CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

FGV ADM

– 06/

dezembro

/2015

CPV

o C

ursinho

que

m

ais

a

prova

na

GV

MAteMátiCA APliCADA

01. Hugo executou, em sequência, três tarefas que consomem exatamente o mesmo tempo cada uma, mas fez um intervalo de 10 minutos entre a primeira e a segunda e um intervalo de 15 minutos entre a segunda e a terceira. Ele começou a primeira tarefa exatamente às 11h e terminou a segunda tarefa exatamente às 13h20. A que horas exatamente Hugo terminou a terceira tarefa?

Resolução:

Assim: 140 min = 2 ΔT + 10 ΔT = 65 min Desse modo:

15 min + ΔT = 15 + 65 = 80 min = 1h20

O horário final será 13h20 + 1h20 = 14h40

11h00 13h20 10 min

ΔT ΔT 15 min ΔT 2h20 = 140 min

02. A figura mostra o resultado expresso, em porcentagem, da pesquisa realizada por um jornal da cidade de São Paulo, em que o grupo consultado tinha de responder à pergunta:

Com qual das afirmações você mais concorda? 1a A democracia é sempre melhor.

2a Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura. 3a Tanto faz.

Fonte: Datafolha

a) Considere que, a partir de fevereiro de 2014, o gráfico da opção “A democracia é sempre melhor” possa ser representado por uma função polinomial do 1o _grau

y = ax + b , em que x = 0 representa o mês fevereiro de 2014, x = 1, o mês março de 2014, e assim por diante. Determine a função y = ax + b. Utilize os valores de y na forma inteira, por exemplo, 62 e 66 ao invés de 0,62 e 0,66.

b) Considere que, a partir de fevereiro de 2014, o gráfico da opção “Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura” possa ser expresso por uma função da forma y = a . ebx _(e

é o número de Euler), em que x = 0 representa fevereiro de 2014, x = 1, março de 2014, e assim por diante. Determine a função y = a . ebx_{. Se julgar necessário, use}

as aproximações: ln2 = 0,70; ln3 = 1,10; ln7 = 1,95. c) Qual é a maior diferença, expressa em porcentagem, entre

as opções “A democracia é sempre melhor” e “Em certas circunstâncias, é melhor uma ditadura”, no intervalo 0 ≤ x ≤ 80 meses? Utilize as aproximações que julgar necessárias.

Resolução: a) y = ax + b 62 = a (0) + b Þ b = 62 Þ y = 0,4x + 62 66 = a (10) + 62 Þ a = 0,4 b) y = a . ebx 14 = a . eb(0) _{Þ a = 14} 12 = 14 . eb(10) _{Þ e}10b ₌ 6 7 Þ Þ 10b =

l

n 2 +

l

n 3 –

l

n 7 Þ b = 0,7 + 1,1 – 1,95₁₀ Þ b = – 0,015 a = 14 Þ y = 14 . e–0,015x b = – 0,015

c) Como a primeira função é estritamente crescente e a segunda é estritamente decrescente, a diferença máxima (d) acontecerá para x = 80 meses.

Assim: d = 0,4 (80) + 62 – 14 . e–0,015 (80)

d = 32 + 62 – 14 (0,3)

d = 89,8%

P direta de seus

produtos aos consumidores: uma loja na rua e uma loja no

shopping. Após um ano, uma pesquisa mostrou os seguintes

resultados para as duas opções:

Loja de Rua Loja de Shopping

Investimento inicial

(dezembro de 2014) R$210 000,00 R$ 250 000,00 Receita anual de 2015 R$ 382 500,00 R$ 480 000,00 Custo anual de 2015 R$ 120 000,00 R$ 180 000,00

a) Determine a taxa anual de juros compostos que a editora conseguiu com o lucro obtido em relação ao investimento inicial feito na Loja de Rua.

b) Quanto deveria ter sido a mais a receita anual da Loja de Shopping para obter a mesma taxa de juro anual que a Loja de Rua? Resolução: a) L = R – C L = 382 500 – (210 000 + 120 000) L = 52 500 Assim: 210 000 . x = 52 500 Þ x = 0,25 = 25% b) L_{I = 0,25 Þ} R – C_{I = 0,25} (480 000 + x) – (180 000 + 250 000)_{250 000} = 0,25 x = 12 500 reais

3

CPV

o

C

ursinho que

M

ais

a

prova na

GV

FGV-ADM 06/12/2015

04. Rubinho dirigiu seu carro de sua casa até o aeroporto para pegar um voo. Ele dirigiu 20 km nos primeiros 20 minutos, mas percebeu que chegaria 10 minutos atrasado se continuasse na mesma velocidade média. Assim, Rubinho aumentou sua velocidade média em 20 km/h no resto do percurso e chegou ao aeroporto 10 minutos adiantado.

Qual a distância da casa de Rubinho ao aeroporto?

Resolução:

Se Rubinho dirigiu 20 km em 20 min, sua velocidade média inicial era de 1 km/min = 60 km/h.

Ao aumentar sua velocidade em 20 km/h, a sua velocidade média final passou a ser 80 km/h = 4_{3 km/min.}

Sendo x a distância percorrida no segundo trecho, temos:

4

3 = t – 10 x

Þ x = 80 km 1 = _{t + 10} x

A distância total da casa de Rubinho ao aeroporto é de 100 km.

05. Um consumidor deseja comprar um aparelho e possui dois cupons promocionais para obter descontos na compra à vista desse aparelho, mas só pode usar um dos dois cupons: · Cupom 1: 10% de desconto sobre o preço na etiqueta, se

o preço na etiqueta for, no mínimo, igual a R$ 60,00; · Cupom 2: R$ 20,00 de desconto sobre o preço na etiqueta,

se o preço na etiqueta for, no mínimo, igual a R$ 120,00. Seja x o preço na etiqueta de uma mercadoria, em reais.

a) Escreva dois modelos funcionais que representem, respectivamente, os preços a serem pagos usando-se o cupom 1 ou usando-se o cupom 2, isto é, escreva duas funções P₁(x) e P₂(x) que expressem o preço a ser pago por uma mercadoria cujo preço na etiqueta seja x reais, quando

usamos, respectivamente, o cupom 1 ou o cupom 2. b) Para que valores de x é financeiramente melhor usar o

cupom 2?

Resolução:

a) De acordo com o enunciado, temos:

P₁ (x) = 0,90 x se 60 ≤ x < 120 P₂ (x) = x – 20 se x ≥ 120

b) Devemos ter: P₂ (x) < P₁ (x)

x – 20 < 0,9x Þ 0,1x < 20 Þ x < 200

Financeiramente, é melhor usar o cupom 2 quando 120 ≤ x < 200.

a são cortados,

obtendo-se um novo sólido geométrico sem os quatro prismas retos, como o prisma indicado como exemplo na figura abaixo.

a) Qual é a área do sólido geométrico formado em termos de a?

b) Qual é o volume do novo sólido geométrico formado em termos de a?

Resolução:

a) A superfície do sólido remanescente é formada por 8 retângulos laterais de dois tipos e 2 octógonos, como os representados abaixo

4 6a 6a 4a 4a a a a a a a a a 4a 4a 4a a 2 4 2

Sendo A a área desse sólido, teremos, respectivamente:

A = 4 . a 2 . 6a + 4 . 4a . 6a + 2 [(6a)2 _{– 4 . a . a}

2 ] A = 24 a2 2+ 96a2 + 68a2

A = 4 a2 _{(6 2+ 41)}

b) Conforme o enunciado, o volume do novo sólido geométrico é igual ao volume do cubo menos a soma dos volumes dos 4 prismas, isto é:

como pontos nos lados de um ângulo reto. Acrescentando gnomos, os babilônios descobriam muitas conexões entre os números. Qual é a soma dos 100 primeiros termos da sequência de gnomos da figura abaixo?

b) Qual é a diferença de gnomos entre o centésimo primeiro e o centésimo termos da sequência da figura abaixo?

Resolução:

a) Os gnomos estão formando uma P.A. em que:

a₁ = 1; r = 2 e a₁₀₀ = 1 + 99 . 2 = 199

A soma dos 100 primeiros termos é dada por:

S₁₀₀ = (a1 + a₂100) = (1 + 199) 100₂ Þ S₁₀₀ = 10 000

A soma dos 100 primeiros termos da sequência de gnomos é 10 000.

b) Pela figura, temos: a₁= 2; a₂ = 6; a₃ = 12; a₄ = 20 ... a₂ – a₁ = 4 a₃ – a₂ = 6 a₄ – a₃ = 8 a₅ – a₄ = 10 . . . a_n – a_{n – 1} = 2 . n Portanto: a₁₀₁ – a₁₀₀ = 2 . 101 Þ a₁₀₁ – a₁₀₀ = 202

A diferença entre o 101o _{e o 100}o _{termos da sequência}

é 202.

1 3 5 7 9 11

5

CPV

o

C

ursinho que

M

ais

a

prova na

GV

FGV-ADM 06/12/2015

08. A figura abaixo mostra o trapézio U isósceles ABCD de

bases AB e DC, o segmento variável PQ paralelo a AB e o

ponto M, médio de AB.

Considere as medidas a seguir:

AB = 8, DC = 2, AD = BC = 5 e AP = x (0 < x ≤ 5) a) Calcule a área do triângulo MPQ quando x = 2.

b) Determine o valor máximo para a área do triângulo MPQ.

Resolução: a) A P D T S H R N O 1 1 1 3 3 2 x = 2 C Q M B

Seja CH ^ MB e aplicando teorema de Pitágoras no

ΔCHB temos CB2 _{= CH}2 _{+ HB}2 _{Þ 5}2 _{= CH}2 _{+ 3}2 _{Þ CH = 4} ΔCHB ~ ΔQRB Þ QR_{2 =} CH₅ Portanto, QR = 2 . 4_{5 =} 8₅ ΔCNQ ~ ΔCHB Þ NQ_{3 =} 3₅ Portanto, NQ = 9₅

Temos que PQ = 2 (NQ + ON) = 2 .

(

9_{5 + 1}

)

, isto é, PQ = 28₅ A x P D C Q M B A área do ΔPQM é A = PQ . QR₂ A = 28 5 . 85 2 = 11225 A área do triângulo MPQ é 112_{25 .} b) Temos que CH = 4 O Δ CNQ ~ Δ CHB Þ b_{5 – x =} 3_{5 Þ b =} 15 – 3x₅ O Δ QRB ~ Δ CHB Þ h_{x =} 4_{5 Þ h =} 4x₅ A área Δ PQM é A = PQ ₂. QR = (2 + 2b) h₂ =

(

2 + 30 – 6x 5

)

. 4x5 2 A = (40 – 6x) 4x₅₀ A = (20 – 3x) 4x₂₅ = – 12x_{7 +} 2 80x₂₅ A_max = y_v = – _4aΔ = – 80 25 2 – 0 4 . – 12₂₅ = 16₃

O valor máximo para a área do triângulo MPQ é 16_{3 .}

A P D C Q M B h b N H R 5 – x x

estão em uma gaveta.

a) Uma pessoa, sem conseguir ver as cores das meias, quer retirar dois pares que combinem. Quantas meias deve retirar, no mínimo, para ter certeza de conseguir os pares desejados? Pares que combinem significa que cada par deve ter duas meias com a mesma cor.

b) Se ele pretende retirar somente dois pares, qual é a probabilidade de retirar um par de meias brancas e um par de meias pretas?

Resolução:

a) Para ter certeza de retirar dois pares da mesma cor, é preciso retirar 5 meias. As possibilidades são:

B B B P (P ou B) ou P P P B (P ou B) podendo permutar as quatro primeiras.

Deve retirar, no mínimo, 5 meias para ter certeza de conseguir os pares desejados.

b) B B P P ↓ ↓ ↓ ↓

10_{20 . 19 .} 9 10_{18 . 17 .} 9 _{2! 2! =} 4! 135₃₂₃

A probabilidade de retirar um par de meias brancas e um par de meias pretas é 135_{323 .}

Formosa. Os quatro cães deverão ser distribuídos para três

petshops e nenhum dos pais (King ou Queen) poderá ficar

na mesma petshop de qualquer filhote. Não há a exigência de que toda petshop receba pelo menos um cão.

De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa distribuição?

Resolução:

As maneiras como os quatro cães podem ser divididos nos três petshops é: P₁ (K e Q) P₂ V P₃ F = 3! = 6 ou P₁ (K e Q) P₂ (V e F) P₃ x = 3! = 6 6 + 6 + 6 = 18 ou P₁ K P₂ Q P₃ (V e F) = 3! = 6

Há 18 maneiras diferentes desses cães serem distribuídos.

CoMentário Do CPV

A prova dissertativa de Matemática do Vestibular FGV-Adm dezembro-2015 mostrou-se bem elaborada, com enunciados claros e precisos.

Parabenizamos a Banca Examinadora por essa prova criativa e objetiva, que deverá atender aos anseios de uma boa seleção. O nível de dificuldade foi de médio a difícil, sendo que algumas questões tiveram nível de exigência acima do esperado. Os temas abordados foram:

01. Equação do 1o _grau

02. Funções

03. Matemática Financeira

04. Médias / interdisciplinar com Física (Cinemática) 05. Funções

06. Geometria Espacial 07. P.A.

08. Geometria Plana