Estimação e Modelagem de Volatilidade - Eduardo Ribeiro 1

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Estimando Volatilidade

Discutiremos agora diferentes métodos de estimação de volatilidade de ativos.

Volatilidade pode ser entendido como o risco de um ativo (retorno incerto).

Volatilidade é chave para precificar opções e calcular VaR.

Estimação e Modelagem de Volatilidade

-Eduardo Ribeiro 2

Estimando Volatilidade

Volatilidade do preço Ptde um ativo (σ) é medida

através de seu quadrado: V(Pt) =σ2

Uma questão importante é considerar se a volatilidade de um ativo é constante (σ) ou variável (σt) .

Estimação e Modelagem de Volatilidade -Eduardo Ribeiro

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Estimando Volatilidade

Por outro lado, estimativas de volatilidade constante no tempo variam usando dados de diferentes períodos por causa da variabilidade amostral do estimado (o estimador é, em si, uma variável aleatória, sujeita a flutuações em diferentes amostras).

-Eduardo Ribeiro ₄

Estimando Volatilidade

A volatilidade constante no tempo em geral é medida como volatilidade não condicional V(Pt) =σ2.

A volatilidade variável no tempo em geral é medida como volatilidade condicional V(Pt|Ωt-1) =σt2, onde Ωt-1representa a

informação disponível até a data t-1.

Estimando Volatilidade

Para entender melhor a questão de volatilidade constante ou variável no tempo, lembre-se do modelo AR(1) para um preço de ativo:

Pt= α + β Pt-1 + εt.

Média não condicional: E(Pt)= α/(1-β)

Média condicional: E(Pt|Ωt-1)=α+βPt-1

Três tipos de estimações de

volatilidade

1. Média Móvel (Média simples e EWMA)

2. Modelos GARCH

3. Volatilidade Implícita (em opções)

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Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

Tomando a volatilidade como variável no tempo, V(Pt) = σt2, pode ser estimada a partir de dados

históricos

A interpretação depende da crença em relação à constância da volatilidade. Se volatilidade

constante, s2_{varia por erro amostral. Se volatilidade}

variável, st2é a estimativa (viesada) de σt

n

r

s

n i t i t ₁

/

2 2

∑

= −

=

-Eduardo Ribeiro 8

Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

A janela n de dados deve ser grande para reduzir a variabilidade amostral, mas não deve incluir períodos com mudanças estruturais.

A volatilidade histórica calculada em uma janela de n dias deve ser transformada para representar a volatilidade para um período de referência de d dias.

Explo: Para n=120, e dados diários usados para obter s2 _{(volatilidade de um dia),}

Volatilidade mensal = σ(30)1/2

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Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

A razão do ajuste vem do fato que, usando log-preços, temos a seguinte relação:

r2=ln(Pt/Pt-2)=lnPt– lnPt-2

= lnPt– lnPt-1 +lnPt-1– lnPt-2= r01+r12

Generalizando: E(rk)=k E(rt)

E com isto V(rk)= k V(rt).

Ou seja,

volatilidade k dias = volatilidade 1 dia * √k

-Eduardo Ribeiro ₁₀

Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

Estimativas de volatilidade por média simples são muito influenciadas por fatores extremos, pois enquanto estiverem na janela de estimação, seu peso é igual(1/n).

Isto gerafantasmas de volatilidade.

Uma solução a este problema é ponderar observações mais antigas com peso menor que dados mais recentes.

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Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) é uma fórmula de cálculo em que st2

st2=r2t-1+r2t-2λ+r2t-3λ2 +r2t-4λ3+... +r2t-nλn-1

1+λ+λ2 ₊_λ3_{+... +}_λn-1

Como 0<λ<1, limn→∞1+λ+... +λn-1=1/(1-λ)

Podemos reescrever a fórmula como st2= ( 1–λ) Σi=i∞λir2t-i

Ou ainda de modo recursivo st2= (1–λ) r2t-1 +λst-12

-Eduardo Ribeiro ₁₂

Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

O modelost2= (1–λ) r2t-1 +λst-12

pode ser interpretado da seguinte forma:

(1–λ) r2

t-1representa a reação à choques.

λst-12 representa a persistência da série.

Quando λse aproxima de 1, a série de s2

torna-se mais suave.

No limite, λ=1 e s2_{é constante.}

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Estimação por Média Móvel

(Média simples e EWMA)

Como escolher λ?

Regra de bolso (Riskmetrics©_{): λ=0,94}

Minimizar a variância da previsão um passo a frente, onde

MSE(λ)=Σt=iT (r2t– s(λ)t2)2/T,

es(λ)_t2_{= (1–λ) r}2 t-1 +λ st-12.

Obs: No Excel, o Solver pode ser usado para encontrar λótimo.

-Eduardo Ribeiro 14

Estimação

Modelos GARCH

No modelo de EWMA não é claro se a volatilidade é variável no tempo ou constante com variabilidade amostral.

O modelo GARCH é explícito em relação a isto. GARCH é a sigla de modelo de Heterocedasticidade Condicional Autoregressiva Geral (Generalized AutoRegressive Condicional Heteroscedasticity).

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Modelos GARCH

O modelo considerado ARCH(p) (com AR(1) na média condicional) é

r_t= α + β r_t-1+ ε_t ε_t~N(0,σ2_{) e ε} t |Ωt-1~N(0,σt2) Onde E(εt2|Ωt-1)= σt2 =α0+α1εt-12+...+ αpεt-p2 com α0>0 e α1,..., αp≥0

-Eduardo Ribeiro ₁₆

Modelos GARCH

Se p→∞ , e mantendo-se um certo padrão de decaimento dos pesos αpo modelo da

variância pode ser escrito como um GARCH (p,q)

σ_t2 _=ω+α

1εt-12+...+αpεt-p2+β1σt-12+...+βqσt-q2

com ω>0, α1,..., αp≥0 e β1,...,βp≥0.

Modelos GARCH

O modelo mais comum em finanças é o GARCH (1,1)

σt2 =ω+α1εt-12+β1σt-12.

Note que a variância não condicional de εt,

quando σt2=σ2é dada por

E(εt2)= σ2 =α0+α1E(εt-12)+β1σ2

•σ2 _=α

0+α1σ2+β1σ2

•σ2 _=α

0/(1 –α1 – β1)

Modelos GARCH

Não é difícil ver que se α₁+β1=1, a volatilidade

não é finita.

Neste caso, deve-se modelar a série com EWMA, que é um caso especial de GARCH com α1+β1=1, ou seja, α1=(1-λ) e ω=0 . Este

caso especial é também chamado de I-GARCH (Integrated I-GARCH).

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Modelos GARCH

Uma medida de persistência a choques na volatilidade é dada por α₁+β1.

Uma outra medida comum é a meia-vida, que é o tempo médio para um choque se dissipar. Ela é calculada como ln(1/2)/ln(α1+β1).

-Eduardo Ribeiro 20

Estimação

Modelos GARCH

A estimação de modelos GARCH se dá por Máxima Verossimilhança.

Cuidados devem ser tomadas pela presença de outliers (valores extremos), e mudanças de regime, que podem influenciar muito as estimativas. Em particular, podem sugerir modelos I-GARCH espúrios.

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Seleção de

Modelos GARCH

Para verificar se o modelo GARCH é necessário ou se o modelo GARCH escolhido é suficiente para modelar a volatilidade do processo, recomenda-se:

1. Observar o correlograma dos resíduos ao quadrado da regressão (ou retornos ao quadrado);

2. Usar testes LM para erros ARCH em regressão (disponíveis nos vários pacotes econométricos).

-Eduardo Ribeiro ₂₂

Seleção de

Modelos GARCH

Para verificar se o modelo GARCH é necessário ou se o modelo GARCH escolhido é suficiente para modelar a volatilidade do processo, recomenda-se:

3. Observar o teste Box-Pierce dos retornos ao quadrado padronizados (rt*2= rt2/ st2, onde st2

são as estimativas da volatilidade a partir de um modelo GARCH).

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Extensões de

GARCH

Há dezenas de extensões do modelo GARCH (talvez uma centena), como por exemplo:

E-GARCH (exponencial)

GARCH in mean

A-GARCH (assimétrico)

HGARCH (heterogêneo)

MS-GARCH (Markov switching)

Etc.

-Eduardo Ribeiro ₂₄

Validação de GARCH eValue at Risk (VaR)

Outro modo de validar a estimação da volatilidade é verificar se as estimativas de Value at Risk (VaR)estão corretas.

Se a estimação da volatilidade for errônea, o VaR será superestimado ou subestimado.

O VaR é avaliado fazendo o backtesting.

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Value at Risk (VaR)

Value at Risk (VaR)pode ser definido como a probabilidade de uma perda maior ou igual a um certo valor.

VaR=Fr-1(α)

Onde F (rt) é a função distribuição do

retorno de um ativo e αuma probabilidade de perda escolhida, em geral 1% ou 2,5%.

O cálculo do VaR depende da variância. No caso de retornos Normais

VaRt=E(rt)+Zασt

-Eduardo Ribeiro 26

Backtesting

A validação do VaR é feita através de testes estatísticos:

H0: P(rt<VaR(α))=α

Ha: P(rt<VaR(α))≠α