Vibrações Mecânicas. Sistemas Contínuos. DEMEC UFPE Ramiro Willmersdorf

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Vibrações Mecânicas

Sistemas Contínuos

DEMEC – UFPE Ramiro Willmersdorf [email protected]

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Sistemas Contínuos

● Sistemas contínuos ou distribuídos

● Equações diferenciais parciais;

● Cabos, cordas, vigas, etc.;

● Membranas, placas, etc;

● Processo de análise:

– DCL de elemento infinitesimal; – Equações de equilíbrio dinâmico; – Soluções Harmônicas;

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Sistemas Contínuos

● Características:

– Infinitas frequências naturais; – Infinitos modos normais;

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Sistemas Contínuos

Vibração lateral de

um cabo tenso

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Para um elemento infinitesimal:

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Sistemas Contínuos

Introduzindo na eq. de equilíbrio

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Sistemas Contínuos

Para vibração livre

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Sistemas Contínuos

● Condições Iniciais e de Contorno

– Posição conhecida no tempo 0; – Velocidade conhecida no tempo 0;

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Sistemas Contínuos

● Condições Contorno Alternativa:

– Extremidades Pinadas;

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Sistemas Contínuos

● Condições Contorno Alternativa:

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Sistemas Contínuos

● Equação diferencial linear parcial, em x e t;

● Solução pelo método da separação de variáveis; ● A solução é um produto de funções de x apenas e t

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Para o cabo fixo em ambas as extremidades:

O que leva a:

e

A=0 e B sin

ω

l

c

=

0 W (0)=0 e W (l)=0

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Sistemas Contínuos

Equação de frequências ou característica

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Sistemas Contínuos

A solução completa para uma frequência

específica é

w_n(x ,t ):

enésimo modo normal

enésimo hamônico

enésimo modo de vibração

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Sistemas Contínuos

ω_n=n c π

l : frequência circular do enésimo modo

ω₁: frequência fundamental

τ₁=2 π_ω

1 =

2l

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Sistemas Contínuos

Os pontos para os quais

w_n(x ,t )=0, t≥0

são nós da corda.

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Sistemas Contínuos

A solução geral é dada pela superposição

de todos os modos normais:

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Sistemas Contínuos

Para um determinado conjunto de

condições iniciais:

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Exemplo

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Sabendo que

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Para uma barra uniforme

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Sistemas Contínuos

Esta equação é uma equação de onda,

completamente análoga àquela da corda em

vibração lateral.

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Sistemas Contínuos

A função U(x) depende de x apenas, e é um

modo normal, e T(t) depende apenas de t.

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Na extremidade esquerda

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Sistemas Contínuos

Os modos normais para a barra em vibração

longitudinal satisfazem

Isto é conhecido como a ortogonalidade dos

modos normais.

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Sistemas Contínuos

Verificação

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Sistemas Contínuos

Multiplicando cada equação pela outro modo

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Sistemas Contínuos

O lado direito desta equação é 0 para qualquer

combinação de condições de contorno!

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Exemplo: Barra com massa concentrada

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

● A eq. característica é uma equação

transcedental que não tem soluções analíticas; ● Para cada razão de massas, a equação tem

infinitas soluções (frequências naturais) e os correspondentes modos normais;

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

O momento de torção em uma seção é

O torque de inércia no elemento infinitesimal é

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Sistemas Contínuos

Segunda lei de Newton

Novamente

dM _t=∂ M t

∂ x dx

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Sistemas Contínuos

Para um eixo uniforme

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Condições Iniciais

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Exemplo

Considerar a extremidade esquerda fixa

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Sistemas Contínuos

Solução geral

CC: θ(0, t)=0 ⇒ A=0

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

Força de inércia no elemento de viga

Equilíbrio de forças na direção vertical

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Sistemas Contínuos

Como sempre

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Sistemas Contínuos

Introduzindo a segunda eq. na primeira

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Sistemas Contínuos

Para uma viga não uniforme então

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Sistemas Contínuos

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Sistemas Contínuos

●

2ª ordem no tempo: 2 condições iniciais;

●

4ª ordem no espaço: 4 condições de contorno;

●

Solução por separação de variáveis;

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Sistemas Contínuos

Separação de variáveis

Substituindo na eq. de movimento

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Sistemas Contínuos

A solução geral da equação temporal é

Para a eq. do espaço, supomos

o que leva a

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Sistemas Contínuos

A solução geral é então

Alternativamente

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Sistemas Contínuos

As constantes devem ser determinadas a partir das condições de contorno!

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Sistemas Contínuos

Condições de contorno usuais

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Sistemas Contínuos

Extremidade pivotada: deslocamento e momento nulos

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Sistemas Contínuos

Exemplo: Viga fixa e simplesmente apoiada Condições de Contorno

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Sistemas Contínuos

Da primeira condição

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Sistemas Contínuos

A solução torna-se

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Sistemas Contínuos

Para uma solução não trivial

Ou Ou

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Sistemas Contínuos

Cujas soluções são

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Sistemas Contínuos

Os modos normais de vibração são

A solução fica então (para uma frequência)