Olivier Blanchard*
Abril de 2002
__________________________________ *14.452. 2º Trimestre de 2002. Tópico 2.
Quero iniciar com um modelo com dois ingredientes:
? Choques, portanto incerteza (a maior parte do que acontece é inesperada)
Choques naturais se quisermos ter bons tempos. Maus tempos: choques de produtividade.
? Escolha básica intertemporal: Consumo/poupança
Então, vamos pegar o familiar modelo de Rams e y, adicionar choques tecnológicos e, por implicação, incerteza.
O modelo claramente não pode ir muito longe. Não há movimentos no emprego e há vários outros problemas.
Mas é um bom ponto de partida. Choques/Mecanismos de propagação. A natureza da uniformização do consumo. Co-movimento no consumo e investimento.
É uma estrutura simples para discutir vários assuntos conceituais e metodológicos básicos. Como solucionar? Equivalência entre economia centralizada e descentralizada.
1
O problema de otimização
sujeito a:
Como pensar nesse sistema? Daremos mais tarde uma interpretação da economia descentralizada. Mas é mais fácil solucionar desta maneira.
Separabilidade. Descontos exponenciais. Por quê? O que há em não-exponencial/hiperbólico, por exemplo.
Não há crescimento. Se quisessemos crescer, gostaríamos de um caminho equilibrado, como o progresso neutro de Harrod. ZtF(Kt,AtN). É possível pensar em todas as variáveis divididas por At (veja a
apostila de Thomas).
2
Derivando as condições de primeira ordem
A maneira mais fácil de se derivá-las é da maneira antiga. Multiplicadores de Lagrange. Coloque os dois fatores limitadores juntos. Associe ßt?t com o fator limitador no tempo t. (Por que fazer isso? Por
conveniência: para obter o valor marginal do capital no tempo t + j, não do tempo t):
Assim, as Condições de Primeira Ordem são dadas por:
Defina . E use o fato de que Ct, ?t são conhecidos no tempo t para
conseguir:
Interpretação
? O valor marginal do capital deve ser igual ao valor esperado do valor marginal do capital de amanhã vezes o retorno bruto esperado sobre o capital, vezes o fator de desconto subjetivo.
Ou, mesclando os dois:
Essa é a condição de Keynes-Ramsey: Uniformização e inclinação. Para ver com mais clareza, use a função de elasticidade constante (que, no contexto de incerteza, também corresponde com a função CRRA):
Então:
Ou, como Ct é conhecido no tempo t:
É possível brincar bastante com essa fórmula, e isso é o que é feito em finanças. Mas, por causa da intuição, ignore toda a incerteza:
1 , como 2 , então Interpretação.
3
Os efeitos dos choques. Usando as CPOs e a intuição
Essa é a Regra de Ouro modificada
? Leve em consideração um outro turno permanente em F (.,.). Não é muito realista, mas útil. Nenhuma alteração no estado estacionário. Nenhuma alteração em FK para um determinado K,
portanto não há inclinação. O consumo aumenta um a um com o choque.
? Leve em consideração um choque multiplicativo permanente. Z vai para cima permanentemente. Então, no novo estado estacionário, K: é mais alto. Investimento positivo. Portanto, C deve aumentar menos de ZF(K,1). É possível que C desça? Sim, se s for alto suficiente. Por quê? Uniformização: para cima. Inclinação: para baixo.
? Por que transitório? C sobe menos. Portanto, menos investimento, mas por menos tempo.
Resumindo: choques positivos para a tecnologia. Aumento do investimento. Consumo: provavelmente, mas não necessariamente. Até agora, consegue se encaixar nos fatos básicos.
E os outros choques? Vamos supor uma alteração no fator de desconto. ß desce: como o futuro, menos (problemas mais profundos de incerteza na taxa de desconto). O que ele faria?
Iria inclinar o caminho de consumo em direção ao consumo corrente. Assim, o consumo atual aumentaria. Mas, como a produção não foi alterada, o investimento diminuiria. Claramente robusto. Não são boas notícias para choques de gostos nesta classe de modelos.
4
O efeito dos choques. Resolvendo o modelo realmente
A resolução do modelo é difícil. São várias abordagens.
? Log-linearize e obtenha uma solução explícita (numérica ou analiticamente).
? Ajuste-o como um problema de programação dinâmica estocástico e solucione-o numericamente.
? Encontre casos especiais que são solucionados explicitamente.
4.1 Tempo contínuo, ignorando a incerteza
Prepare o modelo em tempo contínuo. BF, Capítulo 2. É difícil de lidar com a incerteza, portanto presuma que as pessoas agem como se tivessem certeza.
Depois é possível usar um diagrama de fases para caracterizar os efeitos dinâmicos dos choques. Muitas vezes é útil.
Assuma que
está sujeito a;
Depois CPO de Keynes-Ramsey:
É possível representar esse sistema diferencial em um diagrama de fases. Caso isso seja feito, depois para mostrar a solução é um ponto sela. Dado K, determine o valor de C.
Nesse sistema, mostre o efeito de um aumento permanente (inesperado) em Z. Mostrar se C sobe ou desce é ambíguo e depende de s.
4.2 Log-linearização
Olhe o sistema composto pela CPO e pela equação de acumulação. Pense nisso como um sistema de diferença não linear:
Consumo Ct depende de Kt+1 e Ct+1.
Capital Kt+1 depende de Kt e Ct.
O aspecto não linear torna a solução difícil. Se for linearizado, ou log-linearizado, então tudo será muito mais fácil (é possível intervir na expectativa e na soma). Por que log-linearizar e não apenas linearizar? Pela mesma razão que as elasticidades são cada vez mais úteis que as derivadas (veja Campbell para uma derivação detalhada).
Assim, a log-linearização ao redor do estado estacionário fornece:
onde as letras pequenas denotam desvios proporcionais do estado estacionário.
(Como derivar essas relações? Diferencie totalmente cada equação. Em seguida, multiplique e divida as derivadas para obter as elasticidades. Por exemplo, pegue a equação de Euler:
e use 1/s = –U"C/U' para obter a expressão acima).
Depois, ao substituirmos Ert+1 pela segunda expressão e substituir kt+1 por seu valor a partir da terceira
expressão, obteremos um sistema linear em ct,ct+1, kt+1, kt ezt.
Esse sistema de diferença pode ser solucionado de várias maneiras. Coeficientes indeterminados. Se você tiver que supor:
1 linear em
Ou solucionar explicitamente, usando a álgebra da matriz: BK, ou algum dos métodos de BF (veja a apostila e o programa Matlab escrito por Thomas Philippon (RBC.m)).
Assuma também que estamos tentando assumir um processo para zt. Por exemplo:
Então, todas as expectativas do futuro dependem apenas de zt. Assim, o consumo é determinado por:
1 linear em
Regra de consumo: O consumo depende de kt e zt. Isso nos leva à programação dinâmica estocástica.
4.3 Programação dinâmica estocástica
Se estivermos dispostos a assumir um processo específico para zt, podemos então usar SDP.
Vamos supor, por exemplo, que Zt siga um processo de Markov. De modo que tudo que precisamos
saber para prever os valores futuros de Z é Zt. Então o valor do programa depende apenas de Kt e Zt. (Por
Então, escreva isso como V (Kt, Zt):
sujeito a:
O insight do SDP é que podemos reescrever esse problema de horizonte infinito como um problema de dois períodos:
sujeito a
Se conhecêssemos a forma da função de valor, isso seria então bastante direto. Obteríamos a regra:
Obviamente nós não conhecemos a função de valor. Mas isso é fácil de ser derivado numericamente:
? Comece com qualquer função V (.,.), chame de V0 (.,.).
? Use-a como a função do lado direito. Solucione para C0 (.,.).
? Solucione para o V1 (.,.) implicado do lado esquerdo.
? Use V1 (.,.) do lado direito, derive C1 (.,.) e reitere.
Em condições gerais, isso convergirá para a função de valor e a regra de consumo ideal. Vários problemas numéricos. É necessária uma grade para K, Z. Mas conceitualmente direto (sobre isso, leia Ljungqvist e Sargent, Capítulos 2 e 3).
Se fizer isso (veja o exercício de Matlab DP.m escrito por Thomas), depois será possível derivar a superfície de consumo como uma função de K, Z. Pode-se ver como C se move com Z para os valores diferentes de s e verificar nossa intuição do diagrama de fases.
4.4 Casos especiais
Finalmente, é possível descobrir casos especiais que têm uma solução implícita. Para esse modelo, um caso especial bastante conhecido e examinado é (veja BF, Capítulo 7, ou LS, Capítulo 2):
A última suposição é claramente a menos palatável. Sob essas suposições (não precisamos especificar o processo para Zt):
Um choque positivo afeta o investimento e o consumo da mesma maneira. Ambos aumentam em proporção ao choque.
Um atalho ainda mais drástico é simplesmente desistir da estrutura de horizonte infinito e pensar como um problema de otimização de dois períodos. Muitas vezes esse é um passo bastante útil e proporciona boa parte da intuição.
5
A economia descentralizada
Até o momento, analisamos um problema de planejamento central. Mas, dadas as suposições, há um equilíbrio competitivo que o replica.
É útil olhar para a economia descentralizada, com vários consumidores/trabalhadores idênticos. Há muitas firmas idênticas.
Há várias maneiras de descrever a poupança. As firmas podem comprar e manter o capital, ou alugá-lo dos consumidores. Eles podem financiar a si próprios por débito, ou patrimônio, e assim por diante. Aqui, assumimos que todo o capital é mantido pelos consumidores, que o aluga para as firmas.
Os mercados de bens, trabalho e serviços do capital são competitivos. As firmas alugam trabalho e serviços do capital no mercado de trabalho e capital.
Consumidores
? Cada um tem as mesmas preferências acima.
? Cada um fornece uma unidade de trabalho inelasticamente em um mercado de trabalho competitivo, com o salário Wt.
? Cada um pode economizar ao acumular capital. O capital é alugado para firmas todos os períodos em um mercado competitivo para serviços de aluguel, na taxa líquida de aluguel (taxa de aluguel líquida de depreciação) rt,
? Cada um possui uma parcela igual de todas as firmas na poupança. Entretanto, como a firma opera com retornos constantes, os lucros são zero, portanto podemos ignorar isso.
? A restrição orçamentária dos consumidores é, portanto, dada por:
Firmas
? As firmas têm a mesma tecnologia acima, ou seja, ZtF (Kt, Nt).
? Elas alugam trabalho e capital. O lucro é, portanto, dado por
O último termo em parênteses é a taxa de aluguel bruta.
? Elas maximizam o valor presente dos lucros, descontado da taxa de juros. Portanto:
? A maximização do lucro implica:
Finalmente, o equilíbrio do mercado de trabalho implica
Usando a relação entre taxa de aluguel e produto marginal de capital e substituindo nas condições de primeira ordem:
Usando as expressões para o salário e a taxa de aluguel na restrição orçamentária dos consumidores, temos:
Ou
O que aprendemos disso? Dê uma interpretação diferente. Pense nos consumidores depois de um choque positivo a Zt. Eles prevêem salários mais altos, mas também taxas de juros mais altas. O que eles
fazem?
Sabemos que não podemos tipicamente resolver o consumo (não podíamos antes, não podemos agora). Mas, novamente, podemos "colar" de casos anteriores ou considerarmos casos especiais.
Por exemplo: ignore a incerteza, assuma um log e mostre (nas linhas de BF, p50) que:
onde
Assim, os consumidores analisam a riqueza humana, o valor presente dos salários, e não a riqueza humana, capital. Eles então consomem uma fração constante dessa riqueza total. Tudo que eles não consumirem, eles economizam.
