MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DO CONTROLE ÓTIMO DE UM QUARTO DO SISTEMA DE SUSPENSÃO AUTOMOTIVA

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MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DO CONTROLE

ÓTIMO DE UM QUARTO DO SISTEMA DE SUSPENSÃO AUTOMOTIVA

Fernando Zago 1, Marat Rafikov 2, Antonio Carlos Valdiero 3, Luiz Antonio Rasia 4

1 _{UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Departamento de Tecnologia – Caixa Postal 121,}

Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, fzago_egm@yahoo.com.br

2

UFABC - Centro de Matemática, Computação e Cognição, Rua Catequese, 242, 3o andar, Jardim, CEP 09090-400, Santo André/SP, Brasil, marat9119@yahoo.com.br

3

UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Departamento de Tecnologia – Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, valdiero@unijui.edu.br

4

UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Departamento de Tecnologia – Caixa Postal 121, Av. Rudi Franke 540, CEP 98280-000, Panambi/RS, Brasil, rasia@unijui.edu.br

Resumo: Este trabalho trata do controle ótimo em um quarto do sistema de suspensão automotiva. É possível ajustar o “modo de controle” da suspensão, que pode privilegiar o conforto dos ocupantes ou uma condução mais esportiva. Apresentam-se os resultados de simulação para uma bancada de validação experimental a ser construída. Palavras-chave: Controle ótimo, suspensão automotiva, simulação computacional.

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho apresenta a modelagem matemática e a aplicação do controle ótimo em um quarto do sistema de suspensão automotiva, destacando ainda o projeto do protótipo de uma bancada para auxiliar na validação experimental dos testes com o controlador.

A implantação de sistemas de controle em sistemas de suspensão automotiva é a chave para a prevenção e redução do excesso de vibração, a causa de muitos problemas do corpo humano, tais como dores lombares, ciáticas e até mesmo degenerações na coluna, conforme descrito por Anflor [1] e regulamentado por [2, 3, 4 e 5]. Com sistemas de controle também é possível ajustar o “modo de condução” do veículo, que amolece a suspensão (para privilegiar o conforto dos ocupantes) ou a endurece (privilegiando uma condução mais esportiva), já enfocando na área das suspensões ativas.

No que diz respeito a trabalhos anteriores, Tusset et al. [6] apresentou a modelagem matemática e a aplicação de sistemas de controle em um quarto de suspensão automotiva com a utilização de amortecedor magneto-reológico; Miaomiao et al. [7] apresentou a aplicação de estratégias de controle baseado em backstepping de um quarto de suspensão ativa hidráulica não-linear.

O trabalho está organizado como segue: a seção 2 descreve o projeto de uma bancada para validação experimental dos testes com o controlador; na seção 3 é mostrada a modelagem matemática de um quarto de suspensão automotiva, à qual será aplicado o controlador

ótimo, cuja síntese encontra-se descrita na seção 4. Os resultados das simulações são apresentados na seção 5 e, por fim, as conclusões são destacadas na seção 6.

2. DESCRIÇÃO DA BANCADA PARA VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL

Tendo em vista que a maioria dos resultados obtidos em trabalhos anteriores é advinda de simulação computacional, existe a necessidade de uma bancada didática que auxilie tanto na validação experimental do controlador quanto na escolha dos parâmetros mais adequados para os testes. Surgiu então o projeto da bancada a ser descrita abaixo.

A proposta de bancada apresentada trata de um sistema de guias e bases metálicas para adição de carga, no qual está montado um sistema massa – mola – amortecedor em escala reduzida, equivalente ao modelo real de um quarto de suspensão automotiva. Essas bases correspondentes ao solo (1), à massa não-suspensa (2) e à massa suspensa (3), e estão apoiadas a quatro molas (4) e um amortecedor (5), contando ainda com dois blocos/massas (6), que correspondem à massa não-suspensa (conjunto roda-pneu) e à massa suspensa (carroceria) e podem ser facilmente substituídos por serem apenas apoiados nas bases metálicas. Tem-se uma oscilação proporcionada por um motor elétrico (7) montado na base da bancada. É prevista a instalação de sensores (8) que capturem o deslocamento das massas e um sistema de aquisição de dados que processe esses resultados obtidos e transforme-os em gráficos senoidais que mostrem a variação de posição pelo tempo. A dinâmica de funcionamento é igualmente simples: ao acionar o motor elétrico (o elemento oscilador), o eixo ao qual está acoplada a came que gira e movimenta o seguidor, iniciando assim uma oscilação que vai afetar a base correspondente ao solo, implicando em um deslocamento linear. Essa vibração é atenuada pelas molas e o amortecedor de modo que a base da massa não-suspensa e a da suspensa começam a vibrar, por influência das molas nelas apoiadas.

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Modelagem Matemática e Simulações Computacionais do Controle Ótimo de um Quarto do Sistema de Suspensão Automotiva Fernando Zago, Marat Rafikov, Antonio Carlos Valdiero, Luiz Antonio Rasia

A vibração da base correspondente à massa suspensa ainda é afetada diretamente por um motor de passo tamanho 34 (9), ao qual esta está ligada por um cabo de aço e produz uma oscilação diferente, porém também comandada pelo computador. O deslocamento de ambas as bases com as massas é capturado pelos sensores e processado pelo sistema de aquisição de dados, que será responsável pela geração dos gráficos. A Fig. 1 e Fig. 2 mostram, respectivamente, um croqui da bancada montada e sua maquete eletrônica, construída em CAD.

Fig. 1. Croqui do projeto de bancada.

Fig. 2. Vista em perspectiva da maquete eletrônica da bancada. Para efetuar as simulações computacionais do sistema de suspensão equivalente, foram estimados os valores indicados na Tab. 1:

Tabela 1. Valores utilizados nas simulações.

Especificações

Valor

Massa suspensa (ms) 20 kg

Constante da mola (ks) 1800 N/m Constante de amortecimento (cs) 100 N.s/m

Conjunto roda-pneu (mu) 2 kg

Constante da mola equivalente ao pneu (ku)

15000 N/m Altura da protuberância da pista (Z) 0,1 m Comprimento da protuberância da

pista (L)

5 m Velocidade do veículo (V) 11,11 m/s

3. MODELAGEM MATEMÁTICA

A metodologia aqui utilizada para a modelagem matemática e simulações computacionais é demonstrada por Tusset et al. [6]. Para aplicar o sistema de controle, deve-se deduzir o modelo dinâmico do sistema estudado. O primeiro passo é escolher o sistema de coordenadas generalizadas; posteriormente faz-se o Diagrama de Corpo Livre (DCL) para cada massa e a representação das forças de vínculo; por fim, é aplicado o Princípio de D’Alembert. O segundo passo é escrever o modelo matemático na forma de variáveis de estado. A partir deste modelo matemático, faz-se a síntese do controle ótimo de acordo com a metodologia proposta por Rafikov et al.[8]. Nas simulações, o programa utilizado é o MATLABTM/Simulink.

O desenho esquemático de um quarto de suspensão automotiva é expresso pela Fig. 3:

Fig. 3. Representação simplificada de um quarto de sistema de suspensão automotiva

(3)

onde

m

_sé a massa suspensa,

k

_sé a constante da mola da suspensão,

c

_sé a constante de amortecimento do amortecedor,

m

_ué a massa não-suspensa (conjunto roda-pneu),

k

_ué a constante da mola equivalente ao pneu,

x

_maxé o deslocamento máximo do conjunto, Z é a altura da protuberância da pista, L é o comprimento da protuberância da pista, V é a velocidade do veículo e

x

₀é a oscilação da estrada. Na forma de variáveis de estado, o modelo é expresso pela Eq. (1):













































s f s s s s u f u u u s u s

m

u

m

x

k

m

x

c

x

m

u

m

x

k

m

x

k

m

x

c

x

1 2 1 2 2 0 1 1 2 1 2 1



(1) Considerando que: 2 4 2 3 1 2 1 1

x

y

x

y

x

y

x

y





tem-se: 2 4 2 4 3 1 2 1 2 1

x

y

x

y

x

y

x

y





(2)

onde

y

₁



x

₁representa a posição da massa não-suspensa ao longo do tempo;

y



₁



y

₂



x



₁representa a velocidade da massa não-suspensa ao longo do tempo;

y

₃



x

₂representa a posição da massa suspensa ao longo do tempo;

y



₃



y

₄



x



₂representa a velocidade da massa suspensa ao longo do tempo;

y



₂



x



₁representa a aceleração da massa não-suspensa ao longo do tempo e

2

4

x

y







representa a aceleração da massa suspensa ao longo do tempo.

Com base nestas equações, parte-se para a metodologia do controle ótimo, proposta por [6] e representada pela Eq. (3):

 

y

BU

g

Ay

y







(3)

Sendo

y



R

no vetor das variáveis de estado; n

n

R

A



* a matriz constante formada pela parte linear do sistema;

g

( y

)

o vetor cujos elementos são funções contínuas;

B

é uma matriz constante e

U

é o vetor de

pela Eq. (4):





u m m m x k y y y y m c m k m c m k m c m k m c m k k y y y y s u u u s s s s s s s s u s u s u s u u s . 1 0 1 0 0 0 0 . 1 0 0 0 0 0 1 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1                                                                                (4)

4. SÍNTESE DO CONTROLE ÓTIMO

O vetor de controle U é representado pela Eq. (5):

t

d

u

U





(5)

Sendo

u

_da parte feedforward (que mantém o sistema controlado na trajetória desejada) e

u

_f a parte feedback (que estabiliza o sistema em torno da trajetória desejada).

O controle linear feedforward

u

_dé mostrado na Eq. (6):

 





B

y

g

Ay

y

u

d d d d







(6)

Para o sistema aqui estudado, a parcela feedforward será considerada zero, pelo fato da trajetória desejada ser um ponto fixo. O controle linear feedback

u

_f , por sua vez, é expresso na Eq. (7):

y

P

B

R

u

_f





1 T

~

(7)

onde

y

~



y



y

_de P é uma matriz simétrica que satisfaz a equação de Riccati, dada pela Eq. (8) em conformidade com [1]:

0

1











Q

P

B

PBR

P

A

PA

T T (8)

Nela, as matrizes Q (simétrica) e R são constantes e positivas. Na seqüência, é necessário calcular as matrizes de

(4)

ganho usadas no controlador. Primeiramente são escolhidos valores adequados para as matrizes Q e R.

5. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES

A Fig. 4 mostra o diagrama de blocos construído e utilizado nas simulações. Por meio de ajustes no controlador, pode-se privilegiar, no próprio modelo matemático da suspensão, o conforto dos ocupantes (a roda oscila, mas a carroceria se mantém com oscilação mínima ou nula) ou a estabilidade (a roda fica “agarrada à pista e a carroceria oscila). Neste trabalho, foram feitas simulações com o controlador nas duas situações, conforme o demonstrado nas subseções a seguir. Foram utilizados os

seguintes parâmetros, semelhantes aos utilizados por Miaomiao et al. [7]. A oscilação da estrada (

x

₀) é mostrada na Eq. (9):

 

V L t quando V L t quando t L V Z t x                      0 0 2 cos 1 . 2 0  (9)

Os valores das variáveis da equação estão descritos na Tab. 1 mostrada anteriormente.

Fig. 4. Diagrama de blocos para o sistema controlado.

5.1. Privilegiando o conforto

De acordo com Zago [9], as suspensões ativas, quando privilegiando o conforto dos ocupantes do veículo, fazem com que a oscilação da carroceria seja a menor possível, não importando a oscilação da roda. Nestas simulações, isto foi feito por meio de uma variação nos ganhos do controlador ótimo. Após um teste com diversas séries de valores, têm-se os melhores resultados, mostrados pelas Eqs. (10) e (11):

 

1 

R

(10)

1

0

10 2,575

0

1

0

10 3,55

9 2

















Q

(11)

A matriz P é calculada através da equação de Riccati, usando a função LQR do MATLABTM, e seu valor depende dos valores de Q. O melhor resultado obtido é mostrado pela Eq. (12):                     47 , 41670 10 281952 , 1 47 , 4633 72 , 66141 10 281952 , 1 10 1285 , 8 92 , 120969 45 , 1598785 47 , 4633 92 , 120969 54 , 8298 12 , 4610 71 , 66141 45 , 1598785 12 , 4610 1249380 6 6 7 P (12) A Fig. 5 mostra os resultados obtidos através das simulações.

(5)

Fig. 5. Gráfico do seguimento de posição para o sistema controlado privilegiando o conforto.

A Fig. 6 ainda mostra as velocidades do conjunto ao longo do tempo.

Fig. 6. Gráfico das velocidades do sistema controlado privilegiando o conforto.

O sinal de controle aplicado ao sistema (uma força aplicada para aumentar o contato da roda com o solo) é mostrado pela Fig. 7.

Fig. 7. Gráfico do sinal de controle aplicado ao sistema privilegiando o conforto.

5.1. Privilegiando a estabilidade

Conforme citado anteriormente, as suspensões ativas, quando privilegiando a estabilidade do veículo, fazem com que a roda fique o máximo possível de tempo em contato com o solo, permitindo a oscilação da carroceria. Nestas simulações, isto foi feito por meio de uma variação nos ganhos do controlador ótimo. Após um teste com diversas séries de valores, têm-se os melhores resultados, mostrados pelas Eqs. (13) e (14):

 

1 

R

(13)

1

0

10 5,05

0

1

0

10 3,85

7 7

















Q

(14)

A matriz P é calculada através da equação de Riccati, usando a função LQR do MATLABTM, e seu valor depende dos valores de Q. O melhor resultado obtido é mostrado pela Eq. (15):                      95 , 13134 57 , 164478 36 , 1396 57 , 78849 57 , 164478 10 08797503 , 4 37 , 21545 53 , 667457 36 , 1396 37 , 21545 37 , 683 52 , 1651 57 , 78849 53 , 667457 52 , 1651 10 78946882 , 1 6 6 P (15)

(6)

A Fig. 8 mostra os resultados obtidos através das simulações.

Fig. 8. Gráfico do seguimento de posição para o sistema controlado privilegiando a estabilidade.

A Fig. 9 ainda mostra as velocidades do conjunto ao longo do tempo.

Fig. 9. Gráfico das velocidades do sistema controlado privilegiando a estabilidade.

O sinal de controle aplicado ao sistema (uma força aplicada para aumentar o contato da roda com o solo) é mostrado pela Fig. 10.

Fig. 10. Gráfico do sinal de controle aplicado ao sistema privilegiando a estabilidade.

6. CONCLUSÕES

Este trabalho apresentou a modelagem matemática para o sistema de um quarto de suspensão automotiva e a aplicação do controle ótimo para fins de estabilização das vibrações, bem como a proposta de uma bancada de simulação para a validação experimental do modelo. Foi simulado um obstáculo representando a oscilação do relevo da estrada. Nota-se a importância da regulagem dos valores da matriz de ganhos Q. A partir da regulagem adequada dos ganhos por simulações computacionais, o controle ótimo estabiliza o sistema rapidamente, forçando o mesmo a ir até a posição desejada sem oscilações de alta freqüência.

A bancada pode ser utilizada na validação experimental do modelo de um quarto de suspensão e auxiliar na compreensão de diferentes conceitos passados ao longo de diferentes componentes curriculares ministrados durante o curso de Engenharia Mecânica, atendendo as necessidades das instituições de ensino superior.

AGRADECIMENTOS

Os autores são agradecidos à UNIJUÍ, à FAPERGS e ao CNPq pelo apoio financeiro e incentivo na realização da pesquisa.

REFERÊNCIAS

[1]. C. T. M. Anflor, “Estudo da Transmissibilidade da Vibração no Corpo Humano na Direção Vertical e Desenvolvimento de um Modelo Biodinâmico de Quatro Graus de Liberdade”, Dissertação de Mestrado, PROMEC, UFRGS, Porto Alegre, 2003.

(7)

Academic Press, U.S.A, 1990.

[3]. ISO 2631, “Guide for the evaluation of human exposure to whole-body vibration”, International Standard, 1974. [4]. ISO 2631-1, “Mechanical Vibration and shock –

evaluation of human exposure to whole-body vibration – Part I: general requirements”, International Standard, 1997.

[5]. ISO 7962, “Mechanical Vibration and shock-mechanical transmissibility curves of the human body in the z direction”, International Standard, 1987. [6]. A. M. Tusset, M. Rafikov and J. M. Balthazar, “An

Intelligent Controller Design for Magneto-rheological Damper Based on a Quarter-car Model”, Proceedings of the Journal of Vibration and Control, 15(12), pp. 1907-1920, 2009.

[7]. M. Miaomiao, C. Hong and C. Yanfeng, “Backstepping Based Constrained Control of Nonlinear Hydraulic Active Suspensions”, Proceedings of the 26th

Chinese Control Conference, pp 463-465, Zhangjiajie, July 2007.

[8]. M. Rafikov, J. M Balthazar, “Síntese do Controle Ótimo Linear Feedback para Sistemas que Exibem Caos”, Anais do III Congresso Temático da Dinâmica, Controle e Aplicações, pp. 619-633, 2007.

[9]. F. Zago, “Controle Ótimo Feedback dos Sistemas Mecânicos Não - Lineares”. Relatório de Iniciação Científica PIBIC/CNPq, Panambi, Agosto de 2008.