..::Teoria da Relatividade Restrita – Dilatação do Tempo.
O ano de 1905 é considerado um marco para a ciência mundial. Mais do que isso, é considerado um ano miraculoso! Este é o ano em que o físico alemão Albert Einstein publicou a sua Teoria da Relatividade Especial ou Teoria da Relatividade Restrita, que trata das aplicações das leis da Física quando um sistema de referência se move com velocidade constante em relação a outro. Essa teoria revolucionou o pensamento científico e novas portas se abriram para a Física, que até o ano de 1900 pensava-se estar quase totalmente “mapeada”.
Mas o desenvolvimento desta teoria só foi possível pois Einstein literalmente ergueu-se sobre ombros de gigantes. Esse maravilhoso feito foi possível graças à descoberta importantíssima de que a luz é uma forma de radiação eletromagnética, que se move no vácuo com uma velocidade constante de aproximadamente 3.108 /
m s . O autor deste impressionante estudo foi o físico britânico James Clerk Maxwell, e é devido às suas belíssimas equações sobre as ondas eletromagnéticas e ao seu empenho que Einstein pode formular sua teoria. Devemos dar créditos também aos físicos George Francis FitzGerald (Irlanda, 1851-1901) e Hendrik Antoon Lorentz (Holanda, 1853-1928), que equivalentemente obtiveram importantíssimas equações às quais Einstein também utilizou em sua teoria.
Para Einstein, a velocidade da luz no vácuo é constante para todo e qualquer referencial inercial, ou seja, sem aceleração. Esse é o famoso postulado da invariância da velocidade da luz no vácuo.
Este artigo busca demonstrar de uma maneira bastante simples as deduções que chegam facilmente à famosa equação da dilatação do tempo. Não é desejo deste tratar com rigor tal lei, muitos menos demonstrar exaustivamente seus teoremas. Apenas deve-se demonstrá-lo para que todos o interpretem de uma forma simples.
A Dilatação do Tempo.
Imaginemos a seguinte situação: uma nave espacial move-se com certa velocidade v constante no espaço. Em seu interior, há um astronauta que possui um
relógio de luz, constituído por dois espelhos planos e paralelos, superior e inferior, no qual um fóton de luz colide repetidamente, fazendo um movimento de vai-e-vem.
Da terra, um observador em repouso também possui o mesmo tipo de relógio de luz, e ambos estão plenamente sincronizados.
Para o astronauta do interior da nave, o movimento do fóton em seu relógio é intrinsecamente vertical no decorrer do tempo. O mesmo ocorre com o observador terrestre para próprio relógio. Porém, ao observar a nave espacial no decorrer do tempo e o movimento do fóton do relógio do astronauta no interior desta nave, o observador em repouso constata que este fóton descreve uma trajetória diagonal, conforme as figuras abaixo:
a) relógio do astronauta para o astronauta:
Seja ∆ o intervalo de tempo de subida e descida do fóton e ta da a distância que este percorre entre um espelho e outro, considerando o astronauta como referencial. Lembrando que a velocidade da luz é constante no vácuo, a denotaremos por c . Utilizando a relação v s t ∆ = ∆ temos que: 2 a a d t c ∆ = a d da
b) relógio do astronauta para o observador em repouso, na Terra:
Seja ∆ o intervalo de tempo de subida e descida do fóton e to do a distância que
este percorre entre um espelho e outro, considerando o observador em repouso como referencial e o relógio no interior da nave em movimento. Utilizando novamente a relação v s t ∆ = ∆ , temos que: 2 o o d t c ∆ =
A distância retilínea AC é a distância percorrida pela nave no tempo ∆ , ou to
seja, para o observador em repouso. Logo: .
AC o
d = ∆ , sendo v a velocidade da nave. v t
Observando a figura, consideremos o triângulo retângulo AMB :
Mas, nós sabemos que:
i) . 0 2 o c t d = ∆ ii) . 2 a a c t d = ∆ iii) dAC= ∆ v t. o
Utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos: o d d o a d A B C M o d a d 2 AC d
(
)
2 2 2 2 ² ² 2 . . . 2 2 2 ². ² ². ² ². ² 4 4 4 ². ² ². ² ². ² ² ² ² ². ² ² ² ² ² ² ² ² 1 ² ² AC o a o a o o a o o o a o a o a o a d d d c t c t v t c t c t v t c t v t c t t c v c t c v t t c v t t c = + ∆ ∆ ∆ = + ∆ ∆ ∆ = + ∆ − ∆ = ∆ ∆ − = ∆ − ∆ = ∆ ∆ − = ∆ ² ² ² 1 ² ² ² 1 ² ² 1 ² a o a o a o t t v c t t v c t t v c ∆ ∆ = − ∆ ∆ = − ∆ ∆ = − Essa equação ² 1 ² a o t t v c ∆ ∆ = −é a conhecida dilatação do tempo.
As implicações desta última equação são diversas, pois podemos observar que sempre ∆to > ∆ , ou seja, o intervalo de tempo que é medido por um relógio em ta repouso entre dois eventos que ocorrem em um mesmo lugar é sempre menor que o intervalo de tempo medido em qualquer outro sistema de referência. ∆ é o conhecido ta intervalo de tempo próprio.
É desta equação que surge o paradoxo dos gêmeos. Suponhamos que um gêmeo esteja a bordo de uma nave espacial para fazer uma longa viagem com velocidade próxima à da luz. Quando retornar, seu irmão que permaneceu na terra estará mais velho do que ele, pois a variação de tempo na nave é menor que a variação do tempo na Terra (∆to > ∆ ). ta
Vale ressaltar que 1 ² 1 ² v c γ = −
é o chamado fator de Lorentz, em homenagem
ao físico neerlandês Hendrik A. Lorentz citado acima neste artigo, que recebeu o prêmio Nobel de Física em 1902 por seu trabalho sobre as radiações eletromagnéticas.
A equação ² 1 ² a o t t v c ∆ ∆ = −
torna-se ∆to =γ.∆ . Em notação matemática mais ta
rigorosa e mais generalizada, temos que: ' . ' ² 1 ² t t t v c γ ∆ ∆ = = ∆ −
, em que ∆ é a variação de tempo obtida por um relógio t'
em repouso entre dois eventos que ocorrem em um mesmo local no espaço e t∆ é a variação de tempo em outro sistema de referência.
