AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA

AA-220

AERODINÂMICA NÃO

ESTACIONÁRIA

Soluções elementares

Equação do Potencial Aerodinâmico

em regime supersônico

Prof. Roberto GIL Email: gil@ita.br Ramal: 6482

Equação do potencial aerodinâmico

Equação do potencial, regime subsônico e supersônico:

Solução elementar: regime subsônico

E o que representa esta solução? Vamos supor uma frente de

propagação de uma perturbação em um tempo t₀=

ττττ

, de acordo

com o diagrama ao lado 

A onda esférica em um instante de tempo t >

ττττ

possui o centro da esfera em uma posição

correspondente ao trajeto

Convecção das perturbações

A fonte colocada da origem gera um pulso em um determinado

instante de tempo t₀ (ou

τ

).

Decorrido um intervalo de tempo, sendo o tempo final igual a t, a

onda gerada no instante inicial é convectada a uma velocidade U.

Como a velocidade do som é finita, a velocidade da onda no

sentido oposto à direção do escoamento será menor que a

velocidade da onda que se propaga na direção do escoamento U;

Tempo de retardo (Retarded time)

Resolvendo a equação:

Temos como solução:

Que representa o tempo de retardo das “informações”

aerodinâmicas devido ao efeito da compressibilidade, ou seja ao fato que a velocidade do som é finita e invariante com relação ao referencial. .

Caso subsônico:

Observando a figura ao lado

 nota-se que podemos identificar que apenas uma das raízes é válida para o regime subsônico

Neste regime, M < 1, R > x

para que τ < t, o que restringe escolher :

E a solução elementar poderá

ser escrita como:

(

)

2

1

t

Mx

R

a

τ

β

= +

−

E no caso supersônico?

A equação governante é a mesma, entretanto, como O número de

Mach é maior que 1, deve-se usar uma transformação apropriada para se chegar a uma forma da equação da onda convectada

conhecida como equação de Helmholtz.

Note que:

E a transformação de Lorentz-Galileu ficará na seguinte forma:

(

)

2 2 2

1

,

1 ,

1

1

1 ,

M

M

M

i M

β

β

β

=

−

>

⇒

= −

−

=

−

Comparação entre os regimes

Veja que:

M>1

Equações do potencial aerodinâmico:

Regime subsônico

Regime supersônico

Onde os sinais negativos vem da derivada segunda com relação

às coordenadas cartesianas transformadas por Lorentz-Galileu. 2 2 2 0 0

2

1

0

xx yy zz xt tt

U

a

a

β φ

+

φ

+

φ

−

_



_



∞



_





φ

−

_





_







_

φ

=

















2 2 2 0 0

2

1

0

xx yy zz xt tt

U

a

a

β φ

φ

φ

−

_

_





∞

_







φ

−





_

_







_

φ

=













−

−





Obtenção da solução elementar

Partindo da equação transformada por Lorentz-Galileu:

Obtemos a for de Helmholtz, no domínio da frequência no espaço

e uma equação no domínio do tempo.

Chega-se exatamente a mesma solução elementar pois a equação

da onda transformada é a mesma:

No entanto, ao se transformar de volta para o sistema original,

observa-se que a solução elementar fica diferente do caso subsônico:

Obtenção da solução elementar

No regime supersônico, portanto temos:

Notando que:

Ao contrário do caso subsônico onde a onda sempre é de avanço e

a solução para uma onda que retrocede (como uma implosão) não interessa pois sabe-se que o potencial emana da localização da fonte para o infinito.

Todavia, agora o efeito de onda que retrocede surgirá pois é

sentido em um ponto ap;os a passagem da fonte que se move a uma velocidade maior que a de propagação das perturbações em um fluido, isto é, a velocidade do som.

Fonte que se move

Graficamente podemos ver que um ponto no espaço percebe duas

vezes uma perturbação, uma de uma onda que avança e outra de uma que retrocede:

Interpretação física

Note que da mesma forma, a perturbação ocorreu em um instante

de tempo t₀ =

ττττ

, e de tão rápido que se move, perturba um determinado ponto no espaço de duas formas através de uma frente de onda que avança a a frente da onda que passou, ou seja, a que retrocede com relação a fonte que perturbou o meio em dois instantes seguinte t₁ e t₂ .

É importante notar que o ponto deve estar dentro do espaço

perturbável, o qual se observa apresentar uma forma cônica.

Este cone é conhecido como cone de Mach é é delimitado por uma

superfícies de perturbação cônica conhecida também por onda de Mach.

O ângulo deste cone a partir do seu vértice, onde a fonte se

O cone de Mach

O seu significado compreende a uma região perturbável pela fonte

que se move. Fora deste cone não existe perturbação até que a onda de Mach atinja um determinado ponto, passado algum tempo que a fonte se moveu.

Analisemos as equações das duas esferas circunscritas dentro do

Solução elementar

Resolvendo as duas equações tem-se:

com

Retenção dos dois termos de atraso

Comparado a solução elementar: (M>1)

Com a correspondente para M<1 :

Nota-se que se pode reter as duas

Forma final:

Substituindo na forma final as constantes

temporais na solução elementar tem-se:

... e compare com o caso subsônico:

(

)

(

)

( ) 2 1 2 0 0 2

2

i t M x a i i

R

x, y, z,t

e

e

e

cos

R

R

a

ω β ωτ ωτ

φ

φ

ω

φ

β

 _  _  − _  _  







_

_









_





=

+

=

_

_



_

_







_

_















(

)

( )

( ) 2 0 0 M x R i t a i

x, y, z,t

e

e

R

R

ω β ωτ

φ

φ

φ

 _{− }  _  + _  _  

=

=

Método Mach Box

Problemas de superfícies de sustentação;

Domínio de solução (V) restringe-se ao

“upstream Mach cone”

Domínio de dependência

O ponto dentro de um cone de Mach de painéis a montante,

Upstream Mach Cone

Domínio de dependência é na realidade delimitado por uma

hipérbole:

Limites de integração

Sabendo que o cone de Mach é delimitado pela hipérbole;

definem-se os novos domínios de integração como função das zonas de influência contidas no cone de Mach “upstream”:

Solução final:

Após realizadas transformações de

O Método Mach Box

Pines Djugundji e Neuringer criaram um método para o cálculo do

carregamento não estacionários em regime supersônico;

O Método Mach Box

Onde a deflexão vertical de cada “box” cujo centre está localizado

em (

ξξξξ

_c,

η

η

η

η

_c) é dada por:

O Método Mach Box

Conhecido o downwash, pode-se substituí-lo diretamente na

relação integral:

com

Assumindo o downwash constante em cada box, pode-se

simplificar a relação acima limitando a região de integração no cone de Mach a montante

O Método Mach Box

Cálculo da pressão

Associada ao salto de pressão:

O Método Mach Box

Adimensionalizando para um comprimento característico dos

boxes “s”, temos:

Frequência reduzida:

Parâmetro compressível:

Pressão é dada por:

Onde: _{ Coeficientes de influência}

O Método Mach Box

Solução do problema numérico:

sabendo que:

temos:

Solução válida para bordo de ataque supersônico, pois se

O Método Mach Box

O Método Mach Box

Região que se adiciona à forma em planta da asa cujo downwash

é desconhecido;

O cálculo de pressão através das relações anteriores é realizado

sobre esta nova forma em planta;

A diferença é que deve-se notar que no diafragma não temos

salto de pressão;

Todavia, existirá um downwash através do diafragma que

modificará a distribuição da pressão sobre a asa

O Método Mach Box

O tratamento do diafragma em conjunto com a forma em planta

da asa leva a um sistemas de equação modificado com relação ao caso da asa com bordos de ataque supersônicos:

O Método Mach Box

A partição correspondente ao diafragma pode ser reescrita como:

de onde se obtém a nossa nova incógnita, o downwash no diafragma que por enquanto é desconhecido

O Método Mach Box

Uma vez obtido o downwash no diafragma, pode-se substituí-lo

na relação para a pressão sobre a asa:

Chegando a uma expressão final similar ao caso da asa com