Teoria Da Vibração Com Aplicações

TEORIA DA VIBRAÇÃO

com aplicações

Professor de Engenharia Mecânicn da Universidade da Califórnia,

Santa Bárbara

Cássio Sigaud Engenheiro Civil

Copyright

©

1973 by Prentice-Halllnc. Ali rights reserved.

Publicado em inglês com o titulo Theory of Vibration with Applications

Prentice Halllnc., Englewood Cliffs, New Jersey, USA.

PREFÁCIO

,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem

1978

por

Editora lõte~ciência Ltda. Rio de,Janeiro, Brasil

Programação Visual e Capa Interciência 'Arte Composição do Texto

Interciência

o

assunto vibrações tem uma fascinação única. Trata-se de um tema lógico,

explicável através de princípios básicos d~ mecânica. Ao contrário do que seobserva

com algumas matérias, seus conceitos matemáticos são todos eles ãssociados a

fenô-menos físicos c;ue podem ser experimentados e medidos.

É

um assunto que agrada

ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical

Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentação,

quer acompanhando

o progresso tecnológico,

quer pelo tirocínio

adquirido no

ensino e na prática. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e

estudantes contribuíram com sugestões e troca de idéias~

CIP·Srasi!. Catalogaç50-na·fonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.

COO - 620.30183 COU - 620.178.5: 681.3

Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade;

é

mais uma vez um desejo,

da parte do autor, no propósito de uma apresentação mais clara, com técnicas modero

nas que são hoje rotina. Nos cinco capítulos iniciais, que tratam dos sistemas de um

e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior,

con-fiantemente

melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador

digital,

sua aplicação no campo das vibrações

é

encorajada com alguns exemplos simples.

Apesar da versatilidade do computador digital, o computador

analógico ainda

é

um

instrumento

útil e, em muitos casos, plenamente justificado.

Os primeiros cinco

capítulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista

simples e físico, fom1am o fundamento

para a compreensão do que é básico em

vibrações e podem ser lecionados num curso inici~l, em período de três meses a

um semestre.

Thomson, William T.

T396t Teoria da vibração com aplicações/William T. Thomson; tradução de Cássio Sigaud. - Rio de Janeiro: Interciéncia, 1978.

Tradução de: Theory 01 vibration with applications Apéndices

Bibliografia

1. Processamento eletrônico de dado. - Mecânica aplicada 2. Vibração I. T(tulo

I1I

EDITORARua Vema r,1agalhjies, 66,INTERClfNCIA Tels.: 281-7495/263-5899LTOA. ZC·16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil

No Capítulo 6 há uma generalização dos conceitos dos sistemas de dois graus

de liberdade para os de muitos graus. A ênfase neste capítulo

'é

a teoria e a extensão

para os sistemas de muitos graus de liberdade é apresentada elegantemente, com o

auxI1io da álgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o

desacoplamento das coordenadas.

São introduzidas algumas idéias fora do comum de

modos normais na_vibração forçada e o método espaço-estado, utilizado

corrente-mente em teoria de controle.

~ proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios, sem autorização por escrito da ed'itora

Há muitas abordagens analíticas para o estudo da vibração de estruturas com·

plexas de muitos graus de liberdade. O Capítulo 7 apresenta alguns dos mais úteis

métodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam

resolvidos atualmente

no computador

digital, necessita-se ainda conhecer, não só

como formular tais problemas para a computação eficiente, como algumas das

apro-'ximações que se podem fazer para checar

os cálculos. Todos os problemas aqui

podem ser programados para o computador,

sendo entretanto

necessário que se

entenda a teoria básica das computações.

Como exemplo, é apresentada a compu·

tação digital de um problema do tipo Holzer.

O Capítulo 8 refere-se aos sistemas contínuos ou àqueles problemas associados

a equações diferenciais parciais. Uma apreciação de problemas de vigas pelas

dife-renças frnitas oferece uma oportunidade de resolvê-Ios no computador digital.

As equações de Lagrange, objeto do Capítulo 9, reforçam o entendimento dos

sistemas dinárnicos apresentados anteriormente

e alargam a visão para outros desen·

volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do método da sorna de modos

é urna conseqüência natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido

das equações restritivas como condições de contorno físico para a síntese modal é

entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange.

O Capítulo 10 trata dos sistemas dinâmicos excitados por forças aleatórias ou

deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista

esta-tístico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitação àleatória é

distribuída normalmente.

O ponto de vista adotado aqui é o de que, apresentado

um registro àleat6rio, determina-se

facilmente uma autocorrelação

que permite o

cálculo da densidade espectral e da resposta quadrática média. O computador digital

é essenciàl novamente para o trabalho númerico.

No Capítulo

11, dá·;eênfase

~ introdução do método do plano de fase no

tratamento dos sistemas não-lineares. Quando as não-linearidades são pequenas, os

'métodos de perturbação ou iteração proporcionam uma abordagem analítica. Resul·

tados de computações a máquina para um sistema não-linear ilustram o que pode

ser feito.

Os Capítulos 6 a

1I

contêm matéria apropriada para um segundo curso sobre

vibração, que pode ser dado em nível de graduação.

íNDICE

l.1

Introdução

.

1.2

Movimento Harmônico. . . ..

2

1.3

Análise Harmônica

,

5

1.4

Função Transiente de Tempo. . . ..

7

1.5

Função Aleatória de Tempo ...

'.' . . .. . . ..

8

1.6

Propriedades do Movimento Oscilatório. . . ..

9

VIBRAÇÃO LIVRE

2.1

Métodos de Sonia de Forças

1.5

2.2

Método de Energia

18

2.3

Massa Efetiva

, .. '

20

2.4

Vibração Livre Amortecida

23

2.5

Decremento Logarítmico

28

2.6

Amortecimento

de Coulomb

32

2.7

Rigidez e Flexibilidade

','

33

MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE

3.1

Introdução

'

47

3.2

Vibração Ham1ônica Forçada

:

47

3.3

Desbalanceamento Rotativo

51

3.4

"Whirling" de Eixos Rotativos

57

3.5

Movimento de Suporte

59

3.6

Instrumentos Medidores de Vibração

-

61

3.7

Isolamento de Vibração .. ,

~

64

3.8

Amortecimento ....•...

67

3.9

Amortecimento Viscoso Equivalente ...•...

71

3.10

Amortecimento Estrutural

72

)

)

)

) 6

)

Introdução

"

83

Excitação de Impulso

"

83

Excitação Arbitrária

: . . . ..

85

Formulação da Transtóf1!ladade Laplace. . . ..

91

Espectro de Resposta:

'.'. . . ..

96

o

Computador Analógico

101

Diferenças Finitas em Computação Digital

"

111

A Computação Runge-Kutta

'

119

SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

5 .1

Introdução

,

,

129

5.2

Vibração de Modo Normal

~

129

5.3

Acoplamento de Coordenadas

~ .. '

136

5.4

Vibração Harmônica Forçada

139

5.5

Absorvedor de Vibração

:

'

142

5.6

Pêndulo Centrífugo Absorvedor de Vibração

144

5.7

O Amortecedor de Vibração .. '

146

5.8

Efeito Giroscópico sob~e Eixos R~iativos

151

5.9

Computação Digital

153

SISTEMAS

DE MUITOS

GRAUS DE LIBERDADE

6.1

Introdução

169

6.2

Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez

o.

169

6.3

Teorema de Reciprocidade

173

6.4

Autovalores e Autovetores

"

,

'. :

173

6.5

Propriedades Ortogonals dos Autovetores

177

6.6

Raízes Repetidas

178

6.7

A Matriz Modal P

,

: ';

180

6.8

Vibração Forçàda CDesacoplamentode

Coordenadas

182

6.9

Modos Normais Forçados de Sistemas Amortecidos

183

6.10

Método Espaço Estado:

'

188

SISTEMAS

DE PARÃMETIWS

CONCENTRADOS

,\ .

7.1

Introdução ...•

;

:

199

7.2

Equação Característica

199

7.3

Método dos Coeficientes de Inf1uência

'

200

7.4

Princípio de Raylelgh

,

203

,7.5

Fórmula de Dunkerley

212

7.6

Método de Iteração Matricial

Ó ••••••••••••••••••••

215

7.7

Cálculo de Modos Mais Altos

217

7.8

'Matrizes de Transferência - (Problemas tipo BaIzer)

221

7.9

Sistema Torcioúal

: . '

'

223

7.1 O

Sistema Engrenado

232

7.11

Sistemas Bifl1rcados

233

7.12

Vigas

.'.~'

236

7.13

Estruturas Repetidas e Matriz deTransferência

•...

244

7.14

Equação de Diferença

;

;

247

SISTEMAS

CONTlNUOS

8.1

Introdução

'.. '

265

8.2

A Corda Vibratória

266

8.3

Vibração Longitudinal de Barras

'

269

8.4

Vibração Torcíonal de Barras

271

8.5

A Equação de Euler para a Vig;l.

.

274

8.6

Efeito de Inércia Rotativa Dcformil\,ão de Cisalhamento

278

8.7

Vibração de Membranas

'

279

8.8

Computação Digital

281

8.9

Solução Transientc pelas Transformadas de Lap1ace

289

EQUAÇÃO

DE LAGRANGE

9.1

In tradução

"

'

299

9.2

Coordenadas Generalizadas

,

299

9.3

Princípio do Trabalho Virtual ...•...

,

300

9.4

Desenvolvimento da Equação de Lagrange

303

9.5

Massa e Rigidez Generalizadas

307

9.6

Método de Soma de Modos

309

9.7

Ortogonalidade

da Viga, Incluindo Inércia

Rotaviva e

De-formaçãoporCisalhamento

313

9.8

Modos Normais de Estrutura Vinculadas

315

9.9

Método Aceleração-Modo

320

9.10

Síntese Modal

322

VIBRA çÃO ALEA TÓRIA

10.1

Introdução

333

10.2

A Função da Resposta da Freqüência

335

10.3

Densidade Espectral.

'-.337

10.5 Correlação 353

10.6 Transformada de Fourier 357

10.7 Resposta de Estruturas Contínuas

à

Excitação Aleatória 362

VIBRAÇOES NÃO-LINEARES

11.1 Introdução 371

11.2 O Plano de Fase 372

11.3 Sistemas Conservativos 374

liA Estabilidade de Equilíbrio ...•... 376

I 1.5 Método das Isóclinas 379

11.6 O Métódo Delta 381

11.7 Método de Lienard ',' 384·

11.8 Método das Restas Inclinadas. . . .. . .. , 386

11.9 O Método de Perturbação : 390

lU

O

Método de Iteração , 394

11.11 Oscilações Auto-Excitadas , 399

11.12 Circuitos do Computador Analógico para Sistemas

Não-lineares 40 I

11.13 O Método Runge-Kutta 402

MOVIMEf.JTO

OSCILA TÓRIO

O estudo da vibração diz respeito aos movimentos oscilatórios de corpos e às forças que Ihes são associadas. Todos os corpos dotados de massa e elasticidade são capazes de vibração. Deste modo, a maior parte das máquinas e estruturas está sujeita a certo grau de vibração e o seu projeto requer geralmente o exame do seu comportamento oscilatório.

Os sistemas oscilatórios podem ser, de um modo geral, caracterizados como

lineares

ou

não-lineares.

Para os primeiros prevalece o princípio de superposição e estão bem desenvolvidos os métodos matemáticos disponíveis para o seu estudo. Ao contrário, são bem menos conhecidos e de difícil aplicação os métodos para análise dos sistemas

não-lineares.

Entretanto, é proveitoso algum conhecimento destes sistema~, uma vez que eles representam o estado final para o qual tendem todos os sistemas, com o aumento da amplitude de oscilação.

Existem duas classes gerais de vibrações, a livre e a forçada. A

vibração livre

acontece· quanda um sistema oscila sob a ação Qe forças que lhe são inerentes e na ausência da ação de qualquer força externa. No caso de

vibração livre

o sistema poderá vibrar com uma ou mais das suas

freqüências

naturais;

que são peculiares ao sistema dinâmico estabelecido pela distribuição de sua massa e rigidez.

Denomina-se

l'ibração forçada

quando ela ocorre sob a excitação de forças ex-ternas. Quando a excitação é oscilatória, o sistema é obrigado a vibrar na freqüência

)

,

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I )

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;":'~~:ii;\;:

:'}da'excitação.

Se. esta freqüência coincide com uma das freqüências naturais do

;sistema, forma-se um estado de ressonância, daí podendo resultar amplas e perigosas

'':''í<.,~~~,i-~''''';'··~:·..~•.t .. ,·..•:,,'·.;~,',:._~:.,:,~:;l..:..',.', ..·1·.•..· " :;. ,•. ":', .• :

oséilações:' Está ressonância pode ser a causa de temível colapso de estruturas como

.as de edifícios, pontes e asas de avião. Assim sendo, é de importância o eálculo das

freqüências naturais no estudo das vibrações.

solta, ela· oscilará para cima e para baixo.

Dotando·se a massa com uma pequena

fonte 'Iuminosa, o seu movimento podeser

registrado numa tira de filme sensível à

luz, que se faz mover à sua frente, a uma velocidade constante.

Os .sistemas de vibração são todos eles sujeitos a um certo grau de amorteci·

mento, em face do desgaste de energia pelo atrito e outras resistências. Se

O

amor-tecimento é fraco, a sua influência torna·se muito pequena e não é geralmente consi·

derada nos.cálcul~s

das Jre(Úiên~ias daturais ..

o.

amortécimento,

,,'ntretanto, é de

grande importância ao limitar a amplitude de oscilação na ressonâneia.

Chama~se grau de liberdade de um sistema o número de coordenadas

indepen-dentes requerido para a descrição do seu movimento. Nestas condições, uma partí·

cula livre em movimento no espaço tem três graus de liberdade, enq~anto um eorpo

rígido terá seis graus, isto é, três componentes de posição e três ângulos que del1nem

a ..sua orientação. Em se tratando de um corpo elástico contínuo, ele requer um nú·

chero infinito de coordenadas (três para cada ponto do corpo), para se descrever o

seu movimento. Daí ser infinito o seu número de graus de liberdade. Entretanto, em

muitos easos, pode-se admit~r que um corpo desta natureza seja parcialmen te rígido,

tornandu possível considerar·se o sistema dinamicamente

equivalente .a outro com

um número I1nito de graus de liberdade. De fato, um surpreendente'grande

número

. de problemas de vibração pode ser resolvido com exatidão suficiente, pela redução

a outro com um só grau de liberdade.

·f

x

=

A

sen

21f-T

na qual A

é

a amplitude de oscilação, medida a partir da posição de equilíbrio da

massa, e

T

é o período.

O movin1ento

é

repetido qua.ndo .t

=

T.

O movimento harmônico é muitas vezes representado como a projeção numa

linha reta, de um ponto que se move numa circunferência a velocidade. constante,

como indicado na Fig. 1.2-2. Designada por w a velocidade angular da linha

'op,

o

deslocamento x

é

expresso pela equação

.

/Çl: \I.

L(<.Xo

'.9

.movll1ento oscilat6rio pode repetir.se regularmente,

como no volante de um

;re16giO, ou apresentar irregularidade considerável, como em terremotos.

Quando o

.movll1ento se repete a intervalos iguais de tempoT,

ele é denominado

movimento

.;periódico. 'O·, tempo de . repetição

T

é denominado periodo

da oscilação, e sua

j~edproca

f=

'1/1'

é denominada a freqüência.

Se o movimento é designado peh

;ji,função de·tempox(t),

em conseqüência qualquer movimento periódico deve satis·

'.;.\

;;t/,-,_>

·.·.f.a.z.·

er a relação x(t)

_

=

x( t + 1').

,-,;~~tvl"Movimentos irregulares, que aparentam não possuir período definido, podem

·,:~s~r-'consideradosa·soma de

}1m

muito' gralldg"núm.e.lQde movimentos regulares de

I

J,iti~eCjüênciasvariadas. As propriedades de tais movll1entos podem ser definidas esta·

,·j',tistic;uIie,nte. A discussão dessas propriedades será tratada em seção mais adiante.

)i\.'Jorma

'~~is .simples

Ú

~ovimento

periódico

é

movimento

harmônico.

)'odé

ser demonstrado por meio de uma massa suspensa de uma pequena mola,

lindicadona·Fig:>!:2.L

_{d._,_' .. ,' "....}

Se

a

massa

é

levantada da sua posição de repouso e

_.

I' '.•

Figura 1.2·2. Movimento harmônico com proíeção dc um ponto que se move numa circunferência.

por freqüência angular. U~a vez que o movll1ento se repete em cada 21f radianos,

temos a relação

É muitas vezes necessário considerar-se dois moviInentos harmônicos da mesma freqüência, porém diferindo da fase pelo valor

<fi.

Os dois movimentos podem

sei

expressos pelos fasores

21t

ro

=

T

=

21tf

Assim, a velocidade e a aceleração são também harmônicas, com a mesma freqüência de oscilação, mas

à

frente do deslocamento por rr/2 e rr radianos, respectivamente, como indicado na Fig. 1.2·3.

onde r e

f

são o período e a freqüência do movimento harmônico, usualmente me-didos em segundos e ciclos por segundo, respectivamente.

É conveniente, no caso de mo~in1ento de um ponto numa circunferência, ado-tar-se um eixo imaginário i e admitir-se que o raio da circunferência seja representa· do por uma quantidade complexa z chamada

fasor.

O fasor

z

ê expresso pela equação

que define os componentes, real e imaginário. Com O

variam senoidalmente como tempo

Re

z

=

A

cos

wt

1m

z

=

A sen

wt

Figura 1.2·3. No mOl'imento hannônico, a l'elocidade e a aceleração estão à frente do deslocamento por rr/2 e rr.

Z1 =

Ate

1wt

Zz =Azei(wr+rP)

de modo que no movimento harmônico a aceleração é proporcional ao deslocamento e dirigida para a origem. Visto que a segunda lei de movimento de Newton estabelece que a aceleração

é

proporciónal

à

força, podemos presumir o movimento harmônico para os sistemas com molas lineares com força variando com 10:.

onde

A

I e

A

2 são números reais. O segundo fasor pode ser expresso em, seguida como

onde

A

1 é agora um número complexo. Esta fonna é muitas vezes útil em proble. mas que envolvem movin1ento hannônico.

A açlição, multiplicação e. potenciação de fasores obedecem a regras simples, que são dadas no Apêndice A. Com a expressão do movimento harmônico por fa-son,s, os cálculos tornam-se fáceis de efetuar.

A velocidade e a aceleração do movimento harmônico podem scr determinadas sin1plesmente pela diferenciação da Eq.

(J

.2·2). Usando a notação ponto para a de· rivada, obtemos

É

muito comum a existcllcia simultânea de vibrações com .várias freqüências dife-rentes. Por exemplo, a vibração de urna corda de violino é composta da freqüência fundamental

f

e de todas as suas harmônicas 2[,

3f

etc. Outro exemplo é a vibra-ção livre de um sistema de muitos·graus-de·liberdade, para a qual contribuem as vi· brações de cada freqüência natural. Tais vibrações resultam num perfil \le onda complexa, que se repete periodicamente, como indica â Fig. 1.3-1.

x

=roA cos rol =roA sen (ro/

-+ ~)

.~=

-'ro'A·senrol =ro'Asen,(rol

+:n)

(1.2-6)

(1.2·7)

o

matemático francês J. Fouricr (1768·1830) mostrou que qualquer movi-mento periôdico pode ser representado por uma série de senos e co·senos que' são hamlOl1icamente relacionados. Sc

x(t)

é uma Íunção .periódica do período T, ela é representada pela seguinte série de Fourier

-I-tg

!p

=

b.

G.

Deste modo, cn e!Pn (ou an e bn) defmem completamente a contribuição harmônica da onda periódica.

O resultado da representação gráfica de cn e

!P

n em função da freqüência

nw

I, para todos os valores de

n,

é uma série de retas discretas correspondentes a

WI, 2WI' 3wI

etc., como se observa na Fig.

1.3·2.

Tal representação gráfica forma o que se chama de

Espectro de Fourier

do perfll da onda.

Faz-se atualmente a análise 'harmônica, com eficiéncia e num mínimo de tem-po, graças ao auxílio do computador digital. Obtém-se, ainda maior redução no tempo de computação, com o uso de um novo algoritmo para compu'tador, lançado recentemente e conhecido como "Fast Fourier 'J:ransform""'.

onde Wl

=

2rr/r é a freqüência fundamental. Para se determinar os coeficientes

an e

b

n, multiplicamos ambos os lados da Eq. (1.3-1) por cos nW1

t

e sen nw,1

t

c integramos cada termo sobre o período r. Examinando as seguintes relações

r

se

m

7": 11

c

n

,"

J' ,

cos IIW,I COS IIlW,1dI =

.!E..

se 111=11

. -f,2 001

J'i',

sen'lIw,1 sen IIlW,1 dI

=_~

{On

se 1117":11 O W1'j 2w, se 111=~11

"'n

-1',2 " W1 X

'.

f'"

t

se 1117":11

,

.

, cos IIw,1 se,nmw,1 dI =

°

se 111O," 11 O w, _2w,'

-f,2

todos os termos, exceto um do lado direito da equação, se~ã:o iguais ~ 2;ero e obtemos os resultados

Chama·se

Junção transiente de tempo

a uma função que existe apenas num ,espaço limitado de tempo, sendo nula em qualquer outro tempo. Tais funções não são pe-riódicas. A Fig.

1.4-1

mostra uma variáção de pressão típica de um estrondo, que é uma função transiente de tempo. Outro exemplo

é

a força de impacto durante a colisão de dois corpos.

Vol~ando

à

Eq~ (1.3.1). e, examinando os dois termos numa das freqüências, , suasoma pode ser expres~a como

G.COS I/W,I

-I-

b.sen IIW,I

~I

b,f

Gn,_ I_I

==

v

G. -1-

u, {..ja; -]-

b;; cos

IIW, '

=

CnCOS(IIW,I -

rp.)

• J.W, Coolcy andJ.W. Tukcy, "An algorithm for the Machine Calculation of Complcx Fouricr Scries." Mathcmatics ofComputation 19; 90 (abril 1965, págs. 297-301).

Vidc também: "Spccial Issue on Fast Fourier Transform", IEEE Trans. on Audío & Elcctroacoustícs, \1'01. AV-15, Nq2 (1967).

de modo a permitir o estabelecimento de características gerais, úteis em projetos de engenharia. O Capítulo 10 trata desses processos em detalhe. Resumidamente se pode mencionar que,

à

semelhança das vibrações periódicas e transientes, ·os con-ceitos de amplitude e distribuição de sua freqüência são de importância fundamental. Essas quantidades, na vibração aleatória, são representadas por valores médios esti-mados estatisticamente, tais como a

raiz da média quadrática

e a

média

quadráti-ca da densidade espectral.

Chama-se geralmente de resposta transiente

à

resposta de um sistema mecânico a um impulso ou choque. Em razão da presença de amortecimento, uma vez cessada

a excitação, cessam as vibrações. .'i

Não sendo periódicas. as ondas transientes, não é aplicável o método da série de Fourier. Todavia, as funções não periódicas podem ser analisadas no que elas contêm de freqÜência, pelo método das Transformadas de Fourier (vide Capítulo 10). Em contraste-com o espectro discreto da freqüência nas funções periódicas, é contí-nuo o seu correspondente nas funções transientes.

Certas propriedades do movimento oscilatório são de interesse na medida da vibra-ção. As mais simples delas são o

valor pico

e o

valor médio.

O

valor pico indica geralmente o esforço máximo a que está submetida a parte vibrante. Ele estabelece também um limite na exigência do "espaço de trepidação".

O valor médio indica um valor estável ou estático, de certa forma semelhante ao nível de corrente contínua de urna corrente elétrica. Ele pode ser determinado pela seguinte integração

- . I

I

T

X

=

11m '"

XCI) dI

T'~ 1 o

ConsideranlOs até agora tipos de funções que podem ser classificadas de determi-nistas, pois seus valores instantâneos são determinados para qualquer tempo

t,

pelo uso de expressões matemáticas deduzidas. Há, entretanto, fenômenos físicos que re-sultam em dados não deterministas, cujos valores instantâneos futuros não são previsíveis, num sentido detenninista. Corno exemplos, podemos citar a saída de um gerador de ruído, as alturas das ondas em mar encapelado e a pressão de rajadas de vento encontradas no vôo de UlI) avião. Todos esses fenômenos têm uma caracte-rística comum, que é a imprevisibilidade do seu valor instantâneo em qualquer tempo futuro. Dados não deterministas deste tipo sITo denominados como

funções

aleató-rias de tempo.

A Fig. 1.5-1 é um exemplo de f~nção aleatória típica. Apesar da natureza irregular da função, certos processos de média podem ser aplicados a. tais dados,

x(t)

Por exemplo, o valor médio para um ciclo completo de urna onda senoidal,

A

sen

t,

é

zero, enquanto seu valor médio para um meio ciclo é

. A

I"

I 2A

x

= - sen I (,I

=

-n: c n:

É

evidente que este é também o valor médio da onda senoidal retificada, conforme a Fig. 1.6-1.

O

quadrad.o do deslocamento é assocudo geralmente

à

energia de vibração, para a qual o valor quadrático médio é urna medida.

b

valor quadrático médio

de

função de tempo

x(t)

é determinado pela média dos valores quadráticos,

limites

de algum intervalo de tempo

T:

-' I

JT

.1'2=

lim

-T X2

(1)

di

T ....•'... .o

As funções aleatórias de tempo não são periódicas, e seus espectros de freqüen-cia são determinados pela integral de Fourier e não pela sua série. Este assunto é tratado no Capítulo 10. Por enquanto, basta mencionar que o seu espectro é urna apresentação da sua densidade quadrática média, traçada' em função da freqüência, como indica a Fig. 1.6-3. Tais curvas são contínuas e podem ser determinadas Por exemplo, se

x(t)

=

A

sen

wt,

seu valor quadrático médio é

-

A2JT

I I

x

2

= ~~ T

o2(1 - cos 2ml)

di

= 2

A2

o

valor da

raiz da média. quadrática

é a raiz quadrada do valor da média qua· drática. De acordo com o exemplo anterior, a raiz da média quadrática da onda senoidal de amplitude A é

AI-J2.

Espectro

da

Freqüência.

O

conteúdo de freqüência de um movimento osciJat6rio é de importância para caracterizar a vibração. No caso de uma só onda senoidal, o conteúdo de freqüência é representado por urna reta de comprimento igual à sua, amplitude, traçada no ponto correspondente à freqüência do seu movimento.

No caso de um movimento periódico, o espcctro da freqüência é constituído de uma série de retas traçadas' a partir dos pontos que marcam os múltiplos inteiros da freqüência fundamental, conforme definidos pela sua série de Fourier. Pode-se 'também apresentar a fase de cada componente em relação

à

fundamental, de modo a

se ter uma representação completa, corno se vê na Fig. 1.6-2.

O

movimento transiente, embora limitado no tempo, pode ser considerado corno movimento periódico de período infinito, pela inclusão das regiões de valor zero até o infinito. Com T = 2rr/w) -> 00, ou w) -> 0, as retas espectrais ficam

muito

juntas aproximando-se deuma curva contínua.

por instrumentos eletrônicos projetados para este fim específico. De um modo geral, a fase de uma função aleatória de tempo não apresenta intcresse e não é considerada.

o

w,

2w, 3w,

"'n

'j I I I O

w,

2w, 3w, Figura,j.6-2.

(;~0\;~

ni.oViment~ harmôI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 por e u~ períod~ de

?!. "'

0,15 s. Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraçao.

~um acelerômetro indi~a que uma estrutura está. vibrando a 82 cps e uma ~aceleração máxima de 50 g. Detemúnara amplitude da vibração.

1'J

Um movimento harmônico tem urna freqüência de 10 cps e sua velocidade

1',,-)

máxima é de 180 pol/s. Determinar sua ampÚtude, seu período e sua ace-leração máxima.

1-4 Achar a soma de dois movimentos harmônicos de amplitude igual, mas com freqüências ligeiramente diferentes. Discutir o fenômeno de batimento que resulta da sua soma.

(~~0xpressar o número complexo 4

+

,3i n~ forma exponencial

Ae

ÍO•

//'1'1-6

'Adicionar os dois números complexos

(2

+

3i) ~

(4' -'

i), expressando o re-sultado para

A

L

O.

1-7 Mostrar que unl fasor gira 90° quando multiplicado por i.

1-8 Determinar a' sorna de. dois fasores5t!rr/6 e 4(/rr/3' e enco"ntrar o ângulo entre

~y

...

,a resultan.te eoprimeiro fasor. " ' I ' ' ' '

'') ~ Determinar a série de Fourier para

a

'on'da 'retangular Índicada na Fig.

P.I-9.

1-10 Determinar a série de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do

Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita.

1-11 Determinar a série de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.

1-17 Estabelecer a equação para o deslocamento

s

do pistão no mecanismo de

manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmônicos e

suas magnitudes relativas.

1·12 Determinar a séi-ie de Fourier para o perfil em dente de serra representado na

Fig. P.I-I2.

1·13 Determinar o valor da raiz da média quadrática

O

de uma onda formada das

porções positivas de uma senóide.

1-14 Determinarovalordamédiaquadráticadaonda

em dente de serradoProbl

1-12.

Fazê-Io de dois modos, pela curva quadrada -e peta série de Fourier.

1-15 Traçar o espectro da freqüência relativo à onda triangular do Prob!. 1-11.

1·16 Determinar a série de Fourier e o espectro da freqüência de um conjunto de

-pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6

VIBRAÇÃO LivRE

Qualquer sistema que possua massa e elasticidade é capaz de vibração. O mais

simples sistema oscilatório consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.1·1.

A

mola que suporta a'massa é considerada de peso desprezível e de uma rigidez de

k lb por unidade de dellexão. O sistema possui um grau de liberdade, em razão do

seu movimento ser definido por uma coordenada apenas

,x.

Quanúo posto em movimento, haverá oscilação na freqüência natural

!",

que

ê uma propriedade

do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos básicos

associados à livre vibração de sistemas com um grau de liberdade.

O exame do movimento do sistema' baseia·sé, inicialmente, na segunda lei de

Newton. Conforme indica' a Fig: 2.1·1, a deforinação da mola na posição de

equi-líbrio estático é

t.

e a força da mola

kt.

é igual à força gravitacional w atuando

sobre a massa m:

Medindo o deslocamento

x da posição de equilíbrio estático, as forças que atuam

sobre m são k(t. +

x)

e

w.

Considerando-se

x

positivo na direção de cima para

:baixo, todas as quan tidades - força" velocidad.e e aceleração - são também positivas

k

Posição sem k

t:.

-"",mo'''··

m·

-:I~.

cp_.

i

r·~)

l~;i;;,~~:.:,,,'"'.

. w w , T

=

27tj!f.

_

J

li: _

3,127

fn -

27t '1/

t:' - ~

cps (Hcrtz)

187,6

=~c.p.m.

i

.-••

••

.-••

_••

---

_-

_~

--

••

_••

••

•

•

.-

_•

-

_•

-_.-~

Essas quantidades são expressas em termos da del1exão estática

l:1,

notando-se pela Eq. (2.1-1) que

kf::,.

= mg. Considerando g = 386 pOI/S1 e

l:1

em polegadas, a expressão da freqüência natural em termos de

l:1

é

T ~-

0N\.O-·

r~

~l\_

'--

'")2-

tJ

K-~

"J~2)[~

ts'L\

=

2-~ evidente -que a escolha da posição de equil íbrio estático como referência para rfT\.

!T::>

-t//

/7

x

e1im'nou da qua R' d v' t

f

t 't' d I

k

A . stas condições, a freqüência natural de um sistema de um grau de liberdade

é

, I e ç"o e mo lmen o o peso

w

e a orça es a Ica a mo a <->, e a //' . . ' " .

rorça resulta-nte sobr

m é'

I t r d I d'd d 1 t " defimda UnIcamente pela deflexão estatlca A. A

Flg,

(2.1-2) apresenta um grafico

l' e Slmp esmen e a .orça a mo a eVI o ao es ocamen o

x.

\_ logarítmico da Eq. (2.1-9).

Definindo-se a freqüência angular

w

n pela equaçffo .,"'- A..A

L\'

~q

O

Embora os sistemas osci!atóríos possam diferir na aparência, a presente discus·

y

\)J ~

I

r' \

"....

:i·-.:.

~ são aplica.se a todos os sistemas de um grau de liberdade, submetidos

à

vibração livre

não amortecida. Em alguns casos a oscilação

é

rotaÚva, como no pêndulo

rota-x(O)

.

x = -~

senw.1

+

x(O)

cos Wn1

W. .

donal, em cujo caso a segunda lei de Newton é substituída pela sua correspondente rotativa

e concluímos, pela comparaçffo com a Eq. (1.2-8), que o movimento

é

harmônico. A equação diferencial linear de segunda ordem homogênea (2.1-4) tem a seguinte solução geral

0,05 0,10 ·0,50 . 1,0

Dcl1exâo A" onde A e B são duas constantes necessárias. Essas constantes são calculadas para

'l

·

)

••

,>

.•

)

•

>

..

)

,

>

••

.-·

)

•

••

•

I

••

•

•

I

.

'

•

•

•

•

r-i

~

i

fi

t

a )

J

Exemplo 2.2-1

Detenninar a freqüência natural do pêndulo torcional indicado na Fig. 2.2-1. onde

M

é o momento, J o momento de inércia da massa, e (j a aceleração

angu-lar, tudo referido a um mesmo eixo inercial fIxo de rotação. A equação acima é também válida em relação ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,

o

total de energia em um sistema' conservativo

é

constante, e a equação diferencial de movimento é estabelecida pelo prinéípio de conservação de energia. A energia na vibraçãp livre de um sistema não amortecido é parte cinétiea e parte potencial. A , energia cinética

T

é

conservada na massa em razão da sua velocidade, enquanto a energia potencial

U é

conservada sob a forma de esforço na deformação elástica ou 'trabalho realizado num campo de força como a gravidade. Sendo constante a energia

total, sua taxa de variação

é

zero, conforme se depreende das seguintes equações

Figura 2.2-1. Pêndulo rorciollal.

Solução:

Suponhamos que o movimento oscilatório seja harmônico e expresso pela equação

o

=

A sen

w

ll

t

Os máximos das energias cinética,e potencial são

Tma:-. :-=

lJe~ax

=

iJw;

A2

T

+

U

= constan te

d

, dt (T

+

U)

=

O

(2.2-1)

(2.2-2)

Umu

=

iKe~u

=

iKA'

Igualando as duas. energias, chegamos

à

expressão

da

sua freqüência natural, que é Se o no~so interesse está apenas na freqüência natural do sistema, ela pode ser

determinada pelas seguintes considerações. Podemos estabelecer, de acordo eom o

p'~incípio de conservaçào da energia, que Exemplo 2.2-2

Um cilindro de peso

w

e raio

r

rola sem deslizar sobre uma superfície cilín-drica de raio R como indica a Fig. 2.2-2. Determinar sua equação diferencial de movimento para oscilações pequenas em volta do seu ponto mais baixo . Por não haver deslizamento

rrp

=

RO.

onde .1 e 2 representam duas instâncias de tempo. Admitimos que 1 seja o ins-tante em que a massa passa pela sua posição de equilibrio estático, e escolhemos

U

1

=

O

como referência para a energia potencial. Seja z o tempo correspondente ao máximo deslocamento da massa. Nesta posição, a velocidade, da massa é zero, resultando

Tz

=

O.

Temos então

se o sistema está submetido a um movimento harmónico, os valores

são os máximos, e daí _{Figura 2.2·2.}

Solução:

Deve·se notar, ao se determinar a energia cinética do cilindro, que há uma translação e, uma rotação. A velocidade de translação do centro do cilindro é (R - r)Ô, enquanto a velocidade de rotação

é (~ -

li)

== (Rir -

1)0,

uma

vez que

~

agora como

T

=

l;

[(R -

r)8J2

+ ~ ; ; [( ~ -

1)8]'

=

1.

~(R

- r)282

4

g

onde

(w/g) (/

/2) é o momento

de inércia do cilindro em relação ao seu centro

de massa.

A energia potencial referida à sua posição mais baixa é

Exemplo 2.3-1

Determinar

o efeito da massa da mola na freqüência

natural do sistema

indica-do na Fig. 2.3- I.

dy

ms

I:

massa do clcmcnto da mola

que é igual ao negativo do trabalho

efetuado

pela força da gravidade no levantar o

cilindro na distância vertical

(R -

r)

(I

-

cos O}

Substituindo

na Eq. (2.2-2)

[~ ; (R -

r)2(j

-I- Ir(R -

r)sen {}

JÓ"

0,

y

x1":

velocidade do ele-mento da mola

e fazendo

sen

O == O

para ângulos p~quenos, obtemos a,conhecida

equação para o

movimento

harmônico

Solução:

Com.\:

igual à velocidade

da massa concentrada

m. suporemos

que a

velocidade

de um elemento

da mola, localizado

à distância

y da sua extremidade

fixa, varie linearmente

com y da forma seguinte

(j

·i

_2.L-o ~.

°

3(R - r)

e encontramos

para a massa efetiva o valor de um terço da massa da mola.

Adicio-nando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada,

a expressão

da 'freqüência

natural revista será

Até agora admitimos,

no cálculo da freqüência

natural, a inexistência

de massa na

mola. Muitas vezes a mola e outros elementos

móveis podem representar

uma fração

ponderável

da massa total do sistema, e do seu abandono

podem resultar freqüências

naturais altas demais.

Para obtermos

uma estimativa

melhor da freqüência

natural, podemos

compu-tar a energia cinética adicional dos elementos

móveis, que não foi considerada

ante-riormente.

Isto, é claro, requer uma suposição

quanto ao movimento

dos elementos

distribuídos.

O resultado

integrado

da energia cinética

adicional

pode ser, então,

expresso em termos da velocidade

j;

da massa concentrada

na forma de

20

Exemplo 2.3-2

Muitas vezes os sistemas oscilatórios

são compostos

de 'alavílJlcas, engrenagens

e outras ligações que complicam

aparentemente

a análise.

Um exemplo típico

desses casos está no sistema de vá!vul3 de motor indicado

na Fig. 2.3-2.

É

ge-ralmente

van"tajosa a reduç:To de um tal sistema

para outro equivalente

mais

simples.

f-.

.-

a

I O

:

\

Quando um sistema linear de um grau de liberdade é excitado, sua resposta depen-derá do tipo de excitação e do amortecimento presente. Geralmente a equação do movimento terá a seguinte fórmula

onde F(l)

é

a exeitação e Pd a força de amortecimento. Embora seja difícil a des-crição real da força de amortecimento,

é

possível a admissão de modelos ideais de amortecimento, que muitas vezes resultam em prognósticos satisfatórios da resposta. Dentre esses modelos, a força de amortecimento viscoso, proporcional"

à

velocidade, conduz ao tratamento matemático mais simples.

A força de amortecimento viscoso é expressa pela seguinte equação

onde c é uma constante de proporcionalidade. Ela é represelltada simbolicamente por um amortecedor, conforme indicado na Fig. 2.4·J.

To'

+JÓ'

+

+mJbÓ}'

t ;

C~')(hÓ)'

~ +(J

+

m,/)'

-+

-}m,b')Ó'

o

balancim com momento de inércia

J.

a válvula eom massa

mv

e a mola com massa

ms

podem ser reduzidos a uma simples massa em A pela seguinte for-mulação da equação da energia cinética

Admitindo-se que a velocidade em

A

seja

x

forma em

A sülu\:ão da equação acima ~em ullas partes. Se P(t)." O, - lemos a equação di-ferencial homogênea, cuja solução corresponde fisicamente àquela 'de

vibração livre

de amortecimento_

Com

P(t)

c/. O, obtemos a solução particular devido ;\ excita-ção sem restrição da solução homogênea. Examinaremos inieialmente a equação homogênea, que nos dará alguma compreensão do papel do amortecimento.

Com o tucho reduzido a uma molá e uma massa adicional na extremidade

A.

o siste· m"a-inteiro está reduzido a uma mola e uma massa apenas, como indica a Fig. 2.3-2.

Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo· vimen to osciJatório e o não·oscilatório, e que definimos como

amortecimento

critico.

É

agora oportuno o exame desses três casos em detalhe, e em termos de quan· tidades' usadas na prática. Começamos com o amortecimento crítico.

Amortecimento Crítieo. '0 radical da Eq. (2.4·9)

é

zero para o amortecimento crítico cC"

onde !i é uma constante. Feita a substituição na equação diferencial, temos

(ms

2

+

cs

+

k)e"

=

O

que é satisfeita por todos os valores de t quando

•

c

k

O

s-

+

-s

.1. - =

J}l I /1Z

É conveniente expressar o valor de qualquer amortecimento em termos do amor· tecimento critico, por meio da fração não-mensurável

c

J(

C)'

k

s

.7= ._-

-l:.: -

--'.- 2m -' 2111 m

que é chamada

fração de amortecimento.

Expressamos agora as raízes da Eq. (2.4·7) em termos de

S,

notando que

onde A e B são constantes a serem determinadas de acordo com as condições iniciais

x(O)

e

x

(O).

Considerando os valores da Eq. (2.4·7), temos para (2.4-8) a seguinte expressão

o

primeiro termo

e'

C':2m)' é simplesmente uma função de tempo exponencialmente declinante.

O

comportamento dos termos dentro do parêntese depende, entretanto, do valor numérico sob o radical ser positivo, zero ou ncgativo.

Quando o termo de amortecimento (c/2m)2 é maior que

k/m,

os expoentes na equação acima são números reais e não há oscilação poss ível. Referimo-nos a este caso como

superamortecido.

Quando o termo de amortecimento (c/2m)'

é

menor que k/m, o expoente torna-se um número imaginário, ± i

.j

k/nz ,.

(c/2m)2

t.

Urna vez que

e os três casos de amortecimento discutidos ~nteriormente dependem agora de

S

ser maior, menor·ou igual

à

unidade.

A Fig. 2.4-2 mostra a Eq.(2.4-12) traçada num plano complexo, com

S

ao longo do eixo horizontal. Se

S

= O, a Eq. (2.4-12) fica red'uzida a SI.

,/w

ll = ± í, de modo que as ra ízes no eixo imaginário correspondem ao caso de não-amorte-cimento. Para

0<

s

<

1, a Eq. (2.4-12)

é

reescrita na'forma

As raÍzes s, e

s,

SolO então pontos complexos eonjugados sobre u'm arco circular convergindo no ponto SI.2/Wn = -

1,0.

Á

medida que

S

cresce acnna da unidade. as ra ízcs separam-se ao longo do cixo horizontal e permanccem números rcais. Ten-do presente cste diagrama, estamos aptos a examinar a solução dada pela Eq. (2.4-9).

25

e'.i'":'"-'''Z''')'' ,= coso

/5... ,_.

(~)21

~I=

isen

/5... __

n

(~)2

t

Y m

2m

'\ m

2m

os. teImas da Eq. (2.4-9) dentro do parêntese são oscilatórios. Denominamos este caso como

subamortecido.

Eixo

, =

Oimaginário ·1,0

-1,0

,=

O

Movimento Oscilatório. [~

<

1,0 (Caso de subamortecimento ).] Substituindo a Eq. (2.4-12) na (2.4-8). a solução geral torna·se

A ~=X(O)

-1- C( -1-

~)co_x(O)

. 2co_--/'> -

I

x

=

Xe-(""'sen'(~

CO_I

+

r/J)

=cC

e-(""'(C,

sen~ co.1

-I-

C1cos ~ co_1)

o

movimento é uma [unção de tempo exponencialmente decrescente, conforme in-dicado na Fig. 2.4-4, c é denOI;ninado como

aperiódico.

(2.4-14) (2.4-15)

onde as constan tes arbitrárias X. </1. ou C I, C2 são detemúnadas de acordo com as condições iniciais. Com as condições iniciais x(O) e X(O), pode·se mostrar a redução da Eq. (2.4-15) para a seguinte

,

_,

"" Ae (-,

+.Jf2=1)

w/lI

"~""

A equação indica que a freqüência da oscilaçãó all/ortecida

é

igual a

co

J c ~: c.~

w.vT=T'

o

/'-B-<· ,-~)wIlI / e

,

I I B

Movimento n:To Oscilatório.

II

>

1,0 (Caso de supcramortccimcnto).j Quando

I

é

maior que a unidade, as duas raizes permanecem no eixo real da Fig. 2.4-2 e separadas, uma aumentando e outra decrescendo. A expressão da solução geral é então

26

Movimento Amortecido Criticamente. [~

==

1,0] Para ~

==

I, óbtemos uma raiz dupla SI

==

S2

== -

wll' e os dois termos da Eq. (2.4-8) combinam para formar apenas um

que não tem o número

ue constantes

requerido

para satisfazer

;\s duas condições

iniciais. A solução

para as condições

iniciais é encontrada

pela Eq.

(2.4.16),

fazen-uo-se \ -,

1

Substituinuo·se

T<1

pelo seu valor

TJ =cc

2njúJ",/l':"-'l,

a expressão

do decremento

logarítmico

se transforma

em

As partes

móveis

de muitos

medidores

elétricos

e instrumentos

são amortecidos

criticamente,

a fim de evitar a ultrapassagem

e a oscilação.

que é uma equação exata.

Quando

\' é pequeno,

..)1"=1

2

==

I, e obtém-se

uma equação

aproximada

A Fig. 2.5-2 mostra

um gráfico

dos valores,> exatos

e aproximados,

de

{j

como

'função

de \.

A medida da taxa· de decréscimo

das oscilações livres é um meio conveniente

para se

determinar

a quantidade

de amortecimento

presente

num sistema.

Quanto maior o

amortecimento,

maior a taxa de decréscimo.

Consideremos

uma vibração

amortecida

representada

pela equação

(2.4-14)

que é indicada graficamente

na' Fig. 2.5-1.

ln traduzimos

aqui urna expressão

deno-minada

decremento logarítmico

que

é

del1nida como o logaritmo

natural do

quo-ciente de duas quaisquer

amplitudes

consecutivas.

A fórmula do decrernento

laga-r ítlaga-rnico

é

pois

15--, ln x,

X2

!

I

O 0.2

üA-,

-0,6 0,8 1,0

, 'o,

!:.. -_~,

Raâo de amortecimento

('tO

e uma vez que os valores dos scnos são iguais quando

o tempo é aumcn tado do

período de amortecimcn

to

T<1' .

a relação acima fica reduzida para

Exemplo 2.5-1

Um 'sistema em vibração com amortecimento viscoso apresenta os seguintes dados:

w

= 101b,

k

= 30 lb/pol e

c

= 0,12 Ib/pol pors. Determinaro decremento logadtmico e a razão entre duas amplitudes sucessivas quaisquer.

(j ;;;

271C

=

J...l

n

2

=

0,693

n

n

nC ~~

~693

cc.o

°

110

. 271 '

A última equação é a de uma hipérbole retangular e está traçada na Fig.

2.5-3.

Solução:

A freqüência natural não amortecida do sistema em radianos por segundo é

(k

!3OX386

/

(1). =

y

m

=

'I~

0=

34,0 rad s

O coeficiente de amortecimento crítico Cc e a fração ou razão de amortecimento ~ são ~ 6 ""

"

5"o. ~ 5- -- ---o . '~4

---11

"

"" c,

=

2111(1).

=

2 X 1.\8°6X 34,0

=

1,76 lb/pol/s

C --

!:- -

0,12 -- 00681

-

c, -

1,76 -- , . De acordo com a Eq.

(2.S-3),

o decremento logarítmico é

e5

=

271C~

'co

271x 0,068 ~

cC

0,429

,Jf - "

JI -

0,0681"

A razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é

*

o

'"

~

o.

2---"

~

ou ""

~

8

."

~ o

0,05 0,10 0,15 0,20 r;;: '" -:.:;

t

=Razão de amortccimnto

~ =

c'

=eO.4'9 c.= I,S4 x: Exemplo 2.5-2

Mostrar que o decremento logarítmico

é

dado também pela equação

I

x

e5

= -

ln.:-Q

11 Xn

Exemplo 2.5-3

Mostrar que o decremento logarítmico, no caso de amortecimento pequeno, pode ser expresso em termos da energia de vibração U e da energia t:.U

dis-sipada em cada ciclo.

Solução:

A Fig. 2.S-4 mostra uma vibração amortecida com amplitude conse-cutivas

x

I,

x

2. X3, ... naseados na definição do decremento logarítrrúco

onde

xn

representa a amplitude após decorridos

n

ciclos. Traçar uma CUlva dando o número de ciclos decorridos em função de ~ para que a amplitude diminua de 50 por cento.

Solução:

Para duas'CJuaisquer amplitudes consecutivas a razão

é

Xo

=

Xl :..:.:...:X2

= ... ~::~

.::.::-:

e'S

Xl X2 X3 x"

Pode-se escrever a razão

xo/xn

da forma seguinte

de onde se obtém a equação requerida que

é

e5

0=

J...l

n .\0

Il x"

Obtemos da equação acima -a seguinte relação, a fim de determinar o número de ciclos decorridos para a redução de SO por cento na amplitude

Ó

ln xllx2'

escrevemos a relação de amplitudes

na forma exponencial

x.

o'

-l ,~

e-

J oc= I -

o

+ - - ...

x,

21

A energia de vibração do sistema é aquela conservada na mola no deslocamento

máximo, ou

tático,

o qual é geralmente

maior que a força do atrito

cínético.

Pode-se mostrar

também

que a freqüência

ele

oscilação é

wjJ.Jk1Iil,

que ~ a mesma do sistema não

amortecido.

Deste modo, obtemos a seguínte relação para li de pequeno valor

/1U

U=2ó

A Fig. 2.6-1 mostra

a vibração

livre de um sistema

com amortecimento

de

Coulomb.

Deve-se notar que as amplitudes

decaem linearmente

em função do tempo.

o

amortecimento

de Coulomb

re'sulta do deslizamento

de duas superfícies

secas.

A força de amortecimento

é igual ao produto

da força normal

e o coeficiente

de

atrito

)1

e é admitido

como independente

da velocidade,

uma vez iniciado

o

mo-vimento.

Visto que o sinal da força de amortecimento

é sempre oposto ao da

veloci-dade, a equação diferencial

de movimento

para cada sinal

é

válida apenas para

inter-valos de meio ciclo.

Recorremos

ao princípio

da equivalência

entre' o trabalho realizado e a variação

da energia

cinética,

para determinar

o decréscimo

da amplitude.

Escolhendo

um

meio ciclo a partir da posição extrema,

com velocidade

igual a zero e a amplitude

igual a

X"

a variação

na energia cinética é zero e o trabalho

realizado sobre m é

também nulo.

As medidas de massa e rigidez são necessári~s para os cálculos da freqüência natural,

nos sistemas de um grau de liberdade.

Pode-se efetuar

o cálculo da massa efetiva,

utilizando-se

como

referência

qualquer

ponto

adequado

do sistema.

Entretanto,

deve-se determinar

também

a rigidez para este ponto.

Rigidez

é

definida

como a

força necess:iria para prodúzir

uma unidade de deslocamento

na direção

especifica-da. Se x é o deslocamento

especificado

sob a força l~ a rigidez é determinada

pela

relação.

. F

li.

=-},;

Flexibilidade

é a recíproca

da rigidez.

É

designada pela letra

"a"

e é definida

pela equação

onde X_I

é a amplitude

após o meio ciclo. como indicado na Fig. 2.6-1.

Repetindo

esta norma para o próximo

meio ciclo, será encon trado ou tro decréscimo

de

ampli-tude no valor de 2Fd

lk.

de modo que o decréscimo

de amplitude

por ciclo é uma

constante

igual a

4F

Xl - X2 = --"

k

Em outra seção mais adiante,

precisaremos

determinar

a rigidez, considerados

dois pontos

i

e

i

do sistema .. A flexibilidade

aij

é então definida como a deflexão

em

i

produzida

por uma unidade

de força em j.' A rigidez

kij

é a força necessária

em

i

para uma unidade

de deflexão

em

i,

com tódas as outras deflexões

iguais a

zero.

O k e o

"a"

das Eqs. (2.7-1)

e' (2.7~2)

são os leu e

aU

em termos dessas

quantidades.

A tabc!a no final desta seção apresenta

os valores de rigidez para

vá-rios tipos de molas.

o

movimento

cessará, entretanto.

quando

a amplitude

se tornar menor que

!:J.,

em cuja posição

â

força da mola é insuficiente

para superar a força do atrito

es-Exemplo 2.7-1

Determinar

a rigidez das molas no sistema indicado na Fig. 2.7-1.

k, ' k,

~

k,

~

k, 1 kc~ ..---_ 1/k1

+

l/k,

ir

=

k,

+

k, EI

k="

GJ k

=--I

-r}(}/}/J!}[t~=]~

k

=

6~~f:3

n

=

número de espíras -,<c-â

••. 2-1 Uma mola leve alonga de 0,31 paI quando ligada ao peso de uma libra.

Deter-minar a freqüência

natural do sistema.

,,2-2 Em um sistema mola-massa

kI,

m tem uma freqüência

natural de

fi'

Se uma

segunda nlola é adicionada .em série à primeira, a freqüência

natural baixa para

1(2

fi'

Determinar

k2

em função de

1<1'

2-3 Um peso de 10 Ib.ligado

à extremidade

inferior de uma molá cuja extrcI~lidade

superior é fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar

o período

natural

quando um peso de 5 lb é ligado ao meio da mola, com ambas as

ex-tremidades

fiXas_

2k

35

~

~I

r-T

'I I

CT--1

L.

c

~ ~

I

;t:::"i-j

.

J~

~

Solução:

Sistema

(a): Aplicando-se

a força

F

na extremidade

in!t'rior da segunda

mola

cada

mola

esticará

de F/k,

e F/k

2,

respectivamente,

e o deslocamento

total'na

extremidade

inferior

é

x

=

F/k

l

+ F/k

2•

De acordo com a Eq. (2.7-1)a

rigidez é en tão

F k k,

k

=

-r-F'

=

k, ~1-k2

-+-k,

k

2

Sistema (b): A força

Fo aplicada em O divide-se em Foú/(a

+

b) e Foa/(a

+

b),

respectivamente.

As deflexões

de I e 2 são Fob/(a

+

b)k,

e Foa/(a

+

b)k

1,

e a

do ponto O

é

{

b

a [a

b

II

xo=Fo

(a+b)k

l

-I-(a+b)

(a+b)k

2

-(a+b)k

l

F

(a'

b2)

=

(a +ob)'

k, -\- k,

F

(a -I-

b)'

k

°

=

x

°

=

-(-a~2

--b~'c-)

°

7(+7(

, I

Se k

l

=

k2

=

k

e a

= b.

a equação acima se reduz a

ko

34

48Ef k=--f~ 192 Ef k

=

-1-'-768Ef k=--7/'

Um peso desconheddo de IV Ib, ligado

à

extremidade de uma mola desco-nhecida k, tem uma freqüência natural de 94 cpm. Aumentando-se de uma Ib o pesO de

W.

a freqüência natural baixa para 76,7 cpm. Determinar o peso desconhecido IV lb e a constante k Ib/pol da mola.

Um peso

w

1 suspenso por uma mola

k

está em equil íbrio est<ítico. Um se-gundo peso

w

2 cai da altura

h

e junta-se a \VI sem ressaltar, como indicado na Fig.

1'.2-5.

Determinar o movimento subseqüente.

k/h

i·

_,_,-;-; .;% W:z

h

_1_

IV,

2-6 Tendo em vista o pêndulo torcional da Fig. 2.2-1, explicar como a freqüência natural depende de: (a) comprimento do arame, (b) diâmetro do arame, (c) material do arame, (d) do peso suspenso e (e) raio de rotação do peso suspenso.

2·7 Um volante pesando 70 Ib, -apoiado numa aresta pela face interna do aro, conforme a Fig. 1'.2-7, oscila como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao seu eixo geométrico, para o caso do perío-do de oscilação medido ter sido 1,22 s.

2-9 Um volante de peso JiI

é

suspenso horizontalmente por três arames de seis pés de comprimento cada, igualmente espaçados em volta de uma circunferên-cia de 10 pol de raio. Determinar seu raio de rotação, sabendo-se que é de 2,17 s o per iodo de oscilação em torno de um eixo vertical passando pelo cen. tro da roda.

2-10 Um conjunto rod" e eixo, de momento de inércia J, é inclinado de um ângulo

C< em relação il vertical. como se vê na Fig. 1'.2-10. Determinar a freqüência de oscilação resultante de um pequeno peso com li' libras, situado excentri. camente

à

dislància

a

pbl do eixo.

---T

-I

. I I

I '

12" 16"

I

2-8 Uma biela com peso de 4.80 Ib oscila 53 vezes em um minuto. quando suspen-sa na forma indicada na Fig.

r.2-S.

Determinar seu momento de inércia em re-lação ao seu centro de gravidade, que e,tá situado a 10,0 pol do ponto de suspensão.

2-11 Um cilindro de massa

m

c com o momento de inércia da massa J

o

rola li-vremente ~('1l1 deslizar, mas é reCreado pela mola k. como indicado na