizado de forma decrescente,
ou seja, |λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3| . . . |λn|. O power method opera iterativamente de forma que:
Xi+1=
Axi
||Axi|| (3.5)
sendo λi+1 = ||Axi||. O algoritmo em (3.5) converge para o autovalor dominante, desta
forma podemos obter seu respectivo autovetor, e utilizá-los para restituir o valor da amostra central (Barros, 2012).
Seja o painel corrigido à velocidade constante D, de comprimento L, temos que a sua matriz de covariância de dimensão L × L será dada por
R = DDT = UΣ2UT (3.6)
Dessa forma, aplicando o power method à matriz de covariância, temos: un+1 = Run ||Run|| (3.7) de modo que DTu1 = ˜v = σ1v1 (3.8) sendo σ1 = ||˜v||e v1 = ˜v/ ||˜v||.
Subtraindo a primeira autoimagem de D, podemos aplicar o algoritmo novamente para obter a segunda autoimagem e assim sucessivamente (Ursin et al., 2013).
A gura 3.1 mostra dois espectros de velocidades de uma mesma família CMP da Bacia do Jequitinhonha. Em (a), a medida de coerência é a semblance convencional; em (b) é apresentado o painel de semblance da primeira autoimagem. Observando a escala e os pontos de coerência do espectro em (b), notamos uma melhora na coerência dos eventos em comparação com (a). Em (c) e (d) podemos fazer a mesma comparação de forma detalhada, correspondendo à região selecionada em cada espectro de velocidades em (a) e (b).
T emp o (s) Velocidade (m/s) T emp o (s) Velocidade (m/s) (a) (b) T emp o (s) Velocidade (m/s) T emp o (s) Velocidade (m/s) (c) (d)
Figura 3.1: Comparação entre o painel de semblance convencional em (a) e o painel de semblance da primeira autoimagem em (b). Em (c) e (d) observamos a mesma comparação de forma mais detalhada.
3.2 A medida de coerência MUSIC
Em análise de velocidades, geralmente usa-se novas medidas de coerência, com o intuito de realçar os valores mais coerentes. Neste trabalho utilizamos a medida de coerência MUSIC (Multiple SIgnal Classi cation) (Schmidt, 1986; Barros, 2012). Segundo Barros (2012), a MUSIC pode superar a semblance em casos em que há re exões próximas ou interferentes.
Diferente da semblance convencional, a MUSIC é de nida como o inverso da projeção da janela de dados (a qual percorre o sismograma para gerar o espectro de velocidades) no subespaço do ruído. Matematicamente, essa medida é dada por
M = 1
1 − S (3.9)
em que S é a semblance generalizada, normalizada entre 0 e 1. Neste trabalho, utilizamos a semblance generalizada dada pela equação (3.4).
Observando a equação (3.9), notamos que a MUSIC somente apresenta valores maiores ou iguais a 1, e para regiões muito coerentes, a MUSIC pode apresentar valores muito altos. Dessa forma, uma medida que tomamos foi aplicar o logaritmo da MUSIC (Ursin et al., 2013), dado por:
L = log M = − log (1 − S) (3.10)
Com a equação (3.10), estamos analisando a MUSIC em uma escala logarítmica, de modo que quando a coerência da semblance generalizada é próxima de 1, L apresenta valores altos e maiores que 1, enquanto que para uma menor coerência, L apresenta valores baixos, próximos de S, de modo que as regiões de maior coerência são mais realçadas em relação às regiões menos coerentes.
A gura 3.2 mostra dois espectros de velocidades referentes a uma mesma família CMP da Bacia do Jequitinhonha: em (a) temos como medida de coerência a semblance convencio-nal, podemos perceber observando a escala que os valores de coerência se encontram entre 0 e 1; em (b) temos a aplicação do logaritmo da MUSIC, onde observa-se valores de coerência maiores que 1, além do mais, ocorreu um realce das regiões mais coerentes, enquanto que alguns valores de baixa coerência observados em (a) não são mais observados em (b). Em (c) e (d) é mostrado, de forma mais detalhada, uma região dos espectros de velocidades de observados em (a) e (b), respectivamente. Na gura 3.3 observamos quatro espectros de velocidades com diferentes medidas de coerência: em (a) temos a semblance convencional, em (b) a semblance da primeira autoimagem, em (c) o logaritmo da semblance da primeira autoimagem, medida a qual foi escolhida na aplicação do método de picking automático por apresentar os melhores resultados, e em (d) temos o mesmo painel de (c) observado em detalhe.
T emp o (s) Velocidade (m/s) T emp o (s) Velocidade (m/s) (a) (b) T emp o (s) Velocidade (m/s) T emp o (s) Velocidade(m/s) (c) (d)
Figura 3.2: Comparação entre o painel de semblance convencional em (a) e o painel do logaritmo da MUSIC. Em (c) e (d) observamos a mesma comparação de forma mais detalhada.
T emp o (s) Velocidade (m/s) T emp o (s) Velocidade (m/s) (a) (b) T emp o (s) Velocidade (m/s) T emp o (s) Velocidade (m/s) (c) (d)
Figura 3.3: Espectros de velocidades com diferentes medidas de coerência: em (a) a semblance convencional, em (b) a semblance da 1a autoimagem, em
3.3 Obtenção das velocidades instantâneas de empilhamento
Após a geração do painel de semblance da primeira autoimagem, seguida da aplicação do logaritmo da MUSIC como medida de coerência, faz-se a determinação das velocidades de empilhamento dentro de um corredor que percorre o espectro de velocidades, no intuito de detectar os valores de coerência correspondentes às re exões primárias. Cada valor de coerência está associado a uma determinada velocidade.
O corredor de velocidades é gerado por funções guias, das quais as coordenadas são inseridas pelo usuário. Entre as funções guias, determina-se para cada amostra a velocidade de empilhamento vst, através do cálculo de uma média das velocidades para cada tempo ti,
dada por: vs(ti) = 1 PN V j=1Sij N V X j=1 Sijvj ! (3.11) em que NV é o número de velocidades, Sij são os valores de coerência. Podemos entender
a equação (3.11) como uma média das velocidades vj, ponderada pelos valores de coerência,
de modo que a média tende a se aproximar dos pontos mais coerentes.
Cada espectro de velocidades, correspondente a cada família CMP, gera uma função velocidade instantânea considerada ótima para o empilhamento CMP. Esta função veloci-dade instantânea, após uma suavização, é automaticamente utilizada para gerar o campo de velocidades da linha processada, e também para corrigir o dado de NMO e empilhá-lo, gerando a seção sísmica zero-oset.
Além de determinar as velocidades instantâneas dentro de um corredor de velocidades, podemos gerar o espectro de velocidades apenas dentro desse corredor. O principal benefício desta ação está na diminuição do custo computacional, e consequentemente no tempo gasto para realização da tarefa. Esse benefício é mais observado quando aplicamos a metodologia no painel de semblance da primeira autoimagem, porque o custo computacional da decom-posição SVD, está diretamente relacionado com o tamanho da janela de tempo deslizante utilizada para gerar o espectro, ou seja, quanto maior o tamanho da janela, mais custoso será para decompô-la em valores singulares. Dessa forma, a depender do tamanho da linha sísmica a ser processada, usando a decomposição SVD para geração de todos os espectros, o método seria inviável, devido ao tempo de processamento. Outro benefício importante do uso de um corredor de velocidades está na atenuação do efeito das re exões múltiplas, pois restringindo a região de análise de velocidades às re exões primárias, a média utilizada no cálculo da velocidade instantânea de empilhamento não será tão in uenciada pelas energias das re exões múltiplas.
Na gura 3.4 podemos observar um espectro de velocidades em que são determinadas as velocidades instantâneas de empilhamento, sendo que em (a) realiza-se a determinação
das velocidades percorrendo-se um corredor de velocidades em um completo espectro de velocidades, já em (b), o espectro de velocidades é gerado apenas dentro do corredor de velocidades, de forma que o custo computacional é diminuído consideravelmente. Em ambos os casos, a medida de coerência utilizada é o logaritmo da MUSIC da primeira autoima-gem. Algo importante a ser notado é que, pela forma de obtenção, as funções velocidade crescem e decrescem com o aumento tempo duplo de re exão, apresentando uma oscilação no espectro de velocidades, embora o comportamento geral seja crescente. Em testes re-alizados, observa-se que essa oscilação é inversamente proporcional ao tamanho de janela de tempo deslizante, utilizada para geração do espectro de velocidades, em contrapartida, aumentando-se o tamanho da janela, obtemos um maior custo computacional e uma menor resolução. T emp o (s) Velocidade(m/s) T emp o (s) Velocidade(m/s) (a) (b)
Figura 3.4: Determinação automática das velocidades de empilhamento: em (a) a determinação é feita percorrendo um corredor de velocidades em um completo espectro de velocidades; em (b) determina-se as velocidades em um corredor onde é gerado o próprio espectro de velocidades. Em ambos os casos, a medida de coerência utilizada é o logaritmo da MU-SIC da primeira autoimagem.
3.4 Aplicação da função muting aos dados corrigidos de NMO
Como vimos na seção 1.2.3, o efeito do estiramento é muito presente quando aplica-se a correção NMO em famílias CMPs marítimas nas regiões de lâmina d'água rasa. Para evitar que o efeito do estiramento prejudique o imageamento dos re etores em tempos mais rasos, o método permite criar uma função muting, que zera as amplitudes dos eventos que sofreram estiramento em regiões acima desta função, como podemos ver na gura 3.5, que mostra a aplicação do muting em uma família CMP real da Bacia do Jequitinhonha.T emp o (s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo[s] 20 40 60 Offset[m] T emp o (s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo[s] 20 40 60 Offset[m] (a) (b)
Figura 3.5: Correção NMO de uma família CMP real da Bacia do Jequitinhonha sem a aplicação do muting em (a) e com a aplicação do muting em (b).
Podemos perceber na gura 3.5 (b) que os eventos em tempos de registro menores do que a função muting foram zerados, de forma que a região que sofreu o efeito do estiramento NMO não é levada em conta na etapa do empilhamento, permitindo que os eventos rasos sejam imageados satisfatoriamente.
Resultados e discussões
Aplicamos o método de determinação automática das velocidades de empilhamento em linhas sísmicas da Bacia do Jequitinhonha. Esta bacia está localizada na região Nordeste do Brasil, mais precisamente, no sul do estado da Bahia, limitando-se ao norte com a Bacia de Camamu-Almada, através do Alto de Olivença, e ao sul com a Bacia de Cumuruxatiba, através do banco vulcânico de Royal Charlotte. A Bacia do Jequitinhonha ocupa uma área de aproximadamente 10000 km2, sendo 500 km2 emersos. Ela compreende um rifte, de origem
apitiana, o qual posteriormente evoluiu para uma margem continental passiva, desta forma, as linhas sísmicas da Bacia do Jequitinhonha são caracterizadas por representar uma região de talude continental. A localização da Bacia do Jequitinhonha está representada na gura 4.1 e a disposição dos levantamentos sísmicos realizados na bacia está representada na gura 4.2.
Figura 4.1: Localização da Bacia do Jequitinhonha. (Fonte: ANP)
As linhas sísmicas foram cedidas pelo LAGEP-UFBA (Laboratório Geral de Explora-ção de Petróleo) no formato .su, sendo convertida para acesso direto (.ad) para aplicaExplora-ção do método em sub-rotinas escritas na linguagem de programação FORTRAN. Com o in-tuito de fazer uma comparação com o método aplicado, aplicamos a análise de velocidades convencional para gerar a seção sísmica zero-oset através do programa velan.sh, escrito na
linguagem shell script, em que são utilizados comandos do software de processamento sís-mico Seismic Unix. Da mesma forma, geramos o campo de velocidades usando o programa gera − campo − bin.sh, também escrito em shell, que através dos valores de velocidade de-terminados de forma convencional, gera o campo de velocidades em binário (.bin). Todas a linhas sísmicas processadas possuem arranjo end-on. Para diminuir algumas discrepâncias de valores de velocidades, houve-se a necessidade de uma suavização dos campos de veloci-dades, para isso utilizamos o comando do SU smooth2. Os programas escritos em shell e que utilizam comandos do Seismic Unix estão no apêndice A, exempli cando o processamento aplicado na linha 214-298.
Figura 4.2: Levantamentos sísmicos da Bacia do Jequitinhonha. Fonte: Alves (2008)
4.1 Linha 214-0268
Aplicamos o método em uma parte da linha 214-0268. As informações que estão contidas no header do dado sísmico estão na tabela 4.1.
Número de tiros 300
Número de canais 120
Cobertura máxima dos CMPs 60 Número de CMPs (cobertura máxima) 482
Oset mínimo -3720
Oset máximo -150
Número de amostras 1751
Intervalo de amostragem 4 ms
Tabela 4.1: Parâmetros de aquisição da linha sísmica 214-268 da Bacia do Jequiti-nhonha.
A gura 4.3 mostra uma família CMP da linha sísmica em (a), a aplicação do método em (b) e a correção NMO da família CMP em (c), gerada através da função velocidade ins-tantânea obtida pela aplicação do método. A gura 4.4 mostra os campos de velocidades da linha sísmica processada. Em (a) temos o campo de velocidades após análise de velocidades convencional, em (b) observamos o campo de velocidades após aplicação do método automá-tico e o resultado da suavização deste campo é mostrado em (c). Na gura 4.5 mostramos a seção zero-oset referente à parte da linha 214-0268, obtida pela análise de velocidades convencional. Na gura 4.6, observamos a mesma seção sísmica, entretanto, o método uti-lizado foi o de determinação automática das velocidades de empilhamento e na gura 4.7 observamos a mesma seção zero-oset, empilhada com o uso do campo de velocidades suavi-zado. Para uma análise mais profunda, a gura 4.8 mostra, em escala de detalhe, as seções zero-oset obtidas pelo método convencional em (a), pelo método de picking automático sem suavização do campo de velocidades em (b), e com suavização do campo de velocidades em (c).
Temp o(s) Oset (m) 0 1 2 3 Tempo[s] 4 5 6 7 20 40 60 Offset[m] Temp o(s) V elo cidade (m/s) Temp o(s) Oset (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 Tempo[s] 20 40 60 Offset[m] (a) (b) (c) Figura 4.3: Família CMP da linha 214-0268 em (a), a determinação das velo cidades de empilhamen to em (b) e o painel corrigido de normal mo veout em (c).
Temp o(s) CMP (m) Temp o(s) CMP (m) Temp o(s) CMP (m) (a) (b) (c) Figura 4.4: Camp os de velo cidades da linha 214-0268: obtido ap ós a análise de velo cidades con vencional em (a), ap ós a determinação automátic a das velo cidades de empilhamen to em (b) e sua resp ectiv a sua vização em (c).
T emp o (s) CMP (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
Tempo[s]
100
200
300
400
CMP[m]
Figura 4.5: Seção zero-oset da linha sísmica 214-0268 após análise de velocidades convencional.
T emp o (s) CMP (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
Tempo[s]
100
200
300
400
CMP[m]
Figura 4.6: Seção zero-oset da linha sísmica 214-0268 após a determinação auto-mática das velocidades instantâneas de empilhamento.
