Alguns tópicos em L espaços topológicos: compacidade local, espaços de Hurewicz e propriedade ω

(1)

SETOR DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA APLICADA

Alguns t´opicos em L espa¸cos topol´ogicos: compacidade local,

espa¸cos de Hurewicz e propriedade ω

∗

Tomas Keller Breuckmann

CURITIBA - PR 2004

(2)

compacidade local, espa¸cos de Hurewicz e

propriedade ω

∗

Tomas Keller Breuckmann

Orienta¸c˜ao:

Profa _{Soraya R. T. Kudri}

Disserta¸cão apresentada como requisito parcial à obten¸cão do grau de Mestre em Ma-temática Aplicada, Curso de Pós-gradua¸cão em Matemática Aplicada, Setor de Ciências Exatas, Universidade Federal do Paraná.

UFPR - CURITIBA 2004

(3)

Disserta¸cão aprovada como requisito parcial à obten¸cão do grau de Mestre em Matemática Aplicada no Curso de Pós-gradua¸cão em Matemática Aplicada da

Universidade Federal do Paran´a.

Profa. Soraya Rosana Torres Kudri (Orientadora)

Departamento de Matem´atica - UFPR ———————————————

Prof. Marko Antonio Rojas Medar

Departamento de Matem´atica - UNICAMP ———————————————

Prof. Jos´e carlos Cifuentes Vasques

Prof. Marcelo Muniz Silva Alves

Curitiba 18 de fevereiro de 2004

(4)

esferas e outros seres

que vivem al´em de Flatland.

(5)

Meus sinceros agradecimentos a professora Soraya.

(6)

Lista de S´ımbolos vi

Lista de Figuras vii

Resumo ix Abstract 1 1 Introdu¸c˜ao 2 2 Teoria B´asica 7 2.1 Topologia Geral . . . 7 2.2 Reticulados . . . 9 2.3 L-Conjuntos e L-Pontos . . . 11 2.4 L-Topologias . . . 14 3 Compacidade Local 30 3.1 Compacidade local . . . 31 3.2 Propriedades . . . 33 4 Teorema da L-Caixa 46 4.1 Teorema da L-caixa . . . 46

5 Propriedades de Recobrimento: Hurewicz e ω∗ ₅₂ 5.1 Espa¸cos de Hurewicz . . . 54

5.2 Propriedade ω∗ _{. . . 60}

5.3 Teorema Principal . . . 62

Bibliografia 64

(7)

N o conjunto dos n´umeros naturais.

∅ o conjunto vazio.

≤, rela¸c˜ao de ordem parcial e sua nega¸c˜ao.

∨, ∧ supremo e ´ınfimo respectivamente.

0 _{involu¸c˜ao com revers˜ao de ordem.}

hX, δi um espa¸co topol´ogico.

hX, T i um espa¸co L-topol´ogico.

hX, TDi um subespa¸co de um espa¸co L-topol´ogico.

A o fecho do conjunto A ou de um L-conjunto A.

Ac _{o complementar do conjunto A.}

χA a fun¸c˜ao caracter´ıstica de A.

x ∈ A, x /∈ A x pertence a A e sua nega¸c˜ao.

{x ∈ X ; P (x)} o conjunto dos elementos x em X com a propriedade P . A ⊂<∞B A ´e um subconjunto finito de B.

A ⊂ B A est´a contido em B.

{Aj}_j∈J uma fam´ılia indexada de conjuntos, quando J = N ´e uma sequˆencia.

∪j∈JAj a uni˜ao da fam´ılia {Aj}_j∈J.

f : X → Y uma fun¸c˜ao de X em Y .

(8)

P

j∈JAj a soma da fam´ılia {Aj}j∈J.

f (A), f−1_{(A) a imagem direta e inversa do conjunto A ou de um L-conjunto A.}

f |A a restri¸c˜ao de f `a A.

∀, ∃ quantificadores “para todo” e “existe”

pr(L) elementos primos do reticulado L.

πj a j-´esima proje¸c˜ao.

0, 1 menor e maior elementos de um reticulado L.

LX _{o conjunto dos L-conjuntos de X.}

xp um L-ponto.

supp(f ) o suporte de f .

∨j∈Jfj a uni˜ao da fam´ılia de L-conjuntos {fj}_j∈J.

∧j∈Jfj a interse¸c˜ao da fam´ılia de L-conjuntos {fj}_j∈J.

ω(δ)

o espa¸co L-topológico de todas as fun¸cões cont´ınuas de um espa¸co topológico hX, δi em um reticulado fuzzy L com topologia Scott.

(9)

1.1 Fun¸c˜ao caracter´ıstica de A . . . . 2

1.2 Conjunto fuzzy . . . 3

1.3 L-conjunto . . . 4

1.4 L-conjunto . . . 5

3.1 L-conjunto muito compacto . . . 44

3.2 Compacidade local . . . 44

3.3 Compacidade local fraca . . . 45

3.4 Compacidade local relativa . . . 45

4.1 Teorema 4.1 . . . 51

5.1 Princ´ıpio de sele¸c˜ao . . . 65

5.2 Espa¸cos de Hurewicz e propriedade ω∗ _{. . . 66}

(10)

Em um L espa¸co topológico propomos boas defini¸cões de compacidade local, com-pacidade local fraca e comcom-pacidade local relativa. Como resultados obtemos a in-variância por fun¸cões abertas cont´ınuas e sobrejetoras, a equivalência em espa¸cos de Hausdorff, a regularidade em espa¸cos de Hausdorff, teoremas de compatifica¸cão por um ponto e dois teoremas sobre a compacidade local e compacidade local fraca para o L-espa¸co produto. Propomos também boas defini¸cões para espa¸cos de Hurewicz e a propriedade ω∗ _{em L espa¸cos topológicos. Alguns resultados sobre espa¸cos de}

Hurewicz são obtidos, onde o principal teorema estabelece por meio da proprie-dade ω∗ _{condi¸cões necessárias e suficientes para um espa¸co ser Hurewicz. Para isso}

foi necess´ario generalizar para um L espa¸co topol´ogico um resultado simples sobre produto finito de compactos, que chamamos de Teorema da L-Caixa.

Palavras-chave: L espa¸cos topol´ogicos, compacidade local, espa¸cos de Hurewicz,

propriedade ω∗_.

(11)

In an L-topological space we propose good definitions for local compactness, weak local compactness and relative local compactness. As results we obtain the inva-riance under continuous open surjections, the equivalence in Hausdorff spaces, the regularity in Hausdorff spaces, one point compactification theorems and two the-orems about local compacness and weak local compactness for L-product spaces. We also propose good definitions for Hurewicz spaces and the ω∗ _{property in}

L-topological spaces. Some results about Hurewicz spaces are obtained, where the main theorem gives necessaries and sufficient conditions for a space to be Hurewicz by means of the ω∗ _{property. For this result was necessary the generalization, for an}

L-topological space, of a result about the product of finite compacts spaces which

we call here the L-Box Theorem.

Keywords: L-topological space, local compactness, Hurewicz spaces, ω∗

pro-perty.

(12)

Introdu¸c˜

ao

A teoria de conjuntos fuzzy teve origem com Zadeh [26] em 1965. Tal trabalho causou grande interesse entre matemáticos e profissionais das mais diversas áreas, o que resultou em um novo campo da matemática chamado ”Matemática Fuzzy”.

Dado um conjunto X, podemos ver um subconjunto A ⊂ X como uma fun¸c˜ao caracter´ıstica χA, figura 1.1, definida por:

χA(x) =

½

1 se x ∈ A 0 se x /∈ A

As opera¸c˜oes ∪, ∩ e c_{, e a rela¸c˜ao ⊂ entre conjuntos podem ser traduzidas para}

fun¸c˜oes caracter´ısticas da seguinte forma:

A ∪ B ↔ χA∪B= χA∨ χB.

A ∩ B ↔ χA∩B= χA∧ χB.

Ac _{↔ χ}

Ac = 1 − χ_A.

Figura 1.1: Fun¸c˜ao caracter´ıstica de A 2

(13)

A ⊂ B ↔ χA ≤ χB.

onde ∨ e ∧ denotam as opera¸c˜oes de supremo e ´ınfimo respectivamente.

A id´eia apresentada por Zadeh, foi de generalizar as fun¸c˜oes caracter´ısticas per-mitindo que asumissem valores no intervalo [0, 1]. Deste modo, um subconjunto de

X passa a ser uma fun¸c˜ao caracter´ıstica generalizada µ : X → [0, 1], chamados de

conjuntos fuzzy, figura 1.2.

Figura 1.2: Conjunto fuzzy

As opera¸c˜oes ∪, ∩ ec_{, e a rela¸c˜ao ⊂ entre conjuntos se generalizam para conjuntos}

fuzzy do mesmo modo que para fun¸c˜oes caracter´ısticas.

Em 1967, Goguen [6] generalizou ainda mais a no¸cão de conjunto fuzzy, per-mitindo que as fun¸cões caracter´ısticas asumissem valores em um reticulado L com elemento minimo 0 = ∧L e maximo 1 = ∨L. Deste modo, os subconjuntos de X passam a ser fun¸cões f : X → L, chamados de L-conjuntos, ou conjuntos L-fuzzy, figura 1.3. O conjunto de todos os L-conjuntos de X é denotado por LX_.

Em L-conjuntos podemos definir a união de f e g como sendo o L-conjunto f ∨ g, onde (f ∨g)(x) = f (x)∨g(x). Defini¸cão análoga para a interse¸cão de f e g utilizando

∧. Dizemos que f est´a contido em g se e somente se f ≤ g, ou seja, f (x) ≤ g(x)

para todo x ∈ X.

A defini¸cão do complementar de um conjunto para um L-conjunto não pode ser generalizada da forma anterior, pois em um reticulado não temos obrigatoriamente

(14)

uma opera¸c˜ao de soma que nos permita fazer 1 − f (x). O complementar de um

L-conjunto f ´e um L-conjunto fc _{definido por f}c_{(x) = f (x)}0 _onde 0 _{: L → L ´e}

uma fun¸c˜ao que satisfaz as seguintes propriedades: e ≤ b ⇒ b0 _{≤ e}0_{, e, (e}0₎0 _{= e.}

Note que com esta definini¸cão temos as mesmas propriedades de conjuntos para o complementar, isto é, f ≤ g ⇒ gc _{≤ f}c _{e (f}c₎c _{= f . Como nota¸cão escrevemos f}0

para o complementar de f e n˜ao fc_.

Um elemento p 6= 1 em L é primo se e somente se e ∧ b ≤ p ⇒ e ≤ p ou b ≤ p. O conjunto e todos os elementos primos de L será denotado por pr(L). A defini¸cão de ponto fuzzy, ou L-ponto, que utilizaremos neste trabalho foi proposta em [21] por Warner. Um L-ponto de X, figura 1.4, é um L-conjunto xp : X → L definido por:

xp(y) =

½

p se y = x 1 se y 6= x onde x ∈ X e p ∈ pr(L).

Dizemos que o L-ponto xp pertence ao L-conjunto f , e escrevemos xp ∈ f , se e

somente se f (x) p, figura 1.4. Interessante notar que em L-conjuntos n˜ao temos necessariamente a equivalˆencia xp ∈ f ⇔ xp ∈ f/ 0 que existe em conjuntos, pois

f (x) p e f (x) ≥ p0 _{podem n˜ao ser equivalentes.}

A primeira defini¸cão de espa¸cos topologicos fuzzy foi proposta por Chang em [2]. Um espa¸co topológico fuzzy é um conjunto X com uma topologia usual de conjuntos

(15)

fuzzy, isto é: ∅ e X são abertos, união arbitraria de abertos é aberto, e interse¸cão finita de abertos é aberto. Atualmente estes espa¸cos topológicos fuzzy são ditos espa¸cos L-topológicos ou L espa¸cos topológico.

O primeiro cap´ıtulo é dedicado a defini¸cões e propriedades básicas de reticulados,

L-conjuntos e L-pontos, e de espa¸cos L-topol´ogicos.

No segundo cap´ıtulo apresentamos boas defini¸cões (defini¸cão 2.27) para as propri-edades de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa em um espa¸co L-topológico. Como resultados obtemos a invariância destas propri-edades por fun¸cões sobrejetoras cont´ınuas e abertas, a equivalência em espa¸cos de Hausdorff, a regularidade em espa¸cos de Hausdorff, teoremas de compactifica¸cão por um ponto e teoremas sobre a compacidade local do L-espa¸co produto.

Em topologia geral, temos um resultado simples sobre compacidade que diz que dado A, um subconjunto compacto de X, e um aberto W em Xn _{tal que A}n _{⊂ W ,}

existe um aberto V tal que A ⊂ V e Vn _{⊂ W . No terceiro cap´ıtulo apresentamos}

uma versão deste resultado para um L espa¸co topológico, o “teorema da L-caixa”. Duas propriedades de recobrimento existentes na topologia geral são a proprie-dade de Hurewicz e a proprieproprie-dade ω (selectively ω-grouping property). A propri-edade de Hurewicz foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata de sequências de coberturas abertas. A propriedade ω foi introduzida por Scheepers em [18] e trata

(16)

de sequˆencias de ω coberturas.

No quarto cap´ıtulo, trabalharemos com duas propriedades de recobrimento em um L-espa¸co topol´ogico: propriedade ω∗ _{e propriedade de Hurewicz. Apresentamos}

boas defini¸cões para estas propriedades e obtemos um teorema garantindo condi¸cões necessárias e suficientes para que um espa¸co seja Hurewicz através da propriedade

ω∗ _{(selectively ω}∗_{-grouping property).}

Em todos os cap´ıtulos os resultados e defini¸cões sem atribui¸cão de autoria são nossa contribui¸cão.

(17)

Teoria B´

asica

Este cap´ıtulo consiste de defini¸c˜oes e resultados necess´arios no desenvolvimento deste trabalho.

Dividimos este cap´ıtulo em quatro se¸c˜oes.

A primeira se¸cão é dedicada a espa¸cos topológicos. As defini¸cões e resultados apresentados podem ser encontrados em qualquer bom livro de topologia geral, como [3] e [15], e nos artigos [8] e [18].

A segunda se¸cão é sobre reticulados. Importante aqui é a defini¸cão de reticulado fuzzy e um teorema sobre topologia Scott.

Na terceira se¸cão introduzimos as defini¸cões e propriedades de conjuntos e L-pontos, que são casos particulares de L-conjuntos. Em muitos trabalhos, L-conjuntos são chamados de conjuntos L-fuzzy, que tem o mesmo significado.

Na última se¸cão introduzimos espa¸cos L-topológicos. Em trabalhos mais anti-gos, um espa¸co L-topológico era chamado espa¸co topológico fuzzy. Atualmente, a defini¸cão de Chang [2] corresponde a espa¸cos L-topológicos e a defini¸cão de Sostak [19] corresponde a espa¸co topológico fuzzy. Algumas demonstra¸cões simples serão incluidas em detalhes para tornar o leitor familiarizado com alguns conceitos em

L-topologias.

2.1 Topologia Geral

Nesta se¸cão X e Y são considerados conjuntos não vazios.

(18)

Teorema 2.1 [15, Munkres] Sejam hX, δi um espa¸co topol´ogico e A um compacto

em X. Considere Xn _{com a topologia produto. Se W ´e um aberto em X}n _{tal que}

An_{⊂ W ent˜ao existe V ∈ δ tal que A ⊂ V e A}n_{⊂ V}n _{⊂ W .}

Em topologia geral existem trˆes modos de se definir compacidade local, as quais chamaremos aqui de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa.

Defini¸c˜ao 2.1 [3, Dugundji] Um espa¸co topol´ogico hX, δi ´e localmente compacto se

e somente se para cada x ∈ X e V ∈ δ tal que x ∈ V existem K compacto e U ∈ δ tais que x ∈ U e U ⊂ K ⊂ V .

Defini¸c˜ao 2.2 [3, Dugundji] Um espa¸co topol´ogico hX, δi ´e fracamente localmente

compacto se e somente se para cada x ∈ X existem K compacto e U ∈ δ tais que x ∈ U e U ⊂ K.

Defini¸c˜ao 2.3 [3, Dugundji] Um espa¸co topol´ogico hX, δi ´e relativamente

local-mente compacto se e solocal-mente se para cada x ∈ X existe U ∈ δ com U compacto tal que x ∈ U.

Teorema 2.2 [3, Dugundji] Em espa¸cos de Hausdorff as defini¸c˜oes anteriores sobre

compacidade local s˜ao equivalentes.

As defini¸c˜oes a seguir falam a respeito das propriedades de Hurewicz e propriedade

ω (selectively ω-grouping). A primeira foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata

de sequências de coberturas abertas, a segunda foi introduzida mais recentemente por Scheepers em [18] e trata de sequências de ω coberturas. Usamos a nota¸cão

A ⊂<∞B como abrevia¸c˜ao para A ´e um subconjunto finito de B.

Defini¸c˜ao 2.4 [8, Hurewicz] Um espa¸co topologico hX, δi ´e Hurewicz se e somente

se para cada sequˆencia {Un}n∈N de coberturas abertas de X, existe uma sequˆencia

(19)

(i) Cada Vn ⊂<∞Un.

(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).

Defini¸c˜ao 2.5 [18, Scheepers] Uma ω cobertura aberta de hX, δi ´e uma fam´ılia de

abertos U com X /∈ U tal que para cada F ⊂<∞X existe V ∈ U com F ⊂ V

Defini¸c˜ao 2.6 [18, Scheepers] Um espa¸co topologico hX, δi tem a propriedade ω se e

somente se para cada sequˆencia {Un}n∈N de ω coberturas de X existe uma sequˆencia

{Vn}n∈N tal que:

(i) Cada Vn ´e um subconjunto finito de Un.

(ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V

Defini¸c˜ao 2.7 Uma ω∗ _{cobertura em X ´e uma fam´ılia de abertos U tal que para}

cada subconjunto finito F de X, existe V ∈ U com F ⊂ V

Defini¸c˜ao 2.8 Um espa¸co topol´ogico hX, δi tem a propriedade ω∗ _{se e somente se}

para cada sequˆencia {Un}n∈N de ω∗ coberturas de X existe uma sequˆencia {Vn}n∈N

tal que:

(i) Cada Vn ´e um subconjunto finito de Un.

(ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n0 ∈ N tal que:

n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V

2.2 Reticulados

Defini¸c˜ao 2.9 [1, Birkhoff] Um reticulado L = hL, ≤, ∨, ∧i ´e um conjunto n˜ao

vazio, com uma ordem parcial ≤, tal que cada subconjunto finito tem supremo e ´ınfimo, denotados respectivamente por sup e inf, ou ∨ e ∧.

(20)

Defini¸c˜ao 2.10 [1, Birkhoff] Um reticulado L = hL, ≤, ∨, ∧i ´e completo se e

so-mente se cada subconjunto tem supremo e ´ınfimo. Denotamos 0 = ∧L e 1 = ∨L.

Observe que 0 = ∨∅ e 1 = ∧∅. De fato, 0 ´e uma cota superior para ∅, isto ´e, 0 ≥ x para cada x ∈ ∅, pois caso contrario existiria x ∈ ∅ com 0 x. Sendo uma cota superior, 0 ≥ ∨∅, logo, 0 = ∨∅. Analogamente se mostra que 1 = ∧∅.

Defini¸c˜ao 2.11 [5, Gierz et al.] Um reticulado completo L = hL, ≤, ∨, ∧i ´e

com-pletamente distributivo se e somente se satisfaz:

∧i∈I(∨j∈Jiei,j) = ∨f ∈K(∧i∈I) ei,f (i)

onde para cada i ∈ I e j ∈ Ji, ei,j ∈ L; e K ´e o conjunto das fun¸c˜oes f : I → ∪i∈IJi

tais que para cada i ∈ I, f (i) ∈ Ji.

Defini¸c˜ao 2.12 [1, Birkhoff] Uma involu¸c˜ao com revers˜ao de ordem em um

reticu-lado L ´e uma fun¸c˜ao 0 _{: L → L, f (e) = e}0_{, tal que:}

(i) e ≤ b ⇒ b0 _{≤ e}0_.

(ii) (e0₎0 _{= e.}

Defini¸c˜ao 2.13 [7, Hutton] Um reticulado fuzzy L = hL, ≤, ∨, ∧,0_{i ´e um reticulado}

completo, completamente distributivo com uma involu¸c˜ao com revers˜ao de ordem onde 0 = ∧L e 1 = ∨L.

Note que a involu¸cão com reversão de ordem 0 _{: L → L é uma bije¸cão pois}

a0 _{= b}0 _{⇒ a = (a}0₎0 _{= (b}0₎0 _{= b e b = a}0 _{para cada b ∈ L onde a = b}0 _{∈ L. Com isso}

temos que 10 _{= 0 e 0}0 _{= 1. De fato, 0 = a}0 _{para algum a ∈ L, como 1 ≥ a temos que}

10 _{≤ a}0 _{= 0, logo 1}0 _{= 0 pois 0 = ∧L. Analogamente temos 0}0 _{= 1.}

Para o que segue nesta se¸c˜ao, L ser´a um reticulado fuzzy. Defini¸c˜ao 2.14 [5, Gierz at al.] Dizemos que p ∈ L:

(21)

(i) ´e primo se e somente se p 6= 1 e ∀e, b ∈ L, e ∧ b ≤ p ⇒ e ≤ p ou b ≤ p.

Definimos pr(L) = {p ∈ L ; p ´e primo}

(ii) ´e coprimo se e somente se p 6= 0 e ∀e, b ∈ L, e ∨ b ≥ p ⇒ e ≥ p ou b ≥ p. Defini¸c˜ao 2.15 [1, Birkhoff] Um conjunto D com uma ordem parcial tal que: ∀a, b ∈

D, ∃k ∈ D; k ≥ a e k ≥ b, ´e dito conjunto direto.

Defini¸c˜ao 2.16 [5, Gierz at al.] A topologia Scott T em L ´e definida como segue.

U ∈ T se e somente se:

1. ∀a ∈ U, ∀b ∈ L; a ≤ b ⇒ b ∈ U

2. Para cada D subconjunto direto de L com ∨D ∈ U temos D ∩ U 6= ∅.

Teorema 2.3 [22, Warner e McLean] A topologia Scott em L ´e gerada pelos

con-juntos {Ap}_p∈pr(L), onde Ap = {x ∈ L ; x p}.

2.3 L-Conjuntos e L-Pontos

Nesta se¸cão X é um conjunto não vazio e L é um reticulado fuzzy com a topologia Scott.

Defini¸c˜ao 2.17 [6, Goguen] Um L-conjunto f em X ´e uma fun¸c˜ao f : X → L. O

conjunto de todos os L-conjuntos em X ser´a denotado por LX_.

Podemos definir em LX _{uma ordem parcial, opera¸c˜oes de sup e inf, e uma}

in-volu¸c˜ao com revers˜ao de ordem que fazem com que LX _{seja um reticulado fuzzy.}

S˜ao elas [6, Goguen]:

(i) f ≤ g se e somente se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X. Dizemos neste caso que f esta contido em g.

(ii) (∨j∈Jfj) (x) = ∨j∈Jfj(x) para cada x ∈ X e fam´ılia {fj}_j∈J em LX. Dizemos

(22)

(iii) (∧j∈Jfj) (x) = ∧j∈Jfj(x) para cada x ∈ X e fam´ılia {fj}_j∈J em LX. Dizemos

que (∧j∈Jfj) ´e a interse¸c˜ao dos L-conjuntos fj.

(iv) f0_{(x) = (f (x))}0 _{para f ∈ L}X_{. Dizemos que f}0 _{´e o complementar de f .}

Defini¸c˜ao 2.18 [24, Weiss] Seja f um L-conjunto em X. O suporte de f ´e o

conjunto supp(f ) = {x ∈ X; f (x) > 0}.

Em [21], Warner determinou os elementos primos de LX_,

pr(LX_{) =}©_x

p ∈ LX ; x ∈ X, p ∈ prL

ª

onde cada xp : X → L ´e o L-conjunto definido por

xp(y) =

½

p , y = x

1 , y 6= x

Defini¸c˜ao 2.19 [21, Warner] Os elementos de pr(LX_{) s˜ao chamados L-pontos de}

X. Dizemos que o L-ponto xp pertence ao L-conjunto f em X, escrevemos xp ∈ f ,

se e somente se f (x) p.

Observe que em L-conjuntos n˜ao temos necessariamente a equivalˆencia

xp ∈ f ⇔ xp ∈ f/ 0 que existe em conjuntos, x ∈ A ⇔ x /∈ Ac, pois f (x) p e

f (x) ≥ p0 _{podem n˜ao ser equivalentes. Isso nos da uma certa liberdade de escolha}

em defini¸c˜oes e teoremas. O modo como faremos a escolha entre xp ∈ f e xp ∈ f/ 0

será semelhante ao feito por Kudri em [9, 10, 11, 12] que se mostrou satisfatória na obten¸cão de alguns resultados.

Defini¸c˜ao 2.20 [2, Chang] Sejam f : X → Y uma fun¸c˜ao, g ∈ LX _{e h ∈ L}Y

L-conjuntos em X e Y respectivamente. Definimos:

(i) A imagem direta de g por f ´e o L-conjunto f (g) em Y definido por

f (g)(y) = ∨ {g(x) ∈ L ; x ∈ f−1_{(y)} para cada y ∈ Y .}

(ii) A imagem inversa de h por f ´e o L-conjunto f−1_{(h) em X definido por}

(23)

Proposi¸c˜ao 2.1 [2, 14, 17] Sejam f : X → Y uma fun¸c˜ao, {gj}_j∈J uma fam´ılia de

L-conjuntos em X e {hj}_j∈K uma fam´ılia de L-conjuntos em Y . Temos:

(i) f−1_(h0 j) = (f−1(hj))0 (ii) hj ≤ hi ⇒ f−1(hj) ≤ f−1(hi) (iii) f−1_(∨ j∈Khj) = ∨j∈Kf−1(hj) (iv) f−1_(∧ j∈Khj) = ∧j∈Kf−1(hj) (v) f (g0 j) ≤ (f (gj))0 se f ´e injetiva.

(vi) (f (gj))0 ≤ f (gj0) se f ´e sobrejetiva.

(vii) gj ≤ gi ⇒ f (gj) ≤ f (gi)

(viii) f (∨j∈Kgj) = ∨j∈Kf (gj)

(ix) f (∧j∈Kgj) ≤ ∧j∈Kf (gj)

(x) f (f−1_(h

j)) ≤ hj. Se f ´e sobrejetora ent˜ao vale a igualdade.

(xi) gj ≤ f−1(f (gj)). Se f ´e injetora ent˜ao vale a igualdade.

Proposi¸c˜ao 2.2 [14, Malghan e Benchalli] Sejam f : X → Y uma fun¸c˜ao, {gj}_j∈J

uma fam´ılia de L-conjuntos em X e h um L-conjunto em Y . Temos:

(i) gj ≤ gi ⇒ supp(gj) ⊂ supp(gi)

(ii) supp(∨j∈Jgj) = ∪j∈Jsupp(gj))

(iii) supp(∧n

j=1gj) = ∩nj=1gj

(iv) f (supp(gj)) = supp(f (gj))

(24)

2.4 L-Topologias

Nesta se¸cão X, Y e Xj são conjuntos não vazios, e L é um reticulado fuzzy com a

topologia Scott.

Defini¸c˜ao 2.21 [2, Chang] O par hX, T i ´e um espa¸co L-topol´ogico, se e somente

se T é uma L-topologia em X, isto é, T ⊂ LX _{é tal que:}

(i) ∅ ∈ T, X ∈ T , onde ∅ e X s˜ao os L conjuntos definidos por ∅(x) = 0 e X(x) = 1

para cada x ∈ X.

(ii) Para toda fam´ılia {fj}_j∈J em T , ∨j∈Jfj ∈ T .

(iii) Para toda fam´ılia {fj}k_j=1 em T , ∧kj=1fj ∈ T

Os elementos de T acima s˜ao chamados de L-conjuntos abertos, ou L-abertos. Dizemos que f ´e um L-conjunto fechado, ou um L-fechado, se e somente se f0 _{∈ T .}

Defini¸c˜ao 2.22 [16, Pu e Liu] Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico. Seja f ∈ LX_.

O interior de f , int(f ), e o fecho de f , cl(f ) = f , s˜ao definidos por: int(f ) = ∨ {g ∈ T ; g ≤ f }

cl(f ) = ∧©g ∈ LX _{; f ≤ g, g}0 _{∈ T}ª

Defini¸c˜ao 2.23 [12, Kudri] Sejam hX, TXi e hY, TYi espa¸cos L-topol´ogicos. Seja

f : X → Y uma fun¸c˜ao. Dizemos que f ´e cont´ınua se e somente se f−1_{(g) ∈ T} X

para cada g ∈ TY. Dizemos que f ´e aberta se e somente se f (h) ∈ TY para cada

h ∈ TX.

Proposi¸c˜ao 2.3 [12, Kudri] Sejam hX, TXi e hY, TYi espa¸cos L-topol´ogicos. Seja

f : X → Y uma fun¸c˜ao. Temos:

(i) f ´e cont´ınua se e somente se para cada L-conjunto fechado g ∈ LY _{temos que}

(25)

(ii) Se f ´e cont´ınua ent˜ao f−1_{(g) ≤ f}−1_{(g) para cada g ∈ L}Y_.

(iii) Se f ´e cont´ınua ent˜ao f (h) ≤ f (h)para cada h ∈ LX_.

Demonstra¸c˜ao.

(i) Necessidade: Seja g ∈ LY _{um L-conjunto fechado, ent˜ao f}0 _{´e um L-conjunto}

aberto. Como f ´e cont´ınua temos que f−1_(g0₎ _∈ _T

X. Mas

(f−1_(g))0 _{= f}−1_(g0_{) ∈ T}

X, logo, f−1(g) ´e um L-conjunto fechado.

Suficiência: Seja g ∈ TY, então g0 é um L-conjunto fechado, logo f−1(g0) é um

L-conjunto fechado. Mas (f−1_(g))0 _{= f}−1_(g0_{), logo f}−1_{(g) ∈ T} X.

(ii) Como g ≤ g e f ´e cont´ınua temos que f−1_{(g) ≤ f}−1_{(g) e, por (i), f}−1_{(g) ´e um}

L-conjunto fechado. Logo, f−1_{(g) ≤ f}−1_(g).

(iii) Como h ≤ f−1_{(f (h)) temos que h ≤ f}−1_{(f (h)), ent˜ao, pela continuidade da}

f e usando (ii) com g = f (h), temos h ≤ f−1_{(f (h)) ≤ f}−1_{(f (h)). Logo}

f (h) ≤ f (f−1_{(f (h))) ≤ f (h)}

Fica assim demonstrado a proposi¸c˜ao. ¥

Defini¸c˜ao 2.24 [25, Wong] Seja hX, T i um espa¸co L-topológico. Uma cole¸cão B ⊂ T é uma base para T se e somente se para cada f ∈ T existe uma fam´ılia

{gj}_j∈J em B tal que f = ∨j∈Jgj. Neste caso dizemos que T ´e gerada por B.

Defini¸c˜ao 2.25 [25, Wong] Seja hX, T i um espa¸co L-topológico. Uma cole¸cão C ⊂ T é uma subbase para T se e somente se a fam´ılia de todas as interse¸cões

finitas de elementos de C forma uma base para T . Neste caso dizemos que T ´e gerada por C.

Defini¸c˜ao 2.26 [25, Wong] Seja {hXj, Tji}_j∈J uma fam´ılia de espa¸cos L-topol´ogicos.

Seja X =Q_j∈JXj e defina para cada α ∈ J a α-´esima proje¸c˜ao πα : X → Xα por

πα((xj)j∈J) = xα. A L-topologia produto T em X tem como subbase a fam´ılia

∪j∈J

©

π−1

j (f ) ; f ∈ Tj

ª

(26)

Seja hX, δi um espa¸co topológico. Em [20] e [21] Warner mostrou que o conjunto de todas as fun¸cões cont´ınuas f : hX, δi → L formam uma L-topologia w(δ) em X, e que uma base para este espa¸co é o conjunto B =©fU b ∈ LX ; b ∈ L, U ∈ δ

ª onde cada fU b ´e definido por:

fU b(y) =

½

b se x ∈ U 0 se x /∈ U

Defini¸c˜ao 2.27 [20, Warner] Seja hX, δi um espa¸co topol´ogico e P uma

propri-edade topol´ogica em hX, δi. Dizemos que uma propripropri-edade topol´ogica PL em um

espa¸co L-topológico é uma boa extensão de P se e somente se: hX, δi tem a propri-edade P se e somente se hX, w(δ)i tem a propripropri-edade PL.

Os próximos quatro resultados serão usados futuramente sem referência a eles. Proposi¸c˜ao 2.4 [12, Kudri] Seja hX, δi um espa¸co topológico, então: f ∈ ω(δ) se

e somente se f−1_{{t ∈ L ; t p} ∈ δ para cada p ∈ pr(L).}

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Se f ∈ ω(δ) então é uma fun¸cão cont´ınua de X em

L, onde L tem a topologia Scott. Logo, f−1_{(A) ∈ δ para cada A aberto em L. Em}

particular f−1_{(A) ∈ δ para os abertos A = {t ∈ L ; t p} da base.}

Suficiˆencia: Seja A um aberto em L, ent˜ao podemos escrever A = ∪p∈PAp onde

P ⊂ pr(L) e Ap = {t ∈ L ; t p}. Como f−1(Ap) ∈ δ temos que f−1(A) ∈ δ pois

f−1_{(A) = ∪}

p∈Pf−1(Ap). Logo f ∈ ω(δ). ¥

Proposi¸c˜ao 2.5 [12, Kudri] Seja hX, δi um espa¸co topológico, então: f é fechado

em hX, ω(δ)i se e somente se f−1_{{t ∈ L ; t ≥ p}0_{} ´e fechado em hX, δi para cada}

p ∈ pr(L).

Demonstra¸c˜ao. Usando que

(f0)−1{t ∈ L ; t p} = f−1{t ∈ L ; t p0}

e que

¡

(27)

temos que:

f0 ∈ ω(δ) ⇔ ∀p ∈ pr(L), (f0)−1{t ∈ L ; t p} ∈ δ ⇔ ∀p ∈ pr(L), f−1_{{t ∈ L ; t p}0_{} ∈ δ}

⇔ ∀p ∈ pr(L), ¡f−1_{{t ∈ L ; t p}0_}¢c _{´e fechado em hX, ω(δ)i}

⇔ f−1{t ∈ L ; t ≥ p0} ´e fechado em hX, ω(δ)i

O resultado segue do fato de que f ´e fechado em hX, ω(δ)i se e somente se

f0 _{∈ ω(δ). ¥}

Proposi¸c˜ao 2.6 [12, Kudri] Seja hX, δi um espa¸co topol´ogico, ent˜ao: A ∈ δ se e

somente se χA∈ w(δ).

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Seja A ∈ δ. Seja p ∈ pr(L) e considere o aberto b´asico Ap = {t ∈ L ; t p}. Temos que χ−1_A (Ap) = {x ∈ X ; χA(x) p} = A.

Logo, χ−1

A (Ap) ∈ δ para cada aberto b´asico, ou seja χA ´e continua. Portanto

χA∈ ω(δ).

Suficiˆencia: Se χA ∈ w(δ) ent˜ao χ−1A {t ∈ L ; t p} ∈ δ para cada p ∈ pr(L),

mas χ−1

A {t ∈ L ; t p} = A, logo, A ∈ δ. ¥

Proposi¸c˜ao 2.7 [12, Kudri] Seja hX, δi um espa¸co topol´ogico. Seja e ∈ L e f um

L-conjunto em hX, ω(δ)i definido por: f (y) = ½ e se y ∈ A 0 se y /∈ A Ent˜ao: int(f )(y) = ½ e se y ∈ int(A) 0 se y /∈ int(A) e f (y) = ½ e se y ∈ A 0 se y /∈ A

Demonstra¸c˜ao. Ver Kudri [12]. ¥

Defini¸c˜ao 2.28 [11, Kudri] Sejam hX, T i um espa¸co L-topol´ogico e g ∈ LX_.

Di-zemos que g ´e compacto se e somente se para cada p ∈ pr(L) e fam´ılia {fj}_j∈J

de L abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p0, existe um

(28)

Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico, a fun¸c˜ao φ : T → P(X × pr(L)) definida por φ(f ) = {(x, p) ∈ X × pr(L) ; f (x) p} determina uma L-topologia φ(T ) em

X × pr(L) [23].

Lema 2.1 [22, Warner e McLean] Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico. Temos:

hX, T i ´e compacto se e somente se para cada p ∈ pr(L), X × {p} ´e compacto em hX × pr(L), φ(T )i.

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) fixado. Seja {φ(fj)}_j∈J uma

cober-tura aberta de X × {p}, isto ´e, fj ∈ T e X × {p} ⊂ ∪j∈Jφ(fj).

Seja x ∈ X, ent˜ao, existe i ∈ J tal que (x, p) ∈ φ(fi), isto ´e, fi(x) p, logo,

(∨j∈Jfj) (x) p. Pela compacidade de hX, T i, existe um subconjunto finito J1 de

J tal que (∨j∈J1fj) (x) p para cada x ∈ X.

Temos ent˜ao que X × {p} ⊂ ∪j∈J1φ(fj). De fato, para x ∈ X temos

(∨j∈J1fj) (x) p, ent˜ao existe i ∈ J1 tal que fi(x) p, ou seja, (x, p) ∈ φ(fi).

Suficiˆencia: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}_j∈J uma fam´ılia de L-abertos tal que

(∨j∈Jfj) (x) p para cada x ∈ X.

Seja (x, p) ∈ X × {p}. Como x ∈ X, (∨j∈Jfj) (x) p, ent˜ao existe i ∈ J tal que

fi(x) p, isto ´e, (x, p) ∈ φ(fi), logo, X × {p} ∈ ∪j∈Jφ(fj). Pela compacidade de

X × {p} existe um subconjunto finito J1 de J tal que X × {p} ∈ ∪j∈J1φ(fj).

Segue que (∨j∈J1fj) (x) p para cada x ∈ X. De fato, para x ∈ X temos

X × {p} ∈ ∪j∈J1φ(fj), ent˜ao existe i ∈ J tal que (x, p) ∈ φ(fi), ou seja fi(x) p.

Logo, (∨j∈J1fj) (x) p. ¥

Teorema 2.4 [22, Warner e McLean] Seja hX, δi um espa¸co topol´ogico. Ent˜ao:

hX, δi ´e compacto se e somente se hX, ω(δ)i ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao. Tendo em vista o lema anterior, mostraremos que: hX, δi ´e com-pacto se e somente se para cada p ∈ pr(L), X × {p} ´e comcom-pacto em

(29)

Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {φ(fj)}_j∈J, fj ∈ ω(δ), uma cobertura aberta de

X × {p}. Para cada j ∈ J considere os abertos Uj = {t ∈ L ; t p}, ent˜ao, {Uj}_j∈J

´e uma cobertura aberta de X. De fato:

x ∈ X ⇒ (x, p) ∈ X × {p} ⇒ ∃j ∈ J; (x, p) ∈ φ(fj)

⇒ fj(x) p

⇒ x ∈ Uj

Pela compacidade de X, existe um subconjunto finito J1 de J tal que X ⊂

∪j∈J1Uj. Segue que X × {p} ⊂ ∪j∈Jφ(fj). De fato:

(x, p) ∈ X × {p} ⇒ x ∈ X

⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj

⇒ fj(x) p

⇒ (x, p) ∈ φ(fj)

Portanto, X × {p} ´e compacto em hX × pr(L), φ(ω(δ))i.

Suficiˆencia: Seja {Uj}_j∈J uma cobertura aberta de X. Fixe p ∈ pr(L) e considere

os L-abertos fj = χUj. Temos ent˜ao que {φ(fj)}_j∈J ´e uma cobertura aberta de

X × {p}. De fato:

(x, p) ∈ X × {p} ⇒ x ∈ X

⇒ ∃j ∈ J; x ∈ Uj

⇒ fj(x) = 1 p

⇒ (x, p) ∈ φ(fj)

Pela compacidade de X × {p}, existe um subconjunto finito J1 de J tal que

X × {p} ⊂ ∪j∈J1φ(fj). Segue que X ⊂ ∪j∈J1Uj. De fato:

(30)

⇒ ∃j ∈ J1; (x, p) ∈ φ(fj)

⇒ fj(x) p

⇒ x ∈ Uj

Portanto, hX, δi ´e compacto. ¥

Teorema 2.5 [11, Kudri] Sejam S uma subbase para a L-topologia T em X, e

g ∈ LX_{. Se para cada p ∈ pr(L) e cada familia {f}

j}_j∈J de L-abertos subb´asicos tais

que (∨j∈Jfj) (x) p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p0 existe um subconjunto finito J1

de J tal que (∨j∈J1fj) (x) p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p

0_{, ent˜ao, g ´e compacto.}

Teorema 2.6 Seja hX, T i um espa¸co L-topológico. Se h ∈ LX _{é tal que supp(h) é}

finito, ent˜ao h ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao. Ver Kudri [12].

Teorema 2.7 Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico. Se h, g ∈ LX _{s˜ao compactos}

ent˜ao h ∨ g ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao. Ver Kudri [12].

Teorema 2.8 [12, Kudri] Sejam hX, TXi e hY, TYi espa¸cos L-topol´ogicos. Se

f : X → Y é uma fun¸cão cont´ınua e χA é um L-conjunto compacto em X então

f (χA) ´e um L-conjunto compacto em Y .

Demonstra¸c˜ao. Observe inicialmente que f (χA) = χf (A). Seja p ∈ pr(L) e seja

{fj}_j∈J uma fam´ılia de L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (y) p para cada y ∈ Y com

χf (A)(y) ≥ p0, isto ´e, y ∈ f (A).

Considere a fam´ılia {gj}_j∈J, onde cada gj = f−1(fj) ´e um L-aberto pela

(31)

logo (∨j∈Jfj) (y) p. Mas fj(y) = fj(f (x)) = f−1(fj)(x), logo (∨j∈Jgj) (x) p

para cada x ∈ A.

Pela compacidade de χA existe um subconjunto finito J1 de J tal que

(∨j∈J1gj) (x) p para cada x ∈ A. Segue que (∨j∈Jfj) (y) p para cada y ∈ f (A),

isto ´e, y ∈ Y e χf (A)(y) ≥ p0. De fato, seja y ∈ f (A), ent˜ao y = f (x) para algum

x ∈ A. Temos ent˜ao que (∨j∈Jgj) (x) p, ou seja, (∨j∈Jfj) (y) p. ¥

Defini¸c˜ao 2.29 [4, Gantner et al.] Sejam hX, T i um espa¸co L-topol´ogico, A ⊂ X

e TA =

©

f |A∈ LA; f ∈ T

ª

. Dizemos neste caso que hA, TAi ´e um subespa¸co de

hX, T i.

Teorema 2.9 [12, Kudri] Sejam hX, T i um espa¸co L-topol´ogico e D ⊂ X. Ent˜ao:

χD ´e compacto se e somente se o subespa¸co hD, TDi ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}_j∈J uma fam´ılia de L-abertos

tais que (∨j∈Jfj) (x) p para cada x ∈ D. Para cada j ∈ J, seja fj∗ ∈ T tal que

fj = fj∗|D. Ent˜ao a fam´ılia

©

f∗ j

ª

j∈J ´e tal que

¡

∨j∈Jfj∗

¢

(x) p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p0 pois χD(x) ≥ p0 ⇔ x ∈ D.

Sendo χD compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que

¡

∨j∈J1f ∗ j

¢

(x) p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p0. Ent˜ao (∨j∈J1fj) (x) p

para cada x ∈ D. Portanto hD, TDi ´e compacto.

Suficiˆencia: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}_j∈J uma fam´ılia de L-abertos tais que

(∨j∈Jfj) (x) p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p0. Para cada j ∈ J seja gj = fj|D,

ent˜ao cada gj ∈ TD e a fam´ılia {gj}_j∈J ´e tal que (∨j∈Jgj) (x) p para cada x ∈ D

pois χD(x) ≥ p0 ⇔ x ∈ D.

Sendo hD, TDi compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que

(∨j∈Jgj) (x) p para cada x ∈ D. Ent˜ao (∨j∈J1fj) (x) p para cada x ∈ X

com χD(x) ≥ p0. Portanto χD ´e compacto. ¥

(32)

e seja X o L-espa¸co produto. Então: X é compacto se e somente se para cada j ∈ J, Xj é compacto.

Demonstra¸c˜ao. Ver Kudry [12]. ¥

Defini¸c˜ao 2.30 [22, Warner e McLean] Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e Hausdorff

se e somente se para cada p, q ∈ pr(L) e cada x 6= y em X, existem f, g ∈ T tais que f (x) p, g(y) q, e, f (z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z ∈ X.

Teorema 2.11 [22, Warner e McLean] Seja hX, δi um espa¸co topol´ogico. Ent˜ao:

hX, δi ´e Hausdorff se e somente se hX, ω(δ)i ´e Hausdorff.

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam p, q ∈ pr(L) e x 6= y em X. Sendo hX, δi Hausdorff, existem U, V ∈ δ tais que x ∈ U, y ∈ V e U ∩ V = ∅. Seja f = χU e

g = χV, ent˜ao f, g ∈ ω(δ), f (x) = 1 p, g(y) = 1 q, e, f (z) = 0 ou g(z) = 0 para

cada z ∈ X.

Suficiˆencia: Seja x 6= y em X. Fixe p ∈ pr(L). Sendo hX, ω(δ)i Hausdorff,

existem f, g ∈ T tais que f (x) p, g(y) q, e, f (z) = 0 ou g(z) = 0 para cada

z ∈ X. Sejam S = {t ∈ pr(L) ; t p}, U = f−1_{(S) e U = g}−1_{(S). Ent˜ao U, V ∈ δ,}

x ∈ U, y ∈ V e U ∩ V = ∅. ¥

Teorema 2.12 [12, Kudri] Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico. Se g ∈ LX _´e

com-pacto e f ∈ LX _{é L-fechado, então f ∧ g é compacto.}

Demonstra¸c˜ao. Sejam p ∈ pr(L) e H uma fam´ılia de L-abertos tais que (∨h∈Hh) (x) p para cada x ∈ X com (f ∧ g)(x) ≥ p0. Seja F = H ∪ {f0},

ent˜ao (∨h∈Fh) (x) p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p0. De fato, seja x ∈ X com

g(x) ≥ p0_{, ent˜ao:}

f (x) ≥ p0 _{⇒ (f ∧ g)(x) ≥ p}0

⇒ (∨h∈Hh) (x) p

(33)

ou

f (x) p0 _{⇒ f}0_{(x) p}

⇒ (∨h∈Fh) (x) p

Sendo g compacto, existe um subconjunto finito U de F tal que (∨h∈Uh) (x) p

para cada x ∈ X com g(x) ≥ p0_. _{Suponha U = {h}

1, · · · , hn, f0}, ent˜ao

(∨n

i=1hi) (x) p para cada x ∈ X com (f ∧ g)(x) ≥ p0. De fato, seja x ∈ X

com (f ∧ g)(x) ≥ p0_{, ent˜ao g(x) ≥ p}0 _{e f (x) ≥ p}0_{. Logo (∨}

h∈Uh) (x) p e f0(x) ≤ p.

Segue que existe h ∈ U tal que h(x) p e que h 6= f0_{. Portanto (∨}n

i=1hi) (x) p e

f ∧ g ´e compacto. ¥

Corol´ario 2.1 [12, Kudri] Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico. Se g ∈ LX _´e

com-pacto e f é um L-conjunto fechado tal que f ≤ g, então, f é comcom-pacto.

Demonstra¸c˜ao. Segue do teorema 2.12. ¥

Teorema 2.13 [11, Kudri] Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico, Hausdorff. Se F ⊂

X é tal que χF é compacto, então χF é L-fechado.

Defini¸c˜ao 2.31 [17, Pu e Liu] Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e dito totalmente

estratificado se e somente se cada L-conjunto constante ´e L-aberto.

Teorema 2.14 [12, Kudri] Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico, totalmente

estra-tificado e Hausdorff. Seja D ⊂ X, ent˜ao o subespa¸co hD, TDi ´e totalmente

estrati-ficado e Hausdorff.

Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ LD _{um L-conjunto constante, digamos f (x) = c para}

cada x ∈ D. Sendo hX, T i totalmente estratificado, a fun¸c˜ao g definida por g(y) = c para cada y ∈ Y ´e um L-aberto. Como g|D = f , temos que f ∈ TD. Logo, hD, TDi

(34)

Sejam x 6= y em D ⊂ X e p, q ∈ pr(L). Como hX, T i ´e Hausdorff, existem

f, g ∈ T tais que f (x) p, g(y) q, e, f (z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z ∈ X.

Ent˜ao f |D, g|D ∈ TD s˜ao tais que f |D(x) p, g|D(y) q, e, f (z) = 0 ou g(z) = 0

para cada z ∈ D. Logo, hD, TDi ´e Hausdorff. ¥

Defini¸c˜ao 2.32 [13, Lowen] Dizemos que um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e

topolo-gicamente gerado se e somente se existe uma topologia δ em X tal que T = ω(δ).

Teorema 2.15 [22, Warner e McLean] Se hX, T i ´e um espa¸co L-topol´ogico,

total-mente estratificado, compacto e Hausdorff, ent˜ao ´e topologicatotal-mente gerado.

Demonstra¸c˜ao. Ver Warner e McLean [22]. ¥

Defini¸c˜ao 2.33 [12, Kudri] Sejam hX, T i um espa¸co L-topol´ogico e g ∈ LX_.

Di-zemos que g ´e Lindel¨of se e somente se para cada p ∈ pr(L) e fam´ılia {fj}_j∈J de

L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p0; existe um

subconjunto enumer´avel J1 de J tal que (∨j∈J1fj) (x) p para cada x ∈ X com

g(x) ≥ p0_.

Teorema 2.16 [12, Kudri] Seja hX, δi um espa¸co topológico. Então: hX, δi é

Lin-delöf se e somente se hX, ω(δ)i é LinLin-delöf.

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}_j∈J uma fam´ılia de

L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) p para cada x ∈ X. Considere os conjuntos

Uj = fj−1{t ∈ L ; t p}, ent˜ao, cada Uj ∈ δ e a fam´ılia {Uj}_j∈J ´e uma cobertura

aberta de X. De fato:

x ∈ X ⇒ (∨j∈Jfj) (x) p

⇒ ∃j ∈ J; fj(x) p

(35)

Sendo hX, δi Lindel¨of, existe um subconjunto enumer´avel J1 de J tal que

X ⊂ ∪j∈J1Uj. Segue que (∨j∈J1fj) (x) p para cada x ∈ X. De fato:

x ∈ X ⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj

⇒ fj(x) p

⇒ (∨j∈Jfj) (x) p

Portanto, hX, ω(δ)i ´e Lindel¨of.

Suficiˆencia: Seja {Uj}_j∈J uma cobertura aberta de X. Fixe p ∈ pr(L) e considere

os L-abertos fj = χUj, ent˜ao a fam´ılia {fj}_j∈J ´e tal que (∨j∈Jfj) (x) p para cada

x ∈ X. De fato:

x ∈ X ⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj

⇒ fj(x) = 1 p

⇒ (∨j∈Jfj) (x) p

Sendo hX, ω(δ)i Lindel¨of, existe um subconjunto enumer´avel J1 de J tal que

(∨j∈J1fj) (x) p para cada x ∈ X. Segue que X ⊂ ∪j∈J1Uj. De fato:

x ∈ X ⇒ (∨j∈J1fj) (x) p

⇒ ∃j ∈ J1; fj(x) p

⇒ x ∈ Uj

Portanto, hX, δi ´e Lindel¨of. ¥

Defini¸c˜ao 2.34 [12, Kudri] Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e regular se e somente

se para cada x ∈ X, cada p ∈ pr(L), e cada L-conjunto fechado f tal que f (x) = 0 e f (y0) ≥ p0 para algum y0 ∈ X, existem u, v ∈ T com u(x) p, v(z) p para cada

z ∈ X com f (z) ≥ p0_{, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X.}

Teorema 2.17 [22, Warner e McLean] Seja hX, δi um espa¸co L-topol´ogico. Ent˜ao:

(36)

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f um L-conjunto fechado em hX, ω(δ)i tal que f (x) = 0 e existe y0 ∈ X com f (y0) ≥ p0.

Sendo f um L-conjunto fechado temos que F = f−1_{{t ∈ L ; t ≥ p}0_{} ´e fechado}

em hX, δi, e F 6= ∅ pois y0 ∈ F . Como hX, δi ´e regular temos que existem U, V ∈ δ

tais que x ∈ U, F ⊂ V e U ∩ V = ∅.

Seja u = χU e v = χV, ent˜ao u, v ∈ ω(δ), u(x) = 1 p e v(y) p para cada

y ∈ X com f (y) ≥ p0 _pois

f (y) ≥ p0 _{⇒ y ∈ F ⇒ y ∈ V ⇒ v(y) = 1 p.}

Tamb´em temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X. De fato, se z ∈ X e

u(z) 6= 0 ent˜ao z ∈ U, logo z /∈ V pois U ∩ V = ∅. Segue que v(z) = 0.

Portanto hX, ω(δ)i ´e regular.

Suficiˆencia: Seja x ∈ X e F ⊂ X um fechado n˜ao vazio em hX, δi tal que x /∈ F .

Seja p ∈ pr(L) fixado.

Seja f ∈ LX _{definida por:}

f (y) =

½

p0 _{se y ∈ F}

0 se y /∈ F

Como F 6= ∅ existe y0 ∈ F , logo f (y0) = p0. Tamb´em temos que f ´e L-fechado

em hX, ω(δ)i pois para cada q ∈ pr(L) temos

f−1_{{t ∈ L ; t ≥ q}0_{} =}

½

F se p0 _{≥ q}0

∅ se p0 _q0

Pela regularidade de hX, ω(δ)i existem u, v ∈ hX, ω(δ)i tais que u(x) p,

v(y) p para cada y ∈ X com f (y) ≥ p0_{, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada}

z ∈ X.

Seja U = u−1_{{t ∈ L ; t p} e V = v}−1_{{t ∈ L ; t p}, ent˜ao U, V ∈ δ, x ∈ U}

pois u(x) p e F ⊂ V pois

y ∈ F ⇒ f (y) = p0 _{⇒ v(y) p ⇒ y ∈ V.}

Tambem temos que U ∩ V = ∅. De fato, se z ∈ U ent˜ao u(z) p logo v(z) = 0, isto ´e, z /∈ V .

(37)

Portanto hX, δi ´e regular. ¥

Teorema 2.18 [11, Kudri] Se hX, T i ´e um espa¸co L-topol´ogico compacto e

Haus-dorff ent˜ao hX, T i ´e regular.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f um L-conjunto fechado tal que

f (x) = 0 e existe y0 ∈ X com f (y0) ≥ p0. Mostraremos que existem u, v ∈ T tais

que u(x) p, v(y) p para cada y ∈ X com f (y) ≥ p0_{, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0}

para cada z ∈ X.

Seja F = {t ∈ X ; f (t) ≥ p0_{}, ent˜ao F 6= ∅ pois y}

0 ∈ F e x /∈ F pois f (x) = 0 e

p0 _{6= 0.}

Como hX, T i ´e Hausdorff, para cada y ∈ F existem fy, gy ∈ T tais que fy(x) p,

gy(y) p, e, fy(z) = 0 ou gy(z) = 0 para cada z ∈ X.

Seja A = {gy}_y∈F. Ent˜ao (∨h∈Ah) (z) p para cada z ∈ X tal que f (z) ≥ p0. De

fato, se z ∈ X e f (z) ≥ p0 _{ent˜ao z ∈ F e g}

z(z) p.

Sendo f um L-fechado e hX, T i compacto, pelo corol´ario 2.1 f ´e compacto. Por-tanto existe um subconjunto finito B = {gy1, · · · , gyk} de A tal que (∨h∈Bh) (z) p

para cada z ∈ F . Seja u = ∧k

i=1fyi e v = ∨

k

i=1gyi, ent˜ao u, v ∈ T , u(x) p pois fyi(x) p para

cada i = 1, · · · , k, v(y) p para cada y ∈ F pois v(y) =¡∨k i=1gyi

¢

(y) p. Tamb´em temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X. De fato, se z ∈ X e u(z) 6= 0 ent˜ao fyi(z) 6= 0 para cada i = 1, · · · , k, logo gyi(z) = 0 para cada i = 1, · · · , k e

v(z) = 0.

Portanto hX, T i ´e regular. ¥

O próximo lema é um resultado simples que será usado em algumas demons-tra¸cões no próximo cap´ıtulo sem nos referirmos a ele.

Lema 2.2 [12, Kudri] Seja hX, δi um espa¸co topológico. Então: K ⊂ X é compacto

(38)

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) e {fj}_j∈J uma fam´ılia de L-abertos

tal que (∨j∈Jfj) (x) p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p0. Defina para cada j ∈ J

o aberto Uj = f−1{t ; t p}. Temos ent˜ao que a fam´ılia {Uj}_j∈J ´e uma cobertura

aberta de K. De fato:

y ∈ K ⇒ y ∈ X e χK(y) ≥ p0

⇒ (∨j∈Jfj) (y) p

⇒ ∃j ∈ J; fj(y) p

⇒ y ∈ Uj

Sendo K compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que K ⊂ ∪j∈J1Uj.

Segue que (∨j∈J1fj) (x) p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p0. De fato:

y ∈ X e χK(y) ≥ p0 ⇒ y ∈ K

⇒ ∃j ∈ J1; y ∈ Uj

⇒ fj(y) p

⇒ (∨j∈J1fj) (y) p

Portanto χK ´e compacto.

Suficiˆencia: Seja {Uj}_j∈J uma cobertura aberta de K. Para cada j ∈ J

con-sidere o L-aberto fj definido por fj = χUj. Ent˜ao a fam´ılia {fj}j∈J ´e tal que

(∨j∈Jfj) (x) p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p0. De fato:

y ∈ X e χK(y) ≥ p0 ⇒ y ∈ K

⇒ ∃j ∈ J; y ∈ Uj

⇒ fj(y) p

⇒ (∨j∈Jfj) (y) p

Pela compacidade de χK existe um subconjunto finito J1 de J tal que

(39)

De fato:

y ∈ K ⇒ y ∈ X e χK(y) ≥ p0

⇒ (∨j∈J1fj) (y) p

⇒ ∃j ∈ J1; fj(y) p

⇒ y ∈ Uj

(40)

Compacidade Local

Neste cap´ıtulo trataremos da propriedade de compacidade local. Em topologia geral existem trˆes modos de se definir compacidade local, equivalentes entre si em espa¸cos de Hausdorff. Vamos chamar aqui de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa, ver defini¸c˜oes 2.1, 2.2 e 2.3.

As duas primeiras formas foram generalizadas para espa¸cos L-topológicos por Kudri em [9] e [10] através de L-conjuntos muito compactos. Um L-conjunto k é muito compacto se e somente se é da forma:

k(y) =

½

b y ∈ D

0 y /∈ D

com χD compacto.

Defini¸c˜ao 3.1 [9] Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e localmente compacto se e

so-mente se para cada x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f (x) p existem g ∈ T e k ∈ LX _{muito compacto tais que g(x) p e g ≤ k ≤ f .}

Defini¸c˜ao 3.2 [9] Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e fracamente localmente compacto

se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existem g ∈ T e k ∈ LX _muito

compacto tais que g(x) p e g ≤ k.

Em [10] Kudri mostrou a equivalencia destas duas propriedades em espa¸cos de Hausdorff. Faltava ainda uma defini¸c˜ao para espa¸cos relativamente localmente com-pactos equivalente a estas em espa¸cos de Hausdorff.

(41)

Em anota¸cões feitas por Kudri e Aygün foi proposta uma boa defini¸cão para espa¸cos relativamente localmente compactos. O que fazemos aqui, na primeira se¸cão, é redefinir as propriedades de compacidade local e compacidade local fraca nos mol-des da defini¸cão de Kudri e Aygün para compacidade local relativa. A segunda se¸cão é dedicada aos resultados obtidos destas propriedades: a invariância por so-breje¸cões cont´ınuas e abertas, equivalências em espa¸cos de Hausdorff, regularidade em espa¸cos de Hausdorff, teoremas de compactifica¸cão por um ponto e teoremas sobre a compacidade local do L-espa¸co produto.

3.1 Compacidade local

Defini¸c˜ao 3.3 Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e localmente compacto se e somente

se para cada x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f (x) p, existem g ∈ T e k ∈ LX_,

com χsupp(k) compacto, tais que g(x) p e g ≤ k ≤ f .

Teorema 3.1 Seja hX, δi um espa¸co topológico. Então: hX, δi é localmente

com-pacto se e somente se hX, ω(δ)i ´e localmente comcom-pacto.

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ ω(δ) tal que f (x) p. Seja h ∈ ω(δ) um L-conjunto aberto b´asico tal que h(x) p e h ≤ f , definido por:

h(y) =

½

e se y ∈ V ∈ δ 0 se y /∈ V

Como hX, δi ´e localmente compacto, existem U ∈ δ e um subconjunto compacto

J de X tais que x ∈ U e U ⊂ J ⊂ V .

Sejam g ∈ ω(δ) e k ∈ LX _{definidos por:}

g(y) = ½ e se y ∈ U ∈ δ 0 se y /∈ U k(y) = ½ e se y ∈ J ∈ δ 0 se y /∈ J

Então g(x) p, g ≤ k ≤ h ≤ f e χsupp(k) = χJ é compacto pois J é compacto.

Logo, hX, ω(δ)i ´e localmente compacto.

(42)

hX, ω(δ)i ´e localmente compacto, para f = χV, existem g ∈ ω(δ) e k ∈ LX, com

χsupp(k) compacto, tais que g(x) p e g ≤ k ≤ f .

Sejam U = g−1_{{t ∈ L ; t p} e K = supp(k), ent˜ao, U ∈ δ, x ∈ U, U ⊂ K ⊂ V}

e K é um subconjunto compacto de X pois χsupp(k) é compacto. Logo, hX, δi é

localmente compacto. ¥

Defini¸c˜ao 3.4 Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e fracamente localmente compacto

se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existem f ∈ T e k ∈ LX_{, com χ} supp(k)

compacto, tais que f (x) p e f ≤ k.

Teorema 3.2 Seja hX, δi um espa¸co topológico. Então: hX, δi é fracamente

local-mente compacto se e solocal-mente se hX, ω(δ)i ´e fracalocal-mente locallocal-mente compacto.

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como hX, δi ´e fracamente localmente compacto, existem U ∈ δ e um subconjunto compacto J de X tais que

x ∈ U e U ⊂ J.

Sejam g = χU e K = χJ, ent˜ao g ∈ ω(δ), g(x) p, g ≤ k e χsupp(k) = χJ ´e

compacto pois J ´e compacto. Logo, hX, ω(δ)i ´e fracamente localmente compacto.

Suficiˆencia: Seja x ∈ X e fixe p ∈ pr(L). Como hX, ω(δ)i ´e fracamente localmente

compacto existem g ∈ ω(δ) e k ∈ LX_{, com χ}

supp(k) compacto, tais que g(x) p e

g ≤ k.

Sejam V = g−1_{{t ∈ L ; t p} e K = supp(k), ent˜ao, V ∈ δ, x ∈ V , V ⊂ K}

e K é um subconjunto compacto de X pois χsupp(k) é compacto. Logo, hX, δi é

fracamente localmente compacto. ¥

Defini¸c˜ao 3.5 Um espa¸co L-topol´ogico hX, T i ´e relativamente localmente compacto

se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existe f ∈ T , com χ_{supp(f )} compacto, tal que f (x) p.

Teorema 3.3 Seja hX, δi um espa¸co topológico. Então: hX, δi é relativamente

(43)

Demonstra¸c˜ao. Necessidade: Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como hX, δi ´e relativa-mente localrelativa-mente compacto existe V ∈ δ, com V compacto, tal que x ∈ V . Seja

f = χV, ent˜ao f (x) = 1 p. Temos ainda que f = χV, logo supp(f ) = V ´e

compacto, portanto χ_{supp(f )} ´e compacto.

Suficiˆencia: Seja x ∈ X e fixe p ∈ pr(L). Como hX, ω(δ)i ´e relativamente

localmente compacto existe f ∈ ω(δ) tal que f (x) p, com χ_{supp(f )} compacto, logo

supp(f ) ´e compacto. Seja g ∈ LX _{Um L-conjunto aberto b´asico tal que g(x) p e}

g ≤ f , definido por: g(y) = ½ e se y ∈ V ∈ δ 0 se y /∈ V Como g ≤ f e g(y) = ½ e se y ∈ V 0 se y /∈ V

temos que g ≤ f e V = supp(g) ⊂ supp(f ), logo, V ´e compacto pois ´e fechado e

supp(f ) ´e compacto. ¥

3.2 Propriedades

Teorema 3.4 Seja hX, TXi um espa¸co L-topol´ogico localmente compacto e seja

hY, TYi um espa¸co L-topológico. Se h : X → Y é uma sobreje¸cão cont´ınua e aberta

ent˜ao hY, TYi ´e localmente compacto.

Demonstra¸c˜ao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), p ∈ pr(L) e f ∈ TY tal que f (y) p.

Seja j = h−1_{(f ) ent˜ao j ∈ T}

X, pois h cont´ınua, e j(x) = f (y) p. Como hX, TXi ´e

localmente compacto existem i ∈ TX e c ∈ LX, χsupp(c) compacto, tais que i(x) p

e i ≤ c ≤ j.

Sejam g = h(j) e k = h(c). Ent˜ao g ∈ TY, pois h ´e aberta, e g ≤ k ≤ f ,

pois i ≤ c ≤ j. Como h é cont´ınua e χsupp(c) é compacto temos que h(χsupp(c)) é

compacto, teorema 2.8. Mas:

(44)

Portanto, hY, TYi ´e localmente compacto. ¥

Teorema 3.5 Seja hX, TXi um espa¸co L-topol´ogico fracamente localmente compacto

e seja hY, TYi um espa¸co L-topológico. se h : X → Y é uma sobreje¸cão cont´ınua e

aberta ent˜ao hY, TYi ´e fracamente localmente compacto.

Demonstra¸c˜ao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), e p ∈ pr(L). Como hX, TXi ´e

fracamente localmente compacto existem i ∈ TX e c ∈ LX, com χsupp(c) compacto,

tais que i(x) p e i ≤ c.

Sejam g = h(j) e k = h(c). Ent˜ao g ∈ TY, pois h ´e aberta, e g ≤ k, pois i ≤ c.

Como h é cont´ınua e χsupp(c) é compacto temos que h(χsupp(c)) é compacto, 2.8. Mas:

h(χsupp(c)) = χh(supp(c))= χsupp(h(c))= χsupp(k)

Portanto, hY, TYi ´e fracamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.6 Seja hX, TXi um espa¸co L-topol´ogico relativamente localmente

com-pacto e seja hY, TYi um espa¸co L-topológico. Se h : X → Y é uma sobreje¸cão

cont´ınua e aberta tal que h(g) ≤ h(g) para cada g ∈ LX_{, ent˜ao, hY, T}

Yi ´e

relativa-mente localrelativa-mente compacto.

Demonstra¸c˜ao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), e p ∈ pr(L). Como hX, TXi ´e

relativamente localmente compacto existe g ∈ TX, com χsupp(g) compacto, tal que

g(x) p. Seja f = h(g) ent˜ao f (x) p, f ∈ TY pois h ´e aberta, e h(χsupp(g)) e

compacto pois h ´e cont´ınua. Mas:

h(χsupp(g)) = χh(supp(g))= χsupp(h(g))= χ_supp(h(g))= χ_{supp(f ))}

onde usamos o teorema 2.3 e o fato de h(g) ≤ h(g).

Portanto, hY, TYi ´e relativamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.7 Se hX, T i é um espa¸co L-topológico localmente compacto então é

(45)

Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como hX, T i ´e localmente compacto, para f = X, existem g ∈ T e k ∈ LX_{, com χ}

supp(k) compacto, tal que g(x) p e

g ≤ k ≤ f . Logo hX, T i ´e fracamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.8 Se hX, T i ´e um espa¸co L-topol´ogico compacto Hausdorff totalmente

estratificado, ent˜ao hX, T i ´e localmente compacto.

Demonstra¸c˜ao. Sendo hX, T i compacto Hausdorff totalmente estratificado, ´e to-pologicamente gerado, teorema 2.15, logo existe uma topologia δ em X tal que

T = ω(δ). Pelos teoremas 2.4 e 2.11, hX, δi ´e um espa¸co topol´ogico compacto e

Hausdorff, logo ´e localmente compacto. Segue do teorema 3.1 que hX, T i ´e local-mente compacto. ¥

Teorema 3.9 Se hX, T i ´e um espa¸co L-topol´ogico fracamente localmente compacto

totalmente estratificado Hausdorff ent˜ao ´e localmente compacto.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f (x) p. Vamos mostrar que existem g ∈ T e k ∈ LX_{, com χ}

supp(k) compacto, tais que g(x) p e g ≤ k ≤ f .

Como hX, T i ´e fracamente localmente compacto existem i ∈ T e j ∈ LX_{, com}

χsupp(j) compacto, tais que i(x) p e i ≤ j. Seja D = supp(j). Como χsupp(j)

é compacto e hX, T i é Hausdorff totalmente estratificado, o subespa¸co hD, TDi é

um espa¸co L-topológico compacto totalmente estratificado e Hausdorff. Então, pelo teorema 3.8, hD, TDi é localmente compacto. Logo, para fD = f |D, existem hD ∈ TD

e c ∈ LD_{, com χ}

supp(c) compacto, tais que hD ≤ cD ≤ fD e hD(x) p.

Seja h ∈ T tal que h|D = hD e defina k ∈ LX por

k(y) =

½

cD(y) if y ∈ D

0 if y /∈ D

ent˜ao, h(x) p e χsupp(k) ´e compacto pois supp(k) = supp(cD).

Seja g = h ∧ i, então g ∈ T e g(x) p. Também temos que g ≤ k ≤ f . De fato, se y ∈ D então g(y) ≤ h(y) ≤ k(y) ≤ f (y) pois hD ≤ cD ≤ fD, e se y /∈ D então

(46)

Teorema 3.10 Se hX, T i ´e um espa¸co L-topol´ogico relativamente localmente

com-pacto ent˜ao hX, T i ´e fracamente localmente comcom-pacto.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como hX, T i ´e relativamente local-mente compacto existe g ∈ T , com χsupp(g) compacto, tal que g(x) p. Como g ≤ g

temos que hX, T i ´e fracamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.11 Seja hX, T i um espa¸co L-topol´ogico fracamente localmente

com-pacto Hausdorff tal que χ_{supp(f )} = χsupp(f ), ent˜ao hX, T i ´e relativamente localmente

compacto.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como hX, T i ´e fracamente localmente compacto existem f ∈ T e k ∈ LX_{, com χ}

supp(k) compacto, tal que f (x) p e

f ≤ k. Como χsupp(k) ´e compacto em um espa¸co de Hausdorff, ´e L-fechado, ver

teorema 2.13, ent˜ao, χsupp(k) = χsupp(k). Como f ≤ k, χsupp(f ) ≤ χsupp(k), ent˜ao,

χsupp(f ) ≤ χsupp(k), logo χsupp(f ) é compacto pois é fechado e χsupp(k)é compacto, ver

corolário 2.1. Mas χsupp(f ) = χsupp(f ), então χsupp(f ) é compacto. Portanto hX, T i é

relativamente localmente compacto. ¥

Teorema 3.12 Seja {Xj}_j∈J um fam´ılia de espa¸cos L-topol´ogicos totalmente

estra-tificados. Ent˜ao: O L-espa¸co produto Q_j∈JXj ´e localmente compacto se e somente

se Xj ´e localmente compacto para cada j ∈ J e Xj ´e compacto para cada j ∈ J − J1

onde J1 ´e um subconjunto finito de J.

Demonstra¸c˜ao. Seja X = Q_j∈JXj.

Necessidade: Como a j-ésima proje¸cão, πj : X → Xj, é uma fun¸cão sobrejetora

aberta cont´ınua e X ´e localmente compacto, pelo teorema 3.4, Xj ´e localmente

compacto para cada j ∈ J. Sejam p ∈ pr(L), x ∈ X e f um L-conjunto aberto em X com f (x) p. Ent˜ao pela compacidade local de X, existem um L-conjunto aberto g em X e um L-conjunto k em X, com χsupp(k) compacto, tais que g(x) p