CURSO DE GRADUAÇÃO DE LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
FERNANDO COSTA MARQUES DE FARIA
POLÍGONOS REGULARES EM LIVROS
DIDÁTICOS: EXEMPLOS DE ABORDAGENS
ENTRE O SÉCULO XIX E XX
NITERÓI 2016
POLÍGONOSREGULARESEMLIVROSDIDÁTICOS:EXEMPLOSDE ABORDAGENSENTREOSÉCULOXIXEXX
Monografia apresentada à
Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para aprovação na disciplina Monografia.
Orientador: Bruno Alves Dassie
Niterói 2016
POLÍGONOSREGULARESEMLIVROSDIDÁTICOS:EXEMPLOSDE ABORDAGENSENTREOSÉCULOXIXEXX
Monografia apresentada à
Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para aprovação na disciplina Monografia.
Aprovada em: 16/12/2016
Banca Examinadora
_______________________________________________ Prof. Dr. Bruno Alves Dassie - Orientador
Universidade Federal Fluminense
_______________________________________________ Profa. Dr. Flávia dos Santos Soares - Membro
Universidade Federal Fluminense
_______________________________________________ Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende - Membro
F224 Faria, Fernando Costa Marques de
Polígonos regulares em livros didáticos: exemplos de abordagens
entre o século XIX e XX / Fernando Costa Marques de Faria. – Niterói, RJ: [s.n.], 2016.
68f.
Orientador: Prof.Dr. Bruno Alves Dassie
TCC ( Graduação de Licenciatura em Matemática) – Universidade
Federal Fluminense, 2016.
1. Ensino de matemática. 2. Contruções geométricas. 3. História da
matemática. I. Título.
CDD 510.7
construções geométricas e, em especial, dos polígonos regulares no Brasil de meados do século XIX até o início do século XX. Para tanto, realizamos a análise de alguns livros de Geometria Euclidiana Plana do período citado. Três componentes guiaram nossas análises dos livros, são elas, destacadas em seguida: leitura dos trechos dos livros que envolvem polígonos regulares e construções geométricas; apresentação das abordagens utilizadas; confecção de sínteses sobre cada livro para compor as considerações finais.
PALAVRAS-CHAVE
2.Da régua e do compasso: as construções geométricas como um saber escolar no Brasil, p. 8
3. Análise dos livros didáticos, p. 11
3.1.Elementos de Geometriade Marquez de Paranaguá, p. 11
3.2Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilineade C.B. Ottoni, p. 17 3.3.Elementos de geometriade Alexis Claude de Clairaut, p. 25
3.4Geometria Elementarde “uma Reunião de Professores”, p. 30
3.5Elementos de geometriade F. I. C., p. 38 3.6Curso de Geometriade Timotheo Pereira, p. 50 4. Considerações finais, p. 66
1. Introdução
Neste trabalho nos propomos a estudar o tratamento dado, em livros didáticos, ao ensino das construções geométricas e, em especial, dos polígonos regulares no Brasil de meados do século XIX até o início do século XX. Para tanto, realizamos a análise de alguns livros de Geometria Euclidiana Plana do período citado. Três componentes guiaram nossas análises dos livros, são elas, destacadas em seguida: leitura dos trechos dos livros que envolvem polígonos regulares e construções geométricas; apresentação das abordagens utilizadas; confecção de sínteses sobre cada livro para compor as considerações finais.
Para a elaboração deste trabalho, foram realizadas diversas releituras de cada uma das seis obras, visando compreender não apenas como cada autor desenvolve o assunto, mas também para proporcionar uma melhor comparação entre elas.
Cada análise foi estruturada da seguinte maneira: apresentamos, primeiramente, uma breve exposição de todo o conteúdo do livro e como nele é organizada a divisão dos assuntos. Em seguida, temos um resumo dos capítulos e seções que abordam (quando existem) os temas de polígonos, polígonos regulares, inscrição e circunscrição de tais polígonos, construção dos polígonos regulares e relações métricas. Em cada análise, pode-se encontrar as definições, proposições, demonstrações e construções da obra estudada. Para uma maior completude do nosso estudo, incluímos ainda as ilustrações originais das obras e algumas notas de rodapé.
Acrescentamos, em algumas situações, figuras próprias no intuito de tornar a análise mais clara.
Para melhor compreender esta especificidade em perspectiva histórica tem-se uma apresentação da Dissertação de Mestrado de Elenice Zuin (2001). Tal leitura propiciou uma melhor compreensão dos aspectos sociopolíticos-econômicos que foram responsáveis pelas diversas reformas educacionais ocorridas no Brasil. Zuin (2001) nos apresenta como o ensino de Desenho, no decorrer de tais mudanças educacionais, tornou-se uma necessidade com a chegada de D. João VI ao Brasil até que deixasse de ser uma disciplina obrigatória na década de 1970. A autora nos lembra que tais mudanças de currículo sempre estão relacionadas a um desejo de manter uma certa ordem social.
Meu interesse no assunto desta monografia surgiu, de modo indireto, no final do meu Ensino Fundamental, quando calculei as raízes quintas da unidade. Durante o Ensino Médio, ao entrar em contato com as fórmulas para o cálculo do seno e do cosseno da soma, utilizei tais expressões junto com as raízes de 𝑥5− 1 = 0 e os ângulos notáveis para expressar, por meio de
90°. Ainda no Ensino Médio, tomei conhecimento, por meio de um livro, que a condição necessária e suficiente para que possamos exprimir o cos 𝛼 (ou o sen 𝛼) em termos de radicais é 𝛼 seja o ângulo interno de um polígono regular de 2𝑚∙ 𝑝
1∙ 𝑝2⋯ 𝑝𝑛 lados, onde 𝑝𝑖 ≠ 𝑝𝑗, se 𝑖 ≠
𝑗, e 𝑝𝑘 é um primo da forma 22𝑘+1
2. Da Régua e do Compasso: As Construções Geométricas como um Saber Escolar no Brasil
Para compreender o contexto do desenho geométrico em perspectiva histórica foi feita uma leitura do trabalho de Elenice Zuin de Souza Lodron, denominado Da Régua e do Compasso: As Construções Geométricas como um Saber Escolar no Brasil, elaborado como Dissertação de Mestrado, finalizado em 2001.
Elenice de Souza Lodron Zuin é graduada em Matemática, especialista em Matemática Superior, mestra em Educação e Doutora em Educação Matemática. Ocupa o cargo de Professor no Departamento de Matemática e Estatística da PUC Minas e integra o quadro docente do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática. Faz parte também do corpo docente do Instituto de Ciências Humanas, atuando no curso de Pedagogia.
O trabalho de dissertação é constituído de seis partes: introdução, quatro capítulos e a conclusão. No primeiro capítulo, Zuin nos apresenta os fundamentos e a metodologia que foi utilizada para realizar a sua pesquisa. No capítulo seguinte, traça-se um breve panorama histórico do pensamento matemático e de como o domínio do desenho geométrico tornou-se necessário com o processo de industrialização. A trajetória do ensino das construções geométricas no Brasil é tema do capítulo 3, no qual questiona-se o motivo pelo qual o Desenho foi excluído das disciplinas obrigatórias a partir da LDBEN 5692/71, e os confusos pareceres divulgados pelo Conselho Federal de Educação. No último capítulo, a fim de compreender como as reformas educacionais sofridas pelo Brasil influenciaram diretamente o ensino das construções geométricas, Zuin analisa obras de Geometria, Construções Geométricas e Educação Artística.
Elenice Zuin traça, em sua dissertação de mestrado, a evolução do ensino de construções geométricas no Brasil a partir de meados do século XIX até o final do século XX. Seu interesse é responder a uma pergunta por ela proposta, desde de sua graduação: se o ensino da geometria utilizando construções geométricas propicia o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo e da coordenação motora, por que se ensina construções geométricas ‘desligadas’ da teoria da geometria plana? (ZUIN, 2001)
Para alcançar uma resposta, Zuin, apoiando-se na Nova Sociologia da Educação e, em especial, na Sociologia do Currículo, analisa textos oficiais (leis, decretos, pareceres e portarias), livros didáticos de Desenho Geométrico, Educação Artística e Matemática, manuais escolares e, eventualmente, entrevistas com professores que sempre ministraram construções geométricas ligadas à teoria da geometria plana.
Em seu estudo, Zuin reconstrói de modo claro e conciso os momentos históricos que impulsionaram o desenvolvimento do desenho e de sua aplicação no processo de industrialização, tanto na Europa quanto no Brasil. A pesquisadora, retrata também o declínio que sofreu tanto o desenho geométrico (por causa da visão defendida por alguns pensadores, como psicólogos e filósofos), quanto a geometria euclidiana plana (devido ao Movimento da Matemática Moderna e o desenvolvimento de geometrias não-euclidianas).
No contexto brasileiro, apesar do ensino de Geometria, Álgebra e Aritmética ter sido introduzido nas escolas na Reforma Pombalina (1772), foi a partir da vinda da Família Real que precisou-se de profissionais com formação mais técnica ou científica. Desta maneira, em 1810 é fundada a Academia Real Militar da Corte e, em 1816, D. João VI convida a Missão Francesa para criar a Escola de Ciências, Artes e Ofícios (atualmente, Escola Nacional de Belas Artes). No ano de 1837, é criado o Colégio D. Pedro II, que se tornou referência no ensino secundário e tinha por objetivo a formação da elite brasileira.
Com a implantação da República, Rui Barbosa foi o responsável por promover mudanças no ensino brasileiro que passou a dar maior importância à instrução pública. Com tais mudanças, o Desenho é ensinado nas escolas primárias média e superior, enquanto o Desenho Geométrico é proposto para o curso superior.
Nos anos de 1930, ocorre a Reforma Francisco Campos que visou equilibrar os aspectos técnicos e artísticos do desenho, propondo quatro modalidades: Desenho do Natural, Desenho Decorativo, Desenho Geométrico e Desenho Convencional. Na década de 1940, acontece a Reforma Capanema. Esta reforma educacional dá uma maior valorização as construções geométricas, sendo o desenho com régua e compasso já sendo ensinado na primeira série ginasial.
Como já afirmado, o Movimento da Matemática Moderna influenciou o ensino de geometria, e seus reflexos também foram sentidos no Brasil: começando pela LDBEN de 1961 e culminando na LDBEN de 1971, que exclui o Desenho Geométrico como disciplina obrigatória. Com esta última Lei de Diretrizes e Bases, criou-se a disciplina Educação Artística. Entretanto, o Conselho Federal de Educação, por meio de seus pareceres, não deixava claro qual o tratamento que deveria ser dado ao conteúdo da antiga disciplina de Desenho: ser incorporado à Educação Artística, ensinado em Matemática ou constituir uma disciplina optativa própria.
Neste trabalho, Zuin propõe, com base na Sociologia do Currículo, que esta mudança ocorrida na LDBEN de 1971, está vinculada a uma luta de classes. Um ensino mais profissionalizante, sem o domínio da teoria, apenas da execução, deve ser ofertado às classes populares, enquanto um ensino de formação geral, à elite dominante. Porém, ao contrário do que a autora sugere em diversos trechos de sua dissertação, não acreditamos que apenas o ensino de construções geométricas possa desenvolver habilidades e competências em alguns membros de classes menos favorecidas a ponto de provocar uma transformação social.
A partir de 1980, houve uma revalorização do ensino de construções geométricas que resultou na publicação de novas coleções sobre este saber, embora algumas destas obras realizarem as construções geométricas sem que estas estejam fundamentadas na teoria da Geometria Euclidiana Plana. Em 1996, foi promulgada uma nova LDBEN que promove uma revalorização do ensino da Geometria. Nesta lei, a geometria euclidiana reconquista seu lugar nos programas escolares, enquanto a importância das construções geométricas é reforçada em muitos trechos dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática de 5ª a 8ª séries.
3. Análise dos livros didáticos
3.1. Elementos de Geometria de Marquez de Paranaguá
O livro intitulado Elementos de Geometria, de Marquez de Paranaguá foi publicado no Rio de Janeiro. A edição aqui utilizada é de 1838 e foi publicada pela
Typographia Austral. A obra está dividida em quatro seções e um Apêndice.
Os temas tratados em suas secções estão relacionados a figuras planas, superfícies, planos e sólidos. No apêndice é apresentada a geometria esférica.
No sumário podemos localizar, na primeira seção, nosso tema de interesse. São temas dessa seção, nesta ordem: triângulos, ângulos considerados no círculo, seguidos de polígonos inscritos e circunscritos e, por último, polígonos semelhantes.
De acordo com os objetivos deste trabalho, vejamos as partes que envolvem polígonos e polígonos regulares, e suas construções.
Em um primeiro momento, o autor define polígono como sendo a região delimitada por segmentos de reta. Na sequência, define perímetro como a união dos segmentos considerados juntos de um polígono. Os polígonos com lados e ângulos iguais são ditos polígonos regulares.
Além disso, introduz a ideia de ângulo reintrante e ângulo saliente e após definir tais conceitos ilustra os mesmos por meio de um exemplo. Atualmente dizemos que um polígono que tenha um ângulo reintrante é côncavo.
Vale observar antes de mais nada que o autor define ângulo reintrante como sendo um ângulo cujos os lados do vértice “entram” no polígono e diz que o ângulo é saliente quando os lados do vértice “não entram” no polígono.
Em seguida, enuncia os seguintes teoremas com demonstração.
Primeiro teorema: Todo polígono se divide em tantos triângulos, quantos são os
seus lados menos dois.
Segundo teorema: Se qualquer polígono, que não tenha ângulo reintrante, um dos
lados de cada ângulo se prolongar do vértice; a soma de todos os ângulos externos valerá 360°: isto é, será a soma dos suplementos dos ângulos internos do polígono = 360°.
Terceiro teorema: As retas, que dividirem pelo meio os ângulos de um polígono
regular, concorrerão todas em um ponto dentro do polígono; e dividirão em tantos triângulos isósceles iguais, quantos forem os lados do mesmo polígono.
Construção de polígonos regulares
O autor desenvolve a construção de polígonos regulares sem o incentivo do uso de régua e compasso apresentando teoremas com resolução, corolários e “scholio” (reflexão sobre alguma ou mais proposições precedentes), como consta na Advertência. São propostos sete problemas sobre polígonos inscritos e circunscritos ao círculo com solução e demonstração.
Ao final da obra há construções geométricas numeradas que são indicadas ao longo do desenvolvimento da explanação contida no livro1.
* * *
No último item sobre construção de polígonos regulares da primeira secção que analisamos do livro, o autor inicia seu texto tratando de inscrição e circunscrição de polígonos. Logo em seguida, ele menciona como duplicar o número de lados de um polígono. Vale observar, antes de tudo, que os problemas são apresentados no padrão: problema, solução e demonstração. Como exemplo, destacamos o primeiro problema com o seguinte enunciado: Inscrito em um círculo um polígono regular, inscrever outro
também regular de duplicado número de lados (Fig. 1).
1 As figuras neste livro encontram-se em pranchas ao final do volume e por isso estão comprometidas
quanto ao uso das imagens originais. Optamos, por este motivo, em construir as figuras no Geogebra para este caso.
Figura 1
O autor inicia a solução tomando o círculo 𝐶𝐴𝐵𝐷𝐹𝐴 e o polígono regular inscrito 𝐴𝐵𝐷𝐹 e ensina a duplicar o número de seus lados a partir dos arcos 𝐴𝐵, 𝐵𝐷, dividindo-os ao meio ndividindo-os pontdividindo-os 𝐸, 𝐺 e desses arcdividindo-os tiram-se as cordas 𝐴𝐸, 𝐸𝐵, 𝐵𝐺, 𝐺𝐷. Então, dividindo-se os mesmos ao meio tem-se o polígono de lados duplicados.
Após a construção do polígono anterior, o autor apresenta a inscrição em um círculo dos polígonos de 4, 8 e 16 lados.
O autor ensina a construir o polígono regular de quatro lados, o quadrado, por meio do traçado de dois diâmetros perpendiculares 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 (Fig. 2) e os polígonos de 8 e 16 lados são feitos a partir do quadrado usando duplicação dos arcos, como já citado.
Em seguida, de maneira análoga, tem-se a inscrição de polígonos regulares com 3, 6 e 12 lados.
Na construção do triângulo equilátero inscrito no círculo (Fig. 3), traça-se o diâmetro 𝐴𝐵 e, utilizando 𝐵 como centro, faz-se um arco de circunferência com o mesmo raio do círculo original. Este arco intersecta a circunferência nos pontos 𝐷 e 𝐸. Traçam-se as retas 𝐴𝐷, 𝐷𝐸 e 𝐴𝐸. Com isso, 𝐴𝐷𝐸 é o triângulo equilátero procurado.
Figura 3
Podemos observar que a construção dos polígonos é feita sem o uso de régua e compasso.
Por último, o autor considera a construção dos polígonos de 5, 10 e 20 lados, por meio da circunscrição e inscrição em um círculo.
O autor inicia construindo o lado do decágono regular inscrito no círculo (Fig. 4).
Considere o círculo de centro 𝐶 e raio 𝐶𝐴. Marca-se no segmento 𝐶𝐴, o ponto E que divide 𝐶𝐴 em média e extrema razão (razão áurea), de modo que 𝐶𝐸 seja o maior segmento. Trace a corda 𝐴𝐵 = 𝐶𝐸. Afirmo que 𝐴𝐵 é o lado do decágono regular.
De fato, trace o raio CB. Como 𝐴𝐶𝐶𝐸 =𝐴𝐸𝐶𝐸 (razão áurea) e 𝐶𝐸 = 𝐴𝐵 (construção), 𝐴𝐶
𝐴𝐵= 𝐴𝐵
𝐴𝐸. Logo, os triângulos ACB e ABE são semelhantes. Como 𝐴𝐶𝐵 é isósceles, 𝐴𝐵𝐸 também é isósceles com 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 = 𝐶𝐸 (construção). Da semelhança, 𝐴𝐵̂𝐸 = 𝐴𝐶̂𝐵 (I) e 𝐴𝐸̂𝐵 = 𝐵𝐴̂𝐶. Como o triângulo 𝐵𝐸𝐶 também é isósceles, 𝐴𝐶̂𝐵 = 𝐸𝐵̂𝐶 (II). De (I) e (II), podemos concluir que 𝐴𝐵̂𝐸 = 𝐸𝐵̂𝐶. Além disso,
𝐴𝐵̂𝐶 = 𝐴𝐵̂𝐸 + 𝐸𝐵̂𝐶 = 𝐴𝐵̂𝐸 + 𝐴𝐵̂𝐸 = 2 ∙ 𝐴𝐵̂𝐸 = 2 ∙ 𝐴𝐶̂𝐵.
Analogamente, 𝐵𝐴̂𝐶 = 2 ∙ 𝐴𝐶̂𝐵, pois 𝐴𝐵̂𝐶 = 𝐵𝐴̂𝐶. Entretanto 𝐴𝐵̂𝐶 + 𝐵𝐴̂𝐶 + 𝐴𝐶̂𝐵 = 180°. Daí, 2 ∙ 𝐴𝐶̂𝐵 + 2 ∙ 𝐴𝐶̂𝐵 + 𝐴𝐶̂𝐵 = 180° ⇒ 5 ∙ 𝐴𝐶̂𝐵 = 180° ⇒ 𝐴𝐶̂𝐵 = 36°. Por consequência, 𝐴𝐵 é o lado do decágono regular.
Juntando-se com um segmento de reta os extremos de dois lados contidos no decágono regular, teremos o pentágono regular.
O texto prossegue com divisões da circunferência em partes iguais, afirmando quais delas são possíveis e quais não o são, comentando, por exemplo, ser impossível dividir a circunferência em arcos de 1° sendo porém possível a divisão da circunferência em arcos de 3° (Fig. 5).
Na figura anterior, 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹𝑁𝐻𝐼𝐽𝐾 é o decágono regular e o polígono 𝐴𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃 é o hexágono regular. Assim, 𝐴𝐶̂𝐿 = 60° e 𝐴𝐶̂𝐵 = 36°. Como a reta CQ é a bissetriz de 𝐴𝐶̂𝐿, 𝐴𝐶̂𝑄 = 30°. Daí, 𝑄𝐶̂𝐵 = 𝐴𝐶̂𝐵 − 𝐴𝐶̂𝑄 = 36° − 30° = 6°. Traçando a bissetriz de 𝑄𝐶̂𝐵, temos o ângulo de 3°.
Síntese
O autor trata a construção dos polígonos regulares usando diâmetros perpendiculares, duplicação de arcos sem lançar mão de régua e compasso. Suas construções são didáticas e bastante inteligíveis. O apêndice traz os desenhos que acompanhados, passo a passo, bem elucidam as construções geométricas e mostram os ângulos dos polígonos, sugerindo que o leitor identifique quais são reintrantes e quais são salientes.
3.2 Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilinea de C.B. Ottoni
O livro intitulado Elementos de Geometria e Trigonometria Rectilinea de Cristiano Benedito Ottoni foi publicado no Rio de Janeiro. A edição utilizada neste trabalho é de 1870 e foi impressa pela Typographia Perseverança. A obra é dividida em uma introdução, quatro livros e um “apêndice”. Neste último é apresentada a “Trigonometria Rectilinea”.
Os temas tratados ao longo do livro são as figuras geométricas planas e espaciais. No “apêndice”, encontramos fórmulas trigonométricas, construção de tábuas de trigonometria, valores e limites das funções trigonométricas.
Pelo sumário observa-se que nosso tema de interesse encontra-se no primeiro livro (Das figuras planas). No capítulo I, o texto aborda retas, congruência de triângulos, quadriláteros e suas variedades, e demais polígonos. No capítulo seguinte, o autor faz uma ampla abordagem sobre circunferência2.
* * *
Em um primeiro momento o autor define polígono como sendo uma porção do plano 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 e 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼 completamente fechada ou limitada pelas retas que se encontram duas a duas. Observa-se que o autor não faz distinção entre segmento de reta e reta. São apresentados os elementos principais de um polígono, como lados, vértices e diagonais.
Em seguida, os polígonos são classificados em três tipos:
Irregulares: são aqueles que têm todos os lados e todos os ângulos são desiguais.
Simétricos: são aqueles cujos lados opostos paralelos são iguais.
2 Não faremos uma análise profunda desta parte, pois esta servirá apenas para consulta aos teoremas
necessários para a construção de polígonos. O restante do livro, que apresenta tópicos como semelhança de triângulos, semelhança de polígonos, retas e planos paralelos, poliedros côncavos e convexos, cilindro, cone e esfera, pirâmide e volume não é o foco deste trabalho.
Regulares: são aqueles que têm todos os lados (equilátero) e todos os ângulos iguais (equiângulo).
Segundo consta no texto, um quadrilátero simétrico pode ser comumente denominado por paralelogramo e o regular, quadrado. Os polígonos mais simples são os triângulos e os quadriláteros, e que os polígonos têm diversos nomes segundo o número de lados.
Em seguida, encontram-se as definições de polígono convexo e de polígono côncavo. O primeiro é o polígono que tem todos os ângulos salientes e o segundo, o polígono que possui um ou mais ângulos reintrantes. Vale observar que o autor não define ângulo saliente e ângulo reintrante na parte do livro que estamos analisando. Depois dessas definições, o autor afirma que a Geometria Elementar só se ocupa de polígonos convexos, os quais têm sempre as seguintes características (p. 70):
1º Uma reta traçada no seu plano não pode encontrar o perímetro em mais de dois pontos.
2º Todas as suas diagonais são interiores.
3º Prolongando–se indefinidamente um lado do polígono, o plano é dividido em dois semi-planos e o polígono fica inteiramente contido em um destes semi-planos.
Tais propriedades não valem para os polígonos côncavos.
Depois disso, o autor demonstra que todo polígono pode ser dividido em tantos triângulos quantos forem os seus lados menos dois. Embora não chame isto de teorema, comenta-se que esse resultado é de fácil conclusão com as noções anteriores.
Todos os teoremas e corolários, quando existem, são apresentados com suas respectivas demonstrações. Os três primeiros são:
Primeiro teorema: A soma de todos os ângulos internos de qualquer polígono é
igual a tantas vezes dois retos quantos são os seus lados menos dois (p. 72).
Segundo teorema: Em todo polígono convexo se prolongarmos todos os seus lados
no mesmo sentido concluiremos que a soma de seus ângulos externos será igual a quatro retos (p. 74).
Terceiro teorema: Dois polígonos são iguais quando podem ser divididos no
mesmo número de triângulos respectivamente iguais e dispostos semelhantemente (p. 74).
Observe que o autor utiliza como unidade medida o ângulo reto (ângulo de 90°). Logo após estes teoremas, temos o problema da construção de um polígono igual a outro dado3 (p. 75).
Primeira solução (Fig. 6): Divide-se o polígono em triângulos por meio das diagonais partindo de um vértice. A partir de uma reta, constrói-se um triângulo igual a um dos triângulos do polígono. Após isso construimos os demais triângulos que compõem o polígono dispostos semelhantemente aos do polígono original.
Figura 6
Segunda solução (Fig. 7): Considere um ponto 𝑂, interior ao polígono dado. A partir de cada vértice do polígono, construimos um segmento no qual um dos extremos é o ponto 𝑂. O polígono procurado pode ser construido utilizando os ângulos de vértice 𝑂 e as distâncias de 𝑂 até os vértices do polígono original.
3 A obra não apresenta as ilustrações na resolução deste problema. Incluímo-las para uma melhor
Figura 7
Terminamos esta análise na seção que explora as propriedades de inscrição e circunscrição dos polígonos, notoriamente a dos polígonos regulares. Em uma sequência de resultados, listados a seguir, o autor passa a estudar as condições que garantem a construção do círculo inscrito ou circunscrito.
1º Teorema: A todo triângulo é sempre possível circunscrever ou increver um círculo (p. 102).
A demonstração possui duas partes, sendo que primeira parte (circunscrição) é feita na secção sobre circunferências (proposição 87). Este e a proposição 95 são os únicos resultados da secção precedente utilizado para incrição e circunscrição de polígonos e polígonos regulares.
Corolário: As linhas que dividem ao meio os três ângulos de um triângulo (bissetrizes do triângulo) concorrem para um ponto (denominado incentro) que é o centro do círculo inscrito (p. 103).
O autor observa que o triângulo é o único polígono ao qual se pode, em todos os casos, inscrever e circunscrever um círculo. Os quadriláteros e demais polígonos gozam somente de tal propriedade em casos particulares, os demais polígonos são mais difíceis de distinguir e classificar a medida que o número de lados cresce. Excetuando-se porém os polígonos regulares (p. 104).
Figura 8 (p.104)
2º Teorema: A todo polígono regular se pode circunscrever ou inscrever um círculo (p. 104).
A demonstração é feita em duas etapas (Fig. 8). Na primeira, afirma-se que dado um polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺, a circunferência que passa por três vértices (por exemplo, 𝐴, 𝐵 e 𝐶), passa também pelos demais. De fato, como 𝑂𝐵 é um lado comum a ambos os triângulos; 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶, por serem raios de círculo; e 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, por hipótese, os triângulos ∆𝑂𝐴𝐵 = ∆𝑂𝐵𝐶. Como são triângulos isósceles, 𝑂𝐴̂𝐵 = 𝑂𝐵̂𝐴 = 𝑂𝐵̂𝐶 = 𝑂𝐶̂𝐵.
Logo, cada um desses ângulos é metade de um ângulo do polígono e, conse-quentemente, 𝑂𝐶𝐵 = 𝑂𝐶𝐷. Assim, os triângulos ∆𝑂𝐵𝐶 e ∆𝑂𝐶𝐷 são iguais, pois 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷, existe um lado em comum (𝑂𝐶) e um ângulo igual 𝑂𝐶̂𝐵 = 𝑂𝐶̂𝐷. Portanto, 𝐷 pertence ao círculo. Aplicando o raciocínio recursivamente, os demais vértices também pertencem ao círculo. Concluímos, desta forma, o círculo circuncrito.
Na segunda etapa, a partir do ponto 𝑂 obtido anteriormente, traçam-se as perpendiculares 𝑂𝑎, 𝑂𝑏, 𝑂c, etc. a todos os lados do polígono. Demonstraremos que 𝑂𝑎 = 𝑂𝑏 = 𝑂𝑐 =...
De fato, como os triângulos ∆𝐵𝑂𝑎 e ∆𝐵𝑂𝑏 possuem um lado em comum e dois ângulos iguais (𝑂𝐵̂𝑎 = 𝑂𝐵̂𝑏 e 𝐵𝑂̂𝑎 = 𝐵𝑂̂𝑏, pois são complementos do primeiro), 𝑂𝑎 = 𝑂𝑏. Por semelhante razão, 𝑂𝑎 = 𝑂𝑏 = 𝑂𝑐, etc. Traçando-se o círculo de centro em 𝑂 e raio 𝑂𝑎, obtemos o círculo inscrito.
A partir deste teorema a obra apresenta os conceitos de centro, raio e apótema de um polígono regular. Em sequência, temos o seguinte corolário: O ângulo central de um polígono regular é o suplemento do ângulo interno do mesmo polígono (p. 106).
3º Teorema: Se uma circunferência se acha toda dividida em partes iguais (Fig. 9), então (p. 106 e 107):
1. As cordas dos arcos formarão um polígono regular inscrito.
2. As retas tangentes aos pontos da divisão constituem um polígono regular circunscrito.
Consideram-se as cordas 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, 𝐷𝐸, 𝐸𝐴.
Os lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, etc. são iguais, pois são cordas de arcos iguais. São iguais também os ângulos internos 𝐸𝐴̂𝐵, 𝐴𝐵̂𝐶, etc. por terem a mesma medida4. Logo, o polígono inscrito 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 é regular.
Traçam-se as tangentes aos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, etc. Consideremos os segmentos 𝐴’𝐵’, 𝐵’𝐶’, etc. Afirmamos que tais segmentos formam com as cordas uma série de triângulos ∆𝐴𝐴’𝐵, ∆𝐵𝐵’𝐶, ∆𝐶𝐶’𝐷, etc. iguais entre si. De fato, todos os triângulos tem um lado igual 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = etc. e possuem dois ângulos adjacentes iguais 𝐴’𝐴𝐵 = 𝐴’𝐵𝐴 = 𝐵’𝐵𝐶 = 𝐵’𝐶𝐵 = 𝐶’𝐶𝐷 = etc. Logo, os triângulos são iguais5 e, portanto, 𝐴’ = 𝐵’ = 𝐶’ =
etc. Tem-se ainda, da penúltima sequência de igualdades, que os triângulos são isoscéles e,consequentemente, 𝐴’𝐴 = 𝐴’𝐵 = 𝐵𝐵’ = 𝐵’𝐶 = 𝐶𝐶’ = etc. Daí, 𝐴’𝐵’ = 𝐵’𝐶’ = 𝐶’𝐷’ = etc.
Portanto, os lados são iguais e os ângulos são iguais, o polígono 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’𝐸’ é regular.
4 Aqui, utilizamos a proposição 95 do capítulo “Da circumferencia e Suas Combinações com a Linha Reta”.
Figura 9 (p. 106)
O teorema anterior apresenta o seguinte corolário: Dado um polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 inscrito numa circunferência, para descrever o polígono circunscrito 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ de mesmo número de lados, basta traçar as retas tangentes a todos os vértices do polígono original (p. 108).
Para finalizar a secção, o princípio do corolário anterior é aplicado ao seguinte problema (Fig. 10): Dado um polígono regular inscrito (respectivamente circunscrito) no círculo, inscrever (resp. circunscrever) outro de número duplo ou subduplo de lados (p. 108)
Figura 10 (p.108)
A solução do problema é apresentada em quatro etapas6:
6 Observe que a solução apresentada não é uma demonstração para um polígono qualquer de 𝑛 lados. O
1. Considere o quadrado inscrito 𝑀𝑁𝑃𝑄. Divindo ao meio os arcos 𝑀𝑁, 𝑁𝑃, 𝑃𝑄 e 𝑄𝑀, as cordas dos arcos menores 𝑀𝑚, 𝑚𝑁, 𝑁𝑛, 𝑛𝑃, etc. formam um polígono regular inscrito com o dobro do número de lados de 𝑀𝑁𝑃𝑄. 2. Considere o polígono de lados 𝑀𝑚, 𝑚𝑁, 𝑁𝑛, etc. Traçando as diagonais 𝑀𝑁, 𝑁𝑃, etc. que ligam os vértices alternadamente, o novo polígono é regular e com a metade de lados do polígono original.
3. Dado o polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷 circunscrito. Traçando-se os raios 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐷; e as tangentes aos pontos 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄. O novo polígono 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ é regular com o dobro do número de lados de 𝐴𝐵𝐶𝐷.
4. Dado o polígono circunscrito 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ, prolongando-se alternadamente 𝑎𝑏, 𝑐𝑑, 𝑒𝑓, 𝑔ℎ forma-se o polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷 com número de lados metade do primeiro.
Síntese
A obra não possui muitos resultados na direção da construção de polígonos. De fato, tais construções são apenas realizadas em três situações:
1. Dado um polígono, construir outro igual.
2. Se uma circunferência está dividida em partes iguais, pode-se construir um polígono regular.
3. Dado um polígono regular, construir outro polígono regular com o dobro ou metade do número de lados do polígono original.
Ou seja, é sempre necessário partir de uma construção para se obter outra. Os problemas de se construir um polígono dado os seus lados, dividir uma circunferência em partes iguais e a construção de um polígono regular utilizando apenas o círculo, não são abordados.
3.3. Elementos de geometria de Alexis Claude de Clairaut
A obra Elemens de Geometrie de Alexis Claude de Clairaut foi, originalmente, impressa na França em 17417 e está dividida em quatro partes: medições em figuras planas, proporção em figuras planas, figuras circulares e volumes, e um prefácio, no qual se apresentam questões relacionadas ao ensino da geometria. A análise aqui apresentada foi realizada com base na edição brasileira de 1892, com tradução para o português feita por José Feliciano e publicada em São Paulo pela Empreza Bibliópola-Editora.
Nossa análise, de acordo com nossos interesses, será feita a partir do prefácio e de um alguns trechos da primeira parte.
No prefácio, Clairaut apresenta o significado da palavra geometria (medida de terreno) e demonstra que em tempos muito remotos já existiam homens e sociedades que procuravam processos para medir e partilhar suas terras.
Ainda no prefácio, argumenta-se que a geometria é uma ciência abstrata e que a forma mais tradicional de ensiná-la é por intermédio de axiomas, postulados e teoremas e que alguns autores, no intuito de diminuir tal aridez, apresentam uma aplicação para cada proposição importante.
Clairaut, descontente com tais métodos, apresenta um outro caminho de abordar a geometria: utilizando diversas etapas, o leitor é conduzido a desenvolver os mesmos raciocínios apresentados por aqueles que os desenvolveram primeiro. Este método de ensino tende a atrair bem mais o interesse dos leitores, pois o conhecimento é algo que não deve ser transmitido e precisa ser construído e, sempre que possível, contextualizado à realidade do leitor para atrair seu interesse.
O autor não se prende demasiadamente ao formalismo matemático, explorando mais a visão geométrica. Aos críticos de sua ideia, Clairaut observa que em sua obra utiliza somente as proposições que são visualmente óbvias e que sua experiência mostra que tal abordagem propícia um melhor entendimento e maior estímulo da criatividade e do interesse do leitor.
7 A obra original pode ser consultada em https://archive.org/details/elemensdegeometr00clai. A primeira tradução para a língua portuguesa, publicada em 1772, se encontra em http://purl.pt/22150.
A obra define polígono regular como uma figura retilínea de lados iguais e igualmente inclinados um sobre os outros (Fig. 11, 12 e 13).
Figura 11 (p. 20) Figura 12 (p. 20) Figura 13 (p. 20)
Apesar de utilizar, Clairaut não apresenta a definição de lado de um polígono, deixando tal conceito subentendido pelos enunciados8 e figuras apresentadas anterior-mente (Fig. 14, 15 e 16). As ideias de um polígono (qualquer) e da diagonal de um polígono também não desenvolvidas pelo autor.
Figura 7 (p. 3) Figura 8 (p. 3) Figura 9 (p. 14)
Dá-se a entender que o interesse em polígonos regulares deve-se a sua utilização em diversas construções da engenharia, tais como tanques, fontes e praças públicas.
Visando determinar a área de um polígono regular, define-se o centro do polígono como o ponto 𝐶 que é o vértice comum a todos os triângulos iguais que subdividem o polígono (Fig. 13). Considere um destes triângulos, por exemplo, o triângulo ∆𝐶𝐵𝐷, e tracemos de sua base 𝐵𝐷 a perpendicular 𝐶𝐾. A área do polígono é o
8 Por exemplo, “compostas de quatro lados perpendiculares” (p. 3), “quatro lados iguais” (p. 3), “os
produto da base BD pela metade de 𝐶𝐾, multiplicado pelo número de lados do polígono. O segmento 𝐶𝐾 é denominado apótema do polígono.
Na sequência, mostra-se como traçar tais polígonos: a partir de um círculo e dividindo o mesmo em um certo número 𝑛 de partes iguais, podemos traçar o polígono regular de 𝑛 lados ligando, consecutivamente, os pontos desta divisão. Observamos que o autor não apresenta como realizar tal divisão igualitária.
Entretanto as construções do triângulo (equilátero) e do quadrado podem ser realizadas sem a divisão do círculo. De fato,
o quadrado pode ser obtido por meio do traçado de retas perpendiculares9 (p. 8).
o triângulo equilátero é construido utilizando o compasso, com abertura igual a medida de seu lado dado (Fig. 17).
Figura 17 (p. 22)
Na página 63, é realizada “a promettida descripção do hexagono” (Fig. 18). Para tal construção, deve-se determinar uma linha que divida o círculo em seis partes iguais. Para isto, esta linha precisa ser a corda de um arco de 60°.
Figura 10 (p. 64)
Suponhamos que 𝐴𝐵 seja tal corda. Traçando do centro 𝐼 os raios 𝐼𝐴 e 𝐼𝐵, o ângulo 𝐴𝐼̂𝐵 mede 60°. Como o triângulo ∆𝐴𝐼𝐵 é isósceles, 𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐵𝐴. Como 𝐼𝐴𝐵 + 𝐼𝐵𝐴 = 120°, 𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐵𝐴 = 60°. Logo, o triângulo ∆𝐴𝐼𝐵 será equilátero com 𝐴𝐵 igual a medida do raio do círculo. Segue disso, que para descrever um hexágono, será preciso tomar o compasso com a abertura igual ao raio do círculo e, depois, colocando o compasso seis vezes sobre a circunferência, teremos o hexágono.
A partir do hexágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, a construção do dodecágono é realizada. Para isto, divide-se o arco 𝐴𝐾𝐵 ou o ângulo 𝐴𝐼̂𝐵 em partes iguais, e a corda 𝐴𝐾 será um dos lados do polígino de 12 lados. Utilizando o mesmo processo de divisão podemos construir os polígonos de 24, 48, 96, 192 lados, entre outros.
Para construir o polígono regular de 8 lados (Fig. 19), é necessário, primeira-mente, traçar um quadrado no interior de um círculo.
Figura 11 (p. 66)
Para descrever tal quadrado, traçamos dois diâmetros perpendiculares 𝐴𝐼𝐵 e 𝐶𝐼𝐸 e ligam-se suas extremidades pelas linhas 𝐴𝐶, 𝐶𝐵, 𝐵𝐸 e 𝐸𝐴. A figura resultante é um quadrado, pois devido à regularidade do círculo e a igualdade dos quatro ângulos
formados pelas perpendiculares 𝐴𝐼𝐵 e 𝐶𝐼𝐸, os lados 𝐴𝐶, 𝐶𝐵, 𝐵𝐸 e 𝐸𝐴 são necessariamente iguais e igualmente inclinados uns sobre os outros.
Para construir o octógono 𝐶𝐾𝐵𝐿𝐸𝑀𝐴𝑁, basta utilizar o procedimento já descrito e dividir cada um dos arcos 𝐴𝐶, 𝐶𝐵, 𝐵𝐸 e 𝐸𝐴 em duas partes iguais.
Dividindo do mesmo modo cada um dos arcos 𝐶𝐾, 𝐾𝐵, etc, em duas partes iguais, em 4, em 8, teremos, respectivamente, o polígono de 16, 32, 64 lados, etc.
As construções do pentágono e dos demais polígonos regulares não são abordadas pois, segundo o autor, tais procedimentos necessitam de conhecimentos de álgebra que fogem ao escopo deste livro, que é de geometria. A construção do pentágono regular, segundo o tradutor, encontra-se no tratado sobre geometria analítica do mesmo autor: “Esse tratado é o de algebra, publicado em 1746, cinco annos depois deste. Ahi,
porém, Clairaut não tratou desta questão, reservando-a para uma obra especial de geometria analytica (applicação da algebra á geometria). (N. do T.)” (p. 23)
Síntese
Segundo a obra, a geometria é uma ciência abstrata e seu ensino tradicionalmente feito por dois métodos: por meio de axiomas, postulados e teoremas ou por meio de proposições e aplicações das mesmas. Clairaut defende que os métodos habituais de ensino da geometria deixam o mesmo muito árido e, geralmente, isso acarreta o pouco interesse do leitor pela disciplina. Assim, na obra, Clairaut desenvolve um novo método no qual tenta inspirar o ensino da geometria com situações práticas do cotidiano, como, por exemplo, problemas de engenharia. O intuito disto é estimular o leitor a construir o conhecimento geométrico para si.
Para Clairaut, o desenvolvimento da visão geométrica é mais importante que o rigor matemático. A obra aborda, dado um lado, a construção do triângulo equilátero e do quadrado utilizando o compasso. Os outros polígonos regulares contruídos são os de 6, 12, 24, ... e 8, 16, 32, ... lados. As demais construções, por exemplo, a do pentágono regular não são apresentadas, pois o autor coloca que as mesmas necessitam de conhecimentos de álgebra, o que foge ao tema do livro.
3.4 Geometria Elementar de “uma Reunião de Professores”
A edição do livro Elementos de Geometria utilizado nesta pesquisa foi publicado pela Livraria Francisco Alves E Ca em 1914. Não constam na obra o local de publicação
nem o nome dos autores, que são vagamente creditados por “uma reunião de professores”. O livro, que possui um formato “de bolso”, é dividido em duas partes, sendo cada uma delas subdividida em quatro livros. No final de cada livro existe uma lista de exercícios. Além destes, mais exercícios (“de recapitulação”) podem ser encontrados no final da obra.
A primeira parte apresenta geometria plana e a segunda, geometria espacial. O objetivo de nosso estudo encontra-se distribuído ao longo dos três primeiros livros da primeira parte.
No livro I, após uma introdução aos conceitos de linha, ângulo, perpendiculares e oblíquas, somos apresentados aos polígonos. Define-se polígono como uma figura plana limitada por linhas retas, chamadas lados e a reunião destes, perímetro (Fig. 19).
Figura 19 (p. 15)
Os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 da figura anterior são chamados vértices. Observa-se que não é fornecida nenhuma definição de vértice, cabendo ao leitor identificá-los geometricamente.
Na sequência, são apresentadas as definições de ângulo interior (ou simplesmente ângulo), ângulo exterior (Fig. 20), polígono regular (aquele com lados iguais e ângulos iguais), polígono convexo10 (polígono no qual “seu perímetro não póde ser encontrado em mais de dois pontos por uma secante”) (Figura 21), polígono côncavo
10 Destacamos um deslize na sequência lógica apresentada: enquanto polígono convexo/côncavo é definido
na página 16, a ideia de (reta) secante a uma figura (“toda reta que corta uma figura”) só é apresentada na página 28.
(Fígura 22) (quando existe uma secante intersectando seu perímetro em mais de dois pontos) e diagonal (a reta que une quaisquer dois vértices não consecutivos) (Figura 23).
Figura 20 (p. 16) Figura 21 (p. 16)
Figura 12 (p. 16) Figura 13 (p. 16)
A presente seção termina com a classificação dos polígonos regulares quanto ao seu número de lados.
Na sequência, estudam-se os triângulos, onde os mesmos são classificados quanto ao comprimento de seus lados e quanto a medida de seus ângulos. Dado um triângulo, é feita a distinção de:
Base: é o lado sobre o qual o triângulo “parece assentar”; Vértice: é o vértice do ângulo oposto à base;
Altura: perpendicular abaixada do vértice sobre a base ou o seu prolongamento;
As seções VI e VII do livro I são dedicadas, respectivamente, aos casos de igualdade de triângulos (atualmente denominada congruência) e ao triângulo isósceles. Na seção XI, exploram-se os quadriláteros, suas classificações e propriedades.
O estudo dos polígonos regulares (secção III do livro II) inicia com as definições de polígono inscrito e de polígono circunscrito. Os elementos de um polígono regular (centro, raio, apótema) são definidos aqui junto com ângulo central e são apresentados os seguintes cinco teoremas:
Primeiro teorema: Dividindo-se uma circunferência em partes iguais e
unindo-se os pontos de divisão, forma-unindo-se um polígono regular (p. 65).
Segundo teorema: Numa circunferência dividida em partes iguais as tangentes
aos pontos de divisão, formam um polígono regular (p. 65).
Terceiro teorema: Um polígono regular é, ao mesmo tempo, inscritível e
circunscritível (p. 66).
Quarto teorema: O lado do hexágono regular é igual ao raio do círculo
circunscrito (p. 66).
Quinto teorema: Unindo as extremidades de dois diâmetros perpendiculares um
ao outro forma-se um quadrado inscrito (p. 67).
As secções IV a X do livro II são dedicadas a problemas que são solucionados por meio do uso de régua, compasso e esquadro. Estes problemas são denominados pelo autor de construções gráficas. Abordam-se a construção de linhas retas, ângulos, paralelas, triângulos, quadriláteros, polígonos regulares e tangentes. Nós focaremos nos polígonos regulares, onde são apresentadas as construções, na seguinte ordem, do quadrado, do octógono, do hexágono, do triângulo equilátero, do decágono, do dodecágono e do pentágono. A construção do pentedecágono é realizada na página 13811. Quadrado (Fig. 24): Para obter-se o quadrado, traçam-se dois
diâmetros perpendiculares. Unindo-se as extremidades dos diâmetros, temos o polígono desejado.
11 Problema 268.
Figura 14 (p. 81)
Octógono (Fig. 25): A partir do quadrado inscrito, traçam-se os raios
perpendiculares aos lados desse quadrado. Estes raios dividem em partes iguais os arcos compreendidos pelos lados do quadrado. Desta forma, o octógono é formado por meio das cordas dos oito arcos obtidos.
Figura 15 (p.81)
Hexágono (Fig. 26): Tal construção é facilmente realizada por meio do
transporte do raio do círculo sobre a circunferência seis vezes e, após isso, unindo-se os pontos da divisão.
Figura 16 (p. 81)
Triângulo (Fig. 27): Transporta-se seis vezes o raio do círculo sobre a
circunferência e une-se os pontos de divisão de três em três.
Figura 17 (p. 81)
Dodecágono: A partir do hexágono regular, procede-se de modo
análogo ao feito no quadrado para a construção do octógono.
Decágono (Fig. 28): Em um círculo de centro 𝑂, traçam-se dois raios 𝑂𝐴 e 𝑂𝑀, um perpendicular ao outro. Marca-se o ponto 𝑂’ que é o ponto
médio de 𝑂𝑀. Em seguida, traça-se o segmento 𝑂’𝐴. Descreve-se a semicircunferência centrada em 𝑂′ de raio 𝑂𝑂′ que intersecta 𝑂’𝐴 no ponto 𝑁. O segmento 𝑁𝐴 é o lado do decágono regular inscrito no círculo de centro 𝑂. Agora basta transportar dez vezes esse lado sobre a circunferência.
Figura 18 (p. 82)
Pentágono: Após inscrevermos o decágono regular no círculo, para
obtermos o pentágono regular, basta façamos a união dos vértices desse decágono de três em três.
Essa secção termina com duas observações. A primeira indica o meio de obter polígonos regulares de maior número de lados utilizando, como exemplo, o quadrado e o hexágono inscritos. A segunda observação refere-se a possibilidade de ladrilhar uma superfície plana com polígonos regulares de mesma espécie (Fig. 29). Afirma-se que para isto é necessário que o ângulo destes polígonos seja um divisor exato de 360° e que apenas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular satisfazem essa condição. Porém, continua a observação, é possível ladrilhar uma superfície plana com uma combinação de polígonos regulares diferentes: triângulos equiláteros e hexágonos; octógonos e quadrados; dodecágonos e triângulos equiláteros; etc.
Figura 19 (p. 83)
Por fim, somos apresentados ao problema de inscrever um pentedecágono [sic] regular (polígono de 15 lados): Traça-se um círculo de centro 𝑂 e raio 𝑂𝐴. A partir de 𝐴, marca-se a corda 𝐴𝐵 igual ao raio do círculo. Assim, o triângulo ∆𝐴𝑂𝐵 é equilátero e,
portanto, o ângulo 𝐴𝑂̂𝐵 mede 60°. Ainda neste círculo, constroi-se um lado do decágono regular com um dos vértices em 𝐴 e o outro, 𝐶, no arco 𝐴𝐵. Desta maneira, o ângulo 𝐴𝑂̂𝐶 mede 36°.
Figura 30 (p. 138)
Na Figura 30, o segmento AB possui o mesmo comprimento de r, raio do círculo, e 𝐴𝐶 é o lado do decágono inscrito. Como 𝐴𝑂̂𝐵 = 60° e 𝐴𝑂̂𝐶 = 36°, 𝐵𝑂̂𝐶 = 𝐴𝑂̂𝐵 − 𝐴𝑂̂𝐶 = 60° − 36° = 24° =360°15 , que representa o ângulo central do pentedecágono regular. Portanto, 𝐵𝐶 é o lado do polígono regular de 15 lados e a construção acaba com seu transporte 15 vezes ao longo da circunferência.
O último teorema da secção VI do livro III é “O lado do pentágono regular12 é
a hypotenusa de um triangulo rectángulo cujos cathétos são os lados do hexágono regular e do decágono regular”.
Figura 31 (p. 138)
12 Um interessante exercício sobre as diagonais de um pentágono regular pode ser encontrado na página
Para demonstrá-lo, seja o segmento 𝐴𝐵 (Fig. 31) o lado do decágono regular. Prolonguemos 𝐴𝐵 de modo que 𝐴𝐶 = 𝐴𝑂 = 𝑅. Tracemos 𝑂𝐶; que é o lado do pentágono regular inscrito no cículo de raio 𝐴𝑂 = 𝐴𝐶 = 𝑅, pois 𝐴 = 72° = 360°5 .
De 𝐶, tracemos a tangente 𝐶𝐷 ao círculo. Temos13 𝐶𝐷2 = 𝐶𝐴×𝐶𝐵. Como o lado do decágono regular 𝐴𝐵 é o maior segmento do raio 𝐴𝐶 dividido em meia e extrema razão14, isto é, 𝐴𝐵2 = 𝐶𝐴×𝐶𝐵. Portanto, 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵.
Logo, o triângulo retângulo ∆𝑂𝐶𝐷 tem por hipotenusa o lado do pentágono regular 𝑂𝐶 e por catetos os lados do hexágono, 𝑂𝐷, e do decágono, 𝐶𝐷.
Síntese
Possivelmente por ter sido desenvolvido por um grupo de autores (não creditados), a obra abrange um amplo espectro da geometria, tanto plana quanto espacial, possuindo um grande número de exercícios ao final de cada Livro/Capítulo.
O tema polígonos é desenvolvido ao longo da primeira parte, sendo a eles dedicada praticamente todo o Livro I. Nos demais livros, discutem-se os polígonos regulares e sua capacidade de inscrição e circunscrição (Livro II), e os polígonos semelhantes (Livro III).
Como citado em nossa análise, os vértices de um polígono nunca são, de fato, definidos, mas sugeridos. Dado o número de ilustrações da obra, tal deslize é, praticamente, imperceptível. Com esta grande quantidade de figuras – aliada às construções feitas, em especial, no plano (retas, ângulos, paralelas, triângulos, tangentes, círculos, etc.) – permite-se ao leitor um melhor entendimento dos conceitos geométricos e do manuseio com os instrumentos de desenho. Das construções realizadas, destacam-se os polígonos regulares de lados 3, 6, 12, ...; 4, 8, 16, ...; 5, 10, 20, ...; e 15, 30, 60, ...
13 Problema 244.
3.5 Elementos de geometria de F. I. C.
O livro Elementos de Geometria, obra da coleção Curso de Mathematicas
Elementares, foi impresso em Abbeville (França) e comercializado no Brasil pela Livraria Garnier. A autoria do livro é dada a F.I.C.. A obra foi revista e adaptada às
escolas brasileiras pelo Dr. Eugenio de Barros Raja Gabaglia.
A obra, adaptada para ser utilizada nas escolas secundárias brasileriras, é dividida em oito livros e quatro apêndices. No final dos sete primeiros livros, encontra-se uma lista de exercícios (com diversos níveis de dificuldade) para a prática do conteúdo do assunto desenvolvido ao longo daquele trecho. Nos três primeiros livros, desenvolve-se a geometria plana; nos livros IV e V, superfícies e retas; nos livros VI e VII, sólidos; e no último, as curvas cônicas, suas tangentes e a hélice. Os três primeiros apêndices acrescentam diversos tópicos, tais como, polígonos estrelados, razão anharmônica (sic), secção cônica, método de Sympson, etc. O quarto apêndice é dedicado exclusivamente a aplicações: a quadratura e a cubatura, pontes, estradas e canais, reflexão da luz, etc. Nosso trabalho de análise será feito nos três primeiros livros.
Como é usual, define-se polígono como toda porção do plano limitada por linhas retas. Tais linhas são chamadas lados do polígono e classificam-se os polígonos segundo o seu número de lados.
O polígono convexo é definido como aquele cujo contorno não pode ser encontrado em mais de dois pontos por uma linha reta. Observamos que tal definição é imprecisa, pois tal reta pode coincidir com um dos lados do polígono (Fig. 32).
Denominam-se ângulos (internos) maiores do que dois retos de ângulos reintrantes (observe que a unidade de medida adotada é o ângulo reto). Define-se polígono não convexo como aquele que possui um ângulo reintrante, embora não seja apresentada a definição de ângulo (interno) de um polígono.
Introduze-se os conceitos de:
polígono equiângulo (o que possui todos ângulos iguais), polígono equilátero (o que possui todos lados iguais),
polígono regular (aquele que satisfaz as duas condições anteriores simultaneamente),
diagonal de um polígono (toda reta que une dois vértices não consecutivos),
perímetro de um polígono (soma dos lados desse polígono).
A apresentação das propriedades dos ângulos internos e externos de um polígono dá-se por meio dos seguintes três teoremas:
Primeiro teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual dois
ângulos retos (p. 25).
Segundo teorema: A soma dos ângulos internos de um polígono qualquer é igual
a tantas vezes dois ângulos retos quantos são os lados desse polígono menos dois (p. 25).
Terceiro teorema: A soma dos ângulos externos de um polígono qualquer é igual
a quatro ângulos retos (p. 25).
Essa secção do livro termina com o estudo dos quadriláteros notáveis e suas principais propriedades.
Os lados opostos de um paralelogramo são iguais, assim como também são iguais os ângulos opostos (p. 27).
Todo quadrilátero cujos lados opostos são iguais é um paralelogramo (p. 27)
Todo quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais é um paralelogramo (p. 28)
Todo quadrilátero que tem dois lados iguais e paralelos é um paralelogramo (p. 28)
As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio delas (p. 29) Todo quadrilátero cujas diagonais se cortam ao meio é um paralelogramo
(p. 29)
A quarta seção do livro II é dedicada aos polígonos regulares. Define-se aqui polígono inscrito e polígono circunscrito, circunferência inscrita e circunferência circunscrita.
Figura 21 (p. 54)
Linha quebrada regular é apresentada como a linha formada por muitas cordas iguais traçadas sobre o mesmo arco de círculo (Fig. 33). Setor poligonal regular é a figura compreendida entre uma linha quebrada regular e os raios que passam pelas suas extremidades. As últimas definições apresentadas nesta secção são: centro de figura (“ponto que divide em duas partes iguaes todas as rectas que podem ser tiradas por este ponto”), centro, raio e apótema de um polígono.
A relação entre a regularidade de um polígono e a inscrição e circunscrição deste é estabelecida por meio de quatro teoremas15, a saber:
Primeiro teorema (Fig. 34): Quando uma circunferência está dividida em um
número qualquer de partes iguais, as cordas que unem consecutivamente os pontos de divisão formam um polígono regular inscrito (p. 55).
Figura 22 (p. 55)
Considere a circunferência dividida em cinco partes iguais, nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸. Como os arcos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, etc. são iguais, as cordas por eles subentendidas também são iguais16. Além disso, cada um dos ângulos 𝐴𝐵̂𝐶, 𝐵𝐶̂𝐷, etc. compreende entre os seus lados 35 da circunferência. Assim, todos os ângulos são iguais,e o polígono inscrito é regular.
Segundo teorema (Fig. 35): Quando uma circunferência está dividida em um
número qualquer de partes iguais, as tangentes tiradas pelos pontos de divisão formam um polígono regular circunscrito (p. 55).
Figura 23 (p. 55)
16 Proposição 118, página 40.
Consideremos uma circunferência dividida em cinco partes iguais e seja 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐾 o polígono circunscrito formado pelas tangentes traçadas pelos pontos de divisão. Queremos provar que 𝐹𝐺 = 𝐺𝐻 = 𝐻𝐼 = 𝐼𝐾 = 𝐾𝐹.
Sabemos que as cordas 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 =... são iguais (porque subentedem arcos iguais). Como ângulos de segmento compreendendo arcos iguais17, os ângulos em 𝐴̂, 𝐵̂, 𝐶̂, ... e os triângulos ∆𝐴𝐵𝐹, ∆𝐵𝐶𝐺, ∆𝐶𝐷𝐻, ... são iguais. Desta forma, esses ângulos são iguais por terem um lado igual adjacente a ângulos iguais; e, além disso, cada um desses triângulos é isósceles.
Disso, resulta que 𝐹̂ = 𝐺̂ = 𝐻̂ = 𝐼̂ = 𝐾̂ e 𝐴𝐹 = 𝐹𝐵 = 𝐵𝐺 = 𝐺𝐶 = 𝐶𝐻 = ... Além disso,
𝐹𝐺 = 𝐺𝐻 = 𝐻𝐼 = 𝐼𝐾 = 𝐾𝐹. Logo, o polígono 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐾 é regular.
Terceiro teorema (Fig. 36): A todo polígono regular pode-se circunscrever uma
circunferência (p. 56).
Figura 24 (p. 56)
Considere o polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Trace a circunferência que passa por 𝐴, 𝐵, e 𝐶. Provaremos que tal circunferência também passa pelos demais vértices deste polígono.
17 Proposição 149, página 51.
Tracemos 𝑂𝐴 e 𝑂𝐷, e depois 𝑂𝐻, perpendicular à corda 𝐵𝐶. Suponhamos que o quadrilátero 𝑂𝐻𝐵𝐴 gira em torno de 𝑂𝐻 para coincidir sobre o quadrilátero 𝑂𝐻𝐶𝐷.
Como 𝐻 é o ponto médio de 𝐵𝐶18, os ângulos retos em 𝐻 coincidem, como também coincidem 𝐻𝐵 com 𝐻𝐶, o ângulo 𝐵 com 𝐶, 𝐵𝐴 com 𝐶𝐷 e, consequentemente, 𝑂𝐴 com 𝑂𝐷.
Assim, a circunferência que passa em 𝐴, 𝐵 e 𝐶, também passa em 𝐷. Por raciocínio análogo, podemos demonstrar que também passa em 𝐸.
Quarto teorema (Fig. 37): Em todo polígono regular, pode-se inscrever uma
circunferência (p. 56).
Figura 25 (p. 56)
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 um polígono regular. Descreva a circunferência circunscrita (proposição anterior) e tracemos, a partir do centro 𝑂 as perpendiculares 𝑂𝐹, 𝑂𝐺, 𝑂𝐻, etc.
Os lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, etc. são cordas iguais e, por consequência, igualmente afastadas do centro19. Portanto, as perpendiculares 𝑂𝐹, 𝑂𝐺, 𝑂𝐻, etc. são iguais e a circunferência descrita com 𝑂𝐹 passa pelos pontos 𝐺, 𝐻, 𝐼, etc. e os lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, etc. são tangentes à circunferência por serem perpendiculares à extremidade dos raios 𝑂𝐹, 𝑂𝐺, 𝑂𝐻, etc. Desta forma, a circunferência é descrita no polígono.
18 Proposição 121, página 41. 19 Proposição 125, página 43.
A seção V do Livro II é reservada para construções gráficas. Aqui, munido de régua, compasso, esquadro e transferidor, o autor apresenta a resolução de diversos problemas.
A terceira seção do Livro III utiliza um teorema (dois polígonos semelhantes podem decompor-se no mesmo número de triângulos semelhantes cada um a cada um e semelhantemente dispostos) e sua recíproca para definir polígonos semelhantes.
Na secção seguinte, é tratado o problema da inscrição de um quadrado no círculo dado. A partir daí, determina-se a relação entre o lado do quadrado e o lado do octógono regular com o raio do círculo.
Outro problema apresentado é a inscrição de um pentedecágono [sic] regular em um círculo de raio dado (Fig. 38). Para isto, constrói-se um hexágono regular neste círculo e, a partir de um dos vétrices deste hexágono, fazemos a construção de um decágono regular inscrito ao círculo dado.
Figura 26 (p. 120)
Nesta seção tem-se também a determinação da expressão do comprimento do lado do polígono regular inscrito em um círculo de raio 𝑟 dado.
Figura 27 (p. 117)
Lado do quadrado: Como o triângulo ∆𝐴𝑂𝐵 (Fig. 39) é retângulo, pelo teorema
de Pitágoras, 𝐴𝐵2 = 𝐴𝑂2 + 𝑂𝐵2 = 2𝑟2. Logo, 𝐴𝐵 = 𝑟√2.
Lado do octógono regular: Seja 𝐸 o meio do arco 𝐴𝐵 (Fig. 39). 𝐴𝐸 é o lado do
octógono regular. Tracemos o diâmetro 𝐸𝐹 e a corda 𝐴𝐹. Como os triângulos ∆𝐴𝐸𝐹 e ∆𝐴𝐻𝐸 são semelhantes, 𝐸𝐹 𝐴𝐸 = 𝐴𝐸 𝐸𝐻 ⇒ 𝐴𝐸 2 = 𝐸𝐹 ⇒ 𝐸𝐻. Como 𝐸𝐹 = 2𝑟 e 𝐸𝐻 = 𝑟 − 𝑟√22, 𝐴𝐸2 = 2𝑟 (𝑟 − 𝑟√2 2) = 𝑟 2(2 − √2) ⇒ 𝐴𝐸 = 𝑟√2 − √2. Figura 40 (p. 118)
Lado do hexágono regular: Considere o hexágono ∆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 (Fig. 40) e tire
os raios 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵. Para o que desejamos, basta provar que o triângulo ∆𝐴𝑂𝐵 é equilátero. Como o ângulo ∆𝐴𝑂𝐵 vale 1 6⁄ de quatro ângulos retos, 𝐴𝑂̂𝐵 = 60°. Logo, a soma dos dois outros ângulos vale 120° e o triângulo ∆𝐴𝑂𝐵 é equilátero.
Lado do triângulo equilátero: Considere o triângulo ∆𝐵𝐴𝐸 (Fig. 40), retângulo
em 𝐴, temos
𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2 – 𝐴𝐵2 = (2𝑟)2 – 𝑟2 = 4𝑟2 – 𝑟2 = 3𝑟2. Portanto, 𝐴𝐸 = 𝑟√3.
Figura 41 (p. 119)
Lado do decágono regular: Seja 𝐴𝐵 o lado do decágono regular inscrito.
Tracemos os raios 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 (Fig. 41) e depois a bissetriz do ângulo 𝐴𝐵̂𝑂.
No triângulo isósceles ∆𝐴𝑂𝐵, o ângulo 𝑂̂ vale 1 10⁄ de quatro ângulos retos, isto é, 36°. Logo, os ângulos 𝑂𝐵̂𝐴 e 𝑂𝐴̂𝐵 são iguais e valem 72°, e cada metade do ângulo 𝑂𝐵̂𝐴 vale 36°. Portanto, o triângulo ∆𝑂𝐵𝑀 é isósceles e 𝐵𝑀 = 𝑂𝑀.
Como o 𝑀𝐵̂𝐴 = 36° e 𝑂𝐴̂𝐵 = 72°, 𝐵𝑀̂𝐴 = 72°. Logo, o triângulo ∆𝑂𝐵𝑀 é isósceles, e 𝐴𝐵 = 𝐵𝑀 = 𝑂𝑀. No triângulo ∆𝐴𝐵𝑂, temos 𝐵𝑂 𝐵𝐴 = 𝑀𝑂 𝑀𝐴 ou 𝑂𝐴 𝑂𝑀= 𝑂𝑀 𝑀𝐴.
Assim, o ponto 𝑀 divide o raio 𝑂𝐴 em média e extrema razão, e 𝑂𝑀 = 𝐴𝐵. Utilizando a proposição 267, o lado do decágono regular inscrito tem por expressão 𝑟
2 (√5 − 1).
Lado do pentágono regular: Seja 𝑂𝑀 o lado do decágono regular inscrito no
círculo 𝐶 (Fig. 42). Prolonguemos 𝑂𝑀. Do ponto 𝑂, com 𝑂𝐶 como raio, descrevamos o arco 𝐶𝐴. Tracemos ao círculo 𝐶 a tangente 𝐴𝑃, e o raio 𝐶𝑃.
Figura 28 (p. 120)
Como 𝑂𝑀 é o lado do decágono regular e 𝑂𝐴 = 𝐶𝑂, 𝑂𝑀 é a média proporcional entre 𝑂𝐴 e 𝐴𝑀. O mesmo ocorre com 𝐴𝑃. Daí, 𝐴𝑃 = 𝑂𝑀.
No triângulo ∆𝑂𝐶𝑀, o ângulo 𝐶̂ é igual a 36°. Consequentemente, os ângulos 𝑂̂ e 𝑀̂ valem, cada um, 72° = 1 5⁄ ∙ 360°. Como 𝑂𝐶 e 𝐴𝑂 são raios, 𝐴𝐶 é o lado do pentágono regular inscrito. Portanto o raio 𝐶𝑃, o lado do decágono e o lado do pentágono inscrito formar o triângulo retângulo ∆𝐴𝑃𝐶. Daí,
𝐴𝐶2 = 𝐴𝑃2 + 𝑃𝐶2. Como 𝑃𝐶 = 𝑟 e 𝐴𝑃 = 𝑟2(√5 − 1) ⇒ 𝐴𝑃2 = 𝑟2 4 (6 − 2√5), temos 𝐴𝐶2 = 𝐶𝑃2+ 𝐴𝑃2 = 𝑟2+𝑟2 4 (6 − 2√5) = 𝑟2 4 (10 − 2√5). Portanto, 𝐴𝐶 = 𝑟2√10 − 2√5.
Apresentamos, de maneira compacta, na tabela a seguir as expressões encontradas.
Número de lados Lado do polígono
3 𝑟√3 4 𝑟√2 5 𝑟 2√10 − 2√5 6 𝑟 8 𝑟√2 − √2 10 2𝑟(√5 − 1) Síntese
A obra trata dos fundamentos da geometria euclidiana plana e explora em algumas páginas construções gráficas por meio de régua, compasso, esquadro e transferidor.
O livro possui ainda exercícios para desenvolver a familiaridade do leitor com os temas apresentados no decorrer do texto. Além disso, é reservado um apêndice no livro apenas para tratar de aplicações.
Como é usual, o primeiro contato com polígonos é feito por meio de sua definição. Define-se ainda lado de um polígono e faz-se a classificação dos polígonos quanto ao seu número de lados.
Apesar de ser feita de maneira imprecisa, o texto define polígono convexo e, na sequência, polígono côncavo. A primeira destas é feita por meio do perímetro do polígono; enquanto a segunda, utiliza ângulo reintrante. Para este último, o ângulo reto é utilizado como unidade de medida.
No segundo livro, trata-se de polígonos regulares e como construí-los. Os demais conceitos desenvolvidos aqui são: polígono inscrito, polígono circunscrito, circunferência
inscrita, circunferência circunscrita, linha quebrada regular e setor poligonal regular. A partir do polígono inscrito, definem-se os elementos do polígono: centro, raio e apótema. O livro ainda explora as relações numéricas entre o lado 𝑙 do polígono inscrito e o raio 𝑟 da circunferência circunscrita. Apresentamos tais relações de maneira resumida em nossa análise.
