Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estat´ıstica Inferˆencia Estat´ıstica 2 – (ET593)
Fases de uma An´alise Estat´ıstica Dados Organiza¸c˜ao Estat´ıstica Descritiva Interpreta¸c˜ao
Os Dados vˆem da amostra ou popula¸ c˜ao?
//Popula¸c˜ao
Amostra
Inferˆencia Estat´ıstica //Conclus˜ao
Inferˆencia Estat´ıstica: Conjunto de m´etodos que permitem inferir o com-portamento de uma popula¸c˜ao a partir do conhecimento da amostra.
Na primeira parte do curso, ˆenfase foi dada aos problemas de estima¸c˜ao que se subdividem em dois tipos:
• Estima¸c˜ao Pontual; • Estima¸c˜ao Intervalar.
O objetivo ´e procurar, segundo algum crit´erio especificado, valores que re-presentem adequadamente os parˆametros desconhecidos.
Na segunda parte do curso, daremos ˆenfase aos problemas de testes de hip´oteses, cujo objetivo ´e verificar a validade de afirma¸c˜oes sobre um valor
(ou valores) do(s) parˆametro(s) desconhecido(s).
Em muitas situa¸c˜oes temos interesse em tomar a decis˜ao de rejeitar ou n˜ao rejeitar determinada afirma¸c˜ao baseando-se em um conjunto de eviden-cias.
Um exemplo comum ´e o caso em que um indiv´ıduo est´a sendo julgado por determinado delito. Com base nas evidˆencias (testemunhas, fatos, etc.), o j´uri ter´a que decidir pela culpa ou inocˆencia do indiv´ıduo. Podemos, ent˜ao, concluir que o j´uri formula duas hip´oteses:
“H0 : o indiv´ıduo ´e inocente” e a alternativa
“H1 : o indiv´ıduo ´e culpado.”
Com base nas evidˆencias apresentadas, o j´uri ter´a que se decidir por H0 ou por H1. Ao tomar, por exemplo, a decis˜ao de rejeitar H0 o j´uri pode estar cometendo um erro, pois, apesar das evidˆencias, o indiv´ıduo pode ser inocente. O mesmo pode acontecer com rela¸c˜ao `a n˜ao rejei¸c˜ao da hip´otese H0 como verdadeira. Nesse caso, o j´uri estaria considerando como inocente um indiv´ıduo culpado.
Outro exemplo comum ´e o problema de se decidir sobre a eficiˆencia ou n˜ao de certa vacina utilizada no combate `a determinada doen¸ca. Os pesquisadores formulam ent˜ao as hip´oteses
“H0 : a vacina n˜ao ´e eficiente” e
“H1: a vacina ´e eficiente.”
Nesse caso, um experimento ´e planejado, envolvendo um grupo possivel-mente grande de indiv´ıduos em que uma parte (escolhida ao acaso) recebe a vacina e o restante recebe uma substˆancia in´oqua. Com base nos resul-tados desse experimento, os pesquisadores ter˜ao ent˜ao que se decidir por H0 ou H1. Novamente, n˜ao est´a descartada a possibilidade de que erros sejam cometidos ao se considerar, por exemplo, a vacina eficiente (H0 falsa) quando, na verdade, ela n˜ao o ´e (H0 ´e verdadeira), o que seria bastante prejudicial `a popula¸c˜ao.
O estat´ıstico envolvido na pesquisa deve procurar utilizar t´ecnicas que tornem m´ınima a probabilidade de se cometer erros.
Defini¸c˜ao 1. Chamamos de hip´otese estat´ıstica qualquer afirma¸c˜ao a-cerca da distribui¸c˜ao de probabilidades de uma ou mais vari´aveis aleat´orias. Denotamos por H0 (hip´otese nula) a hip´otese de interesse. Caso H0 seja rejeitada, n˜ao rejeitamos como verdadeira a hip´otese alternativa H1. Dize-mos ent˜ao que estamos testando H0 contra H1 ou H0 versus H1.
Seja θ ∈ Θ um parˆametro (escalar ou vetor) desconhecido. As hip´oteses s˜ao formuladas das seguintes maneiras: H0 : θ ∈ Θ0 versus H1 : θ ∈ Θ1, em que Θ0 ⊂ Θ, Θ1 ⊂ Θ, Θ0∩ Θ1= φ e Θ0∪ Θ1 = Θ.
Quando Θ0 ´e constitu´ıdo de um ´unico elemento (Θ0 = {θ0}), dizemos que H0 ´e simples. Caso contr´ario (se H0 possui mais de um elemento), dize-mos que H0 ´e composta. O mesmo vale para a hipotese alternativa H1.
Os problemas uniparam´etricos em que os valores de θ especificados em Θ1 podem estar somente `a direita ou somente `a esquerda dos valores especi-ficados em Θ0 s˜ao chamados de unilaterais. Ou seja,
H0: θ 6 θ0 versus H1 : θ > θ0 H0: θ > θ0 versus H1: θ < θ0. A forma mais frequente de um problema bilateral ´e:
H0: θ = θ0 versus H1: θ 6= θ0, em que θ0 ´e um valor fixo em Θ.
Ao realizarmos um teste de hip´oteses decidimos por H0 ou H1 conforme a informa¸c˜ao contida na amostra de uma popula¸c˜ao X ∼ f (x|θ). Um teste ser´a ent˜ao uma regra que, para qualquer ponto amostral (x1, · · · , xn) obtido especifica a decis˜ao a ser tomada: rejeitar H0 (o que significa n˜ao rejeitar H1) ou n˜ao rejeitar H0 (o que significa rejeitar H1).
Denotemos por χ o espa¸co amostral associado `a amostra X = (X1, · · · , Xn). Seja C0 ⊂ χ e x = (x1, · · · , xn) a amostra observada.
se x ∈ C0, rejeite H0 se x /∈ C0, n˜ao rejeite H0.
Estabelecer um teste ´e o mesmo que determinar C0. Este conjunto ´e chamado de regi˜ao cr´ıtica (regi˜ao de rejei¸c˜ao).
Ao realizarmos um teste de hip´oteses, decidimos por H0ou H1, conforme a informa¸c˜ao contida na amostra. Ao fazermos isto, estamos cometendo dois tipos de erro:
ERRO TIPO I (ETI): Rejeitar H0 dado que H0 ´e verdadeira ERRO TIPO II (ETII): N˜ao rejeitar H0 dado que H0 ´e falsa. Podemos resumir todas as poss´ıveis decis˜oes que podemos tomar atrav´es de uma tabela. Gostar´ıamos que as probabilidades de cometer os dois tipos de erros fossem nulas. Isto, em geral, n˜ao ´e poss´ıvel. Geralmente, n˜ao con-seguimos controlar simultaneamente os dois tipos de erros.
Seja X = (X1, · · · , Xn) uma amostra alea´oria, X ∼ f (x|θ), θ ∈ Θ parˆametro desconhecido (escalar ou vetor). Queremos testar as hip´oteses: H0 : θ = θ0 versus H1 : θ = θ1, atrav´es de uma regi˜ao cr´ıtica. Temos que Θ = {θ0, θ1}. (Aqui a hip´otese nula especifica um ´unico valor para θ). As probabilidades de cometer os erros tipo I e II s˜ao dadas, respectivamente. por:
α = P (ETI) = P (rejeitar H0|H0 ´e verdadeira) = P (X ∈ C0|θ = θ0) β = P (ETII) = P (N˜ao rejeitar H0|H0 ´e falsa) = P (X /∈ C0|θ), θ ∈ Θ1. Note que β ´e fun¸c˜ao de θ (β = β(θ)).
Se H0 ´e composta, ent˜ao chamamos de α, `a quantidade Supθ∈Θ0P (X ∈
C0|θ). Esta quantidade ´e chamada de tamanho (size) do teste.
Fun¸c˜ao Poder
O poder do teste ´e a probabilidade de rejeitar H0 dado que H0 ´e falsa. Observe que Π(θ0) = α.
Observa¸c˜ao: O poder ´e uma probabilidade de acerto!
Como n˜ao conseguimos controlar as duas probabilidades de erro simul-taneamente, ´e usual se fixar um valor α0 para α (este valor ´e chamado de n´ıvel de significˆancia) e procurar um teste que minimize β (ou seja, maxi-mize o poder).
Observa¸c˜ao: Como somente a probabilidade do erro tipo I ´e contro-lada, deve-se estabelecer hip´oteses de tal forma que o erro tipo I seja o erro mais grave do que o erro tipo II.
Defini¸c˜ao: Consideramos como n´ıvel descritivo, que denotamos por ˆα, como o menor n´ıvel de significˆancia para o qual a hip´otese nula H0 seria rejeitada. Observe que, se α > ˆα, rejeitamos H0 e, se α < ˆα, n˜ao rejeitamos H0.
Testes ´otimos, como os testes mais poderosos para hip´otese nula sim-ples contra alternativa simsim-ples e testes uniformemente mais poderosos para hip´oteses compostas, s˜ao obtidos utilizando o conhecido Lema de Neyman– Pearson. Situa¸c˜oes mais complexas, como o caso de hip´oteses bilaterais, s˜ao tratadas utilizando-se a estat´ıstica da raz˜ao de verossimilhan¸cas generaliza-da.
