• Nenhum resultado encontrado

Paulo Justiniano Ribeiro Junior

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Paulo Justiniano Ribeiro Junior"

Copied!
42
0
0

Texto

(1)

Introduc¸˜

ao a Geoestat´ıstica

Paulo Justiniano Ribeiro Junior ∗

LEG - Laborat ´orio de Estat´ıstica e Geoinformac¸˜ao

Departamento de Estat´ıstica Universidade Federal do Paran ´a

Material de Curso

Piracicaba, SP Agosto, 2005

(2)

INTRODUC

¸ ˜

AO `

A ESTAT´ISTICA ESPACIAL

1. Exemplos B´asicos de dados espaciais 2. Terminologia para estat´ıstica espacial

3. Modelos e problemas em estat´ıstica espacial 4. Um estudo de caso: doenc¸a de citrus

(3)

1. Estat´ıstica Espacial:

Alguns Exemplos B´asicos

(a) Taxas de cˆancer por regi˜oes administrativas

tons de cinza correspondem `a variac¸˜ao estimada do risco relativo de cˆancer coloretal em 36 zonas eleitorais da cidade de Birmingham, UK.

395000 400000 405000 410000 415000 420000 275000 280000 285000 290000 295000 300000 Eastings (meters) Northings (meters) 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

(4)

(b) Hansen´ıase em Olinda

(5)
(6)

Alguns problemas com estrutura de dados se-melhante

• ´Indices de criminalidade por bairros

• Mortalidade infantil (e/ou outros indicadores) por munic´ıpios de um estado

• Experimentos agr´ıcolas de campo • An ´alise de imagens

(7)

(c) Precipitac¸˜ao no Estado do Paran´a

Medidas de chuva em 143 postos meteo-rol ´ogicos.

M´edias hist ´oricas para o per´ıodo de Maio-Junho (estac¸˜ao seca). 0 100 200 300 400 500 600

(8)

(d) Teores de C´alcio em um solo agr´ıcola 5000 5200 5400 5600 5800 6000 4800 5000 5200 5400 5600 5800 X Coord Y Coord 7

(9)

Alguns problemas com estrutura de dados se-melhante

• Teores de elementos minerais em uma jazida • N´ıveis de poluic¸˜ao do ar medidos em estac¸˜oes

de monitoramento

• Estoque de peixes em uma certa ´area mar´ıtima

(10)

(e) Infecc¸˜oes bacterianas no sul da Inglaterra

Localizac¸˜oes das residˆencias de 651 casos noti-ficados num per´ıodo de 1 ano na regi˜ao central do sul da Inglaterra. • ••• •• ••• • • • ••••• ••• • • • •••• ••••••••••••• ••• •• ••••• ••• ••• • • •••• •••••••••••••• •• •••• • • •• • •• • • • •••• ••••• • ••• • • ••• • ••• ••• ••••• ••• ••• • •• • ••• •••• •• •••• ••• •• • ••• ••••• • •• ••• ••••• ••••••••••• • ••••••••••• ••• ••••••••• • • •••• ••• • • •• • • •• • • •••• •••••••• • •• ••••••••••••••••••••••••• ••• • • • • • ••• • • • •• ••• • • •• • ••• • •••••••• •• •• • •••••••• • • • • •• ••• ••••••••••••••••• • •••• •••••••••••• • • • •• • • • •• ••• • • • • •••••••• • •••••• ••••• ••• ••••••• •• • •••• ••• •• • • •••• • •• • •••• • • •••• • • ••••• ••• • • • •• ••• • • • • •• ••••• •• ••• •••• •••••• •••• •• •• ••• • •••• ••••••••••••••• •• •••••• • ••• ••••••• ••• • • • • • • • • •• ••• • ••••• • • • • • • • • • ••• •• • • • • •• •• •• • •• • • • • • • •• •• • • • • • E-W (km) N-S (km) 380 400 420 440 460 80 100 120 140 9

(11)

(f) Ocorrˆencias em Porto Alegre 17000 19000 165000 166500 168000 Homicídios W−L S−N 17000 19000 165000 166500 168000 Suicídios W−L S−N 17000 19000 165000 166500 168000 Acidentes W−L S−N 17000 19000 165000 166500 168000 W−L S−N

(12)

Alguns problemas com estrutura de dados se-melhante

• Localizac¸˜ao de ´arvores de certa esp´ecie em uma area de floresta natural

• Pontos de ocorrˆencia de crimes em uma ci-dade

• Posic¸˜oes de ninhos de certo p ´assaro em uma regi˜ao

(13)

2. Terminologia

e

quest˜

oes

para

es-tat´ıstica espacial

(a) Variac¸˜ao espacial discreta

Estrutura b ´asica. Yi : i = 1, ..., n

• raramente ocorre naturalmente • ´util como estrat´egia pragm ´atica

• modelos s˜ao tipicamente definidos indireta-mente a partir de condicionais

[Yi|Yj, ∀j 6= i]

i. Medidas de agregac¸˜ao comumente utilizadas (por ex. I de Moran)

ii. Diversas opc¸˜oes de modelos, entre eles: iii. a. Regress˜ao ponderada geogr ´aficamente

iv. b. Modelos CAR (auto-regressivo condicional) e SAR

v. Definic¸˜ao de vizinhanc¸a pode depender do problema

(14)

(b) Variac¸˜ao espacial cont´ınua

Estrutura b ´asica. Y (x) : x ∈ IR2

• dados (yi, xi) : i = 1, ..., n, localizac¸˜oes xi podem ser:

– n˜ao estoc ´astica (ex. grade cobrindo a regi˜ao em estudo A) ou estoc ´astica, por ´em indepen-dente do processo Y (x)

i. em geral (mas nem sempre!) o objetivo ´e de predic¸˜ao

ii. a predic¸˜ao pode ser do processo subjacente ou um funcional deste

iii. poss´ıveis relac¸˜oes com covari ´aveis

iv. modelos comumente utilizados podem ser vis-tos como MLG, com efeito aleat ´orio espacial-mente estruturado

v. grande n ´umero de m´etodos/algor´ıtmos “ad-hoc” na literatura de geoestat´ıstica

(15)

(c) Processo pontual espacial

Estrutura b ´asica. Conjunto cont ´avel de pontos xi ∈ IR2, gerados estoc ´asticamente.

• `as vezes dados s˜ao agregados em regi˜oes

i. quest˜ao chave ´e dizer se processo ´e aleat ´orio, agrupado ou regular

ii. modelagem b ´asica para superf´ıcie de intensi-dade do processo pontual

iii. v ´arios modelos dispon´ıveis, “f ´acil” de simular, dif´ıcil de estimar

iv. conhecimento do processo subjacente pode guiar escolha de modelos

v. alguns pontos importantes: correc¸˜oes de borda, correc¸˜oes para populac¸˜ao sob risco, es-tudos de caso-controle, etc

(16)

Estat´ıstica espacial ´e a selec¸˜ao de m´etodos es-tat´ısticos nos quais a localizac¸˜ao espacial tem pa-pel expl´ıcito na an ´alise dos dados.

Temas estrat´egicos

• n˜ao confundir formato dos dados com o processo subjacente.

• a escolha do modelo pode ser influenciada pelos objetivos cient´ıficos do estudo

• problemas reais n˜ao necessariamente se encai-xam em um dos tipos b ´asicos, podem ser abor-dados de difrentes formas ou conterem elemen-tos de cada um dos tipos. A divis˜ao ´e puramente did ´atica

• h ´a outras possibilidades tais comos processos pontuais marcados, processos espac¸o tempo-rais, etc

• Estat´ıstica espacial e Sistemas de Informac¸˜ao Geogr ´afica (SIG)

• Estat´ıstica espacial e Geoestat´ıstica • Problemas espac¸o-temporais

(17)

3. Estudo de caso – Doenc¸a de citrus

Problema consiste em quantificar a importˆancia relativa dos dois mecanismos de reproduc¸˜ao do fungo causador a Pinta Preta dos citrus.

Conjectura-se que o padr˜ao espacial da fase asse-xuada deve ser agragado enquanto que o da fase sexuada deve ser aleat ´orio.

An ´alises ilustram o uso de m´etodos associados a cada um dos “tipos b ´asicos” a um mesmo pro-blema.

(18)

4.

Palavras finais

N ˜AO ANALISE DADOS . . . .

. . . ANALISE PROBLEMAS !

PROJETO SAUDAVEL

http://saudavel.dpi.inpe.br

LEG – Laborat ´orio de Estat´ıstica de Geoinformac¸˜ao

http://www.est.ufpr.br/leg

(19)

Geoestat´ıstica

1. Geoestat´ıstica: outros exemplos

2. Quest˜oes Centrais

3. Modelo Geoestat´ıstico 4. O modelo Gaussiano

5. Predic¸˜ao

(20)

1. Outros Exemplos de Problemas

Geoes-tat´ısticos

(a) Dados de chuva na Su´ıc¸a

E-W (km) N-S (km) 0 100 200 300 0 50 100 150 200

Localizac¸˜oes com tamanhos dos pontos proporcionais aos valores

ob-servados de precipitac¸˜ao

• 467 postos na Su´ıc¸a

• medidas di ´arias de chuva em 8/05/1986 • dados do projeto:

Spatial Interpolation Comparison 97

(21)

(b) Ilha de Rongelap

• estudo do res´ıduo de contaminac¸˜ao decor-rente de testes de armas nucleares durante a d´ecada de 50

• ilha evacuada em 1985. Segura para re-ocupac¸˜ao

• pesquisa produz medidas com ru´ıdo Yi de concentrac¸˜ao de c´esio radioativo

• particular interesse em n´ıveis m ´aximos de concentrac¸˜ao de c´esio N-S -3000 -2000 -1000 0 1000 • • • • • • • ••• •• ••• •• ••• •• ••• •• ••• •• • • ••• •• ••• •• ••• •• ••• •• ••• •• •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • •••••••••• • • ••• •• ••• ••• ••• •• •••••••• • • • • ••• •• ••• •• ••• •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •

(22)

(c) Esp´ecies de l´ıquens

• fatores associados a distribuic¸˜ao espacial da presenc¸a de l´ıquens em troncos de ´avores

• resposta 0/1: presenc¸a ou ausˆencia

• covari ´aveis: diˆametro, umidade, sombrea-mento, cobertura do tronco, viva

4000 5000 6000 7000 9000 10000 11000 12000 XCOORD YCOORD

(23)

(d) Mal´aria em Gambia

• na vila i, dado Yij = 0/1 denota ausˆencia ou

presenc¸a de mal ´aria no sangue da crianc¸a j • covari ´aveis ao n´ıvel de vilas:

– localizac¸˜ao (coordenadas), presenc¸a de cen-tro de sa ´ude, ´ındice de vegetac¸˜ao derivado de sat´elite

• covari ´aveis ao n´ıvel de crianc¸as:

– idade, uso e tratamento de mosquiteiro

• interesses: efeito das covari ´aveis e padr˜ao es-pacial da variac¸˜ao residual

1450 1500 1550 1600 1650 N−S (kilometres) Central

(24)

2. Caracter´ısticas Principais dos

Proble-mas Geoestat´ısticos

• dados consistem em respostas Yi associadas com localizac¸˜oes xi

• em princ´ıpio, Y pode ser determinado em qual-quer localizac¸˜ao x dentro da regi˜ao espacial-mente cont´ınua A

• assume-se que {Y (x) : x ∈ A} ´e um processo es-toc ´astico

• xi ´e tipicamente fixo. Se as localizac¸˜oes xi s˜ao geradas por um processo estoc ´astico pontual, assume-se que este processo ´e independente de Y (x)

• objetivos cient´ıficos incluem a predic¸˜ao de um ou mais funcionais de processo (sem ru´ıdo) {S(x) : x ∈ A}

(25)

Exemplo b´asico: chuva no Paran´a 200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 Coord X Coord Y 100 200 300 400 500 600 700 800150 200 250 300 350 400 450 0 100 200 300 400 500 Coord X Coord Y data 200 250 300 350 400 data 200 250 300 350 400 data

(26)

0 100 200 300 400 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 distance semivariance 0 100 200 300 400 0 200 400 600 800 1000 1200 distance semivariance

variogramas para dados originais (esquerda) e ap ´os retirada de tendˆencia, com modelo ajustado (direita).

200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 Coord X Coord Y 160 218 277 336 395 200 300 400 500 600 700 800 0 100 200 300 400 500 600 Coord X Coord Y 135 310 485 660 834

Krigagem: mapas de valores preditos (esquerda) e variˆancias de predic¸˜ao

(27)

3. Quest˜

oes Centrais

• Delineamento

– quantas localizac¸˜oes? – quantas medidas?

– configurac¸˜ao das localizac¸˜oes?

– o que deve-se medir em cada localizac¸˜ao?

• Modelagem

– modelo probabil´ıstico para o sinal [S]

– modelo de probabilidade condicional para as medidas, [Y |S]

• Estimac¸˜ao

– valores para parˆametros desconhecidos do modelo

– inferˆencias sobre os parˆametros ou func¸˜oes destes

• Predic¸˜ao

– avalia-se [T |Y ], a distribuic¸˜ao condicional aos dados do objetivo de predic¸˜ao

(28)

4. “Geoestat´ıstica baseada em modelos”

O termo “Geoestat´ıstica baseada em modelos” sig-nifica que adotamos um enfoque baseado em mode-los para esta classe de problemas, o que quer dizer que comec¸amos com um modelo estoc ´astico expl´ıcito e derivamos m ´etodos de estimac¸˜ao de parˆametros, interpolac¸˜ao e suavizac¸˜ao atrav ´es da aplicac¸˜ao de princ´ıpios gerais de estat´ıstica.

Notac¸˜ao

(Yi, xi) : i = 1, ..., n

• {xi : i = 1, ..., n} ´e o plano amostral

• {Y (x) : x ∈ A} ´e o processo de medida • {S(x) : x ∈ A} ´e o processo do sinal • T = F(S) ´e o objetivo de predic¸˜ao

(29)

Modelo linear generalizado linear cl ´assico

• Yi : i = 1, ..., n

mutuamente independentes, com µi = E[Yi]

• h(µi) = Pk

j=1 fijβj, com func¸˜ao de ligac¸˜ao

conhe-cida h(·).

Modelo Linear Generalizado Mixto

• Yi : i = 1, ..., n

mutuamente independentes, com µi = E[Yi], con-ditional `as realizac¸˜oes de um conjunto de de vari ´aveis aleat ´orias latentes Ui,

• h(µi) = Pk

j=1 fijβj + Ui,

para uma func¸˜ao de ligac¸˜ao conhecida h(·). A modelo espacial (geoestat´ıstico)

• Yi : i = 1, ..., n

mutuamente independentes, com µi = E[Yi], con-ditional `as realizac¸˜oes de um conjunto de de vari ´aveis aleat ´orias latentes Ui,

• h(µi) = Ui + Pp

(30)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 locations data

simulac¸˜ao ilustrando os componentes do modelo: dados Y (xi) (pontos),

sinal S(x) (linha curva) e m´edia µ (linha horizontal).

5. O Modelo Gaussiano

(a) S(·) ´e um processo Gaussiano estacion ´ario com i. E[S(x)] = 0,

ii. Var{S(x)} = σ2

iii. ρ(u) = Corr{S(x), S(x − u)};

(b) a distribuic¸˜ao condicional de Yi dado S(·) ´e

Gaus-siana com m´edia µ + S(xi) e variˆancia τ2;

(c) Yi : i = 1, ..., n s˜ao mutuamente independentes, condicional `a S(·).

(31)

Uma formulac¸˜ao equivalente para o modelo Gaussiano:

Yi = µ + S(xi) + Zi : i = 1, ..., n.

onde Zi : i = 1, ..., n s˜ao mutuamente independentes e identicamente distribu´ıdos com Zi ∼ N(0, τ2).

Desta forma a distribuic¸˜ao conjunta de Y ´e multi-variada Normal,

Y ∼ MVN(µ1, σ2R + τ2I)

onde:

1 denota um vetor de 1’s com n elementos I ´e matrix identidade n × n

R ´e uma matrix n×n com (i, j)th elemento ρ(uij) onde uij = ||xi − xj||, ´e distancia Euclideana entre xi e xj.

(32)

6. Especificac¸˜

ao da func¸˜

ao de correlac¸˜

ao

A fam´ılia de Mat´ern

Func¸˜ao de correlac¸˜ao dada por

ρ(u) = {2κ−1Γ(κ)}−1(u/φ)κKκ(x/φ)

• κ e φ s˜ao parˆametros

• Kκ(·) denota func¸˜ao de Bessel de ordem κ

• v ´alida para φ > 0 e κ > 0. • κ = 0.5: modelo exponencial • κ → ∞: modelo Gaussiano

(33)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 distance correlation

Trˆes exemplos de func¸˜oes de Mat´ern com φ = 0.2 and κ = 1 (linha s ´olida), κ = 1.5 (linha interrom-pida) and κ = 2 (pontos).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 x y

simulac¸˜oes de processos em 1-D com func¸˜oes de correlac¸˜ao de de Mat´ern com φ = 0.2 e κ = 0.5 (linha s ´olida), κ = 1 (linha interrompida) and κ = 2 (linha pontilhada).

(34)

7. Extens˜oes do modelo b´asico

(a) Modelos Gaussianos transformados

• O modelo Gaussiano ´e claramente inapropri-ado para distribuic¸˜oes assim´etricas.

• Certos dados podem indicar relac¸˜oes entre m´edia e variˆancia, que violam o modelo Gaus-siano.

• Parˆametro extra λ da transformac¸˜ao Box-Cox introduz certa flexibilidade.

• O modelo fica ent˜ao definido da forma: – assume-se Y ∗ ∼ M V N (F β, σ2V )

– dados y = (y1, ..., yn), s˜ao gerados por uma transformac¸˜ao do modelo linear Gaussiano Y = h−1λ (Y ∗) tal que: Yi∗ = hλ(Y ) = ( (yi)λ−1 λ if λ 6= 0 log(yi) if λ = 0

(35)

(b) Efeitos Direcionais

• Condic¸˜oes ambientais podem induzir efeitos direcionais (vento, formac¸˜ao do solo, etc)

• como consequˆencia a correlac¸˜ao espacial pode variar com a direc¸˜ao

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

contornos de correlac¸˜ao para modelo isotr ´opico (esq.) e dois

mo-delos anisotr ´opicos (centro e dir.)

• anisotropia geom ´etrica: poss´ıvel (e simples)

abordagem.

• dois parˆametros extra: ˆangulo de anisotropia ψA e raz˜ao de anisotropia ψR.

(36)

“Correc¸˜ao” de anisotropia geom´etrica 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Original Space, ψ1=0°, ψ2=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Isotropic Space 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Original Space, ψ1=120°, ψ2=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 x −1.4 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Isotropic Space 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Original Space, ψ1=45°, ψ2=2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 x −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Isotropic Space 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 x

(37)

(c) Modelos n˜

ao estacion´arios

• Modelos com m ´edias n˜ao constantes

(ou, incluindo covari ´aveis)

Substituir a m´edia constante µ por µ(x) = F β =

k

X

j=1

βjfj(x)

para medidas fj(x) das covari ´aveis (lineares ou n˜ao lineares).

• Variac¸˜ao aleat ´oria n˜ao estacion ´aria

Variabilidade intr´ınsica: pressuposto mais fraco de estacionaridade (processo com incrementos estacion ´arios, como passeios aleat ´orios em s´eries temporais), largamente utilizados como modelo padr˜ao para variac¸˜ao espacial discreta (Besag, York and Moli´e, 1991).

M´etodos de deformac¸˜ao espacial (Sampson and Guttorp, 1992) buscam estacionaridade

(38)

8. Estudo de caso: chuva na Su´ıc¸a

0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 200 Coordinate X (km) Coordinate Y (km)

Localizac¸˜oes com tamanho dos pontos proporcional aos valores

observa-dos. Distˆancias em kilometros

• 467 localizac¸˜oes

• medidas de precipitac¸˜ao em 8 de Maio 1986

• dados s˜ao valores inteiros com unidade de me-dida igual ´a 1/10 mm

(39)

chuva na Su´ıc¸a (cont.)

Estimac¸˜ao parˆametros de transformac¸˜ao e suavi-dade (modelo de Mat´ern)

κ λˆ log ˆL

0.5 0.514 -2464.246 1 0.508 -2462.413 2 0.508 -2464.160

Estimativas de MV de ˆλ e valores da log-verossimilhanc¸a log ˆL para

dife-rentes valores de κ. • • • • • • • • • • • 0.40 0.50 0.60 -2466 -2465 -2464 -2463 • • • • • •• • • • • • • 0.40 0.50 0.60 -2466 -2465 -2464 -2463 • • • • •• • • • • 0.40 0.50 0.60 -2466 -2465 -2464 -2463

Verossimilhanc¸as prefilhadas para λ. esquerda: κ = 0.5, meio: κ = 1,

direita: κ = 2.

transformac¸˜ao logar´ıtimica ou n˜ao transformac¸˜ao s˜ao claramente N ˜AO indicadas!

(40)

chuva na Su´ıc¸a (cont.) • • • • • • • • • • • • • • • Distance Semi-variance 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 100 120

semivariograma emp´ırico para dados transformados e variogramas

te ´oricos com estimativas de MV para κ = 0.5 (linha interrompida), κ = 1

(41)

chuva na Su´ıc¸a (cont.)

Estimativas para modelo com λ = 0.5

κ βˆ σˆ2 φˆ τˆ2 log ˆL

0.5 18.36 118.82 87.97 2.48 -2464.315 1 20.13 105.06 35.79 6.92 -2462.438 2 21.36 88.58 17.73 8.72 -2464.185

Maximum likelihood estimates ˆβ, ˆφ, ˆσ, ˆτ and the corresponding value of

the likelihood function log ˆL for different values of the Mat´ern parameter

κ, for λ = 0.5 • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • 50 100 150 200 250 300 -2464.0 -2463.5 -2463.0 -2462.5 • • • ••• •• • • • • • • • • • • • 20 30 40 50 60 70 -2464.0 -2463.5 -2463.0 -2462.5 • • • • • • •• ••• • • • • • • • 5 6 7 8 9 -2464.0 -2463.5 -2463.0 -2462.5

Verossimilhanc¸a perfilhada para parˆametros de covariˆancia κ = 1 and

λ = 0.5. esquerda: σ2

, meio: φ, direita: τ2

(42)

chuva na Su´ıc¸a (cont.) 0 100 200 300 -100 0 100 200 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 -100 0 100 200 0 5000 10000 15000

Mapas com predic¸˜oes (esquerda) e variˆancias de predic¸˜ao (direita).

Predic¸˜ao da percentagem da ´area onde Y (x) ≥ 200: ˜A200 ´e de 0.4157 0.410 0.415 0.420 0 100 200 300 400 500 600 Amostras da preditiva de ˜A200.

Referências

Documentos relacionados

A partir dos resultados do presente estudo (redução da atividade da SOD, aumento da expressão da nNOS e hiperalgesia térmica 7 dias após a axotomia) é aceitável propor que a

No caso de variˆ ancias desconhecidas, devemos estudar duas situa¸c˜ oes diferentes: primeiro, se as variˆ ancias em quest˜ ao s˜ ao iguais, e segundo, caso elas sejam

(c) Calcule qual tempo adicional m´ aximo que a loja pode oferecer na garantia extendida de modo que essa op¸ c˜ ao n˜ ao leve a um lucro esperado inferior ao de uma venda sem

Com a tripula¸c˜ ao completa, a embarca¸c˜ ao Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com trˆ es

(b) Vocˆ e diria que os usu´ arios de telefone celular parecem ter uma taxa de incidˆ encia de cˆ ancer no c´ erebro diferente da taxa de incidˆ encia deste tipo de cˆ ancer em

(b) Para melhorar o processo, o Controle de Qualidade da empresa decidiu que apenas as pe¸cas com pesos maiores do que 1,68 kg e menores do que 2,32 kg ser˜ ao comercializadas..

Aten¸ c˜ ao: N˜ ao ser˜ ao aceitas respostas sem justificativa: as express˜ oes que levaram a alguma resposta num´ erica devem ser indicadas nos espa¸cos apropriados.. Duas

Em um grande torneio internacional, em que estas mesmas condi¸c˜ oes acontencem, o atleta precisa acertar pelo menos duas vezes na mosca, em trˆ es tentativas, para ir ` as finais..