Hidrodinâmica para um Processo Zero Range Unidimensional com Dissipação de Massa na Fronteira

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Hidrodinˆ

amica para um Processo Zero

Range unidimensional com dissipa¸

c˜

ao de

massa na Fronteira

Luzia da Costa Tonon Martarelli

Rio de Janeiro

(2)

Luzia da Costa Tonon Martarelli

Hidrodinˆamica para um Processo Zero Range unidimensional com dissipa¸c˜ao de massa na Fronteira

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.

Orientador:

Glauco Valle da Silva Coelho

Departamento de M´etodos Estat´ısticos Instituto de Matem´atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

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Hidrodinˆ

amica para um processo Zero Range

unidimensional com dissipa¸

c˜

ao de massa na fronteira

Luzia da Costa Tonon Martarelli

Orientador: Glauco Valle da Silva Coelho

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.

Banca examinadora:

Glauco Valle da Silva Coelho - UFRJ (Presidente)

Maria Eul´alia Vares - UFRJ

Leandro Pinto Rodrigues Pimentel - UFRJ

Ana Patr´ıcia Carvalho Gon¸calves - PUC-RIO

(4)

`

(5)

Agradecimentos

Primeiramente agrade¸co a Deus, pela for¸ca e luz durante todo o meu percusso at´e aqui.

`

A minha fam´ılia e aos meus amores, Angelo, Luisa e Rafael pelo apoio incondicional. Te-los me fez forte e acreditar que seria poss´ıvel.

Ao programa de pós gradua¸cão de Estat´ıstica da UFRJ , por ter me aceitado pela segunda vez e principalmente ao meu orientador Glauco Valle, pela infinita paciência e disponibilidade. Aos professores do programa pelos ensinamentos .

A todos os colegas e amigos que tive oportunidade de conhecer, em especial aos meus amigos Felipe Rafael e Vinicius Israel, com os quais pude compartilhar muitos momentos de alegria e algumas tristezas durante o longo percurso.

Agrade¸co também a banca do exame, Maria Eulália Vares, Leandro Pimentel, Ana Patricia Gon¸calvez e Fábio Júlio Valentim.

Não poderia esquecer o meu grande mestre Florêncio Guimarães, da UFES, onde tudo come¸cou, quem me deu os primeiros ensinamentos e me mostrou a beleza e desafios da matemática.

`

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Resumo

O Comportamento hidrodinâmico de sistemas de part´ıculas é um problema central para a compreensão da passagem da descri¸cão microscópica para a macroscópica em modelos teóricos da mecânica estat´ıstica. O objetivo é obter teoremas limites envolvendo mudan¸cas de escala espa¸cos-temporais, lei dos grandes números para os vários campos microscópicos. O limite hidrodinâmico permite obter uma descri¸cão das caracter´ısticas termodinâmicas (temperatura, pressão, densidade) de sistemas infinitos, assumindo que a dinâmica das part´ıculas é estocástica. Um conhecido sistema de part´ıculas interagentes ´

e o processo Zero Range (ou chamado de alcance nulo) que será denotado por ZR. Informalmente o processo ZR emN = {1, 2, 3, · · · } é um processo estocástico com espa¸co de configura¸cões ZN₊ , com Z+ = {0, 1, 2, 3, · · · }, que pode ser informalmente descrito

da seguinte forma: pensamos que uma conﬁgura¸c˜ao η = (η(x))x∈N ∈ ZN representa um

estado de um sistema f´ısico onde η(x) ´e o n´umero de part´ıculas ocupando a posi¸c˜ao

x ∈ N. Para cada par de posi¸c˜oes (x, y) temos associado um rel´ogio exponencial de

taxa λ(η(x), y) quando o primeiro rel´ogio toca se ele ´e referente ao par (x, y), uma part´ıcula de pula para posi¸c˜ao y, e os rel´ogios são renovados de forma independente. O termo ZR é referente ao fato de que não existe intera¸cão em part´ıculas de s´ıtios distintos, ou seja, quando uma part´ıcula pula de x para y essa transi¸c˜ao só depende do n´umero de part´ıculas em x e n˜ao depende do n´umero de part´ıculas em y. O processo ZR simétrico entre vizinhos próximos em Z₋ = {0, −1, −2, · · · } é definido de maneira análoga. Nesta tese consideraremos um acoplamento de processos ZR, um emN e outro em Z₋ com condi¸cões de fronteira. Na fronteira ambos os processos perdem part´ıculas simultaneamente. As principais motiva¸cões para este trabalho, que serviram como base nas técnicas que utilizamos, são encontradas nos artigos de Landim e Valle (2006) e Valle (2007). Nestes artigos são considerados problemas de hidrodinâmica para sistemas não conservativos acoplados por condi¸cões de fronteira.

(7)

Abstract

The hydrodynamic behavior of particle systems is a central problem for the understanding of the passage from microscopic to macroscopic description in theoretical models of statistical mechanics. The goal is to obtain boundary theorems involving space-time scale changes, the law of large numbers for the various microscopic fields. The hydrodynamic limit allows a description of the thermodynamic characteristics (temperature, pressure, density) of infinite systems, assuming that the particle dynamics is stochastic. A known system of interacting particles is the Zero Range (or so-called zero-range) process that will be denoted by ZR. Informally the ZR process in N = 1, 2, 3, · · · is a stochastic process with configuration space ZN₊, withZ+ ={0, 1, 2, 3, · · · }, which can

be informally described as follows: we think that a conﬁguration η = (η(x))x∈N ∈ ZN

represents a state of a physical system where η(x) is the number of particles occupying the For each pair of positions (x, y) we have associated an exponential clock of rate λ(η(x), y) when the ﬁrst clock strikes if it is related to the pair (x, y), a particle jumps from x to y position, and the watches are renewed independently. The term ZR refers to the fact that there is no interaction in particles of distinct sites, that is, when a particle jumps from x to y this transition depends only on the number of particles in x and does not depend on the number of particles in y. The symmetric ZR process between neighboring neighbors in Z₋ ={0, −1, −2, · · · } is deﬁned in an analogous way. In this thesis we will consider a coupling of ZR processes, one in N and another in Z₋ with boundary conditions. At the border both processes lose particles simultaneously. The main motivations for this work, which served as a basis for the techniques we use, are found in Landim and Valle (2006) and Valle (2007) articles. In this paper, hydrodynamic problems are considered for non-conservative systems coupled by boundary conditions.

(8)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Conceitos Preliminares e Teorema Principal 3

1.0.1 O Teorema Principal . . . 5

2 O Limite Hidrodinˆamico 7 2.1 O processo transformado . . . 8

2.1.1 Hip´oteses sobre as medidas iniciais . . . 11

2.1.2 O comportamento hidrodinˆamico . . . 12

2.1.3 Passagem do Processo de Exclusão para o Processo Zero Range . 14 3 A demonstra¸cão do limite hidrodinâmico 19 3.0.4 Rigidez . . . 19

3.1 Pontos limite de QN_µN . . . 24

3.2 Unicidade de solu¸c˜oes fracas da equa¸c˜ao (2.4) . . . 34

3.2.1 Uma estimativa de energia . . . 39

A Acoplamento 44

B Cota superior para entropia relativa 52

C Cálculo da Varia¸cão Quadrática 57

(9)

Introdu¸

c˜

ao

O Comportamento hidrodinâmico de sistemas de part´ıculas é um problema central para a compreensão da passagem da descri¸cão microscópica para a macroscópica em modelos teóricos da mecânica estat´ıstica. O objetivo é obter teoremas limites envolvendo mudan¸cas de escala espa¸co-temporal, lei dos grandes números para os vários campos microscópicos. O limite hidrodinâmico permite obter uma descri¸cão das caracter´ısticas termodinâmicas (temperatura, pressão, densidade) de sistemas infinitos, assumindo que a dinâmica das part´ıculas é estocástica. Para o leitor interessado sugerimos [7] onde os resultados fundamentais da teoria de limite hidrodinâmico podem ser encontrados.

Um conhecido sistema de part´ıculas interagentes ´e o processo Zero Range (ou chamado de alcance nulo) que ser´a denotado por ZR. Informalmente o processo ZR em N =

{1, 2, 3, . . .} é um processo estocástico com espa¸co de configura¸cões Z+N, com Z+ =

{0, 1, 2, 3, . . .}, que pode ser informalmente descrito da seguinte forma: pensamos que

uma conﬁgura¸c˜ao η = (η(x))x∈N ∈ Z+N representa um estado de um sistema f´ısico onde

η(x) ´e o número de part´ıculas ocupando a posi¸c˜ao x∈ N. Para cada par de posi¸cões (x, y) temos associado um rel´ogio exponencial de taxa λη(x),y, quando o 1o relógio toca se ele é

referente ao par (x, y), uma part´ıcula de x pula para posi¸cão y, e os rel´ogios são renovados de forma independente. O termo ZR é referente ao fato de que não existe intera¸cão em part´ıculas de s´ıtios distintos, ou seja, quando uma part´ıcula pula de x para y essa transi¸c˜ao só depende do n´umero de part´ıculas em x e n˜ao depende do n´umero de part´ıculas em y. O processo ZR simétrico entre vizinhos próximos em Z₋ ={0, −1, −2, . . .} é definido de maneira análoga. Nesta tese consideraremos um acoplamento de processos ZR, um em N e outro em Z− com condi¸cões de fronteira.

As principais motiva¸cões para este trabalho, que serviram como base nas técnicas que utilizamos, são encontradas nos artigos de Landim e Valle [10] e Valle [12], o primeiro apresenta um modelo microscópico para a equa¸cão de Stefan através de um sistema de part´ıculas interagentes chamado processo de exclusão com condi¸cões de fronteira; no artigo de Valle, ele identifica o modelo de Potts por uma descri¸cão de um fenômeno

(10)

microscópico, acoplamento de dois processos: o de exclusão e o Zero Range, com condi¸cões de fronteira, e impõe ao sistema mudan¸cas de escala sobre o espa¸co e tempo. Outra motiva¸cão para este trabalho é o artigo de Funaki e Sasada [3], no qual os autores mostram um limite hidrodinâmico para os diagramas de Young, pois poderiamos considerar o processo em questão na forma de diagrama de Young.

No cap´ıtulo 1 fazemos a descri¸cão do nosso estudo, é enunciado o limite hidrodinâmico a ser provado. No cap´ıtulo 2 é dada a transforma¸cão que será usada para provar o limite hidrodinâmico, transformaremos o processo ZR num processo de exclusão onde resultados são conhecidos e que facilitará a demonstra¸cão. Já na subse¸c˜ao 2.1.1 s˜ao dadas hipóteses para as medidas iniciais, na se¸c˜ao 2.1.2 ´e enunciado o limite hidrodinâmico para o processo de exclusão associado e na se¸c˜ao 2.1.3 mostraremos a passagem do processo de Exclusão para o processo Zero Range. O cap´ıtulo 3 trata da demonstra¸cão do teorema do limite hidrodinâmico para o processo transformado. A demonstra¸cão desse teorema ´

e dividida em 3 partes. Mostramos na se¸c˜ao 3.0.4 que uma sequˆencia de probabilidades associadas aos processos microscópicos é r´ıgida. Depois, na se¸c˜ao 3.1 que os limites são caracterizados como probabilidades concentradas em trajetórias de medidas que são absolutamente cont´ınuas em rela¸cão à medida de Lebesgue. Por último mostramos a unicidade da solu¸cão fraca de uma EDP.

(11)

Cap´ıtulo 1

Conceitos Preliminares e Teorema

Principal

Inicialmente considere um processo Zero Range (ZR) em Z, ou seja, um processo estocástico com espa¸co de configura¸cões Z+Z que pode ser informalmente descrito da

seguinte forma: pensamos que uma conﬁgura¸c˜ao η = (η(x))x∈Z ∈ Z+Z representa um

estado de um sistema f´ısico onde η(x) ´e o n´umero de part´ıculas ocupando a posi¸c˜ao

x ∈ Z. Para cada par de posi¸c˜oes (x, y) temos associado um rel´ogio exponencial de

taxa λη(x),y, quando o 1o rel´ogio toca se ele ´e referente ao par (x, y), uma part´ıcula de

x pula para a posi¸cão y, e os rel´ogios são renovados de forma independente. O termo ZR é referente ao fato de que não existe intera¸cão em part´ıculas de s´ıtios distintos, ou seja, quando uma part´ıcula pula de x para y essa transi¸c˜ao só depende do número de part´ıculas em x e n˜ao depende do n´umero de part´ıculas em y. Aqui vamos considerar

λη(x),y=            1 2, se η(0) > 0 e y =−1, x = 0, 1 2, se η(x) > 0 e y = x− 1 ou y = x + 1, x ∈ Z − {0, 1} 1 2, se η(1) > 0 e y = 2, x = 1,

0, caso contr´ario.

Obtemos assim dois processos ZR simétricos entre vizinhos próximos independentes emN eZ₋, ou seja, o destino de uma part´ıcula que deixa o s´ıtio x é um dos vizinhos próximos de x (x− 1 ou x + 1), sendo a escolha feita com igual probabilidade. Além disso, não é permitido cruzamento por part´ıculas do elo 0− 1.

(12)

vizinhos próximos, em N e em Z₋. Este processo é composto da dinâmica acima sobrepondo-se uma dinâmica adicional a que foi descrita acima. Esta é a seguinte: Se o ZR em N possui o s´ıtio 1 ocupado e o ZR em Z₋ possui o s´ıtio 0 ocupado, então cada um dos s´ıtios 0 e 1 perde uma part´ıcula após um tempo exponencial de parâmetro 1 independente dos tempos de salto.

O objetivo é mostrar que este processo tem limite hidrodinâmico em escala difusiva, ou seja, que o comportamento macroscópico deste processo é descrito por solu¸cões de uma equa¸cão diferencial parcial com condi¸cões de fronteira. O interessante é a perda de part´ıculas na fronteira entre as posi¸cões 0 e 1. Isto gera condi¸cões de fronteira não lineares na equa¸cão hidrodinâmica que representam o comportamento macroscópico do sistema que dificultam a prova do limite hidrodinâmico.

Seja Ω =Z+Z o espa¸co das conﬁgura¸c˜oes. Denote por δ(k) a fun¸c˜ao

δ(k) =

{

1, se k̸= 0, 0, se k = 0,

e para x∈ {0, 1}, ex ´e uma conﬁgura¸c˜ao com apenas uma part´ıcula em x e nenhuma nos

outros s´ıtios.

Para cada f : Ω→ R dependendo de um número finito de coordenadas, o gerador do processo Zero Range com fronteira fixa entre 0 e 1 é dado por:

Lf (η) = ∑ x≤−1 1 2δ(η(x))[f (η x,x+1 )− f(η)] + ∑ x≤−1 1 2δ(η(x + 1))[f (η x+1,x )− f(η)] +∑ x≥1 1 2δ(η(x))[f (η x,x+1₎_{− f(η)] +}∑ x≥1 1 2δ(η(x + 1))[f (η x+1,x₎_{− f(η)] + ( L} F)f (η),

onde LF ´e a parte do gerador relacionada `a caracter´ıstica dissipativa do sistema,

( LFf )(η) = δ(η(0))δ(η(1)){f(η − e0− e1)− f(η)}, e ηx,y(z) =        η(z), se z ̸= x, y, η(x)− 1, se z = x, η(y) + 1, se z = y,

(13)

se η(x) > 0.

Como as intera¸cões são locais, o gerador está bem definido, ver [13]. Portanto, existe um processo estoc´astico (ηt)t≥0 sobre o espa¸co de configura¸cões ZZ+.

1.0.1 O Teorema Principal

Nota¸c˜ao:

• Um sub´ındice na fun¸cão sempre denotará uma variável, não uma diferencia¸cão. Por

exemplo, Hs(u) denota H(s, u).

• ˙Ds = ∂sDs

• DN_{(t) ´}_{e o n´}_{umero de part´ıculas que o sistema perde at´}_{e o tempo t, divido por N .}

• Derivadas parciais ser˜ao indicadas pelo s´ımbolo ∂ e a derivada segunda na

coordenada espacial ser´a denotada por ∆.

Para ρ > 0, seja νρ uma distribui¸c˜ao geom´etrica de m´edia ρ sobre ZZ+, como medida de

referˆencia para todo o sistema.

Fixe uma sequˆencia de medidas de probabilidade{νN _{: N} ≥ 1} sobre P(Ω), o espa¸co

de medidas de probabilidade sobre Ω. Para provar o comportamento hidrodinˆamico do sistema assumiremos que

(E1) νN ´e estocasticamente limitada superiormente por νρpara algum ρ > 0 constante.

(E2) Existe uma fun¸c˜ao cont´ınua limitada ρ :R → R+ tal que a sequˆencia (νN)N≥1 ´e

uma medida produto emZZ₊cujas marginais são geométricas de média variável dada por ρ(·) de forma que η(x) tem distribui¸cão Geom

( 1 ρ(x/N )+1 ) , se η tem distribui¸c˜ao νN_{. Em particular (ν}N₎

N≥1est´a associada a um perﬁl inicial limitado ρ :R → [0, 1],

isto ´e, para cada δ > 0 e cada fun¸c˜ao cont´ınua G :R → R com suporte compacto

lim N→∞ν N[ 1 N ∑ x∈Z G(x/N )η(x)− ∫ +∞ −∞ duG(u)ρ(u) > δ ] = 0.

Fixe T > 0 e denote por PN

νN a probabilidade sobre D([0, T ],ZZ₊) induzida pelo processo

de Markov ηN_t com gerador N2 L e com distribui¸c˜ao inicial νN. A esperan¸ca com respeito a PN_νN ser´a denotada por EN_νN.

(14)

Teorema 1.1. Fixe uma sequˆencia de medidas de probabilidade {νN : N ≥ 1} sobre

P(Ω) satisfazendo (E1) e (E2) com perfil inicial cont´ınuo limitado ρ0 : R → R+. Seja

D : [0, T ]→ R+ uma fun¸cão de varia¸cão limitada. Para cada fun¸cão cont´ınua G :R → R

com suporte compacto e cada δ > 0

lim N→∞P N νN ( 1 N ∑ x∈Z G(x/N )ηtN2(x)− ∫ _∞ −∞ G(u)ρ(t, u)du > δ ) = 0,

onde ρ : [0, T ]× R → R+ ´e unicamente determinada por ρ(t, u) = _ζ(t,M−11 (t,u)) − 1, e

M (t, B) =∫_−BB ζ(t, u)du com ζ sendo a ´unica solu¸c˜ao fraca da EDP

                 ∂tζ = 1₂△ζ − ˙Dt∂uζ, u > 0, ∂tζ = 1₂△ζ + ˙Dt∂uζ, u < 0, ˙ Dt= ∂uζ(t, 0+) =−∂uζ(t, 0−), ζ(t, 0+)ζ(t, 0−) = 0, ζ(0, u) = ζ0(u). (1.1)

onde ζ0 :R → [0, 1] é uma fun¸cão mensurável, chamada perfil inicial de densidade.

No cap´ıtulo seguinte descreveremos as técnicas que serão usadas na demonstra¸cão deste teorema.

(15)

Cap´ıtulo 2

O Limite Hidrodinˆ

amico

Para tratar este problema consideraremos uma aplica¸cão na qual cada s´ıtio (vazio ou n˜ao) no ZR ser´a considerado um s´ıtio vazio na Exclusão e cada part´ıcula será considerada um s´ıtio ocupado. Logo, teremos um acoplamento de dois processos de exclusão, um para a direita e outro para a esquerda da fronteira. Esta identifica¸cão é dada por uma aplica¸cão que associa cada η∈ Z+Z a configura¸c˜ao ξ ∈ {0, 1}Z dada por

ξ(x) =

{

0, x =∑n_z=1η(z) + n com n≥ 1 ou x = −(∑0_z=_−nη(z) + n) com n≥ 0,

1, caso contr´ario,

Como um exemplo podemos observar as ﬁguras 2.1 e 2.2 a seguir.

(16)

Figura 2.2: Processo de exclus˜ao associado ao ZR em Z.

Os parágrafos seguintes são para explicar as rela¸cões no enunciado do Teorema 1, onde ρ ´e constante. Como um exemplo, considere uma sequˆencia inicial (ν(x))x∈Z de

medidas produto cujas marginais são distribui¸cões geométricas de m´edia ρ de parˆametro 1− α independentes e identicamente distribuidas. Sabemos que E(Geom(1 − α)) = ρ, mas por outro lado, E(Geom(1− α)) = ₁_−α1 − 1. Logo, a rela¸cão entre ρ e α é dada por

ρ = ₁_−α1 − 1. Outra hip´otese sobre estas medidas iniciais ´e que νN

ρ (x) ´e estocasticamente

limitada por uma distribui¸cão geométrica de m´edia ρ∗, onde ρ∗ = max{ρ}. Logo, pela transforma¸cão usada para levar o ZR na Exclus˜ao, tem-se que, νN

ρ ´e levada

na medida µN

α (medida de Bernoulli de parˆametro α) tal que µNα ´e estocasticamente

limitada por µN_α∗ , onde α∗ = arg maxα{ρ = ₁_−αα }.

2.1 O processo transformado

Seja agora o espa¸co das configura¸cões eΩ = {0, 1}Z. O gerador do Processo de Exclusão associado ao nosso processo ZR é dado por

L = L1+ L2+ LT,

onde L1 e L2 s˜ao as partes do gerador relacionadas ao movimento de part´ıculas num

processo de exclus˜ao simples sim´etrico sobre Z₋ e N respectivamente:

L1 = ∑ x≤−1 Lx,x+1, L2 = ∑ x≥1 Lx,x+1, com Lx,x+1f (ξ) = 1 2ξ(x)(1− ξ(x + 1)[f(ξ x,x+1₎_{− f(ξ)]} +1 2ξ(x + 1)(1− ξ(x)[f(ξ x+1,x₎_{− f(ξ)]}

(17)

e ξx,x+1(y) =        ξ(y), se y̸= x, x + 1, ξ(x)− 1, se y = x, ξ(x + 1) + 1, se y = x + 1,

para cada f : eΩ −→ R dependendo de um n´umero ﬁnito de coordenadas e cada x ∈ Z.

LT é a parte relacionada às transla¸cões:

LT(f (ξ)) = ξ(0)ξ(1){f(τ±1(ξ− ϱ0− ϱ1))− f(ξ)} onde (τ_±1ξ)(x) = { ξ(x− 1), se x < 0, ξ(x + 1), se x > 1,

e x ∈ {0, 1}, ϱx ´e uma conﬁgura¸c˜ao com apenas uma part´ıcula em x e nenhuma nos

outros s´ıtios.

L ´e um gerador de um processo de Feller, porque satisfaz as condi¸cões em [11]. Então, associado ao gerador L, existe um processo de Feller (ξt)t≥0 no espa¸co de configura¸cões

eΩ.

Consideraremos aqui a generaliza¸cão deste modelo, ou seja, consideraremos um processo de exclusão com condi¸cões de fronteira, onde são permitidos saltos de tamanho M. Seja p(·) uma probabilidade de transi¸cão simétrica com alcance finito M sobre Z,

p(z) = p(−z) ∀z ∈ Z e p(z) = 0, se |z| > M. Deﬁnimos um processo de exclus˜ao sobre Z

associado a p(·), que é um processo com espa¸co de configura¸cões eΩ, cuja evolu¸cão pode ser descrita da seguinte maneira: inicialmente cada s´ıtio de Z pode estar ou não ocupado por uma part´ıcula, cada part´ıcula do sistema aguarda, independentemente de qualquer outra part´ıcula, um tempo exponencial de parâmetro 1 e naquele tempo ele escolhe outro s´ıtio de acordo com p(·) e salta para o s´ıtio escolhido se ele não está ocupado. Além disso há condi¸cões de fronteira: part´ıculas do lado direito da fronteira não podem saltar para a esquerda da mesma, e vice-versa. O gerador do novo processo é

Lf ξ(x) =

M

∑

i=−M

(18)

Para cada i = 1, . . . , M , Li =

∑

y>0Ly,y+i e L−i =

∑

y≤−iLy,y+i. Onde para cada fun¸c˜ao

local f : Λ→ R e cada inteiro y,

(Ly,y+if )(ξ) = f (ξy,y+i)− f(ξ).

Para o nosso caso temos,

Liξ(x) = p(i)

∑

y>0

[ξ(y)(1− ξ(y + i))(ξy,y+i(x)− ξ(x)) + ξ(y + i)(1 − ξ(y))(ξy+i,y(x)− ξ(x))],

L_−iξ(x) = p(i) ∑

y≤−i

[ξ(y)(1− ξ(y + i))(ξy,y+i(x)− ξ(x)) + ξ(y + i)(1 − ξ(y))(ξy+i,y(x)− ξ(x))],

LTξ(x) = { ξ(0)ξ(1)(ξ(x + 1)− ξ(x)), se x ≥ 1, ξ(0)ξ(1)(ξ(x− 1) − ξ(x)), se x ≤ 0. . (2.1) Al´em disso, ξy,y+i(x)− ξ(x) =                  1, se y = x, ξ(y) = 0 e ξ(y + i) = 1, −1, se y = x, ξ(y) = 1 e ξ(y + i) = 0, 1, se y = x− i, ξ(x) = 0 e ξ(x − i) = 1, −1, se y = x − i, ξ(x) = 1 e ξ(x − i) = 0,

0, caso contr´ario ,

.

Fazendo alguns c´alculos elementares, observamos que

Liξ(x) = { p(i){ξ(x − i) − 2ξ(x) + ξ(x + i)}, se x ≥ i + 1, p(i){ξ(x + i) − ξ(x)}, se x = 1, . . . , i, (2.2) L_−iξ(x) = {

p(i){ξ(x − i) − 2ξ(x) + ξ(x + i)}, se x ≤ −i,

p(i){ξ(x + i) − ξ(x)}, se x =−i + 1, −i + 2, . . . , −1, 0.(2.3)

(19)

suporte compacto G :R → R, N2L⟨πN, G⟩ = σ 2 2 ⟨π N_{, ∆} NG⟩ + ξ(0)ξ(1)N[⟨πN, H1⟩ − ⟨πN, H2⟩] + ξ(0)ξ(1)∇NG(0) + M ∑ i=1 ip(i) { _i ∑ y=1 ξ(y)− −1 ∑ y=−i+1 ξ(y) } ∇NG(0) + o(1/N ),

onde σ2 = ∑M_i=1i2p(i) e H1(u) = ∇G(u)I(−∞,0](u), H2(u) = ∇G(u)I[1,+∞)(u). Este

cálculo será usado mais adiante, assim como o cálculo da varia¸cão quadrática do processo, que também se encontra no apêndice.

2.1.1 Hip´

oteses sobre as medidas iniciais

Dadas duas medidas µ, ν sobre eΩ, denotamos por H(µ|ν) a entropia relativa de µ com respeito a ν: H(µ|ν) = sup f {∫ f dµ− log ∫ efdν } ,

onde o supremo é tomado sobre todas as fun¸cões mensuráveis cont´ınuas limitadas sobre eΩ.

Para 0 < α < 1, seja µα a medida produto Bernoulli de parˆametro α sobre eΩ para

todo o sistema.

Fixe uma sequˆencia de medidas de probabilidade{µN _{: N} _{≥ 1} sobre P(eΩ), o espa¸co}

de medidas de probabilidade sobre eΩ. Para provar o comportamento hidrodinˆamico do sistema assumiremos que

( fE1) µN ´e estocasticamente limitada superiormente por µα para algum 0 < α < 1.

( fE2) A sequˆencia (µN)N≥1 est´a associada a um perﬁl inicial mensur´avel e limitado ζ0 :

R → [0, 1], isto ´e, para cada δ > 0 e cada fun¸c˜ao cont´ınua G : R → R com suporte compacto, lim N→∞µ N[ 1 N ∑ x∈Z G(x/N )ξ(x)− ∫ +∞ −∞ duG(u)ζ0(u) > δ ] = 0.

(20)

2.1.2 O comportamento hidrodinˆ

amico

Seja D([0, T ],M) o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas à direita com limites à esquerda sobre M dotada da topologia Skorohod. Analogamente definimos D([0, T ], eΩ). Para cada medida de probabilidade µ sobre eΩ, denote por PN

µ a medida de probabilidade

sobre D([0, T ], eΩ) induzida pelo processo de Markov (ξt)t≥0 com gerador L acelerado

por N2 _{com medida inicial µ, e por} _EN

µ, o valor esperado com respeito a medida PNµ.

Enunciamos com o seguinte teorema o limite hidrodinˆamico.

Teorema 2.1. Fixe uma sequˆencia de medidas de probabilidade {µN _{: N} ≥ 1} sobre

P(eΩ) satisfazendo ( eE1)− ( eE3) com perfil inicial mensur´avel e limitado ζ0 :R → R. Para

cada fun¸c˜ao cont´ınua G :R → R com suporte compacto, cada δ > 0 e t > 0

lim N→∞P N µN ( 1 N ∑ x∈Z G(x/N )ξt(x)− ∫ +∞ −∞ G(u)ζ(t, u)du > δ ) = 0, lim N→∞P N µN(D N (t)− D(t)> δ)= 0,

onde (ζ, D) : ([0, T ]× R) × [0, T ] → [0, 1] × R+ é a solu¸cão fraca da equa¸cão

                 ∂tζ = σ2△ζ − ˙Dt∂uζ, u > 0, ∂tζ = σ2△ζ + ˙Dt∂uζ, u < 0, ˙ Dt= ∂uζ(t, 0+) =−∂uζ(t, 0−), ζ(t, 0+)ζ(t, 0−) = 0, ζ(0, u) = ζ0(u), (2.4)

onde ζ : [0, T ] × R → [0, 1] é uma fun¸cão mensurável, chamada perfil de densidade variando em t∈ [0, T ], σ2 ₌∑

i∈Z+i

2_{p(i) =}∑

i∈Z₋i2p(i).

Uma solu¸cão fraca de (2.4) é uma fun¸cão mensur´avel ζ : [0, T ]× R → [0, 1] e uma fun¸cão de varia¸c˜ao limitada D : [0, T ]→ R+ tal que para cada G∈ C01,2([0, T )× R) com

G(., 0) = 0, vale que ∫ T 0 ds ∫ R ζ(s, u)∂sG(s, u)dudt + σ2 2 ∫ T 0 ds ∫ R ζ(s, u)△Gdudt + ∫ T 0 ∫ R ˙ Dsζ(s, u)∂uG(s, u)dudt + ∫ R

duG(0, u)ζ0(u)−

σ2

2 ∫ T

0

(ζ(t, 0+)− ζ(t, 0−))∂uG(t, 0)dt = 0.

Seguimos uma adapta¸cão do método de entropia de Guo, Papanicolau, Varadhan [4], semelhante aquelas usadas em [10] e [12] para sistemas não conservativos. O modelo

(21)

considerado impõe algumas dificuldades adicionais, mas juntas as técnicas empregadas em [12] e [10] podem ser usadas e adaptadas para nosso caso.

Na próxima se¸cão mostraremos a passagem do processo de exclusão para o processo Zero Range, ou seja, que o teorema 2.1 implica teorema 1.1.

(22)

2.1.3 Passagem do Processo de Exclus˜

ao para o Processo Zero

Range

Nesta se¸cão provaremos o Teorema 1.1 a partir do Teorema 2.1. Para isto temos que mostrar que escolhendo (νN)_N≥1, como definida na se¸c˜ao 1.0.1, satisfazendo (E1) e (E2) temos que (µN)N≥1, como definida na se¸c˜ao 2.1.1 (µN ´e a medida imagem de νN)

pela aplica¸cão que leva o zero range na exclusão), satisfaz ( fE1)-( fE3). Considere t fixo.

Precisamos mostrar que para toda G :R → R cont´ınua com suporte compacto

lim N→∞P N νN ( 1 N ∑ x∈Z G(x/N )ηtN2(x)− ∫ G(t, u)ρ(t, u)du > δ ) = 0, (2.5)

para ρ(t,·) : R −→ R+ deﬁnida como ρ(t, u) = _ζ(t,M−11 _(t,u)) − 1, onde M(t, B) =

∫B

−Bζ(t, u)du e ζ satisfaz 2.4.

Inicialmente n˜ao vamos considerar fun¸c˜oes cont´ınuas, mas sim da forma G =I_[_{− e}_B,B]. Logo, temos que mostrar

lim N→∞P N νN   N1 BN ∑ x=− eBN ηtN2(x)− ∫ B − eB ρ(t, u)du > δ   = 0. (2.6)

Observe que, considerando B =∫₀Aζ(t, u)du e eB =∫_{− e}0_Aζ(t, u)du, pelo Teorema 2.1

1 N BN ∑ x=− eBN η_tN2(x) = 1 N −1 ∑ x=− eBN η_tN2(x) + 1 N BN ∑ x=0 η_tN2(x) ≈ 1 N −1 ∑ x=−N(_N1 ∑−1 x=− eANξtN 2(x)) ηtN2(x) + 1 N N (1 N ∑AN x=1ξtN 2(x)) ∑ x=0 ηtN2(x).

Lembrando que a aplica¸c˜ao que associa a cada η ∈ ZZ₊ a conﬁgura¸c˜ao ξ ∈ {0, 1}Z ´e dada por

ξ(x) =

{

0, x =∑n_z=1η(z) + n com n≥ 1 ou x = −(∑0_z=_−nη(z) + n) com n≥ 0,

1, caso contr´ario.

(23)

que, para x ∈ Z, η(x) representa o número de s´ıtios ocupados consecutivos entre o (x− 1)−sitio vazio e o x- sitio vazio na configura¸cão ξ. Já que no processo de exclusão o número de s´ıtios numa caixa finita é igual ao número total de sitios vazios mais o total de part´ıculas, obtemos a seguinte rela¸cão:

n ∑ x=1 (1− ξ(x)) + ∑n 1(1∑−ξ(x)) y=1 η(y)≤ n ≤ n ∑ x=1 (1− ξ(x)) + 1+∑nx=1∑(1−ξ(x)) y=1 η(y), para todo n≥ 1. Logo, fazendo W_NA, eA = 1 N N (1 N ∑AN x=1∑(1−ξtN 2(x))) y=−N(_N1 ∑−1 x=− eAN(1−ξtN 2(x))) ηtN2(y) teremos 1 N AN ∑ x=− eAN (1− ξtN2(x)) + W_NA, eA≤ (A + eA)≤ 1 N AN ∑ x=− eAN (1− ξtN2(x)) + +1 N N (1+_N1 ∑ANx=1∑(1−ξtN 2(x))) y=−N(1+_N1 ∑−1 x=− eAN(1−ξtN 2(x))) ηtN2(y). Consequentemente, W_NA, eA≤ (A + eA)− 1 N AN ∑ x=− eAN (1− ξtN2(x)) ≤ 1 N N (1 N+ 1 N ∑AN x=∑− eAN(1−ξtN 2(x))) y=−N(1 N+ 1 N ∑AN x=− eAN(1−ξtN 2(x))) ηtN2(y) = = 1 N  η_tN2  −1 + ∑AN x=− eAN ξtN2(x)   + η_tN2  1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))     + WA, eA N . Se mostrarmos que lim N→∞P N νN   1 N  η_tN2  −1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))   (2.7) +ηtN2  1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))     > δ   = 0,

(24)

teremos o resultado desejado lim N→∞P N νN ( WA, eA N − ((A − eA)− ∫ A e A (1− ζ(t, u))du) > δ ) = 0 (2.8) onde (A− eA)− ∫ A e A (1− ζ(t, u))du = M−1(t, B)− M−1(t, eB)− (B + eB) = ∫ B b B ∂u(M−1(t, u)− u)du.

Ou seja, provaremos (2.6), onde ρ(t, u) = ∂u(M−1(t, u)− u).

Para demonstrar (2.7) primeiramente mostramos que

lim N→∞P N νN   1 N  ηtN2  1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))     > δ   = 0

Para isto consideramos s´ıtios pr´oximos de 1 +∑AN_x=_{− e}_AN(1−ξtN2(x)) tais que (pelo mesmo

argumento usado para limitar W_NA, eA acima)

ηtN2  1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))   ≤ 1 N 1+∑(A+ϵ)N x=− eAN∑(1−ξtN 2(x)) y=1+∑AN_x=_{− e}_AN(1−ξ_{tN 2}(x)) ηtN2(y) (2.9) ≤ ϵ − 1 N (A+ϵ)N_∑ x=AN (1− ξtN2(x))

O ´ultimo termo da desigualdade acima tende para ϵ−∫_AA+ϵζ(t, u)du em probabilidade

quando N ↑ ∞. Como ϵ ´e arbitr´ario, temos o limite desejado. Analogamente, mostramos que

lim N→∞P N νN   1 N  ηtN2  −1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))     > δ   = 0. Obtendo assim (2.7).

Para ﬁnalizar o caso particular, observamos o seguinte

PN νN ( WA, eA N − ((A − eA)− ∫ A e A (1− ζ(t, u)du)) > δ )

(25)

´

e menor do que ou igual a

PN νN   W_NA, eA− ((A − eA)− 1 N AN ∑ x=− eAN (1− ξtN2(x)) > δ/2   +PN_νN   ∫ A e A (1− ζ(t, u))du − 1 N AN ∑ x=− eAN (1− ξtN2(x)) > δ/2   .

Pelo Teorema 2.1 o ´ultimo termo do lado direito acima vai a zero quando N ↑ ∞. Basta provar que o primeiro termo vai a zero quando N ↑ ∞. Observe que

W_NA, eA− ((A − eA)− 1 N AN ∑ x=− eAN (1− ξtN2(x)) ≤ N1  η_tN2  1 + ∑AN x=− eAN (1− ξtN2(x))     . O termo do lado direito da desigualdade acima vai a zero em probabilidade quando

N ↑ ∞. Concluindo assim o caso particular, quando temos G = I_{[ e}_B,B].

Vamos obter (2.5) para qualquer G cont´ınua com suporte compacto. Suponha que o suporte de G est´a contido em [ eB, B]. Particionamos o segmento ( eB, B] em M peda¸cos

de tamanhoeϵ = B_M− eB. Logo, pela continuidade uniforme da fun¸c˜ao G 1 N BN ∑ y= eBN G(y/N )ηtN2(y) = 1 N M∑−1 j=0 ( eB+(j+1)ϵ)N_∑ y=( eB+jϵ)N G(y/N )ηtN2(y)≈ ≈ M∑−1 j=0 G( eB + jϵ)1 N ( eB+(j+1)ϵ)N_∑ y=( eB+jϵ)N ηtN2(y)

Como vimos no caso particular₍

1 N ∑⌊( eB+(j+1)ϵ)N⌋ y=⌊( eB+jϵ)N⌋ ηtN2(y)− ∫B+(j+1)e eϵ e B+jeϵ ρ(t, u)du ) N→∞ → 0 em probabilidade. Consequentemente, lim N→∞P N νN   N1 BN ∑ y= eBN G(y/N )ηtN2(y)− ∫ B e B G(u)ρ(t, u)du > δ   = 0, como quer´ıamos.

No próximo cap´ıtulo teremos a demonstra¸cão do limite hidrodinâmico para o processo transformado, que será dividida em 3 partes. Mostramos na se¸c˜ao 3.0.4 que uma

(26)

sequência de probabilidades associadas aos processos microscópicos é r´ıgida. Depois, na se¸c˜ao 3.1 que os limites s˜ao caracterizados como probabilidades concentradas em trajetórias de medidas que são absolutamente cont´ınuas em rela¸cão à medida de Lebesgue. Por último mostramos a unicidade da solu¸cão fraca de uma EDP.

(27)

Cap´ıtulo 3

A demonstra¸

c˜

ao do limite

hidrodinˆ

amico

Este cap´ıtulo é dedicado a prova do Teorema 2.1. Antes precisaremos de algumas nota¸cões importantes. Denote por M = M(R) o espa¸co de medidas de Radon sobre R. A integra¸cão da fun¸c˜ao G com respeito a medida π emM é denotada por < π, G >. Para cada configura¸c˜ao ξ ∈ eΩ associamos a medida emp´ırica πN = πN(ξ) em M como sendo aquela que atribui massa N−1 a cada sitio ocupado por uma part´ıcula na configura¸c˜ao ξ:

πN = 1

N

∑

x∈Z

ξ(x)δx/N.

Seja QN_µN a medida de probabilidade sobre D([0, T ],M × R) induzida por PN_µN e o par

(πN, Dt).

Provaremos o Terema 2.1 com as seguintes etapas: mostraremos que a sequˆencia de medidas QN

µN ´e r´ıgida e que cada ponto limite da mesma est´a concentrado sobre

caminhos absolutamente cont´ınuos que são solu¸cões fracas da equa¸cão (2.4). Em seguida, a unicidade das solu¸cões da equa¸cão (2.4).

3.0.4 Rigidez

O objetivo desta se¸cão é mostrar que a sequência de medidas de probabilidade QN µN

´

e r´ıgida, ou seja, mostrar que (πN

t )t≥0 ´e r´ıgida e (DtN)t≥0 ´e r´ıgida. A sequˆencia (πtN)t≥0

´

e r´ıgida no espa¸co de medidas de probabilidade sobre D([0, T ],M) se para cada fun¸cão suave com suporte compacto G :R → R, ⟨πN_t , G⟩ é r´ıgida como uma sequência aleatória

(28)

Agora fixe uma tal fun¸cão, denote por Ft = σ((πs), s ≤ t), t ≥ 0, a filtra¸cão natural

sobre D([0, T ],M), e por TT a fam´ılia de tempos de parada limitados por T .

De acordo com o crit´erio Aldous [7] para mostrar a rigidez para ⟨πN

t , G⟩ temos que

veriﬁcar as duas seguintes condi¸c˜oes:

(i) As distribui¸c˜oes ﬁnito dimensionais de ⟨πN

t , G⟩ s˜ao r´ıgidas,

(ii) ∀ϵ > 0

lim

γ→0lim sup_N_→∞ _τsup_∈T

T

sup

θ≤γ

PN

µN[|⟨π_τN, G⟩ − ⟨πN_{τ +θ}, G⟩| > ϵ] = 0.

A condi¸cão (i) é uma consequência do fato de que a medida emp´ırica tem massa total finita sobre todo intervalo compacto. Para mostrar a condi¸cão (ii), considere o

Ft−martingal M_tG,N =⟨π_tN, G⟩ − ⟨πN₀ , G⟩ − ∫ t 0 N2L⟨π_sN, G⟩ds. (3.1) Portanto ⟨πN τ +θ, G⟩ − ⟨π N τ , G⟩ = M G,N τ +θ − M G,N τ + ∫ τ +θ τ N2L⟨π_sN, G⟩ds.

A partir da express˜ao anterior,

PN µN(|⟨π_{τ +θ}N , G⟩ − ⟨π_τN, G⟩| > ϵ) ≤ PN_µN(|M G,N τ +θ − M G,N τ | > ϵ/2) + PN_µN ( ∫ τ +θ τ N2L⟨π_sN, G⟩ > ϵ/2 ) .

Logo (ii) segue de

lim

T sup θ≤γ PN µN[|M G,N τ +θ − M G,N τ | > ϵ/2] = 0 (3.2) e lim

T sup θ≤γ PN µN [ ∫_ττ +θN2L⟨π_sN, G⟩ > ϵ/2 ] = 0 (3.3)

(29)

mostra que N2L⟨πN, G⟩ = σ 2 2 ⟨π N_{, ∆} NG⟩ + ξ(0)ξ(1)N[⟨πN, H1⟩ − ⟨πN, H2⟩] (3.4) + ξ(0)ξ(1)∇NG(0) + M ∑ i=1 ip(i) { _i ∑ y=1 ξ(y)− −1 ∑ y=−i+1 ξ(y) } ∇NG(0) + o(1/N ),

onde σ2 = ∑M_i=1i2p(i), △N e ∇N denotam, respectivamente, o laplaciano e gradiente

discretos: (△NH)(u) = H(u + _N1)+ H(u−_N1)− 2H(u) (_N1)2 , (∇NH)(u) = H(u +_N1)− H(u) 1 N

e H1(u) = ∇NG(u)I(−∞,−1](u), H2(u) = ∇NG(u)I[0,+∞)(u).

Temos também uma fórmula expl´ıcita para a varia¸cão quadr´atica de M_tG,N, ver Apêndice C. Esta é dada por

⟨MG N⟩t = ∫ t 0 1 N2            ∑ |x−y|=i i=1,2...,M x,y≤0 ∇2 NG(x∧ y/N)ξs(x)[1− ξs(y)] + ∑ |x−y|=i i=1,2...,M x,y≥1 ∇2 NG(x∧ y/N)ξs(x)[1− ξs(y)] + ξs(0)ξs(1) [ ∑ x,y≥1 ∇NG((x− 1)/N)∇NG((y− 1)/N)ξs(x)ξs(y) (3.5) + ∑ x,y≤0 ∇NG(x/N )∇NG(y/N )ξs(x)ξs(y) + 2∑ y≥2 x≤−1 ∇NG(x/N )∇NG((y− 1)/N)ξs(x)ξs(y) − 4NG(1/N)∑ x<0 ∇NG(x/N )ξs(x) + 2N2G(1/N )G(0) ]} ds.

(30)

varia¸cão quadrática, como os tempos de parada são limitados (Teorema de Amostragem opcional), temos PN µN[|M G,N τ +θ − M G,N τ | > ϵ/2] ≤ (ϵ/2)−2E N µN[(M G,N τ +θ − M G,N τ ) 2_{] = (ϵ/2)}−2_EN µN[⟨M_NG⟩τ +θ− ⟨MNG⟩τ].

Pela igualdade acima, a partir da expans˜ao de Taylor para G e como G tem suporte compacto temos que EN

µN[(M

G,N

τ +θ − MτG,N)2] ´e limitada superiormente por

C(G) N ( θ +EN_µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds ] (3.6) −4G(1/N)EN µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds ]) ≤ eC(G)θ.

Para obter a cota acima usamos o fato de G ter suporte compacto e ser de classe C2_.

Portanto, passando os limites, provamos (3.2).

Agora precisamos mostrar (3.3). Pela express˜ao dada em (3.5), basta mostrar que

lim

γ→0lim sup_N_→∞ _τ∈Tsup

T sup θ≤γ PN µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds > δ ] = 0.

Este resultado segue do lema a seguir.

Lema 3.1. Seja (µN₎

N≥1 satisfazendo a fE1. Existe uma constante C > 0 tal que

lim

T sup θ≤γE N µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds ] ≤ C. (3.7)

Al´em disso, para todo δ > 0

lim

T sup θ≤γ PN µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds > δ ] = 0.

Demonstra¸c˜ao: Denote por DN

+(t) como sendo o n´umero de ξ−part´ıculas que o

sistema perde em N at´e o tempo t, dividido por N. Deﬁnindo o martingal MN

+(t) =

DN₊(t)− N∫₀tξs(0)ξs(1)ds (ver apˆendice), temos que

EN µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds ] ≤ EN µN[M₊N(τ + θ)− M₊N(τ )] +EN_µN[D₊N(τ + θ)− DN₊(τ )].

(31)

limitado por, EN µN[(M+(τ + θ)− M+(τ ))2]1/2 =ENµN[⟨M+⟩τ +θ− ⟨M+⟩τ]1/2 ≤ C(G)EN µN [∫ τ +θ τ ξr(0)ξr(1)dr ]1/2 ≤ C(G)√θ,

Para obter uma cota superior para o segundo termo, observe que pelo teorema de Helly Bray, como lim N→∞P N µN [ DN +(t)− ∫ +∞ −∞ (ζ(t, u)− ζ(0, u)du > δ ] =−0, (3.8)

segue que, para cada M , limN→∞EN_µN[D₊N(t)∧M] = A∧M ≤ A, onde A =

∫+∞

−∞(ζ(t, u)−

ζ(0, u)du.

Al´em disso, limM→∞DN+(t)∧ M = DN+(t), de forma crescente. Logo, pelo teorema

da convergˆencia mon´otona, limM→∞PN_µN[DN₊(t) ∧ M] = EN_µN[D₊N(t)], o que implica

EN

µN[D₊N(t)]≤ A. Concluindo assim a primeira parte do lema.

Para concluir a demonstra¸c˜ao do lema, oberve que pela deﬁni¸c˜ao do martingal MN

+ PN µN [∫ τ +θ τ N ξs(0)ξs(1)ds > δ ] ≤ PN µN[M₊N(τ + θ)− M₊N(τ )| > δ/2 ] + +PN_µN[DN₊(τ + θ)− D₊N(τ )> δ/2].

O limite da primeira parte do lado direito da desigualdade acima vai a zero como podemos observar no inicio da demonstra¸c˜ao da primeira parte do lema. A segunda parte converge em probabilidade a zero pelo lema A.3 no apˆendice A.1.

Na se¸cão seguinte mostraremos que os limites da sequência de medidas de probabilidade QN_µN são caracterizados como probabilidades concentradas em trajetórias

(32)

3.1 Pontos limite de

Q

N

µN

Mostraremos nesta se¸c˜ao que todos pontos limite de QN

µN s˜ao concentrados sobre

caminhos absolutamente cont´ınuos que são solu¸cões fraca da equa¸cão (2.4).

Lema 3.2. Existe uma fun¸cão cont´ınua de varia¸cão limitada D tal que, para cada fun¸cão suave G :R → R com suporte compacto e δ > 0,

lim sup N→∞ QN µN [ sup 0≤t≤T |⟨πN t , G⟩ − ⟨πN0 , G⟩ − ∫ t 0 { σ2 2 ⟨π N s , ∆G⟩+ σ2 2 ∇NG(0)as+ ˙D(⟨π N s , H1⟩ − ⟨πsN, H2⟩) } ds| > δ ] = 0,

onde at = ζ(t, 0+)− ζ(t, 0−), H1(u) = ∇G(u)I(−∞,0](u), H2(u) = ∇G(u)I[1,+∞)(u) e

σ2 ₌∑

i∈Z+p(i)i2.

Demonstra¸c˜ao do Lema 3.2 Seja G : R → R uma fun¸c˜ao suave com suporte

compacto. Pelas desigualdades de Chebyschev e de Doob, para δ > 0, tem-se

PN µN [ sup 0≤t≤T |MG,N t | ≥ δ ] ≤ δ−2_EN µN [( sup 0≤t≤T |MG,N t | )2] ≤ δ−2₄_EN µN[(|M G,N T |) 2_] = 4δ−2EN_µN[⟨M G,N T ⟩T],

a qual, pela fórmula expl´ıcita da varia¸cão quadr´atica de M_tG,N, encontrada no apêndice C, é limitada por C(G) N ( θ +EN_µN [∫ T 0 N ξs(0)ξs(1)ds ]) .

Portanto, pelo Lema 3.1, para cada δ > 0,

lim N→∞P N µN [ sup 0≤t≤T |MG,N t | ≥ δ ] = 0. (3.9)

Usando (3.5) para expandir a expressão martingal em (3.1) e já que a expansão de Taylor nos dá que

|N[G((x + 1)/N)) − G(x/N)] − ∇G(x/N)| ≤ C(G) N ,

(33)

podemos substituir△N e ∇N em (3.9) pelos laplaciano e gradiente usuais, isto ´e, lim N→∞Q N µN [ sup 0≤t≤T|⟨π N t , G⟩ − ⟨π N 0 , G⟩ − ∫ t 0 { σ2⟨πN_s ,△G⟩+ [ _M ∑ i=1 ip(i) ( _i ∑ y=1 ξ(y)− −1 ∑ y=−i+1 ξ(y) )] ∇NG(0)+ +N ξs(0)ξs(1)(⟨πsN, H1⟩ − ⟨πsN, H2⟩) } ds| > δ] = 0, lembrando que H1(u) =∇G(u)I(−∞,−1](u) e H2(u) = ∇G(u)I[0,+∞)(u).

Na express˜ao anterior aﬁrmamos que podemos obter o termo integral como uma fun¸c˜ao da medida emp´ırica substituindo N ξs(0)ξs(1) por D, como em (2.4), e˙

(∑i y=1ξ(y)− ∑₋₁ y=−i+1ξ(y) ) por as = ζ(t, 0+)− ζ(t, 0−).

Consideraremos agora a substitui¸c˜ao de ξ(1) (as demais ser˜ao an´alogas).

Lema 3.3. Para uma sequˆencia de medidas iniciais {µN_{, N} _{≥ 1} satisfazendo}

( fE1)− ( fE3), temos para cada fun¸c˜ao continuamente diferenci´avel H : [0, T ]→ R que

lim sup ϵ→0 lim sup N→∞ E N µN   0≤t≤Tsup ∫ t 0 H(s)  ξs(1)− 1 ⌊ϵN⌋ ⌊ϵN⌋_∑ x=1 ξs(x)   ds   = 0,

onde ⌊x⌋ denota a parte inteira de x.

Nota: ξ(1) pode ser substituido por ∑i_y=1ξ(y).

Demonstra¸c˜ao: J´a que

∫ t 0 H(s)  ξs(1)− 1 ⌊ϵN⌋ ⌊ϵN⌋_∑ x=1 ξs(x)   ds ´

e uma fam´ılia de fun¸c˜oes indexadas por N que s˜ao uniformemente Lipichitz na vari´avel

t sobre [0, T ], podemos omitir o supremo no Lema. De fato, suponha v´alido o seguinte resultado lim sup ϵ→0 lim sup N→∞ EN µN [ ∫₀tU_ϵN(s, ξs)ds ] = 0, (3.10)

(34)

onde UN ϵ (s, ξ) = H(s)VϵN(ξ), 0≤ s ≤ t, com V N ϵ (ξ) = 1 ϵN [ϵN ] ∑ x=1 (ξ(1)− ξ(x)).

Particione o intervalo [0, T ] em intervalos de tamanhos δ = _k1. Assim, deﬁna ti = _ki, ,

i = 1,· · · , T k, temos t ∈ [ti, ti+1]. Logo,

EN µN [ sup 0≤t≤T ∫₀tU_ϵN(s, ξs)ds ]=EN_µN [ sup 0≤t≤T ∫₀tU_ϵN(s, ξs)ds± ∫ ti 0 U_ϵN(s, ξs)ds ] ≤ EN µN [ max 1≤i≤T k ∫₀tiU_ϵN(s, ξs)ds + sup₀_≤t≤T∫_tt+1/kU_ϵN(s, ξs)ds ] . Aplicando o fato de ∫₀tUN

ϵ (s, ξs)ds ser uniformemente em N Lipchitz na variav´el t no

primeiro termo do lado direito da desigualdade acima, obtemos

EN µN [ sup 0≤t≤T ∫ t 0 U_ϵN(s, ξs)ds ] ≤ EN µN [ max 1≤i≤T k ∫ ti 0 U_ϵN(s, ξs)ds ]+ C1 k ≤ ≤ T k max 1≤i≤T kE N µN [ ∫₀tiU_ϵN(s, ξs)ds ]+ C1 k.

Aplicando os limites N → ∞, ϵ → 0 e depois k → +∞ na desigualdade acima e usando (3.10), temos lim sup ϵ→0 lim sup N→∞ E N µN [ sup 0≤t≤T ∫₀tU_ϵN(s, ξs)ds ]= 0, como quer´ıamos demonstrar.

Nota: Observe que

U_ϵN(t, ξ)− U_ϵN(s, ξ) ≤ V_ξN|H(t)− H(s)| ≤ 2 sup

0≤u≤T

H′(u)|t − s| .

Na última desigualdade usamos o teorema do valor intermediário para H. Isso explica o porquê da familia de fun¸cões serem uniformemente Lipichitz e, consequentemente, a obten¸cão de C.

Vamos então para a demonstra¸cão de (3.10). Pela desigualdade de entropia temos que a esperan¸ca em (3.10) é limitada por cima por

H(µN|να) AN + 1 AN logEN_ν_α [ exp{ ∫ t 0 ANUϵN(s, ξs)ds }] (3.11)

(35)

Vamos estimar o segundo termo em (3.11). J´a que e|x| ≤ ex + e−x e lim sup_N _N1 log{aN+ bN} ≤ max{lim supN N1 log aN, lim supN N1 log bN}, podemos ignorar

o valor absoluto do expoente. Deﬁna

(P_s,tNf )(ξ) =EN_ξ [ f (ξt) exp {∫ t s ANUϵN(s + r, ξr)dr }] ,

para cada fun¸c˜ao limitada f sobre {0, 1}Z∗+. Temos, pela desigualdade de

Cauchy-Schwarz, que EN να [ exp {∫ t 0 ANUϵN(s, ξs)ds }] = ∫ (P_0,tN1)dνα ≤ {∫ (P_0,tN1)2dνα }1/2 .

De modo a obter um limite superior para o termo do lado direito desta desigualdade mostraremos abaixo que

−1 2∂t ∫ (P_0,tN1)2dν_αN ≤ { α2 2 + ( BAN 2 − N 2 ) sup f D(f)+ (3.12) + ϵN AN B ∥ H ∥ 2 ∞ } ∫ (P_0,tN1)2dνα,

para todo B > 0, onde o supremo em f ´e tomado sobre todas as densidades com respeito a να, ∥ · ∥∞ denota a norma do supremo e D(f) a forma Dirichlet dada por:

−∫ √f L√f dνα.

J´a que H(µN|ν

α)≤ CN, para algum C > 0, segue de (3.12) e pela desigualdade de

Gronwall que (3.11) ´e limitada por

CN AN + ( α2 2AN + ( B 2 − N2 AN ) sup f D(f) + ϵN B ∥ H ∥ 2 ∞ ) t. Escolhendo B = 2√ϵN e AN = √N_ϵ, teremos EN µN { ∫ t 0 U_ϵN(s, ξs)ds } ≤ {C + α2_{+ 2}−1 _{∥ H ∥}2 ∞} √ ϵT,

que vai a 0 quando ϵ→ 0, provando o lema.

(36)

na p´agina 334, {Ps,t : 0≤ s ≤ t} ´e um semigrupo de operadores associados a um gerador

não homogˆeneo Ls = N2L + ANUϵN(s,·). Além disso, a primeira equa¸cão de

Chapman-Kolmogorov vale: ∂sPs,t =−LsPs,t. Da´ı

−1 2∂s ∫ (Ps,t1)2dνα = ∫ Ls(Ps,t1)Ps,t1dνα = ∫ N2 M ∑ i=1 L_−i(Ps,t1)Ps,t1dνα+ + ∫ N2LT(Ps,t1)Ps,t1dνα+ ∫ {N2 M ∑ i=1 Li+ ANUϵN(s,·)}(Ps,t1)Ps,t1dνα.

Estimaremos cada termo separadamente nesta express˜ao.

Afirma¸c˜ao 1: ∫(L_−i(PN

s,t1))Ps,tN1dνα = 0, i = 1, 2· · · , M.

Demonstra¸c˜ao: Denote PN

s,t1 por h. Temos que

∫ (L_−ih)hdνα = ∑ x≤−i ∫ Lx,x+ihhdνα = ∑ x≤−i ∫ 1 2{ξ(x)(1 − ξ(x + i))[h(ξ

x,x+i₎_{− h(ξ)] + ξ(x + i)(1 − ξ(x))[h(ξ}x+i,x₎_{− h(ξ)]}h(ξ)dν} α.

Fazendo a seguinte mudan¸ca de vari´aveis: eξ = ξx,x+i_{, teremos ν}

α(eξ) = να(ξ), seguindo assim o resultado. Afirma¸c˜ao 2:∫(LT(Ps,tN1))Ps,tN1dνα ≤ α 2 2 ∫ (P_s,tN1)2dνα− 1₂ ∫ ξ(0)ξ(1)(P_s,tN1)2(ξ)να(dξ).

Demonstra¸c˜ao: Denote (PN

s,t1) por h. Estamos considerando uma integral da forma

∫

(LT(h))hdνα =

∫

ξ(0)ξ(1)[h(τ (ξ))− h(ξ)]h(ξ)dνα.

Adicionando e subtraindo para este termo o termo

1 2 ∫ ξ(0)ξ(1)h2(τ (ξ))dνα = α2 2 ∫ h2(ζ)dνα, onde ζ = τ (ξ), obteremos

(37)

∫ (LT(h))hdνα =− ∫ ξ(0)ξ(1)[h2(ξ)− h(τ(ξ − ϱ0− ϱ1)h(ξ) + 1 2h 2_{(τ (ξ}_{− ϱ} 0− ϱ1) −1 2h 2_{(τ (ξ}_{− ϱ} 0− ϱ1))]dνα =− 1 2 ∫ ξ(0)ξ(1)[h(ξ)− h(τ(ξ − ϱ0− ϱ1))]2dνα− −1 2 ∫ ξ(0)ξ(1)h2(ξ)dνα+ 1 2 ∫ ξ(0)ξ(1)h2(τ (ξ− ϱ0− ϱ1))dνα.

O primeiro termo da soma anterior ´e negativo, logo pode ser negligenciado. Consequentemente, ∫ (LT(Ps,tN1))P N s,t1dνα ≤ α2 2 ∫ h2dνα− 1 2 ∫ ξ(0)ξ(1)h2(ξ)dνα.

Obtemos assim a aﬁrma¸c˜ao 2.

Afirma¸c˜ao 3: ∫ {N2 M ∑ i=1 Li+ ANUεN(s,·)}(P N s,t1)(P N s,t1)dνα ≤ ≤ { sup f {( BAN 2 − N 2 ) D(f) } + ϵN AN B ∥ H(u) ∥ 2 ∞ } ∫ (P_s,tN1)2dνα.

Demonstra¸c˜ao: Temos a estimativa

∫ {N2 M ∑ i=1 Li+ ANUεN(s,·)}(P N s,t1)P N s,t1dνα ≤ ΓNs ∫ (P_s,tN1)2dνα, onde ΓN

s ´e o maior autovalor do gerador N2

∑M

i=1Li + ANUεN(s,·). Pela f´ormula

variacional, ver apˆendice de [7] ΓN

s ´e igual a sup f {∫ ANUεN(s, ξ)f (ξ)να(dξ)− N2D(f) } , (3.13)

onde f ´e densidade com respeito a να. Se mostrarmos que

∫ V_ϵN(ξ)f (ξ)vα(dξ)

≤ B₂D(f) + ϵN

B , (3.14)

(38)

3. O lado esquerdo em (3.14) sem o valor absoluto ´e igual a 1 ϵN [ϵN ] ∑ x=1 ∫ [ξ(1)− ξ(x)]f(ξ)να(dξ) = 2 1 ϵN [ϵN ] ∑ x=1 M ∑ i=1 x−i ∑ y=1 ∫

p(i)[ξ(y)− ξ(y + i)]f(ξ)να(dξ)

que pode ser reescrita, fazendo uma mudan¸ca de vari´avel, como

2 1 ϵN [ϵN ] ∑ x=1 M ∑ i=1 x−i ∑ y=1 p(i) {∫

ξ(y)[1− ξ(y + i)]f(ξ)να(dξ)−

∫

ξ(y + i)[1− ξ(y)]f(ξ)να(dξ)

} = 2 1 ϵN [ϵN ] ∑ x=1 M ∑ i=1 x−i ∑ y=1 p(i) ∫

ξ(y + i)[1− ξ(y)]{f(ξy,y+i)− f(ξ)}να(dξ). (3.15)

Portanto, escrevendo f (ξy,y+i₎ _{− f(ξ) como {}√_{f (ξ}y,y+i₎ − √_{f (ξ)}}{√_{f (ξ}y,y+i_{) +}

√

f (ξ)} e aplicando a desigualdade elementar 2|ab| ≤ Ba2_{+ B}−1_b2_{, que vale para cada}

a, b e B > 0, temos que o valor absoluto da express˜ao anterior ´e limitado por

1 [ϵN ] ϵN ∑ x=1 M ∑ i=1 x−i ∑ y=1 p(i) { B 2 ∫

ξ(y + i)[1− ξ(y)]{√f (ξy,y+i₎−√_{f (ξ)}}2_ν

α(dξ)+

+B

−1

2 ∫

ξ(y + i)[1− ξ(y)]{√f (ξy,y+i_{) +}√_{f (ξ)}}2_ν

α(dξ) } ≤ B 2D(f) + B−1 ϵN ϵN ∑ x=1 M ∑ i=1 x−i ∑ y=1 p(i) ∫ (f (ξy,y+i) + f (ξ))να(dξ) ≤ B 2D(f) + ϵN B . Isto mostra (3.14).

Observe que (3.12) é uma consequência das afirma¸cões 1 a 3. Concluindo assim a demonstra¸cão do Lema 3.3.

Falta mostrar que existe uma fun¸c˜ao D de varia¸c˜ao limitada tal que será poss´ıvel a substitui¸c˜ao de N ξ(0)ξ(1) por ˙D. O pr´oximo lema ajudará na obten¸cão de tal fun¸cão.

Denote por DN₊(t) (respectiv. DN₋(t)) o n´umero de part´ıculas que o sistema perde em N (respectiv. Z−) at´e o instante t dividido por N .

Lema 3.4. Fixe uma fun¸c˜ao suave G definida em C₀1,2([0, T ]× R) e δ > 0. Ent˜ao, lim ϵ→0lim sup_N_→∞ P N µN [ sup 0≤t≤T ∫ t 0 ds { N ξs(0)ξs(1)− DN₊(s + ϵ)− DN₊(s) ϵ } ⟨πN s , Gs⟩ > δ] = 0.

(39)

Demonstra¸c˜ao: Denote por M₊N(t) = DN₊(t)− N∫₀tξs(0)ξs(1)ds.

´

E f´acil mostrar que MN

+ é um martingal com varia¸cão quadrática ⟨M+N⟩t dada por

∫t

0 ξs(0)ξs(1)ds. Podemos portanto escrever ϵ−1{D

N +(s + ϵ)− D+N(s)} como M₊N(s + ϵ)− M₊N(s) ϵ + N ϵ ∫ s+ϵ s ξr(0)ξr(1)dr.

A parte martingal é fácil estimar porque é zero no limite (em probabilidade) quando

N ↑ ∞ (ver Lema A.3 no Apˆendice A). Al´em disso, observe que

∫₀t M+N(s + ϵ)− M+N(s) ϵ ⟨π N s , G⟩ds ≤ C(G)_ϵ {∫₀t|MN +(s + ϵ)|ds + ∫ t 0 |MN +(s)|ds }

mudando a vari´avel para u = s + ϵ na primeira integral, teremos ∫ t 0 |MN +(s + ϵ)|ds = ∫ t+ϵ 0 |MN +(u)|du.

Por outro lado ∫₀t|MN

+(s)|ds ≤ ∫t+ϵ 0 |M N +(s)|ds. Consequentemente, sup 0≤t≤T ∫₀tM+N(s + ϵ)− M+N(s) ϵ ⟨π N s , G⟩ds ≤ C(G)_ϵ 2 sup 0≤t≤T {∫ t+ϵ 0 |MN +(s)|ds } .

Ent˜ao pela desigualdade de Markov e observando a desigualdade anterior obteremos

QN µN [ sup 0≤t≤T ∫ t 0 M₊N(s + ϵ)− M₊N(s) ϵ ⟨π N s , G⟩ds > δ] ≤ 1 δE N µN [ sup 0≤t≤T ∫₀tM+N(s + ϵ)− M+N(s) ϵ ⟨π N s , G⟩ds ] ≤ 2C(G) δϵ E N µN [∫ T +ϵ 0 |MN +(s)|ds ] .

Al´em disso, pela desigualdade de Schwarz,

C(G) δϵ E N µN [∫ T +ϵ 0 |MN +(s)|ds ] ≤ C(G) δϵ √ T + ϵEN_µN {[∫ T +ϵ 0 |MN +(s)|2ds ]1/2}

(40)

que E[M₊N(s)2] =E[⟨M₊N⟩_s], a express˜ao acima ﬁca limitada por C(G) δϵ √ T + ϵEN_µN {[∫ T +ϵ 0 ⟨MN +(s)⟩ds ]}1/2 ≤ C(G) δϵ √ T + ϵEN_µN {[∫ T +ϵ 0 ξs(0)ξs(1)ds ]}1/2 ,

onde C(G) ´e constante ﬁnita dependendo somente de G. Portanto,

QN µN [ sup 0≤t≤T ∫ t 0 M₊N(s + ϵ)− M₊N(s) ϵ ⟨π N s , G⟩ds > δ] ≤ C(G, T ) δϵ E N µN {[∫ T +ϵ 0 ξs(0)ξs(1)ds ]1/2} .

Pelo lema 3.1 temos que lim sup_N_→∞EN µN

{[∫T +ϵ

0 ξs(0)ξs(1)ds

]

<∞, logo a express˜ao

acima vai a zero quando N ↑ ∞.

Resta considerar a diferen¸ca N ξs(0)ξs(1)− N

∫s+ϵ

s ξr(0)ξr(1)dr.

Primeiro realizamos a integra¸c˜ao por partes no tempo para obter que

∫ t 0 ds { N ξs(0)ξs(1)− N ϵ ∫ s+ϵ s drξr(0)ξr(1) } ⟨πN s , Gs⟩ ≤ C(G){∫ ϵ 0 dsN ξs(0)ξs(1) + + ∫ t+ϵ t dsN ξs(0)ξs(1) } + ∫ t ϵ dsN ξs(0)ξs(1) { ⟨πN s , Gs⟩ − 1 ϵ ∫ s s−ϵ ⟨πN r , Gr⟩dr } . Novamente, por 3.1 permite estimar o primeiro termo do lado direito. Para estimar o segundo, escreva a diferen¸ca ⟨πN

s , Gs⟩ − ⟨πrN, Gr⟩ como

M_sG,N− M_rG,N + ∫ s

r

(∂ν + N2L)⟨πνN, Gν⟩dν.

Por outro lado,

PN µN [ sup 0≤t≤T ∫ t ϵ dsN ξs(0)ξs(1) 1 ϵ ∫ s s−ϵ dr{M_sG,N− M_rG,N} > δ ] (3.16) ≤ PN µN [ sup 0≤t≤T +ϵ |MG,N t | ∫ T 0 N ξs(0)ξs(1)ds > δ 2 ] .

Fixe γ > 0. Pela equa¸c˜ao (3.7), existe uma constante ﬁnita A para a qual PN µN [∫T 0 N ξs(0)ξs(1)ds > A ] ≤ γ para todo N ≥ 1.