Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA

Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA

Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA

Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO

Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo

DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

Prof. M.Sc. Antonio Sérgio Santos Oliveira

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

Atividades Complementares –

Desafios Aritméticos.

Rubens Vilhena Fonseca

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2009 -

MATERIAL DIDÁTICO

ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO

COLABORAÇÃO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

ARTE FINAL DA CAPA

REALIZAÇÃO

1º Dia

1. O muro das subtrações

Cada um dos tijolos do muro desenhado abaixo repousa sobre outros dois tijolos. O valor inscrito em cada um deles representa a diferença entre os números inscritos nos tijolos sobre os quais está apoiado. Complete os números que faltam, sabendo que na fila de baixo os dígitos de 0 a 9 só aparecem uma vez.

2. Que cachorrada!

Em uma experiência científica, os pesquisadores isolaram dez cães em celas individuais de mesmo tamanho. Mas um grupo de ativistas contrários a pesquisas com animais atacou o laboratório e quebrou dois dos painéis que confinavam os bichos. Para não invalidar a experiência, os cientistas precisam agora dispor os painéis restantes de forma a isolar os dez cachorrinhos novamente em celas de mesmo tamanho. Você saberia resolver esse problema?

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9

3. Craque preguiçoso

Hilbert é jogador de futebol, mas não gosta de treinar. Em um treinamento, o técnico fez um desenho no chão, dispôs 28 bolas e mandou Hilbert percorrer todas as linhas e chutar todas as bolas. Ajude o jogador a obedecer ao técnico com o menor esforço. Atenção: ele pode percorrer duas vezes o mesmo trajeto.

4. Somas ocultas

Preencha as casas vazias deste esquema com números de 11 a 35, colocando os ímpares nos círculos e os pares nos triângulos. Regras: a soma de uma linha

qualquer (como de A a K) sempre deve dar 115. Na casa A deve entrar o maior número ímpar e na D, o menor par. K é a soma de D com 2 e V é igual a J mais

6.

5. Que rolem os dados

Quem gosta de dados pode jogar consigo mesmo agrupando-os como no exemplo acima (onde se vê uma seqüência de 1 a 4 valendo 25 pontos). Eles não têm de estar em ordem, só alinhados na horizontal ou na vertical. Cada dado só deve entrar em uma combinação. Será que você consegue bater o recorde de

290 pontos? TABELA DE VALORES DADOS PONTOS Dois iguais 5 Três iguais 10 Dois pares 15 Quatro iguais 20 Seqüência de quatro 25 Um par mais um trio 30 Seqüência de cinco 35

Cinco iguais 40

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11

6. Fósforo manhoso

O desafio deste quebra-cabeça é fazer as contas darem certo mexendo um único palito em cada uma. E de fundir a cuca!

7. Trabalho dobrado

A máquina copiadora do Hilbert quebrou. Ele precisa de cópias do mesmo tamanho que o original, mas a tecla que faz isso (botão 100%) pifou. Hilbert contornou o problema: fez uma (tecla 50%). Ficou com 100%. Mas o botão de 50% enroscou. Hilbert deu um jeito e continuou tirando cópias de 100%. Ai pifou a tecla 250%. E não é que ele achou uma saída? Você consegue descobrir as soluções do Zé? E se quebrar o botão de 200%, como ele faz?

8. Reciclando números

Uma fábrica de copos reciclados consegue fazer um copo novo com nove copos usados. Quantas unidades podem ser produzidas a partir de 505 copos usados. Quantas unidades podem ser produzidas a partir de 505 copos usados?

9. Seqüência lógica

Em quais das casas numeradas devem entrar as duas peças ao lado? Não pode ser em linhas ou colunas que já tenham peças da mesma cor forma (quadrados, por exemplo) ou com mesmo número de objetos (barras, bolas ou quadrados).

2º Dia

10. Número da besta

Se você se impressiona com números vai achar o quadrado abaixo incrível. Ele contém 36 números primos (que só podem ser divididos por 1 ou por si mesmos) e se você somar qualquer Linha, coluna ou diagonal vai achar sempre 666, o número do demônio.

3 107 5 131 109 311

7 331 193 11 83 41

103 53 71 89 151 199

113 61 97 197 167 31

367 13 173 59 17 37

73 101 127 179 139 47

Será que você é capaz de completar o quadrado que desenhamos abaixo? Nele, as somas verticais, horizontais e diagonais devem dar sempre 34.

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13

3

13

5

11

6

12

4

14

11. Víctor tem seis pacotes com bolinhas de mesma cor e tamanho. Em um dos pacotes, cada bolinha tem 110 g; nos outros cinco, cada bolinha tem 100 g. Víctor deseja descobrir em qual dos pacotes estão as bolinhas de maior massa. Para isso, ele dispõe de uma balança como a indicada abaixo.

Fazendo uma única pesagem, como Víctor pode descobrir em qual dos pacotes estão as bolinhas de maior massa?

12. As figuras a seguir representam 21 garrafas de água sendo que sete delas estão cheias, sete estão pela metade e sete estão vazias.

Garrafas cheias

Garrafas vazias

Como podemos separar essas garrafas em três grupos de maneira que, em cada grupo fique a mesma quantidade de água e a mesma quantidade de garrafas? 13. Emily dispôs 16 moedas sobre os lados de um quadrado, como mostra a

ilustração abaixo.

Note que em cada lado desse quadrado há cinco moedas.

Como Emily pode dispor novamente essas 16 moedas de forma que em cada lado desse quadrado fiquem:

a) seis moedas? b) sete moedas? c) oito moedas?

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15

14. Recorte a figura abaixo. Em seguida, divida-a em duas partes iguais.

15. Como é possível formar, com 12 moedas, seis fileiras com quatro moedas cada uma? Dê a resposta por meio de um desenho.

16. Para cada item abaixo, escreva qual é a menor quantidade de elos que devemos cortar para que todos eles fiquem soltos?

17. DESAFIOS COM LÁPIS

Desenhe as figuras sem levantar o lápis do Papel.

Não é permitido voltar ou repassar sobre alguma linha porém, pode-se cruzar sobre elas.

3º Dia

18. Os sólidos geométricos representados abaixo possuem massas diferentes entre si. Sabe-se que:

tem o dobro da massa da ; tem o quádruplo da massa da ;

tem o dobro da massa do ;

tem a terça parte da massa do ; tem3kg.

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17

Utilizando uma balança de dois pratos coloque os pratos em equilíbrio utilizando os sólidos

19. Em uma caixa há 15 bolinhas de mesma cor e tamanho. Dessas bolinhas, 14 têm a mesma massa e uma tem massa maior que as demais.

Como é possível descobrir qual é a bolinha de maior massa utilizando uma balança de dois pratos e efetuando, no máximo, três pesagens?

20. Na balança a seguir está indicada a massa de algumas balas de mesmo tipo.

Quantas balas desse tipo há, aproximadamente, em um pacote de 1 kg?

21. Victor é um pequeno produtor e comerciante de leite. Ele armazena sua produção em 4 galões como os indicados abaixo.

Certo dia, ao terminar suas vendas, Victor decidiu repartir igualmente, entre seus três irmãos, os 30L de leite que havia restado em um dos galões.

a) Quantos litros de leite cada uma de suas irmãs recebeu?

b) Como Antônio repartiu esse leite, sabendo que ele usou como medida os galões que possui?

22. Recorte o quadrado abaixo. Em seguida, trace quatro segmentos de reta nesse quadrado, de modo que cada segmento comece no ponto médio de um de seus lados e termine em um de seus vértices.

Observação: Dois ou mais segmentos não podem terminar em um mesmo

vértice.

Agora, corte esse quadrado nos segmentos que você traçou e, com as partes obtidas, monte cinco quadrados menores.

23. Recorte a figura abaixo. Em seguida, com dois cortes retos, divida a figura em três partes de maneira que, ao encaixá-las, seja possível obter um quadrado.

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19

24. Dois homens vão fazer uma viagem de 18.000 km, de automóvel. Entretanto, os pneus em uso só agüentam 12.000 Km. Quantos pneus reservas precisam levar, no mínimo?

25. Qual o próximo número na seqüência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19...

26. Um negociante tinha dois cavalos. Vendeu o primeiro por R$ 198,00, tendo um lucro de 10%. No dia seguinte vendeu o outro por R$ 198,00 e perdeu 10%. Nos dois negócios, teve ele lucro ou prejuízo?

27. Um homem fez várias compras totalizando R$ 63,00. Sabendo que eram 6 notas de compras e nenhuma delas de R$ 1,00, como foi isto possível ?

RESPOSTAS

1º Dia

28. O muro das subtrações

29. Que cachorrada!

30. Craque preguiçoso

18, 20, 19, 17, 18, 20, 21, 13, 14, 10, 9, 5, 6, 10, 11, 7, 6, 2, 3, 7, 8, 12, 11, 15, 14, 22, 23, 15, 16, 12, 8, 4, 3, 2, 1, 5, 9, 13, 21, 22, 23, 24, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 25, 28.

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21

32. Que rolem os dados

33. Fósforo manhoso

34. Trabalho dobrado

a) 100%; 250%; 200% duas vezes b) 125%; 200% três vezes; 100%

35. Reciclando números

Ao todo, dá para fazer 63 copos reciclados. Com os 505 iniciais fabricam-se 56 reciclados e sobra um usado. Os 56, depois de usados, dão mais 6 reciclados. Sobram dois. Os 9 restantes dão mais um copo.

36. Seqüência lógica A na casa 4, B na 2

2º Dia

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

2) Para resolver esta atividade, é necessário numerar os pacotes de 1 a 6. Em seguida, deve-se retirar uma bolinha do pacote 1, duas bolinhas do pacote 2, três bolinhas do pacote 3 e assim por diante, até o sexto pacote, retirando-se ao todo 21 bolinhas. Depois, colocam-se as 21 bolinhas na balança. Se todas essas bolinhas tiverem 100 gramas cada uma, a balança indicará 2 100 gramas; porém, como em um dos pacotes cada bolinha tem 110 gramas, basta verificar em quantos gramas a massa das 21 bolinhas excede 2 100 gramas, ou seja, subtrai-se 2 100 gramas da massa obtida. Por exemplo, subtrai-se a massa encontrada fossubtrai-se de 2 130 gramas, teria-se: 2 130 g – 2 100 g = 30 g.

Nesse caso, as bolinhas de maior massa estariam no pacote 3, pois desse pacote foram retiradas três bolinhas e cada uma delas excede a massa das demais em 10g. 3) grupos garrafas 1º grupo 2º grupo 3º grupo Cheia 3 2 2 Metade 1 3 3 Vazia 3 2 2

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23 4) Uma resposta é: 5) 6)

7)

8)

3º Dia

1) Sabe-se que o cone tem 3 kg. Assim, de acordo com as dicas da atividade, o prisma tem 1,5 kg, a pirâmide tem 0,5 kg, a esfera tem 2 kg e o cubo tem 4 kg. Desse modo, a única disposição para que a balança fique em equilíbrio será:

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25

2) Uma maneira de resolver esta atividade consiste em separar as 15 bolinhas em três grupos com cinco bolinhas cada. Em seguida, coloca-se um grupo em cada prato da balança, ficando um grupo sem pesar. Dessa forma, determina-se em qual grupo estará a bolinha de maior massa: se a balança se equilibrar, a bolinha de maior massa estará no grupo que ficar sem pesar; se a balança pender para um dos lados, a bolinha de maior massa estará no prato que abaixar.

Toma-se o grupo com a bolinha de maior massa e coloca-se duas bolinhas em cada prato da balança, ficando uma sem pesar. Se a balança se equilibrar, a bolinha de maior massa será aquela que ficar sem pesar, determinando assim a bolinha de maior massa com apenas duas pesagens. Porem, se a balança pender para um dos lados, a bolinha de maior massa estará no prato que abaixar.

Novamente, toma-se o grupo com a bolinha de maior massa e coloca-se uma em cada prato. A bolinha de maior massa estará no prato que abaixar.

3) 150 balas. 4)

a) 10 L.

b) Para dividir o leite entre suas três irmãs, Antônio pode ter seguido as etapas indicadas na tabela.

Galões

Etapas 10L 17L 15L 7L

Antônio tinha: 30 0 0 0 Encheu o galão de 17L com o leite do galão de 30 L 13 17 0 0 Encheu o galão de 7L com o leite do galão de 17L 13 10 0 7 Despejou o leite do galão de 7L no galão de 30 L 20 10 0 0 Despejou o leite do galão de 17L no galão de 15 L 20 0 10 0 Encheu o galão de 17L com o leite do galão de 30L 3 17 10 0 Encheu o galão de 7L com o leite do galão de 17L 3 10 10 7 Finalmente, despejou o leite do galão de 7 L no galão de 30 L 10 10 10 0

5)

6)

7) 2 pneus.

Depois de 6.000Km coloca os 2 pneus novos, e guarda os velhos que ainda poderão rodar mais 6.000Km. Aos 12.000Km, substitui os 2 pneus que não foram trocados e que já estão totalmente gastos, pelos dois usados que ainda podem rodar os outros 6.000Km

8) 200. Todos começam com a letra d.

9) Perdeu R$ 4,00. Seu lucro no 1º cavalo foi R$ 18,00, mas perdeu R$ 22,00 no 2º cavalo.

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27

11)

Resposta: Os sacos de feijão doados ao asilo pesam 14, 15, 17, 18 e 21 kg. Solução: Chamamos de a, b, c, d e e, respectivamente, o 1º, 2º, 3º, 4º e 5º sacos,

começando do mais leve ao mais pesado. É importante observar que cada saco foi pesado quatro vezes. Portanto, se adicionarmos os resultados das dez pesagens e dividirm os o total por 4, obtemos o peso (massa) dos cinco sacos juntos, ou seja:

29 + 31 + 32 + 32 + 33 + 35 + 35 + 36 + 38 + 39

= 340 = 85 kg

4 4

Como 29 é com certeza o peso dos dois sacos mais leves, então: a + b = 29 kg e, do mesmo modo, 39 é o peso dos dois sacos mais pesados. Logo: d + e = 39 kg. Portanto, o peso do terceiro saco, o do meio, é: c = 85 kg - 29 kg - 39 kg = 17 kg.

Por outro lado, 31 kg é, sem dúvida, o peso dos sacos a e c. Assim, a = 31 - c = 31 - 17 = 14 kg.

Do mesmo modo, sabemos que 38 é o peso dos sacos c e e. Podemos pois concluir que e = 38 - c = 38 - 17 = 21 kg.

Para saber os pesos dos sacos b e d basta usar os resultados anteriores. Como a e b têm 29 kg, então b pesará 29 - 14 = 15 kg. Como d e c têm 39 kg, então d pesará 39 - 21 = 18 kg.

12)

BIBLIOGRAFIA

Problemas selecionados do Livro “100 Problemas. Sem Problema” de autoria dos professores Rubens Vilhena e Catarina Vaz, a ser publicado.