Aula prática de Cálculo Usando a planilha Excel

(1)

Aula pr´

atica de C´

alculo

Usando a planilha Excel

Prof. Ulysses Sodr´

e

Profa. Sˆ

onia Ferreira L. Toffoli

Londrina-PR, 27 de Junho de 2007, arquivo: excel001.tex

1 Alc¸a de preenchimento no Excel

Ao selecionar as c´elulas de uma regi˜

ao, aparece

um quadradinho de cor preta no canto inferior

di-reito da regi˜

ao selecionada, denominado alc¸a de

preenchimento ou simplesmente alc¸a .

À Inserir 1 na c élula C1 e inserir 2 na c élula C2 Á Selecionar a região C1:C2 para ver algo como

Â Arrastar a alc¸a desde C2 at ´e C11.

2 Limpando c´

elulas na planilha Excel

Normalmente uma c´elula vazia n˜

ao deve ter conte ´

udo,

mas `as vezes tem.

À Digite 123 na c ´elula A1.

Á Apague o 123 com a tecla DELETE .

Â Esta c élula ficar á visualmente vazia, mas ainda con-ter á informaç ões.

Ã Limpar de fato a c ´elula A1, clicando em Editar → Limpar → Tudo .

3 Sequˆ

encias aritm´

eticas e geom´

etricas

Sequências aritméticas e geométricas aparecem em

m´etodos estat´ısticos, crescimento populacional,

de-caimento radioativo, variac¸˜

ao de temperatura em

um corpo, Matem ´atica Financeira e muitas outras

situac¸˜

oes de nossa vida.

3.1 Sequˆ

encias aritm´

eticas

Uma sequência aritmética é uma funç˜

ao f : N → R

definida por f (n) = f (1) + (n − 1)r, em que f (1) ´e o

primeiro termo, n ´e o n ´

umero de termos e r ´e a

(2)

raz˜

ao, obtida como a diferenc¸a entre um termo e

o seu antecessor na sequˆencia quando tratada no

conjunto Im(f ).

3.2 Progress˜

ao aritm´

etica finita

Constru´ımos uma PA com 15 termos, onde o primeiro

termo ´e f (1) = 7 e a raz˜

ao ´e r = 3, com:

À Inserir uma nova planilha Á Inserir 7 na c ´elula A1 .

Â Selecionar a região A1:A15 e clicar em Editar → Preencher → Seqüência .

Ã Inserir 3 na caixa vazia `a direita de Incremento: Ä Marcar o Tipo: Linear e pressionar OK .

3.3 Sequˆ

encias geom´

etricas

Sequência geométrica é uma funç˜

ao f : N → R

definida por f (n) = f (1)q

n−1

_{em que f (1) ´e o primeiro}

termo, n ´e o n ´

umero de termos e q ´e a raz˜

ao, obtida

pela divis˜

ao entre um termo e o seu antecessor na

sequˆencia.

3.4 Progress˜

ao geom´

etrica finita

Constru´ımos uma PG com 15 termos, onde o primeiro

termo ´e f (1) = 7 e a raz˜

ao ´e q = 3, com:

À Inserir uma nova planilha Á Inserir 7 na c ´elula A1

Â Selecionar a região A1:A15 e clicar em Editar → Preencher → Seqüência .

Ã Inserir 3 na caixa `a direita de Incremento: . Ä Clicar em Tipo: Crescimento e pressionar OK .

(3)

3.5 Interpolac¸˜

ao de termos em uma sequˆ

encia

Podemos inserir v ´arios n ´

umeros entre dois valores

dados, atrav´es da interpolac¸˜

ao.

Existem v ´arios

processos de interpolac¸˜

ao mas as mais comuns

s˜

ao a aritm ´etica e a geom ´etrica.

3.6 Interpolac¸˜

ao aritm´

etica

Interpolar aritmeticamente 10 n ´

umeros reais

en-tre a

1

= 7

e a

n

= 62, ´e o mesmo que construir uma

PA, com 12 termos, em que 10 termos s˜

ao postos

entre os 2 outros dados (extremos).

À Inserir uma nova planilha

Á Em A1 escrever 7 e em A12 escrever 62 . Â Selecionar a regi˜ao A1:A12 e pressionar

Editar → Preencher → Seq¨uˆencia .

Ã O Excel calcula a raz˜ao da PA e mostra Incremento: 5 . Ä Marcar Ripo: Linear e pressionar OK .

3.7 Interpolac¸˜

ao de termos geom´

etricos

Interpolar geometricamente 10 n ´

umeros reais

en-tre a

1

= 5

e a

n

= 10240, ´e similar a construir uma

PG, com 12 termos, em que 10 termos s˜

ao postos

entre os 2 outros dados (extremos).

À Inserir uma nova planilha

Á Inserir 5 na c élula A1 e 10240 na c élula A12 Â Selecionar a região A1:A12

Ã Pressionar Editar → Preencher → Seq¨uˆencia .

Ä Marcar Tendˆencia e tamb ´em Tipo: Crescimento . Å Pressionar OK .

(4)

4 Sequˆ

encias de Fibonacci

A sequˆencia de Fibonacci aparece em aplicac¸˜

oes

da Matem ática à Biologia (Filotaxia), Estética e

Beleza, aspectos geom´etricos como espirais e

out-ros. Esta sequˆencia pode ser obtida a partir de

dois valores, F (1) = 1 e F (2) = 1 e a relac¸˜

ao

lig-ando os dois primeiros termos, que para todo n

natural ´e:

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2)

Assim, F (3) = 2, F (4) = 3, F (5) = 5, · · · .

4.1 Construc¸˜

ao de sequˆ

encias de Fibonacci

Para construir uma sequˆencia de Fibonacci com

15 termos, usamos:

À Inserir uma nova planilha.

Á Inserir 1 na c élula A1 e 1 na c élula A2; Â Escrever na c élula A3: =A1+A2

Ã Selecionar A3 , arrastar a alça desde A3 at é A15 . Ä Inserir 10 na c élula B1 e 12 na c élula B2;

Å Escrever na c ´elula B3: =B1+B2

Æ Selecionar B3 , arrastar a alc¸a desde B3 at ´e B15 .

5 Arrastar planilhas no Excel

Se temos uma planilha e desejamos construir outra

com os mesmos dados, n˜

ao necessitamos digitar

de novo todas as informac¸˜

oes, basta arrastar esta

planilha para criar uma outra para realizarmos

mudanc¸as sem alterar a planilha original. O

pro-cesso de arrastar funciona assim:

À Identifique na parte inferior esquerda da sua planilha geral, algo como o que aparece na figura:

Á Com o mouse, pressione sobre a planilha Plan4 e use um dedo da m˜ao esquerda, mantendo pressionada a tecla Ctrl , ao mesmo tempo que vocˆe arrasta com o mouse a planilha Plan4 para a direita.

Â Ap ós a operaç ão acima, você ver á uma nova planilha. Ã Para renomear esta nova planilha, clique com o botão direito do mouse sobre ela e escreva o novo nome, como por exemplo, JecaTatu .

(5)

6 Somas de termos de sequˆ

encias

O Excel ´e ´otima para realizar somas de termos de

uma sequˆencia num´erica. Construiremos agora

uma sequˆencia simples.

6.1 Somas parciais de termos de uma sequˆ

encia

À Arrastar para a direita a planilha com a sequˆencia de Fibonacci.

Á Renomear a nova planilha com o nome fibo2 . Â Clicar com o mouse no corpo da planilha fibo2 . Ã Na sequência, cuidado com as posiç ões dos sinais $. Ä Escrever na c élula B1: =SOMA($A$1:A1)

Å Copiar B1 para a regi˜ao B1:B15

6.2 Somas de todos os termos de uma sequˆ

encia

À Escrever na c ´elula F4: =SOMA(A1:A15) Á Comparar os dois ´ultimos resultados obtidos.

6.3 Somas de todos os termos de uma regi˜

ao

À Escrever na c ´elula F5: =SOMA(A1:B15)

7 Limites de sequˆ

encias

A planilha Excel pode calcular limites de sequˆencias.

Por exemplo, ´e poss´ıvel obter o n ´

umero de ouro

associado `a sequˆencia de Fibonacci

À Arrastar para a direita a planilha fibo2 .

Á Renomear a nova planilha com o nome fibo3 . Â Clicar com o mouse no corpo da planilha fibo3 . Ã Inserir 10 na c ´elula B1 e 12 na c ´elula B2;

Ä Escrever na c ´elula B3: =B1+B2

Å Selecionar B3 , arrastar a alça desde B3 at é B15 . Æ Escrever na c élula C1: =A2/A1

Ç Escrever na c ´elula D1: =B2/B1

È Selecionar C1:D1 e arrastar a alc¸a desde C1:D1 at ´e C13:D13 .

A estabilidade dos valores ocorre em torno do valor

1, 618034

que ´e o N ´umero de ouro, obtido como o

limite das divis˜

oes A2/A1 e B2/B1 quando n cresce

bastante.

(6)

8 Produto de uma lista por um n ´

umero

Para multiplicar uma lista por um mesmo n ´

umero,

digamos 3,1416, deve-se ter a lista, que pode ser

qualquer uma das anteriores.

Vamos copiar a sequˆencia de Fibonacci em uma

nova planilha.

Devemos anexar um s´ımbolo $ antes da coluna,

da linha ou de ambos, para manter fixa a coluna,

a linha ou ambos os indicadores fixados.

8.1 Multiplicar uma lista por um n ´

umero

À Arrastar para a direita a planilha fibo3 . Á Renomear a nova planilha com o nome Lista . Â Clicar com o mouse no corpo da planilha Lista . Ã Construir uma sequência na região A1:A10 . Ä Escrever na c élula B1: 3,1416

Å Escrever na c ´elula C1: =$B$1*A1 Æ Copiar C1 para a regi˜ao C1:C10 .

9 Exerc´ıcios (Thomas, Vol.2)

9.1 Pag.11 - Ex.57

À Inserir 1 em A1 e inserir 51 em A2.

Á Selecionar A1:A2 a arrastar a alc¸a at ´e A20 . Â Inserir em B1: =abs(0,5ˆ(1/A1)-1)

Ã Inserir em C1: =SE(B1 < 0,001; ”OK”; ”Continua”) Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alc¸a at ´e B20:C20 .

9.2 Pag.11 - Ex.58

Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alc¸a at ´e A50 . Â Inserir em B1: =abs((A1)ˆ(1/A1)-1)

Ã Inserir em C1: =SE(B1 < 0,001; ”OK”; ”Continua”) Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alc¸a at ´e B50:C50 .

(7)

9.3 Pag.11 - Ex.59

Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alc¸a at ´e A20 . Â Inserir em B1: =(0,9)ˆ(A1)

Ã Inserir em C1: =SE(B1<0,001; ”OK”; ”Continua”) Ä Selecionar B1:C1 e arrastar a alc¸a at ´e B20:C20 .

9.4 Pag.11 - Ex.60

À Notac¸˜ao cient´ıfica: 1E-07=1x10ˆ(-7)=0,0000001 Á Inserir 1 em A1 e inserir 2 em A2.

Â Selecionar A1:A2 e arrastar a alc¸a at ´e A20 . Ã Inserir em B1: =2ˆ(A1)/fatorial(A1)

Ä Inserir em C1: =SE(B1 < 1E-07; ”OK”; ”Continua”) Å Selecionar B1:C1 e arrastar a alc¸a at ´e B20:C20 .

9.5 Pag.17 - Exemplo 7

À Inserir 3 em A1 e colocar o cursor sobre A1 .

Á Pressionar em Inserir → Nome → Definir → A → OK . Â Inserir em A2: 1 e inserir em B2: =(1/4)*A2 + A Ã Inserir em A3: =B2

Ä Copiar B2 sobre a c ´elula B3 .

Å Selecionar A3:B3 e arrastar a alc¸a at ´e A15:B15 .

9.6 Pag.19 - Ex.7 (M´

etodo de Newton)

À Estudar o Exerc.7(a) com f (x) = x2_{− A e f}0_{(x) = 2x.}

Á Inserir 3 em A1 e colocar o cursor sobre A1 .

Â Pressionar em Inserir → Nome → Definir → A → OK . Ã Inserir em A2: 1 e em B2: =A2-(A2ˆ2-A)/(2*A2) Ä Inserir em A3: =B2 e copiar B2 sobre B3 .

(8)

9.7 Pag.19 - Ex.8 (M´

etodo de Newton)

À Substituir A1=3 por A1=2 na ´ultima planilha. Á Ap ´os pressionar ENTER , analise o que aconteceu.

9.8 Pag.19 - Ex.9(a) (M´

etodo de Newton)

À Inserir em A1: 1 e em B1: =A1/2+1/A1 Á Inserir em A2: =B1 e copiar B1 sobre B2 .

Â Selecionar A2:B2 e arrastar a alc¸a at ´e A15:B15 .

9.9 Pag.19 - Ex.9(b) (M´

etodo de Newton)

À Inserir em A1: 1

Á Inserir em B1: =A1 - (tan(A1)-1)*(cos(A1)ˆ2) Â Inserir em A2: =B1 e copiar B1 sobre B2 .

Ã Selecionar A2:B2 e arrastar a alc¸a at ´e A15:B15 .

9.10 Pag.19 - Ex.9(c) (M´

etodo de Newton)

À Inserir em A1: 1 e inserir em A2: =A1 - 1 .

Á Selecionar A2 e arrastar a alc¸a sobre A2:A15 .

9.11 Pag.19 - Ex.10

À Inserir em A1: 1 e inserir em A2: =A1 + cos(A1) . Á Selecionar A2 e arrastar a alc¸a sobre A2:A15 .

9.12 Pag.20 - Ex.35 (Estudar a parte inicial)

Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alc¸a at ´e A15 . Â Inserir em B1: =1 e em C1: =B1 + 1/5ˆ(A1) Ã Inserir em B2: =C1 e copiar C1 sobre C2 .

Ä Selecionar B2:C2 e arrastar a alc¸a at ´e B15:C15 .

9.13 Pag.20 - Ex.36 (Ver a parte inicial)

À Inserir 1 em A1 e 2 em A2.

Á Selecionar A1:A2 e arrastar a alc¸a at ´e A15 . Â Inserir em B1: =1 e em C1: =A1 + (-2)ˆ(A1) . Ã Inserir em B2: =C1 e copiar C1 sobre C2 .

(9)

9.14 Pag.20 - Ex.37(a) (Ver a parte inicial)

À Inserir em A1: 0,02015 e colocar o cursor sobre A1 . Á Pressionar Inserir → Nome → Definir → r → OK .

Â Inserir em B1: 12 e colocar o cursor sobre B1 . Ã Pressionar Inserir → Nome → Definir → m → OK . Ä Inserir em C1: 50 e colocar o cursor sobre C1 . Å Pressionar Inserir → Nome → Definir → b → OK . Æ Inserir 0 em A2 e 1 em A3.

Ç Selecionar A2:A3 a arrastar a alça at é A20 . È Inserir em B2: 1000 e em B3: =(1+r/m)*B2 + b . É Selecionar B3 e arrastar a alça at é B20 .

9.15 Pag.20 - Ex. 37(b)

À Usar a ´ultima planilha constru´ıda. Á Substituir B2 por 5000 e r por 0,0589 . Â Substituir m por 12 e b por -50 .

9.16 Pag.43 - Ex. 80

Á Selecionar A1:A2 a arrastar a alc¸a at ´e A50 . Â Inserir em B1: =1/(A1ˆ3 *(sen(A1))ˆ2)

Ã Inserir em C1: =SOMA($B$1:B1)