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Florianópolis
Professor: BAIANO
Matrizes
1. (Udesc ) Considere as matrizes
x y 9 a 0 A , 4 16 1 = − x 2y 1 1 3 b 1 B 1 4 − 2− = e 2y 1 27 13 6 C . b 2 − 10 c − = −
A soma dos quadrados das constantes x, y, a, b e c que satisfazem
a equação matricial A 6B C− = é: a) 26 b) 4 c) 41 d) 34 e) 16
2. (Uem ) Duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, são semelhantes, se existir uma
matriz C, possuindo a mesma ordem de A e B, de determinante não nulo, tal que A C BC= −1 . Com relação a matrizes semelhantes, é correto afirmar que
01) matrizes com determinantes distintos podem ser semelhantes. 02) a matriz identidade de ordem n× n só é semelhante a si mesma.
04) se A é semelhante a B, então, necessariamente, A é semelhante a 2 B . 2
08) se C 2 1 1 1 = e 2 0 B 0 1 = , então 1 3 1 C BC 2 0 − = − . 16) se A é semelhante a B, então, 2A é semelhante a 2B.
3. (Udesc ) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que:
• aij = i + j
• bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão
geométrica de razão 2. Analise as proposições abaixo: ( ) A = AT
( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética. ( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em
progressão aritmética.
( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A − B . O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0
b) 3 c) 1 d) 2 e) 4
Página 2 de 18 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.
4. (Pucrs ) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que
os alunos resolvessem a seguinte questão: Se A 1 2 , 3 4 = então 2 A é igual a a) 1 3 2 4 b) 1 4 9 16 c) 7 10 15 22 d) 5 11 11 25 e) 5 5 25 25
5. (Uepg ) Sobre as matrizes: A = (aij)2x2, tal que aij = i – j, e B = (bij)2x3, tal que bij = i + j, assinale o que for correto.
01) A.B 3 4 5 2 3 4 − − − = 02) A2 1 0 0 1 − = −
04) A matriz B2 não existe. 08) A 1 0 1 1 0 − = − 16) det(2A) = 4.
6. (Uel ) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos. A
matriz Q fornece a quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo unitário, em reais, destes componentes.
Página 4 de 18 O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
A matriz
A (a )
=
ij 4x4, associada à tabela, possui a seguinte lei de formação: a)a
ij0, se i j
1, s e i j
≤
=
>
b)a
ij0, se i j
1, s e i j
=
=
≠
c)a
ij0, se i j
1, s e i j
≥
=
<
d)a
ij0, se i j
1, s e i j
≠
=
=
e)a
ij0, se i j
1, s e i j
<
=
>
8. (G1 - ifsc ) Sobre as propriedades da matriz transposta, considere as sentenças abaixo:
I.
(
A B+)
t =At +BtII.
( )
kA t =kAtIII.
( )
AB t =A Bt tAssinale a alternativa correta.
a) Apenas a sentença II é verdadeira. b) Apenas a sentença III é verdadeira.
c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras. e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.
9. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante dos três vértices. 02) O valor numérico de t na figura a seguir é t =60.
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04) A razão da progressão aritmética (log 10, log 100 e log 1000) é igual a 10. 08) Resolvendo o sistema matricial
3 9 5 2X Y 17 11 21 obtém se X 1 7 3 . 4 2 7 5 11 7 3X 2Y 30 21 35 − − + = − − − = − − − − + = − 16) Sendo A 2 1 e B 1 3 , 5 3 5 9 = =
então o produto entre a matriz inversa de A e a matriz transposta de B é a matriz A-1 . Bt= 0 6 .
1 7
−
10. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O elemento
a
64da matrizA (a )
=
ij de ordem8,
ondeaij ( 1)
i j2i
j
+
= −
⋅
é3.
02) O triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são: A(0,0), B(0,2) e C(10,20), tem 20 unidades de área.
04) Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: (AB)t = At Bt. 08) A matriz inversa da matriz A é a matriz A-1
1 1 1 1 2 2 A A 1 5 1 1 5 − = = − −
16) O elemento b23 da matriz B = At, onde A = (axy), de ordem 3×2 e axy = 2x +y é 8.
11. (Ufsm ) Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feijoada, uma dona de casa
resolveu pesquisar preços em três supermercados. A matriz P dos preços está representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por kg do supermercado A; a segunda, do
supermercado B; a terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, respectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola.
5 2,05 9,89 2,48 1,78 3 P 1,93 11,02 2,00 1,60 Q 2 1,70 10,80 2,40 1,20 3 = =
Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado
Página 6 de 18 a) A. b) B. c) C. d) A ou B indiferentemente. e) A ou C indiferentemente.
12. (Pucrs ) O valor de x + y, para que o produto das matrizes
1 x 2 2 A e B y 1 2 2 − = = −
seja a matriz nula, é a) - 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4
13. (Ufpr ) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz identidade de mesma
ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais б e в tais que An = бA + вI. Dada a matriz A 2 3 0 1 =
a) Encontre б e в tais que A2 = бA + вI.
b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A-1 obtém-se a expressão A = бI + вA-1. Use essa informação para calcular a matriz A-1.
14. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) Se K=(Kij) é uma matriz quadrada de ordem 2 dada por Kij=22i+j para i<j e Kij=i2+1 para i≥j, então K é uma matriz inversível.
02) Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula.
04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5 × 7 e 7 × 5. Se R = M.P, então a matriz R2 tem 625 elementos.
08) Chamamos "traço de L" e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L)=tr(Lt).
Página 7 de 18 é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é
a) -23 b) -11 c) -1 d) 11 e) 23
16. (Uel ) Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij), definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é:
a) Igual ao elemento c12
b) Igual ao produto de a23 por b23 c) O inverso do elemento c32 d) Igual à soma de a12 com b11 e) Igual ao produto de a21 por b13
17. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema x 2y 9
3x 6y 27
+ =
+ =
.
02) A matriz A = (aij)1x3, tal que aij = i -3j é A= −
[
2 −5 −8]
04) A soma dos elementos da inversa da matriz 1 10 1
é igual a 2.
08) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se At = -A, sendo At a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz
0 0 1 0 0 0 1 0 0 é antissimétrica.
16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
3 1 2 ,
[
3x 5]
, 6 1 1 0 2 x − , 19 6 32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.
Página 8 de 18 de edifícios públicos.
O diagrama a seguir representa três bairros, C1, C2, e C3, com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em quilômetros.
Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível.
A matriz X que representa as distâncias entre as localidades é dada por X = [dij] onde dij é a distância entre Ci e Cj, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3. A sequência correta é a) V - V - V. b) V - F - V. c) F - V - F. d) V - V - F. e) F - F - V.
19. (Uel ) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma
quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados.
A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:
200 fruta D 300 leite 600 cereais = ; 0,006 0,033 0,108 proteínas M 0,001 0,035 0,018 gorduras 0,084 0,052 0,631 carboidratos = a) 18,20 36,30 454,20 b) 29,70 16,20 460,20
Página 9 de 18 c) 48,30 36,00 432,40 d) 51,90 48,30 405,60 e) 75,90 21,50 411,00
20. (Ufsc ) Considere as matrizes, mostradas na figura adiante:
e determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01) A matriz A é inversível.
02) (A.B)t = Bt.At, onde At significa a matriz transposta de A.
04) O sistema homogêneo, cuja matriz dos coeficientes é a matriz A, é determinado. 08) A + C é a matriz nula de ordem 3.
16) A.C = C.A.
21. (Uel ) Sabendo-se que a matriz mostrada na figura adiante
é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é: a) -20
b) -1 c) 1 d) 13
Página 10 de 18 e) 20
22. (Ufsm ) Analise as afirmações a seguir.
I. A matriz adiante é invertível se x = 2b.
II. Se det(AB) = m, pode-se garantir que existe detA e detB. III. Se detA = m ≠ 0 e detB = 1/m, então det(AB)=1.
Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III.
23. (Ufpr ) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante.
0
1
A
1 0
=
e3
4
B
6
5
=
É correto afirmar: 01) B . A = B02) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares.
04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A . B é igual ao conjunto formado pelos elementos da matriz B.
08) det(3 . A) = det(B)
16) A matriz inversa de A é a própria matriz A.
24. (Ufpr ) Considerando a matriz A a seguir, onde a, b, c e d são números reais, é correto
afirmar: a b A c d =
01) Se a = log2(6), b = log2(3) e c = d = 1, então detA = 2. 02) Se a = b = c = d = 1, então A2 = 2A.
Página 11 de 18 08) Se a.d ≠ b.c, então A tem matriz inversa.
16) Se A é matriz identidade, então log10(detA) = 0.
25. (Uel ) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i - 3j e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y - j . O
determinante da matriz A . B é igual a a) -12
b) - 6 c) 0 d) 6 e) 12
26. (Uel ) A soma de todos os elementos da inversa da matriz M mostrada na figura é igual a
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
27. (Ufsc) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01) Se A é uma matriz de ordem n, então det(kA)=kn.detA, k∈R. 02) (At)t . A-1 = I
04) det (A + B) = det A + det B.
08) Se A é uma matriz de ordem n×m e B é de ordem m×k, então A+B é uma matriz de ordem n×k.
28. (Uel) Uma matriz quadrada A se diz ANTI-SIMÉTRICA se At=-A. Nessas condições, se a
Página 12 de 18 a) 3 b) 1 c) 0 d) -1 e) -3
29. (Uel ) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1. II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2.
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz quadrada 2x2. é verdade que
a) somente I é falsa. b) somente II é falsa. c) somente III é falsa. d) somente I e III são falsas. e) I, II e III são falsas.
30. (Ufrgs ) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados
num restaurante:
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante:
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3, está indicada na alternativa
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Gabarito:
Resposta da questão 1: [A] Como x 2y 1 6 3 6b 6 6B , 6 6 4 − 3 ⋅ = ⋅ vem x x 2y 1 y 2y 1 x x 2y 1 y 2y 1 27 13 6 9 a 0 6 3 6b 6 b 2 10 c 4 16 1 6 6 4 3 27 13 6 9 6 3 a 6b 6 . b 2 10 c 2 16 6 4 4 − − − − ⋅ − − = ⇔ − − ⋅ − ⋅ − − − = − − − ⋅ − Igualando os termos correspondentes, segue que b= −2, c= −4 e a 6b 13− = ⇔ =a 1. Além disso, x x x 2 x x 2 x 9 6 3 27 (3 ) 2 3 3 27 (3 3) 36 3 6 3 x 2 − ⋅ = ⇔ − ⋅ ⋅ = ⇔ − = ⇔ = ± + ⇒ = e y 2y 1 2y 1 2y 2 2y 2 2y 2y 16 6 4 2 10 (2 ) 2 20 1 81 2 2 4 9 1 2 2 2 y 1. − − − ⋅ = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ± − ⇒ =
Portanto, a soma pedida é
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x +y +a +b +c =2 +1 1+ + −( 2) + −( 4) =26. Resposta da questão 2: 02 + 04 + 08 + 16 = 30. (01) Falso. 1 1 1 1 1 1 1 1 A C BC AC C BCC AC C B det(AC ) det(C B) det A detB − − − − − − − − = = = = = (02) Verdadeiro. (04) Verdadeiro.
Página 15 de 18 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A C B C AAC C BBCC AAC C BB det(AAC ) det(C BB) det(AA)det(C ) det(BB)det(C ) det(A ) det(B ) − − − − − − − − − − = = = = = = (08) Verdadeiro. Sendo C 2 1 1 1 = e 2 0 B 0 1 = Temos: − = − = − = − − − 1 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 3 1 C BC 1 2 0 1 1 1 2 2 1 1 2 0 (16) Verdadeiro. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n (2A) C (2B)C (2A)C C (2B)CC (2A)C C (2B) det((2A)C ) det(C (2B)) det(2A)det(C ) det(2B)det(C ) 2 det(A) 2 det(B) − − − − − − − − − − = = = = = = Resposta da questão 3: [B] Temos que 2 3 4 A 3 4 5 4 5 6 = e 1 2 3 B 2 4 6 . 4 8 12 =
Como A é simétrica, segue que A A .= t
Os elementos da primeira linha da matriz B estão em progressão aritmética de razão 1; os da segunda linha estão em progressão aritmética de razão 2 e os da terceira linha estão em progressão aritmética de razão 4.
Calculando a matriz AB, obtemos
24 48 72 AB 31 62 93 . 38 76 114 =
Logo, os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética.
O determinante da matriz 1 1 1 C A B 1 0 1 0 3 6 = − = − − −
é dado por detC= − − + =3 3 6 0. Portanto, C não admite inversa.
Resposta da questão 4:
Página 16 de 18 Como A2= ⋅A A, segue que
2 1 2 1 2 A 3 4 3 4 1 1 2 3 1 2 2 4 3 1 4 3 3 2 4 4 7 10 . 15 22 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = Resposta da questão 5: 01 + 02 + 04 + 08 +16 = 31. Cálculos auxiliares
( )
i j 2 x 2 i j 0 1 A a / a i j A 1 0 − = = − ⇒ = e( )
i j 2x3 i j 2 3 4 B b / b i j B 3 4 5 = = + ⇒ = Item (01) – Verdadeiro 0 1 2 3 4 3 4 5 AxB x 1 0 3 4 5 2 3 4 − − − − = = Item (02) – Verdadeiro 2 0 1 0 1 1 0 AxA A x 1 0 1 0 0 1 − − − = = = − Item (04) – VerdadeiroO número de colunas da primeira é diferente do número de linhas da segunda, isto é:
(
) (
)
2 B =BxB= 2x3 x 2x3 ⇒impossível. Item (08) – Verdadeiro 1 1 0 1 1 0 Sendo A , temos : A x A 1 0 0 1 Logo : 0 1 a b 1 0 x 1 0 c d 0 1Onde, resolvendo, obtemos : 0 1 A 1 0 − − − = = − = = − Item (16) – Verdadeiro 2 det(2A) 2 x det A 4x(1) 4.= = = Resposta da questão 6: [E]
Multiplicando as matrizes, temos:
2 1 1 10
2.10 1.50 1.30
100
1 2 0 . 50
1.10 2.50 0.30
110
2 0 2
30
2.10 0.50 2.30
80
+
+
=
+
+
=
+
+
Página 17 de 18 Resposta da questão 7: [C] A expressão
a
ij0, se i j
1, s e i j
≥
=
<
representa a matriz0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
, que representa a tabela dada.
Resposta da questão 8:
[C]
I. (V) - Propriedade das matrizes; II. (V) - Propriedade das matrizes;
III. (F) - A propriedade correta é
( )
AB t =B At t.Resposta da questão 9:
02 + 16 = 18
01) (falsa) O circuncentro que é equidistantes dos vértices.
02) (verdadeira) x2 + 122 = 132 logo x = 5 e 13.t = 5.12 logo t = 60/5 04) (falsa) log 100 – log 10 = log (100/10) = log 10 = 1
08) (falsa) -4x – 2y + 3x + 2y = x = 6 18 10 5 11 7 1 7 3 34 22 42 30 21 35 4 1 7 − − − − + = − − − − − 16) (verdadeira) A-1.Bt = 3 1 1 5. 0 6 5 2 3 9 1 7 − = − − Resposta da questão 10: (01) + (16) = 17 Resposta da questão 11: [C] Resposta da questão 12: [D] Resposta da questão 13: a) α = 3 e β = -2 b) A 1 12 23 0 1 − − = Resposta da questão 14: 01 + 08 = 09 Resposta da questão 15: [C] Resposta da questão 16: [E]
Página 18 de 18 Resposta da questão 17: 02 + 16 = 18 Resposta da questão 18: [D] Resposta da questão 19: [E] Resposta da questão 20: 02 + 08 + 16 = 26 Resposta da questão 21: [B] Resposta da questão 22: [C] Resposta da questão 23: 02 + 04 + 08 + 16 = 30 Resposta da questão 24: 02 + 08 + 16 = 26 Resposta da questão 25: [C] Resposta da questão 26: [E] Resposta da questão 27: 01 + 02 = 03 Resposta da questão 28: [D] Resposta da questão 29: [B] Resposta da questão 30: [A]