UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física – Física Experimental IV
Relatório de atividade experimental REFRAÇÃO E REFLEXÃO
Vítor Sudbrack 00244462
Porto Alegre, 07 de Abril de 2016.
Resumo: No presente estudo, as relações entre o ângulo de incidência, de reflexão e de refração de um feixe de luz sobre uma interface de dois meios com características óticas distintas foram deduzidas a partir do Princípio de Fermat e investigadas experimentalmente. Determinou-se o índice de refração do vidro e o ângulo crítico para o qual a luz começa a ser totalmente refletida na interface vidro-ar. As conclusões mostram que os ângulos medidos se ajustaram notavelmente com o comportamento previsto pelas leis da reflexão e refração.
INTRODUÇÃO
No século XVII, Pierre de Fermat postulou um princípio capaz de explicar a trajetória que os raios de luz fazem a partir da ideia de uma minimização. Fermat enunciou: “de todos os caminhos possíveis para ir de um ponto ao outro, a luz segue aquele que é percorrido no menor intervalo de tempo.”. [1]
Se a velocidade é constante por todo meio entre os dois pontos, então o tempo mínimo implica na distância mínima, que é uma reta. Todavia, se há velocidades diferentes entre os pontos, então a luz percorrerá seguimentos de reta em cada meio, de tal modo que a fará chegar mais rapidamente a seu destino.
Agora, a partir do enunciado do princípio de Fermat, serão deduzidas equações para determinar a direção da luz para situações de reflexão e refração. A figura abaixo mostra uma situação de reflexão, onde a luz sai de P e chega em P’ a partir de uma reflexão sobre a superfície sobre o eixo coordenado arbitrariamente escolhido. O ponto de reflexão é variável, estando exemplificadas algumas das possíveis trajetórias na figura. Segundo o princípio de Fermat, deve-se perguntar: qual ponto faz com que a luz viaje de P até P’ no menor intervalo de tempo possível?
Figura 1. Qual trajetória a luz fará para sair de , refletir na superfície sobre o eixo, e chegar em ? As ilustrações das possíveis trajetórias estão em laranja. Uma delas destacada explicita a variável d, que será usada para encontrar a trajetória que a luz seguirá através do Princípio de Fermat. O meio azul apresenta uma velocidade .
A distância total percorrida em função de será (aplicando teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos):
O tempo de viagem necessário para a luz percorrer essa distância no meio de velocidade será então:
Finalmente, para obter um mínimo em , é sabido do cálculo diferencial as seguintes condições [2]:
O teste da derivada segunda será deixado a cargo do leitor. É possível argumentar qualitativamente ao ver a figura que existe um tempo mínimo, mas não há tempo máximo, pois a partir de uma mudança no valor de é possível sempre fazer o raio percorrer uma distância maior. Fazendo então a derivada de em relação à , e aplicando no ponto , tem-se:
Para essa expressão ser zero, basta a seguinte igualdade ser verdadeira:
Neste momento vê-se que é interessante utilizar funções trigonométricas e trabalhar com os ângulos. Nota-se que o numerador e o denominador na equação acima são o cateto adjacente ao ângulo que notaremos por e e a hipotenusa, respectivamente. Então, utilizando a função cosseno:
Dado que ambos os ângulos estão restritos ao intervalo semi-aberto , então a equação acima é apenas verdadeiro se:
Usualmente, utiliza-se os ângulos que a trajetória faz com uma linha normal à superfície no ponto de incidência e reflexão. Estes são e . A equação acima em termos dos novos ângulos definidos será:
(Lei para reflexão) E assim, para a reflexão, a trajetória mais rápida, e, portanto a que a luz fará, será incidir e refletir com o mesmo ângulo na superfície. Geralmente, ao invés de definir dois pontos pelos quais a luz deve passar, tem-se um ponto de emissão (fonte) e uma direção de incidência do raio, e então a partir da Lei de reflexão é possível determinar a direção do raio refletido, ou seja, todos os pontos pelos quais a luz irá passar.
Já para chegar a uma equação que modele a refração, é necessário escolher arbitrariamente dois pontos em meios distintos, tal qual a figura abaixo. O raio “escolhe” refratar em um ponto específico . Novamente é necessário se perguntar a partir do Teorema de Fermat: para qual valor de a luz que sai de P chega ao menor tempo em P’?
Figura 2. Qual trajetória a luz fará para sair de , refratar na superfície sobre o eixo, e chegar em , que se encontra em um meio diferente? As ilustrações das possíveis trajetórias estão em laranja. Uma delas destacada explicita a variável d, que será usada para encontrar a trajetória que a luz seguirá através do Princípio de Fermat. O meio azul apresenta uma velocidade enquanto o meio verde apresenta velocidade .
Através do Teorema de Pitágoras é possível calcular as distâncias percorridas para os diferentes valores de :
Agora então é possível escrever o tempo de percurso em função de d, notando que cada uma das hipotenusas é percorrida numa velocidade diferente:
Igualmente para saber qual valor de faz o tempo ser mínimo, é necessário derivar em relação à , e satisfazer as condições expressas na equação (1) neste ponto.
Nota-se claramente que para ser zero, é necessário:
Mais uma vez, fica evidente que a expressão se tornará mais clara ao se trabalhar com ângulos e funções trigonométricas. Vendo os ângulos em que o raio faz com a superfície, nota-se que o numerador e o denominador se tornam o cateto adjacente e o cateto oposto, respectivamente. Substituindo então pela função cosseno:
Novamente será trabalhado com os ângulos em que o raio faz com uma reta normal à superfície, através da definição de e e identidades trigonométricas ( ). Também será introduzida uma constante para meio denominada índice de refração (ou densidade ótica), definida por , onde c é a velocidade da luz no vácuo. Concluí-se:
(Lei para refração) A Lei da refração também é conhecida por Lei de Snell. Interessante notar que, dentro da Lei da refração, está incluída a Lei da reflexão, ao colocar . Ao explicitar o valor de
fica evidente uma pergunta interessante:
Caso , ou seja, o raio passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, então haverá um momento que o argumento da função arco-seno será maior que 1, valores para a qual não está definida. O menor ângulo de incidência para qual isto ocorre é chamado de ângulo limite ou ângulo crítico:
Para ângulos de incidência maiores que o ângulo crítico a luz não refrata, mas sim reflete totalmente. Segundo Nussenzveig[1] (pg. 164-167), apesar de não haver ângulos de refração reais que satisfazem a definição de arco-seno, há ângulos complexos. Assim, apesar da luz não refratar sobre o meio menos refringente, ainda sim o campo elétrico e magnético sobre ele não é nulo.
Com relação ao incide de refração ou densidade ótica do meio, e , já definidos matematicamente, é interessante notar que se supôs que este é uma constante para o meio independente da onda que por ele viaja. Na verdade, a velocidade da luz é igual para qualquer onda eletromagnética apenas no vácuo, em todos os outros meios a velocidade de propagação depende do comprimento de onda (frequência), e, portanto, o índice de refração de um meio depende do comprimento de onda de tal forma que, quanto menor o comprimento de onda maior será o índice de refração (e assim maior o desvio angular causado na interface de meios). Então, quando a luz branca atravessa uma interface, cada comprimento de onda terá um desvio diferente, e assim se forma um espectro contínuo de luzes monocromáticas. Esse fenômeno é conhecido por dispersão monocromática da luz. Ele é tão mais facilmente observável quanto maior a diferença do índice de refração em função do comprimento de onda e essa diferença é maior perto do ângulo crítico.
MATERIAIS
Suporte angularmente graduado;
Anteparo branco;
Lâmpada de feixe colimado de luz branca;
Semicilindro de acrílico. METODOLOGIA
O experimento constituiu-se de duas partes: na primeira foi estudada a interface ar-vidro e na segunda a interface vidro-ar.
Para a primeira parte do experimento, utilizou-se o semicilindro de tal forma que a luz entrasse pelo seu lado reto, e saísse radialmente no seu lado circular. Assim, a refração e reflexão que ocorrem apenas na parte reta do sólido aconteceram do ar para o vidro. A figura abaixo mostra o esquema de montagem.
Figura 3. Montagem do equipamento utilizado para as medições do ângulo de incidência, ângulo de reflexão e ângulo de refração do feixe de luz produzido pela lâmpada na interface ar-vidro. Para auxiliar as medições foram utilizados anteparos. Na parte circular do semicilindro toda a luz incide a 0° e, portanto, refrata a 0° também.
Foram medidos os ângulos de reflexão e refração quatro vezes para cinco ângulos de incidência distintos (20°, 30°, 40°, 60° e 80°). A precisão da escala de ângulos era 1°. Por vezes, devido à dispersão monocromática, a própria largura do feixe era maior que esta escala (especialmente para o feixe refletido), assim, foram atribuídas as incertezas para as medidas baseadas nos seguintes critérios:
a) Caso a largura do feixe fosse menor que 1°, então a incerteza foi 0,5°.
b) Caso a largura do feixe fosse maior que 1°, então a incerteza foi metade da largura do feixe.
As incertezas variaram em 0,5°, 1,0° e 1,5°. O uso de uma luz monocromática aumentaria a precisão das medições (porém se teria um índice de refração para o meio específico apenas para aquele comprimento de onda).
Depois de finalizadas as medições, trocou-se a posição do semicilindro para que a luz incidisse radialmente à parte circular e então refratasse e refletisse na parte reta, indo então do vidro para o ar. A figura a seguir ilustra a montagem dos equipamentos.
Figura 4. Montagem do equipamento utilizado para as medições do ângulo de incidência, ângulo de reflexão e ângulo de refração do feixe de luz produzido pela lâmpada na interface vidro-ar. Para auxiliar as medições foram utilizados anteparos. Na parte circular do semicilindro toda a luz incide a 0° e, portanto, refrata a 0° também.
Novamente, foram feitas quatro medidas de ângulos de reflexão e refração para quatro ângulos de incidência distintos (10°, 20°, 30° e 40°). As incertezas foram atribuídas seguindo os mesmos critérios anteriores. Também foi medido o ângulo crítico para esta conformação, uma vez que a luz passando do meio mais refringente (vidro) para um menos refringente (ar), e então ocorreria o fenômeno da reflexão total.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Para todas as medidas tomadas, calculou-se a média dos dados, o desvio padrão dos dados, o desvio padrão da média e a incerteza da medição (seguindo o critério de ser a maior entre o desvio padrão da média ou a incerteza individual dos dados). As tabelas com esses dados estão em anexo ao final deste relatório.
Primeiramente os dados dos ângulos de reflexão em função do ângulo de incidência serão analisados. Para tanto, traçou-se o gráfico desses dados para ambas as interfaces. Aos pontos, se ajustou uma reta através do método dos mínimos quadrados, conforme esperado pela Lei da Reflexão discutida na introdução deste relatório.
Figura 5. Gráficos do ângulo de reflexão em função do ângulo de incidência para ambas as interfaces vidro-ar (superior) e ar-vidro (inferior). Aos pontos foram ajustadas retas conforme esperado pela Lei da Reflexão e cujas expressões matemáticas estão escritas junto aos gráficos.
Para ambas as interfaces é possível ver coeficientes de correlação linear extremamente expressivos, superiores a 99,9%. Os coeficientes das retas estão dentro do esperado pela Lei da Reflexão ( ) considerando-se o as incertezas do coeficiente das retas.
Já para o estudo da Lei da Refração, serão introduzidas novas variáveis, definidas como: e
A incerteza de u será dada por , e é análoga. Essa substituição se faz útil quando substituída na Lei da Refração apresentada na introdução deste relatório, que então se torna , que é uma reta. Assim, traçaram-se os pontos em um gráfico e sobre eles ajustou-se as seguintes retas.
Figura 6. Gráficos do ângulo de refração em função do ângulo de incidência para ambas as interfaces vidro-ar (superior) e ar-vidro (inferior). Aos pontos foram ajustadas retas conforme esperado pela Lei da Refração e cujas expressões matemáticas estão escritas junto aos gráficos.
Novamente a linearidade dos gráficos é expressiva, apresentando um coeficiente de correlação linear superior a 99,9% em ambos os casos. O coeficiente de inclinação das retas é em cada caso , onde é o índice de refração meio inicial e do meio final. Então, dos gráficos concluí-se:
e
2
Considera-se então que (para mais algarismos significativos é necessário o controle da temperatura e pressão do ar)[1] , então se concluí que com os dados da interface vidro-ar e com os dados da interface
ar-vidro.
Ao se aproximar do ângulo crítico, observava-se um espectro contínuo de cores do violeta ao vermelho. O ângulo crítico foi determinado como sendo o ângulo tal que todas as cores haviam sido completamente refletidas e, portanto, nada se enxergava no anteparo. Mediu-se o ângulo crítico como Mediu-sendo , e a partir da expressão (2) da introdução deste relatório, é possível calcular o índice de refração do vidro.
Assim, esse método fornece o valor do índice de refração do vidro de .
Para um comprimento de onda de (luz amarela emitida pelas lâmpadas de sódio) a e pressão atmosférica de , o índice de refração do acrílico (tipo de vidro utilizado) medido por Beadie, et.al., (2015) foi com incerteza inferior à 0,0002. [3] Os valores encontrados pelo método deste relatório se aproximam ao valor apresentado por Beadie, et. al., que utilizando ferramentas mais controladas e precisas, mediu o índice de refração em função do comprimento de onda, utilizando o acrílico em 16 diferentes posições, para evitar influências da polarização da luz sobre o resultado.
Como já dito, o índice de refração da luz depende do comprimento de onda, então o uso de luz branca também reduz a precisão da medição, fundamentalmente para ângulos próximos ao ângulo crítico (aos demais a diferença no ângulo de desvio não é perceptível).
CONCLUSÃO
Chegou-se às leis da refração e reflexão a partir do Princípio de Fermat, que afirma que a luz percorre o caminho entre dois pontos que minimiza o tempo de viagem. As leis foram verificadas experimentalmente, através dos gráficos do ângulo de reflexão em função do ângulo de incidência e do seno do ângulo de refração em função do seno do ângulo de incidência, que apresentaram expressivos coeficientes de correlação linear.
Determinou-se o índice de refração do acrílico (vidro utilizado no experimento) através de três medidas angulares diferentes, que forneceram os seguintes valores , e . Os valores se encontram próximos aos índices de refração encontrados na literatura, que utilizou aparatos mais precisos.
BIBLIOGRAFIA
[1] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica – vol. 4. 1ªed. São Paulo: Blucher, 1998.
[2] THORTON, S.T.;MARION, J.B. Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas. 5ª ed. pg. 193 – 199. São Paulo: CENGAGE Learning. 2014.
[3] BEADIE, G.; BRINDZA M.; FLYNN R. A.; ROSENBERG A. AND J. S. SHIRK. Refractive index measurements of poly(methyl methacrylate) (PMMA) from 0.4-1.6 μm. Appl. Opt. 54, F139-F143 (2015). Disponível em <https://www.osapublishing.org/ao/abstract.cfm?uri=ao-54-31-F139>.
ANEXOS
Tabela 1. Ângulos de reflexão em função dos ângulos de incidência para interface ar-vidro Ângulo de incidência ( ) Ângulos de reflexão medidos (°) Ângulo de reflexão médio (°) Desvio padrão dos ângulos de reflexão (°) Desvio padrão da média dos ângulos de reflexão (°) Incerteza do ângulo de reflexão médio (°) 20,0 18±1 20,3 2,217 1,109 1,1 21±1 19±1 23±1 30,0 28±1 30,1 2,016 1,008 1,0 31±1 29±1 32±1 40,0 37±1 40,1 2,394 1,197 1,2 41±1 39±1 43±1 60,0 57,0±1,5 60,1 2,955 1,477 1,5 60±1 59,0±1,5 64,0±1,5 80,0 77,0±1,5 80,0 2,944 1,472 1,5 80,0±1,5 79,0±1,5 84,0±1,5
Tabela 2. Ângulos de refração em função dos ângulos de incidência para interface ar-vidro Ângulo de incidência ( ) Ângulos de refração medidos (°) Ângulo de refração médio (°) Desvio padrão dos ângulos de refração (°) Desvio padrão da média dos ângulos de refração (°) Incerteza do ângulo de refração médio (°) 20,0 12,5±0,5 12,4 1,548 0,774 1,0 11,5±0,5 11±0,5 14,5±1 30,0 18,5±0,5 18,6 1,315 0,657 0,7 18±0,5 17,5±0,5 20,5±0,5 40,0 24,5±0,5 24,8 1,555 0,777 0,8 24±0,5 23,5±0,5 27±0,5 60,0 35±0,5 34,6 1,797 0,898 0,9 33±0,5 33,5±0,5 37±0,5 80,0 41±0,5 40,8 0,957 0,479 1,0 40±0,5 40±1 42±0,5
Tabela 3. Ângulos de reflexão em função dos ângulos de incidência para interface vidro-ar Ângulo de incidência ( ) Ângulos de reflexão medidos ( °) Ângulo de reflexão médio (°) Desvio padrão dos ângulos de reflexão (°) Desvio padrão da média dos ângulos de reflexão (°) Incerteza do ângulo de reflexão médio (°) 10,0 10,5 9,8 0,645 0,323 0,5 9,0 9,5 10,0 20,0 20,5 19,9 0,479 0,239 0,5 19,5 19,5 20,0 30,0 31,0 29,9 0,854 0,427 0,5 29,0 29,5 30,0 40,0 40,5 39,8 0,645 0,323 0,5 39,0 39,5 40,0
Tabela 4. Ângulos de refração em função dos ângulos de incidência para interface vidro-ar Ângulo de incidência ( ) Ângulos de refração medidos (°) Ângulo de refração médio (°) Desvio padrão dos ângulos de refração (°) Desvio padrão da média dos ângulos de refração (°) Incerteza do ângulo de refração médio (°) 10,0 12,5±0,5 13,6 2,250 1,125 1,1 17,0±0,5 12,5±0,5 12,5±0,5 20,0 29,0±0,5 29,4 1,797 0,898 0,9 32,0±0,5 28,5±0,5 28,0±0,5 30,0 47,5±0,5 47,0 1,581 0,791 0,8 49,0±0,5 45,5±0,5 46,0±0,5 40,0 72,0±1,0 71,4 0,946 0,473 1,0 72,0±1,0 70,0±1,0 71,5±1,0
Tabela 5. Ângulos críticos para interface vidro-ar Ângulos críticos
medidos ( ) Ângulo crítico médio (°)
Desvio padrão dos ângulos críticos (°)
Desvio padrão da média dos ângulos
críticos (°) Incerteza do ângulo crítico médio (°) 43,5 43,5 0,408 0,204 0,5 43,5 43,0 44,0
