n(z) = Ne mgz/k BT, 2. Na distribuição de Bose-Einstein, encontramos como peso estatístico (n i + ν i 1)! (ν i 1)!n i!

(1)

1. Num potencial gravitacional, com gravidade constante g direcionado no sentido negativo do eixo z, calcule o número médio de part´ıculas em fun¸cão da altitude. Assuma que, quando a altitude z é igual a zero, o número de part´ıculas é n(0) = N . Mostre que este número é dado por

n(z) = N e−mgz/kBT_,

que é a chamada fórmula barométrica.

2. Na distribui¸c˜ao de Bose-Einstein, encontramos como peso estat´ıstico

P =Y

i

(ni+ νi− 1)!

(νi− 1)!ni!

Mostre que a distribui¸cão mais provável é

f (Ei) =

ni

νi− 1

= 1

eα+Ei/kBT − 1

3. Na distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac, encontramos como peso estat´ıstico

P =Y

i

ni!

(νi− ni)!ni!

Mostre que a distribui¸cão mais provável é

f (Ei) =

ni

νi

= 1

eα+Ei/kBT + 1

4. Mostre que, quando a freqüência é muito baixa, fixada a temperatura T , de tal modo que hν

kBT

1

a lei de Planck se reduz `a lei de Rayleigh-Jeans.

5. Mostre que quando o termo do problema anterior é muito grande em compara¸cão com a unidade, a lei de Planck se reduz à expressão

u(ν, T ) = 8πν

2

c3 hνe

−hν/kBT

(2)

que j´a havia sido obtida por Wien (chamada de lei de Wien) por tentativa e erro.

6. Mostre que a densidade de energia da radia¸c˜ao em equil´ıbrio no interior da cavidade, `a temperatura T , dada pela integral

u(T ) = Z ∞

0

u(ν, T )dν

fornece, quando substituimos a lei de Planck para u(ν, T ), o resultado

u(T ) = σT4

onde σ = 8π

5_k4 B

15c3_h3. Vocˆe ir´a precisar da integral

Z ∞ 0 x3 ex_{− 1} = π4 15

(Observa¸cão: esta lei já havia sido obtida por Stefan e Boltzmann por meios termodinâmicos e o valor experimentalmente encontrado para σ havia sido σ = 7, 62 × 10−22 _Jcm−3_K−4_.

Note que a lei de Planck nos permite obter teoricamente este valor em fun¸c˜ao das constantes kB, h e c e o valor encontrado concorda incrivelmente com o valor experimental medido.

Esta predi¸cão pode ser considerada uma prova irrefutável da adequa¸cão das considera¸cões de Planck.)

7. Mostre, usando a lei de Planck, que, para uma dada temperatura T fixa, o m´aximo da densidade de energia se d´a para o valor

hνm´ax

kBT

= 2, 281

Use este resultado, juntamente com os valores experimentais de σ e c para obter o valor aproximado da constante de Boltzmann kB e da constante de Planck h. (Sugest˜ao: ir´a

aparecer uma equa¸c˜ao transcendental que deve ser resolvidade numericamente.)

8. Mostre que, para pequenos valores de T , o valor do calor espec´ıfico ficada dado por

cV = 3R

_hν kBT

2

e−hν/kBT

que tende para zero, quando T tende para zero. Da mesma forma, mostre que, para altas temperaturas cV → 3R.

(3)

9. Usando os valores das constantes que aparecem na express˜ao

aB =

h2_4πε 0

me2

é chamado de raio de Bohr, calcule o valor do raio de Bohr em cent´ımetros. Este valor dá uma idéia do tamanho dos átomos.

10. Usando as regras de Wilson-Sommerfeld, fa¸ca os cálculos associados ao oscilador harmônico bidimensional, com freqüências νxe νy, em princ´ıpio distintas, e mostre que a energia fica

Enx,ny,nz = nxhνx+ nyhνy

Mostre que, quando as freqüências são iguais a um mesmo valor ν0 a energia fica dada por

Enx,ny,nz = (nx+ ny) = hν0

e a degenerescˆencia pode ser calculada para cada valor de n como sendo 1

2n(n + 1)

11. Quando uma superf´ıcie é iluminada com luz de 780 nm de comprimento de onda, observa-se que a energia cinética máxima dos elétrons emitidos é de 0,37 eV. Qual a energia cinética máxima se a superf´ıcie for iluminada com luz de 410 nm de comprimento de onda?

12. Calcule a modifica¸cão do comprimento de onda de fótons espalhados por elétrons a θ = 60◦. 13. Quando há espalhamento de fótons pelos elétrons do carbono, a varia¸cão de comprimento de

onda onda, sob certo ângulo, é de 0,33 pm. Calcule o ângulo de espalhamento.

14. O comprimento de onda dos fótons no efeito Compton é medido para θ = 135◦. Se ∆λ λ for de 2,3%, qual o comprimento de onda dos fótons incidentes?

15. Compton usou f´otons com comprimentos de onda de 0,0711 nm. (a) Qual a energia desses f´otons?

(b) Qual o comprimento de onda do fóton espalhado a θ = 180◦? (c) Qual a energia dos fótons refletidos sob esse ângulo?

16. Para os fótons usados por Compton (veja o problema anterior), calcule o momento do fóton incidente e o momento do fóton espalhado sob o ângulo de 180◦_{. Use a conserva¸}_c˜_{ao do}

momento para determinar o momento de recuo do el´etron nesse caso.

17. Quantas colisões frontais no espalhamento Compton são necessárias para duplicar o compri-mento de onda de um fóton com o comprimento de onda incicial de 200 pm?

(4)

18. Um pr´oton se desloca com v = 0, 003c, onde c ´e a velocidade da luz. Calcule o comprimento de onda de de Broglie envolvido.

19. A distˆancia entre os ´ıons Li+ _{e C`}− _{em um cristal de LiC` ´}_{e de 0,257 nm. Calcule a energia}

dos el´etrons com o comprimento de onda igual a esse espa¸camento.

20. Imagine um corpo esférico de 4 g de massa se deslocando a 100 m/s. Qual o tamanho necessário da abertura para o corpo exibir os efeitos de difra¸cão? Mostre que nenhum corpo seria pequeno o suficiente para passar por tal abertura.

21. Um nêutron possui 10 MeV de energia cinética. Qual a dimensão do obstáculo capaz de proporcionar efeitos de difra¸cão do nêutron? O que poderia servir de alvo, com esse tamanho, para demostrar a natureza ondulatória dos nêutrons de 10 MeV?

22. Qual o comprimento de onda de de Broglie de um elétron cuja energia cinética é de 200 eV? Que alvos poderiam ser usados para demonstrar a natureza ondulatória de tal elétron? 23. O diâmetro da pupila da vista humana sob certas condi¸cões é cerca de 5 mm. ( É poss´ıvel

uma varia¸c˜ao de 1 mm a 8 mm). Calcule a intensidade da luz de 600 nm de comprimento de onda de forma que um f´oton por segundo atravesse a pupila.

24. Um lâmpada incadescente de 90 W irradia uniformemente em todas as dire¸cões. (a) Calcule a intensidade da luz a 1,5 m de distância.

(b) Considerando que o comprimento de onda da luz é de 650 nm, calcule o número de fótons por segundo que atingem uma superf´ıcie de 1 cm2_{de ´}_{area, orientada perpendicularmente}

aos raios luminosos da fonte.

25. Numa experiˆencia, observa-se que quando se faz incidir luz com comprimento de onda λ1

sobre o catodo de um tubo fotoelétrico a energia cinética máxima dos elétrons emitidos é de 1,8 eV. Se o comprimento de onda for reduzido a λ1

2 , a energia cinética máxima dos elétrons emitidos será de 5,5 eV. Calcule a fun¸cão trabalho φ do material do catodo.

26. Um fóton de energia E sofre o espalhamento Compton, sendo θ o ângulo envolvido. Mostre que a energia E0 do fóton espalhado é determinada por

E0= E

(E/mec2) (1 − cos θ) + 1

27. Quando uma superf´ıcie é iluminada com luz com comprimento de onda λ, a energia cinética máxima dos elétrons emitidos é 1,2 eV. Se for usado o comprimento de onda λ0 = 0, 8λ, a energia cinética máxima dos elétrons é 1,76 eV. Para o comprimento de onda λ0 _{= 0, 6λ, a}

(5)

energia cinética máxima dos elétrons emitidos é 2,676 eV. Determine a fun¸cão trabalho da superf´ıcie e o comprimento de onda λ.

28. Um laser a Ti-Sa (titânio-safira) tem um comprimento de onda de 850 nm e produz 100 milhões de pulsos de luz por segundo. Cada pulso tem uma dura¸cão de 125 femto-segundos (1 fs= 10−15 s) e contém 5 × 109 _f´_{otons. Qual a potˆ}_{encia m´}_{edia produzida pelo laser?}

29. Este problema trata da estimativa do retardo no tempo (classicamente esperado, mas n˜ao observado) no efeito fotoel´etrico. Seja 0,01 W/m2_{a intensidade da radia¸}_c˜_{ao incidente.}

(a) Se a ´area do ´atomo for 0,01 nm2_{, calcule a energia que incide no ´}_{atomo por segundo.}

(b) Se a fun¸cão trabalho for de 2 eV, quanto tempo seria necessário, no modelo clássico, para um átomo receber essa energia?

30. Um laser usado para soldar retinas descoladas emite luz com comprimento de onda igual a 652 nm através de pulsos que duram 20,0 nm. A potência média durante cada pulso é igual a 0,600 W.

(a) Qual é a energia de cada pulso em joules? E em elétron-volts? (b) Qual é o comprimento de onda do fóton?

(c) Quantos f´otons s˜ao emitidos em cada pulso?

31. O comprimento de onda predominante da luz emitida por uma lâmpada ultravioleta é 248 nm. Sabendo que a potência total emitida para esse comprimento de onda é igual a 12,0 W, quantos fótons são emitidos a cada segundo?

32. O comprimento de onda de corte para o efeito fotoelétrico em uma superf´ıcie de tungstênio é igual a 272 nm. Calcule a energia cinética máxima dos elétrons emitidos por essa superf´ıcie de tungstênio quando ela é iluminada por uma radia¸cão ultravioleta com freqüência igual a 1,45×1015_{Hz. Expressa a resposta em el´}_etron-volts.

33. (a) No efeito fotoelétrico, qual é a rela¸cão entre a freqüência de corte ν0e a fun¸cão trabalho

Φ?

(b) O comprimento de onda de corte para emissão de fotoelétrons de uma superf´ıcie metálica ´

e igual a 372 nm. Qual ´e a fun¸c˜ao trabalho para essa superf´ıcie em eV?

34. Calcule o maior e o menor comprimento de onda da série de Lyman e da série de Paschen para o átomo de hidrogênio. Em que região do espectro eletromagnético cada série se encontra? 35. Uma part´ıcula alfa de 4,78 MeV oriunda da desintegra¸cão do226Ra colide frontalmente com

(6)

(a) Qual é a menor distância entre uma part´ıcula alfa e o centro desse núcleo? Suponha que o núcleo de urânio permane¸ca em repouso e que essa menor distância seja muito maior do que o raio do núcleo de urânio.

(b) Qual é a for¸ca sobre a part´ıcula alfa no instante em que ela está mais próxima do núcleo de urânio.

36. Um átomo de hidrogênio inicialmente no n´ıvel fundamental absorve um fóton que o excita para o n´ıvel n = 4. Determine o comprimento de onda e a freqüência do fóton.

37. (a) Qual é o momento angular L do elétron no átomo de hidrogênio, em rela¸cão a uma origem no núcleo, quando o átomo está em seu n´ıvel de energia mais baixo?

(b) Repita o item (a) para o n´ıvel fundamental do He+_{. Compare o resultado com o obtido}

do item (a).

38. De acordo com o modelo de Bohr (supondo o n´ucleo em repouso), a constante de Rydberg R ´e igual a me4_/8ε2

0h3c.

a Calcule R em m−1 e compare com o valor experimental.

b Calcule a energia (em elétron-volts) de um fóton cujo comprimento de onda é igual a R−1. (Essa grandeza é chamada de energia de Rydberg.)

c Para considerar o movimento do núcleo, troque a massa do elétron m pela massa redu-zida mr para o átomo de hidrogênio e repita os itens (a) e (b).

39. O comprimento de onda vis´ıvel mais curto é aproximadamente igual a 400 nm. Qual é a temperatura de um corpo negro ideal cuja emitância espectral tenha um pico para esse comprimento de onda?

40. Determine λm, o comprimento de onda do pico da distribui¸cão de Planck e a freqüência

correspondente para as seguintes temperaturas:

(a) 3,00 K (b) 300 K (c) 3000 K

41. Um corpo negro ideal irradia com uma intensidade total I = 6, 94 MW/m2. Para qual comprimento de onda ocorre o pico da emitˆancia espectral I(λ)?

42. Um átomo de massa m emite um fóton de comprimento de onda λ. (a) Qual é a velocidade de recuo do átomo?

(7)

(b) Qual é a energia cinética K do átomo que recua?

(c) Calcule a razão K/E, onde E é a energia do fóton emitido. Quando essa razão é muito menor do que um, o recuo do átomo pode ser desprezado no processo de emissão. O recuo do átomo é mais importante para pequenas ou para grandes massas atômicas? Para comprimentos de onda longos ou curtos?

(d) Calcule K (em elétron-volts) e K/E para o átomo de hidrogênio (massa 1, 67×10−27_kg)

que emite um f´ton ultravioleta com energia de 10,2 eV. O recuo ´e um fator importante nessa emiss˜ao?

43. Um sat´elite de 20,0 kg gira em torno da Terra uma vez a cada 2,00 h numa ´orbita com raio igual a 8060 km.

(a) Supondo que o momento angular de Bohr (L = n~) se aplique para um satélite do mesmo modo que para um elétron no átomo de hidrogênio, calcule o número quântico n da órbita do satélite.

(b) Usando o resultado do momento angular de Bohr e a lei de Newton da gravita¸cão, mostre que o raio de um satélite em órbita da Terra é diretamente proporcional ao quadrado do número quântico r = kn2_{, onde k ´}_{e a constante de proporcionalidade.}

(c) Usando o resultado do item (b) determine a distância entre a órbita do satélite neste problema e a órbita adjacente “permitida”. (Calcule um valor numérico).

(d) Comente a possibilidade da observa¸cão da distância entre duas órbitas adjacentes. (e) As órbitas calculadas quanticamente concordam com as órbitas calculadas classicamente

para esse satélite? Qual é o método “correto” para o cálculo das órbitas?

44. (a) Deduza uma expressão para o deslocamento total do comprimento de onda de um fóton que sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton produzidos por elétrons inicialmente em repouso. Na primeira colisão o ângulo de espalhamento do fóton é igual a θ1 e na

segunda ´e θ2.

(b) Geralmente, quando ocorrem dois espalhamento sucessivos com ângulos iguais a θ/2, o resultado é o mesmo que ocorreria para um único espalhamento com ângulo igual a θ? Caso sua resposta seja negativa, existem valores espec´ıficos de θ, além de θ = 0◦, para os quais os deslocamentos totais sejam os mesmos?

(c) Use o resultado do item (a) para calcular o deslocamento total do comprimento de onda de um f´oton que sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton de 30◦ cada. Expresse sua resposta em termos de h/mc.

(d) Qual ´e o deslocamento do comprimento de onda produzido por um ´unico espalhamento de 60,0◦_{? Compare sua resposta com o resultado encontrado no item (c).}

(8)

45. Um fóton de raio X é espalhado por um elétron (massa m) em repouso. O comprimento de onda do fóton espalhado é λ0 e a velocidade final do elétron é igual a v.

(a) Qual era o comprimento de onda inicial do fóton? Expresse sua resposta em termos de λ0, v e m. (Dica: Use a expressão relativ´ıstica para a energia cinética do elétron.) (b) Através de qual ângulo φ o fóton é espalhado? Expresse sua resposta em termos de λ,

λ0 e m.

(c) Avalie seus resultados dos itens (a) e (b) para um comprmento de onda do f´oton esplhado igual a 5,10×10−3 _{nm e para uma velocidade final do el´}_{etron igual a 1,80×10}8 _m/s.

Forne¸ca φ em graus.

46. (a) Escreva a lei de distribui¸cão de Planck em termos da freqüência ν em vez do comprimento de onda λ para obter I(ν).

(b) Mostre que Z ∞ 0 I(λ)dλ = 2π 5_k4 15c2_h3T 4

onde I(λ) é a fórmula da distribui¸cão de Planck

I(λ) = 2πhc

2

λ5 _ehc/λkBT − 1

(Dica: Troque a variável de integra¸cão de λ para ν.) Você precisará usar a seguinte integral obtida em tabelas:

Z ∞ 0 x3 eαx_{− 1}dx = 1 240 2π α 4

(c) O resultado do item (b) ´e I, que possui a forma da lei de Stefan-Boltzmann, I = σT4_.

Calcule a constante obtida no item (b) para mostrar que σ possui valor dado σ = 5, 6705 × 10−8 W/m2_·K4_.

47. Uma grande cavidade com um orif´ıcio muito pequeno mantida a uma temperatura T constitui uma boa aproxima¸cão de um corpo negro ideal. A radia¸cão só pode entrar ou sair da cavidade através do orif´ıcio. A cavidade é um absorvedor perfeito, uma vez que a radia¸cão que incide sobre o orif´ıcio fica presa no interior da cavidade. Uma cavidade desse tipo está a 200◦ C e possui um orif´ıcio com área igual a 4,00 mm2_{. Qual ´}_{e o tempo necess´}_{ario para que essa}

cavidade irradie 100 J de energia atrav´es do orif´ıcio?

(9)

Para tais elétrons a rela¸cão λ = h/p continua válida, porém devemos usar a expressão relativ´ıstica para o momento linear, p = mv/p1 − v2_/c2_.

(a) Mostre que a velocidade de um el´eron que possui um comprimento de onda de De Broglie λ ´e dada por

v =_q c 1 + mcλ_h 2

(b) A grandeza h/mc é igual a 2, 426 × 10−12m, também chamado de comprimento de onda de Compton. Se λ é pequeno em compara¸cão com h/mc, o denominador da expressão encontrada no item (a) é aproximadamente igual a 1 e a velocidade é aproximadamente igual a c. Nesse caso, é conveniente escrever v = (1 − ∆)c e expressar a velocidade do elétron em termos de ∆ em vez de v. Encontre uma expressão para ∆ válida quando λ h/mc. (Dica: Use a série binomial (1 + z)n_{= 1 + nz + n(n − 1)z}2_{/2 + . . ., v´}_alida

para |z| < 1.)

(c) Qual deve ser a velocidade de um elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual a 1, 00×10−15m, comparável com o diâmetro de um próton? Expresse sua resposta na forma v = (1 − ∆)c, dizendo quanto vale ∆.

49. Para part´ıculas relativ´ısticas, a rela¸cão λ = h/p continua válida, porém o módulo do momento linear p é relacionado com a energia E dada pela equa¸cão: E2_{= (pc)}2_{+ (mc}2₎2_{. A energia}

cin´etica ´e dada por K = E − mc2.

(a) Mostre que o comprimento de onda de De Broglie para uma part´ıcula com energia cin´etica K e massa de repouso m ´e dado por

λ = hc

pK(K + 2mc2₎

(b) Encontre express˜oes aproximadas para λ em fun¸c˜ao de K nos casos especiais i. K mc2 _{(limite n˜}_{ao-relativ´ıstico) e}

ii. K mc2 _{(limite extremamente relativ´ıstico).}

(c) Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um pr´oton com energia cin´etica igual a 7,00 GeV.