étodos uméricos MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

Introdução

O método dos momentos é uma técnica numérica, analiticamente simples e versátil, usada para solucionar equações integrais lineares. A idéia básica associada ao MOM é reduzir uma equação integral em uma equação matricial.

Suas soluções nos casos práticos são aproximadas, porém com elevada precisão para os propósitos da engenharia.

O MOM requer grande esforço computacional, levando-o a ter limitações que são a velocidade de simulação e a capacidade de

armazenamento de dados no computador. Assim a utilização dessa

MOM

Seja a equação:

Onde:

• L é um operador qualquer (conhecido) • g é a fonte ou excitação (conhecida)

• f é o campo ou resposta (função desconhecida).

 

L f



g

A função desconhecida f é expandida em uma combinação linear de

N funções, no domínio do operador L:

1 1 2 2 1

...

N n n n n n

f



f



f



f



f







 





Onde

• _n são constantes desconhecidas

MOM

Substituindo a última equação na penúltima tem-se:

Onde, f e g são funções complexas.

 





1 1 N N n n n n n n

L



f

g



L f

g

 





_

_

_













MOM

Assumindo um produto escalar ajustável <f, g> a solução do problema indicado pode ser determinada. Para isso definem-se funções de peso

(ou de teste) da forma w₁,w₂,…,w_m, no domínio de L, e faz-se o

produto escalar da última equação para cada w_m, tem-se:

Tal equação transportada para a forma matricial gera:

 





1

,

,

1, 2,3,...,

N n m n m n

w L f

w g m

N













     

I

mn





n



g

m

 

 

 

 

 

1 1 1 1

,

,

,

,

n mn m m n

w L f

w L f

I

w L f

w L f









 















 

1

,

,

m m

w g

g

w g









 











 

n 1 n







 

 

  

 

 

MOM

Se a matriz [I_mn ] é não singular então [I_mn]-1 _{existe, assim }

n é dado

por:

com o valor de _n encontrado determina-se o valor de f.

A solução para f pode ser mais ou menos aproximada dependendo das

escolhas do tipo das funções de base e de peso, f_n e w_m,

respectivamente.

Por um lado, para se ter soluções mais exatas pode-se assumir um número maior de funções de base e de peso.

     

1 n

I

mn

g

m









         

1 n n n mn m

f



f







f



I





g

MOM

• Uma das principais tarefas na solução pelo MOM é a escolha de f_n e w_m apropriadas.

• Um caso particular, conhecido como Método de Galerkin, é quando f_n=w_m.

• A função f_n deve ser linearmente independente e escolhida de modo a aproximar a função de f relativamente bem quando for superposta. • A função w_m também deve ser linearmente independente e escolhida

de maneira tal que os produtos escalar <w_m, g> sejam relativamente independentes das propriedades de g.

• É vantajoso escolher funções de base e de peso que minimizem os esforços computacionais para o cálculo da integral e do produto escalar respectivamente.

MOM

Outros fatores a serem considerados: • Precisão da solução desejada

• Facilidade de avaliação dos elementos da matriz. • Tamanho da matriz a ser invertida .

MOM

De acordo com a equação:

têm-se N2 _{termos para avaliar. Cada termo exige duas ou mais} integrações, uma para o calculo de L(f) e uma no produto escalar.

Quando se utiliza a integração numérica uma grande capacidade computacional é requerida, ou seja, é exigido um grande tempo de simulação.

 

 

 

 

 

1 1 1 1

,

,

,

,

n mn m m n

w L f

w L f

I

w L f

w L f









 















MOM

Para diminuir o esforço computacional é possível utilizar um grupo de funções de peso que reduzem o número de integrais a serem resolvidas. Essas w_m são conhecidas como funções de teste Delta de

Dirac e são definidas como:

Onde p é a posição de referência e p_m é a posição onde a condição de contorno é forçada.

 

wm  





p pm



  





p p1

 

,



p  p2



,...







  

1 , , 1, 2,3,..., N m n m n n p p g p p L f m N      



   , f g 



f g ds 







  

1 1, 2,3,..., N m n m n n p p g ds p p L f ds m N        



    





 

1 1, 2,3,..., m _m N n n p p _{p p} n g _  L f m N   



 

MOM

Deste modo observa-se que a única integral a ser calculada é L(f_n).

Tal simplificação possibilita algumas soluções que são impraticáveis com o uso de outras funções de teste. Fisicamente o uso das funções delta de Dirac são tidas como a relaxação das condições de

contorno, que fazem com que sejam forçados pontos discretos na

MOM

Funções de Base

As funções de base que são utilizadas, na prática, nos problemas determinísticos numéricos dividem-se em duas classes. A primeira classe são as funções de subdomínio que são não nulas apenas sobre a uma parte da superfície da estrutura analisada. A segunda classe são as funções de domínio-inteiro que existem ao longo de todo o domínio da função desconhecida.

MOM

Funções de Subdomínio

São as mais comuns entre as funções de expansão. Sua vantagem reside no fato de sua utilização ser possível sem o conhecimento prévio da natureza das funções que devem representar. Ao contrário das funções de domínio-inteiro.

A abordagem dessa classe envolve a subdivisão da estrutura em N

segmentos não coincidentes. Para tornar mais claro o entendimento,

os segmentos são colineares e de igual comprimento, embora essa condição não seja necessária.

As funções f_n são definidas em conjunto com os limites de um ou

MOM

A função de base mais comum dessa classe e conceitualmente mais simples é ao pulso, definido como:

Uma vez que os coeficientes _n associados a f_n são determinados, então está função produz uma representação em escada da função desconhecida.

 

1 1 0 n n n x x x f x caso contrário          

 

n f x

 

1 1f x   2 2f

 

x

 

3 3f x  

 

n n n f x  



MOM

Outra função comum nesse grupo são as triangulares, definidas como:

O aumento das funções de subdomínio para além da função triangular não se justifica, pois a melhora da precisão não compensa, tendo em vista o aumento da complexidade computacional. Contudo outras funções podem ser usadas em casos específicos.

 

n f x

 

1 1 1 1 1 1 0 n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x f x x x x x x caso contrário          _{   }           _{ }          

MOM

Outra função comum nesse grupo são as Senoidais, definidas como:

 

















1 1 1 1 1 1 sin sin sin sin 0 n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x f x x x x x x caso contrário            _   _            _{ }        _{ }   _                

 

n f x   1 1f x   2 2f  x 3 3f x 

MOM

Também podem ser definidas funções truncadas:

 

cos 1 1 2 0 n n n n n x x x x x x f x caso contrário       _     _{   }  _{  }   _{   }  

 

n f x   1 1f x   2 2f  x _{3 3}f x 

MOM

Funções de Domínio-inteiro

São definidas não nulas ao longo de toda a estrutura considerada.

Segmentações não são utilizadas nessa classe. Uma função comum

dessa classe é a senoidal representada por:

A principal vantagem dessas funções está associada à problemas onde a função desconhecida tem inicialmente um padrão.

A representação de uma função cosseno e/ou seno de domínio-inteiro é semelhante à expansão da série de Fourier para funções arbitrárias. Por meio dessas funções é difícil modelar funções desconhecidas complicadas ou arbitrárias.

 





2

2

1

2

cos

l

x

l

l

x

n

x

f

_n



























MOM

Método do Ponto de Observação (Point Matching)

A transformação da integral na matriz é geralmente difícil em problemas práticos. Assim desenvolveu-se uma maneira simples para se obter soluções aproximadas.

A função f_n é escolhida para cada L(f_n), onde seu valor possa ser convenientemente especificado, em forma fechada preferencialmente ou numericamente.

Têm-se uma equação com N partes desconhecidas, mas somente isso não é suficiente para que seja calculado o valor da constante desconhecida _n. Para se encontrar a resposta desse último problema é necessário se obter N equações lineares independentes, o que pode ser feito por avaliação em N pontos discretos e distintos. Esse procedimento é denominado método dos pontos de observação (point

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

Considere um fio fino condutor de raio a e comprimento L (L>>a) localizado no espaço livre:

Estando o fio em um potencial V_o deseja-se determinar a densidade

de cargas ao longo do fio e os valores do campo em qualquer ponto.

Da equação de Poisson tem-se:





L L

R

dl

V

0 0 0

4





MOM - Aplicações

Para um ponto fixo Y_k no fio, tem-se:

Se y é pequeno, pode-se considerar a seguinte aproximação:

 



_



L k L

y

y

dy

y

V

0 0 0

4

1





 

 

 

 

 

























N k y k y N y y L

y

f

y

f

y

f

y

f

dy

y

f

1 2 1 0

...

MOM - Aplicações

Com o fio dividido em n segmentos de comprimento , tem-se:

=L/N = y

 



_



L k L

y

y

dy

y

V

0 0 0

4

1





N k N k k

y

y

y

y

y

y

V





























...

4

2 2 1 1 0 0

MOM - Aplicações

Sendo a densidade de carga desconhecida _k e como a equação anterior deve ser válida para todos os pontos sobre o fio, tem-se:

Funções de base: Pulso

Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching) A integral foi aproximada

N N N N N N N N N

y

y

y

y

y

y

V

y

y

y

y

y

y

V

y

y

y

y

y

y

V





















































































...

4

...

4

...

4

2 2 1 1 0 0 2 2 2 2 1 2 1 0 0 1 2 1 2 1 1 1 0 0



MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

Para os termos da diagonal principal, cuidado ! Singularidades ! Escrevendo de uma forma mais rigorosa,

tem-se:

Para minimizar a

singulariadade uma opção é: pontos de observação no centro e fonte na superfície. Proceder a avaliação da

integral de forma numérica ou fechada.

MOM - Aplicações

Como o fio é condutor, a densidade de carga superficial aparece somente na superfície. Pode-se considerar a seguinte solução:

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

De forma mais rigorosa tem-se:

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

Eletrostática: Determine a capacitância de um capacitor de placas

paralelas. Seja a = 1m, b = 1 m, d = 1m e r = 1.

Para determinar s a placa P1 foi dividida em n subáreas S₁, S₂, ..., S_n e a placa P2 em n subáreas S_n+1, S_n+2, ..., S_2n.

2

0

Q

V

Q

C

ds

q

_s











MOM - Aplicações

Assumindo que a densidade de carga é uniforme: O potencial no centro de cada subárea,Vi, é:











       i i S ij n j j S ij j S n j S i R dS R dS R dS V 2 1 ₀ 2 1 ₀ 0 4 1 4 1 4

















 





i S ij ij n j ij j i

R

dS

A

A

V

0 2 1

4

1





MOM - Aplicações

Funções de base: Pulso

Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)











      

























n j j n j n n j j n j n n j nj j n n j j j n j j j

A

V

A

V

A

V

A

V

A

V

2 1 , 2 2 2 1 , 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1

1

1

1

1

1



























































































1

1

1

2 2 1 2 , 2 2 , 2 1 , 2 2 , 2 22 21 2 , 1 12 11













n n n n n n n

A

A

A

A

A

A

A

A

A







MOM - Aplicações

Para determinar A_ij as subáreas podem estar sobre a mesma placa ou

placas diferentes.

Assumindo:

Pode-se mostrar que:

2 2 2 0

)

(

)

(

)

(

4

1

2 1 2 1 i j i j i j ij y y y x x x ij ij

z

z

y

y

x

x

R

R

dy

dx

A















 

 



1 2 1 2

x

l

y

y

x











 

j

i

R

l

R

S

A

ij ij i ij











0 2 0

4

4













i

j

l

l

A

_ii





ln

1



2





0

.

8814



0 0





MOM - Aplicações

N = 9 C= 26.51 pF N= 16 C=27.27 pF N=25 C=27.74 pF

Referencias Bibliográficas

SADIKU, M. N. O. Elemens of Eletromagnetics. 3rd ed. New York, USA: Oxford University Press. 769p.

BALANIS, C. A. Advanced Engineering Electromagnetics. 1st ed. USA: John Wiley &Sons, 981p.

HARRINGTON, R.F. Field Computation by Moment Methods. New York: IEEE Press. 225p.