Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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M ÉTODO DE REDUÇ ÃO DE REDE DE PETRI TEMPORAL VIA MATRIZ DE INTERVALOS

´

Artus Bolzanni∗_{, Evangivaldo Lima}† ∗_{Universidade Federal da Bahia}

Departamento de Engenharia El´etrica Salvador, Bahia, Brasil

†_{Universidade do Estado da Bahia}

Laborat´orio de Automa¸c˜ao Industrial Salvador, Bahia, Brasil

Emails: bolzanni@gmail.com, evanlima@uneb.br

Abstract— This paper presents a contribuition to solve the space state explosion problem in time Petri nets analysis. In order to do so, here is proposed a reduction method for time Petri nets using the partial order concept and tools as transition matrix of the net. Moreover, a case study utilizing a didactic manufacturing system was implemented to validate the theoretical results.

Keywords— Time Petri Nets, Discrete Event Systems, Model Reduction, Intervalar Algebra, Transition Ma-trix.

Resumo— Este artigo apresenta uma contribui¸cão para resolu¸cão do problema de explosão de estados na análise de redes de Petri temporais. Para isto, é proposto um método de redu¸cão de redes de Petri temporais utilizando o conceito de ordem parcial e ferramentas como a matriz de transi¸cões da rede. Além disso, um estudo de caso utilizando uma planta didática foi implementado como valida¸cão dos resultados teóricos.

Palavras-chave— Rede de Petri Temporal, Sistemas a Eventos Discretos, Redu¸c˜ao de Modelo, Algebra In-tervalar, Matriz de Transi¸c˜oes.

1 Introdu¸c˜ao

As extensões temporais deram às redes de Pe-tri uma maior expressividade além de propicia-rem uma redu¸cão no número de marca¸cões al-can¸cáveis pela rede. Porém, isto não significa que o poder algébrico e o custo de explora¸cão do seu espa¸co de estados das redes de Petri tenham se mantido. Pelo contrário, o aumento da expressi-vidade tem representado para as redes de Petri uma perda no poder de prova de suas proprie-dades, por exemplo. Além disso, o custo de ex-plora¸cão do seu espa¸co de estados aumentou, pois, junto com a rela¸cão causal dos eventos, uma in-forma¸cão temporal também deve ser carregada ao longo da dinâmica da rede. Dentre as extensões temporais as redes de Petri Temporais (RPT s)

(Merlin, 1974; Merlin and Farber, 1976), têm-se mostrado adequadas para expressar a maioria dos requisitos temporais. Além disso, as RPT s s˜ao mais gerais que as demais extensões temporais (Aura, 1996).

Na an´alise dasRPT s, todos os estados da rede

alcan¸cáveis a partir de um estado inicial são ex-plicitados e cada um desses estados carrega uma marca¸cão e uma informa¸cão de poss´ıveis tem-pos de ocorrências das transi¸cões habilitadas por essa marca¸cão. Devido a natureza cont´ınua do tempo e às diversas possibilidades de ocorrências de transi¸cões, o espa¸co de estados nasRPT s pode

crescer exponencialmente em rela¸c˜ao ao tamanho do sistema (Godefroid, 1996). Esse problema ´e

co-nhecido como problema de explos˜ao do n´umero de estados. Para contornar esse problema, os estados foram agrupados formando as chamadasclasses de estados. As classes de estados foram introduzidas

em (Berthomieu and Menasche, 1982) e ampliadas em (Berthomieu and Diaz, 1991). Varias técnicas para análise das redes de Petri têm-se apresen-tado, dentre elas as técnicas de redu¸cão têm-se mostrado eficientes para tratar o problema de ex-plosão de estados (Murata, 1989).

Neste artigo estendemos os conceitos das tec-nicas de redu¸cão com redes de Petri não tempori-zadas para as redes de Petri com tempo. Usando conceitos de rela¸cão de ordem parcial, representa-mos uma rede de Petri por uma matriz que rela-ciona temporalmente suas transi¸cões e a partir da rela¸cão temporal entre as transi¸cões faz-se o agru-pamento entre aquelas transi¸cões cujos disparos são dependentes temporalmente. Na se¸cão 2 são apresentados formalismos necessários para o en-tendimento do que aqui é proposto. O método de redu¸cão de RPT s proposto ´e mostrado na se¸cão 3. Na se¸cão 4 é utilizada um planta industrial didática como objeto de verifica¸cão do método de redu¸cão e, por fim, na se¸cão 5 são feitas as con-clusões.

2 Formalismos

A gera¸c˜ao do grafo de alcan¸cabilidade dasRPT s

é um dos métodos mais eficientes para sua análise. Todavia, o problema de explosão de estados

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pode gerar um maior esfor¸co computacional, po-dendo tornar intrat´avel o uso do grafo de al-can¸cabilidade.

Uma maneira de evitar este problema é através da análise parcial da alcan¸cabilidade. Para isto, há uma variedade de métodos que ex-ploram estruturas padrões do sistema. Essas es-truturas são causadas por regularidades ou por diferentes maneiras de execu¸cão de equivalentes opera¸cões do sistema modelado. A explora¸cão de tais estruturas tem levado ao desenvolvimento de métodos que geram um grafo de alcan¸cabilidade reduzido.

Existem várias maneiras para se agrupar esses métodos, uma delas é formar dois grandes grupos: os métodos de redu¸cão do espa¸co de estados base-ados na semântica de ordem parcial e os métodos de redu¸cão do modelo, inspirados nas regras de redu¸cão para as redes de Petri não temporizadas. No primeiro grupo estão os algoritmos de análise, que verificam determinadas propriedades da rede, sem explorar todo o espa¸co de estado. Nesse grupo estão os métodos que exploram particulari-dades dos sistemas, tais como, independência en-tre transi¸cões, conjuntos de transi¸cões persisten-tes, planifica¸cão da rede, entre outras (Godefroid, 1996; Valmari, 1992; Wolper and Godefroid, 1993; Sloan and Buy, 1997; Duri et al., 1994). No se-gundo grupo, estão os métodos de redu¸cão que, estenderam para as RPT s regras que permitem

agrupar transi¸cões e lugares da rede, mantendo propriedades como, limita¸cão, seguran¸ca e vivaci-dade no modelo reduzido (Sloan and Buy, 1996; Berthelot, 1987; Juan and Murata, 1992; Bouche-neb and Berthelot, 2002). Em ambos os grupos, se consegue uma redu¸cão considerável no tamanho do espa¸co de estados, tornando tratável a análise via alcan¸cabilidade.

A idéia principal destes métodos está na ga-rantia que, do ponto de vista da análise, a ex-pansão de todas as possibilidades de intera¸cão entre as ocorrências de um sistema concorrente é desnecessária. Ou ainda, para se verificar de-terminadas propriedades de uma RP contendo

transi¸cões concorrentes, a completa explora¸cão do espa¸co de estados é redundante (Godefroid, 1996). Baseados nesta idéia, os métodos de ordem parcial exploram a possibilidade de limitar o número de intera¸cões entre as ocorrências. Dessa forma, evita-se ocorrências não necessárias para verifica¸cão, por exemplo, de uma determinada propriedade. Basicamente, o que diferencia um método de ordem parcial de outro, é o algoritmo de busca do conjunto de transi¸cões necessárias para descri¸cão reduzida do espa¸co de estados.

Toda a idéia dos métodos de ordem parcial, para análise de alcan¸cabilidade, está baseada na defini¸cão de transi¸cões independentes que, intui-tivamente, significa o seguinte: duas ou mais transi¸cões são independentes se, não houver

qual-quer importância na ordem de execu¸cão das mes-mas, pois o resultado será o mesmo. Essa de-fini¸cão, para o caso não temporizado, é formali-zada em (Godefroid, 1996), e adaptada como se-gue:

Defini¸cão 1 Independência de Transi¸cões - Duas transi¸cões t1e t2, são independentes se, e somente

se, para todos os estados S do espa¸co de estado:

1. se t1 est´a habilitada no estado S e S t1

−→ S′,

ent˜ao, t2 estar´a habilitada em S se, e

so-mente se, t2 permanecer habilitada em S′; e

2. se t1 e t2est˜ao habilitadas em S, ent˜ao, ∃ S′

tal que St1t2

=⇒ S′ _{e S} t2t1

=⇒ S′

No caso dasRPT s, ou qualquer outra semântica com restri¸cão temporal, deve haver uma nota¸cão do tempo incorporada à Defini¸cão 1.

Defini¸cão 2 Transi¸cões Persistentes - Informal-mente, um conjunto de transi¸cões Ts é dita

per-sistente se ´e tal que,

• contém pelo menos uma transi¸cão habilitada; • transi¸cões habilitadas, contidas em Ts, não

podem ser desabilitadas pelo disparo de transi¸c˜oes fora de Ts;

• transi¸c˜oes desabilitadas, contidas em Ts n˜ao

devem tornar-se habilitadas devido ao disparo de transi¸c˜oes fora de Ts.

Defini¸cão 3 Redes equivalentes - Seja PN uma rede de Petri e PN’ uma rede de Petri gerada a partir do agrupamento U de lugares e transi¸cões de PN. PN e PN’ são ditas equivalentes se satis-fazem:

• Se PN é segura, então, PN’ também o é. • PN e PN’ geram a mesma sequência de

dis-paros, quando retirados os elementos de U.

Defini¸c˜ao 4 Rela¸c˜ao de ordem - Seja PN uma rede de Petri ac´ıclica e x1 e x2 _{∈ P ou T , onde}

P e T s˜ao os conjuntos de lugares e transi¸c˜oes da rede, respectivamente.

• x1precede x2(x1_x2) se existe um caminho

entre x1 e x2. A rela¸cão de precedência é

reflexiva, assim, ∀x : x x.

• x1 e x2 s˜ao conflitantes (x1∨ x2) se existe t1, t2 ∈ T, t1 6= t2, tal que P re(t1) ∩ P re(t2) 6= ∅, t1 x1 e t2 x2.

• x1e x2são concorrentes (x1k x2) se não são

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Os métodos de redu¸cão para asRPT são base-ados nas técnicas de redu¸cão estabelecidas para re-des não temporizadas. Por meio de agrupamento de transi¸cões e lugares, esses métodos visam redu-zir o tamanho do modelo, mantendo inalteradas as propriedades da rede original. Em geral, par-tem do seguinte princ´ıpio, qualquer redu¸cão no tamanho daRP, resulta em considerável redu¸cão no tamanho do correspondente espa¸co de estados (Berthelot, 1987; Sloan and Buy, 1996; Juan and Murata, 1992).

´

E importante salientar que os métodos apre-sentados nas próximas se¸cões partem do pressu-posto que as RPTs a serem reduzidas são seguras e ac´ıclicas.

3 Redu¸c˜ao de uma RPT via Rela¸c˜ao de Ordem

O princ´ıpio básico do método apresentado aqui é garantir que, se existem duas ou mais pos-sibilidades de ocorrências concorrentes em uma

RPT, elas podem ser representadas por uma ´unica ocorrência, desde que sejam mantidas as condi¸cões lógicas e temporais da rede. Dessa forma, pode-se limitar o número de ocorrências redundantes e transformar a rede original em um modelo equi-valente bem mais simples.

Baseado nesse princ´ıpio é constru´ıdo uma estrutura algébrica de redu¸cão para RPT, via rela¸cão de ordem, como segue,

3.1 Matriz de Transi¸c˜oes

Defini¸cão 5 Conjuntos de Transi¸cões - O con-junto de transi¸cões de uma RPT marcada pode ser obtido a partir do particionamento dos conjuntos P e T de lugares e transi¸cões da RPT, respectiva-mente, de modo que:

• P0 ´e formado por todos os lugares que inici-almente possuem marcas.

• T0 é formado por todas as transi¸cões habili-tadas pela marca¸cão inicial.

• P1 é composto por todos os lugares que pos-suem como transi¸cão de entrada algum ele-mento de T0e que não pertencem a P0. • T1tem como elementos tuplas (t0_i, t1_i) sendo

que t0i t1_i e t0_i_{∈ T}0 e t1_i_{6∈ T}0. Sendo assim, tem-se:

• P_n= {p ∈ P \Sk=n−1 k=0 Pk| P re(p) ⊆ Tn−1} T_n= {tn_i _{∈ T \}Sk=n−1_k=0 T_k _| ∃ (t0_i, . . . , tn_i) , t0_i _{· · · , t}n_i, (t0i, . . . , tn−1i) ∈ Tn−1,(t0i, . . . , tni) 6∈ Tn−1}

Defini¸c˜ao 6 Cardinalidade de um conjunto de transi¸c˜oes - A cardinalidade de um conjunto de

transi¸cões Tk (♯Tk)é dada pelo número de tuplas

contidas em Tk. Caso k = 0, ♯T0 ´e o n´umero de

transi¸c˜oes contidas em T0, j´a que corresponde ao

conjunto de transi¸cões habilitadas pela marca¸cão inicial. O conjunto T tem ♯T igual ao número total de transi¸cões da rede.

Defini¸c˜ao 7 Ordem dos conjuntos de transi¸c˜oes -Seja Tk (k = 0, . . . , n)o conjunto dos conjuntos

de transi¸cões de uma rede. Sua ordena¸cão é dada de modo que T0 é o conjunto mais precedente de

todos e Tn o mais sucessor de todos.

Defini¸cão 8 Ordena¸cão das transi¸cões de uma rede - As transi¸cões de uma rede de Petri podem ser ordenadas segundo sua ordem de ocorrência no conjunto Tk de conjuntos de transi¸cões exceto

pelas transi¸cões que aparecem em dois conjuntos distintos. Nesse caso, a transi¸cão é colocada na ordem de acordo com o conjunto mais sucessor ao qual faz parte.

Defini¸c˜ao 9 Matriz Parcial - Seja uma RPT e

T o conjunto de suas transi¸c˜oes. Para cada

con-junto Tk = {(t01, . . . , t_k1) | {z } Tk1 , . . . ,(t0_i, . . . , t_kn) | {z } Tkr }

tem-se uma matriz parcial MP, booleana e de ordem

r_{× n, sendo r a cardinalidade do conjunto Tk} e n

a cardinalidade de T . Os elementos da matriz MP s˜ao definidos pela seguinte rela¸c˜ao,

M P_k(i, j) =

1, se tj∈ Tki

0, caso contr´ario (1) sendo, i = 1, . . . , r

Defini¸cão 10 Matriz de transi¸cões - Uma matriz de transi¸cões MT de uma RP é composta pelas ma-trizes parciais dos conjuntos Tk (k = 0, . . . , n)

dispostas como um vetor coluna, sendo suas li-nhas ordenadas segundo a ordem de precedˆencia dos conjuntos em Tk (defini¸c˜ao 6) e suas

colu-nas segundo a ordem das transi¸cões de precedência uma rede de Petri (defini¸cão 8).

A matriz de intervalos apresenta todas as rela¸cões de precedência entre as transi¸cões da rede. Se dentre as linhas de uma matriz de transi¸cões, duas ou mais linhas tiverem o último elemento (transi¸cão) pertencente à mesma coluna, então, estas são agrupadas, gerando uma linha com “1” nas colunas correspondentes às transi¸cões que pertencem ao menos a uma das linhas original-mente agrupadas, pois representam todas as pre-cedências deste último elemento.

Feitos os agrupamentos, a matriz de transi¸cões será quadrada de ordem ♯T e nessa forma passa a ser um caso particular da matriz fecho transitivo, definida na teoria dos grafos para representar rela¸cões de precedência (Lipschultz and Lipson, 2004).

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Defini¸c˜ao 11 Matriz de intervalos - A matriz de intervalos de uma rede de Petri temporal qualquer ´

e obtida a partir da substitui¸cão dos valores iguais a 1 na matriz de transi¸cões da rede pelo intervalo correspondente a transi¸cão representada.

3.2 Algoritmo para Redu¸c˜ao de uma RPT via Matriz de Transi¸c˜oes

O vetor Is _´_{e um vetor de dimens˜}_{ao ♯T que tem} como valores o intervalo estático de cada transi¸cão da rede. Is_{[t][1] corresponde ao limite inferior de} sensibiliza¸cão de uma transi¸cão t e Is_{[t][2] ao} li-mite superior de sensibiliza¸cão de t.

A matriz MI representa a matriz de intervalos da rede.

O algoritmo para redu¸c˜ao de uma rede de Pe-tri temporal proposto em (Lima, 2007) e imple-mentado em (Bolzanni, 2012) cobre 6 casos de transi¸c˜oes concorrentes ou paralelas, a saber:

1. Duas transi¸cões conflitantes, onde ambas pos-suem apenas uma mesma transi¸cão prece-dente e os mesmos lugares de entrada. 2. Duas transi¸cões conflitantes, onde ambas

pos-suem mais de uma transi¸c˜ao precedente e os mesmos lugares de entrada.

3. Duas transi¸cões paralelas, com uma transi¸cão precedente em comum e ambas possuem ape-nas uma mesma transi¸cão sucessora.

4. Duas transi¸cões paralelas, com uma transi¸cão precedente em comum porém podem possuir transi¸cões sucessoras diferentes.

5. Duas transi¸c˜oes paralelas, com uma transi¸c˜ao precedente em comum e ambas pertencendo a T0.

6. Duas transi¸c˜oes paralelas, sem transi¸c˜ao pre-cedente em comum e ambas pertencendo a T0.

O cálculo do intervalo da transi¸cão resultante do agrupamento das transi¸cões conflitantes e pa-ralelas (ta e tb) é feito do seguinte modo:

• [M in{Is(ta)[1], Is(tb)[1]}, M in_{Is(t_a)[2], Is(tb)[2]}]; para os casos 1 e 2. • [M ax{Is(ta)[1], Is(tb)[1]}, M ax_{Is(t_a)[2], Is(tb)[2]}]; para o caso 3. • [M in{Is(ta)[1], Is(tb)[1]}, M ax_{Is(t_a)[2], Is(tb)[2]}]; para os casos 4, 5 e 6.

A prova destas aproxima¸c˜oes intervalares s˜ao dispostas em (Lima, 2007).

No algoritmo 1 segue o algoritmo de redu¸cão de RPT via rela¸cão de ordem. A fun¸cão ve-rificar agrupamento verifica se as transi¸c˜oes são paralelas ou concorrentes e retorna o caso de acordo com o listado anteriormente. A fun¸cão

calcular intervalo retorna o valor do intervalo da

transi¸c˜ao resultante de acordo com o caso de agru-pamento (mostrado acima). Por fim, a fun¸c˜ao

agrupar transi¸c˜oes modifica as matrizes de Pre,

P´os e a matriz de intervalos da rede. Entrada: RPT

Sa´ıda: RPT com transi¸c˜oes concorrentes ou paralelas fundidas

paraposi¸c˜ao de 1 a ♯T fa¸ca

seMI[posi¸cão + 1][posi¸cão] = 0 então se Is_[_posi¸c˜_{ao] ∩ I}s_[_posi¸c˜_ao+1] então

caso agrup :=

verificar agrup(posi¸c˜ao); secaso agrup != Falso ent˜ao

intvl :=

calcu-lar intervalo(caso agrup, posi¸c˜ao);

agrup trans(posi¸c˜ao, posi¸c˜ao + 1, intvl);

fim fim fim fim

Algoritmo 1: Algoritmo de redu¸c˜ao da matriz de transi¸c˜oes.

Figura 1: Rede de Petri temporal a ser reduzida.

Exemplo 1 Seja uma RPT (figura 1) cujas úplas geradas por cada subconjunto do conjunto de transi¸cões, são como segue:

T0= {t1}

T1= {(t1, t2) , (t1, t3)} T2= {(t1, t2, t4) , (t1, t3, t5)} T3= {(t1, t2, t4, t6) , (t1, t3, t5, t6)}

O intervalo est´atico de t1, t5 e t6 ´e igual a [1,2].

As transi¸c˜oes t2, t3 e t4 tem intervalo est´atico

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A partir das matrizes parciais MP, gera-das pelos conjuntos acima, forma-se a matriz de transi¸cões MT. M P0= 1 0 0 0 0 0 M P1= 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 M P2= 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 M P3= 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 M T =         t1 t2 t3 t4 t5 t6 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1         Aplicando o algoritmo de redu¸cão via ordem de precedência, as transi¸cões t2e t3são agrupadas, assim como as transi¸cões t4 e t5, resultando na matriz de transi¸cões M T1. Na figura 1 é mostrada a rede reduzida.

Figura 2: Rede de Petri temporal reduzida.

M T1=     t1 t2+t3 t4+t5 t6 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1     Substituindo os elementos positivos de M T1 pelo intervalo est´atico das transi¸c˜oes correspon-dentes, tem-se a matriz intervalar C.

C=     t1 t2+t3 t4+t5 t6 [1, 2] 0 0 0 [1, 2] [0, 2] 0 0 [1, 2] [0, 2] [0, 2] 0 [1, 2] [0, 2] [0, 2] [1, 2]    

3.3 Agrupamento de Transi¸cões em Série e Remo¸cão e Agrupamento de Lugares

Em adi¸cão ao método de redu¸cão via ordem par-cial, que agrupa transi¸cões paralelas ou concorren-tes, também podes ser utilizados o agrupamento de transi¸cões em série e a remo¸cão de lugares, como mostrado abaixo.

Duas transi¸c˜oes t1 e t2 ligadas por um lugar ppodem ser agrupadas se:

• M0(p) = 0.

• P os(t1) = P re(t2) = p. • P re(p) = t1e P os(p) = t2.

• ∀p ∈ P re(t1), P os(p) = t1, exceto se iS(t2) = [0, 0].

O intervalo da transi¸c˜ao resultante do agru-pamento ´e:

iS(t_ab) = iS(t_a) + iS(t_b)

Para o agrupamento de lugares p1e p2deve-se obedecer as seguintes condi¸c˜oes:

1. M0(p1) = M0(p2) = 0.

2. P re(p1) = P re(p2) e P os(p1) = P os(p2_{) 6= ∅} 3. O peso dos respectivos arcos ligando p1 e p2

`

as transi¸c˜oes de entrada e sa´ıda devem ser respectivamente iguais.

A remo¸c˜ao de lugares pode ocorrer quando: 1. Se M0_{(p) = 0 e P re(p) = ∅, ent˜ao, pode-se}

remover p e P os(p).

2. Se p for removido e isso n˜ao causar o n˜ao disparo de P os(p).

O primeiro caso de remo¸cão de lugares também pode configurar um erro de modelagem ou projeto do sistema, já que se um evento não pode ocorrer não há motivo dele existir. O se-gundo caso aparece comumente quando um lugar configura umauto-loop.

Na figura 3 há um exemplo de redu¸cão de lu-gares. O lugar p1 é um auto-loop e pode ser

re-movido. Os lugares p2e p3 podem ser fundidos.

(a) (b)

Figura 3: Agrupamento e Remo¸c˜ao de lugares

4 Aplica¸c˜ao

Como objeto de estudo foi utilizado um sistema de manufatura didático (aqui também referido como planta ou sistema). Inicialmente o sistema foi mo-delado utilizando rede de Petri temporal, depois é realizada sua redu¸cão utilizando o método aqui apresentado.

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4.1 Sistema de Manufatura

A planta funciona da seguinte maneira:

1. Uma pe¸ca de plástico, a¸co ou alum´ınio é co-locada sobre aunidade transportadora. 2. Se a pe¸ca for de plástico chegará ao fim da

unidade transportadora e cair´a nacaixa 1. 3. Se a pe¸ca for met´alica, a unidade de

trans-ferência linear é estendida até a unidade transportadora e retira a pe¸ca da mesma. 4. Orobô de manipula¸cão cartesiana retira

a pe¸ca da unidade de transferˆencia linear e a coloca namesa rotativa.

5. A mesa rotativa leva a pe¸ca at´e o m´odulo de usinagem, que simula uma atividade de usinagem.

6. A mesa é rotacionada mais uma vez, levando a pe¸ca até o robô de descarga, que pega a pe¸ca e leva até o módulo de pesagem. 7. A pe¸ca é pesada. A partir do peso é poss´ıvel

descobrir se ela ´e de a¸co (mais pesada) ou alum´ınio (mais leve).

8. O robô de descarga retira a pe¸ca do módulo de pesagem e leva a pe¸ca, se de alum´ınio para acaixa 2, e se de a¸co para a caixa 3. Na figura 4 é mostrada uma imagem da planta industrial didática utilizada neste trabalho.

Figura 4: Planta industrial did´atica CIM-B.

4.2 Modelo em RPT e Redu¸c˜ao

A planta foi modelada em RPT, tendo 42 lugares e 35 transi¸cões. Por limita¸cão de forma, optou-se por não apresentar aqui a RPT da planta.

Após a modelagem inicial, o modelo foi redu-zido segundo o método apresentado aqui, gerando a rede de Petri da figura 5. Arcos de peso unitário das transi¸cões tA, t31 e t35 para o lugar p42foram acrescidos ao modelo reduzido para representar,

a fim de simula¸cão, a coloca¸cão manual de pe¸ca após outra ter terminado seu ciclo no sistema.

A redu¸cão deixou o modelo com apenas 13 transi¸cões (aproximadamente de 60% de redu¸cão) e 19 lugares (aproximadamente 50% de redu¸cão). A matriz de intervalos do fluxo do sistema para pe¸cas de alum´ınio é apresentada na figura 6. É importante ressaltar que, segundo o algoritmo, as transi¸cões tA (entrada e sa´ıda de pe¸ca de plástico da esteira) e tB (entrada e sa´ıda de pe¸ca de me-tal da esteira) seriam agrupadas em uma nova transi¸cão, porém para conservar a semântica de ambas, aqui foi decidido não agrupá-las.

O ciclo das pe¸cas não metálicas é com-posto pela transi¸cão tA; as pe¸cas metálicas pos-suem em comum no seus fluxos as transi¸cões t_B, t_C, t_D, t_E, t_F e t28, sendo as transi¸cões t29 e t30 espec´ıficas das pe¸cas de alum´ınio e t32, t_G e t35 das pe¸cas de a¸co.

5 Conclus˜ao

Neste artigo foi apresentado um método para redu¸cão deRPT s. O método é baseado na rela¸cão de ordem entre as transi¸cões. Essa rela¸cão de or-dem é estabelecida não apenas pela rela¸cões cau-sais das transi¸cões, mas também devido às rela¸cões temporais entre elas. O algoritmo proposto ex-plora estruturas regulares da rede e através de agrupamento de linhas e colunas, obtém-se uma matriz reduzida e que equivale a uma rede redu-zida.

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Figura 5: Rede de Petri Temporal reduzida.

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